Při studiu algebry v všeobecně vzdělávací škola(9. ročník) Jedním z důležitých témat je studium číselných posloupností, které zahrnují posloupnosti - geometrické a aritmetické. V tomto článku se budeme zabývat aritmetickým postupem a příklady s řešeními.

Co je to aritmetická progrese?

Abychom tomu porozuměli, je nutné uvést definici uvažovaného postupu a také uvést základní vzorce, které budou dále použity při řešení problémů.

Aritmetický neboli aritmetický je takový soubor uspořádaných racionálních čísel, jehož každý člen se od předchozího liší nějakou konstantní hodnotou. Tato hodnota se nazývá rozdíl. To znamená, že pokud znáte jakýkoli člen uspořádané řady čísel a rozdíl, můžete obnovit celý aritmetický postup.

Vezměme si příklad. Další posloupnost čísel bude aritmetická posloupnost: 4, 8, 12, 16, ..., protože rozdíl je v tomto případě 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ale množinu čísel 3, 5, 8, 12, 17 již nelze přiřadit uvažovanému typu progrese, protože rozdíl pro ni není konstantní hodnotou (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Důležité vzorce

Nyní uvádíme hlavní vzorce, které budou potřeba k řešení problémů pomocí aritmetický postup. Označme symbolem a n n-tý termín posloupnosti, kde n je celé číslo. Rozdíl je označen latinským písmenem d. Potom jsou pravdivé následující výrazy:

1. Pro určení hodnoty n-tého členu je vhodný vzorec: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Pro určení součtu prvních n členů: S n = (a n + a 1)*n/2.

Abychom pochopili všechny příklady aritmetického postupu s řešením v 9. ročníku, stačí si zapamatovat tyto dva vzorce, protože všechny problémy uvažovaného typu jsou postaveny na jejich použití. Také nezapomeňte, že progresní rozdíl je určen vzorcem: d = a n - a n-1 .

Příklad č. 1: Hledání neznámého člena

Uvádíme jednoduchý příklad aritmetické posloupnosti a vzorců, které je třeba použít k řešení.

Nechť je dána posloupnost 10, 8, 6, 4, ..., je třeba v ní najít pět členů.

Již z podmínek úlohy vyplývá, že jsou známy první 4 termíny. Pátý může být definován dvěma způsoby:

1. Nejprve spočítáme rozdíl. Máme: d = 8 - 10 = -2. Podobně by bylo možné vzít jakékoli dva další pojmy stojící vedle sebe. Například d = 4 - 6 = -2. Protože je známo, že d \u003d a n - a n-1, pak d \u003d a 5 - a 4, odkud dostaneme: a 5 \u003d a 4 + d. Dosadíme známé hodnoty: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Druhá metoda také vyžaduje znalost rozdílu dotyčné progrese, takže ji nejprve musíte určit, jak je uvedeno výše (d = -2). S vědomím, že první člen a 1 = 10, použijeme vzorec pro n číslo posloupnosti. Máme: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Dosazením n = 5 do posledního výrazu dostaneme: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Jak vidíte, obě řešení vedou ke stejnému výsledku. Všimněte si, že v tomto příkladu je rozdíl d progrese záporný. Takové posloupnosti se nazývají klesající, protože každý následující člen je menší než předchozí.

Příklad č. 2: rozdíl v postupu

Nyní si úlohu trochu zkomplikujeme, uveďme příklad, jak najít rozdíl aritmetické posloupnosti.

Je známo, že v nějaké algebraické posloupnosti je 1. člen roven 6 a 7. člen je roven 18. Je nutné najít rozdíl a obnovit tuto posloupnost na 7. člen.

K určení neznámého členu použijeme vzorec: a n = (n - 1) * d + a 1 . Dosadíme do něj známá data z podmínky, tedy čísla a 1 a a 7, máme: 18 \u003d 6 + 6 * d. Z tohoto výrazu snadno spočítáte rozdíl: d = (18 - 6) / 6 = 2. Tím byla zodpovězena první část úlohy.

Chcete-li obnovit posloupnost na 7. člen, měli byste použít definici algebraické posloupnosti, tj. a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d atd. V důsledku toho obnovíme celou sekvenci: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Příklad č. 3: Progrese

Pojďme si stav problému ještě více zkomplikovat. Nyní musíte odpovědět na otázku, jak najít aritmetickou progresi. Můžeme uvést následující příklad: jsou dána dvě čísla, například 4 a 5. Je třeba udělat algebraický postup, aby se mezi ně vešly další tři členy.

Než se pustíte do řešení tohoto problému, je nutné pochopit, jaké místo budou daná čísla v budoucím postupu zaujímat. Protože mezi nimi budou další tři termíny, pak 1 \u003d -4 a 5 \u003d 5. Jakmile to zjistíme, přistoupíme k úloze, která je podobná té předchozí. Opět pro n-tý termín použijeme vzorec, dostaneme: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Zde rozdíl není celočíselná hodnota, ale je to racionální číslo, takže vzorce pro algebraický postup zůstávají stejné.

Nyní přičteme nalezený rozdíl k 1 a obnovíme chybějící členy progrese. Dostaneme: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, která se shoduje s podmínkou problému

Příklad č. 4: První člen progrese

Pokračujeme v uvádění příkladů aritmetického postupu s řešením. Ve všech předchozích úlohách bylo známo první číslo algebraické posloupnosti. Nyní uvažujme problém jiného typu: nechť jsou dána dvě čísla, kde a 15 = 50 a a 43 = 37. Je třeba zjistit, od kterého čísla tato posloupnost začíná.

Dosud používané vzorce předpokládají znalost 1 a d. Ve stavu problému není o těchto číslech nic známo. Přesto si vypišme výrazy pro každý termín, o kterém máme informace: a 15 = a 1 + 14 * d a a 43 = a 1 + 42 * d. Dostali jsme dvě rovnice, ve kterých jsou 2 neznámé veličiny (a 1 a d). To znamená, že problém je redukován na řešení soustavy lineárních rovnic.

