Odpovídající výrazy, které se navzájem obracejí. Abychom pochopili, co to znamená, stojí za to podívat se na konkrétní příklad. Řekněme, že máme y = cos(x). Pokud vezmete kosinus z argumentu, můžete najít hodnotu y. K tomu samozřejmě potřebujete mít X. Ale co když byla hra původně dána? Tady jde o jádro věci. Chcete-li problém vyřešit, musíte použít inverzní funkci. V našem případě je to arckosin.
Po všech transformacích dostaneme: x = arccos(y).
To znamená, že k nalezení funkce inverzní k dané funkci stačí z ní jednoduše vyjádřit argument. To ale funguje pouze v případě, že výsledný výsledek má jediný význam (o tom později).
Obecně lze tuto skutečnost zapsat takto: f(x) = y, g(y) = x.
Definice
Nechť f je funkce, jejíž definičním oborem je množina X a jehož definičním oborem je množina Y. Pak, existuje-li g, jehož definiční obory plní opačné úlohy, pak f je invertibilní.
Navíc je v tomto případě g jedinečné, což znamená, že existuje právě jedna funkce, která tuto vlastnost splňuje (ne více, nic méně). Pak se nazývá inverzní funkce a písemně se značí takto: g(x) = f -1 (x).
Jinými slovy, lze je považovat za binární vztah. Reverzibilita nastává pouze tehdy, když jeden prvek sady odpovídá jedné hodnotě z jiné.
Inverzní funkce vždy neexistuje. K tomu musí každý prvek y є Y odpovídat nejvýše jednomu x є X. Potom se f nazývá jedna ku jedné nebo injekce. Pokud f -1 náleží Y, pak každý prvek této množiny musí odpovídat nějakému x ∈ X. Funkce s touto vlastností se nazývají surjekce. Podle definice platí, pokud Y je obrazem f, ale není tomu tak vždy. Aby byla funkce inverzní, musí být injekcí i vstřikem. Takové výrazy se nazývají bijekce.
Příklad: funkce druhé a odmocniny
Funkce je definována na . V tomto případě jeho derivát
Katedra matematiky a informatiky Matematická analýza Vzdělávací a metodický komplex pro studenty vysokých škol studujících distančními technologiemi Modul 4 Derivační aplikace Zpracoval: docent
Kapitola 1. Limita a spojitost 1. Množiny čísel 1 0. Reálná čísla Ze školní matematiky znáte přirozených N celých čísel Z racionálních Q a reálných R čísel Přirozených a celých čísel
Přednáška 19 DERIVÁT A JEHO APLIKACE. DEFINICE DERIVÁTU. Mějme nějakou funkci y=f(x), definovanou na nějakém intervalu. Pro každou hodnotu argumentu x z tohoto intervalu funkce y=f(x)
Diferenciální počet Základní pojmy a vzorce Definice 1 Derivace funkce v bodě je limita poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu za předpokladu, že přírůstek argumentu
Téma 8. Exponenciální a logaritmické funkce. 1. Exponenciální funkce, její graf a vlastnosti V praxi se často používají funkce y=2 x,y=10 x,y=(1 2x),y=(0,1) x atd., tj. funkce tvar y=a x,
44 Příklad Najděte celkovou derivaci komplexní funkce = sin v cos w kde v = ln + 1 w= 1 Pomocí vzorce (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Nyní najděte celkový diferenciál komplexu funkce f
Úkoly pro samostatné řešení. Najděte definiční obor funkce 6x. Najděte tečnu úhlu sklonu k ose x tečny procházející bodem M (;) grafu funkce. Najděte tangens úhlu
Téma Numerická funkce, její vlastnosti a graf Koncept numerické funkce Oblast definice a množiny hodnot funkce Nechť je dána číselná množina X Pravidlo, které spojuje každé číslo X s jedinečným
Přednáška 23 KONVEXNÍ A KONKÁVNOST GRAFU FUNKCE INFLEKČNÍHO BODU Graf funkce y=f(x) se nazývá konvexní na intervalu (a; b), pokud se nachází pod některou z jejích tečen na tomto intervalu Graf
Téma Teorie limit Cvičení Číselné posloupnosti Definice číselné posloupnosti Ohraničené a neomezené posloupnosti Monotónní posloupnosti Infinitezimální
Numerické funkce a číselné posloupnosti D. V. Lytkina JE, I semestr D. V. Lytkina (SibGUTI) matematická analýza JE, I semestr 1 / 35 Obsah 1 Numerická funkce Pojem funkce Numerické funkce.
