Návod

Aritmetický postup je posloupnost tvaru a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Číslo d krok progrese.Je zřejmé, že součet libovolného n-tého členu aritmetiky progrese má tvar: An = A1+(n-1)d. Pak znám jednoho z členů progrese, člen progrese a krok progrese, může být , tedy číslo členu progrese. Je zřejmé, že bude určen vzorcem n = (An-A1+d)/d.

Nechť je nyní znám m-tý termín progrese a nějaký další člen progrese- n-tý, ale n , jako v předchozím případě, ale je známo, že n a m se neshodují. progrese lze vypočítat podle vzorce: d = (An-Am)/(n-m). Potom n = (An-Am+md)/d.

Je-li součet několika prvků aritmetiky progrese, stejně jako jeho první a poslední , pak lze také určit počet těchto prvků. progrese se bude rovnat: S = ((A1+An)/2)n. Pak n = 2S/(A1+An) jsou chdenov progrese. S využitím skutečnosti, že An = A1+(n-1)d, lze tento vzorec přepsat jako: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Z toho lze vyjádřit n řešením kvadratická rovnice.

Aritmetická posloupnost je taková uspořádaná množina čísel, jejíž každý člen, kromě prvního, se od předchozího liší o stejnou hodnotu. Tato konstanta se nazývá rozdíl progrese nebo její krok a lze ji vypočítat ze známých členů aritmetické progrese.

Návod

Pokud jsou hodnoty prvního a druhého nebo jakékoli jiné dvojice sousedních členů známé z podmínek problému, pro výpočet rozdílu (d) jednoduše odečtěte předchozí člen od dalšího členu. Výsledná hodnota může být buď kladná nebo záporné číslo- záleží na tom, zda se progrese zvyšuje. V obecném tvaru napište řešení pro libovolnou dvojici (aᵢ a aᵢ₊₁) sousedních členů posloupnosti takto: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Pro dvojici členů takového postupu, z nichž jeden je první (a₁) a druhý je libovolný jiný libovolně zvolený, lze také vytvořit vzorec pro nalezení rozdílu (d). V tomto případě však musí být známo pořadové číslo (i) libovolně zvoleného člena posloupnosti. Chcete-li vypočítat rozdíl, sečtěte obě čísla a vydělte výsledek pořadovým číslem libovolného členu zmenšeným o jednu. Obecně zapište tento vzorec takto: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Je-li znám kromě libovolného členu aritmetické posloupnosti s pořadovým číslem i ještě člen s pořadovým číslem u, změňte odpovídajícím způsobem vzorec z předchozího kroku. V tomto případě bude rozdíl (d) posloupnosti součtem těchto dvou členů děleným rozdílem jejich pořadových čísel: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Vzorec pro výpočet rozdílu (d) se poněkud zkomplikuje, pokud je v podmínkách úlohy uvedena hodnota jeho prvního členu (a₁) a součtu (Sᵢ). dané číslo i) první členy aritmetické posloupnosti. Chcete-li získat požadovanou hodnotu, vydělte součet počtem členů, které jej tvoří, odečtěte hodnotu prvního čísla v posloupnosti a zdvojnásobte výsledek. Výslednou hodnotu vydělte počtem členů, které tvořily součet snížený o jeden. Obecně zapište vzorec pro výpočet diskriminantu takto: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Studuje se téma "aritmetická progrese". obecný kurz algebra ve školách v 9. ročníku. Toto téma je důležité pro další pokračování hloubkové studium matematika číselných řad. V tomto článku se seznámíme s aritmetickým postupem, jeho rozdílem a také s typickými úkoly, se kterými se mohou školáci setkat.

Pojem algebraické progrese

Číselná posloupnost je posloupnost čísel, ve které lze každý následující prvek získat z předchozího, pokud se použije nějaký matematický zákon. Existují dva jednoduché typy progrese: geometrická a aritmetická, která se také nazývá algebraická. Pojďme se tomu věnovat podrobněji.

Představte si nějaké racionální číslo, označte ho symbolem a 1 , kde index udává jeho pořadové číslo v uvažované řadě. Přidejme k 1 nějaké další číslo, označme ho d. Potom lze druhý prvek řady odrážet takto: a 2 = a 1 + d. Nyní znovu přidejte d, dostaneme: a 3 = a 2 + d. Pokračováním této matematické operace lze získat celá řadačísla, která se budou nazývat aritmetická progrese.

Jak lze z výše uvedeného pochopit, abyste našli n-tý prvek této posloupnosti, musíte použít vzorec: a n = a 1 + (n-1) * d. Dosazením n=1 do výrazu skutečně dostaneme a 1 = a 1, jestliže n = 2, pak vzorec implikuje: a 2 = a 1 + 1*d, a tak dále.

Pokud je například rozdíl aritmetické progrese 5 a 1 \u003d 1, znamená to, že číselná řada uvažovaného typu má tvar: 1, 6, 11, 16, 21, ... Jak vidíte, každý jeho člen je o 5 více než předchozí.

Diferenční vzorce aritmetického postupu

Z výše uvedené definice uvažované řady čísel vyplývá, že k jejímu určení potřebujete znát dvě čísla: a 1 a d. To druhé se nazývá rozdíl tohoto postupu. Jednoznačně určuje chování celé série. Je-li totiž d kladné, pak se bude číselná řada neustále zvětšovat, naopak v případě záporného d budou čísla v řadě narůstat pouze modulo, zatímco jejich absolutní hodnota bude s rostoucím číslem n klesat.