Zadaný systém se nejsnáze vyřeší, pokud v každé rovnici vyjádříte 1 a poté výsledné výrazy porovnáte. První rovnice: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druhá rovnice: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Porovnáním těchto výrazů dostaneme: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, odkud je rozdíl d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (jsou uvedeny pouze 3 desetinná místa).

Když znáte d, můžete pro 1 použít kterýkoli z výše uvedených 2 výrazů. Například nejprve: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Pokud jsou o výsledku pochybnosti, můžete si jej zkontrolovat, například určit 43. člen progrese, který je uveden v podmínce. Dostaneme: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Malá chyba je způsobena tím, že při výpočtech bylo použito zaokrouhlování na tisíciny.

Příklad č. 5: Součet

Nyní se podívejme na několik příkladů s řešeními pro součet aritmetické posloupnosti.

Nechť je dána číselná posloupnost následujícího tvaru: 1, 2, 3, 4, ...,. Jak vypočítat součet 100 těchto čísel?

Díky vývoji počítačová technologie tento problém můžete vyřešit, to znamená postupně sečíst všechna čísla, což počítač provede, jakmile osoba stiskne klávesu Enter. Problém však lze vyřešit myšlenkově, pokud si dáte pozor, že prezentovaná řada čísel je algebraická posloupnost a její rozdíl je 1. Aplikováním vzorce pro součet dostaneme: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Je zvláštní poznamenat, že tento problém se nazývá „gaussovský“, protože v začátek XVIII století to slavný Němec, ještě ve věku pouhých 10 let, dokázal v duchu vyřešit během pár vteřin. Chlapec neznal vzorec pro součet algebraické posloupnosti, ale všiml si, že když sečtete dvojice čísel umístěných na okrajích posloupnosti, dostanete vždy jeden výsledek, tedy 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a protože tyto součty budou přesně 50 (100 / 2), stačí k vynásobení 1 0.

Příklad č. 6: součet členů od n do m

Dalším typickým příkladem součtu aritmetické posloupnosti je následující: daná řada čísel: 3, 7, 11, 15, ..., musíte zjistit, jaký bude součet jejích členů od 8 do 14.

Problém se řeší dvěma způsoby. První z nich zahrnuje nalezení neznámých výrazů od 8 do 14 a jejich následné sečtení. Vzhledem k tomu, že existuje málo termínů, není tato metoda dostatečně pracná. Přesto se navrhuje řešit tento problém druhou metodou, která je univerzálnější.

Cílem je získat vzorec pro součet algebraické posloupnosti mezi členy m an n, kde n > m jsou celá čísla. Vypišme dva výrazy pro součet pro oba případy:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Protože n > m, je zřejmé, že součet 2 zahrnuje i první. Poslední závěr znamená, že pokud vezmeme rozdíl mezi těmito součty a přidáme k němu člen a m (v případě odečtení rozdílu od součtu S n), dostaneme potřebnou odpověď na problém. Máme: S mn \u003d Sn - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n * / 2 + a ). Do tohoto výrazu je nutné dosadit vzorce pro a n a a m. Pak dostaneme: s mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Výsledný vzorec je poněkud těžkopádný, nicméně součet S mn závisí pouze na n, m, a 1 a d. V našem případě a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Dosazením těchto čísel dostaneme: S mn = 301.

Jak je vidět z výše uvedených řešení, všechny úlohy vycházejí ze znalosti výrazu pro n-tý člen a vzorce pro součet množiny prvních členů. Než začnete některý z těchto problémů řešit, doporučuje se pozorně si přečíst podmínku, jasně pochopit, co chcete najít, a teprve poté přistoupit k řešení.

Dalším tipem je usilovat o jednoduchost, to znamená, že pokud můžete odpovědět na otázku bez použití složitých matematických výpočtů, musíte udělat právě to, protože v tomto případě je pravděpodobnost, že uděláte chybu, menší. Například v příkladu aritmetického postupu s řešením č. 6 bychom se mohli zastavit u vzorce S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m , a rozdělit obecný úkol na samostatné dílčí úkoly (v tomto případě nejprve najděte pojmy a n a a m).

Pokud existují pochybnosti o dosaženém výsledku, doporučuje se jej zkontrolovat, jak bylo provedeno v některých uvedených příkladech. Jak najít aritmetický postup, zjistil. Jakmile na to přijdete, není to tak těžké.

Ano, ano: aritmetický postup pro vás není hračka :)

Dobře, přátelé, pokud čtete tento text, pak mi vnitřní uzávěrový důkaz říká, že stále nevíte, co je aritmetická progrese, ale opravdu (ne, takhle: TÁÁÁÁÁÁÁÁ!) to chcete vědět. Nebudu vás proto mučit dlouhým představováním a hned se pustím do věci.

Na začátek pár příkladů. Zvažte několik sad čísel:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Co mají všechny tyto sady společného? Na první pohled nic. Ale ve skutečnosti tam něco je. A to: každý další prvek se liší od předchozího o stejné číslo.

Posuďte sami. První sada jsou jen po sobě jdoucí čísla, každé je více než to předchozí. Ve druhém případě je rozdíl mezi sousedními čísly již roven pěti, ale tento rozdíl je stále konstantní. Ve třetím případě existují kořeny obecně. Nicméně $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, zatímco $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tzn. v takovém případě se každý další prvek jednoduše zvýší o $\sqrt(2)$ (a nebojte se, že toto číslo je iracionální).

Takže: všechny takové posloupnosti se nazývají aritmetické posloupnosti. Uveďme přesnou definici:

Definice. Posloupnost čísel, ve kterých se každé další liší od předchozího přesně o stejnou hodnotu, se nazývá aritmetická posloupnost. Samotná částka, o kterou se čísla liší, se nazývá progresní rozdíl a označuje se nejčastěji písmenem $d$.