Banka úloh na téma „DERIVÁT“ třída MATEMATIKA (profil) Studenti by měli znát/rozumět: Pojem derivace. Definice derivátu. Věty a pravidla pro hledání derivací součtu, rozdílu, součinu
A. A. MĚŘENÍ NEBEZPEČÍ: RÁMEC RÁMCE. RESUME UČICÍ PŘÍRUČKA PRO SPO - vydání, opraveno a doplněno Ruskou akademií věd synonymum
A.V. Zemlyanko matematika. Algebra a principy analýzy Voroněž OBSAH TÉMA 1. ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI FUNKCE... 6 1.1. Numerická funkce... 6 1.2. Graf funkce... 9 1.3. Převod grafů funkcí...
Předmět. Funkce. Způsoby zadání. Implicitní funkce. Inverzní funkce. Klasifikace funkcí Základy teorie množin. Základní pojmy Jedním ze základních pojmů moderní matematiky je pojem množiny.
Nechť je dána číselná množina D R Je-li každému číslu x D přiřazeno jediné číslo y, pak říkáme, že na množině D je dána číselná funkce: y = f (x), x D. Množinu D nazýváme.
Funkce více proměnných 11. Definice funkce více proměnných. Limita a spojitost FNP 1. Definice funkce více proměnných DEFINICE. Nechť X = ( 1 n i X i R ) U R. Funkce
MATEMATIKA PRO VŠECHNY Yu.L. Kalinovsky Obsah 1 Grafy funkcí. Část I.................................. 5 1.1 Úvod 5 1.1.1 Pojem množiny.. ................................................. 5 1.1.
Praktická práce 6 Téma: „Kompletní studium funkcí. Vykreslování grafů“ Účel práce: naučit se zkoumat funkce podle obecného schématu a konstruovat grafy. V důsledku dokončení práce musí student:
Kapitola 8 Funkce a grafy Proměnné a závislosti mezi nimi. Dvě veličiny se nazývají přímo úměrné, pokud je jejich poměr konstantní, tedy pokud =, kde je konstantní číslo, které se se změnami nemění
PŘEDNÁŠKA 2. Operace s podprostory, počet bází, počet bází a počet podprostorů dimenze k. Hlavní výsledky přednášky 2. 1) U V, U + V, dim(u + V). 2) Počítání počtu rovin v F 4 2.
Otázka 5. Funkce, způsoby přiřazení. Příklady elementárních funkcí a jejich grafiky. Nechť jsou dány dvě libovolné množiny X a Y Funkce je pravidlo, podle kterého lze najít každý prvek z množiny X
Přednáška 4 NUMERICKÉ FUNKCE REÁLNÉ PROMĚNNÉ Pojem funkce Metody zadání funkce Základní vlastnosti funkcí Komplexní funkce 4 Inverzní funkce Pojem funkce Metody zadání funkce Nechť D
Přednášky Kapitola Funkce několika proměnných Základní pojmy Některé funkce několika proměnných jsou dobře známé Uveďme si několik příkladů Pro výpočet plochy trojúhelníku je znám Heronův vzorec S
Spojitost funkcí Spojitost funkce v bodě Jednostranné limity Definice Číslo A se nazývá limita funkce f(x) zleva, protože x směřuje k a, pokud pro libovolné číslo takové číslo existuje
Výzkumná práce Matematika „Aplikace extremálních vlastností funkce pro řešení rovnic“ Vypracovala: Elena Gudková, studentka 11. ročníku „G“ MBOU střední školy „Anninské lyceum“ městské sídliště. Anna Head:
Federální agentura pro vzdělávání ----- STÁTNÍ POLYTECHNICKÁ UNIVERZITA ST PETERSBURG AI Surygin EF Izotova OA Novikova TA Chaikina MATEMATIKA Elementární funkce a jejich grafy Výuka
FUNKCE NĚKOLIKA PROMĚNNÝCH Funkce jedné nezávisle proměnné nepokrývají všechny závislosti, které v přírodě existují. Proto je přirozené rozšířit známý pojem funkční závislosti a zavést
Funkce Pojem funkce Metody zadání funkce Charakteristika funkce Inverzní funkce Limita funkce Limita funkce v bodě Jednostranné limity Limita funkce v x Nekonečně velká funkce 4 Přednáška
Oddíl Diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných Funkce reálného argumentu Reálná čísla Kladná celá čísla se nazývají přirozená čísla Sčítat s přirozenými čísly
Sergey A Belyaev strana 1 Matematické minimum Část 1 Teoretická 1 Je definice správná Nejmenší společný násobek dvou celých čísel je nejmenší číslo, které je dělitelné každým z uvedených čísel?
