I. Objemy rotačních těles. Předběžná studie podle učebnice G. M. Fikhtengolts kapitola XII, p ° p ° 197, 198 * Podrobně analyzujte příklady uvedené na p ° 198.

508. Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací elipsy kolem osy x.

Tím pádem,

530. Najděte plochu povrchu vytvořenou rotací kolem osy Ox oblouku sinusoidy y \u003d sin x z bodu X \u003d 0 do bodu X \u003d It.

531. Vypočítejte povrch kužele s výškou h a poloměrem r.

532. Vypočítejte povrch tvořený

rotace astroidu x3 -) - y* - a3 kolem osy x.

533. Vypočítejte plochu povrchu vytvořenou inverzí smyčky křivky 18 y-x(6-x)r kolem osy x.

534. Najděte povrch torusu vzniklého rotací kružnice X2 - j - (y-3)2 = 4 kolem osy x.

535. Vypočítejte plochu povrchu vytvořenou rotací kruhu X = a cost, y = asint kolem osy Ox.

536. Vypočítejte plochu povrchu vytvořenou rotací smyčky křivky x = 9t2, y = St - 9t3 kolem osy Ox.

537. Najděte plochu povrchu vytvořenou rotací oblouku křivky x = e * sint, y = el cost kolem osy Ox

od t = 0 do t = -.

538. Ukažte, že plocha vzniklá rotací oblouku cykloidy x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) kolem osy Oy je rovna 16 u2 o2.

539. Najděte povrch získaný rotací kardioidy kolem polární osy.

540. Najděte plochu povrchu vytvořenou rotací lemniskátu kolem polární osy.

Další úkoly pro kapitolu IV

Plochy rovinných obrazců

541. Najděte celou oblast oblasti ohraničenou křivkou A osa Oh.

542. Najděte oblast oblasti ohraničené křivkou

A osa Oh.

543. Najděte část oblasti regionu umístěnou v prvním kvadrantu a ohraničenou křivkou

l souřadnicové osy.

544. Najděte oblast oblasti obsažené uvnitř

smyčky:

545. Najděte oblast oblasti ohraničenou jednou smyčkou křivky:

546. Najděte oblast oblasti uvnitř smyčky:

547. Najděte oblast oblasti ohraničené křivkou

A osa Oh.

548. Najděte oblast oblasti ohraničené křivkou

A osa Oh.

549. Najděte oblast regionu ohraničenou osou Oxr

rovné a zakřivené

Objem rotačního tělesa lze vypočítat podle vzorce:

Ve vzorci musí být před integrálem číslo. Prostě se to stalo – vše, co se v životě točí, je spojeno s touto konstantou.

Jak nastavit limity integrace „a“ a „být“, myslím, lze snadno uhodnout z dokončeného výkresu.

Funkce... co je to za funkci? Podívejme se na nákres. Plochý obrazec je shora ohraničen grafem paraboly. Toto je funkce, která je zahrnuta ve vzorci.

V praktických úlohách může být plochá postava někdy umístěna pod osou. To nic nemění - funkce ve vzorci je odmocněna: , tedy objem rotačního tělesa je vždy nezáporný, což je celkem logické.

Vypočítejte objem rotačního tělesa pomocí tento vzorec:

Jak jsem již poznamenal, integrál se téměř vždy ukáže jako jednoduchý, hlavní věcí je být opatrný.

Odpovědět:

V odpovědi je nutné uvést rozměr - kubické jednotky. To znamená, že v našem rotačním těle je přibližně 3,35 "kostky". Proč zrovna krychlový Jednotky? Protože nejuniverzálnější formulace. Mohou to být centimetry krychlové, mohou být Metry krychlové, možná kubické kilometry atd., tolik malých zelených mužíčků se vaše fantazie vejde do létajícího talíře.

Příklad 2

Najděte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy obrazce ohraničené úsečkami , ,

Toto je příklad pro nezávislé řešení. Kompletní řešení a odpověď na konci lekce.

Zvažte další dva náročné úkoly se kterými se v praxi často setkáváme.

