V minulé lekci jsme se naučili sčítat a odčítat desetinné zlomky (viz lekce " Sčítání a odčítání desetinných zlomků"). Zároveň odhadli, jak moc jsou výpočty zjednodušené oproti běžným „dvoupatrovým“ zlomkům.
Bohužel s násobením a dělením desetinné zlomky k takovému účinku nedochází. Desetinný zápis v některých případech dokonce tyto operace komplikuje.
Nejprve si představíme novou definici. Setkáme se s ním poměrně často, a to nejen v této lekci.
Významnou částí čísla je vše mezi první a poslední nenulovou číslicí, včetně upoutávek. Bavíme se pouze o číslech, desetinná čárka se nebere v úvahu.
Číslice obsažené v významné části čísla se nazývají významné číslice. Mohou se opakovat a dokonce se rovnat nule.
Zvažte například několik desetinných zlomků a zapište jejich odpovídající významné části:
- 91,25 → 9125 (významná čísla: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (významná čísla: 8; 2; 4; 1);
- 15.0075 → 150075 (významná čísla: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (významná čísla: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (existuje pouze jedno platné číslo: 3).
Upozornění: nuly uvnitř významné části čísla nikam nevedou. S něčím podobným jsme se již setkali, když jsme se učili převádět desetinné zlomky na obyčejné (viz lekce „Desetinné zlomky“).
Tento bod je tak důležitý a chyby se zde dělají tak často, že v blízké budoucnosti zveřejním test na toto téma. Určitě cvičte! A my, vyzbrojeni konceptem významné části, přistoupíme ve skutečnosti k tématu lekce.
Desetinné násobení
Operace násobení se skládá ze tří po sobě jdoucích kroků:
- Pro každý zlomek zapiš významnou část. Získáte dvě obyčejná celá čísla – bez jakýchkoli jmenovatelů a desetinných teček;
- Vynásobte tato čísla jakýmkoli pohodlným způsobem. Přímo, pokud jsou čísla malá, nebo ve sloupci. Získáme významnou část požadovaného zlomku;
- Zjistěte, kde a o kolik číslic je posunuta desetinná čárka v původních zlomcích, abyste získali odpovídající významnou část. Proveďte zpětné posuny na významné části získané v předchozím kroku.
Ještě jednou připomenu, že nuly po stranách významné části se nikdy neberou v úvahu. Ignorování tohoto pravidla vede k chybám.
- 0,28 12,5;
- 6,3 1,08;
- 132,5 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 10 000.
Pracujeme s prvním výrazem: 0,28 12,5.
- Vypišme významné části čísel z tohoto výrazu: 28 a 125;
- Jejich součin: 28 125 = 3500;
- V prvním multiplikátoru se desetinná čárka posune o 2 číslice doprava (0,28 → 28) a ve druhém o další 1 číslici. Celkem je potřeba posunout doleva o tři číslice: 3500 → 3,500 = 3,5.
Nyní se pojďme zabývat výrazem 6.3 1.08.
- Vypišme významné části: 63 a 108;
- Jejich součin: 63 108 = 6804;
- Opět dva posuny doprava: o 2, respektive o 1 číslici. Celkem - opět 3 číslice doprava, takže zpětný posun bude 3 číslice doleva: 6804 → 6.804. Tentokrát na konci nejsou žádné nuly.
Dostali jsme se ke třetímu výrazu: 132,5 0,0034.
- Významné části: 1325 a 34;
- Jejich součin: 1325 34 = 45 050;
- V prvním zlomku jde desetinná čárka doprava o 1 číslici a ve druhém až o 4. Celkem: 5 doprava. Provedeme posun o 5 doleva: 45050 → ,45050 = 0,4505. Nula byla na konci odstraněna a přidána na přední stranu, aby nezůstala „holá“ desetinná čárka.
Následující výraz: 0,0108 1600,5.
- Píšeme významné části: 108 a 16 005;
- Vynásobíme je: 108 16 005 = 1 728 540;
- Počítáme čísla za desetinnou čárkou: v prvním čísle jsou 4, ve druhém - 1. Celkem - opět 5. Máme: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Na konci byla „extra“ nula odstraněna.
Nakonec poslední výraz: 5,25 10 000.
- Významné části: 525 a 1;
- Vynásobíme je: 525 1 = 525;
- První zlomek je posunut o 2 číslice doprava a druhý zlomek je posunut o 4 číslice doleva (10 000 → 1 0000 = 1). Celkem 4 − 2 = 2 číslice vlevo. Provedeme zpětný posun o 2 číslice doprava: 525, → 52 500 (museli jsme přidat nuly).
Věnujte pozornost poslednímu příkladu: protože se desetinná čárka pohybuje různými směry, celkový posun je přes rozdíl. Toto je velmi důležitý bod! Zde je další příklad:
Uvažujme čísla 1,5 a 12 500. Máme: 1,5 → 15 (posun o 1 doprava); 12 500 → 125 (posun 2 doleva). Uděláme krok o 1 číslici doprava a poté o 2 číslice doleva. V důsledku toho jsme postoupili o 2 − 1 = 1 číslice doleva.
Desetinné dělení
Rozdělení je možná nejnáročnější operace. Samozřejmě zde můžete jednat analogicky s násobením: rozdělit významné části a poté „posunout“ desetinnou čárku. Ale v tomto případě existuje mnoho jemností, které negují potenciální úspory.
Podívejme se tedy na obecný algoritmus, který je o něco delší, ale mnohem spolehlivější:
- Převeďte všechna desetinná místa na běžné zlomky. S trochou cviku vám tento krok zabere několik sekund;
- Výsledné zlomky rozdělte klasickým způsobem. Jinými slovy, vynásobte první zlomek "převrácenou" sekundou (viz lekce "Násobení a dělení číselných zlomků");
- Pokud je to možné, vraťte výsledek jako desítkové. I tento krok je rychlý, protože často už má jmenovatel mocninu deset.
Úkol. Najděte hodnotu výrazu:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Zvažujeme první výraz. Nejprve převedeme zlomky obi na desetinná místa:
Totéž uděláme s druhým výrazem. Čitatel prvního zlomku se opět rozloží na faktory:
Ve třetím a čtvrtém příkladu je důležitý bod: po zbavení se desetinného zápisu se objevují zrušitelné zlomky. Tuto redukci však neprovedeme.
Poslední příklad je zajímavý, protože čitatel druhého zlomku je prvočíslo. Tady prostě není co faktorizovat, takže to považujeme za „prázdné“:
Někdy výsledkem dělení je celé číslo (mluvím o posledním příkladu). V tomto případě se třetí krok vůbec neprovádí.
Při dělení se navíc často objevují „ošklivé“ zlomky, které nelze převést na desetinná místa. Zde se dělení liší od násobení, kde jsou výsledky vždy vyjádřeny v desítkové podobě. V tomto případě se samozřejmě opět neprovádí poslední krok.
Věnujte pozornost také 3. a 4. příkladu. V nich záměrně neredukujeme obyčejné zlomky získané z desetinných míst. V opačném případě to zkomplikuje inverzní problém - představující konečnou odpověď opět v desítkovém tvaru.
Pamatujte: základní vlastnost zlomku (jako každé jiné pravidlo v matematice) sama o sobě neznamená, že musí být aplikován všude a vždy, při každé příležitosti.
V tomto tutoriálu se podíváme na každou z těchto operací jednu po druhé.
Obsah lekcePřidávání desetinných míst
Jak víme, desetinné číslo má celočíselnou část a zlomkovou část. Při přidávání desetinných míst se celá a zlomková část přidávají odděleně.
Sečteme například desetinná místa 3,2 a 5,3. Je vhodnější přidat desetinné zlomky do sloupce.
Nejprve zapíšeme tyto dva zlomky do sloupce, přičemž celočíselné části musí být pod celými částmi a zlomkové pod zlomkové části. Ve škole se tomuto požadavku říká "čárka pod čárkou".
Zlomky zapišme do sloupce tak, aby čárka byla pod čárkou:
Začneme sčítat zlomkové části: 2 + 3 \u003d 5. Pět zapíšeme do zlomkové části naší odpovědi:
Nyní sečteme celé části: 3 + 5 = 8. Osmičku zapíšeme do celočíselné části naší odpovědi:
Nyní oddělíme celočíselnou část od zlomkové části čárkou. K tomu se opět řídíme pravidlem "čárka pod čárkou":
Odpověď jsem dostal 8.5. Takže výraz 3,2 + 5,3 se rovná 8,5
Ve skutečnosti není vše tak jednoduché, jak se na první pohled zdá. I zde jsou úskalí, o kterých si nyní povíme.
Místa v desetinných číslech
Desetinná čísla, stejně jako běžná čísla, mají své vlastní číslice. To jsou desátá místa, stá místa, tisící místa. V tomto případě číslice začínají za desetinnou čárkou.
První číslice za desetinnou čárkou odpovídá za desetinné místo, druhá číslice za desetinnou čárkou za setiny, třetí číslice za desetinnou čárkou za tisíciny.
Číslice v desetinných zlomcích ukládají některé užitečné informace. Zejména uvádějí, kolik desetin, setin a tisícin je v desetinném čísle.
Uvažujme například desetinné číslo 0,345
Pozice, kde se nachází trojka, se nazývá desáté místo
Pozice, kde se nachází čtyřka, se nazývá setinkové místo
Pozice, kde se nachází pětka, se nazývá tisíciny
Podívejme se na toto číslo. Vidíme, že v kategorii desetin je trojka. To naznačuje, že v desetinném zlomku 0,345 jsou tři desetiny.
