Suvalise konstandi muutmise meetod ehk Lagrange'i meetod on veel üks viis esimest järku lineaarsete diferentsiaalvõrrandite ja Bernoulli võrrandi lahendamiseks.

Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid on võrrandid kujul y’+p(x)y=q(x). Kui parem pool on null: y’+p(x)y=0, siis on see lineaarne homogeenne 1. järku võrrand. Seega võrrand nullist erineva parema küljega y’+p(x)y=q(x), — heterogeenne 1. järku lineaarvõrrand.

Suvalise konstantse variatsiooni meetod (Lagrange'i meetod) koosneb järgmisest:

1) Otsime üldist lahendust homogeenne võrrand y'+p(x)y=0: y=y*.

2) Üldlahenduses ei loeta C-d konstandiks, vaid funktsiooniks x: C=C(x). Leiame üldlahenduse (y*)' tuletise ja asendame saadud avaldise y* ja (y*)' algtingimusega. Saadud võrrandist leiame funktsiooni С(x).

3) Homogeenvõrrandi üldlahenduses asendame C asemel leitud avaldise C (x).

Vaatleme näiteid suvalise konstandi muutmise meetodi kohta. Võtame samad ülesanded, mis aastal, võrdleme lahenduse kulgu ja veendume, et saadud vastused on samad.

1) y'=3x-y/x

Kirjutame võrrandi ümber standardkujul (erinevalt Bernoulli meetodist, kus tähistust vajasime ainult selleks, et näha, et võrrand on lineaarne).

y'+y/x=3x (I). Nüüd läheme plaanipäraselt.

1) Lahendame homogeense võrrandi y’+y/x=0. See on eraldatav muutuja võrrand. Esindab y’=dy/dx, asenda: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Korrutame mõlemad võrrandi osad dx-ga ja jagame xy≠0-ga: dy/y=-dx/x. Integreerime:

2) Saadud homogeense võrrandi üldlahendis käsitleme С mitte konstandi, vaid x funktsioonina: С=С(x). Siit

Saadud avaldised asendatakse tingimusega (I):

Integreerime võrrandi mõlemad osad:

siin C on juba mingi uus konstant.

3) Homogeense võrrandi y=C/x üldlahenduses, kus arvestasime С=С(x), ehk y=C(x)/x, asendame С(x) asemel leitud avaldise x³+C: y=(x³+C)/x või y=x²+C/x. Saime sama vastuse, mis Bernoulli meetodil lahendades.

Vastus: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Siin on võrrand juba standardkujul kirjutatud, pole vaja teisendada.

1) Lahendame homogeense lineaarvõrrandi y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integreerime:

Mugavama tähistuse saamiseks võtame astendaja C astmesse uue C-na:

See teisendus tehti tuletise leidmise mugavamaks muutmiseks.

2) Saadud lineaarse homogeense võrrandi üldlahendis käsitleme С mitte konstandiks, vaid funktsiooniks x: С=С(x). Sellel tingimusel

Saadud avaldised y ja y' asendatakse tingimusega:

Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga

Integreerime võrrandi mõlemad osad, kasutades osade kaupa integreerimise valemit, saame:

Siin pole C enam funktsioon, vaid tavaline konstant.

3) Homogeenvõrrandi üldlahendisse

asendame leitud funktsiooni С(x):

Saime sama vastuse, mis Bernoulli meetodil lahendades.

Lahendamisel on rakendatav ka suvalise konstandi muutmise meetod.

y’x+y=-xy².

Toome võrrandi standardkujule: y’+y/x=-y² (II).

1) Lahendame homogeense võrrandi y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Korrutage võrrandi mõlemad pooled dx-ga ja jagage y-ga: dy/y=-dx/x. Nüüd integreerime:

Asendame saadud avaldised tingimusega (II):

Lihtsustamine:

Saime võrrandi C ja x jaoks eraldatavate muutujatega:

Siin on C juba tavaline konstant. Integreerimise käigus kirjutasime C(x) asemel lihtsalt C, et mitte tähistust üle koormata. Ja lõpus pöördusime tagasi C(x) juurde, et mitte segi ajada C(x) uue C-ga.