Jaký je rozdíl mezi aritmetickou progresí? Zvažte dva hlavní vzorce, které se používají k výpočtu této hodnoty:

1. d = a n+1 -a n , tento vzorec vyplývá přímo z definice uvažované řady čísel.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), tento výraz se získá vyjádřením d ze vzorce uvedeného v předchozím odstavci článku. Všimněte si, že tento výraz se stane neurčitým (0/0), pokud n=1. To je způsobeno skutečností, že je nutné znát alespoň 2 prvky řady, aby bylo možné určit její rozdíl.

Tyto dva základní vzorce se používají k řešení jakéhokoli problému hledání rozdílu progrese. Existuje však další vzorec, o kterém také musíte vědět.

Součet prvních prvků

Vzorec, který lze podle historických důkazů použít k určení součtu libovolného počtu členů algebraické posloupnosti, poprvé získal „princ“ matematiky 18. století Carl Gauss. Německý vědec, ještě jako chlapec základní škola vesnická škola si všiml, že pro sečtení přirozených čísel v řadě od 1 do 100 musíte nejprve sečíst první prvek a poslední (výsledná hodnota se bude rovnat součtu předposledního a druhého, předposledního a třetího prvku atd.), a poté je třeba toto číslo vynásobit počtem těchto součtů, tedy 50.

Vzorec, který odráží uvedený výsledek na konkrétním příkladu, lze zobecnit na libovolný případ. Bude to vypadat takto: S n = n/2*(a n + a 1). Všimněte si, že pro nalezení zadané hodnoty není nutná znalost rozdílu d, pokud jsou známy dva členy progrese (a n a a 1).

Příklad #1. Určete rozdíl se znalostí dvou členů řady a1 a an

V článku si ukážeme, jak aplikovat výše uvedené vzorce. Uveďme jednoduchý příklad: rozdíl aritmetické progrese není znám, je nutné určit, čemu se bude rovnat, pokud 13 \u003d -5,6 a 1 \u003d -12,1.

Protože známe hodnoty dvou prvků číselné posloupnosti a jeden z nich je první číslo, můžeme pro určení rozdílu d použít vzorec č. 2. Máme: d \u003d (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. Ve výrazu jsme použili hodnotu n=13, protože člen s tímto pořadovým číslem je znám.

Výsledný rozdíl naznačuje, že progrese se zvyšuje, přestože prvky uvedené v podmínce problému mají zápornou hodnotu. Je vidět, že a 13 >a 1 , ačkoli |a 13 |<|a 1 |.

Příklad č. 2. Výrazy kladné progrese v příkladu č. 1

Použijme výsledek získaný v předchozím příkladu k řešení nového problému. Je formulován následovně: od jaké pořadové číslovky začínají prvky progrese v příkladu č. 1 nabývat kladných hodnot?

Jak bylo ukázáno, progrese, ve které a 1 = -12,1 a d = 0,54167 roste, takže od určitého čísla budou čísla nabývat pouze kladných hodnot. Pro určení tohoto čísla n je potřeba vyřešit jednoduchou nerovnici, která se matematicky zapíše takto: a n>0 nebo pomocí příslušného vzorce nerovnost přepíšeme: a 1 + (n-1)*d>0. Je potřeba najít neznámé n, vyjádřeme to: n>-1*a 1 /d + 1. Nyní zbývá dosadit známé hodnoty rozdílu a prvního člena posloupnosti. Dostaneme: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 nebo n>23,338. Protože n může nabývat pouze celočíselných hodnot, ze získané nerovnosti vyplývá, že všechny členy řady, které mají číslo větší než 23, budou kladné.

Zkontrolujme naši odpověď pomocí výše uvedeného vzorce k výpočtu 23. a 24. prvku této aritmetické posloupnosti. Máme: 23 \u003d -12,1 + 22 * ​​​​0,54167 \u003d -0,18326 (záporné číslo); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (kladná hodnota). Získaný výsledek je tedy správný: počínaje n=24 budou všechny členy číselné řady větší než nula.

Příklad č. 3. Kolik polen se vejde?

Zde je jeden zajímavý problém: během těžby dřeva bylo rozhodnuto naskládat nařezané kmeny na sebe, jak je znázorněno na obrázku níže. Kolik polen lze tímto způsobem naskládat, když víte, že se celkem vejde 10 řad?

Na tomto způsobu skládání klád si lze všimnout jedné zajímavosti: každá následující řada bude obsahovat o kládu méně než předchozí, tedy existuje algebraický postup, jehož rozdíl je d=1. Za předpokladu, že počet log v každém řádku je členem této progrese, a také vezmeme-li v úvahu, že a 1 = 1 (nahoře se vejde pouze jeden log), najdeme číslo a 10 . Máme: 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. To znamená, že v 10. řadě, která leží na zemi, bude 10 polen.

Celkové množství této "pyramidové" konstrukce lze získat pomocí Gaussova vzorce. Získáme: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 protokolů.

Mnozí slyšeli o aritmetickém postupu, ale ne každý si je dobře vědom toho, co to je. V tomto článku uvedeme odpovídající definici a také zvážíme otázku, jak najít rozdíl aritmetické progrese, a uvedeme řadu příkladů.

