V matematice má každá akce svůj vlastní párový protiklad – v podstatě jde o jeden z projevů Hegelova zákona dialektiky: „jednota a boj protikladů“. Jedna z akcí v takovém „páru“ je zaměřena na zvýšení počtu a druhá, jeho opak, se snižuje. Například akce opačná k sčítání je odčítání a dělení odpovídá násobení. Povýšení k moci má také svůj vlastní dialektický pár - opak. Jde o extrakci kořenů.

Vyjmout z čísla odmocninu takového a takového stupně znamená vypočítat, které číslo je třeba zvýšit na odpovídající mocninu, aby skončilo s tímto číslem. Dva stupně mají svá vlastní samostatná jména: druhý stupeň se nazývá "čtverec" a třetí - "krychle". Podle toho je příjemné nazývat kořeny těchto mocnin odmocninou a krychlovou odmocninou. Akce s krychlovými kořeny jsou tématem na samostatnou diskuzi, ale nyní pojďme mluvit o sčítání odmocniny.

Začněme tím, že v některých případech je snazší nejprve extrahovat odmocniny a poté výsledky přidat. Předpokládejme, že potřebujeme najít hodnotu takového výrazu:

Ostatně není vůbec těžké spočítat, že druhá odmocnina z 16 je 4 a ze 121 - 11.

√16+√121=4+11=15

To je však ten nejjednodušší případ – zde mluvíme o plných čtvercích, tzn. o číslech, která se získají umocněním celých čísel. Ale není tomu tak vždy. Například číslo 24 není dokonalý čtverec (nemůžete najít celé číslo, které by po zvýšení na druhou mocninu vedlo k 24). Totéž platí pro číslo jako 54... Co když potřebujeme sečíst odmocniny těchto čísel?

V tomto případě dostaneme v odpovědi nikoli číslo, ale jiný výraz. Maximum, co zde můžeme udělat, je co nejvíce zjednodušit původní výraz. K tomu budete muset vyjmout faktory zpod odmocniny. Podívejme se, jak se to dělá pomocí uvedených čísel jako příklad:

Pro začátek rozložme na faktor 24 – tak, že jeden z nich lze snadno odmocnit (tj. plné náměstí). Existuje takové číslo - toto je 4:

Nyní udělejme totéž s 54. V jeho složení bude toto číslo 9:

Získáme tedy následující:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Nyní vyjmeme kořeny z toho, z čeho je můžeme extrahovat: 2*√6+3*√6

Je zde společný faktor, který můžeme vyjmout ze závorek:

(2+3)* √6=5*√6

To bude výsledek sčítání - nic jiného zde nelze extrahovat.

Je pravda, že se můžete uchýlit k pomoci kalkulačky - výsledek však bude přibližný a s velkým počtem desetinných míst:

√6=2,449489742783178

Postupným zaokrouhlením nahoru dostaneme přibližně 2,5. Pokud bychom přesto chtěli řešení předchozího příkladu dovést k logickému závěru, můžeme tento výsledek vynásobit 5 – a dostaneme 12,5. Přesnější výsledek s takovými počátečními údaji nelze získat.

Ahoj kočičky! Minule jsme podrobně rozebrali, co jsou kořeny (pokud si nepamatujete, doporučuji přečíst). Hlavní závěr této lekce: existuje pouze jedna univerzální definice kořenů, kterou potřebujete znát. Zbytek je nesmysl a ztráta času.

Dnes jdeme dále. Naučíme se násobit odmocniny, nastudujeme si některé problémy spojené s násobením (pokud se tyto problémy neřeší, pak se mohou stát osudnými na zkoušce) a pořádně si zacvičíme. Tak se zásobte popcornem, udělejte si pohodlí - a začneme. :)

Ty jsi ještě nekouřil, že?

