První úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexní průvodce (2019)

Proč jsou potřebné tituly? Kde je potřebujete? Proč potřebujete trávit čas jejich studiem?

Chcete-li se dozvědět vše o titulech, k čemu jsou, jak využít své znalosti Každodenní život přečtěte si tento článek.

A samozřejmě znalost stupňů vás přiblíží k úspěchu absolvování OGE nebo Jednotnou státní zkoušku a vstoupit na univerzitu svých snů.

Pojďme... (Pojďme!)

Důležitá poznámka! Pokud místo vzorců vidíte bláboly, vymažte mezipaměť. Chcete-li to provést, stiskněte CTRL+F5 (v systému Windows) nebo Cmd+R (v systému Mac).

PRVNÍ ÚROVEŇ

Umocňování je stejná matematická operace jako sčítání, odčítání, násobení nebo dělení.

Teď vše vysvětlím lidský jazyk velmi jednoduché příklady. Buď opatrný. Příklady jsou elementární, ale vysvětlují důležité věci.

Začněme sčítáním.

Tady není co vysvětlovat. Všechno už víte: je nás osm. Každý má dvě láhve coly. Kolik coly? Správně - 16 lahví.

Nyní násobení.

Stejný příklad s colou lze napsat jiným způsobem: . Matematici jsou mazaní a líní lidé. Nejprve si všimnou nějakých vzorců a pak vymyslí způsob, jak je „spočítat“ rychleji. V našem případě si všimli, že každý z osmi lidí má stejný počet lahví coly a přišli s technikou zvanou násobení. Souhlasíte, je to považováno za jednodušší a rychlejší než.

Chcete-li tedy počítat rychleji, snadněji a bez chyb, stačí si pamatovat násobilka. Samozřejmě vše můžete dělat pomaleji, tvrději a s chybami! Ale…

Zde je tabulka násobení. Opakovat.

A další, hezčí:

A jaké další záludné počítací triky vymysleli líní matematici? Že jo - zvýšení čísla na mocninu.

Zvyšování čísla na mocninu

Pokud potřebujete vynásobit číslo samo o sobě pětkrát, pak matematici říkají, že musíte toto číslo zvýšit na pátou mocninu. Například, . Matematici si pamatují, že dvě až pátá mocnina je. A takové problémy řeší ve své mysli – rychleji, snadněji a bez chyb.

K tomu potřebujete pouze zapamatujte si, co je barevně zvýrazněno v tabulce mocnin čísel. Věřte mi, že vám to hodně usnadní život.

Mimochodem, proč se říká druhému stupni náměstíčísla a třetí krychle? Co to znamená? Velmi dobrá otázka. Nyní budete mít čtverce i kostky.

Příklad ze života #1

Začněme druhou mocninou čísla.

Představte si čtvercový bazén o rozměrech metry na metry. Bazén je na vaší zahradě. Je horko a moc se mi chce plavat. Ale ... bazén bez dna! Dno bazénu je nutné obložit dlažbou. Kolik dlaždic potřebujete? Abyste to mohli určit, musíte znát oblast dna bazénu.

Jednoduše šťouchnutím prstu spočítáte, že dno bazénu se skládá z kostek metr po metru. Pokud jsou vaše dlaždice metr po metru, budete potřebovat kusy. Je to snadné... Ale kde jsi viděl takovou dlaždici? Dlaždice bude spíše cm na cm a pak vás bude trápit „počítání prstem“. Pak musíte násobit. Takže na jednu stranu dna bazénu položíme dlaždice (kusy) a na druhou také dlaždice. Vynásobením získáte dlaždice ().

Všimli jste si, že jsme vynásobili stejné číslo, abychom určili plochu dna bazénu? Co to znamená? Protože se stejné číslo násobí, můžeme použít techniku umocňování. (Samozřejmě, když máte jen dvě čísla, musíte je ještě vynásobit nebo je umocnit na mocninu. Pokud jich ale máte hodně, pak je umocnění mnohem jednodušší a také je ve výpočtech méně chyb U zkoušky je to velmi důležité).
Takže třicet až druhý stupeň bude (). Nebo můžete říci, že bude třicet čtverečních. Jinými slovy, druhá mocnina čísla může být vždy reprezentována jako čtverec. A naopak, pokud vidíte čtverec, je to VŽDY druhá mocnina nějakého čísla. Čtverec je obrazem druhé mocniny čísla.

Příklad ze života číslo 2

Zde je úkol pro vás, spočítat, kolik polí je na šachovnici pomocí druhé mocniny čísla... Na jedné straně buněk a na druhé také. Chcete-li spočítat jejich počet, musíte vynásobit osm osmi, nebo ... pokud si všimnete, že šachovnice je pole se stranou, můžete odmocnit osm. Získejte buňky. () Tak?

Příklad ze života číslo 3

Nyní krychle nebo třetí mocnina čísla. Stejný bazén. Nyní však musíte zjistit, kolik vody bude nutné do tohoto bazénu nalít. Musíte vypočítat objem. (Mimochodem, objemy a kapaliny se měří v metry krychlové. Nečekaně, že?) Nakreslete bazén: dno velké jeden metr a metr hluboké a zkuste vypočítat, kolik kostek metr po metru celkem vstoupí do vašeho bazénu.

Stačí ukázat prstem a počítat! Jedna, dva, tři, čtyři...dvacet dva, dvacet tři... Kolik to vyšlo? Neztratili jste se? Je těžké počítat prstem? Aby! Vezměte si příklad od matematiků. Jsou líní, a tak si všimli, že pro výpočet objemu bazénu je potřeba vynásobit jeho délku, šířku a výšku navzájem. V našem případě bude objem bazénu roven kostkám ... Jednodušší, že?

A teď si představte, jak jsou matematici líní a mazaní, když to příliš zjednodušují. Vše zredukováno na jednu akci. Všimli si, že délka, šířka a výška jsou stejné a že stejné číslo se samo násobí... A co to znamená? To znamená, že můžete použít stupeň. Takže to, co jste kdysi spočítali prstem, udělají v jedné akci: tři v kostce se rovnají. Píše se to takto:

Zůstává pouze zapamatovat si tabulku stupňů. Pokud ovšem nejste líní a mazaní jako matematici. Pokud rádi tvrdě pracujete a děláte chyby, můžete dál počítat prstem.

Abychom vás konečně přesvědčili, že tituly vymysleli povaleči a mazaní lidé, aby řešili své životní problémy, a ne aby vám dělali problémy, zde je pár dalších příkladů ze života.

Příklad ze života #4

Máte milion rublů. Na začátku každého roku si za každý milion vyděláte další milion. To znamená, že každý váš milion se na začátku každého roku zdvojnásobí. Kolik peněz budete mít za roky? Pokud teď sedíte a „počítáte prstem“, pak jste velmi pracovitý člověk a .. hloupý. Ale s největší pravděpodobností dáš odpověď za pár sekund, protože jsi chytrý! Takže v prvním roce - dvakrát dva ... ve druhém roce - co se stalo, o dva více, ve třetím roce ... Stop! Všimli jste si, že číslo se jednou násobí samo sebou. Takže dvě ku páté mocnině je milion! Teď si představte, že máte soutěž a ten, kdo počítá rychleji, dostane tyto miliony ... Má cenu si připomínat stupně čísel, co myslíte?