Příklad 3

Vypočítejte objem tělesa získaného rotací kolem osy úsečky obrazce ohraničeného přímkami , , a

Řešení: Ukaž na výkresu plochá postava, ohraničené úsečkami , , , , aniž bychom zapomněli, že rovnice definuje osu:

Požadovaná postava je vystínována modře. Když se otáčí kolem osy, získá se taková neskutečná kobliha se čtyřmi rohy.

Objem rotačního tělesa se vypočítá jako rozdíl v objemu těla.

Nejprve se podívejme na postavu, která je zakroužkována červeně. Když se otáčí kolem osy, získá se komolý kužel. Označme objem tohoto komolého kužele jako .

Zvažte obrázek, který je zakroužkovaný v zeleném. Pokud tuto postavu otočíte kolem osy, získáte také komolý kužel, jen o něco menší. Označme jeho objem .

A je zřejmé, že rozdíl v objemech je přesně objemem naší „koblihy“.

Pro zjištění objemu rotačního tělesa používáme standardní vzorec:

1) Červeně zakroužkovaný obrazec je shora ohraničený přímkou, proto:

2) Zeleně zakroužkovaný obrazec je shora ohraničený přímkou, proto:

3) Objem požadovaného rotačního tělesa:

Odpovědět:

Je zvláštní, že v tomto případě lze řešení zkontrolovat pomocí školního vzorce pro výpočet objemu komolého kužele.

Samotné rozhodnutí je často kratší, asi takto:

Nyní si dáme pauzu a promluvme si o geometrických iluzích.

Lidé mají často se svazky spojené iluze, kterých si v knize všiml Perelman (není stejný). Zajímavá geometrie. Podívejte se na plochý obrazec v řešeném problému - zdá se, že má malou plochu a objem rotačního tělesa je něco málo přes 50 krychlových jednotek, což se zdá příliš velké. Mimochodem, průměrný člověk za celý život vypije tekutinu o objemu místnosti o ploše 18 metrů čtverečních, která se naopak zdá být příliš malá.

Obecně vzato byl vzdělávací systém v SSSR opravdu nejlepší. Stejná kniha od Perelmana, kterou napsal již v roce 1950, se velmi dobře rozvíjí, jak řekl humorista, uvažováním a učí vás hledat originální nestandardní řešení problémů. Nedávno jsem si s velkým zájmem znovu přečetl některé kapitoly, doporučuji, je to přístupné i pro humanitární pracovníky. Ne, nemusíte se usmívat, že jsem navrhl bespontovou zábavu, erudice a široký rozhled v komunikaci je skvělá věc.

Po lyrické odbočce je jen vhodné vyřešit kreativní úkol:

Příklad 4

Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy plochého útvaru ohraničeného přímkami , , kde .

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Vezměte prosím na vědomí, že všechny věci se dějí v pásmu, jinými slovy jsou dány téměř hotové integrační limity. Zkuste také správně nakreslit grafy. goniometrické funkce, pokud je argument dělitelný dvěma: , pak se grafy protáhnou podél osy dvakrát. Pokuste se najít alespoň 3-4 body podle trigonometrických tabulek a zpřesnit kresbu. Úplné řešení a odpověď na konci lekce. Mimochodem, úkol lze vyřešit racionálně a ne příliš racionálně.

Výpočet objemu tělesa vzniklého rotací
plochá postava kolem osy

Druhý odstavec bude ještě zajímavější než první. Úkol vypočítat objem rotačního tělesa kolem osy y je také poměrně častým hostem v kontrolní práce. Průběžně bude zváženo problém najít oblast obrázku druhý způsob - integrace podél osy, to vám umožní nejen zlepšit své dovednosti, ale také vás naučí, jak najít nejziskovější řešení. Má to i praktické smysl života! Jak s úsměvem vzpomínala moje učitelka metod výuky matematiky, mnozí absolventi jí děkovali slovy: „Váš předmět nám hodně pomohl, nyní jsme efektivní manažeři a své zaměstnance řídíme optimálně.“ Při této příležitosti jí také vyjadřuji své velké poděkování, zejména proto, že získané znalosti využívám k zamýšlenému účelu =).