Lekce se ukázala být poměrně rozsáhlá, takže jsem ji rozdělil na dvě části:

1. Nejprve se podíváme na pravidla pro násobení. Zdá se, že čepice naznačuje: to je, když jsou dva kořeny, mezi nimi je znak „násobení“ - a my s tím chceme něco udělat.
2. Pak budeme analyzovat obrácenou situaci: existuje jeden velký kořen a my jsme byli netrpěliví, abychom ho představili jako součin dvou kořenů jednodušším způsobem. S jakým strachem je to nutné, je samostatná otázka. Budeme pouze analyzovat algoritmus.

Pro ty, kteří se nemohou dočkat, až se vrhnou přímo do 2. části, jste vítáni. Začněme popořadě zbytkem.

Základní pravidlo násobení

Začněme tím nejjednodušším – klasickými odmocninami. Ty, které jsou označeny $\sqrt(a)$ a $\sqrt(b)$. Pro ně je vše obecně jasné:

pravidlo násobení. Chcete-li vynásobit jednu druhou odmocninu druhou, stačí vynásobit jejich radikální výrazy a výsledek zapsat pod společný radikál:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Na čísla vpravo nebo vlevo nejsou uložena žádná další omezení: pokud existují kořeny násobitele, existuje také součin.

Příklady. Zvažte čtyři příklady s čísly najednou:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(zarovnat)\]

Jak vidíte, hlavním smyslem tohoto pravidla je zjednodušit iracionální výrazy. A pokud bychom v prvním příkladu extrahovali kořeny z 25 a 4 bez jakýchkoli nových pravidel, pak cín začíná: $\sqrt(32)$ a $\sqrt(2)$ se nepočítají samy o sobě, ale jejich součin se ukáže jako přesný čtverec, takže jeho odmocnina se rovná racionálnímu číslu.

Samostatně bych rád poznamenal poslední řádek. Tam jsou oba radikální výrazy zlomky. Díky produktu se mnoho faktorů vyruší a celý výraz se promění v adekvátní počet.

Samozřejmě ne vždy bude všechno tak krásné. Někdy bude pod kořeny úplné svinstvo - není jasné, co s tím a jak se po přemnožení transformovat. O něco později, až začnete studovat iracionální rovnice a nerovností, budou obecně existovat nejrůznější proměnné a funkce. A velmi často kompilátoři problémů právě počítají s tím, že najdete nějaké smluvní podmínky nebo faktory, po jejichž splnění se úkol značně zjednoduší.

Navíc není nutné násobit přesně dva kořeny. Můžete násobit tři najednou, čtyři - ano i deset! Toto pravidlo nezmění. Podívej se:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(zarovnat)\]

A opět malá poznámka k druhému příkladu. Jak vidíte, ve třetím multiplikátoru je pod kořenem desetinný zlomek - v procesu výpočtů jej nahradíme běžným, po kterém se vše snadno sníží. Takže: Vřele doporučuji zbavit se desetinných zlomků v jakýchkoli iracionálních výrazech (tedy obsahujících alespoň jednu radikální ikonu). To vám v budoucnu ušetří spoustu času a nervů.

Ale byla to lyrická odbočka. Nyní uvažujme obecnější případ – když kořenový exponent obsahuje libovolné číslo $n$, a nikoli pouze „klasickou“ dvojku.

Případ libovolného ukazatele

Takže jsme přišli na odmocniny. A co dělat s kostkami? Nebo obecně s kořeny libovolného stupně $n$? Ano, vše je při starém. Pravidlo zůstává stejné:

K vynásobení dvou odmocnin stupně $n$ stačí vynásobit jejich radikální výrazy, načež se výsledek zapíše pod jeden radikál.

Obecně nic složitého. Pokud objem výpočtů nemůže být větší. Podívejme se na několik příkladů:

Příklady. Spočítejte si produkty:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(zarovnat)\]

A opět pozor na druhý výraz. Namnožíme krychlové kořeny, zbavíme se desetinný zlomek a výsledkem je součin čísel 625 a 25 ve jmenovateli. velké číslo- Osobně hned neuvažuji, čemu se to rovná.

