Řešení těch nejjednodušších goniometrické rovnice.

Řešení goniometrických rovnic jakékoli úrovně složitosti nakonec vede k řešení nejjednodušších goniometrických rovnic. A v tomto se opět ukazuje jako nejlepší pomocník trigonometrický kruh.

Připomeňte si definice kosinu a sinusu.

Kosinus úhlu je úsečka (tj. souřadnice podél osy) bodu na jednotkové kružnici odpovídající rotaci o daný úhel.

Sinus úhlu je ordináta (tj. souřadnice podél osy) bodu na jednotkové kružnici odpovídající rotaci o daný úhel.

Pozitivní směr pohybu trigonometrický kruh je uvažován pohyb proti směru hodinových ručiček. Otočení o 0 stupňů (nebo 0 radiánů) odpovídá bodu se souřadnicemi (1; 0)

Tyto definice používáme k řešení nejjednodušších goniometrických rovnic.

1. Řešte rovnici

Tato rovnice je splněna všemi takovými hodnotami úhlu natočení, které odpovídají bodům kruhu, jejichž pořadnice je rovna .

Označme bod pořadnicí na ose y:

Nakreslete vodorovnou čáru rovnoběžnou s osou x, dokud se neprotne s kružnicí. Dostaneme dva body ležící na kružnici a mající pořadnici. Tyto body odpovídají rotačním úhlům a radiánům:

Pokud po opuštění bodu odpovídajícímu úhlu natočení na radián obejdeme celý kruh, pak dojdeme k bodu odpovídajícímu úhlu natočení na radián a se stejnou pořadnicí. To znamená, že tento úhel natočení také splňuje naši rovnici. Můžeme udělat tolik "nečinných" zatáček, kolik chceme, vracet se do stejného bodu a všechny tyto hodnoty úhlu splní naši rovnici. Počet otáček "naprázdno" je označen písmenem (nebo). Protože tyto otáčky můžeme provádět v kladném i záporném směru, (nebo ) může nabývat libovolných celočíselných hodnot.

To znamená, že první řada řešení původní rovnice má tvar:

, , - sada celých čísel (1)

Podobně má druhá řada řešení tvar:

, Kde , . (2)

Jak jste uhodli, tato řada řešení je založena na bodu kružnice, který odpovídá úhlu natočení o .

Tyto dvě řady řešení lze spojit do jednoho záznamu:

Pokud vezmeme tento záznam (tedy sudý), dostaneme první řadu řešení.

Pokud vezmeme tento záznam (tedy lichý), dostaneme druhou řadu řešení.

2. Nyní vyřešme rovnici

Protože je úsečka bodu jednotkové kružnice získaná otočením o úhel, označíme na ose bod s úsečkou:

Nakreslete svislou čáru rovnoběžnou s osou, dokud se neprotne s kružnicí. Získáme dva body ležící na kruhu a mající úsečku. Tyto body odpovídají rotačním úhlům a radiánům. Připomeňme, že při pohybu ve směru hodinových ručiček získáme záporný úhel rotace:

Zapíšeme dvě řady řešení:

,

,

(Do správného bodu se dostaneme průchodem z hlavního plného kruhu, tzn.

Pojďme spojit tyto dvě série do jednoho příspěvku:

3. Řešte rovnici

Přímka tečen prochází bodem se souřadnicemi (1,0) jednotkové kružnice rovnoběžné s osou OY

Označte na něm bod s pořadnicí rovnou 1 (hledáme tečnu, jejíž úhly je 1):

Spojte tento bod s počátkem přímkou ​​a označte průsečíky přímky s jednotkovou kružnicí. Průsečíky přímky a kružnice odpovídají úhlům natočení na a :

Protože body odpovídající úhlům natočení, které splňují naši rovnici, leží v radiánech od sebe, můžeme řešení zapsat následovně:

4. Řešte rovnici

Přímka kotangens prochází bodem se souřadnicemi jednotkové kružnice rovnoběžné s osou.