Příklad 5

Je dána plochá postava ohraničená čarami , , .

1) Najděte plochu ploché postavy ohraničenou těmito čarami.
2) Najděte objem tělesa získaný otočením plochého obrazce ohraničeného těmito čarami kolem osy.

Pozornost! I když si chcete nejprve přečíst jen druhý odstavec Nezbytně přečtěte si první!

Řešení:Úkol se skládá ze dvou částí. Začněme náměstím.

1) Provedeme kresbu:

Je snadné vidět, že funkce definuje horní větev paraboly a funkce definuje spodní větev paraboly. Před námi je triviální parabola, která „leží na boku“.

Požadovaná postava, jejíž oblast se nachází, je zastíněna modře.

Jak zjistit plochu obrázku? Lze to najít "obvyklým" způsobem, který byl zvažován v lekci. Určitý integrál. Jak vypočítat plochu obrázku. Kromě toho se plocha obrázku zjistí jako součet oblastí:
- na segmentu ;
- na segmentu.

Proto:

Co je v tomto případě špatného na obvyklém řešení? Za prvé, existují dva integrály. Za druhé, odmocniny pod integrály a odmocniny v integrálech nejsou dar, navíc se člověk může zmást při dosazování hranic integrace. Ve skutečnosti integrály samozřejmě nejsou smrtelné, ale v praxi je vše mnohem smutnější, jen jsem si pro úkol vybral „lepší“ funkce.

Existuje racionálnější řešení: spočívá v přechodu na inverzní funkce a integrace podél osy.

Jak přejít na inverzní funkce? Zhruba řečeno, musíte vyjádřit "x" přes "y". Nejprve se vypořádejme s parabolou:

To stačí, ale ujistěte se, že stejnou funkci lze odvodit ze spodní větve:

S přímkou je vše jednodušší:

Nyní se podívejte na osu: pravidelně naklánějte hlavu o 90 stupňů doprava, jak vysvětlujete (toto není vtip!). Potřebný obrázek leží na segmentu, který je označen červenou tečkovanou čarou. Navíc na segmentu je přímka umístěna nad parabolou, což znamená, že oblast obrázku by měla být nalezena pomocí vzorce, který je vám již známý: . Co se ve formuli změnilo? Pouze dopis a nic víc.

! Poznámka: Měly by být nastaveny limity integrace podél osy striktně zdola nahoru!

Hledání oblasti:

Na segmentu tedy:

Věnujte pozornost tomu, jak jsem provedl integraci, je to nejracionálnější způsob a v dalším odstavci zadání bude jasné proč.

Pro čtenáře, kteří pochybují o správnosti integrace, najdu odvozeniny:

Získá se původní integrand, což znamená, že integrace je provedena správně.

Odpovědět:

2) Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací tohoto obrazce kolem osy.

Výkres překreslím do trochu jiného designu:

Modře vystínovaný obrázek se tedy otáčí kolem osy. Výsledkem je „vznášející se motýl“, který se otáčí kolem své osy.

Abychom našli objem rotačního tělesa, provedeme integraci podél osy. Nejprve musíme přejít k inverzním funkcím. To již bylo provedeno a podrobně popsáno v předchozím odstavci.

Nyní znovu nakloníme hlavu doprava a studujeme naši postavu. Je zřejmé, že objem rotačního tělesa by měl být nalezen jako rozdíl mezi objemy.

Červeně zakroužkovanou postavu otáčíme kolem osy, čímž vznikne komolý kužel. Označme tento svazek .

Zeleně zakroužkovaný obrazec otočíme kolem osy a označíme jej objemem výsledného rotačního tělesa.

Objem našeho motýla se rovná rozdílu objemů.

Pro zjištění objemu rotačního tělesa použijeme vzorec:

Jak se liší od vzorce z předchozího odstavce? Pouze v dopisech.

A tady je výhoda integrace, o které jsem mluvil před chvílí, je mnohem snazší ji najít než předvztyčený integrand do 4. stupně.

Odpovědět:

Nicméně nemocný motýl.