Sekce 2 Teorie limit Téma Číselné posloupnosti Definice číselné řady 2 Ohraničené a neomezené posloupnosti 3 Monotónní posloupnosti 4 Infinitezimální a
Diferenciace implicitně dané funkce Uvažujme funkci (,) = C (C = const) Tato rovnice definuje implicitní funkci () Předpokládejme, že jsme tuto rovnici vyřešili a našli explicitní výraz = () Nyní můžeme
Testové úlohy pro přípravu ke ZKOUŠCE z oboru "Matematika" pro korespondenční studenty Derivace funkce y=f() se nazývá: f A) B) f C) f f Je-li v nějakém okolí bodu funkce.
PROMĚNNÉ A KONSTANTNÍ VELIČINY V důsledku měření fyzikálních veličin (čas, plocha, objem, hmotnost, rychlost atd.) se určují jejich číselné hodnoty. Matematika se zabývá veličinami, rozptýlená
Matematická analýza Sekce: Úvod do analýzy Téma: Pojem funkce (základní definice, klasifikace, základní charakteristiky chování) Přednášející Rožková S.V. 2012 Literatura Piskunov N.S. Rozdíl
Lekce 7 Věty o střední hodnotě. L'Hôpitalovo pravidlo 7. Věty o průměru Věty o průměru jsou tři věty: Rolle, Lagrange a Cauchy, z nichž každá zobecňuje předchozí. Tyto věty se také nazývají
Přednáška připravila docentka Musina MV Spojitost funkce Nechť je definována funkce y = f(x) v bodě x a v nějakém okolí tohoto bodu Funkce y = f(x) se nazývá spojitá v bodě x, jestliže existuje
DIFERENCIACE FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ Pojem derivace, její geometrický a fyzikální význam. Úlohy vedoucí k pojmu derivace S k přímce y f (x) v bodě A x; f (
13. Parciální derivace vyšších řádů Nechť = mít a jsou definovány na D O. Funkce a nazýváme také parciální derivace prvního řádu funkce nebo první parciální derivace funkce. a obecně
Ministerstvo školství Běloruské republiky VZDĚLÁVACÍ INSTITUCE "STÁTNÍ UNIVERZITA GRODNO POJMENOVANÁ PO YANKA KUPALA" Yu.Yu. Gnezdovský, V.N Gorbuzov, P.F. Pronevich EXPONENTÁRNÍ A LOGARITMICKÉ
Přednáška Kapitola Množiny a operace s nimi Pojem množina Pojem množina označuje nejprimárnější pojmy matematiky, které nejsou definovány prostřednictvím jednodušších. Množina je chápána jako soubor
Přednáška 8 Derivace komplexní funkce Uvažujme komplexní funkci t t t f kde ϕ t t t t t t t t t t t t t t Věta Nechť jsou funkce derivovatelné v určitém bodě N t t t a funkce f je diferencovatelná
Přednáška 3 Extrém funkce více proměnných Nechť je v definičním oboru D definována funkce více proměnných u = f (x, x) a bod x (x, x) = patří do tohoto oboru Funkce u = f ( x, x) má
Otázka. Nerovnice, systém lineárních nerovnic Uvažujme výrazy, které obsahují znaménko nerovnosti a proměnnou:. >, - +x jsou lineární nerovnosti s jednou proměnnou x.. 0 je kvadratická nerovnost.