Matematická definice

Pokud tedy mluvíme o aritmetické nebo algebraické posloupnosti (tyto pojmy definují totéž), pak to znamená, že existuje nějaká číselná řada, která splňuje následující zákon: každé dvě sousední čísla v řadě se liší o stejnou hodnotu. Matematicky je to napsáno takto:

Zde n znamená číslo prvku a n v posloupnosti a číslo d je rozdíl posloupnosti (jeho název vyplývá z uvedeného vzorce).

Co znamená znát rozdíl d? O tom, jak daleko od sebe jsou sousední čísla. Znalost d je však nutná, ale nikoli dostatečný stav určit (obnovit) celý průběh. Musíte znát ještě jedno číslo, což může být absolutně jakýkoli prvek zvažované řady, například 4, a10, ale zpravidla se používá první číslo, to znamená 1.

Vzorce pro stanovení prvků progrese

Obecně platí, že výše uvedené informace již stačí k přechodu k řešení konkrétních problémů. Nicméně, než bude uvedena aritmetická posloupnost a bude nutné najít její rozdíl, uvádíme pár užitečné vzorce, čímž se usnadní následný proces řešení problémů.

Je snadné ukázat, že jakýkoli prvek posloupnosti s číslem n lze nalézt takto:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Tento vzorec si skutečně každý může ověřit jednoduchým výčtem: dosadíme-li n = 1, dostaneme první prvek, dosadíme-li n = 2, pak výraz udává součet prvního čísla a rozdílu atd.

Podmínky mnoha úloh jsou sestaveny tak, že pro známou dvojici čísel, jejichž čísla jsou uvedena i v posloupnosti, je nutné obnovit celou číselnou řadu (najít rozdíl a první prvek). Nyní tento problém vyřešíme obecně.

Řekněme tedy, že máme dva prvky s čísly n a m. Pomocí výše získaného vzorce můžeme sestavit systém dvou rovnic:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

K nalezení neznámých veličin použijeme známou jednoduchou metodu řešení takové soustavy: odečteme levou a pravou část ve dvojicích, přičemž rovnost zůstává v platnosti. My máme:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Tím jsme odstranili jednu neznámou (a 1). Nyní můžeme napsat konečný výraz pro určení d:

d = (a n - a m) / (n - m), kde n > m

Obdrželi jsme velmi jednoduchý vzorec: pro výpočet rozdílu d v souladu s podmínkami úlohy je nutné vzít pouze poměr rozdílů samotných prvků a jejich sériových čísel. Mělo by se zaměřit na jednu důležitý bod Pozor: rozdíly jsou brány mezi "vyšším" a "nižším" členem, tedy n > m ("vyšší" znamená stojící dále od začátku sekvence, její absolutní hodnota může být buď větší, nebo menší než "mladší" prvek).

Výraz pro rozdíl d průběhu je třeba dosadit do kterékoli z rovnic na začátku řešení úlohy, abychom získali hodnotu prvního členu.

V našem věku vývoje počítačová technologie mnoho školáků se snaží najít řešení svých úkolů na internetu, takže často vyvstávají otázky tohoto typu: najít rozdíl aritmetického postupu online. Na takový požadavek vyhledávač zobrazí řadu webových stránek, na které budete muset zadat údaje známé z podmínky (může jít buď o dva členy progrese, nebo o součet některých z nich) a obratem dostanete odpověď. Přesto je takový přístup k řešení problému neproduktivní z hlediska rozvoje žáka a pochopení podstaty jemu zadaného úkolu.

Řešení bez použití vzorců

Vyřešme první problém, přičemž nepoužijeme žádný z výše uvedených vzorců. Nechť jsou dány prvky řady: a6 = 3, a9 = 18. Najděte rozdíl aritmetické posloupnosti.

Známé prvky jsou blízko sebe v řadě. Kolikrát se musí přičíst rozdíl d k nejmenšímu, abychom dostali ten největší? Třikrát (poprvé přidáním d dostaneme 7. prvek, podruhé - osmý, nakonec potřetí - devátý). Jaké číslo je třeba třikrát přičíst ke třem, abyste dostali 18? Toto je číslo pět. Opravdu:

Neznámý rozdíl je tedy d = 5.

Řešení bylo samozřejmě možné provést pomocí příslušného vzorce, ale nebylo to provedeno záměrně. Podrobné vysvětlení řešení problému by se mělo stát jasným a názorným příkladem toho, co je aritmetická progrese.

Úkol podobný předchozímu

Nyní vyřešme podobný problém, ale změňme vstupní data. Měli byste tedy zjistit, zda a3 = 2, a9 = 19.

Samozřejmě se můžete opět uchýlit k metodě řešení „na čelo“. Ale protože jsou dány prvky řady, které jsou relativně daleko od sebe, není taková metoda příliš pohodlná. Ale použití výsledného vzorce nás rychle dovede k odpovědi:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Zde jsme zaokrouhlili konečné číslo. Do jaké míry toto zaokrouhlení vedlo k chybě, lze posoudit kontrolou výsledku:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Tento výsledek se liší pouze o 0,1 % od hodnoty uvedené v podmínce. Použité zaokrouhlení na setiny lze tedy považovat za dobrou volbu.