Všimněte si, že pokud se stejný plochý obrazec otáčí kolem osy, pak se ukáže úplně jiné rotační těleso s jiným, přirozeně, objemem.

Příklad 6

Daný plochý obrazec ohraničený čarami a osou.

1) Přejděte na inverzní funkce a najděte oblast ploché postavy ohraničenou těmito čarami integrací přes proměnnou .
2) Vypočítejte objem tělesa získaného otočením plochého útvaru ohraničeného těmito přímkami kolem osy.

Objem rotačního tělesa lze vypočítat podle vzorce:

Ve vzorci musí být před integrálem číslo. Prostě se to stalo – vše, co se v životě točí, je spojeno s touto konstantou.

Jak nastavit limity integrace „a“ a „být“, myslím, lze snadno uhodnout z dokončeného výkresu.

Funkce... co je to za funkci? Podívejme se na nákres. Plochý obrazec je ohraničen parabolickým grafem nahoře. Toto je funkce, která je zahrnuta ve vzorci.

V praktických úlohách může být plochá postava někdy umístěna pod osou. To nic nemění - integrand ve vzorci je odmocněn:, tedy integrál je vždy nezáporný , což je celkem logické.

Vypočítejte objem rotačního tělesa pomocí tohoto vzorce:

Jak jsem již poznamenal, integrál se téměř vždy ukáže jako jednoduchý, hlavní věcí je být opatrný.

Odpovědět:

V odpovědi je nutné uvést rozměr - kubické jednotky. To znamená, že v našem rotačním těle je přibližně 3,35 "kostky". Proč zrovna krychlový Jednotky? Protože nejuniverzálnější formulace. Mohou tam být kubické centimetry, mohou být kubické metry, mohou být kubické kilometry atd., tolik malých zelených mužíčků se vejde vaší fantazii do létajícího talíře.

Příklad 2

Najděte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy obrazce ohraničeného úsečkami,,

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Uvažujme dva složitější problémy, se kterými se v praxi také často setkáváme.

Příklad 3

Vypočítejte objem tělesa získaného rotací kolem osy úsečky obrazce ohraničeného přímkami ,, a

Řešení: Nakreslíme do výkresu plochý obrazec ohraničený čarami ,,,, přičemž nezapomeňme, že rovnice určuje osu:

Požadovaná postava je vystínována modře. Když se otáčí kolem osy, získá se taková neskutečná kobliha se čtyřmi rohy.

Objem rotačního tělesa se vypočítá jako rozdíl v objemu těla.

Nejprve se podívejme na postavu, která je zakroužkována červeně. Když se otáčí kolem osy, získá se komolý kužel. Označte objem tohoto komolého kužele.

Zvažte postavu, která je zakroužkována zeleně. Pokud tuto postavu otočíte kolem osy, získáte také komolý kužel, jen o něco menší. Označme jeho objem .

A je zřejmé, že rozdíl v objemech je přesně objemem naší „koblihy“.

Pro zjištění objemu rotačního tělesa používáme standardní vzorec:

1) Červeně zakroužkovaný obrazec je shora ohraničený přímkou, proto:

2) Zeleně zakroužkovaný obrazec je shora ohraničený přímkou, proto:

3) Objem požadovaného rotačního tělesa:

Odpovědět:

Je zvláštní, že v tomto případě lze řešení zkontrolovat pomocí školního vzorce pro výpočet objemu komolého kužele.

Samotné rozhodnutí je často kratší, asi takto:

Nyní si dáme pauzu a promluvme si o geometrických iluzích.

Lidé mají často se svazky spojené iluze, kterých si v knize všiml Perelman (další). Zajímavá geometrie. Podívejte se na plochý obrazec v řešeném problému - zdá se, že má malou plochu a objem rotačního tělesa je něco málo přes 50 krychlových jednotek, což se zdá příliš velké. Mimochodem, průměrný člověk za celý život vypije tekutinu o objemu místnosti 18 metrů čtverečních, což se mu naopak zdá příliš malý objem.