Příklad ze života číslo 5

Máte milion. Na začátku každého roku vyděláte za každý milion dva další. Je to skvělé, že? Každý milion se ztrojnásobí. Kolik peněz budete mít za rok? Pojďme počítat. První rok - násobte, pak výsledek dalším... Už je to nuda, protože už jste všemu rozuměli: tři se násobí samo sebou krát. Čtvrtá mocnina je tedy milion. Jen je třeba si uvědomit, že tři až čtvrtá mocnina je nebo.

Nyní už víte, že zvýšením čísla na mocninu si značně usnadníte život. Pojďme se dále podívat na to, co můžete dělat s tituly a co o nich potřebujete vědět.

Termíny a pojmy ... abyste se nepletli

Nejprve si tedy definujme pojmy. Co myslíš, co je exponent? Je to velmi jednoduché – jde o číslo, které je „nahoře“ mocniny čísla. Není to vědecké, ale jasné a snadno zapamatovatelné...

No a zároveň co takový základ stupně? Ještě jednodušší je číslo, které je dole, na základně.

Tady máte pro jistotu obrázek.

No a dovnitř obecný pohled pro zobecnění a lepší zapamatování ... Stupeň se základem "" a exponentem "" se čte jako "do stupně" a zapisuje se takto:

Mocnina čísla s přirozeným exponentem

Pravděpodobně jste již uhodli: protože exponent je přirozené číslo. Ano, ale co je přirozené číslo? Základní! Přirozená čísla jsou ta, která se používají při počítání při výpisu položek: jedna, dvě, tři ... Když počítáme položky, neříkáme: „mínus pět“, „mínus šest“, „mínus sedm“. Neříkáme ani „jedna třetina“ nebo „nula bod pět desetin“. To nejsou přirozená čísla. Jaká jsou podle vás tato čísla?

Čísla jako "mínus pět", "mínus šest", "mínus sedm" odkazují celá čísla. Obecně platí, že celá čísla zahrnují všechna přirozená čísla, čísla opačná k přirozeným číslům (tj. braná se znaménkem mínus) a číslo. Nula je snadno pochopitelná - to je, když není nic. A co znamenají záporná („mínusová“) čísla? Byly však vynalezeny především k označení dluhů: pokud máte na telefonu zůstatek v rublech, znamená to, že dlužíte operátorovi v rublech.

Všechny zlomky jsou racionální čísla. Jak k nim došlo, co myslíte? Velmi jednoduché. Před několika tisíci lety naši předkové zjistili, že nemají dostatek přirozených čísel k měření délky, hmotnosti, plochy atd. A přišli na to racionální čísla… Zajímavé, že?

Existují i iracionální čísla. Jaká jsou tato čísla? Zkrátka nekonečné desetinný. Pokud například vydělíte obvod kruhu jeho průměrem, dostanete iracionální číslo.

Souhrn:

Definujme si pojem stupně, jehož exponentem je přirozené číslo (tedy celé a kladné).

Jakékoli číslo k první mocnině se rovná samo sobě:
Odmocnit číslo znamená vynásobit ho samo sebou:
Krychlit číslo znamená vynásobit ho samo sebou třikrát:

Definice. Zvýšit číslo na přirozenou mocninu znamená vynásobit číslo samo o sobě krát:
.

Vlastnosti stupně

Kde se tyto vlastnosti vzaly? Teď vám to ukážu.

Podívejme se, co je A ?

A-priory:

Kolik je celkem násobitelů?

Je to velmi jednoduché: k faktorům jsme přidali faktory a výsledkem jsou faktory.

Ale podle definice se jedná o stupeň čísla s exponentem, tedy: , který musel být dokázán.

Příklad: Zjednodušte výraz.

Řešení:

Příklad: Zjednodušte výraz.

Řešení: Je důležité si uvědomit, že v našem pravidle Nezbytně musí být stejné důvody!
Proto kombinujeme stupně se základnou, ale zůstáváme samostatným faktorem:

pouze pro produkty sil!

V žádném případě to nepište.

2. to je -tá mocnina čísla

Stejně jako u předchozí vlastnosti se vraťme k definici stupně:

Ukazuje se, že výraz se sám násobí jednou, to znamená, že podle definice je to ta mocnina čísla:

Ve skutečnosti to lze nazvat „závorkováním indikátoru“. Ale nikdy to nemůžete udělat úplně:

Připomeňme si vzorce pro zkrácené násobení: kolikrát jsme chtěli psát?

Ale to není pravda, opravdu.

Titul se záporným základem

Do této chvíle jsme diskutovali pouze o tom, jaký by měl být exponent.

Co by ale mělo být základem?

Ve stupních od přirozený indikátor základ může být jakékoliv číslo. Ve skutečnosti můžeme násobit navzájem libovolné číslo, ať už je kladné, záporné nebo sudé.

Zamysleme se nad tím, která znaménka (" " nebo "") budou mít stupně kladných a záporných čísel?

Bude například číslo kladné nebo záporné? A? ? U prvního je vše jasné: bez ohledu na to, kolik kladných čísel navzájem vynásobíme, výsledek bude kladný.

Ale ty negativní jsou o něco zajímavější. Ostatně si pamatujeme jednoduché pravidlo ze 6. třídy: „mínus krát mínus dává plus“. To znamená, popř. Ale když to vynásobíme, vyjde to.

Určete sami, jaké znamení budou mít následující výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli jste to?

Zde jsou odpovědi: V prvních čtyřech příkladech je doufám vše jasné? Jednoduše se podíváme na základ a exponent a použijeme příslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V příkladu 5) také není všechno tak děsivé, jak se zdá: nezáleží na tom, čemu se rovná základna - stupeň je sudý, což znamená, že výsledek bude vždy pozitivní.

Tedy kromě případů, kdy je základ nula. Základ není stejný, že? Očividně ne, protože (protože).

Příklad 6) už není tak jednoduchý!

6 praktických příkladů

Rozbor řešení 6 příkladů

Pokud nebudeme věnovat pozornost osmému stupni, co zde vidíme? Pojďme se podívat na program 7. třídy. Takže, pamatuješ? To je zkrácený násobící vzorec, totiž rozdíl druhých mocnin! Dostaneme:

Pozorně se podíváme na jmenovatele. Vypadá to hodně jako jeden z faktorů čitatele, ale co je špatně? Špatné pořadí termínů. Pokud by došlo k jejich záměně, pravidlo by mohlo platit.

Ale jak to udělat? Ukazuje se, že je to velmi snadné: zde nám pomáhá sudý stupeň jmenovatele.

Termíny magicky změnily místa. Tento „fenomén“ platí pro jakýkoli výraz v sudé míře: znaménka v závorkách můžeme libovolně měnit.

Ale je důležité si pamatovat: všechny znaky se mění současně!