Pokud sečteme zlomky, dostaneme původní desetinný zlomek 0,345
Je vidět, že nejprve jsme dostali odpověď, ale převedli ji na desetinný zlomek a dostali jsme 0,345.
Při sčítání desetinných zlomků se dodržují stejné zásady a pravidla jako při sčítání obyčejných čísel. Sčítání desetinných zlomků probíhá po číslicích: desetiny se přičítají k desetinám, setiny až setiny, tisíciny až tisíciny.
Proto je při sčítání desetinných zlomků nutné dodržovat pravidlo "čárka pod čárkou". Čárka pod čárkou poskytuje stejné pořadí, ve kterém se přidávají desetiny k desetinám, setiny až setiny, tisíciny až tisíciny.
Příklad 1 Najděte hodnotu výrazu 1,5 + 3,4
Nejprve sečteme zlomkové části 5 + 4 = 9. Devítku zapíšeme do zlomkové části naší odpovědi:
Nyní sečteme celočíselné části 1 + 3 = 4. Čtyři zapíšeme do celočíselné části naší odpovědi:
Nyní oddělíme celočíselnou část od zlomkové části čárkou. K tomu opět dodržujeme pravidlo „čárka pod čárkou“:
Odpověď jsem dostal 4.9. Takže hodnota výrazu 1,5 + 3,4 je 4,9
Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu: 3,51 + 1,22
Tento výraz zapíšeme do sloupce, dodržujeme pravidlo „čárka pod čárkou“
Nejprve přidejte zlomkovou část, konkrétně setiny 1+2=3. Trojku píšeme ve sté části naší odpovědi:
Nyní přidejte desetiny 5+2=7. Sedm si zapíšeme do desáté části naší odpovědi:
Nyní přidejte celé díly 3+1=4. Zapíšeme čtyři v celé části naší odpovědi:
Celou část oddělujeme od zlomkové části čárkou, přičemž dodržujeme pravidlo „čárka pod čárkou“:
Dostal odpověď 4,73. Takže hodnota výrazu 3,51 + 1,22 je 4,73
3,51 + 1,22 = 4,73
Stejně jako u běžných čísel platí, že při sčítání desetinných zlomků . V tomto případě se do odpovědi zapíše jedna číslice a zbytek se přenese na další číslici.
Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu 2,65 + 3,27
Tento výraz zapíšeme do sloupce:
Přidejte setiny 5+7=12. Číslo 12 se nevejde do sté části naší odpovědi. Proto ve sté části zapíšeme číslo 2 a přeneseme jednotku na další bit:
Nyní sečteme desetiny 6+2=8 plus jednotku, kterou jsme dostali z předchozí operace, dostaneme 9. Do desetiny naší odpovědi zapíšeme číslo 9:
Nyní přidejte celé díly 2+3=5. Do celočíselné části naší odpovědi zapíšeme číslo 5:
Dostal odpověď 5,92. Takže hodnota výrazu 2,65 + 3,27 je 5,92
2,65 + 3,27 = 5,92
Příklad 4 Najděte hodnotu výrazu 9,5 + 2,8
Napište tento výraz do sloupce
Sečteme zlomkové části 5 + 8 = 13. Číslo 13 se nám nevejde do zlomkové části naší odpovědi, proto si nejprve zapíšeme číslo 3, a jednotku převedeme na další číslici, nebo spíše převedeme na celé číslo část:
Nyní sečteme části celého čísla 9+2=11 plus jednotku, kterou jsme dostali z předchozí operace, dostaneme 12. Do celočíselné části naší odpovědi zapíšeme číslo 12:
Oddělte celočíselnou část od zlomkové části čárkou:
Odpověď jsem dostal 12.3. Takže hodnota výrazu 9,5 + 2,8 je 12,3
9,5 + 2,8 = 12,3
Při sčítání desetinných zlomků musí být počet číslic za desetinnou čárkou v obou zlomcích stejný. Pokud není dostatek číslic, jsou tato místa ve zlomkové části vyplněna nulami.
Příklad 5. Najděte hodnotu výrazu: 12,725 + 1,7
Než zapíšeme tento výraz do sloupce, udělejme počet číslic za desetinnou čárkou v obou zlomcích stejný. Desetinný zlomek 12,725 má za desetinnou čárkou tři číslice, zatímco zlomek 1,7 pouze jednu. Takže ve zlomku 1,7 na konci musíte přidat dvě nuly. Pak dostaneme zlomek 1700. Nyní můžete tento výraz zapsat do sloupce a začít počítat:
Přidejte tisíciny 5+0=5. Do tisící části naší odpovědi zapíšeme číslo 5:
Přidejte setiny 2+0=2. Ve sté části naší odpovědi píšeme číslo 2:
Přidejte desetiny 7+7=14. Číslo 14 se nevejde do desetiny naší odpovědi. Proto si nejprve zapíšeme číslo 4 a přeneseme jednotku na další bit:
Nyní sečteme části celého čísla 12+1=13 plus jednotku, kterou jsme dostali z předchozí operace, dostaneme 14. Do celočíselné části naší odpovědi zapíšeme číslo 14:
Oddělte celočíselnou část od zlomkové části čárkou:
Dostal jsem odpověď 14,425. Takže hodnota výrazu 12,725+1,700 je 14,425
12,725+ 1,700 = 14,425
Odčítání desetinných míst
Při odčítání desetinných zlomků se musíte řídit stejnými pravidly jako při sčítání: „čárka pod čárkou“ a „stejný počet číslic za desetinnou čárkou“.
Příklad 1 Najděte hodnotu výrazu 2,5 − 2,2
Tento výraz zapíšeme do sloupce, přičemž dodržujeme pravidlo „čárka pod čárkou“:
Vypočítáme zlomkovou část 5−2=3. V desáté části naší odpovědi píšeme číslo 3:
Vypočítejte celočíselnou část 2−2=0. Do celé části naší odpovědi zapíšeme nulu:
Oddělte celočíselnou část od zlomkové části čárkou:
Dostali jsme odpověď 0,3. Hodnota výrazu 2,5 − 2,2 je tedy rovna 0,3
2,5 − 2,2 = 0,3
Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu 7,353 - 3,1
V tomto výrazu jiná částkačíslic za desetinnou čárkou. Ve zlomku 7,353 jsou za desetinnou čárkou tři číslice a ve zlomku 3,1 pouze jedna. To znamená, že ve zlomku 3.1 je třeba na konci přidat dvě nuly, aby byl počet číslic v obou zlomcích stejný. Pak dostaneme 3100.
Nyní můžete tento výraz zapsat do sloupce a vypočítat jej:
Dostal jsem odpověď 4,253. Takže hodnota výrazu 7,353 − 3,1 je 4,253
7,353 — 3,1 = 4,253
Stejně jako u běžných čísel si někdy budete muset půjčit jedno ze sousedního bitu, pokud se odečítání stane nemožným.
Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu 3,46 − 2,39
Odečtěte setiny 6–9. Od čísla 6 neodečítajte číslo 9. Proto je třeba vzít jednotku ze sousední číslice. Po vypůjčení jedničky ze sousední číslice se číslo 6 změní na číslo 16. Nyní můžeme vypočítat setiny z 16−9=7. Sedm si zapíšeme do sté části naší odpovědi:
Nyní odečtěte desetiny. Vzhledem k tomu, že jsme brali jednu jednotku v kategorii desetin, cifra, která se tam nacházela, klesla o jednotku. Jinými slovy, desáté místo nyní není číslo 4, ale číslo 3. Vypočítejme desetiny z 3−3=0. V desáté části naší odpovědi píšeme nulu:
Nyní odečtěte celočíselné části 3−2=1. Jednotku zapíšeme do celočíselné části naší odpovědi:
Oddělte celočíselnou část od zlomkové části čárkou:
Odpověď jsem dostal 1.07. Takže hodnota výrazu 3,46−2,39 se rovná 1,07
3,46−2,39=1,07
Příklad 4. Najděte hodnotu výrazu 3−1.2
Tento příklad odečte desetinné místo od celého čísla. Zapišme tento výraz do sloupce tak, že celá část desetinný zlomek 1,23 byl pod číslem 3
Nyní udělejme počet číslic za desetinnou čárkou stejný. Chcete-li to provést, za číslo 3 vložte čárku a přidejte jednu nulu:
Nyní odečtěte desetiny: 0−2. Od nuly neodečítajte číslo 2. Proto je třeba vzít jednotku ze sousední číslice. Vypůjčením jedničky od sousední číslice se 0 změní na číslo 10. Nyní můžete vypočítat desetiny z 10−2=8. Osmičku zapisujeme do desáté části naší odpovědi:
Nyní odečtěte celé části. Dříve se číslo 3 nacházelo v celém čísle, ale půjčili jsme si z něj jednu jednotku. Ve výsledku se změnil na číslo 2. Od 2 tedy odečteme 1. 2−1=1. Jednotku zapíšeme do celočíselné části naší odpovědi:
Oddělte celočíselnou část od zlomkové části čárkou:
Odpověď jsem dostal 1.8. Hodnota výrazu 3−1,2 je tedy 1,8
Desetinné násobení
Násobení desetinných míst je snadné a dokonce zábavné. Chcete-li násobit desetinná místa, musíte je násobit jako běžná čísla, čárky ignorovat.
Po obdržení odpovědi je nutné oddělit celočíselnou část od zlomkové části čárkou. Chcete-li to provést, musíte spočítat počet číslic za desetinnou čárkou v obou zlomcích, poté spočítat stejný počet číslic vpravo v odpovědi a dát čárku.