Úkoly pro použití vzorce pro člen

Uvažujme klasický příklad problému určení neznámé d: najděte rozdíl aritmetické posloupnosti, jestliže a1 = 12, a5 = 40.

Když jsou dána dvě čísla neznámé algebraické posloupnosti a jedno z nich je prvek a 1 , pak nemusíte dlouho přemýšlet, ale měli byste okamžitě použít vzorec pro člen a n. V tomto případě máme:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Při dělení jsme dostali přesné číslo, takže nemá smysl kontrolovat správnost vypočteného výsledku, jak bylo provedeno v předchozím odstavci.

Řešíme další podobný problém: měli bychom najít rozdíl aritmetické posloupnosti, jestliže a1 = 16, a8 = 37.

Použijeme podobný přístup jako předchozí a dostaneme:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Co dalšího byste měli vědět o aritmetickém postupu

Kromě problémů s hledáním neznámého rozdílu nebo jednotlivých prvků je často nutné řešit problémy součtu prvních členů posloupnosti. Zvažování těchto problémů přesahuje rámec tématu článku, nicméně pro úplnost informace uvádíme obecný vzorec pro součet n čísel řady:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Například sekvence \(2\); \(5\); \(8\); \(jedenáct\); \(14\)… je aritmetický postup, protože každý další prvek se liší od předchozího o tři (od předchozího lze získat přidáním tří):

V tomto postupu je rozdíl \(d\) kladný (rovný \(3\)), a proto je každý další člen větší než ten předchozí. Takové progrese se nazývají vzrůstající.

\(d\) však může být také záporné číslo. Například, v aritmetickém postupu \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… rozdíl postupu \(d\) se rovná mínus šesti.

A v tomto případě bude každý další prvek menší než ten předchozí. Tyto progrese se nazývají klesající.

Zápis aritmetického postupu

Progrese je označena malým latinským písmenem.

Čísla, která tvoří průběh, se nazývají členů(nebo prvky).

Označují se stejným písmenem jako aritmetický postup, ale s číselným indexem rovným číslu prvku v pořadí.

Například aritmetická posloupnost \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\vpravo\)\) se skládá z prvků \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) a tak dále.

Jinými slovy, pro postup \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\vpravo\)\)

Řešení úloh na aritmetickém postupu

V zásadě jsou výše uvedené informace již dostatečné k vyřešení téměř jakéhokoli problému na aritmetickém postupu (včetně těch, které nabízí OGE).

Příklad (OGE). Aritmetický postup je dán podmínkami \(b_1=7; d=4\). Najít \(b_5\).
Řešení:

Odpovědět: \(b_5=23\)

Příklad (OGE). Jsou uvedeny první tři členy aritmetické posloupnosti: \(62; 49; 36…\) Najděte hodnotu prvního záporného členu této posloupnosti.
Řešení:

	Jsou nám dány první prvky sekvence a víme, že jde o aritmetický postup. To znamená, že každý prvek se liší od sousedního o stejné číslo. Zjistěte který z nich odečtením předchozího od následujícího prvku: \(d=49-62=-13\).
	Nyní můžeme obnovit náš postup k požadovanému (prvnímu negativnímu) prvku.
	Připraveno. Můžete napsat odpověď.

Odpovědět: \(-3\)

Příklad (OGE). Je dáno několik po sobě jdoucích prvků aritmetické posloupnosti: \(...5; x; 10; 12,5...\) Najděte hodnotu prvku označeného písmenem \(x\).
Řešení:

	Abychom našli \(x\), potřebujeme vědět, jak moc se následující prvek liší od předchozího, jinými slovy, rozdíl progrese. Nalezneme to ze dvou známých sousedních prvků: \(d=12,5-10=2,5\).
	A nyní bez problémů najdeme, co hledáme: \(x=5+2,5=7,5\).
	Připraveno. Můžete napsat odpověď.

Odpovědět: \(7,5\).

Příklad (OGE). Aritmetický průběh je dán následujícími podmínkami: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Najděte součet prvních šesti členů této posloupnosti.
Řešení:

	Musíme najít součet prvních šesti členů progrese. Ale neznáme jejich významy, je nám dán pouze první prvek. Proto nejprve vypočítáme hodnoty postupně pomocí nám daného: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) A po výpočtu šesti prvků, které potřebujeme, najdeme jejich součet.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Požadovaná částka byla nalezena.

Odpovědět: \(S_6=9\).

Příklad (OGE). V aritmetickém postupu \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Najděte rozdíl tohoto postupu.
Řešení:

Odpovědět: \(d=7\).

Důležité vzorce aritmetického postupu

Jak vidíte, mnoho problémů s aritmetickým postupem lze vyřešit jednoduše pochopením toho hlavního - že aritmetický postup je řetězec čísel a každý další prvek v tomto řetězci se získá přidáním stejného čísla k předchozímu (rozdílu postupu).

Někdy však nastanou situace, kdy je velmi nepohodlné řešit „na čelo“. Představte si například, že v úplně prvním příkladu potřebujeme najít nikoli pátý prvek \(b_5\), ale třistaosmdesátý šestý \(b_(386)\). Co je to, musíme \ (385 \)krát přidat čtyři? Nebo si představte, že v předposledním příkladu potřebujete najít součet prvních sedmdesáti tří prvků. Počítání je matoucí...