Zápis: $\left(((a)_(n)) \right)$ je samotný průběh, $d$ je jeho rozdíl.

A jen pár důležitých poznámek. Zaprvé se bere v úvahu pouze progrese spořádaný posloupnost čísel: je dovoleno je číst přísně v pořadí, v jakém jsou napsány – a nic jiného. Čísla nelze přeskupit ani vyměnit.

Za druhé, posloupnost samotná může být buď konečná, nebo nekonečná. Například množina (1; 2; 3) je zjevně konečná aritmetická posloupnost. Ale pokud napíšete něco jako (1; 2; 3; 4; ...) - to už je nekonečný postup. Elipsa za čtyřkou jakoby napovídá, že poměrně hodně čísel jde dále. Například nekonečně mnoho. :)

Rád bych také poznamenal, že progrese se zvyšují a snižují. Už jsme viděli ty rostoucí - stejná sada (1; 2; 3; 4; ...). Zde jsou příklady klesajících progresí:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Dobře, dobře: poslední příklad se může zdát příliš komplikovaný. Ale zbytek, myslím, chápeš. Proto zavádíme nové definice:

Definice. Aritmetický postup se nazývá:

1. rostoucí, pokud je každý další prvek větší než předchozí;
2. klesající, pokud je naopak každý následující prvek menší než předchozí.

Kromě toho existují tzv. „stacionární“ sekvence – skládají se ze stejného opakujícího se čísla. Například (3; 3; 3; ...).

Zbývá jen jedna otázka: jak rozlišit rostoucí progresi od klesající? Naštěstí zde vše závisí pouze na znaménku čísla $d$, tzn. rozdíly v postupu:

1. Jestliže $d \gt 0$, pak progrese roste;
2. Je-li $d \lt 0$, pak je progrese zjevně klesající;
3. Nakonec je tu případ $d=0$ — v tomto případě je celý postup redukován na stacionární posloupnost identických čísel: (1; 1; 1; 1; ...) atd.

Zkusme vypočítat rozdíl $d$ pro tři klesající průběhy výše. K tomu stačí vzít libovolné dva sousední prvky (například první a druhý) a odečíst od čísla vpravo číslo vlevo. Bude to vypadat takto:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Jak vidíte, ve všech třech případech se rozdíl skutečně ukázal jako negativní. A teď, když už jsme víceméně přišli na definice, je čas přijít na to, jak se progrese popisují a jaké mají vlastnosti.

Členové progrese a rekurentní formule

Protože prvky našich sekvencí nelze zaměňovat, lze je očíslovat:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3)),... \right\)\]

Jednotlivé prvky této množiny se nazývají členy progrese. Označují se tímto způsobem pomocí čísla: první člen, druhý člen atd.

Navíc, jak již víme, sousední členy progrese jsou příbuzné vzorcem:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Šipka doprava ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d\]

Stručně řečeno, abyste našli $n$-tý člen progrese, musíte znát $n-1$-tý člen a rozdíl $d$. Takový vzorec se nazývá rekurentní, protože s jeho pomocí můžete najít libovolné číslo, pouze když znáte to předchozí (a ve skutečnosti všechny předchozí). To je velmi nepohodlné, takže existuje složitější vzorec, který redukuje jakýkoli výpočet na první člen a rozdíl:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

S tímto vzorcem jste se již pravděpodobně setkali. Rádi to dávají do všech možných příruček a reshebniků. A v každé rozumné učebnici matematiky je jednou z prvních.

Nicméně doporučuji si trochu zacvičit.

Úkol číslo 1. Zapište první tři členy aritmetické posloupnosti $\left(((a)_(n)) \right)$, pokud $((a)_(1))=8,d=-5$.

Řešení. Známe tedy první člen $((a)_(1))=8$ a rozdíl progrese $d=-5$. Použijme právě uvedený vzorec a dosaďte $n=1$, $n=2$ a $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5=3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\levý(3-1 \vpravo)d=((a)_(1))+2d=8-10=-2. \\ \end(zarovnat)\]

Odpověď: (8; 3; -2)

To je vše! Všimněte si, že náš postup se snižuje.

Samozřejmě, že $n=1$ nemohlo být nahrazeno - první termín již známe. Dosazením jednotky jsme se však ujistili, že i na první termín náš vzorec funguje. V jiných případech se vše sešlo na banální aritmetiku.

Úkol číslo 2. Vypište první tři členy aritmetické posloupnosti, pokud je její sedmý člen −40 a sedmnáctý člen je −50.

Řešení. Stav problému zapíšeme obvyklými výrazy:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a)_(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \right.\]

Označil jsem systém, protože tyto požadavky musí být splněny současně. A nyní si všimneme, že pokud odečteme první rovnici od druhé rovnice (máme na to právo, protože máme systém), dostaneme toto:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(zarovnat)\]

Právě tak jsme našli rozdíl v postupu! Zbývá dosadit nalezené číslo do libovolné rovnice soustavy. Například v prvním:

\[\begin(matice) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \konec(matice)\]

Nyní, když známe první termín a rozdíl, zbývá najít druhý a třetí termín:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(zarovnat)\]

Připraveno! Problém je vyřešen.

Odpověď: (-34; -35; -36)

Všimněte si zajímavé vlastnosti progrese, kterou jsme objevili: pokud vezmeme $n$tý a $m$tý člen a odečteme je od sebe, dostaneme rozdíl progrese vynásobený číslem $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Jednoduchá, ale velmi užitečná vlastnost, kterou byste rozhodně měli znát – s její pomocí můžete výrazně urychlit řešení mnoha progresivních problémů. Zde je ukázkový příklad:

Úkol číslo 3. Pátý člen aritmetické progrese je 8,4 a jeho desátý člen je 14,4. Najděte patnáctý termín tohoto postupu.