Vraťme se k příkladu:

A opět vzorec:

Celý pojmenováváme přirozená čísla, jejich protiklady (tedy brané se znaménkem "") a číslo.

kladné celé číslo, a neliší se od přírodního, pak vše vypadá přesně jako v předchozí části.

Nyní se podívejme na nové případy. Začněme s ukazatelem rovným.

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné:

Jako vždy se ptáme sami sebe: proč tomu tak je?

Zvažte nějakou sílu se základnou. Vezměte si například a vynásobte:

Takže jsme číslo vynásobili a dostali jsme stejné, jako bylo -. Jakým číslem se musí vynásobit, aby se nic nezměnilo? Přesně tak, dál. Prostředek.

Totéž můžeme udělat s libovolným číslem:

Zopakujme si pravidlo:

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné.

Ale existují výjimky z mnoha pravidel. A tady je to také tam - toto je číslo (jako základ).

Na jednu stranu se musí rovnat libovolnému stupni – ať násobíte nulu jakkoli sama sebou, stejně dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhou stranu, jako každé číslo na nulový stupeň se musí rovnat. Tak co je na tom pravdy? Matematici se rozhodli nezasahovat a odmítli zvýšit nulu na nulovou mocninu. To znamená, že nyní můžeme nejen dělit nulou, ale také zvýšit na nulovou mocninu.

Pojďme dále. Kromě přirozených čísel a čísel zahrnují celá čísla i záporná čísla. Abychom pochopili, co je záporný stupeň, udělejme totéž jako minule: vynásobíme nějaké normální číslo stejným v záporném stupni:

Odtud je již snadné vyjádřit požadované:

Nyní rozšíříme výsledné pravidlo na libovolnou míru:

Pojďme tedy formulovat pravidlo:

Číslo k záporné mocnině je inverzí stejného čísla ke kladné mocnině. Ale v tu samou dobu základ nemůže být null:(protože to nejde rozdělit).

Pojďme si to shrnout:

I. Výraz není definován v case. Pokud, tak.

II. Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné: .

III. Číslo, které se nerovná nule k záporné mocnině, je inverzí stejného čísla k kladné mocnině: .

Úkoly pro samostatné řešení:

No, jako obvykle, příklady pro nezávislé řešení:

Analýza úloh pro samostatné řešení:

Já vím, já vím, čísla jsou děsivá, ale u zkoušky musíte být připraveni na všechno! Vyřešte tyto příklady nebo rozeberte jejich řešení, pokud jste to nedokázali vyřešit a ve zkoušce se naučíte, jak si s nimi snadno poradit!

Pokračujme v rozšiřování rozsahu čísel „vhodných“ jako exponent.

Nyní zvažte racionální čísla. Jaká čísla se nazývají racionální?

Odpověď: vše, co může být reprezentováno jako zlomek, kde a jsou celá čísla, navíc.

Abychom pochopili, co je "zlomkový stupeň" Uvažujme zlomek:

Uveďme obě strany rovnice na mocninu:

Nyní si zapamatujte pravidlo "od stupně ke stupni":

Jaké číslo musí být zvýšeno na mocninu, abyste získali?

Tato formulace je definicí kořene tého stupně.

Dovolte mi, abych vám připomněl: odmocnina tý mocniny čísla () je číslo, které se po umocnění rovná.

To znamená, že kořen tého stupně je inverzní operace umocňování: .

Ukázalo se, že. Tento speciální případ lze samozřejmě rozšířit: .

Nyní přidejte čitatel: co to je? Odpověď lze snadno získat pomocí pravidla power-to-power:

Ale může být základem jakékoliv číslo? Koneckonců, kořen nelze extrahovat ze všech čísel.

Žádný!

Pamatujte na pravidlo: libovolné číslo zvýšeno na sudý stupeň je kladné číslo. To znamená, že je nemožné extrahovat kořeny sudého stupně ze záporných čísel!

A to znamená, že taková čísla nelze zvýšit zlomkový stupeň se sudým jmenovatelem, to znamená, že výraz nedává smysl.

A co výraz?

Zde však nastává problém.

Číslo může být reprezentováno jako jiné, redukované zlomky, například, popř.

A ukáže se, že existuje, ale neexistuje, a to jsou jen dva různé záznamy stejného čísla.

Nebo jiný příklad: jednou, pak si to můžete zapsat. Jakmile ale zapíšeme indikátor jiným způsobem, opět máme problém: (to znamená, že jsme dostali úplně jiný výsledek!).

Abyste se vyhnuli takovým paradoxům, zvažte pouze kladný základní exponent se zlomkovým exponentem.

Takže když:

- přirozené číslo;
je celé číslo;

Příklady:

Mocniny s racionálním exponentem jsou velmi užitečné pro transformaci výrazů s kořeny, například:

5 praktických příkladů

Rozbor 5 příkladů pro školení

No, teď - to nejtěžší. Nyní budeme analyzovat stupně s iracionálním exponentem.

Všechna pravidla a vlastnosti stupňů jsou zde úplně stejné jako pro stupně s racionálním exponentem, s výjimkou

Ve skutečnosti jsou iracionální čísla podle definice čísla, která nelze reprezentovat jako zlomek, kde a jsou celá čísla (to znamená, že iracionální čísla jsou všechna reálná čísla kromě racionálních).

Při studiu titulů s přirozeným, celočíselným a racionálním ukazatelem jsme si pokaždé vytvořili určitý „obraz“, „analogii“ nebo popis ve známějších pojmech.

Například přirozený exponent je číslo násobené sebou samým několikrát;

...nulový výkon- je to jakoby číslo, které se jednou vynásobilo samo sebou, to znamená, že se ještě nezačalo násobit, to znamená, že se samotné číslo ještě ani neobjevilo - výsledkem je tedy pouze určité „číslo prázdné“ , jmenovitě číslo;

...záporný exponent celého čísla- jako by proběhl určitý „obrácený proces“, to znamená, že číslo nebylo samo násobeno, ale rozděleno.

Mimochodem, věda často používá stupeň s komplexním exponentem, to znamená, že exponent není ani skutečné číslo.

Ale ve škole o takových potížích nepřemýšlíme, v ústavu budete mít příležitost porozumět těmto novým konceptům.

KAM JSME JISTÍ, ŽE PŮJDETE! (pokud se naučíte řešit takové příklady :))

Například:

Rozhodněte se sami:

Analýza řešení:

1. Začněme již obvyklým pravidlem pro zvyšování titulu na stupeň:

Nyní se podívejte na skóre. Připomíná vám něco? Připomínáme vzorec pro zkrácené násobení rozdílu čtverců:

V tomto případě,

Ukázalo se, že:

Odpovědět: .

2. Zlomky v exponentech přivedeme do stejného tvaru: buď oba desetinné, nebo oba obyčejné. Dostáváme například:

Odpověď: 16

3. Nic zvláštního, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňů:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Definice stupně

Stupeň je vyjádřením tvaru: , kde:

— základ stupně;
- exponent.

Stupeň s přirozeným exponentem (n = 1, 2, 3,...)

Zvýšení čísla na přirozenou mocninu n znamená vynásobení čísla samo o sobě krát:

Mocnina s celočíselným exponentem (0, ±1, ±2,...)