Příklad 1 Najděte hodnotu výrazu 2,5 × 1,5
Tyto desetinné zlomky násobíme jako běžná čísla, čárky ignorujeme. Chcete-li čárky ignorovat, můžete si dočasně představit, že úplně chybí:
Dostali jsme 375. V tomto čísle je nutné oddělit celou část od zlomkové části čárkou. Chcete-li to provést, musíte spočítat počet číslic za desetinnou čárkou ve zlomcích 2,5 a 1,5. V prvním zlomku je za desetinnou čárkou jedna číslice, ve druhém zlomku je také jedna. Celkem dvě čísla.
Vracíme se k číslu 375 a začínáme se pohybovat zprava doleva. Musíme spočítat dvě číslice zprava a dát čárku:
Dostal jsem odpověď 3,75. Takže hodnota výrazu 2,5 × 1,5 je 3,75
2,5 x 1,5 = 3,75
Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu 12,85 × 2,7
Vynásobme tato desetinná místa, čárky ignorujeme:
Dostali jsme 34695. V tomto čísle je třeba oddělit celočíselnou část od zlomkové části čárkou. Chcete-li to provést, musíte vypočítat počet číslic za desetinnou čárkou ve zlomcích 12,85 a 2,7. Ve zlomku 12,85 jsou za desetinnou čárkou dvě číslice, ve zlomku 2,7 jedna číslice - celkem tři číslice.
Vracíme se k číslu 34695 a začínáme se pohybovat zprava doleva. Musíme spočítat tři číslice zprava a dát čárku:
Dostal jsem odpověď 34 695. Takže hodnota výrazu 12,85 × 2,7 je 34,695
12,85 x 2,7 = 34,695
Násobení desetinného čísla běžným číslem
Někdy nastanou situace, kdy je potřeba vynásobit desetinné číslo společné číslo.
Chcete-li vynásobit desetinné a obyčejné číslo, musíte je vynásobit bez ohledu na čárku v desetině. Po obdržení odpovědi je nutné oddělit celočíselnou část od zlomkové části čárkou. Chcete-li to provést, musíte spočítat počet číslic za desetinnou čárkou v desetinném zlomku, poté v odpovědi spočítat stejný počet číslic vpravo a dát čárku.
Například vynásobte 2,54 číslem 2
Vynásobíme desetinný zlomek 2,54 obvyklým číslem 2, čárku ignorujeme:
Dostali jsme číslo 508. V tomto čísle je potřeba oddělit celočíselnou část od zlomkové části čárkou. K tomu je potřeba spočítat počet číslic za desetinnou čárkou ve zlomku 2,54. Zlomek 2,54 má za desetinnou čárkou dvě číslice.
Vracíme se k číslu 508 a začínáme se pohybovat zprava doleva. Musíme spočítat dvě číslice zprava a dát čárku:
Odpověď jsem dostal 5.8. Takže hodnota výrazu 2,54 × 2 je 5,08
2,54 x 2 = 5,08
Násobení desetinných míst 10, 100, 1000
Násobení desetinných míst 10, 100 nebo 1000 se provádí stejným způsobem jako násobení desetinných míst běžnými čísly. Je nutné provést násobení, ignorovat čárku v desetinném zlomku, poté v odpovědi oddělit část celého čísla od zlomkové části a počítat stejný počet číslic napravo, jako bylo číslic za desetinnou čárkou v desetinné čárce zlomek.
Například vynásobte 2,88 10
Vynásobme desetinný zlomek 2,88 10, přičemž čárku v desetinném zlomku ignorujeme:
Dostali jsme 2880. V tomto čísle je třeba oddělit celou část od zlomkové části čárkou. K tomu je potřeba spočítat počet číslic za desetinnou čárkou ve zlomku 2,88. Vidíme, že ve zlomku 2,88 jsou za desetinnou čárkou dvě číslice.
Vracíme se k číslu 2880 a začínáme se pohybovat zprava doleva. Musíme spočítat dvě číslice zprava a dát čárku:
Dostal jsem odpověď 28.80. Poslední nulu zahodíme – dostaneme 28.8. Takže hodnota výrazu 2,88 × 10 je 28,8
2,88 x 10 = 28,8
Existuje druhý způsob, jak násobit desetinné zlomky 10, 100, 1000. Tato metoda je mnohem jednodušší a pohodlnější. Spočívá v tom, že se čárka v desetinném zlomku posouvá doprava o tolik číslic, kolik je nul v násobiteli.
Vyřešme například předchozí příklad 2,88×10 tímto způsobem. Aniž bychom uváděli jakékoli výpočty, okamžitě se podíváme na faktor 10. Zajímá nás, kolik nul je v něm. Vidíme, že má jednu nulu. Nyní ve zlomku 2,88 posuneme desetinnou čárku doprava o jednu číslici, dostaneme 28,8.
2,88 x 10 = 28,8
Zkusme vynásobit 2,88 100. Okamžitě se podíváme na faktor 100. Zajímá nás, kolik nul je v něm. Vidíme, že má dvě nuly. Nyní ve zlomku 2,88 posuneme desetinnou čárku doprava o dvě číslice, dostaneme 288
2,88 x 100 = 288
Zkusme vynásobit 2,88 1000. Okamžitě se podíváme na faktor 1000. Zajímá nás, kolik nul je v něm. Vidíme, že má tři nuly. Nyní ve zlomku 2,88 posuneme desetinnou čárku doprava o tři číslice. Třetí číslice tam není, takže přidáme další nulu. Výsledkem je 2880.
2,88 x 1000 = 2880
Násobení desetinných míst 0,1 0,01 a 0,001
Násobení desetinných míst 0,1, 0,01 a 0,001 funguje stejně jako násobení desetinného místa desetinným místem. Zlomky je nutné násobit jako běžná čísla a do odpovědi dát čárku, přičemž se počítá tolik číslic napravo, kolik je číslic za desetinnou čárkou v obou zlomcích.
Například vynásobte 3,25 0,1
Tyto zlomky násobíme jako běžná čísla, čárky ignorujeme:
Dostali jsme 325. V tomto čísle je třeba oddělit celou část od zlomkové části čárkou. Chcete-li to provést, musíte vypočítat počet číslic za desetinnou čárkou ve zlomcích 3,25 a 0,1. Ve zlomku 3,25 jsou za desetinnou čárkou dvě číslice, ve zlomku 0,1 jedna číslice. Celkem tři čísla.
Vracíme se k číslu 325 a začínáme se pohybovat zprava doleva. Musíme spočítat tři číslice vpravo a dát čárku. Po spočítání tří číslic zjistíme, že čísla jsou u konce. V tomto případě musíte přidat jednu nulu a dát čárku:
Dostali jsme odpověď 0,325. Takže hodnota výrazu 3,25 × 0,1 je 0,325
3,25 x 0,1 = 0,325
Existuje druhý způsob, jak násobit desetinná místa 0,1, 0,01 a 0,001. Tato metoda je mnohem jednodušší a pohodlnější. Spočívá v tom, že se čárka v desetinném zlomku posouvá doleva o tolik číslic, kolik je nul v násobiteli.
Vyřešme například předchozí příklad 3,25 × 0,1 tímto způsobem. Aniž bychom uváděli jakékoli výpočty, okamžitě se podíváme na faktor 0,1. Zajímá nás, kolik nul je v něm. Vidíme, že má jednu nulu. Nyní ve zlomku 3,25 posuneme desetinnou čárku doleva o jednu číslici. Posunutím čárky o jednu číslici doleva vidíme, že před trojkou nejsou žádné další číslice. V tomto případě přidejte jednu nulu a vložte čárku. Ve výsledku dostaneme 0,325
3,25 x 0,1 = 0,325
Zkusme vynásobit 3,25 0,01. Okamžitě se podívejte na multiplikátor 0,01. Zajímá nás, kolik nul je v něm. Vidíme, že má dvě nuly. Nyní ve zlomku 3,25 posuneme čárku doleva o dvě číslice, dostaneme 0,0325
3,25 x 0,01 = 0,0325
Zkusme vynásobit 3,25 0,001. Okamžitě se podívejte na multiplikátor 0,001. Zajímá nás, kolik nul je v něm. Vidíme, že má tři nuly. Nyní ve zlomku 3,25 posuneme desetinnou čárku doleva o tři číslice, dostaneme 0,00325
3,25 × 0,001 = 0,00325
Nezaměňujte násobení desetinných míst 0,1, 0,001 a 0,001 s násobením 10, 100, 1000. Častá chyba většina lidí.
Při násobení 10, 100, 1000 se čárka posune doprava o tolik číslic, kolik je nul v násobiteli.
A při násobení 0,1, 0,01 a 0,001 se čárka posune doleva o tolik číslic, kolik je nul v násobiteli.
Pokud je zpočátku obtížné si to zapamatovat, můžete použít první metodu, ve které se násobení provádí jako u běžných čísel. V odpovědi budete muset oddělit část celého čísla od části zlomkové tak, že spočítáte tolik číslic napravo, kolik je číslic za desetinnou čárkou v obou zlomcích.
Dělení menšího čísla větším. Pokročilá úroveň.
V jedné z předchozích lekcí jsme si řekli, že při dělení menšího čísla větším získáme zlomek, v jehož čitateli je dělenec a ve jmenovateli dělitel.
Chcete-li například rozdělit jedno jablko na dvě, musíte do čitatele napsat 1 (jedno jablko) a do jmenovatele napsat 2 (dva přátelé). Výsledkem je zlomek. Takže každý kamarád dostane jablko. Jinými slovy, půl jablka. Zlomek je odpovědí na problém jak rozdělit jedno jablko mezi dvě
Ukazuje se, že tento problém můžete dále vyřešit, pokud vydělíte 1 2. Koneckonců zlomkový pruh v libovolném zlomku znamená dělení, což znamená, že toto dělení je povoleno i ve zlomku. Ale jak? Jsme zvyklí, že dividenda je vždy větší než dělitel. A zde je naopak dividenda menší než dělitel.