Na přímce kotangens označíme bod s úsečkou -1:

Připojte tento bod k počátku přímky a pokračujte v ní, dokud se neprotne s kružnicí. Tato čára bude protínat kružnici v bodech odpovídajících úhlům rotace a radiánům:

Protože tyto body jsou od sebe odděleny vzdáleností rovnou , můžeme obecné řešení této rovnice napsat takto:

V uvedených příkladech, ilustrujících řešení nejjednodušších goniometrických rovnic, byly použity tabulkové hodnoty goniometrické funkce.

Pokud je však na pravé straně rovnice netabulková hodnota, dosadíme hodnotu v obecném řešení rovnice:

SPECIÁLNÍ ŘEŠENÍ:

Označte body na kružnici, jejíž pořadnice je 0:

Označte na kružnici jeden bod, jehož pořadnice je rovna 1:

Označte jeden bod na kružnici, jehož pořadnice je rovna -1:

Protože je obvyklé uvádět hodnoty nejbližší nule, zapíšeme řešení následovně:

Označte body na kružnici, jejíž úsečka je 0:

5.
Označme jeden bod na kružnici, jehož úsečka je rovna 1:

Označte jeden bod na kružnici, jehož úsečka je rovna -1:

A některé složitější příklady:

1.

Sinus je jedna, pokud je argument

Argument našeho sinu je , takže dostaneme:

Vydělte obě strany rovnice 3:

Odpovědět:

2.

Kosinus je nula, pokud je argument kosinus

Argument našeho kosinus je , takže dostaneme:

Vyjádříme , nejprve se přesuneme doprava s opačným znaménkem:

Zjednodušte pravou stranu:

Vydělte obě části -2:

Všimněte si, že znaménko před členem se nemění, protože k může nabývat libovolných celočíselných hodnot.

Odpovědět:

A na závěr se podívejte na videonávod "Výběr kořenů v goniometrické rovnici pomocí trigonometrické kružnice"

Tím končí rozhovor o řešení nejjednodušších goniometrických rovnic. Příště si povíme, jak to vyřešit.

Goniometrické rovnice nejsou nejjednodušší téma. Bolestně jsou různorodé.) Například tyto:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Atd...

Ale tyto (a všechny ostatní) trigonometrické příšery mají dva společné a povinné rysy. Za prvé - nebudete tomu věřit - v rovnicích jsou goniometrické funkce.) Za druhé: všechny výrazy s x jsou v rámci těchto stejných funkcí. A jen tam! Pokud se někde objeví x mimo, Například, hřích2x + 3x = 3, toto bude rovnice smíšeného typu. Takové rovnice vyžadují individuální přístup. Zde je nebudeme uvažovat.

Ani v této lekci nebudeme řešit zlé rovnice.) Zde se budeme zabývat nejjednodušší goniometrické rovnice. Proč? Ano, protože rozhodnutí žádný goniometrické rovnice se skládají ze dvou stupňů. V první fázi je zlá rovnice různými transformacemi redukována na jednoduchou. Na druhé - tato nejjednodušší rovnice je vyřešena. Není jiná cesta.

Takže pokud máte problémy ve druhé fázi, první fáze nedává moc smysl.)

Jak vypadají elementární goniometrické rovnice?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Tady A znamená libovolné číslo. Žádný.

Mimochodem, uvnitř funkce nemusí být čisté x, ale nějaký druh výrazu, například:

cos(3x+π /3) = 1/2

atd. To komplikuje život, ale neovlivňuje způsob řešení goniometrické rovnice.

Jak řešit goniometrické rovnice?

Goniometrické rovnice lze řešit dvěma způsoby. První způsob: pomocí logiky a trigonometrické kružnice. Tuto cestu zde prozkoumáme. Druhý způsob - použití paměti a vzorců - bude zvažován v příští lekci.

První způsob je jasný, spolehlivý a těžko se na něj zapomíná.) Hodí se na řešení goniometrických rovnic, nerovnic a všelijakých záludných nestandardních příkladů. Logika je silnější než paměť!

Rovnice řešíme pomocí trigonometrické kružnice.

Zařazujeme elementární logiku a schopnost používat trigonometrický kruh. Nemůžeš!? Nicméně... V trigonometrii to budete mít těžké...) Ale to nevadí. Podívejte se na lekce "Trigonometrický kruh ...... Co to je?" a "Počítání úhlů na trigonometrické kružnici." Všechno je tam jednoduché. Na rozdíl od učebnic...)