Pokud je exponent kladné celé čísločíslo:

erekce na nulový výkon:

Výraz je neurčitý, protože na jedné straně je do jakéhokoli stupně toto a na druhé straně jakékoli číslo do tého stupně je toto.

Pokud je exponent celé číslo zápornéčíslo:

(protože to nejde rozdělit).

Ještě jednou o nulách: výraz není v případě definován. Pokud, tak.

Příklady:

Stupeň s racionálním exponentem

- přirozené číslo;
je celé číslo;

Příklady:

Vlastnosti stupně

Abychom usnadnili řešení problémů, pokusme se pochopit: odkud se tyto vlastnosti vzaly? Pojďme je dokázat.

Podívejme se: co je a?

A-priory:

Takže na pravé straně tohoto výrazu se získá následující produkt:

Ale podle definice se jedná o mocninu čísla s exponentem, tedy:

Q.E.D.

Příklad : Zjednodušte výraz.

Řešení : .

Příklad : Zjednodušte výraz.

Řešení : Je důležité si uvědomit, že v našem pravidle Nezbytně musí být na stejném základě. Proto kombinujeme stupně se základnou, ale zůstáváme samostatným faktorem:

Další důležitá poznámka: toto pravidlo - pouze pro produkty mocností!

To bych za žádných okolností neměl psát.

Stejně jako u předchozí vlastnosti se vraťme k definici stupně:

Přeuspořádejme to takto:

Ukazuje se, že výraz se sám násobí jednou, to znamená, že podle definice je to -tá mocnina čísla:

Ve skutečnosti to lze nazvat „závorkováním indikátoru“. Ale nikdy to nemůžete udělat úplně:!

Připomeňme si vzorce pro zkrácené násobení: kolikrát jsme chtěli psát? Ale to není pravda, opravdu.

Moc s negativní bází.

Do této chvíle jsme diskutovali pouze o tom, co by mělo být index stupeň. Co by ale mělo být základem? Ve stupních od přírodní indikátor základ může být jakékoliv číslo .

Ve skutečnosti můžeme násobit navzájem libovolné číslo, ať už je kladné, záporné nebo sudé. Zamysleme se nad tím, která znaménka (" " nebo "") budou mít stupně kladných a záporných čísel?

Bude například číslo kladné nebo záporné? A? ?

U prvního je vše jasné: bez ohledu na to, kolik kladných čísel navzájem vynásobíme, výsledek bude kladný.

Ale ty negativní jsou o něco zajímavější. Ostatně si pamatujeme jednoduché pravidlo ze 6. třídy: „mínus krát mínus dává plus“. To znamená, popř. Pokud ale vynásobíme (), dostaneme -.

A tak dále ad infinitum: s každým dalším násobením se znaménko změní. Je možné takové formulovat jednoduchá pravidla:

dokonce stupeň, - číslo pozitivní.
Záporné číslo zvýšeno na zvláštní stupeň, - číslo negativní.
Kladné číslo k libovolné mocnině je kladné číslo.
Nula k libovolné mocnině se rovná nule.

Určete sami, jaké znamení budou mít následující výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli jste to? Zde jsou odpovědi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V prvních čtyřech příkladech je doufám vše jasné? Jednoduše se podíváme na základ a exponent a použijeme příslušné pravidlo.

V příkladu 5) také není všechno tak děsivé, jak se zdá: nezáleží na tom, čemu se rovná základna - stupeň je sudý, což znamená, že výsledek bude vždy pozitivní. Tedy kromě případů, kdy je základ nula. Základ není stejný, že? Očividně ne, protože (protože).

Příklad 6) již není tak jednoduchý. Zde musíte zjistit, co je méně: nebo? Pokud si to pamatujete, je to jasné, což znamená, že základna je menší než nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledek bude záporný.

A opět použijeme definici stupně:

Vše je jako obvykle - zapíšeme definici stupňů a rozdělíme je na sebe, rozdělíme do dvojic a dostaneme:

Před analýzou posledního pravidla vyřešme několik příkladů.

Vypočítejte hodnoty výrazů:

Řešení :

Pokud nebudeme věnovat pozornost osmému stupni, co zde vidíme? Pojďme se podívat na program 7. třídy. Takže, pamatuješ? To je zkrácený násobící vzorec, totiž rozdíl druhých mocnin!

Dostaneme:

Pozorně se podíváme na jmenovatele. Vypadá to hodně jako jeden z faktorů čitatele, ale co je špatně? Špatné pořadí termínů. Pokud by byly obráceny, mohlo by být aplikováno pravidlo 3. Ale jak to udělat? Ukazuje se, že je to velmi snadné: zde nám pomáhá sudý stupeň jmenovatele.

Když to vynásobíte, nic se nezmění, že? Ale teď to vypadá takto:

Termíny magicky změnily místa. Tento „fenomén“ platí pro jakýkoli výraz v sudé míře: znaménka v závorkách můžeme libovolně měnit. Ale je důležité si pamatovat: všechna znamení se mění současně! Nelze to nahradit změnou pouze jednoho pro nás nežádoucího mínus!

Vraťme se k příkladu:

A opět vzorec:

Takže teď poslední pravidlo:

Jak to chceme dokázat? Samozřejmě, jako obvykle: rozšíříme koncept stupně a zjednodušíme:

No, teď otevřeme závorky. Kolik bude písmen? časy násobiteli - jak to vypadá? To není nic jiného než definice operace násobení: celkem se ukázalo, že existují multiplikátory. To znamená, že je to podle definice mocnina čísla s exponentem:

Příklad:

Stupeň s iracionálním exponentem

Kromě informací o stupních pro průměrnou úroveň budeme analyzovat stupeň s iracionálním ukazatelem. Všechna pravidla a vlastnosti stupňů jsou zde úplně stejné jako u stupně s racionálním exponentem, s výjimkou - ostatně iracionální čísla jsou z definice čísla, která nelze reprezentovat jako zlomek, kde a jsou celá čísla (tj. , iracionální čísla jsou všechna reálná čísla kromě racionálních).

Při studiu titulů s přirozeným, celočíselným a racionálním ukazatelem jsme si pokaždé vytvořili určitý „obraz“, „analogii“ nebo popis ve známějších pojmech. Například přirozený exponent je číslo násobené sebou samým několikrát; číslo do nultého stupně je jakoby číslo, které se jednou násobí samo sebou, to znamená, že se ještě nezačalo násobit, což znamená, že se číslo samotné ještě ani neobjevilo - výsledkem je tedy pouze určitá „příprava čísla“, jmenovitě číslo; stupeň s celočíselným záporným ukazatelem - jako by nastal určitý „obrácený proces“, to znamená, že číslo nebylo vynásobeno samo sebou, ale rozděleno.

Je extrémně obtížné si představit stupeň s iracionálním exponentem (stejně jako je obtížné si představit 4-rozměrný prostor). Jde spíše o čistě matematický objekt, který matematici vytvořili, aby rozšířili pojem stupně na celý prostor čísel.