Proto jsme jednoduše vybrali přesnou krychli v čitateli a jmenovateli a pak použili jednu z klíčových vlastností (nebo chcete-li definici) kořene $n$-tého stupně:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\vpravo|. \\ \end(zarovnat)\]

Takové „podvody“ vám mohou ušetřit spoustu času na zkoušce resp kontrolní práce tak si pamatuj:

Nespěchejte s násobením čísel v radikálním výrazu. Nejprve zkontrolujte: co když je tam „zašifrován“ přesný stupeň jakéhokoli výrazu?

Při vší samozřejmosti této poznámky musím přiznat, že většina nepřipravených studentů natvrdo nevidí přesné stupně. Místo toho znásobí všechno dopředu a pak se diví: proč dostali tak brutální čísla? :)

To vše je však dětská hra ve srovnání s tím, co budeme studovat nyní.

Násobení kořenů s různými exponenty

Nyní můžeme násobit kořeny se stejnými exponenty. Co když se skóre liší? Řekněte, jak vynásobíte obyčejný $\sqrt(2)$ nějakým svinstvem jako $\sqrt(23)$? Je to vůbec možné?

Ano samozřejmě, že můžeš. Vše se děje podle tohoto vzorce:

Pravidlo násobení kořenů. Chcete-li vynásobit $\sqrt[n](a)$ $\sqrt[p](b)$, proveďte následující transformaci:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tento vzorec však funguje pouze tehdy, pokud radikální výrazy nejsou negativní. Toto je velmi důležitá poznámka, ke které se vrátíme o něco později.

Prozatím se podívejme na několik příkladů:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(zarovnat)\]

Jak vidíte, nic složitého. Nyní pojďme zjistit, odkud se vzal požadavek na nezápornost a co se stane, když jej porušíme. :)

Je snadné množit kořeny.

Proč musí být radikální výrazy nezáporné?

Samozřejmě se můžete stát učiteli ve škole a citovat učebnici s chytrým vzhledem:

Požadavek nezápornosti je spojen s různými definicemi kořenů sudých a lichých stupňů (respektive jejich definiční domény jsou také různé).

No, bylo to jasnější? Osobně, když jsem v 8. třídě četl tento nesmysl, pochopil jsem pro sebe asi toto: „Požadavek nezápornosti je spojen s *#&^@(*#@^#)~%“ – zkrátka jsem tenkrát jsem tomu nerozuměl :)

Takže teď vše vysvětlím normálním způsobem.

Nejprve zjistíme, odkud pochází vzorec pro násobení výše. Abych to udělal, dovolte mi připomenout jednu důležitou vlastnost kořene:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Jinými slovy, můžeme bezpečně zvýšit kořenový výraz na jakoukoli přirozenou mocninu $k$ - v tomto případě bude muset být kořenový index vynásoben stejnou mocninou. Jakékoli kořeny tedy snadno zredukujeme na společný ukazatel, načež násobíme. Odtud pochází vzorec pro násobení:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Existuje však jeden problém, který použití všech těchto vzorců výrazně omezuje. Zvažte toto číslo:

Podle právě uvedeného vzorce můžeme přidat libovolný stupeň. Zkusme přidat $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Mínus jsme odstranili právě proto, že čtverec vypaluje mínus (jako každý jiný sudý stupeň). A nyní provedeme obrácenou transformaci: „snížíme“ dvojku v exponentu a stupni. Koneckonců, jakoukoli rovnost lze číst zleva doprava i zprava doleva:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](A); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Šipka doprava \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(zarovnat)\]

Ale pak se stane něco šíleného:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

To nemůže být způsobeno tím, že $\sqrt(-5) \lt 0$ a $\sqrt(5) \gt 0$. Tedy pro sudé pravomoci a záporná čísla náš vzorec již nefunguje. Poté máme dvě možnosti:

1. Bojovat proti zdi za tvrzení, že matematika je hloupá věda, kde „existují nějaká pravidla, ale tato jsou nepřesná“;
2. Zaveďte další omezení, za kterých bude vzorec 100% funkční.