Proto v takových případech neřeší „na čelo“, ale používají speciální vzorce odvozené pro aritmetický postup. A hlavní jsou vzorec pro n-tý člen posloupnosti a vzorec pro součet \(n\) prvních členů.

Vzorec pro \(n\)-tý člen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kde \(a_1\) je první člen posloupnosti;
\(n\) – číslo požadovaného prvku;
\(a_n\) je členem posloupnosti s číslem \(n\).

Tento vzorec nám umožňuje rychle najít alespoň tři setiny, dokonce i miliontý prvek, přičemž známe pouze první a progresivní rozdíl.

Příklad. Aritmetický postup je dán podmínkami: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Najděte \(b_(246)\).
Řešení:

Odpovědět: \(b_(246)=1850\).

Vzorec pro součet prvních n členů je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kde

\(a_n\) je poslední sečtený člen;

Příklad (OGE). Aritmetický postup je dán podmínkami \(a_n=3,4n-0,6\). Najděte součet prvních \(25\) členů této posloupnosti.
Řešení:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		K výpočtu součtu prvních dvaceti pěti prvků potřebujeme znát hodnotu prvního a dvacátého pátého členu. Náš postup je dán vzorcem n-tého členu v závislosti na jeho čísle (viz podrobnosti). Vypočítejme první prvek nahrazením \(n\) jedničkou.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Nyní najdeme dvacátý pátý člen dosazením pětadvaceti místo \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Nyní bez problémů vypočítáme požadovanou částku.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odpověď je připravena.

Odpovědět: \(S_(25)=1090\).

Pro součet \(n\) prvních členů můžete získat jiný vzorec: stačí, když \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) místo \(a_n\) dosadíte vzorec \(a_n=a_1\(n-1)d). Dostaneme:

Vzorec pro součet prvních n členů je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kde

\(S_n\) – požadovaný součet \(n\) prvních prvků;
\(a_1\) je první člen, který se má sečíst;
\(d\) – rozdíl progrese;
\(n\) - počet prvků v součtu.

Příklad. Najděte součet prvních \(33\)-ex členů aritmetické posloupnosti: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Řešení:

Odpovědět: \(S_(33)=-231\).

Složitější problémy aritmetického postupu

Nyní máte všechny informace, které potřebujete k vyřešení téměř jakéhokoli problému aritmetického postupu. Dokončíme téma zvážením problémů, ve kterých je potřeba nejen aplikovat vzorce, ale také trochu přemýšlet (v matematice se to může hodit ☺)

Příklad (OGE). Najděte součet všech záporných členů progrese: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Řešení:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Úkol je velmi podobný předchozímu. Začneme řešit stejným způsobem: nejprve najdeme \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Nyní bychom do vzorce pro součet dosadili \(d\) ... a zde se objeví malá nuance - nevíme \(n\). Jinými slovy, nevíme, kolik výrazů bude potřeba přidat. Jak to zjistit? Zamysleme se. Přestaneme přidávat prvky, když se dostaneme k prvnímu pozitivnímu prvku. To znamená, že musíte zjistit číslo tohoto prvku. Jak? Zapišme si vzorec pro výpočet libovolného prvku aritmetické posloupnosti: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pro náš případ.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Potřebujeme, aby \(a_n\) bylo větší než nula. Pojďme zjistit, k čemu \(n\) se to stane.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obě strany nerovnosti vydělíme \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Přenášíme mínus jedna, nezapomínáme na změnu znamení
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Výpočetní...
\(n>65 333…\)		…a ukáže se, že první kladný prvek bude mít číslo \(66\). Podle toho má poslední zápor \(n=65\). Pro případ, pojďme se na to podívat.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Potřebujeme tedy přidat prvních \(65\) prvků.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odpověď je připravena.

Odpovědět: \(S_(65)=-630,5\).

Příklad (OGE). Aritmetický postup je dán podmínkami: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Najděte součet od \(26\)-tého do \(42\) prvku včetně.
Řešení:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	V tomto problému musíte také najít součet prvků, ale ne od prvního, ale od \(26\)-tého. Na to nemáme vzorec. jak se rozhodnout? Snadné - abyste získali součet od \(26\)-té do \(42\)-té, musíte nejprve najít součet od \(1\)-té do \(42\)-té a poté od ní odečíst součet od první do \(25\)té (viz obrázek).
	Pro náš postup \(a_1=-33\) a rozdíl \(d=4\) (koneckonců přidáme čtyři k předchozímu prvku, abychom našli další). Když to víme, najdeme součet prvních \(42\)-uh prvků.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Nyní součet prvních \(25\)-tých prvků.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	A nakonec vypočítáme odpověď.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Odpovědět: \(S=1683\).

Pro aritmetický postup existuje několik dalších vzorců, které jsme v tomto článku neuvažovali kvůli jejich nízké praktické užitečnosti. Můžete je však snadno najít.

První úroveň

Aritmetický postup. Podrobná teorie s příklady (2019)

Číselná posloupnost

Tak si sedneme a začneme psát nějaká čísla. Například:
Můžete napsat libovolná čísla a může jich být tolik, kolik chcete (v našem případě jich). Bez ohledu na to, kolik čísel napíšeme, vždy můžeme říci, které z nich je první, které druhé, a tak dále až do posledního, to znamená, že je můžeme očíslovat. Toto je příklad číselné řady:

Číselná posloupnost
Například pro naši sekvenci:

Přidělené číslo je specifické pouze pro jedno pořadové číslo. Jinými slovy, v pořadí nejsou žádná tři sekundová čísla. Druhé číslo (jako -té číslo) je vždy stejné.
Číslo s číslem se nazývá -tý člen posloupnosti.