3) Asendame leitud funktsiooni С(x) homogeense võrrandi y=C(x)/x üldlahendiga:

Saime sama vastuse, mis Bernoulli meetodil lahendades.

Näited enesetesti jaoks:

1. Kirjutame võrrandi ümber standardkujul: y'-2y=x.

1) Lahendame homogeense võrrandi y'-2y=0. y’=dy/dx, seega dy/dx=2y, korrutage võrrandi mõlemad pooled dx-ga, jagage y-ga ja integreerige:

Siit leiame y:

Asendame y- ja y-avaldised tingimusesse (lühiduse huvides söödame C asemel C (x) ja C' asemel C "(x)):

Paremal küljel oleva integraali leidmiseks kasutame osade kaupa integreerimise valemit:

Nüüd asendame valemis u, du ja v:

Siin C = konst.

3) Nüüd asendame homogeense lahusega

Teoreetiline miinimum

Diferentsiaalvõrrandite teoorias on meetod, mis väidab, et sellel on selle teooria jaoks piisavalt kõrge universaalsus.
Me räägime lahendusele rakendatavast suvalise konstandi muutmise meetodist erinevad klassid diferentsiaalvõrrandid ja nende
süsteemid. See on täpselt nii, kui teooria – kui võtta sulgudest välja väidete tõestus – on minimaalne, kuid võimaldab saavutada
olulisi tulemusi, seega keskendutakse peamiselt näidetele.

Meetodi üldidee on üsna lihtne sõnastada. Lase antud võrrand(võrrandisüsteem) on raskesti lahendatav või pole üldse selge,
kuidas seda lahendada. Siiski on näha, et kui mõned terminid võrrandist välja jätta, on see lahendatud. Siis nad lahendavad just sellise lihtsustatud
võrrand (süsteem), saada lahend, mis sisaldab teatud arvu suvalisi konstante - sõltuvalt võrrandi järjekorrast (arv
võrrandid süsteemis). Siis eeldatakse, et leitud lahendis olevad konstandid ei ole tegelikult konstandid, leitud lahendus
asendatakse algsesse võrrandisse (süsteemi), saadakse "konstantide" määramiseks diferentsiaalvõrrand (või võrrandisüsteem).
Suvalise konstandi muutmise meetodi rakendamisel erinevatele probleemidele on teatav spetsiifilisus, kuid need on juba detailid, mida
näidatud näidetega.

Vaatleme eraldi kõrgemat järku lineaarsete mittehomogeensete võrrandite lahendust, s.o. vormi võrrandid
.
Lineaarse ebahomogeense võrrandi üldlahend on vastava homogeense võrrandi üldlahendi ja konkreetse lahendi summa
antud võrrand. Oletame, et homogeense võrrandi üldlahend on juba leitud, st põhilahenduste süsteem (FSR) on konstrueeritud
. Siis on homogeense võrrandi üldlahend .
On vaja leida mittehomogeense võrrandi konkreetne lahendus. Selleks loetakse konstandid muutujast sõltuvaks.
Järgmiseks peate lahendama võrrandisüsteemi
.
Teooria tagab selle süsteemi algebralised võrrandid funktsioonide tuletistele on ainult üks lahendus.
Funktsioonide endi leidmisel integreerimiskonstandid ei paista: otsitakse ju ükskõik millist lahendust.

Vormi esimest järku lineaarsete mittehomogeensete võrrandite süsteemide lahendamise korral

Algoritm jääb peaaegu muutumatuks. Kõigepealt tuleb leida vastava homogeense võrrandisüsteemi FSR, koostada põhimaatriks
süsteem , mille veerud on FSR-i elemendid. Järgmiseks võrrand
.
Süsteemi lahendades määrame funktsioonid, leides seega algsele süsteemile konkreetse lahenduse
(põhimaatriks korrutatakse leitud funktsiooni veeruga).
Lisame selle vastava homogeensete võrrandite süsteemi üldlahendusse, mis on üles ehitatud juba leitud FSR-i alusel.
Saadakse algse süsteemi üldlahendus.

Näited.

Näide 1 Esimest järku lineaarsed mittehomogeensed võrrandid.