Řešení. Protože $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ a my potřebujeme najít $((a)_(15)))$, všimneme si následujícího:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(zarovnat)\]

Ale podle podmínky $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, takže $5d=6$, odkud máme:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(zarovnat)\]

Odpověď: 20.4

To je vše! Nepotřebovali jsme skládat žádné soustavy rovnic a počítat první člen a rozdíl – vše bylo rozhodnuto na pouhých pár řádcích.

Nyní uvažujme o jiném typu problému – hledání negativních a pozitivních členů progrese. Není žádným tajemstvím, že pokud se progrese zvyšuje, zatímco její první termín je negativní, pak se v něm dříve nebo později objeví pozitivní termíny. A naopak: podmínky klesající progrese se dříve nebo později stanou negativními.

Zároveň není zdaleka vždy možné najít tento okamžik „na čele“, který postupně třídí prvky. Často jsou problémy navrženy tak, že bez znalosti vzorců by výpočty zabraly několik listů – prostě bychom usnuli, dokud bychom nenašli odpověď. Proto se pokusíme tyto problémy vyřešit rychlejším způsobem.

Úkol číslo 4. Kolik záporných členů v aritmetickém postupu -38,5; -35,8; …?

Řešení. Takže $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, z čehož okamžitě najdeme rozdíl:

Všimněte si, že rozdíl je kladný, takže progrese se zvyšuje. První člen je záporný, takže v určitém okamžiku skutečně narazíme na kladná čísla. Jedinou otázkou je, kdy se tak stane.

Zkusme zjistit: jak dlouho (tj. do jakého přirozeného čísla $n$) se zachovává negativita pojmů:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \vpravo)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \vpravo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Šipka doprava ((n)_(\max ))=15. \\ \end(zarovnat)\]

Poslední řádek potřebuje upřesnění. Takže víme, že $n \lt 15\frac(7)(27)$. Na druhou stranu nám budou vyhovovat pouze celočíselné hodnoty čísla (navíc: $n\in \mathbb(N)$), takže největší povolené číslo je právě $n=15$ a v žádném případě ne 16.

Úkol číslo 5. V aritmetickém postupu $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Najděte číslo prvního kladného členu této progrese.

To by byl úplně stejný problém jako ten předchozí, ale nevíme $((a)_(1))$. Ale sousední termíny jsou známé: $((a)_(5))$ a $((a)_(6))$, takže můžeme snadno najít rozdíl v postupu:

Kromě toho se pokusme vyjádřit pátý člen z hlediska prvního a rozdílu pomocí standardního vzorce:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(zarovnat)\]

Nyní postupujeme analogicky s předchozím problémem. Zjistíme, ve kterém bodě naší sekvence se objeví kladná čísla:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Šipka doprava ((n)_(\min ))=56. \\ \end(zarovnat)\]

Minimální celočíselné řešení této nerovnosti je číslo 56.

Upozorňujeme, že v poslední úloze bylo vše zredukováno na striktní nerovnost, takže volba $n=55$ nám nebude vyhovovat.

Nyní, když jsme se naučili řešit jednoduché problémy, přejděme ke složitějším. Nejprve se ale naučíme další velmi užitečnou vlastnost aritmetických posloupností, která nám v budoucnu ušetří spoustu času a nerovných buněk. :)

Aritmetický průměr a stejné odsazení

Zvažte několik po sobě jdoucích členů rostoucí aritmetické progrese $\left(((a)_(n)) \right)$. Zkusme je označit na číselné ose:

Členy aritmetického postupu na číselné ose

Konkrétně jsem zaznamenal libovolné členy $((a)_(n-3)),...,(a)_(n+3))$, a ne žádné $((a)_(1)),\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ atd. Protože pravidlo, které vám nyní řeknu, funguje stejně pro jakékoli „segmenty“.

A pravidlo je velmi jednoduché. Zapamatujme si rekurzivní vzorec a zapišme jej pro všechny označené členy:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(zarovnat)\]

Tyto rovnosti však mohou být přepsány odlišně:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(zarovnat)\]

No, tak co? Ale skutečnost, že výrazy $((a)_(n-1))$ a $((a)_(n+1))$ leží ve stejné vzdálenosti od $((a)_(n)))$. A tato vzdálenost je rovna $d$. Totéž lze říci o výrazech $((a)_(n-2))$ a $((a)_(n+2))$ - jsou také odstraněny z $((a)_(n))$ o stejnou vzdálenost rovnou $2d$. Můžete pokračovat donekonečna, ale obrázek dobře ilustruje význam

Členové progrese leží ve stejné vzdálenosti od středu

Co to pro nás znamená? To znamená, že můžete najít $((a)_(n))$, pokud jsou známá sousední čísla:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Vydedukovali jsme velkolepé tvrzení: každý člen aritmetického postupu se rovná aritmetickému průměru sousedních členů! Navíc se můžeme odchýlit od našeho $((a)_(n))$ doleva a doprava ne o jeden krok, ale o $k$ kroků – a vzorec bude stále správný:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tito. můžeme snadno najít nějaké $((a)_(150))$, pokud známe $((a)_(100))$ a $((a)_(200))$, protože $((a)_(150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na první pohled se může zdát, že nám tato skutečnost nic užitečného nedává. V praxi je však mnoho úloh speciálně „nabroušených“ pro použití aritmetického průměru. Podívej se:

Úkol číslo 6. Najděte všechny hodnoty $x$ tak, že čísla $-6((x)^(2))$, $x+1$ a $14+4((x)^(2))$ jsou po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti (v tomto pořadí).

Řešení. Protože tato čísla jsou členy progrese, je pro ně splněna podmínka aritmetického průměru: centrální prvek $x+1$ lze vyjádřit pomocí sousedních prvků:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(zarovnat)\]

Dopadlo to klasicky kvadratická rovnice. Jeho kořeny: $x=2$ a $x=-3$ jsou odpověďmi.