V první možnosti budeme muset neustále chytat „nefungující“ případy - je to obtížné, dlouhé a obecně zábavné. Matematici proto dali přednost druhé možnosti. :)

Ale nebojte se! V praxi toto omezení nijak neovlivňuje výpočty, protože všechny popsané problémy se týkají pouze kořenů lichého stupně a lze z nich vytahovat mínusy.

Proto formulujeme další pravidlo, které platí obecně pro všechny akce s kořeny:

Před násobením kořenů se ujistěte, že radikální výrazy nejsou záporné.

Příklad. V čísle $\sqrt(-5)$ můžete vyjmout mínus pod kořenovým znakem - pak bude vše v pořádku:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Šipka doprava \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Cítit rozdíl? Pokud necháte pod kořenem mínus, pak když se radikální výraz umocní na druhou, zmizí a začne svinstvo. A pokud nejprve vezmete mínus, můžete dokonce zvýšit / odebrat čtverec, dokud nebudete modrý v obličeji - číslo zůstane záporné. :)

Nejsprávnější a nejspolehlivější způsob množení kořenů je tedy následující:

1. Odstraňte všechny mínusy zpod radikálů. Mínusy jsou pouze v kořenech liché násobnosti – lze je umístit před kořen a v případě potřeby je zmenšit (např. pokud jsou tyto mínusy dvě).
2. Proveďte násobení podle pravidel probraných výše v dnešní lekci. Pokud jsou indexy kořenů stejné, jednoduše vynásobte kořenové výrazy. A pokud se liší, použijeme zlý vzorec \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Výsledek a dobré známky nás baví. :)

Studna? Budeme cvičit?

Příklad 1. Zjednodušte výraz:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(zarovnat)\]

Toto je nejjednodušší možnost: ukazatele kořenů jsou stejné a liché, problém je pouze v mínusu druhého multiplikátoru. Vydržíme tento mínus nafig, po kterém se vše snadno zváží.

Příklad 2. Zjednodušte výraz:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( zarovnat)\]

Zde by mnohé zmátlo, že výstup se ukázal jako iracionální číslo. Ano, stává se: kořene se nám nepodařilo úplně zbavit, ale výraz jsme alespoň výrazně zjednodušili.

Příklad 3. Zjednodušte výraz:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \vpravo))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

To je to, na co bych chtěl upozornit. Jsou zde dva body:

1. Pod kořenem není konkrétní číslo nebo stupeň, ale proměnná $a$. Na první pohled trochu nezvyklé, ale ve skutečnosti při řešení matematické problémy nejčastěji se budete muset vypořádat s proměnnými.
2. Nakonec se podařilo „zmenšit“ kořenový exponent a stupeň v radikálním výrazu. To se stává poměrně často. A to znamená, že bylo možné výrazně zjednodušit výpočty, pokud nepoužíváte hlavní vzorec.

Můžete například provést toto:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(zarovnat)\]

Ve skutečnosti byly všechny transformace provedeny pouze s druhým radikálem. A pokud nenakreslíte detailně všechny mezikroky, tak se nakonec množství výpočtů výrazně sníží.

Ve skutečnosti jsme se s podobným úkolem již setkali výše při řešení příkladu $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Nyní to lze napsat mnohem snadněji:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(zarovnat)\]

No, přišli jsme na násobení kořenů. Nyní zvažte inverzní operaci: co dělat, když je pod kořenem práce?

V matematice mohou být odmocniny čtvercové, kubické nebo mít jakýkoli jiný exponent (mocninu), který se píše vlevo nad kořenovým znaménkem. Výraz pod kořenovým znakem se nazývá kořenový výraz. Sčítání kořenů je podobné sčítání členů algebraického výrazu, to znamená, že vyžaduje definici podobných kořenů.

Kroky

Část 1 ze 2: Hledání kořenů

Označení kořene. Výraz pod kořenovým znakem () znamená, že je nutné z tohoto výrazu extrahovat kořen určitého stupně.