Obecně vzato byl vzdělávací systém v SSSR opravdu nejlepší. Stejná kniha od Perelmana, vydaná již v roce 1950, se velmi dobře rozvíjí, jak řekl humorista, uvažováním a učí vás hledat originální nestandardní řešení problémů. Nedávno jsem si s velkým zájmem znovu přečetl některé kapitoly, doporučuji, je to přístupné i pro humanitární pracovníky. Ne, nemusíte se usmívat, že jsem navrhl bespontovou zábavu, erudice a široký rozhled v komunikaci je skvělá věc.

Po lyrické odbočce je jen vhodné vyřešit kreativní úkol:

Příklad 4

Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy plochého útvaru ohraničeného přímkami,, kde.

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Všimněte si, že všechny věci se dějí v pásmu, jinými slovy, hotové integrační limity jsou ve skutečnosti dané. Správně nakreslete grafy goniometrických funkcí, připomenu vám látku z lekce o geometrické transformace grafů : pokud je argument dělitelný dvěma: , pak se grafy protáhnou podél osy dvakrát. Je žádoucí najít alespoň 3-4 body podle trigonometrických tabulek pro přesnější dokončení výkresu. Úplné řešení a odpověď na konci lekce. Mimochodem, úkol lze vyřešit racionálně a ne příliš racionálně.

Jak vypočítat objem rotačního tělesa
používáním určitý integrál?

Obecně existuje mnoho zajímavých aplikací v integrálním počtu, pomocí určitého integrálu můžete vypočítat plochu obrázku, objem rotačního tělesa, délku oblouku, plochu brotace a mnoho dalšího. Tak to bude legrace, buďte prosím optimističtí!

Představte si nějakou postavu v letadle souřadnicová rovina. zastoupený? ... zajímalo by mě, kdo co prezentoval ... =))) Už jsme našli jeho areál. Ale kromě toho lze toto číslo také otáčet a otáčet dvěma způsoby:

- kolem osy x;
- kolem osy y.

V tomto článku budou probrány oba případy. Zajímavý je především druhý způsob rotace, který působí největší potíže, ale ve skutečnosti je řešení téměř stejné jako u běžnější rotace kolem osy x. Jako bonus se vrátím k problém najít oblast obrázku, a řekne vám, jak najít oblast druhým způsobem - podél osy. Ani ne tak bonus, jako materiál dobře zapadá do tématu.

Začněme nejoblíbenějším typem rotace.

plochá postava kolem osy

Vypočítejte objem tělesa získaného otáčením obrazce ohraničeného přímkami kolem osy.

Řešení: Stejně jako v oblasti problému, řešení začíná kresbou ploché postavy. To znamená, že na rovině je nutné postavit obrazec ohraničený úsečkami , , přičemž se nezapomíná, že rovnice definuje osu . Jak udělat kresbu racionálněji a rychleji, najdete na stránkách Grafy a vlastnosti elementárních funkcí A . Toto je čínská připomínka a v tomto bodě nekončím.

Nákres je zde velmi jednoduchý:

Požadovaná plochá postava je vystínována modře a právě tato postava se otáčí kolem osy.V důsledku rotace se získá takový mírně vejčitý létající talíř, který je symetrický kolem osy. Ve skutečnosti má tělo matematický název, ale je příliš líné něco specifikovat v referenční knize, takže pokračujeme.

Jak vypočítat objem rotačního tělesa?

Objem rotačního tělesa lze vypočítat podle vzorce:

Ve vzorci musí být před integrálem číslo. Stalo se tak - vše, co se v životě točí, je spojeno s touto konstantou.

Jak nastavit limity integrace „a“ a „být“, myslím, lze snadno uhodnout z dokončeného výkresu.

Funkce... co je to za funkci? Podívejme se na nákres. Plochý obrazec je shora ohraničen grafem paraboly. Toto je funkce, která je zahrnuta ve vzorci.

V praktických úlohách může být plochá postava někdy umístěna pod osou. To nic nemění - integrand ve vzorci je na druhou: , tedy integrál je vždy nezáporný, což je celkem logické.