Vše se vyjasní, když si zapamatujeme, že zlomek znamená drcení, dělení, dělení. To znamená, že jednotku lze rozdělit na tolik částí, kolik chcete, a ne pouze na dvě části.
Při dělení menšího čísla větším získáme desetinný zlomek, ve kterém bude celočíselná část 0 (nula). Zlomkovou částí může být cokoliv.
Vydělme tedy 1 2. Vyřešme tento příklad s rohem:
Člověk se nedá jen tak rozdělit na dva. Pokud položíte otázku "kolik dvojek je v jednom" , pak bude odpověď 0. Proto soukromě napíšeme 0 a dáme čárku:
Nyní, jako obvykle, vynásobíme podíl dělitelem, abychom vytáhli zbytek:
Nastal okamžik, kdy lze jednotku rozdělit na dvě části. Chcete-li to provést, přidejte další nulu napravo od přijaté:
Dostali jsme 10. Vydělíme 10 2, dostaneme 5. Pětku zapíšeme do zlomkové části naší odpovědi:
Nyní vyjmeme poslední zbytek, abychom dokončili výpočet. Vynásobte 5 x 2, dostaneme 10
Dostali jsme odpověď 0,5. Zlomek je tedy 0,5
Půlku jablka lze zapsat i pomocí desetinného zlomku 0,5. Pokud sečteme tyto dvě poloviny (0,5 a 0,5), dostaneme opět původní jedno celé jablko: 
Tento bod lze také pochopit, když si představíme, jak se 1 cm rozdělí na dvě části. Pokud rozdělíte 1 centimetr na 2 části, dostanete 0,5 cm
Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu 4:5
Kolik pětek je ve čtyřech? Vůbec ne. Píšeme soukromou 0 a dáme čárku:
Vynásobíme 0 5, dostaneme 0. Pod čtyřku napíšeme nulu. Okamžitě odečtěte tuto nulu od dividendy:
Nyní začneme rozdělovat (rozdělovat) čtyři na 5 částí. Abychom to udělali, napravo od 4 přidáme nulu a vydělíme 40 5, dostaneme 8. Osmičku píšeme soukromě.
Příklad dokončíme vynásobením 8 x 5 a dostaneme 40:
Dostali jsme odpověď 0,8. Hodnota výrazu 4:5 je tedy 0,8
Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu 5: 125
Kolik čísel 125 je v pěti? Vůbec ne. Soukromě napíšeme 0 a dáme čárku:
Vynásobíme 0 5, dostaneme 0. Pod pětku napíšeme 0. Okamžitě odečtěte od pěti 0
Nyní začneme rozdělovat (rozdělovat) pětku na 125 částí. Za tímto účelem napravo od této pětice napíšeme nulu:
Vydělte 50 125. Kolik čísel 125 je v 50? Vůbec ne. Takže v kvocientu opět napíšeme 0
Vynásobíme 0 125, dostaneme 0. Tuto nulu zapíšeme pod 50. Okamžitě odečteme 0 od 50
Nyní rozdělíme číslo 50 na 125 dílů. Chcete-li to provést, napravo od 50 napíšeme další nulu:
Vydělte 500 125. Kolik čísel je 125 v čísle 500. V čísle 500 jsou čtyři čísla 125. Čtyři píšeme soukromě:
Příklad dokončíme vynásobením 4 x 125 a dostaneme 500
Dostali jsme odpověď 0,04. Hodnota výrazu 5:125 je tedy 0,04
Dělení čísel beze zbytku
Dejme tedy do podílu za jednotkou čárku, čímž označíme, že dělení celých částí skončilo a přejdeme na zlomkovou část:
Ke zbytku přidejte nulu 4
Nyní vydělíme 40 5, dostaneme 8. Osmičku napíšeme soukromě:
40-40=0. Ve zbytku přijato 0. Rozdělení je tedy zcela dokončeno. Po dělení 9 5 dostaneme desetinné číslo 1,8:
9: 5 = 1,8
Příklad 2. Vydělte 84 5 beze zbytku
Nejprve rozdělíme 84 jako obvykle 5 se zbytkem:
Soukromě přijato 16 a 4 další v zůstatku. Nyní tento zbytek vydělíme 5. Do soukromého čísla vložíme čárku a ke zbytku 4 přidáme 0
Nyní vydělíme 40 5, dostaneme 8. Osmičku zapíšeme do podílu za desetinnou čárkou:
a dokončete příklad kontrolou, zda stále existuje zbytek:
Dělení desetinného čísla běžným číslem
Desetinný zlomek, jak víme, se skládá z celého čísla a zlomkové části. Při dělení desetinného zlomku běžným číslem nejprve potřebujete:
- vydělte tímto číslem celočíselnou část desetinného zlomku;
- po rozdělení celočíselné části musíte do soukromé části okamžitě vložit čárku a pokračovat ve výpočtu jako v běžném dělení.
Například vydělme 4,8 2
Zapišme tento příklad jako roh:
Nyní vydělme celou část 2. Čtyři děleno dvěma jsou dvě. Dvojku napíšeme soukromě a hned dáme čárku:
Nyní vynásobíme podíl dělitelem a uvidíme, zda existuje zbytek z dělení:
4-4=0. Zbytek je nula. Nulu zatím nepíšeme, protože řešení není dokončeno. Poté pokračujeme ve výpočtu, jako v běžném dělení. Vezměte 8 a vydělte to 2
8: 2 = 4. Čtyřku zapíšeme do podílu a hned ho vynásobíme dělitelem:
Odpověď jsem dostal 2.4. Hodnota výrazu 4,8: 2 se rovná 2,4
Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu 8,43:3
Vydělíme 8 3, dostaneme 2. Okamžitě za ty dvě dáme čárku:
Nyní vynásobíme podíl dělitelem 2 × 3 = 6. Šestku zapíšeme pod osmičku a najdeme zbytek:
Vydělíme 24 3, dostaneme 8. Osmičku píšeme soukromě. Okamžitě to vynásobíme dělitelem, abychom našli zbytek dělení:
24-24=0. Zbytek je nula. Nula zatím není zaznamenána. Vezměte poslední tři dividendy a vydělte 3, dostaneme 1. Okamžitě vynásobte 1 x 3, abyste dokončili tento příklad:
Dostal jsem odpověď 2.81. Hodnota výrazu 8,43:3 se tedy rovná 2,81
Dělení desetinného místa desetinným místem
Chcete-li rozdělit desetinný zlomek na desetinný zlomek v dělence a v děliteli, posuňte čárku doprava o stejný počet číslic, jaký je za desetinnou čárkou v děliteli, a poté vydělte pravidelným číslem.
Například vydělte 5,95 číslem 1,7
Zapišme tento výraz jako roh
Nyní v dělenci a v děliteli posuneme čárku doprava o stejný počet číslic, jaký je za desetinnou čárkou v děliteli. Dělitel má jednu číslici za desetinnou čárkou. Musíme tedy posunout čárku doprava o jednu číslici v dividendě a v děliteli. Přenos:
Po posunutí desetinné čárky doprava o jednu číslici se desetinný zlomek 5,95 změnil na zlomek 59,5. A desetinný zlomek 1,7 se po posunutí desetinné čárky o jednu číslici doprava změnil na obvyklé číslo 17. A už víme, jak desetinný zlomek dělit obvyklým číslem. Další výpočet není obtížný:
Čárka je posunuta doprava, aby se usnadnilo dělení. To je povoleno z toho důvodu, že při násobení nebo dělení dividendy a dělitele stejným číslem se podíl nezmění. Co to znamená?
Toto je jeden z zajímavé funkce divize. Říká se tomu soukromý majetek. Uvažujme výraz 9: 3 = 3. Pokud jsou v tomto výrazu dělenec a dělitel násobeny nebo děleny stejným číslem, pak se podíl 3 nezmění.
Vynásobme dividendu a dělitele 2 a uvidíme, co se stane:
(9 × 2): (3 × 2) = 18: 6 = 3
Jak je vidět z příkladu, kvocient se nezměnil.
Totéž se stane, když v dividendě a v děliteli neseme čárku. V předchozím příkladu, kde jsme dělili 5,91 1,7, jsme v dividendě a děliteli posunuli čárku o jedno číslo doprava. Po posunutí čárky byl zlomek 5,91 převeden na zlomek 59,1 a zlomek 1,7 byl převeden na obvyklé číslo 17.
Ve skutečnosti v tomto procesu došlo k násobení 10. Takto to vypadalo:
5,91 × 10 = 59,1
Počet číslic za desetinnou čárkou v děliteli tedy závisí na tom, čím se bude dělenec a dělitel násobit. Jinými slovy, počet číslic za desetinnou čárkou v děliteli určí, o kolik číslic v děliteli a v děliteli se čárka posune doprava.
Desetinné dělení 10, 100, 1000
Dělení desetinného místa 10, 100 nebo 1000 se provádí stejným způsobem jako . Vydělme například 2,1 10. Vyřešme tento příklad s rohem:
Existuje ale i druhý způsob. Je lehčí. Podstatou této metody je, že čárka v děliteli se posune doleva o tolik číslic, kolik je nul v děliteli.