• Kořen je označen znaménkem.
• Index (stupeň) kořene se píše vlevo nad kořenovým znakem. Například odmocnina z 27 je zapsána jako: (27)
• Pokud exponent (stupeň) odmocniny chybí, pak se exponent považuje za rovný 2, to znamená, že je to odmocnina (nebo odmocnina druhého stupně).
• Číslo zapsané před kořenovým znakem se nazývá násobitel (to znamená, že toto číslo se násobí odmocninou), například 5 (2)
• Pokud před odmocninou není žádný faktor, pak se rovná 1 (připomeňme, že jakékoli číslo vynásobené 1 se rovná samo sobě).
• Pokud pracujete s odmocninou poprvé, udělejte si vhodné poznámky k násobiteli a exponentu odmocniny, abyste se nespletli a lépe porozuměli jejich účelu.

Pamatujte, které kořeny lze skládat a které ne. Stejně jako nemůžete přidat různé termíny výrazu, například 2a + 2b 4ab, nemůžete přidat různé kořeny.

Nemůžete přidat kořeny s různými kořenovými výrazy, například (2) + (3) (5). Ale můžete sčítat čísla pod stejnou odmocninou, například (2 + 3) = (5) (druhá odmocnina z 2 je přibližně 1,414, druhá odmocnina ze 3 je přibližně 1,732 a druhá odmocnina z 5 je přibližně 2,236 ).

Nemůžete přidat kořeny se stejnými radikálními výrazy, ale různé ukazatele, například (64) + (64) (tento součet se nerovná (64), protože druhá odmocnina z 64 je 8, odmocnina z 64 je 4, 8 + 4 = 12, což je mnohem větší než pátá odmocnina z 64, což se přibližně rovná 2,297).

Část 2 ze 2: Zjednodušení a přidání kořenů

Identifikujte a seskupte podobné kořeny. Podobné kořeny jsou kořeny, které mají stejné exponenty a stejné kořenové výrazy. Zvažte například výraz:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Nejprve přepište výraz tak, aby kořeny se stejným exponentem byly v řadě.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Poté výraz přepište tak, aby kořeny se stejným exponentem a stejným kořenovým výrazem byly v řadě.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Zjednodušte své kořeny. Chcete-li to provést, rozložte (pokud je to možné) radikální výrazy na dva faktory, z nichž jeden je vyjmut z kořene. V tomto případě se vykreslené číslo a kořenový faktor násobí.

Ve výše uvedeném příkladu faktor 50 na 2*25 a číslo 32 na 2*16. Z 25 a 16 můžete extrahovat druhé odmocniny (respektive 5 a 4) a vyjmout 5 a 4 zpod odmocniny, respektive je vynásobit faktory 2 a 1. Získáte tedy zjednodušený výraz: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Číslo 81 lze rozložit na 3 * 27 a odmocninu 3 lze vzít z čísla 27. Toto číslo 3 lze vyjmout z odmocniny. Získáte tak ještě zjednodušený výraz: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Přidejte faktory podobných kořenů. V našem příkladu jsou podobné odmocniny 2 (lze je sečíst) a podobné odmocniny 3 (lze je také sečíst). Krychlová odmocnina ze 3 takové kořeny nemá.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Konečný zjednodušený výraz: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Neexistují žádná obecně uznávaná pravidla pro pořadí, ve kterém jsou kořeny zapsány ve výrazu. Proto můžete psát kořeny ve vzestupném pořadí jejich exponentů a ve vzestupném pořadí radikálních výrazů.

Pozor, pouze DNES!

Vše zajímavé

Číslo, které je pod kořenovým znaménkem, často narušuje řešení rovnice, je nepohodlné s ním pracovat. I když je umocněna, zlomková nebo nemůže být do určité míry reprezentována jako celé číslo, lze se ji pokusit odvodit z…

Odmocnina čísla x je číslo, které se po umocnění odmocniny bude rovnat x. Násobitel je číslo, které se násobí. To znamená, že ve výrazu jako x*ª-&radic-y musíte přidat x pod kořen. Pokyn 1 Určete stupeň...