ODDÍL PROBLÉMY S PARAMETRY Komentář Problémy s parametry jsou tradičně složité úkoly ve struktuře jednotné státní zkoušky, vyžadující od uchazeče nejen zvládnutí všech metod a technik řešení různých
2.2.7. Aplikace diferenciálu na přibližné výpočty. Diferenciál funkce y = závisí na x a je hlavní částí přírůstku x. Můžete také použít vzorec: dy d Pak je absolutní chyba:
Kapitola 6 Diferenciální počet funkce jedné proměnné Úlohy vedoucí k pojmu derivace Úloha o rychlosti nerovnoměrného přímočarého pohybu S - zákon o nerovnoměrném přímočarém pohybu
Přímka na rovině Obecná rovnice přímky. Než uvedeme obecnou rovnici přímky na rovině, uveďme obecnou definici přímky. Definice. Rovnice ve tvaru F(x,y)=0 (1) se nazývá přímková rovnice L
VÝBOR VŠEOBECNÉHO A ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ LENINGRADSKÉHO KRAJE STÁTNÍ ROZPOČET ODBORNÉ VZDĚLÁVACÍ INSTITUCE LENINGRADSKÉHO KRAJE „VOLCHOV ALUMINIUM COLLEGE“ Metodický
Derivační a derivační pravidla Nechť funkce y = f obdrží přírůstek y f 0 f 0 odpovídající přírůstku argumentu 0 Definice Pokud existuje limit na poměr přírůstku funkce y k volajícímu
Moskevská státní technická univerzita pojmenovaná po N.E. Bauman Fakulta základních věd Katedra matematického modelování A.N. Kaviakovykov, A.P. Kremenko
INVERZNÍ FUNKCE Problémy, ve kterých jsou zapojeny inverzní funkce, se nacházejí v různých odvětvích matematiky a v jejích aplikacích Důležitou oblastí matematiky jsou inverzní úlohy v teorii integrálu
Soustava úloh na téma „Rovnice tečny“ Určete znaménko sklonu tečny nakreslené ke grafu funkce y f (), v bodech s úsečkami a, b, c a) b) Označte body, ve kterých derivace
Co je to inverzní funkce? Jak najít inverzní hodnotu dané funkce?
Definice .
Nechť je funkce y=f(x) definována na množině D a E je množina jejích hodnot. Inverzní funkce vzhledem k funkce y=f(x) je funkce x=g(y), která je definována na množině E a přiřazuje každému y∈E hodnotu x∈D takovou, že f(x)=y.
Definiční obor funkce y=f(x) je tedy obor hodnot její inverzní funkce a obor hodnot y=f(x) je obor definice inverzní funkce.
Chcete-li najít inverzní funkci dané funkce y=f(x), potřebujete :
1) Ve vzorci funkce nahraďte x místo y a y místo x:
2) Z výsledné rovnosti vyjádřete y až x:
Najděte inverzní funkci funkce y=2x-6.
Funkce y=2x-6 a y=0,5x+3 jsou vzájemně inverzní.
Grafy přímé a inverzní funkce jsou symetrické vzhledem k přímce y=x(sektory I a III souřadnicových čtvrtí).
y=2x-6 a y=0,5x+3-. Graf lineární funkce je . Chcete-li vytvořit přímku, vezměte dva body.
Jednoznačně y lze vyjádřit pomocí x v případě, kdy rovnice x=f(y) má jednoznačné řešení. To lze provést, pokud funkce y=f(x) převezme každou ze svých hodnot v jediném bodě ve své definiční doméně (takové funkci se říká reverzibilní).
Věta (nezbytná a postačující podmínka pro invertibilitu funkce)
Je-li funkce y=f(x) definovaná a spojitá na číselném intervalu, pak aby byla funkce invertibilní, je nutné a postačující, aby f(x) byla přísně monotónní.
Navíc, jestliže y=f(x) narůstá na intervalu, pak na tomto intervalu roste i funkce k němu inverzní; pokud y=f(x) klesá, pak se inverzní funkce snižuje.
Pokud podmínka reverzibility není splněna v celém definičním oboru, můžete vybrat interval, kdy funkce pouze narůstá nebo pouze klesá, a na tomto intervalu najít funkci inverzní k danému.
Klasickým příkladem je . Mezi)