Ach, víš!? A dokonce zvládl "Praktická práce s trigonometrickou kružnicí"!? Přijměte gratulace. Toto téma vám bude blízké a srozumitelné.) Potěší především to, že trigonometrickému kruhu je jedno, kterou rovnici řešíte. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - všechno je pro něj stejné. Princip řešení je stejný.

Vezmeme tedy libovolnou elementární goniometrickou rovnici. Alespoň toto:

cosx = 0,5

Potřebuji najít X. Pokud mluvit lidský jazyk, potřebovat najděte úhel (x), jehož kosinus je 0,5.

Jak jsme kruh používali dříve? Nakreslili jsme na něj roh. Ve stupních nebo radiánech. A hned viděl goniometrické funkce tohoto úhlu. Nyní udělejme opak. Nakreslete na kružnici kosinus rovný 0,5 a okamžitě uvidíme roh. Zbývá jen napsat odpověď.) Ano, ano!

Nakreslíme kružnici a označíme kosinus rovný 0,5. Na kosinusové ose, samozřejmě. Takhle:

Nyní nakreslíme úhel, který nám tento kosinus dává. Najeďte myší na obrázek (nebo se dotkněte obrázku na tabletu) a vidět tento stejný roh X.

Který úhel má kosinus 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Někteří lidé budou skepticky chrochtat, ano... Říkají, stálo to za to oplotit kruh, když je stejně všechno jasné... Můžete samozřejmě chrochtat...) Ale je fakt, že tohle je omyl Odpovědět. Nebo spíše neadekvátní. Znalci kruhu chápou, že stále existuje celá řada úhlů, které také dávají kosinus rovný 0,5.

Pokud otočíte pohyblivou stranu OA za plnou otáčku, bod A se vrátí do své původní polohy. Se stejným kosinusem rovným 0,5. Tito. úhel se změní 360° nebo 2π radiány a kosinus není. Nový úhel 60° + 360° = 420° bude také řešením naší rovnice, protože

Takových plných rotací je nekonečně mnoho... A všechny tyto nové úhly budou řešením naší goniometrické rovnice. A všechny je potřeba nějak zapsat. Všechno. Jinak se k rozhodnutí nepřihlíží, ano...)

Matematika to umí jednoduše a elegantně. V jedné krátké odpovědi napište nekonečná množinařešení. Takto to vypadá pro naši rovnici:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

rozluštím. Ještě pište smysluplně hezčí než hloupě kreslit nějaká tajemná písmena, že?)

π /3 je stejný úhel jako my viděl na kruhu a odhodlaný podle tabulky cosinus.

2π je jedna celá otáčka v radiánech.

n - jedná se o počet kompletních, tzn. Celý revoluce. Je jasné že n může být 0, ±1, ±2, ±3.... a tak dále. Jak naznačuje krátký záznam:

n ∈ Z

n patří ( ∈ ) na množinu celých čísel ( Z ). Mimochodem, místo dopisu n lze použít písmena k, m, t atd.

Tento zápis znamená, že můžete vzít libovolné celé číslo n . Alespoň -3, alespoň 0, alespoň +55. Co chceš. Pokud toto číslo zapojíte do své odpovědi, získáte konkrétní úhel, který bude jistě řešením naší drsné rovnice.)

Nebo jinými slovy, x \u003d π / 3 je jediným kořenem nekonečné množiny. Chcete-li získat všechny ostatní kořeny, stačí přidat libovolný počet celých závitů k π / 3 ( n ) v radiánech. Tito. 2πn radián.

Všechno? Ne. Konkrétně natahuji potěšení. Abychom si to lépe zapamatovali.) Dostali jsme jen část odpovědí na naši rovnici. Tuto první část řešení napíšu takto:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne jeden kořen, je to celá řada kořenů, zapsaná ve zkratce.

Ale existují i ​​jiné úhly, které také dávají kosinus rovný 0,5!