Pokud kořenový výraz obsahuje množinu matematické operace u proměnných lze někdy v důsledku jeho zjednodušení získat relativně jednoduchou hodnotu, jejíž část lze vyjmout z pod kořenem. Toto zjednodušení je užitečné...

Aritmetické operace s kořeny různých stupňů mohou výrazně zjednodušit výpočty ve fyzice a technologii a zpřesnit je. Při násobení a dělení je výhodnější nevytahovat odmocninu z každého faktoru nebo děliče a dělitele, ale nejprve ...

Druhá odmocnina z čísla x je číslo a, které po vynásobení samo sebou dostane číslo x: a * a = a^2 = x, x = a. Stejně jako u každého čísla můžete provádět aritmetické operace sčítání a odčítání na odmocnině. Návod...

Kořen v matematice může mít dva významy: je to aritmetická operace a každé z řešení rovnice, algebraické, parametrické, diferenciální nebo jakékoli jiné. Instrukce 1Kořeninou n-tého stupně čísla a je takové číslo, které ...

Při provádění různých aritmetických operací s kořeny je často nutné umět radikální výrazy transformovat. Pro zjednodušení výpočtů může být nutné vyjmout faktor ze znaménka radikálu nebo jej umístit pod něj. Tato akce může...

Kořen je ikona, která označuje matematickou operaci nalezení takového čísla, jehož zvýšení o stupeň naznačený před kořenovým znakem by mělo dát číslo uvedené pod tímto znakem. Často k řešení problémů, ve kterých jsou...

Root přihlášení matematické vědy se nazývá symbol pro kořeny. Číslo pod kořenovým znakem se nazývá radikální výraz. V případě nepřítomnosti exponentu je odmocninou čtverec, jinak číslo označuje ...

Aritmetický kořen n-tého mocniny z reálného čísla a se nazývá takové nezáporné číslo x, n-tá síla které se rovná číslu a. Tito. (n) a = x, x^n = a. Existují různé způsoby, jak přidat aritmetický kořen a racionální číslo.…

N-tá odmocnina reálného čísla a je číslo b, pro které platí rovnost b^n = a. Kořeny ne sudý stupeň existují pro záporná a kladná čísla a dokonce i kořeny existují pouze pro kladná.…

Obsah:

V matematice mohou být odmocniny čtvercové, kubické nebo mít jakýkoli jiný exponent (mocninu), který se píše vlevo nad kořenovým znaménkem. Výraz pod kořenovým znakem se nazývá kořenový výraz. Sčítání kořenů je podobné sčítání členů algebraického výrazu, to znamená, že vyžaduje definici podobných kořenů.

Kroky

Část 1 Hledání kořenů

1. 1 Označení kořene. Výraz pod kořenovým znaménkem (√) znamená, že je nutné z tohoto výrazu extrahovat kořen určitého stupně.
   • Kořen se značí znaménkem √.
   • Index (stupeň) kořene se píše vlevo nad kořenovým znakem. Například odmocnina čísla 27 je zapsána takto: 3 √(27)
   • Pokud exponent (stupeň) odmocniny chybí, pak se exponent považuje za rovný 2, to znamená, že je to odmocnina (nebo odmocnina druhého stupně).
   • Číslo zapsané před kořenovým znakem se nazývá faktor (to znamená, že toto číslo se násobí odmocninou), například 5√ (2)
   • Pokud před odmocninou není žádný faktor, pak se rovná 1 (připomeňme, že jakékoli číslo vynásobené 1 se rovná samo sobě).
   • Pokud pracujete s odmocninou poprvé, udělejte si vhodné poznámky k násobiteli a exponentu odmocniny, abyste se nespletli a lépe porozuměli jejich účelu.
2. 2 Pamatujte, které kořeny lze skládat a které ne. Stejně jako nemůžete přidat různé členy výrazu, například 2a + 2b ≠ 4ab, nemůžete přidat různé kořeny.
   • Nemůžete přidat kořeny s různými radikálními výrazy, například √(2) + √(3) ≠ √(5). Ale můžete sečíst čísla pod stejnou odmocninou, například √(2 + 3) = √(5) (druhá odmocnina z 2 je asi 1,414, druhá odmocnina ze 3 je asi 1,732 a druhá odmocnina z 5 je asi 2,236).
   • Nemůžete sčítat kořeny se stejnými kořenovými výrazy, ale s různými exponenty, například √ (64) + 3 √ (64) (tento součet se nerovná 5 √ (64), protože druhá odmocnina z 64 je 8, odmocnina z 64 je 4 , 8 + 4 = 12, což je mnohem větší než pátá odmocnina z 64, což je přibližně 2,297).

