Nechte funkci y = F(X) je definován na intervalu [ A, b ], A < b. Proveďme následující operace:

1) rozdělit [ A, b] bodů A = X 0 < X 1 < ... < X i- 1 < X i < ... < X n = b na n dílčí segmenty [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X i- 1 , X i ], ..., [X n- 1 , X n ];

2) v každém z dílčích segmentů [ X i- 1 , X i ], i = 1, 2, ... n, vyberte libovolný bod a vypočítejte hodnotu funkce v tomto bodě: F(z i ) ;

3) najít díla F(z i ) · Δ X i , kde je délka dílčího segmentu [ X i- 1 , X i ], i = 1, 2, ... n;

4) skládat integrální součet funkcí y = F(X) na segmentu [ A, b ]:

Z geometrického hlediska je tento součet σ součtem ploch obdélníků, jejichž základnami jsou dílčí úsečky [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X i- 1 , X i ], ..., [X n- 1 , X n ], a výšky jsou F(z 1 ) , F(z 2 ), ..., F(z n) respektive (obr. 1). Označit podle λ délka největšího dílčího segmentu:

5) najděte limitu integrálního součtu kdy λ → 0.

Definice. Pokud existuje konečná limita integrálního součtu (1) a nezávisí na způsobu rozdělení segmentu [ A, b] do dílčích segmentů, ani z výběru bodů z i v nich se pak tato limita nazývá určitý integrál z funkce y = F(X) na segmentu [ A, b] a označené

Tím pádem,

V tomto případě funkce F(X) je nazýván integrovatelný dne [ A, b]. Čísla A A b se nazývají dolní a horní hranice integrace, resp. F(X) je integrand, F(X ) dx- integrand, X– integrační proměnná; úsečka [ A, b] se nazývá interval integrace.

Věta 1. Pokud je funkce y = F(X) je spojitý na intervalu [ A, b], pak je integrovatelný na tento interval.

Určitý integrál se stejnými limity integrace je roven nule:

Li A > b, pak podle definice nastavíme

2. Geometrický význam určitého integrálu

Nechte na intervalu [ A, b] spojitá nezáporná funkce y = F(X ) . Křivočarý lichoběžník se nazývá obrazec ohraničený shora grafem funkce y = F(X), zespodu - osou Ox, doleva a doprava - rovnými čarami x = a A x = b(obr. 2).

Určitý integrál nezáporné funkce y = F(X) z geometrického hlediska rovná ploše křivočarý lichoběžník ohraničený shora grafem funkce y = F(X), vlevo a vpravo - po úsecích x = a A x = b, zespodu - segmentem osy Ox.

3. Základní vlastnosti určitého integrálu

1. Význam určitý integrál nezávisí na zápisu integrační proměnné:

2. Ze znaménka určitého integrálu lze vyjmout konstantní faktor:

3. Určitý integrál algebraického součtu dvou funkcí se rovná algebraickému součtu určitých integrálů těchto funkcí:

4.if funkce y = F(X) je integrovatelný na [ A, b] A A < b < C, Že

5. (věta o střední hodnotě). Pokud je funkce y = F(X) je spojitý na intervalu [ A, b], pak na tomto segmentu existuje bod takový, že

4. Newtonův–Leibnizův vzorec

Věta 2. Pokud je funkce y = F(X) je spojitý na intervalu [ A, b] A F(X) je některý z jeho primitivních derivátů v tomto segmentu, pak platí následující vzorec:

který se nazývá Newtonův-Leibnizův vzorec. Rozdíl F(b) - F(A) se píše takto:

kde se znak nazývá dvojitý zástupný znak.

Vzorec (2) tedy může být zapsán jako:

Příklad 1 Vypočítat integrál

Řešení. Pro integrand F(X ) = X 2 má tvar libovolný primitivní prvek

Protože v Newtonově-Leibnizově vzorci lze použít jakýkoli primitivní prvek, k výpočtu integrálu použijeme primitivní prvek, který má nejjednodušší formu:

5. Změna proměnné v určitý integrál

Věta 3. Nechte funkci y = F(X) je spojitý na intervalu [ A, b]. Li:

1) funkce X = φ ( t) a jeho derivace φ "( t) jsou spojité pro ;

2) soubor funkčních hodnot X = φ ( t) pro je segment [ A, b ];

3) φ ( A) = A, φ ( b) = b, pak vzorec

který se nazývá změna vzorce proměnné v určitý integrál .