Vyřešme předchozí příklad tímto způsobem. 2,1: 10. Podíváme se na děličku. Zajímá nás, kolik nul je v něm. Vidíme, že je jedna nula. Takže v dělitelném 2.1 je třeba posunout čárku doleva o jednu číslici. Posuneme čárku doleva o jednu číslici a vidíme, že už žádné další číslice nezbývají. V tomto případě přidáme před číslo ještě jednu nulu. Výsledkem je 0,21
Zkusme vydělit 2,1 100. V čísle 100 jsou dvě nuly. Takže v dělitelném 2.1 musíte čárku posunout doleva o dvě číslice:
2,1: 100 = 0,021
Zkusme vydělit 2,1 1000. V čísle 1000 jsou tři nuly. Takže v dělitelném 2.1 musíte čárku posunout doleva o tři číslice:
2,1: 1000 = 0,0021
Desetinné dělení 0,1, 0,01 a 0,001
Dělení desetinného místa 0,1, 0,01 a 0,001 se provádí stejným způsobem jako . V děliteli a v děliteli musíte čárku posunout doprava o tolik číslic, kolik je za desetinnou čárkou v děliteli.
Vydělme například 6,3 0,1. Nejprve posuneme čárky v dělenci a v děliteli doprava o stejný počet číslic, jaký je za desetinnou čárkou v děliteli. Dělitel má jednu číslici za desetinnou čárkou. Posuneme tedy čárky v dividendě a v děliteli doprava o jednu číslici.
Po posunutí desetinné čárky o jednu číslici doprava se desetinný zlomek 6,3 změní na obvyklé číslo 63 a desetinný zlomek 0,1 po posunutí desetinné čárky doprava o jednu číslici se změní na jedničku. A dělení 63 1 je velmi jednoduché:
Takže hodnota výrazu 6,3: 0,1 se rovná 63
Existuje ale i druhý způsob. Je lehčí. Podstatou této metody je, že čárka v děliteli se přenese doprava o tolik číslic, kolik je nul v děliteli.
Vyřešme předchozí příklad tímto způsobem. 6,3:0,1. Podívejme se na rozdělovač. Zajímá nás, kolik nul je v něm. Vidíme, že je jedna nula. Takže v dělitelném 6,3 musíte čárku posunout doprava o jednu číslici. Posuneme čárku doprava o jednu číslici a dostaneme 63
Zkusme vydělit 6,3 0,01. Dělitel 0,01 má dvě nuly. Takže v dělitelném 6,3 musíte čárku posunout doprava o dvě číslice. Ale v dividendě je pouze jedna číslice za desetinnou čárkou. V tomto případě je třeba na konec přidat ještě jednu nulu. Výsledkem je 630
Zkusme vydělit 6,3 0,001. Dělitel 0,001 má tři nuly. Takže v dělitelném 6.3 musíte čárku posunout doprava o tři číslice:
6,3: 0,001 = 6300
Úkoly pro samostatné řešení
Líbila se vám lekce?
Připojte se k naší nové skupině Vkontakte a začněte dostávat upozornění na nové lekce
Dělení desetinným místem se redukuje na dělení přirozené číslo.
Pravidlo pro dělení čísla desetinným zlomkem
Pro dělení čísla desetinným zlomkem je nutné v dělenci i v děliteli posunout čárku doprava o tolik číslic, kolik je v děliteli za desetinnou čárkou. Poté vydělte přirozeným číslem.
Příklady.
Proveďte dělení desetinnou čárkou:
Chcete-li dělit desetinným zlomkem, musíte čárku posunout doprava o tolik číslic v dělenci i v děliteli, kolik je za desetinnou čárkou v děliteli, tedy o jedno znaménko. Dostaneme: 35,1: 1,8 \u003d 351: 18. Nyní provedeme rozdělení o roh. Výsledkem je: 35,1: 1,8 = 19,5.
2) 14,76: 3,6
Chcete-li provést dělení desetinných zlomků, jak v děliteli, tak v děliteli, posuňte čárku doprava o jedno znaménko: 14,76: 3,6 \u003d 147,6: 36. Nyní provedeme přirozené číslo. Výsledek: 14,76: 3,6 = 4,1.
Pro dělení desetinným zlomkem přirozeného čísla je nutné v dělenci i v děliteli posunout doprava tolik znaků, kolik je v děliteli za desetinnou čárkou. Protože čárka v tomto případě není zapsána v děliteli, doplníme chybějící počet znaků nulami: 70: 1,75 \u003d 7000: 175. Výsledná přirozená čísla rozdělíme rohem: 70: 1,75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.
4) 0,1218: 0,058
Abychom rozdělili jeden desetinný zlomek na druhý, posuneme čárku doprava jak v dělenci, tak v děliteli o tolik číslic, kolik je v děliteli za desetinnou čárkou, tedy o tři číslice. Tedy 0,1218: 0,058 \u003d 121,8: 58. Dělení desetinným zlomkem bylo nahrazeno dělením přirozeným číslem. Sdílíme koutek. Máme: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.
5) 0,0456: 3,8
Sčítání desetinných míst se provádí stejným způsobem jako sčítání celých čísel. Podívejme se na to na příkladech.
1) 0,132 + 2,354. Podepišme pojmy pod sebe.
Zde bylo ze sčítání 2 tisícin se 4 tisícinami získáno 6 tisícin;
ze sčítání 3 setin s 5 setinami vyšlo 8 setin;
od přidání 1 desetiny se 3 desetiny -4 desetiny a
ze sčítání 0 celých čísel se 2 celými čísly - 2 celá čísla.
2) 5,065 + 7,83.
Ve druhém termínu nejsou žádné tisíciny, proto je důležité nedělat chyby při podepisování podmínek pod sebe.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Zde při přičtení tisícin dostaneme 21 tisícin; zapsali jsme 1 pod tisíciny a 2 přidali k setinám, takže na stém místě jsme dostali následující výrazy: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; v součtu dávají 19 setin, my jsme podepsali 9 pod setiny a 1 se počítala jako desetiny atd.
Při sčítání desetinných zlomků je tedy třeba dodržet následující pořadí: zlomky se podepisují tak, aby ve všech členech byly pod sebou stejné číslice a všechny čárky byly ve stejném svislém sloupci; napravo od desetinných míst některých členů připisují, alespoň myšlenkově, takový počet nul, že všechny členy za desetinnou čárkou mají stejný počet číslic. Poté se provede sčítání po číslicích, počínaje z pravé strany a ve výsledném množství se do stejného svislého sloupce, jako je v těchto termínech, umístí čárka.
§ 108. Odčítání desetinných zlomků.
Odečítání desetinných míst se provádí stejným způsobem jako odčítání celých čísel. Ukažme si to na příkladech.
1) 9,87 - 7,32. Podepišme subtrahend pod minuend tak, aby jednotky stejné číslice byly pod sebou:
2) 16,29 - 4,75. Podepišme subtrahend pod minuend, jako v prvním příkladu:
Pro odečtení desetin bylo třeba vzít jednu celou jednotku od 6 a rozdělit ji na desetiny.
3) 14,0213-5,350712. Podepišme subtrahend pod minuend:
Odečítání bylo provedeno následovně: protože od 0 nemůžeme odečíst 2 miliontiny, měli bychom se odkazovat na nejbližší číslici vlevo, tedy na stotisíciny, ale místo stotisícin je také nula, takže vezmeme 1 desetitisícina ze 3 desetitisícin a rozdělíme to na stotisíciny, dostaneme 10 stotisícin, z nichž 9 stotisícin zbývá v kategorii stotisícin a 1 stotisícina se rozdrtí na miliontiny, dostaneme 10 miliontin. V posledních třech číslicích jsme tedy dostali: miliontiny 10, stotisíciny 9, desetitisíciny 2. Pro větší přehlednost a pohodlí (nezapomenout) jsou tato čísla zapsána nad odpovídajícími zlomkovými číslicemi redukovaného. Nyní můžeme začít odečítat. Odečteme 2 miliontiny od 10 miliontin, dostaneme 8 miliontin; odečteme 1 stotisícinu od 9 stotisícin, dostaneme 8 stotisícin atd.
Při odečítání desetinných zlomků se tedy dodržuje následující pořadí: odečítané se podepíše pod redukované tak, že stejné číslice jsou jedna pod druhou a všechny čárky jsou ve stejném svislém sloupci; vpravo připisují, alespoň myšlenkově, ve zmenšeném nebo odečteném tolik nul, aby měly stejný počet číslic, pak odčítají po číslicích, počínaje od pravé strany a ve výsledném rozdílu dávají čárku do stejný svislý sloupec, ve kterém je zmenšený a odečtený.
§ 109. Násobení desetinných zlomků.
Zvažte několik příkladů násobení desetinných zlomků.
Abychom našli součin těchto čísel, můžeme uvažovat takto: pokud se faktor zvýší 10krát, pak oba faktory budou celá čísla a můžeme je pak vynásobit podle pravidel pro násobení celých čísel. Ale víme, že když se jeden z faktorů zvýší několikrát, produkt se zvýší o stejnou částku. To znamená, že číslo, které získáme vynásobením celočíselných faktorů, tj. 28 x 23, je 10krát větší než skutečný součin, a abychom dostali opravdová práce, musíte zmenšit nalezený produkt 10krát. Zde tedy musíte jednou provést násobení 10 a jednou dělení 10, ale násobení a dělení 10 se provádí posunutím čárky doprava a doleva o jedno znaménko. Proto musíte udělat toto: v multiplikátoru posuňte čárku doprava o jedno znaménko, z toho se bude rovnat 23, pak musíte vynásobit výsledná celá čísla:
Tento produkt je 10x větší než ten pravý. Musí se tedy 10x zmenšit, za což posuneme čárku o jeden znak doleva. Tak dostáváme
28 2,3 = 64,4.
Pro účely ověření můžete zapsat desetinný zlomek se jmenovatelem a provést akci podle pravidla pro násobení obyčejných zlomků, tzn.