Část 2 Zjednodušení a přidání kořenů

1. 1 Identifikujte a seskupte podobné kořeny. Podobné kořeny jsou kořeny, které mají stejné exponenty a stejné kořenové výrazy. Zvažte například výraz:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • Nejprve přepište výraz tak, aby kořeny se stejným exponentem byly v řadě.
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Poté výraz přepište tak, aby kořeny se stejným exponentem a stejným kořenovým výrazem byly v řadě.
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 Zjednodušte své kořeny. Chcete-li to provést, rozložte (pokud je to možné) radikální výrazy na dva faktory, z nichž jeden je vyjmut z kořene. V tomto případě se vykreslené číslo a kořenový faktor násobí.
   • Ve výše uvedeném příkladu faktor 50 na 2*25 a číslo 32 na 2*16. Z 25 a 16 můžete extrahovat druhou odmocninu (respektive 5 a 4) a vyjmout 5 a 4 zpod odmocniny, respektive je vynásobit faktory 2 a 1. Získáte tak zjednodušený výraz: 10√(2) + 4√( 2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Číslo 81 lze rozložit na 3 * 27 a odmocninu 3 lze vzít z čísla 27. Toto číslo 3 lze vyjmout z odmocniny. Získáte tak ještě zjednodušený výraz: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 Přidejte faktory podobných kořenů. V našem příkladu jsou podobné odmocniny 2 (lze je sečíst) a podobné odmocniny 3 (lze je také sečíst). Krychlová odmocnina ze 3 takové kořeny nemá.
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • Konečný zjednodušený výraz: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• Neexistují žádná obecně uznávaná pravidla pro pořadí, ve kterém jsou kořeny zapsány ve výrazu. Proto můžete psát kořeny ve vzestupném pořadí jejich exponentů a ve vzestupném pořadí radikálních výrazů.

Sčítání a odčítání kořenů- jeden z nejčastějších "kamenů úrazu" pro ty, kteří absolvují kurz matematiky (algebry) na střední škole. Naučit se je správně sčítat a odčítat je však velmi důležité, protože příklady na součet nebo rozdíl odmocnin jsou součástí programu základního Jednotného Státní zkouška v oboru "matematika".

Abyste zvládli řešení takových příkladů, potřebujete dvě věci – pochopit pravidla a také získat praxi. Po vyřešení jednoho nebo dvou desítek typických příkladů dovede student tuto dovednost k automatismu a u zkoušky se pak nebude mít čeho bát. Aritmetické operace se doporučuje začít zvládat sčítáním, protože jejich sčítání je o něco jednodušší než odečítání.

Nejjednodušší způsob, jak to vysvětlit, je na příkladu druhé odmocniny. V matematice existuje zažitý pojem „čtverec“. "Čtverec" znamená vynásobit určité číslo samo o sobě jednou.. Například, když odmocníte 2, dostanete 4. Pokud odmocníte 7, dostanete 49. Druhá mocnina 9 je 81. Takže druhá odmocnina ze 4 je 2, ze 49 je 7 a z 81 je 9.