Celé posloupnosti obvykle říkáme nějaké písmeno (například) a každý člen této posloupnosti - stejné písmeno s indexem rovným číslu tohoto členu: .

V našem případě:

Řekněme, že máme číselnou posloupnost, ve které je rozdíl mezi sousedními čísly stejný a stejný.
Například:

atd.
Taková číselná posloupnost se nazývá aritmetická progrese.
Termín „progrese“ zavedl římský autor Boethius již v 6. století a byl chápán v širším smyslu jako nekonečná číselná posloupnost. Název „aritmetika“ byl přenesen z teorie spojitých proporcí, kterou se zabývali staří Řekové.

Jedná se o číselnou posloupnost, jejíž každý člen je roven předchozímu, doplněný stejným číslem. Toto číslo se nazývá rozdíl aritmetické progrese a označuje se.

Pokuste se určit, které číselné řady jsou aritmetickým postupem a které ne:

A)
b)
C)
d)

Mám to? Porovnejte naše odpovědi:
Je aritmetický postup - b, c.
Není aritmetický postup - a, d.

Vraťme se k dané progresi () a zkusme najít hodnotu jejího tého členu. Existuje dva způsob, jak to najít.

1. Metoda

K předchozí hodnotě čísla progrese můžeme přidávat, dokud nedosáhneme tého členu progrese. Je dobře, že nemáme moc co shrnout – pouze tři hodnoty:

Takže -tý člen popsané aritmetické posloupnosti je roven.

2. Metoda

Co kdybychom potřebovali najít hodnotu tého členu progrese? Sčítání by nám zabralo více než jednu hodinu a není pravda, že bychom se při sčítání čísel nemýlili.
Matematici samozřejmě přišli na způsob, kdy k předchozí hodnotě nemusíte přičítat rozdíl aritmetické progrese. Podívejte se pozorně na nakreslený obrázek ... Určitě jste si již všimli určitého vzoru, a to:

Podívejme se například, co tvoří hodnotu -tého členu této aritmetické posloupnosti:


Jinými slovy:

Pokuste se tímto způsobem samostatně najít hodnotu člena této aritmetické posloupnosti.

Vypočítané? Porovnejte své příspěvky s odpovědí:

Všimněte si, že jste dostali přesně stejné číslo jako v předchozí metodě, kdy jsme postupně přičítali členy aritmetické posloupnosti k předchozí hodnotě.
Zkusme se "odosobnit" tento vzorec- přenesme to do obecné podoby a dostaneme:

Aritmetická postupová rovnice.

Aritmetické posloupnosti buď rostou, nebo klesají.

Vzrůstající- posloupnosti, ve kterých je každá následující hodnota členů větší než předchozí.
Například:

Klesající- posloupnosti, ve kterých je každá následující hodnota členů menší než předchozí.
Například:

Odvozený vzorec se používá při výpočtu členů v rostoucím i klesajícím členu aritmetické posloupnosti.
Pojďme si to ověřit v praxi.
Dostali jsme aritmetický postup skládající se z následujících čísel:

Od té doby:

Byli jsme tedy přesvědčeni, že vzorec funguje jak při snižování, tak při zvyšování aritmetické progrese.
Pokuste se sami najít -tý a -tý člen této aritmetické posloupnosti.

Porovnejme výsledky:

Vlastnost aritmetického postupu

Zkomplikujme si úlohu – odvodíme vlastnost aritmetické posloupnosti.
Předpokládejme, že máme následující podmínku:
- aritmetický postup, najít hodnotu.
Je to snadné, řeknete si, a začnete počítat podle vzorce, který už znáte:

Nechte, a, pak:

Naprosto správně. Ukazuje se, že nejprve najdeme, pak jej přidáme k prvnímu číslu a získáme to, co hledáme. Pokud je progrese reprezentována malými hodnotami, tak na tom není nic složitého, ale co když nám jsou v podmínce dána čísla? Souhlasím, existuje možnost chyb ve výpočtech.
Nyní přemýšlejte, je možné vyřešit tento problém v jednom kroku pomocí jakéhokoli vzorce? Samozřejmě, že ano, a my se to teď pokusíme vynést.

Označme požadovaný člen aritmetické posloupnosti, protože známe vzorec pro jeho nalezení - je to stejný vzorec, který jsme odvodili na začátku:
, Pak:

• předchozí člen progrese je:
• další termín postupu je:

Shrňme předchozí a následující členy progrese:

Ukazuje se, že součet předchozích a následujících členů progrese je dvojnásobkem hodnoty člena progrese umístěného mezi nimi. Jinými slovy, abychom našli hodnotu progresivního členu se známými předchozími a následnými hodnotami, je nutné je sečíst a vydělit.

Přesně tak, máme stejné číslo. Opravíme materiál. Hodnotu progrese si spočítejte sami, protože to není vůbec těžké.

Výborně! O progresi víte téměř vše! Zbývá zjistit pouze jeden vzorec, který si podle legendy jeden z největších matematiků všech dob, "král matematiků" - Karl Gauss, snadno odvodil pro sebe ...