Na rozdíl od neurčitý integrál, v tomto případě není nezbytné vrátit se k původní integrační proměnné - stačí najít nové integrační limity α a β (k tomu je nutné pro proměnnou řešit t rovnice φ ( t) = A a φ ( t) = b).

Místo substituce X = φ ( t) můžete použít náhradu t = G(X). V tomto případě hledání nových limitů integrace s ohledem na proměnnou t zjednodušuje: α = G(A) , β = G(b) .

Příklad 2. Vypočítat integrál

Řešení. Zaveďme novou proměnnou podle vzorce . Umocněním obou stran rovnice dostaneme 1 + x= t 2 , kde x= t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Nacházíme nové limity integrace. K tomu dosadíme do vzorce staré limity x= 3 a x= 8. Dostaneme: , odkud t= 2 a a = 2; , kde t= 3 a β = 3. Takže,

Příklad 3 Vypočítat

Řešení. Nechat u=ln X, Pak , proti = X. Podle vzorce (4)

Tento článek podrobně pojednává o hlavních vlastnostech určitého integrálu. Jsou dokázány pomocí konceptu Riemannova a Darbouxova integrálu. Výpočet určitého integrálu projde díky 5 vlastnostem. Zbytek se používá k vyhodnocení různých výrazů.

Než přejdeme k hlavním vlastnostem určitého integrálu, je nutné se ujistit, že a nepřesahuje b .

Základní vlastnosti určitého integrálu

Definice 1

Funkce y \u003d f (x) , definovaná pro x \u003d a, je podobná spravedlivé rovnosti ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

Důkaz 1

Odtud vidíme, že hodnota integrálu se shodnými limitami je rovna nule. Toto je důsledek Riemannova integrálu, protože každý integrální součet σ pro libovolnou partici na intervalu [ a ; a ] a libovolný výběr bodů ζ i se rovná nule, protože x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , takže dostaneme, že limita integrálních funkcí je nulová.

Definice 2

Pro funkci integrovatelnou na segmentu [ a ; b ] , je splněna podmínka ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x.

Důkaz 2

Jinými slovy, pokud místy změníte horní a dolní hranici integrace, pak hodnota integrálu změní hodnotu na opačnou. Tato vlastnost je převzata z Riemannova integrálu. Číslování dělení segmentu však začíná od bodu x = b.

Definice 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x se používá pro integrovatelné funkce typu y = f (x) a y = g (x) definované na intervalu [ a ; b] .

Důkaz 3

Napište celočíselný součet funkce y = f (x) ± g (x) pro rozdělení na segmenty s danou volbou bodů ζ i: σ f ± σ g

kde σ f a σ g jsou celočíselné součty funkcí y = f (x) a y = g (x) pro rozdělení segmentu. Po přechodu na limitu při λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 dostaneme, že lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Z Riemannovy definice je tento výraz ekvivalentní.

Definice 4

Vyjmutí konstantního faktoru ze znaménka určitého integrálu. Integrovatelná funkce z intervalu [ a ; b ] s libovolnou hodnotou k má platnou nerovnost ve tvaru ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Důkaz 4

Důkaz vlastnosti určitého integrálu je podobný předchozímu:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ a b 0) k f ( x) d x = k ∫ a b f (x) d x

Definice 5

Je-li funkce ve tvaru y = f (x) integrovatelná na intervalu x s ​​a ∈ x , b ∈ x , dostáváme ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Důkaz 5

Vlastnost je považována za platnou pro c ∈ a ; b , pro c ≤ a a c ≥ b . Důkaz se provádí obdobně jako u předchozích vlastností.

Definice 6

Když má funkce schopnost být integrovatelná ze segmentu [ a ; b], pak je to možné pro jakýkoli vnitřní segment c; d ∈ a; b.

Důkaz 6

Důkaz je založen na vlastnosti Darboux: pokud jsou body přidány do existujícího oddílu segmentu, pak se spodní Darbouxův součet nesníží a horní se nezvýší.