Vaatleme vastavat homogeenset võrrandit (tähistame vajalikku funktsiooni tähisega):
.
Seda võrrandit on lihtne lahendada muutujate eraldamisega:

.
Nüüd esitame algvõrrandi lahendi kujul , kus funktsioon on veel leidmata.
Asendame seda tüüpi lahenduse algsesse võrrandisse:
.
Nagu näete, tühistavad teine ​​ja kolmas termin vasakul küljel üksteist - see on iseloomulik suvalise konstandi muutmise meetod.

Siin juba - tõepoolest, suvaline konstant. Seega
.

Näide 2 Bernoulli võrrand.

Toimime sarnaselt esimese näitega – lahendame võrrandi

muutujate eraldamise meetod. Selgub , seega otsime algvõrrandi lahendust kujul
.
Asendame selle funktsiooni algsesse võrrandisse:
.
Ja jälle on kärpeid:
.
Siin tuleb meeles pidada, et jagamisel ei läheks lahendus kaotsi. Ja juhtum vastab originaali lahendusele
võrrandid. Pidagem teda meeles. Niisiis,
.
Kirjutame.
See on lahendus. Vastuse kirjutamisel tuleks märkida ka varem leitud lahendus, kuna see ei vasta ühelegi lõppväärtusele
konstandid.

Näide 3 Kõrgemat järku lineaarsed mittehomogeensed võrrandid.

Märgime kohe, et seda võrrandit saab lahendada lihtsamalt, kuid meetodit on mugav sellel näidata. Kuigi mõned eelised
suvalise konstandi muutmise meetodil on see ka selles näites.
Niisiis, peate alustama vastava homogeense võrrandi FSR-ist. Tuletage meelde, et FSR-i leidmiseks on omadus
võrrand
.
Seega homogeense võrrandi üldlahend
.
Siin sisalduvaid konstante tuleb muuta. Süsteemi koostamine

Mittehomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks kasutatakse suvaliste konstantide muutmise meetodit. See tund on mõeldud neile õpilastele, kes on teemaga juba enam-vähem kursis. Kui oled alles alustamas kaugjuhtimispuldiga tutvumist, s.t. Kui oled teekann, siis soovitan alustada esimesest õppetükist: Esimest järku diferentsiaalvõrrandid. Lahendusnäited. Ja kui olete juba lõpetamas, siis loobuge võimalikust eelarvamusest, et meetod on keeruline. Sest ta on lihtne.

Millistel juhtudel kasutatakse suvaliste konstantide muutmise meetodit?

1) Lahendamiseks saab kasutada suvalise konstandi muutmise meetodit lineaarne mittehomogeenne 1. järku DE. Kuna võrrand on esimest järku, siis on ka konstant (konstant) üks.

2) Mõne lahendamiseks kasutatakse suvaliste konstantide muutmise meetodit teist järku lineaarsed mittehomogeensed võrrandid. Siin varieeruvad kaks konstanti (konstanti).

On loogiline eeldada, et õppetund koosneb kahest lõigust .... Nii ma siis kirjutasin selle ettepaneku ja mõtlesin umbes 10 minutit valusalt, mida muud tarka jama lisada, et sujuv üleminek praktilisi näiteid. Kuid millegipärast pole pärast pühi mõtteid, kuigi tundub, et ma ei kuritarvitanud midagi. Nii et hüppame kohe esimesse lõiku.

Suvalise konstantse variatsiooni meetod
lineaarse ebahomogeense esimest järku võrrandi jaoks

Enne suvalise konstandi muutmise meetodi kaalumist on soovitav artikliga tutvuda Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid. Selles tunnis me harjutasime esimene viis lahendada ebahomogeenne 1. järku DE. Tuletan teile meelde, et seda esimest lahendust nimetatakse asendusmeetod või Bernoulli meetod(mitte segi ajada Bernoulli võrrand!!!)

Nüüd kaalume teine ​​viis lahendada– suvalise konstandi muutmise meetod. Toon ainult kolm näidet ja võtan need ülaltoodud õppetunnist. Miks nii vähe? Sest tegelikult on teisel viisil lahendus väga sarnane esimesel viisil. Lisaks kasutatakse minu tähelepanekute kohaselt suvaliste konstantide muutmise meetodit harvemini kui asendusmeetodit.