Mimochodem, věda často používá stupeň s komplexním exponentem, to znamená, že exponent není ani skutečné číslo. Ale ve škole o takových potížích nepřemýšlíme, v ústavu budete mít příležitost porozumět těmto novým konceptům.

Co tedy uděláme, když vidíme iracionální exponent? Snažíme se, abychom se toho zbavili! :)

Například:

Rozhodněte se sami:

Odpovědi:

Pamatujte na rozdíl ve vzorcích čtverců. Odpovědět: .
Zlomky přivedeme do stejného tvaru: buď obě desetinná místa, nebo obě obyčejná. Dostáváme například: .
Nic zvláštního, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňů:

SHRNUTÍ ODDÍLU A ZÁKLADNÍ VZORCE

Stupeň se nazývá výraz ve tvaru: , kde:

Stupeň s celočíselným exponentem

stupně, jehož exponentem je přirozené číslo (tedy celé a kladné).

Stupeň s racionálním exponentem

stupně, jehož ukazatelem jsou záporná a zlomková čísla.

Stupeň s iracionálním exponentem

exponent, jehož exponent je nekonečný desetinný zlomek nebo odmocnina.

Vlastnosti stupně

Vlastnosti stupňů.

Záporné číslo zvýšeno na dokonce stupeň, - číslo pozitivní.
Záporné číslo zvýšeno na zvláštní stupeň, - číslo negativní.
Kladné číslo k libovolné mocnině je kladné číslo.
Nula se rovná jakékoli síle.
Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná.

TEĎ MÁTE SLOVO...

Jak se vám článek líbí? Dejte mi vědět v komentářích níže, jestli se vám to líbilo nebo ne.

Řekněte nám o svých zkušenostech s vlastnostmi napájení.

Možná máte otázky. Nebo návrhy.

Pište do komentářů.

A hodně štěstí u zkoušek!

V jednom z předchozích článků jsme již zmínili stupeň čísla. Dnes se pokusíme navigovat v procesu hledání jeho významu. Vědecky řečeno, přijdeme na to, jak správně umocňovat. Pochopíme, jak se tento proces provádí, a zároveň se dotkneme všech možných exponentů: přirozeného, iracionálního, racionálního, celku.

Pojďme se tedy blíže podívat na řešení příkladů a zjistit, co to znamená:

Definice pojmu.
Povýšení k negativnímu umění.
Celé skóre.
Zvyšování čísla na iracionální sílu.

Zde je definice, která přesně odráží význam: „Povýšení k moci je definicí hodnoty stupně čísla.

Konstrukce čísla a v Čl. r a proces hledání hodnoty stupně a s exponentem r jsou totožné pojmy. Pokud je například úkolem vypočítat hodnotu stupně (0,6) 6″, lze to zjednodušit na výraz „Zvyšte číslo 0,6 na 6“.

Poté můžete přejít přímo k pravidlům výstavby.

Povýšení na negativní sílu

Pro přehlednost byste měli věnovat pozornost následujícímu řetězci výrazů:

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 za minus 1 st.,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 v mínus 2 krocích.,

11 000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 minus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 až minus 4 stupně.

Díky těmto příkladům můžete jasně vidět schopnost okamžitě vypočítat 10 na jakoukoli zápornou mocninu. Za tímto účelem stačí pouze posunout desetinnou složku:

10 až -1 stupeň - před jednotkou 1 nula;
v -3 - tři nuly před jedničkou;
-9 je 9 nul a tak dále.

Podle tohoto schématu je také snadné pochopit, kolik bude 10 minus 5 polévkových lžic. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Jak pozvednout číslo na přirozenou sílu

Připomínáme-li definici, bereme v úvahu, že přirozené číslo a v umění. n se rovná součinu n faktorů, z nichž každý se rovná a. Znázorněme: (a * a * ... a) n, kde n je počet čísel, která se násobí. Proto, abychom zvýšili a na n, je nutné vypočítat součin následujícího tvaru: a * a * ... a vydělit n krát.

Odtud je zřejmé, že erekce v přírodním umění. spoléhá na schopnost provádět násobení(tomuto materiálu se věnuje část o násobení reálných čísel). Podívejme se na problém:

Zvyšte -2 až 4 polévkovou lžíci.

Máme co do činění s přirozeným ukazatelem. V souladu s tím bude průběh rozhodnutí následující: (-2) v Čl. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Nyní zbývá pouze provést násobení celých čísel: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Dostáváme 16.

Odpověď na úkol:

(-2) v čl. 4=16.

Příklad:

Vypočítejte hodnotu: tři body dvě sedminy na druhou.

Tento příklad se rovná následujícímu součinu: tři body dva sedmá krát tři body dva sedmý. Když si pamatujeme, jak se provádí násobení smíšených čísel, dokončíme konstrukci:

3 celé 2 sedminy násobené sebou;
rovná se 23 sedmin krát 23 sedmin;
rovná se 529 čtyřicátým devátým;
snížíme a dostaneme 10 třicet devět čtyřicet devět.

Odpovědět: 10 39/49

Pokud jde o otázku zvýšení na iracionální ukazatel, je třeba poznamenat, že výpočty se začínají provádět po dokončení předběžného zaokrouhlení základu stupně na nějakou úroveň, která by umožnila získat hodnotu s danou přesností . Například potřebujeme odmocnit číslo P (pi).

Začneme zaokrouhlením P na setiny a dostaneme:

P na druhou \u003d (3,14) 2 \u003d 9,8596. Pokud však P zmenšíme na desetitisíciny, dostaneme P = 3,14159. Pak dostane kvadrát úplně jiné číslo: 9,8695877281.

Zde je třeba poznamenat, že v mnoha problémech není třeba umocňovat iracionální čísla. Odpověď se zpravidla zadává buď ve formě stupně, například odmocnina 6 na mocninu 3, nebo, pokud to výraz umožňuje, je provedena její transformace: odmocnina z 5 na 7 stupňů \u003d 125 odmocnina z 5.

Jak zvýšit číslo na celočíselnou mocninu

Tato algebraická manipulace je vhodná vzít v úvahu pro následující případy:

pro celá čísla;
pro nulový indikátor;
pro kladné celé číslo.

Protože téměř všechna kladná celá čísla se shodují s hmotností přirozených čísel, je nastavení na kladnou celočíselnou mocninu stejný proces jako v Čl. přírodní. Tento proces jsme popsali v předchozím odstavci.

Nyní pojďme mluvit o výpočtu Čl. nula. Již výše jsme zjistili, že nulovou mocninu čísla a lze určit pro libovolné nenulové a (reálné), zatímco a ve st. 0 se bude rovnat 1.

V souladu s tím konstrukce jakéhokoli reálného čísla k nule umění. dá jeden.

Například 10 v st.0=1, (-3,65)0=1 a 0 v st. 0 nelze určit.

Abychom dokončili umocňování na celé číslo, zbývá rozhodnout o možnostech pro záporné celočíselné hodnoty. Pamatujeme si, že čl. z a s celočíselným exponentem -z bude definováno jako zlomek. Ve jmenovateli zlomku je Čl. s kladnou celočíselnou hodnotou, jejíž hodnotu jsme se již naučili najít. Nyní zbývá pouze zvážit příklad konstrukce.