Odpověď: -3; 2.

Úkol číslo 7. Najděte hodnoty $$ tak, aby čísla $-1;4-3;(()^(2))+1$ tvořila aritmetickou posloupnost (v tomto pořadí).

Řešení. Opět vyjadřujeme prostřední člen pomocí aritmetického průměru sousedních členů:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\vpravo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(zarovnat)\]

Další kvadratická rovnice. A opět dva kořeny: $x=6$ a $x=1$.

Odpověď: 1; 6.

Pokud v procesu řešení problému získáte brutální čísla nebo si nejste zcela jisti správností nalezených odpovědí, pak existuje skvělý trik, který vám umožní zkontrolovat: vyřešili jsme problém správně?

Řekněme, že v problému 6 jsme dostali odpovědi -3 a 2. Jak můžeme zkontrolovat, zda jsou tyto odpovědi správné? Prostě je zapojíme do původního stavu a uvidíme, co se stane. Dovolte mi připomenout, že máme tři čísla ($-6(()^(2))$, $+1$ a $14+4(()^(2))$), která by měla tvořit aritmetickou posloupnost. Nahraďte $x=-3$:

\[\začátek(zarovnání) & x=-3\šipka doprava \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(zarovnat)\]

Dostali jsme čísla -54; -2; 50, které se liší o 52, je nepochybně aritmetický postup. Totéž se stane pro $x=2$:

\[\začátek(zarovnání) & x=2\šipka doprava \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(zarovnat)\]

Opět progrese, ale s rozdílem 27. Tím je úloha vyřešena správně. Kdo chce, může si druhý úkol zkontrolovat sám, ale hned řeknu: i tam je vše správně.

Obecně jsme při řešení posledních úkolů narazili na další zajímavý fakt, což je také třeba mít na paměti:

Jsou-li tři čísla taková, že druhé je průměrem prvního a posledního, pak tato čísla tvoří aritmetickou posloupnost.

Pochopení tohoto tvrzení nám v budoucnu umožní doslova „konstruovat“ nezbytné progrese na základě stavu problému. Než se ale do takové „stavby“ pustíme, měli bychom věnovat pozornost ještě jedné skutečnosti, která přímo vyplývá z již zvažovaného.

Seskupování a součet prvků

Vraťme se znovu k číselné řadě. Zaznamenáváme tam několik členů progrese, mezi nimiž, možná. stojí za spoustu dalších členů:

6 prvků označených na číselné řadě

Zkusme vyjádřit „levý ocas“ pomocí $((a)_(n))$ a $d$ a „pravý ocas“ pomocí $((a)_(k))$ a $d$. Je to velmi jednoduché:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(zarovnat)\]

Nyní si všimněte, že následující součty jsou stejné:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d=S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d=S. \end(zarovnat)\]

Jednoduše řečeno, vezmeme-li jako začátek dva prvky progrese, které se v součtu rovnají nějakému číslu $S$, a pak začneme od těchto prvků přecházet k opačné strany(směrem k sobě nebo naopak odstranit), pak součty prvků, o které zakopneme, budou také stejné$ S $. To lze nejlépe znázornit graficky:

Stejné odrážky dávají stejné součty

Porozumění tento fakt nám umožní řešit problémy zásadně více vysoká úroveň složitost než ty, které byly popsány výše. Například tyto:

Úkol číslo 8. Určete rozdíl aritmetické posloupnosti, ve které je první člen 66 a součin druhého a dvanáctého členu je nejmenší možný.

Řešení. Zapišme si vše, co víme:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(zarovnat)\]

Neznáme tedy rozdíl v progresi $d$. Ve skutečnosti bude celé řešení postaveno na rozdílu, protože součin $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ lze přepsat následovně:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(zarovnat)\]

Pro ty v nádrži: Vybral jsem společný faktor 11 z druhé závorky. Požadovaný součin je tedy kvadratická funkce vzhledem k proměnné $d$. Uvažujme tedy funkci $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - její graf bude parabola s větvemi nahoru, protože pokud otevřeme závorky, dostaneme:

\[\begin(zarovnat) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6]

Jak vidíte, koeficient s nejvyšším členem je 11 - to je kladné číslo, takže máme skutečně co do činění s parabolou s větvemi nahoru:

plán kvadratická funkce- parabola

Poznámka: tato parabola má svou minimální hodnotu ve svém vrcholu s úsečkou $((d)_(0))$. Tuto úsečku samozřejmě můžeme vypočítat podle standardního schématu (existuje vzorec $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ale mnohem rozumnější by bylo poznamenat, že požadovaný vrchol leží na ose symetrie paraboly, takže bod $((d)_(0))$ant z \f\)levý odmocniny rovnice je rovný $\)=ft rovnice

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(zarovnat)\]

Proto jsem s otevíráním závorek nespěchal: v původní podobě byly kořeny velmi, velmi snadné najít. Proto se úsečka rovná aritmetickému průměru čísel −66 a −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Co nám dává objevené číslo? S ním požadovaný produkt trvá nejmenší hodnotu(Mimochodem, nepočítali jsme $((y)_(\min ))$ - to nejsme povinni. Toto číslo je zároveň rozdílem počáteční progrese, tzn. našli jsme odpověď. :)

Odpověď: -36

Úkol číslo 9. Mezi čísla $-\frac(1)(2)$ a $-\frac(1)(6)$ vložte tři čísla tak, aby spolu s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost.