Näide 1

(Erinevus õppetunni näitest nr 2 Lineaarne ebahomogeenne 1. järku DE)

Lahendus: See võrrand on lineaarselt ebahomogeenne ja sellel on tuttav vorm:

Esimene samm on lihtsama võrrandi lahendamine:
See tähendab, et lähtestasime rumalalt parema külje - selle asemel kirjutame nulli.
Võrrand ma helistan abivõrrand.

Selles näites peate lahendama järgmise abivõrrandi:

Enne meid eraldatav võrrand, mille lahendamine (ma loodan) pole teile enam keeruline:

Seega:
on abivõrrandi üldlahend.

Teisel sammul asendada mõne konstant veel tundmatu funktsioon, mis sõltub "x"-st:

Sellest ka meetodi nimi – me varieerime konstanti . Teise võimalusena võib konstant olla mõni funktsioon, mille peame nüüd leidma.

IN originaal ebahomogeenne võrrand Asendame:

Asendage ja võrrandisse :

kontrollmoment - kaks vasakpoolset terminit tühistavad. Kui seda ei juhtu, peaksite otsima ülaltoodud viga.

Asendamise tulemusena saadakse eraldatavate muutujatega võrrand. Eralda muutujad ja integreeri.

Õnn, et ka eksponendid vähenevad:

Lisame leitud funktsioonile "tavalise" konstandi:

Viimases etapis tuletame meelde oma asendust:

Funktsioon just leitud!

Seega on üldine lahendus:

Vastus:ühine otsus:

Kui printida kaks lahendust välja, märkad kergesti, et mõlemal juhul leidsime samad integraalid. Ainus erinevus on lahendusalgoritmis.

Nüüd midagi keerulisemat, kommenteerin ka teist näidet:

Näide 2

Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend
(Erinevus õppetunni näitest nr 8 Lineaarne ebahomogeenne 1. järku DE)

Lahendus: Toome võrrandi vormile :

Seadke parem külg nulliks ja lahendage abivõrrand:

Abivõrrandi üldlahend:

Mittehomogeenses võrrandis teeme asendused:

Vastavalt toodete eristamise reeglile:

Asendage ja algsesse mittehomogeensesse võrrandisse:

Vasakpoolsed kaks terminit tühistavad, mis tähendab, et oleme õigel teel:

Integreerime osade kaupa. Maitsev kiri osade kaupa integreerimise valemist, mille oleme juba lahendusse kaasanud, seega kasutame näiteks tähti "a" ja "be":

Vaatame nüüd asendust:

Vastus:ühine otsus:

Ja üks näide sõltumatu otsus:

Näide 3

Leia antud algtingimusele vastav diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus.

,
(Erinevus 4. õppetunni näitest Lineaarne ebahomogeenne 1. järku DE)
Lahendus:
See DE on lineaarselt ebahomogeenne. Kasutame suvaliste konstantide muutmise meetodit. Lahendame abivõrrandi:

Eraldame muutujad ja integreerime:

Ühine otsus:
Mittehomogeenses võrrandis teeme asendused:

Teeme asendustööd:

Seega on üldine lahendus:

Leidke antud algtingimusele vastav konkreetne lahendus:

Vastus: privaatne lahendus:

Tunni lõpus olev lahendus võib olla ligikaudne mudel ülesande lõpetamisel.

Suvaliste konstantide muutmise meetod
lineaarse ebahomogeense teist järku võrrandi jaoks
konstantsete koefitsientidega

Sageli on kuulda arvamust, et suvaliste konstantide muutmise meetod teist järku võrrandi jaoks pole lihtne asi. Kuid ma arvan järgmist: tõenäoliselt tundub meetod paljudele keeruline, kuna see pole nii levinud. Kuid tegelikkuses pole erilisi raskusi - otsuse käik on selge, läbipaistev ja arusaadav. Ja ilus.