Definice 7

Když je funkce integrovatelná na [ a ; b ] z f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 pro jakoukoli hodnotu x ∈ a ; b , pak dostaneme, že ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Vlastnost lze dokázat pomocí definice Riemannova integrálu: libovolný integrální součet pro libovolnou volbu dělicích bodů úsečky a bodů ζ i s podmínkou, že f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 je nezáporné.

Důkaz 7

Pokud jsou funkce y = f (x) a y = g (x) integrovatelné na segmentu [ a ; b ] , pak jsou následující nerovnosti považovány za platné:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Díky tvrzení víme, že integrace je přípustná. Tento důsledek bude použit při dokazování dalších vlastností.

Definice 8

Pro integrovatelnou funkci y = f (x) ze segmentu [ a ; b ] máme platnou nerovnost tvaru ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Důkaz 8

Platí, že - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Z předchozí vlastnosti jsme získali, že nerovnost lze integrovat člen po členu a odpovídá nerovnosti tvaru - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Tato dvojitá nerovnost může být zapsána v jiném tvaru: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Definice 9

Když jsou funkce y = f (x) a y = g (x) integrovány ze segmentu [ a ; b ] pro g (x) ≥ 0 pro libovolné x ∈ a ; b , získáme nerovnost tvaru m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x , kde m = m i n x ∈ a ; bf (x) a M = m a x x ∈ a; b f (x).

Důkaz 9

Důkaz se provádí podobným způsobem. M a m jsou považovány za největší a nejmenší hodnotu funkce y = f (x) , definovaná ze segmentu [ a ; b], pak m ≤ f (x) ≤ M . Dvojitou nerovnost je potřeba vynásobit funkcí y = g (x) , čímž získáme hodnotu dvojité nerovnosti tvaru m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) . Je nutné jej integrovat na segment [ a ; b ] , pak získáme tvrzení, které má být dokázáno.

Následek: Pro g (x) = 1 se nerovnost stane m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

První průměrný vzorec

Definice 10

Pro y = f (x) integrovatelné na intervalu [ a ; b ] s m = m i n x ∈ a ; bf (x) a M = m a x x ∈ a; b f (x) existuje číslo μ ∈ m ; M , což odpovídá ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Následek: Když je funkce y = f (x) spojitá ze segmentu [ a ; b ] , pak existuje takové číslo c ∈ a ; b , které splňuje rovnost ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

První vzorec průměrné hodnoty ve zobecněné podobě

Definice 11

Když jsou funkce y = f (x) a y = g (x) integrovatelné ze segmentu [ a ; b ] s m = m i n x ∈ a ; bf (x) a M = m a x x ∈ a; b f (x) ag (x) > 0 pro jakoukoli hodnotu x ∈ a; b. Máme tedy, že existuje číslo μ ∈ m ; M , což splňuje rovnost ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Druhý vzorec střední hodnoty

Definice 12

Když je funkce y = f (x) integrovatelná ze segmentu [ a ; b ] , a y = g (x) je monotónní, pak existuje číslo, které c ∈ a ; b , kde získáme spravedlivou rovnost tvaru ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Primitivní funkce a neurčitý integrál

Fakt 1. Integrace je opakem derivace, totiž obnovení funkce ze známé derivace této funkce. Funkce byla obnovena tímto způsobem F(X) je nazýván primitivní pro funkci F(X).

Definice 1. Funkce F(X F(X) v nějakém intervalu X, pokud pro všechny hodnoty X z tohoto intervalu rovnost F "(X)=F(X), tedy tuto funkci F(X) je derivace primitivní funkce F(X). .

Například funkce F(X) = hřích X je primitivní pro funkci F(X) = cos X na celé číselné ose, protože pro libovolnou hodnotu x (hřích X)" = (cos X) .

Definice 2. Neurčitý integrál funkce F(X) je souborem všech jeho primitivních derivátů. Toto používá notaci

∫

F(X)dx

,

kde je znamení ∫ se nazývá integrální znak, funkce F(X) je integrand a F(X)dx je integrand.

Pokud tedy F(X) je nějaký primitivní prvek pro F(X) , Že

∫

F(X)dx = F(X) +C

Kde C - libovolná konstanta (konstanta).