Vraťme se k našemu obrázku, podle kterého jsme zapsali odpověď. Tady je:

Najeďte myší na obrázek a vidět další roh, že také dává kosinus 0,5.Čemu se to podle vás rovná? Trojúhelníky jsou stejné... Ano! On rovný úhlu X , pouze zakreslena v negativním směru. Tohle je roh -X. Ale už jsme spočítali x. π /3 nebo 60°. Proto můžeme bezpečně napsat:

x 2 \u003d - π / 3

A samozřejmě přidáme všechny úhly, které získáme plnými otáčkami:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To je nyní vše.) V trigonometrickém kruhu jsme viděl(kdo tomu rozumí, samozřejmě)) Všechnoúhly, které dávají kosinus rovný 0,5. A tyto úhly zapsali do krátké matematické formy. Odpověď jsou dvě nekonečné řady kořenů:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Toto je správná odpověď.

Naděje, obecný princip řešení goniometrických rovnic s pomocí kruhu je pochopitelné. Na kružnici označíme kosinus (sinus, tangens, kotangens). daná rovnice, nakreslete jí odpovídající rohy a zapište odpověď. Samozřejmě musíte přijít na to, jaké jsme rohy viděl na kruhu. Někdy to není tak zřejmé. No, jak jsem řekl, logika je zde nutná.)

Pojďme například analyzovat jinou goniometrickou rovnici:

Upozorňuji, že číslo 0,5 není jediné možné číslo v rovnicích!) Jen je pro mě pohodlnější ho psát než odmocniny a zlomky.

Pracujeme podle obecného principu. Nakreslíme kružnici, označíme (na sinusové ose, samozřejmě!) 0,5. Nakreslíme najednou všechny úhly odpovídající tomuto sinusu. Dostáváme tento obrázek:

Nejprve se vypořádáme s úhlem. X v prvním čtvrtletí. Připomeneme si tabulku sinů a určíme hodnotu tohoto úhlu. Věc je jednoduchá:

x \u003d π / 6

Vybavujeme si celé otáčky a s čistým svědomím zapisujeme první sérii odpovědí:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Polovina práce je hotová. Nyní musíme definovat druhý roh... To je složitější než v kosinusu, ano... Ale logika nás zachrání! Jak určit druhý úhel přes x? Ano Snadno! Trojúhelníky na obrázku jsou stejné a červený roh X rovný úhlu X . Pouze se počítá od úhlu π v záporném směru. Proto je červená.) A pro odpověď potřebujeme úhel správně změřený od kladné poloosy OX, tzn. z úhlu 0 stupňů.

Najeďte kurzorem na obrázek a uvidíte vše. První roh jsem odstranil, abych nekomplikoval obraz. Úhel, který nás zajímá (nakreslený zeleně), se bude rovnat:

π - x

x známe to π /6 . Takže druhý úhel bude:

π - π /6 = 5π /6

Znovu si připomeneme přidání plných otáček a zapíšeme druhou sérii odpovědí:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To je vše. Úplná odpověď se skládá ze dvou řad kořenů:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Rovnice s tečnou a kotangens lze snadno řešit pomocí stejného obecného principu pro řešení goniometrických rovnic. Pokud ovšem nevíte, jak nakreslit tečnu a kotangens na trigonometrické kružnici.

Ve výše uvedených příkladech jsem použil tabulkovou hodnotu sinus a kosinus: 0,5. Tito. jeden z těch významů, které student zná musí. Nyní rozšíříme naše schopnosti na všechny ostatní hodnoty. Rozhodněte se, tak se rozhodněte!)

Řekněme tedy, že potřebujeme vyřešit následující trigonometrickou rovnici:

Tato kosinová hodnota v souhrnné tabulky Ne. Chladně ignorujeme tuto hroznou skutečnost. Nakreslíme kružnici, označíme 2/3 na ose kosinus a nakreslíme odpovídající úhly. Dostáváme tento obrázek.

Pro začátek si rozumíme s úhlem v prvním čtvrtletí. Aby věděli, čemu se x rovná, odpověď by si hned zapsali! Nevíme... Selhání!? Uklidnit! Matematika nenechává své vlastní v potížích! Pro tento případ vymyslela obloukové kosiny. Nevím? Nadarmo. Zjistěte, je to mnohem jednodušší, než si myslíte. Podle tohoto odkazu neexistuje jediné záludné zaklínadlo o "inverzních goniometrických funkcích" ... V tomto tématu je to nadbytečné.