Řešení. Ve skutečnosti musíme vytvořit posloupnost pěti čísel, přičemž první a poslední číslo již známe. Chybějící čísla označte proměnnými $x$, $y$ a $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\)\]

Všimněte si, že číslo $y$ je "střed" naší posloupnosti - je stejně vzdálené od čísel $x$ a $z$ a od čísel $-\frac(1)(2)$ a $-\frac(1)(6)$. A pokud v tuto chvíli nemůžeme získat $y$ z čísel $x$ a $z$, pak je situace s konci progrese jiná. Pamatujte na aritmetický průměr:

Nyní, když víme $y$, najdeme zbývající čísla. Všimněte si, že $x$ leží mezi $-\frac(1)(2)$ a $y=-\frac(1)(3)$ právě nalezený. Proto

Pokud budeme argumentovat podobně, zjistíme zbývající číslo:

Připraveno! Našli jsme všechna tři čísla. Zapišme je do odpovědi v pořadí, v jakém se mají vkládat mezi původní čísla.

Odpověď: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Úkol číslo 10. Mezi čísla 2 a 42 vložte několik čísel, která spolu s danými čísly tvoří aritmetickou posloupnost, pokud je známo, že součet prvního, druhého a posledního z vložených čísel je 56.

Řešení. Ještě obtížnější úkol, který se však řeší stejně jako ty předchozí – aritmetickým průměrem. Problém je v tom, že přesně nevíme, kolik čísel vložit. Proto pro jednoznačnost předpokládáme, že po vložení bude přesně $n$ čísel a první z nich je 2 a poslední je 42. V tomto případě lze požadovanou aritmetickou progresi reprezentovat jako:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Všimněte si však, že čísla $((a)_(2))$ a $((a)_(n-1))$ získáme z čísel 2 a 42 stojících na hranách o krok k sobě, tzn. do středu sekvence. A to znamená, že

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ale výše uvedený výraz lze přepsat takto:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(zarovnat)\]

Když známe $((a)_(3))$ a $((a)_(1))$, můžeme snadno najít rozdíl v postupu:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Šipka doprava d=5. \\ \end(zarovnat)\]

Zbývá pouze najít zbývající členy:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(zarovnat)\]

Již v 9. kroku se tedy dostaneme na levý konec sekvence - číslo 42. Celkem bylo potřeba vložit pouze 7 čísel: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odpověď: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Textové úkoly s postupem

Na závěr bych se rád zamyslel nad několika relativně jednoduchými problémy. No, jako jednoduché: pro většinu studentů, kteří studují matematiku ve škole a nečetli, co je napsáno výše, se tyto úkoly mohou zdát jako gesto. Nicméně právě s takovými úlohami se v OGE a USE v matematice setkáte, proto doporučuji se s nimi seznámit.

Úkol číslo 11. Tým v lednu vyrobil 62 dílů a v každém dalším měsíci vyrobil o 14 dílů více než v předchozím. Kolik dílů vyrobila brigáda v listopadu?

Řešení. Je zřejmé, že počet dílů, namalovaných podle měsíců, se bude zvyšovat aritmetickým postupem. A:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Listopad je 11. měsíc v roce, takže musíme najít $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

V listopadu se tedy vyrobí 202 dílů.

Úkol číslo 12. Knihařská dílna svázala v lednu 216 knih a každý měsíc svázala o 4 knihy více než měsíc předchozí. Kolik knih svázal workshop v prosinci?

Řešení. Pořád to samé:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Prosinec je poslední, 12. měsíc v roce, takže hledáme $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

To je odpověď – v prosinci bude svázáno 260 knih.

Pokud jste dočetli až sem, spěchám vám poblahopřát: úspěšně jste dokončili „kurz mladého bojovníka“ v aritmetických postupech. Můžete bezpečně jít do další lekce, kde budeme studovat vzorec progresního součtu a také důležité a velmi užitečné důsledky z něj.

Například sekvence \(2\); \(5\); \(8\); \(jedenáct\); \(14\)… je aritmetický postup, protože každý další prvek se liší od předchozího o tři (od předchozího lze získat přidáním tří):

V tomto postupu je rozdíl \(d\) kladný (rovný \(3\)), a proto je každý další člen větší než ten předchozí. Takové progrese se nazývají vzrůstající.

\(d\) však také může být záporné číslo. Například, v aritmetickém postupu \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… rozdíl postupu \(d\) se rovná mínus šesti.

A v tomto případě bude každý další prvek menší než ten předchozí. Tyto progrese se nazývají klesající.

Zápis aritmetického postupu

Progrese je označena malým latinským písmenem.

Čísla, která tvoří průběh, se nazývají členů(nebo prvky).

Označují se stejným písmenem jako aritmetický postup, ale s číselným indexem rovným číslu prvku v pořadí.

Například aritmetická posloupnost \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\vpravo\)\) se skládá z prvků \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) a tak dále.

Jinými slovy, pro postup \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\vpravo\)\)

Řešení úloh na aritmetickém postupu

V zásadě jsou výše uvedené informace již dostatečné k vyřešení téměř jakéhokoli problému na aritmetickém postupu (včetně těch, které nabízí OGE).

Příklad (OGE). Aritmetický postup je dán podmínkami \(b_1=7; d=4\). Najít \(b_5\).
Řešení:

Odpovědět: \(b_5=23\)

Příklad (OGE). Jsou uvedeny první tři členy aritmetické posloupnosti: \(62; 49; 36…\) Najděte hodnotu prvního záporného členu této posloupnosti.
Řešení:

	Jsou nám dány první prvky sekvence a víme, že jde o aritmetický postup. To znamená, že každý prvek se liší od sousedního o stejné číslo. Zjistěte který z nich odečtením předchozího od následujícího prvku: \(d=49-62=-13\).
	Nyní můžeme obnovit náš postup k požadovanému (prvnímu negativnímu) prvku.
	Připraveno. Můžete napsat odpověď.