Příklad:

Vypočítejte hodnotu čísla 2 krychle se záporným celým číslem.

Postup řešení:

Podle definice stupně s negativním ukazatelem označujeme: dvě v minus 3 polévkové lžíce. rovná se jedna ku dvěma třetí mocnině.

Jmenovatel se vypočítá jednoduše: dvě krychle;

3 = 2*2*2=8.

Odpovědět: dvě až mínus 3 polévková lžíce. = jedna osmina.

Ze školy všichni známe pravidlo o umocnění: libovolné číslo s exponentem N se rovná výsledku, když toto číslo samo Nkrát vynásobíme. Jinými slovy, 7 na mocninu 3 je 7 násobeno sebou samým třikrát, tedy 343. Další pravidlo - zvýšením jakékoli hodnoty na mocninu 0 dostaneme jedničku a zvýšením záporné hodnoty je výsledek běžného umocňování, pokud je sudý a stejný výsledek se znaménkem mínus, pokud je lichý.

Pravidla také dávají odpověď na to, jak zvýšit číslo na zápornou mocninu. Chcete-li to provést, musíte obvyklým způsobem zvýšit požadovanou hodnotu modulem indikátoru a poté jednotku vydělit výsledkem.

Z těchto pravidel je zřejmé, že realizace skutečných problémů s velkým množstvím bude vyžadovat přítomnost technické prostředky. Ručně bude možné násobit sám o sobě maximální rozsah čísel do dvaceti nebo třiceti, a pak ne více než třikrát nebo čtyřikrát. Nemluvě o tom, že pak také dělíme jednotku výsledkem. Proto pro ty, kteří nemají speciální inženýrská kalkulačka, vysvětlíme, jak zvýšit číslo na záporný exponent v Excelu.

Řešení problémů v Excelu

Pro řešení problémů s umocňováním vám Excel umožňuje použít jednu ze dvou možností.

První je použití vzorce se standardním symbolem čepice. Do buněk listu zadejte následující údaje:

Stejným způsobem můžete zvýšit požadovanou hodnotu na libovolnou mocninu - zápornou, zlomkovou. Udělejme následující a odpovězme na otázku, jak zvýšit číslo na zápornou mocninu. Příklad:

Je možné opravit přímo ve vzorci =B2^-C2.

Druhou možností je využít již připravenou funkci „Stupeň“, která přebírá dva povinné argumenty – číslo a indikátor. Chcete-li jej začít používat, stačí do libovolné volné buňky vložit rovnítko (=) označující začátek vzorce a zadat výše uvedená slova. Zbývá vybrat dvě buňky, které se zúčastní operace (nebo zadat konkrétní čísla ručně), a stisknout klávesu Enter. Podívejme se na několik jednoduchých příkladů.

Vzorec

Výsledek

NAPÁJENÍ(B2;C2)

NAPÁJENÍ(B3;C3)

0,002915

Jak vidíte, není nic složitého na tom, jak zvýšit číslo na zápornou mocninu a na normální pomocí Excelu. Koneckonců, k vyřešení tohoto problému můžete použít jak známý symbol „víka“, tak snadno zapamatovatelnou vestavěnou funkci programu. To je jednoznačné plus!

Pojďme na další složité příklady. Připomeňme si pravidlo, jak zvýšit číslo na zápornou mocninu zlomkového charakteru, a uvidíme, že tento úkol je v Excelu vyřešen velmi jednoduše.

Zlomkové ukazatele

Stručně řečeno, algoritmus pro výpočet čísla se zlomkovým exponentem je následující.

Převeďte zlomkový exponent na správný nebo nesprávný zlomek.
Zvyšte naše číslo na čitatel výsledného převedeného zlomku.
Z čísla získaného v předchozím odstavci vypočítejte odmocninu s podmínkou, že kořenový ukazatel bude jmenovatelem zlomku získaného v první fázi.

Souhlaste s tím, že i při práci s malými čísly a správnými zlomky mohou takové výpočty zabrat spoustu času. Je dobře, že tabulka Excel procesor bez ohledu na to, jaké číslo a do jaké míry zvýšit. Zkuste vyřešit následující příklad v excelovém listu:

Pomocí výše uvedených pravidel můžete zkontrolovat a ujistit se, že výpočet je správný.

Na konci našeho článku uvedeme ve formě tabulky se vzorci a výsledky několik příkladů, jak zvýšit číslo na zápornou mocninu, a také několik příkladů s operací zlomková čísla a stupně.

Příklad tabulky

Podívejte se na pracovní list aplikace Excel pro následující příklady. Aby vše fungovalo správně, musíte při kopírování vzorce použít smíšený odkaz. Opravte číslo sloupce obsahujícího číslo, které se zvyšuje, a číslo řádku obsahujícího indikátor. Váš vzorec by měl vypadat nějak takto: "=$B4^C$3".

Číslo / Stupeň

Upozorňujeme, že kladná čísla (i neceločíselná) se počítají bez problémů pro jakékoli exponenty. Nejsou žádné problémy se zvyšováním jakýchkoli čísel na celá čísla. Ale zvýšení záporného čísla na zlomkovou mocninu se pro vás ukáže jako chyba, protože není možné dodržet pravidlo uvedené na začátku našeho článku o zvýšení záporných čísel, protože sudost je charakteristikou výhradně INTEGER čísla.

V pokračování rozhovoru o stupni čísla je logické zabývat se hledáním hodnoty stupně. Tento proces byl pojmenován umocňování. V tomto článku budeme jen studovat, jak se umocňování provádí, přičemž se dotkneme všech možných exponentů – přirozeného, celočíselného, racionálního i iracionálního. A podle tradice podrobně zvážíme řešení příkladů zvýšení čísel v různé míře.

Navigace na stránce.

Co znamená "umocnění"?

Začněme vysvětlením toho, co se nazývá umocňování. Zde je příslušná definice.

Definice.

Umocňování je najít hodnotu mocniny čísla.

Tedy najít hodnotu mocniny a s exponentem r a zvýšit číslo a na mocninu r je totéž. Pokud je například úkolem „vypočítat hodnotu mocniny (0,5) 5“, lze ji přeformulovat takto: „Zvyšte číslo 0,5 na 5“.

Nyní můžete přejít přímo k pravidlům, podle kterých se umocňování provádí.

Zvyšování čísla na přirozenou sílu

V praxi se rovnost založená na se obvykle uplatňuje ve formě . To znamená, že při zvýšení čísla a na zlomkovou mocninu m / n se nejprve extrahuje kořen n-tého stupně z čísla a, poté se výsledek zvýší na celé číslo m.

Zvažte řešení příkladů zvýšení na zlomkovou mocninu.

Příklad.

Vypočítejte hodnotu stupně.

Řešení.

Ukážeme dvě řešení.

První způsob. Podle definice stupně se zlomkovým exponentem. Vypočítáme hodnotu stupně pod znaménkem odmocniny, poté extrahujeme odmocninu krychle: .