Pro pochopení významu množiny primitivních funkcí funkce jako neurčitého integrálu je vhodná následující analogie. Nechť jsou dveře (tradiční dřevěné dveře). Jeho funkcí je „být dveřmi“. Z čeho jsou dveře vyrobeny? Ze stromu. To znamená, že množinou primitivních derivátů integrandu „být dveřmi“, tedy jeho neurčitým integrálem, je funkce „být stromem + C“, kde C je konstanta, což v tomto kontextu může označovat např. druh stromu. Stejně jako jsou dveře vyrobeny ze dřeva pomocí některých nástrojů, derivace funkce je „vyrobena“ z primitivní funkce pomocí vzorec, který jsme se naučili studiem derivace .

Pak je tabulka funkcí běžných objektů a jim odpovídajících primitiv ("být dveřmi" - "být stromem", "být lžící" - "být kovem" atd.) podobná tabulce základních neurčitých integrálů, která bude uvedena níže. Tabulka neurčitých integrálů uvádí běžné funkce s uvedením primitivních funkcí, ze kterých jsou tyto funkce „vyrobeny“. V rámci problémů hledání neurčitého integrálu jsou uvedeny takové integrandy, které lze integrovat přímo bez zvláštního úsilí, tedy podle tabulky neurčitých integrálů. Ve složitějších problémech je třeba integrand nejprve transformovat, aby bylo možné použít tabulkové integrály.

Fakt 2. Obnovení funkce jako primitivní funkce, musíme vzít v úvahu libovolnou konstantu (konstantu) C, a abyste nepsali seznam primitivních prvků s různými konstantami od 1 do nekonečna, musíte si zapsat sadu primitivních prvků s libovolnou konstantou C, takhle: 5 X³+C. Takže libovolná konstanta (konstanta) je zahrnuta ve výrazu primitivní funkce, protože primitivní může být funkce, například 5 X³+4 nebo 5 X³+3 a při diferenciaci 4 nebo 3 nebo jakákoli jiná konstanta zmizí.

Nastavíme integrační problém: pro danou funkci F(X) najít takovou funkci F(X), jehož derivát je rovný F(X).

Příklad 1 Najděte množinu primitivních funkcí funkce

Řešení. Pro tuto funkci je primitivním prvkem funkce

Funkce F(X) se nazývá primitivní funkce F(X), pokud je derivát F(X) je rovný F(X), nebo, což je totéž, diferenciál F(X) je rovný F(X) dx, tj.

(2)

Funkce je tedy primitivní pro funkci . Není to však jediný primitivní nástroj pro . Jsou to také funkce

Kde S je libovolná konstanta. To lze ověřit diferenciací.

Existuje-li tedy jedna primitivní funkce pro funkci, pak pro ni existuje nekonečná množina primitivních funkcí, které se liší konstantním součtem. Všechny primitivní funkce pro funkci jsou zapsány ve výše uvedeném tvaru. To vyplývá z následující věty.

Věta (formální konstatování skutečnosti 2). Li F(X) je primitivním prvkem funkce F(X) v nějakém intervalu X, pak jakýkoli jiný primát pro F(X) na stejném intervalu může být reprezentováno jako F(X) + C, Kde S je libovolná konstanta.

V následujícím příkladu se již obracíme k tabulce integrálů, která bude uvedena v odstavci 3, za vlastnostmi neurčitého integrálu. Děláme to předtím, než se seznámíme s celou tabulkou, aby byla jasná podstata výše uvedeného. A po tabulce a vlastnostech je při integraci použijeme celé.

Příklad 2 Najděte sady primitivních derivátů:

Řešení. Najdeme množiny primitivních funkcí, ze kterých jsou tyto funkce „vyrobeny“. Při zmínce o vzorcích z tabulky integrálů se prozatím smiřte s tím, že takové vzorce existují, a tabulku neurčitých integrálů prostudujeme v plném rozsahu o něco dále.

1) Použití vzorce (7) z tabulky integrálů pro n= 3, dostáváme

2) Pomocí vzorce (10) z tabulky integrálů pro n= 1/3, máme

3) Od té doby

potom podle vzorce (7) at n= -1/4 nálezu

Pod znaménko integrálu nezapisují samotnou funkci F a jeho součin diferenciálem dx. To se provádí primárně za účelem označení proměnné, kterou primitivní prvek hledá. Například,

, ;

zde je v obou případech integrand roven , ale jeho neurčité integrály se v uvažovaných případech ukážou být odlišné. V prvním případě je tato funkce považována za funkci proměnné X, a ve druhém - jako funkce z .