Když bylo Carlu Gaussovi 9 let, učitel, zaneprázdněný kontrolou práce studentů v jiných třídách, položil v hodině následující úkol: „Vypočítej součet všech přirozená čísla od do (podle jiných zdrojů až do) včetně. Jaké bylo překvapení učitele, když jeden z jeho žáků (byl to Karl Gauss) po minutě odpověděl na úkol správně, zatímco většina spolužáků odvážlivce po dlouhých výpočtech dostala špatný výsledek...

Mladý Carl Gauss si všiml vzoru, kterého si můžete snadno všimnout.
Řekněme, že máme aritmetickou posloupnost sestávající z členů -ti: Potřebujeme najít součet daných členů aritmetické posloupnosti. Všechny hodnoty samozřejmě můžeme sečíst ručně, ale co když potřebujeme v úloze najít součet jejích členů, jak to hledal Gauss?

Pojďme si znázornit pokrok, který nám byl dán. Pozorně si prohlédněte zvýrazněná čísla a zkuste s nimi provádět různé matematické operace.


Vyzkoušeno? čeho sis všiml? Že jo! Jejich součty jsou stejné

Nyní odpovězte, kolik takových párů bude v postupu, který nám byl přidělen? Samozřejmě přesně polovina všech čísel, tzn.
Na základě skutečnosti, že součet dvou členů aritmetické posloupnosti je stejný a podobných stejných dvojic, dostaneme, že celkový součet je roven:
.
Vzorec pro součet prvních členů jakékoli aritmetické posloupnosti tedy bude:

V některých problémech neznáme tý člen, ale známe progresivní rozdíl. Zkuste do součtového vzorce dosadit vzorec tého členu.
Co jsi dostal?

Výborně! Nyní se vraťme k problému, který dostal Carl Gauss: spočítejte si sami, jaký je součet čísel začínajících od -tého a součet čísel začínajících od -tého.

kolik jsi dostal?
Gauss ukázal, že součet členů se rovná a součet členů se rovná. Rozhodli jste se tak?

Ve skutečnosti vzorec pro součet členů aritmetické posloupnosti dokázal již ve 3. století starověký řecký vědec Diophantus a po celou tuto dobu vtipní lidé používali vlastnosti aritmetické posloupnosti s velkou silou.
Představte si například Starověký Egypt a největší staveniště té doby - stavba pyramidy ... Obrázek ukazuje jednu její stranu.

Kde je ten pokrok, říkáte? Podívejte se pozorně a najděte vzor v počtu pískových bloků v každé řadě stěny pyramidy.


Proč ne aritmetický postup? Spočítejte, kolik bloků je potřeba k postavení jedné stěny, pokud jsou blokové cihly umístěny v základně. Doufám, že nebudete počítat pohybem prstu po monitoru, pamatujete si poslední vzorec a vše, co jsme řekli o aritmetickém postupu?

V tomto případě průběh vypadá takto:
Rozdíl aritmetického postupu.
Počet členů aritmetické posloupnosti.
Dosadíme naše data do posledních vzorců (počet bloků počítáme 2 způsoby).

Metoda 1.

Metoda 2.

A nyní můžete také počítat na monitoru: porovnejte získané hodnoty s počtem bloků, které jsou v naší pyramidě. Souhlasilo to? Výborně, zvládli jste součet tých členů aritmetické posloupnosti.
Samozřejmě nemůžete postavit pyramidu z bloků na základně, ale z? Zkuste si spočítat, kolik pískových cihel je potřeba na stavbu zdi s tímto stavem.
Zvládli jste to?
Správná odpověď je bloky:

Výcvik

úkoly:

1. Máša se na léto dostává do formy. Každý den zvyšuje počet dřepů. Kolikrát bude Máša dřepovat za týdny, když dělala dřepy při prvním tréninku.
2. Jaký je součet všech lichých čísel obsažených v.
3. Dřevorubci je při ukládání klád skládají tak, aby každá vrchní vrstva obsahovala o jednu kládu méně než ta předchozí. Kolik kulatin je v jednom zdivu, je-li základem zdiva kulatina.

Odpovědi:

1. Definujme parametry aritmetické progrese. V tomto případě
   (týdny = dny).

   Odpovědět: Za dva týdny by měla Máša dřepovat jednou denně.

2. První liché číslo, poslední číslo.
   Rozdíl aritmetického postupu.
   Počet lichých čísel na polovinu však ověřte pomocí vzorce pro nalezení -tého členu aritmetické posloupnosti:

   Čísla obsahují lichá čísla.
   Dostupná data dosadíme do vzorce:

   Odpovědět: Součet všech lichých čísel obsažených v se rovná.

3. Vzpomeňte si na problém s pyramidami. Pro náš případ a , protože každá horní vrstva je zmenšena o jeden log, existuje pouze hromada vrstev, tzn.
   Dosaďte data ve vzorci:

   Odpovědět: Ve zdivu jsou klády.

Shrnutí

1. - číselná posloupnost, ve které je rozdíl mezi sousedními čísly stejný a stejný. Přibývá a klesá.
2. Hledání vzorcečlen aritmetické posloupnosti se zapisuje vzorcem - , kde je počet čísel v posloupnosti.
3. Vlastnost členů aritmetické posloupnosti- - kde - počet čísel v průběhu.
4. Součet členů aritmetické posloupnosti lze nalézt dvěma způsoby:
   
   , kde je počet hodnot.