Odpovědět: \(-3\)

Příklad (OGE). Je dáno několik po sobě jdoucích prvků aritmetické posloupnosti: \(...5; x; 10; 12,5...\) Najděte hodnotu prvku označeného písmenem \(x\).
Řešení:

	Abychom našli \(x\), potřebujeme vědět, jak moc se následující prvek liší od předchozího, jinými slovy, rozdíl progrese. Nalezneme to ze dvou známých sousedních prvků: \(d=12,5-10=2,5\).
	A nyní bez problémů najdeme, co hledáme: \(x=5+2,5=7,5\).
	Připraveno. Můžete napsat odpověď.

Odpovědět: \(7,5\).

Příklad (OGE). Aritmetický průběh je dán následujícími podmínkami: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Najděte součet prvních šesti členů této posloupnosti.
Řešení:

	Musíme najít součet prvních šesti členů progrese. Ale neznáme jejich významy, je nám dán pouze první prvek. Proto nejprve vypočítáme hodnoty postupně pomocí nám daného: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) A po výpočtu šesti prvků, které potřebujeme, najdeme jejich součet.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Požadovaná částka byla nalezena.

Odpovědět: \(S_6=9\).

Příklad (OGE). V aritmetickém postupu \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Najděte rozdíl tohoto postupu.
Řešení:

Odpovědět: \(d=7\).

Důležité vzorce aritmetického postupu

Jak vidíte, mnoho problémů s aritmetickým postupem lze vyřešit jednoduše pochopením toho hlavního - že aritmetický postup je řetězec čísel a každý další prvek v tomto řetězci se získá přidáním stejného čísla k předchozímu (rozdílu postupu).

Někdy však nastanou situace, kdy je velmi nepohodlné řešit „na čelo“. Představte si například, že v úplně prvním příkladu potřebujeme najít nikoli pátý prvek \(b_5\), ale třistaosmdesátý šestý \(b_(386)\). Co je to, musíme \ (385 \)krát přidat čtyři? Nebo si představte, že v předposledním příkladu potřebujete najít součet prvních sedmdesáti tří prvků. Počítání je matoucí...

Proto v takových případech neřeší „na čelo“, ale používají speciální vzorce odvozené pro aritmetický postup. A hlavní jsou vzorec pro n-tý člen posloupnosti a vzorec pro součet \(n\) prvních členů.

Vzorec pro \(n\)-tý člen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kde \(a_1\) je první člen posloupnosti;
\(n\) – číslo požadovaného prvku;
\(a_n\) je členem posloupnosti s číslem \(n\).

Tento vzorec nám umožňuje rychle najít alespoň tři setiny, dokonce i miliontý prvek, přičemž známe pouze první a progresivní rozdíl.

Příklad. Aritmetický postup je dán podmínkami: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Najděte \(b_(246)\).
Řešení:

Odpovědět: \(b_(246)=1850\).

Vzorec pro součet prvních n členů je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kde

\(a_n\) je poslední sečtený člen;

Příklad (OGE). Aritmetický postup je dán podmínkami \(a_n=3,4n-0,6\). Najděte součet prvních \(25\) členů této posloupnosti.
Řešení:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		K výpočtu součtu prvních dvaceti pěti prvků potřebujeme znát hodnotu prvního a dvacátého pátého členu. Náš postup je dán vzorcem n-tého členu v závislosti na jeho čísle (viz podrobnosti). Vypočítejme první prvek nahrazením \(n\) jedničkou.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Nyní najdeme dvacátý pátý člen dosazením pětadvaceti místo \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Nyní bez problémů vypočítáme požadovanou částku.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odpověď je připravena.

Odpovědět: \(S_(25)=1090\).

Pro součet \(n\) prvních členů můžete získat jiný vzorec: stačí, když \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) místo \(a_n\) dosadíte vzorec \(a_n=a_1\(n-1)d). Dostaneme:

Vzorec pro součet prvních n členů je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kde

\(S_n\) – požadovaný součet \(n\) prvních prvků;
\(a_1\) je první člen, který se má sečíst;
\(d\) – rozdíl progrese;
\(n\) - počet prvků v součtu.

Příklad. Najděte součet prvních \(33\)-ex členů aritmetické posloupnosti: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Řešení:

Odpovědět: \(S_(33)=-231\).

Složitější problémy aritmetického postupu

Nyní máte všechny informace, které potřebujete k vyřešení téměř jakéhokoli problému aritmetického postupu. Dokončíme téma zvážením problémů, ve kterých je potřeba nejen aplikovat vzorce, ale také trochu přemýšlet (v matematice se to může hodit ☺)

Příklad (OGE). Najděte součet všech záporných členů progrese: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Řešení:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Úkol je velmi podobný předchozímu. Začneme řešit stejným způsobem: nejprve najdeme \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Nyní bychom do vzorce pro součet dosadili \(d\) ... a zde se objeví malá nuance - nevíme \(n\). Jinými slovy, nevíme, kolik výrazů bude potřeba přidat. Jak to zjistit? Zamysleme se. Přestaneme přidávat prvky, když se dostaneme k prvnímu pozitivnímu prvku. To znamená, že musíte zjistit číslo tohoto prvku. Jak? Zapišme si vzorec pro výpočet libovolného prvku aritmetické posloupnosti: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pro náš případ.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Potřebujeme, aby \(a_n\) bylo větší než nula. Pojďme zjistit, k čemu \(n\) se to stane.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obě strany nerovnosti vydělíme \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Přenášíme mínus jedna, nezapomínáme na změnu znamení
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Výpočetní...
\(n>65 333…\)		…a ukáže se, že první kladný prvek bude mít číslo \(66\). Podle toho má poslední zápor \(n=65\). Pro případ, pojďme se na to podívat.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Potřebujeme tedy přidat prvních \(65\) prvků.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odpověď je připravena.

Odpovědět: \(S_(65)=-630,5\).