Druhý způsob. Podle definice stupně se zlomkovým exponentem a na základě vlastností odmocnin jsou rovnosti pravdivé . Nyní extrahujte kořen Nakonec zvýšíme na celočíselnou mocninu .

Je zřejmé, že získané výsledky zvýšení na zlomkovou mocninu se shodují.

Odpovědět:

Všimněte si, že zlomkový exponent lze zapsat jako desetinný zlomek nebo smíšené číslo, v těchto případech by měl být nahrazen odpovídajícím obyčejným zlomkem a poté by se mělo provést umocnění.

Příklad.

Vypočítejte (44,89) 2,5.

Řešení.

Exponent zapisujeme ve tvaru společný zlomek(v případě potřeby viz článek): . Nyní provedeme zvýšení na zlomkovou mocninu:

Odpovědět:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Je třeba také říci, že zvyšování čísel na racionální mocniny je poměrně pracný proces (zvláště když čitatel a jmenovatel zlomkového exponentu obsahuje dostatek velká čísla), což se obvykle provádí pomocí počítačová věda.

Na závěr tohoto odstavce se zastavíme u konstrukce čísla nula na zlomkovou mocninu. Zlomkovému stupni nuly tvaru jsme dali následující význam: protože máme , přičemž nula k mocnině m/n není definována. Takže nula až kladná zlomková mocnina je nula, např. . A nula ve zlomkové záporné mocnině nedává smysl, například výrazy a 0 -4,3 nedávají smysl.

Povznesení k iracionální síle

Někdy je nutné zjistit hodnotu stupně čísla s iracionálním exponentem. Zároveň v praktické účely většinou stačí dostat hodnotu stupně do nějakého znaménka. Okamžitě si všimneme, že v praxi se tato hodnota vypočítává pomocí elektronické výpočetní techniky, protože ruční zvýšení na iracionální výkon vyžaduje velké množství těžkopádných výpočtů. Ale přesto popíšeme obecně podstatu akcí.

Pro získání přibližné hodnoty mocniny a s iracionálním exponentem se vezme nějaká desítková aproximace exponentu a vypočítá se hodnota exponentu. Tato hodnota je přibližná hodnota stupně čísla a s iracionálním exponentem. Čím přesnější je zpočátku desetinná aproximace čísla, tím přesnější bude nakonec hodnota stupně.

Jako příklad si spočítejme přibližnou hodnotu mocniny 2 1,174367... . Vezměme si následující desetinnou aproximaci iracionálního indikátoru: . Nyní zvýšíme 2 na racionální mocninu 1,17 (podstatu tohoto procesu jsme popsali v předchozím odstavci), dostaneme 2 1,17 ≈ 2,250116. Tím pádem, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Pokud vezmeme přesnější desetinnou aproximaci iracionálního exponentu, například , dostaneme přesnější hodnotu původního stupně: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografie.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Učebnice matematiky Zh pro 5 buněk. vzdělávací instituce.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnice pro 7 buněk. vzdělávací instituce.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnice pro 8 buněk. vzdělávací instituce.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnice pro 9 buněk. vzdělávací instituce.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a další Algebra a počátky analýzy: učebnice pro ročníky 10-11 všeobecně vzdělávacích institucí.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (příručka pro uchazeče o technické školy).

První úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexní průvodce (2019)

Proč jsou potřebné tituly? Kde je potřebujete? Proč potřebujete trávit čas jejich studiem?

Chcete-li se dozvědět vše o titulech, k čemu jsou, jak využít své znalosti v každodenním životě, přečtěte si tento článek.

A samozřejmě znalost titulů vás přiblíží k úspěšnému složení OGE nebo Unified State Examination a vstupu na univerzitu vašich snů.

Pojďme... (Pojďme!)

Důležitá poznámka! Pokud místo vzorců vidíte bláboly, vymažte mezipaměť. Chcete-li to provést, stiskněte CTRL+F5 (v systému Windows) nebo Cmd+R (v systému Mac).

PRVNÍ ÚROVEŇ

Umocňování je stejná matematická operace jako sčítání, odčítání, násobení nebo dělení.

Nyní vše vysvětlím lidskou řečí na velmi jednoduchých příkladech. Buď opatrný. Příklady jsou elementární, ale vysvětlují důležité věci.

Začněme sčítáním.

Tady není co vysvětlovat. Všechno už víte: je nás osm. Každý má dvě láhve coly. Kolik coly? Správně - 16 lahví.

Nyní násobení.

Chcete-li tedy počítat rychleji, snadněji a bez chyb, stačí si pamatovat násobilka. Samozřejmě vše můžete dělat pomaleji, tvrději a s chybami! Ale…

Zde je tabulka násobení. Opakovat.

A další, hezčí:

A jaké další záludné počítací triky vymysleli líní matematici? Že jo - zvýšení čísla na mocninu.

Zvyšování čísla na mocninu

K tomu potřebujete pouze zapamatujte si, co je barevně zvýrazněno v tabulce mocnin čísel. Věřte mi, že vám to hodně usnadní život.

Mimochodem, proč se říká druhému stupni náměstíčísla a třetí krychle? Co to znamená? Velmi dobrá otázka. Nyní budete mít čtverce i kostky.

Příklad ze života #1

Začněme druhou mocninou čísla.

Příklad ze života číslo 2

Příklad ze života číslo 3

Nyní krychle nebo třetí mocnina čísla. Stejný bazén. Nyní však musíte zjistit, kolik vody bude nutné do tohoto bazénu nalít. Musíte vypočítat objem. (Mimochodem, objemy a kapaliny se měří v metrech krychlových. Nečekané, že?) Nakreslete bazén: dno o velikosti jeden metr a hloubce metr a zkuste spočítat, kolik krychlí o rozměrech metr na metr vstoupí do vašeho bazén.

Zůstává pouze zapamatovat si tabulku stupňů. Pokud ovšem nejste líní a mazaní jako matematici. Pokud rádi tvrdě pracujete a děláte chyby, můžete dál počítat prstem.

Příklad ze života #4

Příklad ze života číslo 5

Nyní už víte, že zvýšením čísla na mocninu si značně usnadníte život. Pojďme se dále podívat na to, co můžete dělat s tituly a co o nich potřebujete vědět.

Termíny a pojmy ... abyste se nepletli

No a zároveň co takový základ stupně? Ještě jednodušší je číslo, které je dole, na základně.

Tady máte pro jistotu obrázek.

No, obecně řečeno, abychom zobecnili a lépe si zapamatovali ... Titul se základem "" a indikátorem "" se čte jako "ve stupni" a zapisuje se takto:

Mocnina čísla s přirozeným exponentem

Pravděpodobně už tušíte: protože exponent je přirozené číslo. Ano, ale co je přirozené číslo? Základní! Přirozená čísla jsou ta, která se používají při počítání při výpisu položek: jedna, dvě, tři ... Když počítáme položky, neříkáme: „mínus pět“, „mínus šest“, „mínus sedm“. Neříkáme ani „jedna třetina“ nebo „nula bod pět desetin“. To nejsou přirozená čísla. Jaká jsou podle vás tato čísla?