Meetodi valdamiseks on soovitav osata lahendada teist järku ebahomogeenseid võrrandeid, valides konkreetse lahenduse parema külje kuju järgi. Seda meetodit käsitletakse üksikasjalikult artiklis. 2. järku ebahomogeenne DE. Tuletame meelde, et konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarne ebahomogeenne võrrand on kujul:

Ülaltoodud õppetükis käsitletud valikumeetod töötab ainult piiratud arvul juhtudel, kui polünoomid, astendajad, siinused, koosinused on paremal pool. Aga mida teha, kui paremal on näiteks murd, logaritm, puutuja? Sellises olukorras tuleb appi konstantide varieerimise meetod.

Näide 4

Leia teist järku diferentsiaalvõrrandi üldlahend

Lahendus: Selle võrrandi paremal küljel on murdosa, seega võime kohe öelda, et konkreetse lahenduse valimise meetod ei tööta. Kasutame suvaliste konstantide muutmise meetodit.

Miski ei tähenda äikesetormi, lahenduse algus on üsna tavaline:

Otsime üles ühine otsus asjakohane homogeenne võrrandid:

Koostame ja lahendame tunnusvõrrandi:


– saadakse konjugeeritud kompleksjuured, seega on üldine lahendus:

Pöörake tähelepanu üldlahenduse kirjele - kui sulgudes on, siis avage need.

Nüüd teeme peaaegu sama triki nagu esimest järku võrrandi puhul: muudame konstante , asendades need tundmatute funktsioonidega . See on, mittehomogeense üldlahendus Otsime võrrandeid kujul:

Kus - veel tundmatuid funktsioone.

See näeb välja nagu prügimägi, aga nüüd sorteerime kõik ära.

Funktsioonide tuletised toimivad tundmatutena. Meie eesmärk on leida tuletised ja leitud tuletised peavad rahuldama nii süsteemi esimest kui ka teist võrrandit.

Kust "mängud" tulevad? Kurg toob need. Vaatame eelnevalt saadud üldlahendust ja kirjutame:

Leiame tuletised:

Tegeles vasaku poolega. Mis on paremal?

on algse võrrandi parem pool, antud juhul:

Koefitsient on teise tuletise koefitsient:

Praktikas peaaegu alati ja meie näide pole erand.

Kõik on selge, nüüd saate luua süsteemi:

Tavaliselt on süsteem lahendatud Crameri valemite järgi kasutades standardset algoritmi. Ainus erinevus on see, et numbrite asemel on meil funktsioonid.

Leidke süsteemi peamine määraja:

Kui unustasite, kuidas „kaks-kaks” määraja ilmneb, vaadake õppetundi Kuidas determinanti arvutada? Link viib häbilauale =)

Niisiis: , seega on süsteemil ainulaadne lahendus.

Leiame tuletise:

Kuid see pole veel kõik, siiani oleme leidnud ainult tuletise.
Funktsioon ise taastatakse integreerimisega:

Vaatame teist funktsiooni:

Siin lisame "tavalise" konstandi

Lahenduse viimases etapis tuletame meelde, millisel kujul otsisime ebahomogeense võrrandi üldlahendust? Sellises:

Vajalikud funktsioonid on just leitud!

Jääb teha asendus ja vastus kirja panna:

Vastus:ühine otsus:

Põhimõtteliselt võiks vastus avada sulgud.

Vastuse täielik kontroll viiakse läbi vastavalt tunnis käsitletud standardskeemile. 2. järku ebahomogeenne DE. Kuid kontrollimine ei saa olema lihtne, kuna peame leidma üsna rasked tuletised ja läbi viima tülika asendus. See on ebameeldiv funktsioon, kui lahendate selliseid erinevusi.

Näide 5

Lahendage diferentsiaalvõrrand suvaliste konstantide muutmise meetodil

See on tee-seda-ise näide. Tegelikult on ka parem pool murdosa. Me mäletame trigonomeetriline valem, muide, tuleb seda lahenduse käigus rakendada.