Vypočítejte objem rotačního tělesa pomocí tohoto vzorce:

Jak jsem již poznamenal, integrál se téměř vždy ukáže jako jednoduchý, hlavní věcí je být opatrný.

Odpovědět:

V odpovědi je nutné uvést rozměr - kubické jednotky. To znamená, že v našem rotačním těle je přibližně 3,35 "kostky". Proč zrovna krychlový Jednotky? Protože nejuniverzálnější formulace. Mohou tam být kubické centimetry, mohou být kubické metry, mohou být kubické kilometry atd., tolik malých zelených mužíčků se vejde vaší fantazii do létajícího talíře.

Najděte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy obrazce ohraničené úsečkami , ,

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Uvažujme dva složitější problémy, se kterými se v praxi také často setkáváme.

Vypočítejte objem tělesa získaného rotací kolem osy úsečky obrazce ohraničeného přímkami , , a

Řešení: Nakreslete do výkresu plochý obrazec ohraničený čarami , , , , přičemž nezapomeňte, že rovnice definuje osu:

Požadovaná postava je vystínována modře. Když se otáčí kolem osy, získá se taková neskutečná kobliha se čtyřmi rohy.

Objem rotačního tělesa se vypočítá jako rozdíl v objemu těla.

Nejprve se podívejme na postavu, která je zakroužkována červeně. Když se otáčí kolem osy, získá se komolý kužel. Označme objem tohoto komolého kužele jako .

Zvažte postavu, která je zakroužkována zeleně. Pokud tuto postavu otočíte kolem osy, získáte také komolý kužel, jen o něco menší. Označme jeho objem .

A je zřejmé, že rozdíl v objemech je přesně objemem naší "koblihy".

Pro zjištění objemu rotačního tělesa používáme standardní vzorec:

1) Červeně zakroužkovaný obrazec je shora ohraničený přímkou, proto:

2) Zeleně zakroužkovaný obrazec je shora ohraničený přímkou, proto:

3) Objem požadovaného rotačního tělesa:

Odpovědět:

Je zvláštní, že v tomto případě lze řešení zkontrolovat pomocí školního vzorce pro výpočet objemu komolého kužele.

Samotné rozhodnutí je často kratší, asi takto:

Nyní si dáme pauzu a promluvme si o geometrických iluzích.

Po lyrické odbočce je jen vhodné vyřešit kreativní úkol:

Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy plochého útvaru ohraničeného přímkami , , kde .

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Všimněte si, že všechny věci se dějí v pásmu, jinými slovy, hotové integrační limity jsou ve skutečnosti dané. Správně nakreslete grafy goniometrických funkcí, připomenu vám látku z lekce o geometrické transformace grafů: pokud je argument dělitelný dvěma: , pak se grafy protáhnou podél osy dvakrát. Je žádoucí najít alespoň 3-4 body podle trigonometrických tabulek pro přesnější dokončení výkresu. Úplné řešení a odpověď na konci lekce. Mimochodem, úkol lze vyřešit racionálně a ne příliš racionálně.

Výpočet objemu tělesa vzniklého rotací
plochá postava kolem osy

Druhý odstavec bude ještě zajímavější než první. Poměrně častým návštěvníkem testů je také úkol vypočítat objem rotačního tělesa kolem osy y. Průběžně bude zváženo problém najít oblast obrázku druhý způsob - integrací podél osy vám to umožní nejen zlepšit své dovednosti, ale také vás naučí, jak najít nejziskovější řešení. Má to i praktický význam! Jak s úsměvem vzpomínala moje učitelka metod výuky matematiky, mnozí absolventi jí děkovali slovy: „Váš předmět nám hodně pomohl, nyní jsme efektivní manažeři a své zaměstnance řídíme optimálně.“ Při této příležitosti jí také vyjadřuji své velké poděkování, zejména proto, že získané znalosti využívám k zamýšlenému účelu =).

Doporučuji k přečtení všem, i úplným tupcům. Navíc asimilovaný materiál druhého odstavce bude neocenitelnou pomocí při výpočtu dvojných integrálů.

Je dána plochá postava ohraničená čarami , , .