Existují i iracionální čísla. Jaká jsou tato čísla? Zkrátka nekonečný desetinný zlomek. Pokud například vydělíte obvod kruhu jeho průměrem, dostanete iracionální číslo.

Souhrn:

Definujme si pojem stupně, jehož exponentem je přirozené číslo (tedy celé a kladné).

Jakékoli číslo k první mocnině se rovná samo sobě:
Odmocnit číslo znamená vynásobit ho samo sebou:
Krychlit číslo znamená vynásobit ho samo sebou třikrát:

Definice. Zvýšit číslo na přirozenou mocninu znamená vynásobit číslo samo o sobě krát:
.

Vlastnosti stupně

Kde se tyto vlastnosti vzaly? Teď vám to ukážu.

Podívejme se, co je A ?

A-priory:

Kolik je celkem násobitelů?

Je to velmi jednoduché: k faktorům jsme přidali faktory a výsledkem jsou faktory.

Ale podle definice se jedná o stupeň čísla s exponentem, tedy: , který musel být dokázán.

Příklad: Zjednodušte výraz.

Řešení:

Příklad: Zjednodušte výraz.

Řešení: Je důležité si uvědomit, že v našem pravidle Nezbytně musí to být stejný důvod!
Proto kombinujeme stupně se základnou, ale zůstáváme samostatným faktorem:

pouze pro produkty sil!

V žádném případě to nepište.

2. to je -tá mocnina čísla

Stejně jako u předchozí vlastnosti se vraťme k definici stupně:

Ukazuje se, že výraz se sám násobí jednou, to znamená, že podle definice je to ta mocnina čísla:

Ve skutečnosti to lze nazvat „závorkováním indikátoru“. Ale nikdy to nemůžete udělat úplně:

Připomeňme si vzorce pro zkrácené násobení: kolikrát jsme chtěli psát?

Ale to není pravda, opravdu.

Titul se záporným základem

Do této chvíle jsme diskutovali pouze o tom, jaký by měl být exponent.

Co by ale mělo být základem?

Ve stupních od přirozený indikátor základ může být jakékoliv číslo. Ve skutečnosti můžeme násobit navzájem libovolné číslo, ať už je kladné, záporné nebo sudé.

Zamysleme se nad tím, která znaménka (" " nebo "") budou mít stupně kladných a záporných čísel?

Bude například číslo kladné nebo záporné? A? ? U prvního je vše jasné: bez ohledu na to, kolik kladných čísel navzájem vynásobíme, výsledek bude kladný.

Určete sami, jaké znamení budou mít následující výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli jste to?

Zde jsou odpovědi: V prvních čtyřech příkladech je doufám vše jasné? Jednoduše se podíváme na základ a exponent a použijeme příslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V příkladu 5) také není všechno tak děsivé, jak se zdá: nezáleží na tom, čemu se rovná základna - stupeň je sudý, což znamená, že výsledek bude vždy pozitivní.

Tedy kromě případů, kdy je základ nula. Základ není stejný, že? Očividně ne, protože (protože).

Příklad 6) už není tak jednoduchý!

6 praktických příkladů

Rozbor řešení 6 příkladů

Ale jak to udělat? Ukazuje se, že je to velmi snadné: zde nám pomáhá sudý stupeň jmenovatele.

Termíny magicky změnily místa. Tento „fenomén“ platí pro jakýkoli výraz v sudé míře: znaménka v závorkách můžeme libovolně měnit.

Ale je důležité si pamatovat: všechny znaky se mění současně!

Vraťme se k příkladu:

A opět vzorec:

Celý pojmenováváme přirozená čísla, jejich protiklady (tedy brané se znaménkem "") a číslo.

kladné celé číslo, a neliší se od přírodního, pak vše vypadá přesně jako v předchozí části.

Nyní se podívejme na nové případy. Začněme s ukazatelem rovným.

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné:

Jako vždy se ptáme sami sebe: proč tomu tak je?

Zvažte nějakou sílu se základnou. Vezměte si například a vynásobte:

Takže jsme číslo vynásobili a dostali jsme stejné, jako bylo -. Jakým číslem se musí vynásobit, aby se nic nezměnilo? Přesně tak, dál. Prostředek.

Totéž můžeme udělat s libovolným číslem:

Zopakujme si pravidlo:

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné.

Ale existují výjimky z mnoha pravidel. A tady je to také tam - toto je číslo (jako základ).

Odtud je již snadné vyjádřit požadované:

Nyní rozšíříme výsledné pravidlo na libovolnou míru:

Pojďme tedy formulovat pravidlo:

Číslo k záporné mocnině je inverzí stejného čísla ke kladné mocnině. Ale v tu samou dobu základ nemůže být null:(protože to nejde rozdělit).

Pojďme si to shrnout:

I. Výraz není definován v case. Pokud, tak.

II. Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné: .

III. Číslo, které se nerovná nule k záporné mocnině, je inverzí stejného čísla k kladné mocnině: .

Úkoly pro samostatné řešení:

No, jako obvykle, příklady pro nezávislé řešení:

Analýza úloh pro samostatné řešení:

Pokračujme v rozšiřování rozsahu čísel „vhodných“ jako exponent.

Nyní zvažte racionální čísla. Jaká čísla se nazývají racionální?

Odpověď: vše, co může být reprezentováno jako zlomek, kde a jsou celá čísla, navíc.

Abychom pochopili, co je "zlomkový stupeň" Uvažujme zlomek:

Uveďme obě strany rovnice na mocninu:

Nyní si zapamatujte pravidlo "od stupně ke stupni":

Jaké číslo musí být zvýšeno na mocninu, abyste získali?

Tato formulace je definicí kořene tého stupně.

Dovolte mi, abych vám připomněl: odmocnina tý mocniny čísla () je číslo, které se po umocnění rovná.

To znamená, že kořen tého stupně je inverzní operace umocňování: .

Ukázalo se, že. Tento speciální případ lze samozřejmě rozšířit: .

Nyní přidejte čitatel: co to je? Odpověď lze snadno získat pomocí pravidla power-to-power:

Ale může být základem jakékoliv číslo? Koneckonců, kořen nelze extrahovat ze všech čísel.

Žádný!

Pamatujte na pravidlo: každé číslo umocněné na sudou mocninu je kladné číslo. To znamená, že je nemožné extrahovat kořeny sudého stupně ze záporných čísel!

A to znamená, že taková čísla nelze umocnit na zlomkovou mocninu se sudým jmenovatelem, to znamená, že výraz nedává smysl.

A co výraz?

Zde však nastává problém.

Číslo může být reprezentováno jako jiné, redukované zlomky, například, popř.

A ukáže se, že existuje, ale neexistuje, a to jsou jen dva různé záznamy stejného čísla.

Nebo jiný příklad: jednou, pak si to můžete zapsat. Jakmile ale zapíšeme indikátor jiným způsobem, opět máme problém: (to znamená, že jsme dostali úplně jiný výsledek!).

Abyste se vyhnuli takovým paradoxům, zvažte pouze kladný základní exponent se zlomkovým exponentem.

Takže když:

- přirozené číslo;
je celé číslo;