Suvaliste konstantide muutmise meetod on kõige rohkem üldine meetod. Nad suudavad lahendada mis tahes võrrandi, mida saab lahendada konkreetse lahenduse valimise meetod parema külje vormi järgi. Tekib küsimus, miks mitte kasutada seal ka suvaliste konstantide muutmise meetodit? Vastus on ilmne: konkreetse lahenduse valik, mida tunnis käsitleti Teist järku mittehomogeensed võrrandid, kiirendab oluliselt lahendamist ja lühendab tähistust – ei mingit jamamist determinantide ja integraalidega.

Vaatleme kahte näidet Cauchy probleem.

Näide 6

Leia diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis vastab antud algtingimustele

,

Lahendus: Jällegi murd ja eksponent sisse huvitav koht.
Kasutame suvaliste konstantide muutmise meetodit.

Otsime üles ühine otsus asjakohane homogeenne võrrandid:



– saadakse erinevad pärisjuured, seega üldine lahendus on:

Ebahomogeense üldlahend otsime võrrandeid kujul: , kus - veel tundmatuid funktsioone.

Loome süsteemi:

Sel juhul:
,
Tuletisinstrumentide leidmine:
,

Seega:

Lahendame süsteemi Crameri valemite abil:
, seega on süsteemil ainulaadne lahendus.

Taastame funktsiooni integreerimise teel:

Siin kasutatud funktsiooni diferentsiaalmärgi alla viimise meetod.

Teise funktsiooni taastame integreerimise teel:

Selline integraal on lahendatud muutuja asendusmeetod:

Asenduse enda põhjal väljendame:

Seega:

Selle integraali võib leida ekstraheerimise meetod täisruut , kuid difuuridega näidetes eelistan murdosa laiendada määramatute koefitsientide meetod:

Leiti mõlemad funktsioonid:

Selle tulemusena on ebahomogeense võrrandi üldine lahendus:

Leidke konkreetne lahendus, mis vastab algtingimustele .

Tehniliselt otsitakse lahendust standardsel viisil, mida artiklis käsitleti. Ebahomogeensed teist järku diferentsiaalvõrrandid.

Oota, nüüd leiame leitud üldlahenduse tuletise:

Siin on selline häbi. Seda pole vaja lihtsustada, lihtsam on kohe võrrandisüsteem koostada. Vastavalt esialgsetele tingimustele :

Asendage konstantide leitud väärtused üldiseks lahenduseks:

Vastuseks saab logaritme veidi kokku pakkida.

Vastus: privaatne lahendus:

Nagu näete, võivad raskused tekkida integraalides ja tuletistes, kuid mitte suvaliste konstantide muutmise meetodi algoritmis. Mitte mina ei hirmutanud teid, see kõik on Kuznetsovi kogu!

Lõdvestumiseks viimane, lihtsam ja lahendav näide:

Näide 7

Lahendage Cauchy probleem

,

Näide on lihtne, kuid loominguline, süsteemi loomisel vaadake seda hoolikalt enne otsustamist ;-),




Selle tulemusena on üldine lahendus:

Leidke algtingimustele vastav konkreetne lahendus .



Asendame konstantide leitud väärtused üldlahendusega:

Vastus: privaatne lahendus:

Vaadeldakse meetodit konstantsete koefitsientidega kõrgema järgu lineaarsete ebahomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks Lagrange'i konstantide muutmise meetodil. Lagrange'i meetodit saab kasutada ka mis tahes lineaarsete mittehomogeensete võrrandite lahendamisel, kui on teada homogeense võrrandi lahenduste põhisüsteem.

Sisu

Vaata ka:

Lagrange'i meetod (konstantide variatsioon)

Vaatleme lineaarset ebahomogeenset diferentsiaalvõrrandit suvalise n-ndat järku konstantsete koefitsientidega:
(1) .
Pideva variatsiooni meetod, mida meie jaoks pidasime esimest järku võrrandid, on rakendatav ka kõrgema järgu võrrandite puhul.

Lahendus viiakse läbi kahes etapis. Esimeses etapis jätame parema külje kõrvale ja lahendame homogeense võrrandi. Selle tulemusena saame lahenduse, mis sisaldab n suvalist konstanti. Teises etapis muudame konstante. See tähendab, et me leiame, et need konstandid on sõltumatu muutuja x funktsioonid ja leiame nende funktsioonide kuju.