1) Najděte plochu ploché postavy ohraničenou těmito čarami.
2) Najděte objem tělesa získaný otočením plochého obrazce ohraničeného těmito čarami kolem osy.

Pozornost! I když si chcete přečíst pouze druhý odstavec, určitě si přečtěte nejprve první!

Řešení: Úloha se skládá ze dvou částí. Začněme náměstím.

1) Provedeme kresbu:

Je snadné vidět, že funkce definuje horní větev paraboly a funkce definuje spodní větev paraboly. Před námi je triviální parabola, která „leží na boku“.

Požadovaná postava, jejíž oblast se nachází, je zastíněna modře.

Proto:

Existuje racionálnější řešení: spočívá v přechodu na inverzní funkce a integraci podél osy.

Jak přejít na inverzní funkce? Zhruba řečeno, musíte vyjádřit "x" přes "y". Nejprve se vypořádejme s parabolou:

To stačí, ale ujistěte se, že stejnou funkci lze odvodit ze spodní větve:

S přímkou je vše jednodušší:

! Poznámka: Měly by být nastaveny integrační limity podél osy striktně zdola nahoru!

Hledání oblasti:

Na segmentu tedy:

Věnujte pozornost tomu, jak jsem provedl integraci, je to nejracionálnější způsob a v dalším odstavci zadání bude jasné proč.

Pro čtenáře, kteří pochybují o správnosti integrace, najdu odvozeniny:

Získá se původní integrand, což znamená, že integrace je provedena správně.

Odpovědět:

2) Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací tohoto obrazce kolem osy.

Výkres překreslím do trochu jiného designu:

Modře vystínovaný obrázek se tedy otáčí kolem osy. Výsledkem je „vznášející se motýl“, který se otáčí kolem své osy.

Abychom našli objem rotačního tělesa, provedeme integraci podél osy. Nejprve musíme přejít k inverzním funkcím. To již bylo provedeno a podrobně popsáno v předchozím odstavci.

Nyní znovu nakloníme hlavu doprava a studujeme naši postavu. Je zřejmé, že objem rotačního tělesa by měl být nalezen jako rozdíl mezi objemy.

Červeně zakroužkovanou postavu otáčíme kolem osy, čímž vznikne komolý kužel. Označme tento svazek .

Zeleně zakroužkovaný obrazec otočíme kolem osy a označíme jej objemem výsledného rotačního tělesa.

Objem našeho motýla se rovná rozdílu objemů.

Pro zjištění objemu rotačního tělesa použijeme vzorec:

Jak se liší od vzorce z předchozího odstavce? Pouze v dopisech.

A tady je výhoda integrace, o které jsem mluvil před chvílí, je mnohem snazší ji najít než předběžně zvednout integrand na 4. mocninu.

Odpovědět:

Všimněte si, že pokud se stejný plochý obrazec otáčí kolem osy, pak se ukáže úplně jiné rotační těleso s jiným, přirozeně, objemem.

Daný plochý obrazec ohraničený čarami a osou.

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Ti, kteří si přejí, mohou také najít oblast postavy „obvyklým“ způsobem, čímž dokončí test podle bodu 1). Pokud ale, opakuji, otočíte plochou figuru kolem osy, tak dostanete úplně jiné rotační těleso s jiným objemem, mimochodem správnou odpověď (i pro ty, co rádi řeší).

Kompletní řešení dvou navržených bodů úkolu na konci lekce.

Jo, a nezapomeňte naklonit hlavu doprava, abyste pochopili rotační těla a v rámci integrace!

Chtěl jsem, už to bylo, článek dokončit, ale dnes přinesli zajímavý příklad právě pro zjištění objemu rotačního tělesa kolem osy y. Čerstvý:

Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy obrazce ohraničené křivkami a .

Řešení: Uděláme kresbu:

Cestou se seznamujeme s grafy některých dalších funkcí. To je tak zajímavý graf. dokonce funkce ….

Definice 3. Rotační těleso je těleso získané rotací plochého útvaru kolem osy, která útvar neprotíná a leží s ním ve stejné rovině.

Osa rotace může také protínat obrazec, pokud je osou symetrie obrazce.