Výuka tohoto tématu v matematice zpravidla začíná odmocniny. Aby to hned určil, žák střední škola musí znát násobilku zpaměti. Pro ty, kteří tuto tabulku dobře neznají, musíte použít nápovědu. Obvykle je proces extrahování odmocniny z čísla uveden ve formě tabulky na obálkách mnoha školní sešity matematika.

Kořeny jsou následujících typů:

• náměstí;
• krychlový (nebo tzv. třetí stupeň);
• čtvrtý stupeň;
• pátého stupně.

Pravidla sčítání

Aby bylo možné úspěšně vyřešit typický příklad, je třeba mít na paměti, že ne všechna kořenová čísla lze vzájemně stohovat. Aby je bylo možné poskládat, musí být dovedeny do jediného vzoru. Pokud to není možné, pak problém nemá řešení. Takové problémy se také často vyskytují v učebnicích matematiky jako jakási past na studenty.

Sčítání není povoleno v přiřazeních, pokud se radikálové výrazy od sebe liší. To lze ilustrovat v dobrý příklad:

• student stojí před úkolem: sečíst odmocninu ze 4 az 9;
• nezkušený student, znát pravidla, obvykle píše: "druhá odmocnina ze 4 + odmocnina z 9 \u003d odmocnina ze 13."
• je velmi snadné dokázat, že tento způsob řešení je špatný. Chcete-li to provést, musíte najít druhou odmocninu z 13 a zkontrolovat, zda je příklad vyřešen správně;
• pomocí mikrokalkulačky můžete určit, že je to přibližně 3,6. Nyní zbývá zkontrolovat řešení;
• odmocnina z 4=2 a z 9=3;
• Součet dvou a tří je pět. Tento algoritmus řešení lze tedy považovat za nesprávný.

Pokud jsou kořeny stejný stupeň, ale různé číselné výrazy, je vyjmuto ze závorek a závorky jsou vloženy součet dvou radikálních výrazů. Z tohoto množství je tedy již vytěženo.

Algoritmus sčítání

Aby bylo možné správně vyřešit nejjednodušší problém, je nutné:

1. Určete, co přesně vyžaduje přidání.
2. Zjistěte, zda je možné vzájemně sčítat hodnoty podle pravidel existujících v matematice.
3. Pokud je nelze přidat, musíte je transformovat tak, aby je bylo možné přidat.
4. Po provedení všech nezbytných transformací je nutné provést sčítání a zapsat hotovou odpověď. Sčítání lze provést v duchu nebo pomocí kalkulačky, v závislosti na složitosti příkladu.

Jaké jsou podobné kořeny

Pro správné vyřešení příkladu sčítání je nutné se nejprve zamyslet nad tím, jak jej lze zjednodušit. Chcete-li to provést, musíte mít základní znalosti o tom, co je podobnost.

Schopnost identifikovat podobné pomáhá rychle vyřešit stejný typ příkladů sčítání a převést je do zjednodušené formy. Pro zjednodušení typického příkladu přidání je třeba:

1. Najděte podobné a přidělte je jedné skupině (nebo několika skupinám).
2. Přepište existující příklad tak, aby kořeny, které mají stejný indikátor, za sebou jasně navazovaly (říká se tomu „seskupení“).
3. Dále byste měli výraz napsat znovu, tentokrát tak, aby podobné (které mají stejný ukazatel a stejný kořenový obrazec) také následovaly za sebou.

Poté je zjednodušený příklad obvykle snadno řešitelný.

Abyste správně vyřešili jakýkoli příklad sčítání, musíte jasně porozumět základním pravidlům sčítání a také vědět, co je kořen a jak k němu dochází.

Někdy takové úkoly vypadají na první pohled velmi složitě, ale obvykle je lze snadno vyřešit seskupením podobných. Nejdůležitější je procvičování a pak žák začne „cvakat úkoly jako ořechy“. Sčítání odmocnin je jedním z nejdůležitějších oborů matematiky, proto by si učitelé měli na jeho studium vyhradit dostatek času.

Video

Toto video vám pomůže porozumět rovnicím s odmocninami.