2) 12,27 0,021.
Rozdíl mezi tímto příkladem a předchozím je v tom, že zde jsou oba faktory reprezentovány desetinnými zlomky. Ale tady v procesu násobení nebudeme věnovat pozornost čárkám, to znamená, že dočasně zvýšíme násobitel 100krát a násobitel 1000krát, čímž se zvýší součin 100 000krát. Vynásobením 1227 číslem 21 tedy dostaneme:
1 227 21 = 25 767.
Vezmeme-li v úvahu, že výsledný produkt je 100 000krát větší než skutečný, musíme jej nyní 100 000krát zmenšit správným umístěním čárky, pak dostaneme:
32,27 0,021 = 0,25767.
Pojďme zkontrolovat:
K vynásobení dvou desetinných zlomků tedy stačí, aniž bychom dbali na čárky, vynásobit je jako celá čísla a v součinu oddělit čárkou na pravé straně tolik desetinných míst, kolik bylo v násobidle a v faktor dohromady.
V posledním příkladu je výsledkem součin s pěti desetinnými místy. Pokud taková větší přesnost není požadována, provede se zaokrouhlení desetinného zlomku. Při zaokrouhlování byste měli použít stejné pravidlo, jaké bylo uvedeno pro celá čísla.
§ 110. Násobení pomocí tabulek.
Násobení desetinných míst lze někdy provést pomocí tabulek. K tomuto účelu můžete použít například ony násobilky dvoumístná čísla, jehož popis byl uveden dříve.
1) Vynásobte 53 číslem 1,5.
53 vynásobíme 15. V tabulce je tento součin roven 795. Našli jsme součin 53 na 15, ale náš druhý faktor byl 10x menší, to znamená, že součin je třeba zmenšit 10x, tzn.
53 1,5 = 79,5.
2) Vynásobte 5,3 4,7.
Nejprve najdeme v tabulce součin 53 x 47, bude to 2491. Ale protože jsme násobitel a násobitel zvýšili celkem 100krát, pak je výsledný součin 100krát větší, než by měl být; takže musíme tento produkt snížit faktorem 100:
5,3 4,7 = 24,91.
3) Vynásobte 0,53 číslem 7,4.
Nejprve najdeme v tabulce součin 53 x 74; to bude 3 922. Ale protože jsme zvýšili násobitel 100krát a násobitel 10krát, součin se zvýšil 1 000krát; takže ji nyní musíme snížit faktorem 1 000:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. Dělení desetinných míst.
Na desetinné dělení se podíváme v tomto pořadí:
1. Dělení desetinného zlomku celým číslem,
1. Dělení desetinného zlomku celým číslem.
1) Vydělte 2,46 2.
Dělili jsme nejprve 2 celá čísla, pak desetiny a nakonec setiny.
2) Vydělte 32,46 3.
32,46: 3 = 10,82.
Dělili jsme 3 desítky 3, pak jsme začali dělit 2 jednotky 3; protože počet jednotek dividendy (2) je menší než dělitel (3), museli jsme do kvocientu dát 0; dále, na zbytek jsme zbořili 4 desetiny a rozdělili 24 desetin 3; obdržel soukromě 8 desetin a nakonec dělil 6 setin.
3) Vydělte 1,2345 5.
1,2345: 5 = 0,2469.
Zde v kvocientu na prvním místě vyšla nula celých čísel, protože jedno celé číslo není dělitelné 5.
4) Vydělte 13,58 4.
Zvláštností tohoto příkladu je, že když jsme dostali 9 setin v soukromí, pak byl nalezen zbytek rovný 2 setinám, rozdělili jsme tento zbytek na tisíciny, dostali 20 tisícin a dovedli dělení do konce.
Pravidlo. Dělení desetinného zlomku celým číslem se provádí stejným způsobem jako dělení celých čísel a výsledné zbytky se převádějí na desetinné zlomky, stále menší; dělení pokračuje, dokud není zbytek nula.
2. Dělení desetinného zlomku desetinným zlomkem.
1) Vydělte 2,46 číslem 0,2.
Už víme, jak dělit desetinný zlomek celým číslem. Zamysleme se nad tím, zda lze tento nový případ rozdělení také zredukovat na předchozí? Svého času jsme považovali za pozoruhodnou vlastnost kvocientu, která spočívá v tom, že zůstává nezměněn při stejném počtu zvýšení nebo snížení dividendy a dělitele. Klidně bychom provedli dělení nabízených čísel, pokud by dělitel byl celé číslo. K tomu ho stačí 10x zvýšit a pro získání správného kvocientu je potřeba navýšit dividendu o stejný počet, tedy 10x. Poté bude dělení těchto čísel nahrazeno dělením těchto čísel:
a není třeba provádět žádné změny v soukromí.
Udělejme toto rozdělení:
Takže 2,46: 0,2 = 12,3.
2) Vydělte 1,25 číslem 1,6.
Dělitel (1.6) zvětšíme 10krát; aby se podíl nezměnil, zvýšíme dividendu 10krát; 12 celých čísel není dělitelných 16, zapíšeme tedy v kvocientu 0 a 125 desetin vydělíme 16, dostaneme 7 desetin v kvocientu a zbytek je 13. 13 desetin rozdělíme na setiny přiřazením nuly a 130 setin vydělíme 16 atd. . Věnujte pozornost následujícímu:
a) když se v kvocientu nedostanou celá čísla, zapíšou se na jejich místo nula celá čísla;
b) když se po převedení číslice děliče na zbytek získá číslo, které není dělitelné, zapíše se do podílu nula;
c) když po odstranění poslední číslice dividendy dělení nekončí, pak dělením nul ke zbytkům dělení pokračuje;
d) je-li dividenda celé číslo, pak při dělení desetinným zlomkem se její zvýšení provede tak, že se k ní přiřadí nuly.
Chcete-li tedy vydělit číslo desetinným zlomkem, musíte v děliteli zahodit čárku a poté zvýšit dělitel tolikrát, kolikrát se dělitel zvětšil, když v něm byla čárka upuštěna, a poté provést dělení podle pravidlo dělení desetinného zlomku celým číslem.
§ 112. Přibližný kvocient.
V předchozím odstavci jsme uvažovali o dělení desetinných zlomků a ve všech příkladech, které jsme řešili, bylo dělení dovedeno do konce, tj. byl získán přesný kvocient. Přesný podíl však ve většině případů nelze získat, ať už dělení rozšiřujeme jakkoli. Zde je jeden takový případ: Vydělte 53 101.
Už jsme dostali pět číslic v kvocientu, ale dělení ještě neskončilo a není naděje, že někdy skončí, protože ve zbytku se začínají objevovat čísla, se kterými jsme se již setkali. Čísla se budou také opakovat v kvocientu: samozřejmě za číslem 7 se objeví číslo 5, pak 2 a tak dále bez konce. V takových případech je dělení přerušeno a omezeno na několik prvních číslic podílu. Tento soukromý se nazývá přibližný. Jak provést dělení v tomto případě si ukážeme na příkladech.
Nechť je potřeba dělit 25 3. Je zřejmé, že z takového dělení nelze získat přesný kvocient, vyjádřený jako celé číslo nebo desetinný zlomek. Proto budeme hledat přibližný kvocient:
25: 3 = 8 a zbytek 1
Přibližný podíl je 8; je samozřejmě menší než přesný kvocient, protože existuje zbytek 1. Abyste získali přesný kvocient, musíte k nalezenému přibližnému kvocientu, tedy k 8, přidat zlomek, který vznikne dělením zbytku , rovno 1, 3; bude to zlomek 1/3. To znamená, že přesný podíl bude vyjádřen jako smíšené číslo 8 1/3. Protože 1/3 je vlastní zlomek, tedy zlomek, méně než jeden, pak předpokládáme, že ji zahodíme chyba, který méně než jeden. Soukromá 8 vůle přibližný podíl až jedna s nevýhodou. Pokud vezmeme 9 místo 8, pak také povolíme chybu, která je menší než jedna, protože nepřidáme celou jednotku, ale 2/3. Taková soukromá závěť přibližný kvocient do jedné s přebytkem.
Vezměme si nyní další příklad. Nechť je potřeba dělit 27 8. Protože zde nedostaneme přesný podíl vyjádřený jako celé číslo, budeme hledat přibližný podíl:
27: 8 = 3 a zbytek 3.
Zde je chyba 3/8, je menší než jedna, což znamená, že přibližný kvocient (3) je nalezen až do jedné s nevýhodou. Pokračujeme v dělení: zbytek 3 rozdělíme na desetiny, dostaneme 30 desetin; Vydělme je 8.
Dostali jsme v soukromí na místě desetiny 3 a ve zbytku b desetiny. Pokud se omezíme zejména na číslo 3,3 a zbytek 6 zahodíme, připustíme chybu menší než jednu desetinu. Proč? Protože přesný podíl bychom získali, kdybychom k 3,3 přidali výsledek dělení 6 desetin 8; z tohoto rozdělení by bylo 6/80, což je méně než jedna desetina. (Zkontrolujte!) Pokud se tedy omezíme na desetiny v kvocientu, pak můžeme říci, že jsme našli kvocient s přesností na jednu desetinu(s nevýhodou).
Pokračujme v dělení, abychom našli ještě jedno desetinné místo. K tomu rozdělíme 6 desetin na setiny a získáme 60 setin; Vydělme je 8.
V soukromí na třetím místě to dopadlo 7 a ve zbytku 4 setiny; pokud je zahodíme, pak připustíme chybu menší než jedna setina, protože 4 setiny děleno 8 jsou menší než jedna setina. V takových případech se říká, že kvocient je nalezen. s přesností na setinu(s nevýhodou).