Věta 2.
, osa
a přímkové segmenty
A

otáčí kolem osy
. Potom lze podle vzorce vypočítat objem výsledného rotačního tělesa

(2)

Důkaz. U takového těla je úsek s úsečkou je kruh o poloměru
, znamená
a vzorec (1) dává požadovaný výsledek.

Pokud je obrazec omezen grafy dvou spojitých funkcí
A
a úsečky
A
, navíc
A
, pak při rotaci kolem osy úsečky dostaneme těleso, jehož objem

Příklad 3 Vypočítejte objem torusu získaného rotací kružnice ohraničené kružnicí

kolem osy x.

R řešení. Zadaná kružnice je zespodu ohraničena grafem funkce
a výše -
. Rozdíl druhých mocnin těchto funkcí:

Požadovaný objem

(graf integrandu je horní půlkruh, takže integrál napsaný výše je plocha půlkruhu).

Příklad 4 Parabolický segment se základnou
, a výška , se točí kolem základny. Vypočítejte objem výsledného tělesa ("citron" od Cavalieriho).

R řešení. Umístěte parabolu, jak je znázorněno na obrázku. Pak jeho rovnice
, a
. Pojďme najít hodnotu parametru :
. Takže požadovaný objem:

Věta 3. Nechť křivočarý lichoběžník ohraničený grafem spojité nezáporné funkce
, osa
a přímkové segmenty
A
, navíc
, se otáčí kolem osy
. Potom lze objem výsledného rotačního tělesa zjistit ze vzorce

(3)

důkazní nápad. Rozdělení segmentu
tečky

, na části a nakreslete rovné čáry
. Celý lichoběžník se rozloží na pásy, které lze považovat přibližně za obdélníky se základnou
a výška
.

Válec vzniklý rotací takového obdélníku je rozříznut podél tvořící čáry a rozložen. Dostaneme „téměř“ rovnoběžnostěn s rozměry:
,
A
. Jeho objem
. Takže pro objem rotačního tělesa budeme mít přibližnou rovnost

Abychom získali přesnou rovnost, musíme přejít na limit at
. Výše napsaný součet je celočíselný součet funkce
, tedy v limitě získáme integrál ze vzorce (3). Věta byla prokázána.

Poznámka 1. Ve větách 2 a 3 podmínka
lze vynechat: vzorec (2) je obecně necitlivý na znaménko
a ve vzorci (3) to stačí
nahrazen
.

Příklad 5 Parabolický segment (základna
, výška ) se točí kolem výšky. Najděte objem výsledného tělesa.

Řešení. Uspořádejte parabolu, jak je znázorněno na obrázku. A ačkoli osa rotace protíná postavu, ona – osa – je osou symetrie. Proto je třeba vzít v úvahu pouze pravou polovinu segmentu. Parabolická rovnice
, a
, znamená
. Pro objem máme:

Poznámka 2. Pokud je křivočará hranice křivočarého lichoběžníku dána parametrickými rovnicemi
,
,
A
,
pak lze s náhradou použít vzorce (2) a (3). na
A
na
když se to změní t z
před .

Příklad 6 Obrazec je ohraničen prvním obloukem cykloidy
,
,
a na ose x. Najděte objem tělesa získaný otočením tohoto obrázku kolem: 1) osy
; 2) nápravy
.

Řešení. 1) Obecný vzorec
V našem případě:

2) Obecný vzorec
Pro naši postavu:

Doporučujeme studentům, aby provedli všechny výpočty sami.

Poznámka 3. Nechť křivočarý sektor ohraničený spojitou čarou
a paprsky
,

, se otáčí kolem polární osy. Objem výsledného tělesa lze vypočítat podle vzorce.

Příklad 7 Část postavy ohraničená kardioidou
, ležící mimo kruh
, se otáčí kolem polární osy. Najděte objem výsledného tělesa.

Řešení. Obě přímky, a tedy i číslo, které omezují, jsou symetrické kolem polární osy. Proto je nutné uvažovat pouze tu část, pro kterou
. Křivky se protínají v
A