ARITMETICKÝ PROGRESE. PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ

Číselná posloupnost

Sedneme si a začneme psát nějaká čísla. Například:

Můžete napsat libovolná čísla a může jich být tolik, kolik chcete. Ale vždy se dá říct, který z nich je první, který druhý a tak dále, to znamená, že je můžeme očíslovat. Toto je příklad číselné řady.

Číselná posloupnost je sada čísel, z nichž každému lze přiřadit jedinečné číslo.

Jinými slovy, každé číslo může být spojeno s určitým přirozeným číslem, a to pouze s jedním. A toto číslo nepřiřadíme žádnému jinému číslu z této sady.

Číslo s číslem se nazývá -tý člen posloupnosti.

Celé posloupnosti obvykle říkáme nějaké písmeno (například) a každý člen této posloupnosti - stejné písmeno s indexem rovným číslu tohoto členu: .

Je velmi vhodné, když -tý člen posloupnosti může být dán nějakým vzorcem. Například vzorec

nastaví pořadí:

A vzorec je následující sekvence:

Například aritmetická progrese je posloupnost (první člen je zde stejný a rozdíl). Nebo (, rozdíl).

vzorec n-tého členu

Opakující se nazýváme vzorec, ve kterém, abyste zjistili -tý člen, musíte znát předchozí nebo několik předchozích:

Abychom našli například tý člen posloupnosti pomocí takového vzorce, musíme vypočítat předchozích devět. Například ať. Pak:

No, teď je jasné, jaký je vzorec?

V každém řádku sčítáme, násobíme nějakým číslem. Proč? Velmi jednoduché: toto je číslo aktuálního člena mínus:

Teď je to mnohem pohodlnější, že? Kontrolujeme:

Rozhodněte se sami:

V aritmetickém postupu najděte vzorec pro n-tý člen a najděte stý člen.

Řešení:

První člen je rovný. A jaký je v tom rozdíl? A tady je co:

(koneckonců se tomu říká rozdíl, protože se rovná rozdílu po sobě jdoucích členů progrese).

Takže vzorec je:

Potom stý termín je:

Jaký je součet všech přirozených čísel od do?

Podle legendy velký matematik Carl Gauss jako 9letý chlapec spočítal tuto částku za pár minut. Všiml si, že součet prvního a posledního čísla se rovná, součet druhého a předposledního je stejný, součet třetího a 3. od konce je stejný a tak dále. Kolik takových párů je? Přesně tak, přesně poloviční počet všech čísel, tzn. Tak,

Obecný vzorec pro součet prvních členů jakékoli aritmetické posloupnosti bude:

Příklad:
Najděte součet všech dvouciferná čísla, násobky.

Řešení:

První takové číslo je toto. Každý další se získá přidáním čísla k předchozímu. Čísla, která nás zajímají, tedy tvoří aritmetický postup s prvním členem a rozdílem.

Vzorec pro tý člen pro tuto progresi je:

Kolik výrazů je v průběhu, pokud musí být všechny dvouciferné?

Velmi snadné: .

Poslední termín postupu bude stejný. Pak součet:

Odpovědět: .

Nyní se rozhodněte sami:

1. Každý den sportovec uběhne o 1 m více než předchozí den. Kolik kilometrů uběhne za týdny, když první den uběhne km m?
2. Cyklista najede každý den více kilometrů než ten předchozí. První den ujel km. Kolik dní musí řídit, aby urazil kilometr? Kolik kilometrů urazí poslední den cesty?
3. Cena lednice v obchodě se každým rokem snižuje o stejnou částku. Zjistěte, o kolik se cena chladničky každý rok snížila, pokud byla nabízena k prodeji za rubly a o šest let později byla prodána za rubly.

Odpovědi:

1. Nejdůležitější je zde rozpoznat aritmetický průběh a určit jeho parametry. V tomto případě (týdny = dny). Musíte určit součet prvních členů této progrese:
   .
   Odpovědět:
2. Zde je uvedeno:, je třeba najít.
   Je zřejmé, že musíte použít stejný součtový vzorec jako v předchozím problému:
   .
   Dosaďte hodnoty:

   Kořen evidentně nesedí, takže odpověď.
   Vypočítejme vzdálenost ujetou za poslední den pomocí vzorce --tého členu:
   (km).
   Odpovědět:

3. Vzhledem k tomu: . Najít: .
   Snazší už to nebude:
   (třít).
   Odpovědět:

ARITMETICKÝ PROGRESE. KRÁTCE O HLAVNÍM

Jedná se o číselnou posloupnost, ve které je rozdíl mezi sousedními čísly stejný a stejný.

Aritmetický postup se zvyšuje () a klesá ().

Například:

Vzorec pro nalezení n-tého členu aritmetické posloupnosti

se zapisuje jako vzorec, kde je počet čísel v posloupnosti.

Vlastnost členů aritmetické posloupnosti

Usnadňuje nalezení člena progrese, pokud jsou známy jeho sousední členy - kde je počet čísel v progresi.

Součet členů aritmetické posloupnosti

Součet lze zjistit dvěma způsoby:

Kde je počet hodnot.

Kde je počet hodnot.