V příkladu, který nyní zvažujeme, můžete získat přesný kvocient vyjádřený jako desetinný zlomek. K tomu stačí rozdělit poslední zbytek, 4 setiny, na tisíciny a vydělit 8.
V naprosté většině případů je však nemožné získat přesný kvocient a je třeba se omezit na jeho přibližné hodnoty. Nyní zvážíme takový příklad:
40: 7 = 5,71428571...
Tečky na konci čísla znamenají, že dělení není dokončeno, to znamená, že rovnost je přibližná. Obvykle se přibližná rovnost zapisuje takto:
40: 7 = 5,71428571.
Vzali jsme kvocient s osmi desetinnými místy. Není-li však vyžadována tak velká přesnost, lze se omezit na celou část kvocientu, tj. číslo 5 (přesněji 6); pro větší přesnost by mohly být brány v úvahu desetiny a podíl rovný 5,7; pokud je tato přesnost z nějakého důvodu nedostatečná, pak se můžeme zastavit na setinkách a vzít 5,71 atd. Vypišme si jednotlivé kvocienty a pojmenujme je.
První přibližný podíl do jedné 6.
Druhá » » » až jedna desetina 5.7.
Třetí » » » do setiny 5,71.
Čtvrtá » » » až jedna tisícina z 5,714.
Aby se tedy našel přibližný podíl do nějakého, například 3. desetinného místa (tj. do jedné tisíciny), dělení se zastaví, jakmile se najde tento znak. V tomto případě je třeba pamatovat na pravidlo uvedené v § 40.
§ 113. Nejjednodušší problémy pro úrok.
Po prostudování desetinných zlomků vyřešíme ještě pár procentuálních úloh.
Tyto úlohy jsou podobné těm, které jsme řešili v oddělení obyčejných zlomků; ale nyní budeme setiny psát ve formě desetinných zlomků, tedy bez výslovně určeného jmenovatele.
Nejprve musíte umět snadno přejít z obyčejného zlomku na desetinný zlomek se jmenovatelem 100. K tomu je potřeba vydělit čitatele jmenovatelem:
Níže uvedená tabulka ukazuje, jak je číslo se symbolem % (procento) nahrazeno desetinnou čárkou se jmenovatelem 100:
Podívejme se nyní na několik problémů.
1. Zjištění procent z daného čísla.
Úkol 1. V jedné vesnici žije pouze 1600 lidí. Počet dětí školní věk je 25 % z celkový počet obyvatelé. Kolik dětí ve školním věku je v této vesnici?
V tomto problému musíte najít 25 % neboli 0,25 z 1 600. Problém je vyřešen vynásobením:
1 600 0,25 = 400 (děti).
Proto 25 % z 1 600 je 400.
Pro jasné pochopení tohoto úkolu je užitečné připomenout, že na sto obyvatel připadá 25 dětí školního věku. Chcete-li tedy zjistit počet všech dětí školního věku, můžete nejprve zjistit, kolik stovek je v čísle 1600 (16), a poté vynásobit 25 počtem stovek (25 x 16 = 400). Tímto způsobem můžete zkontrolovat platnost řešení.
Úkol 2. Spořitelny dávají vkladatelům 2 % z příjmu ročně. Kolik příjmů za rok obdrží vkladatel, který vložil: a) 200 rublů? b) 500 rublů? c) 750 rublů? d) 1000 rublů?
Ve všech čtyřech případech bude pro vyřešení problému nutné vypočítat 0,02 z uvedených částek, tj. každé z těchto čísel bude muset být vynásobeno 0,02. Pojďme na to:
a) 200 0,02 = 4 (rubly),
b) 500 0,02 = 10 (rublů),
c) 750 0,02 = 15 (rublů),
d) 1 000 0,02 = 20 (rublů).
Každý z těchto případů lze ověřit pomocí následujících úvah. Spořitelny dávají vkladatelům 2 % z příjmu, tedy 0,02 z částky vložené do spoření. Pokud by částka byla 100 rublů, pak 0,02 z toho by byly 2 rubly. To znamená, že každých sto přináší vkladateli 2 rubly. příjem. Proto v každém z uvažovaných případů stačí zjistit, kolik stovek je v daném počtu, a vynásobit 2 rubly tímto počtem stovek. V příkladu a) stovky 2, tak
2 2 \u003d 4 (rubly).
V příkladu d) jsou stovky 10, což znamená
2 10 \u003d 20 (rublů).
2. Nalezení čísla podle jeho procenta.
Úkol 1. Na jaře školu absolvovalo 54 studentů, což je 6 % z celkového počtu studentů. Kolik studentů bylo ve škole v minulosti akademický rok?
Nejprve si ujasněme význam tohoto problému. Školu absolvovalo 54 studentů, což je 6 % z celkového počtu studentů, tedy 6 setin (0,06) všech studentů školy. To znamená, že známe část žáků vyjádřenou číslem (54) a zlomkem (0,06) a z tohoto zlomku musíme najít celé číslo. Před námi je tedy obyčejný problém najít číslo jeho zlomkem (§ 90 s. 6). Problémy tohoto typu se řeší dělením:
To znamená, že ve škole bylo 900 studentů.
Takové úlohy je užitečné ověřit řešením inverzní úlohy, tedy po vyřešení úlohy byste měli, alespoň ve své mysli, vyřešit úlohu prvního typu (zjištění procenta daného čísla): vezměte nalezené číslo ( 900), jak je uvedeno, a najděte z něj procento uvedené ve vyřešeném problému, konkrétně:
900 0,06 = 54.
Úkol 2. Za jídlo rodina během měsíce utratí 780 rublů, což je 65 % měsíčního příjmu otce. Určete jeho měsíční příjem.
Tento úkol má stejný význam jako předchozí. Uvádí část měsíčního výdělku vyjádřeného v rublech (780 rublů) a uvádí, že tato část je 65 % nebo 0,65 z celkových výdělků. A požadovaný je celý výdělek:
780: 0,65 = 1 200.
Proto je požadovaný výdělek 1200 rublů.
3. Zjištění procenta čísel.
Úkol 1.Školní knihovna má celkem 6000 knih. Mezi nimi je 1200 knih o matematice. Jaké procento matematických knih tvoří celkový počet knih v knihovně?
Tento druh problému jsme již zvažovali (§97) a došli jsme k závěru, že pro výpočet procenta dvou čísel musíte najít poměr těchto čísel a vynásobit ho 100.
V naší úloze potřebujeme najít procento čísel 1200 a 6000.
Nejprve zjistíme jejich poměr a poté jej vynásobíme 100:
Procento čísel 1 200 a 6 000 je tedy 20. Jinými slovy, matematické knihy tvoří 20 % z celkového počtu všech knih.
Pro kontrolu vyřešíme inverzní problém: najděte 20 % z 6 000:
6 000 0,2 = 1 200.
Úkol 2. Závod by měl dostat 200 tun uhlí. Bylo dodáno již 80 tun Jaké procento uhlí bylo dodáno do závodu?
Tento problém se ptá, kolik procent je jedno číslo (80) jiné (200). Poměr těchto čísel bude 80/200. Vynásobme to 100:
To znamená, že bylo dodáno 40 % uhlí.
Ve škole se tyto akce studují od jednoduchých po složité. Proto je bezpodmínečně nutné dobře ovládat algoritmus pro provádění těchto operací jednoduché příklady. Takže později nebudou žádné potíže s dělením desetinných zlomků do sloupce. Koneckonců, toto je nejtěžší verze takových úkolů.
Tento předmět vyžaduje důsledné studium. Mezery ve znalostech jsou zde nepřijatelné. Tuto zásadu by si měl osvojit každý žák již v první třídě. Pokud tedy vynecháte několik lekcí za sebou, budete si muset látku osvojit sami. Jinak později nastanou problémy nejen s matematikou, ale i s dalšími předměty s ní souvisejícími.
Druhým předpokladem úspěšného studia matematiky je přejít na příklady dělení ve sloupci až po zvládnutí sčítání, odčítání a násobení.
Dítě bude těžko dělit, pokud se nenaučilo násobilku. Mimochodem, je lepší se to naučit z pythagorejské tabulky. Není nic zbytečného a násobení je v tomto případě snáze stravitelné.
Jak se násobí přirozená čísla ve sloupci?
Pokud je problém s řešením příkladů ve sloupci pro dělení a násobení, pak je nutné začít řešit úlohu s násobením. Protože dělení je inverzní k násobení:
- Než vynásobíte dvě čísla, musíte si je pečlivě prohlédnout. Vyberte ten s více číslicemi (delší), zapište si ho jako první. Umístěte pod něj druhý. Kromě toho by čísla odpovídající kategorie měla spadat do stejné kategorie. To znamená, že číslice zcela vpravo prvního čísla musí být nad číslicí zcela vpravo druhého čísla.
- Vynásobte číslici úplně vpravo spodního čísla každou číslicí horního čísla, počínaje zprava. Odpověď napište pod řádek tak, aby její poslední číslice byla pod tou, kterou byla vynásobena.
- Opakujte totéž s druhou číslicí spodního čísla. Výsledek násobení ale musí být posunut o jednu číslici doleva. V tomto případě bude jeho poslední číslice pod tou, kterou byla vynásobena.
Pokračujte v tomto násobení ve sloupci, dokud nedojdou čísla ve druhém násobiteli. Nyní je třeba je složit. Toto bude požadovaná odpověď.
Algoritmus pro násobení do sloupce desetinných zlomků
Nejprve je třeba si představit, že nejsou dány desetinné zlomky, ale přirozené. To znamená, že z nich odstraňte čárky a pak postupujte podle popisu v předchozím případě.