Příklad (OGE). Aritmetický postup je dán podmínkami: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Najděte součet od \(26\)-tého do \(42\) prvku včetně.
Řešení:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	V tomto problému musíte také najít součet prvků, ale ne od prvního, ale od \(26\)-tého. Na to nemáme vzorec. jak se rozhodnout? Snadné - abyste získali součet od \(26\)-té do \(42\)-té, musíte nejprve najít součet od \(1\)-té do \(42\)-té a poté od ní odečíst součet od první do \(25\)té (viz obrázek).
	Pro náš postup \(a_1=-33\) a rozdíl \(d=4\) (koneckonců přidáme čtyři k předchozímu prvku, abychom našli další). Když to víme, najdeme součet prvních \(42\)-uh prvků.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Nyní součet prvních \(25\)-tých prvků.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	A nakonec vypočítáme odpověď.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Odpovědět: \(S=1683\).

Pro aritmetický postup existuje několik dalších vzorců, které jsme v tomto článku neuvažovali kvůli jejich nízké praktické užitečnosti. Můžete je však snadno najít.

Návod

Aritmetická posloupnost je posloupnost tvaru a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Číslo d krok progrese.Je zřejmé, že součet libovolného n-tého členu aritmetiky progrese má tvar: An = A1+(n-1)d. Pak znám jednoho z členů progrese, člen progrese a krok progrese, může být , tedy číslo členu progrese. Je zřejmé, že bude určen vzorcem n = (An-A1+d)/d.

Nechť je nyní znám m-tý termín progrese a nějaký další člen progrese- n-tý, ale n , jako v předchozím případě, ale je známo, že n a m se neshodují. progrese lze vypočítat podle vzorce: d = (An-Am)/(n-m). Potom n = (An-Am+md)/d.

Je-li součet několika prvků aritmetiky progrese, stejně jako jeho první a poslední , pak lze také určit počet těchto prvků. progrese se bude rovnat: S = ((A1+An)/2)n. Pak n = 2S/(A1+An) jsou chdenov progrese. S využitím skutečnosti, že An = A1+(n-1)d, lze tento vzorec přepsat jako: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Z toho lze vyjádřit n řešením kvadratické rovnice.

Aritmetická posloupnost je taková uspořádaná množina čísel, jejíž každý člen, kromě prvního, se od předchozího liší o stejnou hodnotu. Tato konstanta se nazývá rozdíl progrese nebo její krok a lze ji vypočítat ze známých členů aritmetické progrese.

Návod

Pokud jsou hodnoty prvního a druhého nebo jakékoli jiné dvojice sousedních členů známé z podmínek problému, pro výpočet rozdílu (d) jednoduše odečtěte předchozí člen od dalšího členu. Výsledná hodnota může být kladná nebo záporná – záleží na tom, zda se progrese zvyšuje. V obecném tvaru napište řešení pro libovolnou dvojici (aᵢ a aᵢ₊₁) sousedních členů posloupnosti takto: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Pro dvojici členů takového postupu, z nichž jeden je první (a₁) a druhý je libovolný jiný libovolně zvolený, lze také vytvořit vzorec pro nalezení rozdílu (d). V tomto případě však musí být známo pořadové číslo (i) libovolně zvoleného člena posloupnosti. Chcete-li vypočítat rozdíl, sečtěte obě čísla a vydělte výsledek pořadovým číslem libovolného členu zmenšeným o jednu. V obecný pohled napište tento vzorec takto: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Je-li znám kromě libovolného členu aritmetické posloupnosti s pořadovým číslem i ještě člen s pořadovým číslem u, změňte odpovídajícím způsobem vzorec z předchozího kroku. V tomto případě bude rozdíl (d) posloupnosti součtem těchto dvou členů děleným rozdílem jejich pořadových čísel: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Vzorec pro výpočet rozdílu (d) se poněkud zkomplikuje, pokud je v podmínkách úlohy uvedena hodnota jeho prvního členu (a₁) a součtu (Sᵢ). dané číslo i) první členy aritmetické posloupnosti. Chcete-li získat požadovanou hodnotu, vydělte součet počtem členů, které jej tvoří, odečtěte hodnotu prvního čísla v posloupnosti a zdvojnásobte výsledek. Výslednou hodnotu vydělte počtem členů, které tvořily součet snížený o jeden. Obecně zapište vzorec pro výpočet diskriminantu takto: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Koncept číselné posloupnosti znamená, že každé přirozené číslo odpovídá nějaké reálné hodnotě. Taková řada čísel může být jak libovolná, tak mít určité vlastnosti – progresi. V druhém případě lze každý následující prvek (člen) sekvence vypočítat pomocí předchozího.

Aritmetická progrese je posloupnost číselných hodnot, ve kterých se její sousední členy od sebe liší stejným číslem (všechny prvky řady počínaje 2. mají podobnou vlastnost). Toto číslo – rozdíl mezi předchozím a následujícím členem – je konstantní a nazývá se progresivní rozdíl.

Rozdíl v postupu: Definice

Uvažujme posloupnost skládající se z hodnot j A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j patří do množiny přirozená čísla N. Aritmetická posloupnost je podle své definice posloupnost, ve které a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. Hodnota d je požadovaný rozdíl této progrese.

d = a(j) - a(j-1).

Přidělit:

• Rostoucí progrese, v tomto případě d > 0. Příklad: 4, 8, 12, 16, 20, …
• klesající progrese, pak d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Rozdílnost progrese a její libovolné prvky

Jsou-li známy 2 libovolné členy progrese (i-tý, k-tý), pak lze rozdíl pro tuto posloupnost stanovit na základě vztahu:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, takže d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Rozdíl v postupu a jeho první období

Tento výraz pomůže určit neznámou hodnotu pouze v případech, kdy je známo číslo prvku sekvence.

Postupový rozdíl a jeho součet

Součet progrese je součtem jejích členů. Chcete-li vypočítat celkovou hodnotu jeho prvních j prvků, použijte odpovídající vzorec:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ale protože a(j) = a(1) + d(j – 1), pak S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=((2a(1) + d(– 1))/2)*j.