Pokud víte, řekněte si: "X je úhel, jehož kosinus je 2/3." A hned, čistě podle definice arkosinusu, můžeme napsat:

Vzpomeneme si na další otáčky a klidně si zapíšeme první řadu kořenů naší goniometrické rovnice:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Druhá řada odmocnin se také zapisuje téměř automaticky, pro druhý úhel. Vše je stejné, pouze x (arccos 2/3) bude s mínusem:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

A všechny věci! Toto je správná odpověď. Ještě jednodušší než s tabulkovými hodnotami. Nemusíte si nic pamatovat.) Mimochodem, ti nejpozornější si všimnou, že tento obrázek s řešením přes arkus kosinus se v podstatě neliší od obrázku pro rovnici cosx = 0,5.

Přesně tak! Obecná zásada na tom a obecně! Konkrétně jsem nakreslil dva téměř stejné obrázky. Kruh nám ukazuje úhel X svým kosinusem. Je to tabulkový kosinus, nebo ne - kruh nezná. O jaký druh úhlu se jedná, π / 3, nebo jaký druh arkosinusu se rozhodneme my.

Se sinem stejná píseň. Například:

Opět nakreslíme kruh, označíme sinus rovný 1/3, nakreslíme rohy. Ukazuje se tento obrázek:

A opět je obrázek téměř stejný jako u rovnice sinx = 0,5. Opět začínáme v první čtvrtině z rohu. Čemu se rovná x, je-li jeho sinus 1/3? Žádný problém!

Takže první balíček kořenů je připraven:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Pojďme se podívat na druhý úhel. V příkladu s hodnotou tabulky 0,5 se rovnalo:

π - x

Tak tady to bude úplně stejné! Pouze x je jiné, arcsin 1/3. No a co!? Druhý balíček kořenů můžete bezpečně napsat:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Toto je zcela správná odpověď. I když to nevypadá moc povědomě. Ale je to srozumitelné, doufám.)

Takto se řeší goniometrické rovnice pomocí kruhu. Tato cesta je jasná a srozumitelná. Právě on šetří v goniometrických rovnicích s výběrem kořenů na daném intervalu, v goniometrických nerovnicích - ty se obecně řeší téměř vždy v kruhu. Zkrátka v jakýchkoliv úlohách, které jsou trochu složitější než standardní.

Uvádět znalosti do praxe?

Řešte goniometrické rovnice:

Zpočátku je to jednodušší, přímo na této lekci.

Teď je to složitější.

Nápověda: zde musíte myslet na kruh. Osobně.)

A nyní navenek nenáročné ... Říká se jim také speciální případy.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tip: Zde musíte v kruhu zjistit, kde jsou dvě řady odpovědí a kde jedna ... A jak zapsat jednu místo dvou sérií odpovědí. Ano, aby se neztratil ani jeden kořen z nekonečného počtu!)

No, docela jednoduché):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Nápověda: zde musíte vědět, co je arcsinus, arckosinus? Co je arkus tangens, arkus tangens? Nejjednodušší definice. Nemusíte si ale pamatovat žádné tabulkové hodnoty!)

Odpovědi jsou samozřejmě v nepořádku):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Ne všechno se daří? Se děje. Přečtěte si lekci znovu. Pouze promyšleně(je tam takové zastaralé slovo...) A sledujte odkazy. Hlavní odkazy jsou o kruhu. Bez toho v trigonometrii - jak přejít silnici se zavázanýma očima. Někdy to funguje.)

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Video kurz "Get an A" obsahuje všechna témata nezbytná pro úspěch složení zkoušky v matematice za 60-65 bodů. Úplně všechny úkoly 1-13 profilová zkouška matematika. Vhodné také pro absolvování Základního USE v matematice. Pokud chcete zkoušku složit s 90-100 body, je potřeba vyřešit 1. část za 30 minut a bezchybně!