Rozdíl začíná, když je odpověď napsána. V tuto chvíli je nutné spočítat všechna čísla, která jsou za desetinnými čárkami v obou zlomcích. Tolik jich musíte počítat od konce odpovědi a dát tam čárku.
Tento algoritmus je vhodné ilustrovat na příkladu: 0,25 x 0,33:
Jak se začít učit dělit?
Před řešením příkladů na dělení ve sloupci se předpokládá zapamatovat si názvy čísel, která jsou v příkladu na dělení. První z nich (ten, který rozděluje) je dělitelný. Druhý (jim dělený) je dělitel. Odpověď je soukromá.
Poté na jednoduchém každodenním příkladu vysvětlíme podstatu této matematické operace. Například, když si vezmete 10 sladkostí, pak je snadné je rozdělit rovným dílem mezi mámu a tátu. Ale co když je potřebujete rozdat rodičům a bratrovi?
Poté se můžete seznámit s pravidly dělení a osvojit si je konkrétní příklady. Zpočátku jednoduché a pak přechází na složitější a složitější.
Algoritmus pro dělení čísel do sloupce
Nejprve si uvedeme postup pro přirozená čísla, která jsou dělitelná jednociferným číslem. Budou také základem pro vícemístné dělitele nebo desetinné zlomky. Teprve poté má provést malé změny, ale o tom později:
- Než provedete dělení ve sloupci, musíte zjistit, kde je dividenda a dělitel.
- Zapište si dividendu. Napravo od něj je přepážka.
- Nakreslete roh vlevo a dole poblíž posledního rohu.
- Určete neúplnou dividendu, tedy číslo, které bude minimální pro dělení. Obvykle se skládá z jedné číslice, maximálně ze dvou.
- Vyberte číslo, které bude v odpovědi napsáno jako první. Musí to být počet, kolikrát se dělitel vejde do dividendy.
- Zapište výsledek vynásobení tohoto čísla dělitelem.
- Napište to pod neúplný dělitel. Proveďte odečítání.
- Přeneste na zbytek první číslice po části, která již byla rozdělena.
- Opět zvolte číslo pro odpověď.
- Opakujte násobení a odčítání. Pokud je zbytek nula a dividenda je u konce, pak je příklad hotový. Jinak opakujte kroky: demolujte číslo, zvedněte číslo, násobte, odečtěte.
Jak vyřešit dlouhé dělení, pokud je v děliteli více než jedna číslice?
Algoritmus sám se zcela shoduje s tím, co bylo popsáno výše. Rozdíl bude v počtu číslic v neúplné dividendě. Nyní by měly být alespoň dvě, ale pokud se ukáže, že jsou menší než dělitel, pak to má fungovat s prvními třemi číslicemi.
V tomto rozdělení je další nuance. Faktem je, že zbytek a k němu nesená figura někdy nejsou dělitelné dělitelem. Pak se má přiřadit ještě jeden údaj v pořadí. Ale zároveň musí být odpověď nulová. Pokud je provedeno rozdělení trojciferná čísla ve sloupci možná budete muset odstranit více než dvě číslice. Poté je zavedeno pravidlo: nuly v odpovědi by měly být o jednu menší než počet odebraných číslic.
Takové rozdělení můžete zvážit pomocí příkladu - 12082: 863.
- Neúplné dělitelné v něm je číslo 1208. Číslo 863 je v něm umístěno pouze jednou. Proto se v odpovědi má dát 1 a napsat 863 pod 1208.
- Po odečtení je zbytek 345.
- Pro něj musíte zničit číslo 2.
- Do čísla 3452 se 863 vejde čtyřikrát.
- Jako odpověď je třeba napsat čtyři. Navíc, když vynásobíme 4, dostaneme toto číslo.
- Zbytek po odečtení je nula. To znamená, že rozdělení je dokončeno.
Odpověď v příkladu je 14.
Co když dividenda skončí nulou?
Nebo pár nul? V tomto případě se získá nulový zbytek a v dividendě jsou stále nuly. Nezoufejte, vše je jednodušší, než by se mohlo zdát. Stačí k odpovědi připsat všechny nuly, které zůstaly nerozdělené.
Například musíte vydělit 400 5. Neúplná dividenda je 40. Pětka je v ní umístěna 8krát. To znamená, že odpověď má být napsána 8. Při odečítání není žádný zbytek. To znamená, že rozdělení skončilo, ale v dividendě zůstala nula. Bude to muset být přidáno k odpovědi. Vydělením 400 5 tedy získáme 80.
Co když potřebujete dělit desetinné místo?
Toto číslo opět vypadá jako přirozené číslo, nebýt čárky oddělující část celého čísla od části zlomkové. To naznačuje, že rozdělení desetinných zlomků do sloupce je podobné tomu, které je popsáno výše.
Jediný rozdíl bude středník. Předpokládá se, že bude zodpovězeno okamžitě, jakmile bude odstraněna první číslice ze zlomkové části. Jiným způsobem se to dá říci takto: dělení celočíselné části skončilo - dejte čárku a pokračujte v řešení dále.
Při řešení příkladů na dělení do sloupce s desetinnými zlomky je třeba pamatovat na to, že části za desetinnou čárkou lze přiřadit libovolný počet nul. Někdy je to nutné k doplnění čísel do konce.
Dělení na dvě desetinná místa
Může se to zdát složité. Ale jen na začátku. Ostatně, jak provést dělení ve sloupci zlomků přirozeným číslem, je již jasné. Musíme tedy tento příklad zredukovat na již známou formu.
Ulehči to. Musíte vynásobit oba zlomky 10, 100, 1 000 nebo 10 000, nebo možná milionem, pokud to úkol vyžaduje. Násobitel se má vybrat podle toho, kolik nul je v desetinné části dělitele. To znamená, že ve výsledku se ukáže, že budete muset zlomek vydělit přirozeným číslem.
A bude to v nejhorším případě. Může se totiž ukázat, že dividenda z této operace se stane celým číslem. Pak se řešení příkladu s dělením do sloupce zlomků zredukuje na nejjednodušší možnost: operace s přirozenými čísly.
Například: 28,4 děleno 3,2:
- Nejprve je třeba je vynásobit 10, protože ve druhém čísle je za desetinnou čárkou pouze jedna číslice. Vynásobením dostaneme 284 a 32.
- Mají být rozděleni. A najednou je celé číslo 284 x 32.
- První odpovídající číslo odpovědi je 8. Vynásobením dostaneme 256. Zbytek je 28.
- Dělení celočíselné části je u konce a do odpovědi se má dát čárka.
- Zbourat na zbytek 0.
- Vezměte znovu 8.
- Zbytek: 24. Přidejte k tomu další 0.
- Nyní musíte vzít 7.
- Výsledek násobení je 224, zbytek je 16.
- Zničte další 0. Vezměte 5 a získejte přesně 160. Zbytek je 0.
Divize dokončena. Výsledek příkladu 28,4:3,2 je 8,875.
Co když je dělitel 10, 100, 0,1 nebo 0,01?
Stejně jako u násobení zde není potřeba dlouhé dělení. Stačí jen posunout čárku správným směrem o určitý počet číslic. Navíc podle tohoto principu můžete řešit příklady jak s celými čísly, tak s desetinnými zlomky.
Pokud tedy potřebujete dělit 10, 100 nebo 1000, posune se čárka doleva o tolik číslic, kolik je nul v děliteli. To znamená, že když je číslo dělitelné 100, čárka by se měla posunout doleva o dvě číslice. Pokud je dividenda přirozené číslo, pak se předpokládá, že čárka je na jeho konci.
Tato akce poskytne stejný výsledek, jako kdyby se číslo mělo vynásobit 0,1, 0,01 nebo 0,001. V těchto příkladech je čárka také posunuta doleva o počet číslic, rovná délce zlomková část.
Při dělení 0,1 (atd.) nebo násobení 10 (atd.) by se čárka měla posunout doprava o jednu číslici (nebo dvě, tři, v závislosti na počtu nul nebo délce zlomkové části).
Stojí za zmínku, že počet číslic uvedených v dividendě nemusí být dostatečný. Potom lze chybějící nuly přiřadit doleva (v celočíselné části) nebo doprava (za desetinnou čárkou).
Dělení periodických zlomků
V tomto případě nebudete schopni získat přesnou odpověď při dělení do sloupce. Jak vyřešit příklad, pokud narazíte na zlomek s tečkou? Zde je nutné přejít k obyčejným zlomkům. A pak provést jejich rozdělení podle dříve prostudovaných pravidel.
Například potřebujete vydělit 0, (3) 0,6. První zlomek je periodický. Převede se na zlomek 3/9, který po zmenšení dá 1/3. Druhý zlomek je poslední desetinné číslo. Ještě jednodušší je napsat obyčejný: 6/10, což se rovná 3/5. Pravidlo pro dělení obyčejných zlomků předepisuje nahradit dělení násobením a dělitele převrácenou hodnotou čísla. To znamená, že příklad se scvrkává na násobení 1/3 5/3. Odpověď je 5/9.
Pokud má příklad různé zlomky...
Pak existuje několik možných řešení. Za prvé, společný zlomek Můžete zkusit převést na desítkové. Poté rozdělte již dvě desetinná místa podle výše uvedeného algoritmu.
Za druhé, každý konečný desetinný zlomek lze zapsat jako společný zlomek. Jen to není vždy pohodlné. Nejčastěji se takové zlomky ukáží jako obrovské. Ano, a odpovědi jsou těžkopádné. Proto je první přístup považován za vhodnější.