Kuigi me käsitleme siin konstantsete koefitsientidega võrrandeid, kuid Lagrange'i meetod on rakendatav ka mis tahes lineaarsete mittehomogeensete võrrandite lahendamisel. Selleks peab aga olema teada homogeense võrrandi põhilahenduste süsteem.

1. samm. Homogeense võrrandi lahendamine

Nagu ka esimest järku võrrandite puhul, otsime esmalt homogeense võrrandi üldlahendust, võrdsustades parempoolse ebahomogeense osa nulliga:
(2) .
Sellise võrrandi üldlahend on järgmine:
(3) .
Siin on suvalised konstandid; - n lineaarselt sõltumatut homogeense võrrandi (2) lahendit, mis moodustavad selle võrrandi põhilahenduste süsteemi.

Etapp 2. Konstantide varieerimine – konstantide asendamine funktsioonidega

Teises etapis käsitleme konstantide varieerumist. Teisisõnu, me asendame konstandid sõltumatu muutuja x funktsioonidega:
.
See tähendab, et me otsime algsele võrrandile (1) lahendust järgmisel kujul:
(4) .

Kui asendame (4) väärtusega (1), saame ühe diferentsiaalvõrrandi n funktsiooni jaoks. Sel juhul saame need funktsioonid ühendada täiendavate võrranditega. Siis saad n võrrandit, millest saad määrata n funktsiooni. Täiendavaid võrrandeid saab kirjutada mitmel viisil. Kuid me teeme seda nii, et lahendusel oleks kõige lihtsam vorm. Selleks tuleb diferentseerimisel võrdsustada funktsioonide tuletisi sisaldavad terminid nulliga. Näitame seda.

Pakutud lahendi (4) asendamiseks algse võrrandiga (1) peame leidma kujul (4) kirjutatud funktsiooni esimese n järgu tuletised. Eristage (4) kandideerides summa diferentseerimise reeglid Ja töötab :
.
Rühmitame liikmed. Esiteks kirjutame välja terminid tuletistega ja seejärel terminid tuletistega:

.
Esitame funktsioonidele esimese tingimuse:
(5.1) .
Siis on esimese tuletise avaldis suhtes lihtsam vorm:
(6.1) .

Samamoodi leiame teise tuletise:

.
Funktsioonidele kehtestame teise tingimuse:
(5.2) .
Siis
(6.2) .
Ja nii edasi. Lisatingimustel võrdsustame funktsioonide tuletisi sisaldavad terminid nulliga.

Seega, kui valime funktsioonide jaoks järgmised lisavõrrandid:
(5.k) ,
siis on esimesed tuletised kõige lihtsamal kujul:
(6.k) .
siin .

Leiame n-nda tuletise:
(6.n)
.

Asendame algsesse võrrandisse (1):
(1) ;






.
Arvestame, et kõik funktsioonid vastavad võrrandile (2):
.
Siis annab termineid sisaldavate liikmete summa nulli. Selle tulemusena saame:
(7) .

Selle tulemusena on meil süsteem lineaarvõrrandid tuletisinstrumentide puhul:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Seda süsteemi lahendades leiame tuletistele avaldised x funktsioonidena. Integreerides saame:
.
Siin on konstandid, mis ei sõltu enam x-st. Asendades (4), saame algvõrrandi üldlahendi.

Pange tähele, et me ei kasutanud tuletisinstrumentide väärtuste määramiseks kunagi tõsiasja, et koefitsiendid a i on konstantsed. Sellepärast Lagrange'i meetodit saab kasutada mis tahes lineaarsete mittehomogeensete võrrandite lahendamiseks, kui on teada homogeense võrrandi (2) lahendite põhisüsteem.

Näited

Lahendage võrrandeid konstantide muutmise meetodil (Lagrange).


Näidete lahendus >>>

Vaata ka: Esimest järku võrrandite lahendamine konstantse variatsiooni meetodil (Lagrange)
Kõrgemat järku võrrandite lahendamine Bernoulli meetodil
Konstantsete koefitsientidega lineaarsete ebahomogeensete kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandite lahendamine lineaarse asendusega