Proces hledání neurčitého integrálu funkce se nazývá integrace této funkce.

Geometrický význam neurčitého integrálu

Nechť je požadováno najít křivku y=F(x) a už víme, že tečna sklonu tečny v každém jejím bodě je danou funkci f(x)úsečka tohoto bodu.

Podle geometrického významu derivace tangens sklonu tečny v daném bodě křivky y=F(x) rovna hodnotě derivátu F"(x). Musíme tedy takovou funkci najít F(x), pro který F"(x)=f(x). Požadovaná funkce v úloze F(x) je odvozeno z f(x). Podmínku problému neplní jedna křivka, ale rodina křivek. y=F(x)- jednu z těchto křivek a jakoukoli jinou křivku z ní lze získat paralelním posunem podél osy Oj.

Nazvěme graf primitivní funkce f(x) integrální křivka. Li F"(x)=f(x), pak graf funkce y=F(x) je integrální křivka.

Fakt 3. Neurčitý integrál je geometricky reprezentován rodinou všech integrálních křivek jako na obrázku níže. Vzdálenost každé křivky od počátku je určena libovolnou konstantou (konstantou) integrace C.

Vlastnosti neurčitého integrálu

Fakt 4. Věta 1. Derivace neurčitého integrálu je rovna integrandu a jeho diferenciál je roven integrandu.

Fakt 5. Věta 2. Neurčitý integrál diferenciálu funkce F(X) se rovná funkci F(X) až do konstantního období , tj.

(3)

Věty 1 a 2 ukazují, že diferenciace a integrace jsou vzájemně inverzní operace.

Fakt 6. Věta 3. Konstantní faktor v integrandu lze vyjmout ze znaménka neurčitého integrálu , tj.

Tyto vlastnosti se používají k provedení transformací integrálu za účelem jeho převedení na některý z elementárních integrálů a dalšího výpočtu.

1. Derivace neurčitého integrálu se rovná integrandu:

2. Diferenciál neurčitého integrálu je roven integrandu:

3. Neurčitý integrál diferenciálu nějaké funkce se rovná součtu této funkce a libovolné konstanty:

4. Z integrálního znaménka lze vyjmout konstantní faktor:

Navíc a ≠ 0

5. Integrál součtu (rozdílu) se rovná součtu (rozdílu) integrálů:

6. Vlastnost je kombinací vlastností 4 a 5:

Navíc a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Vlastnost invariance neurčitého integrálu:

Pokud, pak

8. Vlastnost:

Pokud, pak

Tato vlastnost je ve skutečnosti speciálním případem integrace pomocí metody změny proměnné, která je podrobněji popsána v další části.

Zvažte příklad:

Nejprve jsme použili vlastnost 5, pak vlastnost 4, pak jsme použili tabulku primitivních derivátů a dostali výsledek.

Algoritmus naší online integrální kalkulačky podporuje všechny výše uvedené vlastnosti a snadno najde podrobné řešení pro váš integrál.

Tyto vlastnosti se používají k provedení transformací integrálu za účelem jeho převedení na některý z elementárních integrálů a dalšího výpočtu.

1. Derivace neurčitého integrálu se rovná integrandu:

2. Diferenciál neurčitého integrálu je roven integrandu:

3. Neurčitý integrál diferenciálu nějaké funkce se rovná součtu této funkce a libovolné konstanty:

4. Z integrálního znaménka lze vyjmout konstantní faktor:

Navíc a ≠ 0

5. Integrál součtu (rozdílu) se rovná součtu (rozdílu) integrálů:

6. Vlastnost je kombinací vlastností 4 a 5:

Navíc a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Vlastnost invariance neurčitého integrálu:

Pokud, pak

8. Vlastnost:

Pokud, pak

Tato vlastnost je ve skutečnosti speciálním případem integrace pomocí metody změny proměnné, která je podrobněji popsána v další části.

Zvažte příklad:

Nejprve jsme použili vlastnost 5, pak vlastnost 4, pak jsme použili tabulku primitivních derivátů a dostali výsledek.

Algoritmus naší online integrální kalkulačky podporuje všechny výše uvedené vlastnosti a snadno najde podrobné řešení pro váš integrál.