Přípravný kurz na zkoušku pro ročníky 10-11 i pro učitele. Vše, co potřebujete k vyřešení 1. části zkoušky z matematiky (prvních 12 úloh) a úlohy 13 (trigonometrie). A to je na Jednotnou státní zkoušku více než 70 bodů a bez nich se neobejde ani stobodový student, ani humanista.

Všechny potřebné teorie. Rychlé způsobyřešení, pasti a tajemství zkoušky. Byly analyzovány všechny relevantní úkoly části 1 z úkolů Bank of FIPI. Kurz plně vyhovuje požadavkům USE-2018.

Kurz obsahuje 5 velkých témat, každé 2,5 hodiny. Každé téma je podáno od začátku, jednoduše a jasně.

Stovky zkouškových úkolů. Textové úlohy a teorie pravděpodobnosti. Jednoduché a snadno zapamatovatelné algoritmy řešení problémů. Geometrie. Teorie, referenční materiál, analýza všech typů USE úloh. Stereometrie. Záludná řešení, užitečné cheat sheets, vývoj prostorová představivost. Trigonometrie od nuly - k úkolu 13. Porozumění místo nacpávání. Vizuální vysvětlení složitých pojmů. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkce a derivace. Základ pro řešení náročné úkoly 2 části zkoušky.

Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na stránce, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, adresy E-mailem atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Shromážděno námi osobní informace nám umožňuje kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a připravovaných akcích.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• V případě, že je nutné - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace - zveřejnit Vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud rozhodneme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné účely veřejného zájmu.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.

Lekce a prezentace na téma: "Řešení nejjednodušších goniometrických rovnic"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, zpětnou vazbu, návrhy! Všechny materiály jsou kontrolovány antivirovým programem.

Manuály a simulátory v internetovém obchodě "Integral" pro stupeň 10 od 1C
Řešíme úlohy v geometrii. Interaktivní úlohy pro stavbu ve vesmíru
Softwarové prostředí "1C: Matematický konstruktor 6.1"

Co budeme studovat:
1. Co jsou goniometrické rovnice?

3. Dvě hlavní metody řešení goniometrických rovnic.
4. Homogenní goniometrické rovnice.
5. Příklady.

Co jsou goniometrické rovnice?

Kluci, už jsme studovali arkussinus, arkussinus, arktangens a arkotangens. Nyní se podíváme na goniometrické rovnice obecně.

Goniometrické rovnice - rovnice, ve kterých je proměnná obsažena pod znaménkem goniometrické funkce.

Zopakujeme formu řešení nejjednodušších goniometrických rovnic:

1) Jestliže |а|≤ 1, pak rovnice cos(x) = a má řešení:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jestliže |а|≤ 1, pak rovnice sin(x) = a má řešení:

3) Pokud |a| > 1, pak rovnice sin(x) = a a cos(x) = a nemají řešení 4) Rovnice tg(x)=a má řešení: x=arctg(a)+ πk

5) Rovnice ctg(x)=a má řešení: x=arcctg(a)+ πk

Pro všechny vzorce je k celé číslo

Nejjednodušší goniometrické rovnice mají tvar: Т(kx+m)=a, T- libovolná goniometrická funkce.

Příklad.

Řešte rovnice: a) sin(3x)= √3/2

Řešení:

A) Označme 3x=t, pak naši rovnici přepíšeme do tvaru:

Řešení této rovnice bude: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Z tabulky hodnot dostaneme: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vraťme se k naší proměnné: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Potom x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odpověď: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kde n je celé číslo. (-1)^n - mínus jedna na mocninu n.

Další příklady goniometrických rovnic.

Řešte rovnice: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Řešení:

A) Tentokrát přejdeme rovnou k výpočtu kořenů rovnice:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Potom x/5= πk => x=5πk

Odpověď: x=5πk, kde k je celé číslo.

B) Píšeme ve tvaru: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Víme, že: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odpověď: x=2π/9 + πk/3, kde k je celé číslo.

Řešte rovnice: cos(4x)= √2/2. A najděte všechny kořeny v segmentu.

Řešení:

Rozhodneme se v obecný pohled naše rovnice: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Nyní se podívejme, jaké kořeny padají na náš segment. Pro k Pro k=0, x= π/16 jsme v daném segmentu .
Při k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 se trefili znovu.
Pro k=2 platí x= π/16+ π=17π/16, ale zde jsme se netrefili, což znamená, že nezasáhneme ani pro velké k.

Odpověď: x= π/16, x= 9π/16

Dvě hlavní metody řešení.

Zvažovali jsme nejjednodušší goniometrické rovnice, ale existují i ​​složitější. K jejich řešení se používá metoda zavedení nové proměnné a metoda faktorizace. Podívejme se na příklady.

Pojďme řešit rovnici:

Řešení:
K vyřešení naší rovnice použijeme metodu zavedení nové proměnné, označované: t=tg(x).

V důsledku nahrazení dostaneme: t 2 + 2t -1 = 0

Pojďme najít kořeny kvadratická rovnice: t = -1 a t = 1/3

Pak tg(x)=-1 a tg(x)=1/3, dostali jsme nejjednodušší goniometrickou rovnici, pojďme najít její kořeny.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odpověď: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Příklad řešení rovnice

Řešte rovnice: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Řešení:

Použijme identitu: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naše rovnice zní: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Zaveďme náhradu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Řešením naší kvadratické rovnice jsou kořeny: t=2 a t=-1/2

Pak cos(x)=2 a cos(x)=-1/2.

Protože cosinus nemůže nabývat hodnot větších než jedna, pak cos(x)=2 nemá kořeny.

Pro cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odpověď: x= ±2π/3 + 2πk

Homogenní goniometrické rovnice.

Definice: Rovnice ve tvaru a sin(x)+b cos(x) se nazývá homogenní goniometrické rovnice prvního stupně.

Rovnice formuláře

homogenní goniometrické rovnice druhého stupně.

Abychom vyřešili homogenní goniometrickou rovnici prvního stupně, vydělíme ji cos(x): Není možné dělit kosinusem, pokud se rovná nule, přesvědčme se, že tomu tak není:
Nechť cos(x)=0, pak asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale sinus a kosinus se nerovnají nule zároveň, dostali jsme rozpor, takže můžeme klidně dělit nulou.

Řešte rovnici:
Příklad: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Řešení:

Vyjměte společný faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Pak musíme vyřešit dvě rovnice:

cos(x)=0 a cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pro x= π/2 + πk;

Uvažujme rovnici cos(x)+sin(x)=0 Vydělte naši rovnici cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odpověď: x= π/2 + πk a x= -π/4+πk

Jak řešit homogenní goniometrické rovnice druhého stupně?
Kluci, vždy se držte těchto pravidel!

1. Podívejte se, čemu se rovná koeficient a, pokud a \u003d 0, pak naše rovnice bude mít tvar cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), příklad řešení je na předchozí skluzavka

2. Je-li a≠0, pak musíte obě části rovnice vydělit druhou mocninou kosinusu, dostaneme:

Provedeme změnu proměnné t=tg(x), dostaneme rovnici:

Vyřešte příklad č.:3

Řešte rovnici:
Řešení:

Vydělte obě strany rovnice kosinovou druhou mocninou:

Provedeme změnu proměnné t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Najděte kořeny kvadratické rovnice: t=-3 a t=1

Potom: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odpověď: x=-arctg(3) + πk a x= π/4+ πk

Vyřešte příklad č.:4

Řešte rovnici:

Řešení:
Změňme svůj výraz:

Můžeme řešit takové rovnice: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Odpověď: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Vyřešte příklad č.:5

Řešte rovnici:

Řešení:
Změňme svůj výraz:

Zavedeme náhradu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Řešením naší kvadratické rovnice budou kořeny: t=-2 a t=1/2

Pak dostaneme: tg(2x)=-2 a tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odpověď: x=-arctg(2)/2 + πk/2 a x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Úkoly pro samostatné řešení.

1) Řešte rovnici

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Řešte rovnice: sin(3x)= √3/2. A najděte všechny kořeny na segmentu [π/2; π].

3) Řešte rovnici: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Řešte rovnici: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Řešte rovnici: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Řešte rovnici: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)