Nüüd käsitleme graafikute koostamise küsimust trigonomeetrilised funktsioonid mitu nurka ωx, Kus ω on mingi positiivne arv.

Funktsiooni joonistamiseks y = patt ωx Võrdleme seda funktsiooni juba uuritud funktsiooniga y = sinx. Oletame, et kl x = x 0 funktsiooni y = sin x võtab väärtuse, mis on võrdne 0-ga. Siis

y 0 = sin x 0 .

Teisendame selle suhte järgmiselt:

Seetõttu funktsioon y = patt ωx juures X = x 0 / ω võtab sama väärtuse juures 0 , mis on funktsioon y = sin x juures x = x 0 . Ja see tähendab, et funktsioon y = patt ωx kordab oma väärtusi ω korda sagedamini kui funktsioon y = sin x. Seega funktsiooni graafik y = patt ωx mis saadakse funktsiooni graafiku "tihendamisel". y = sinx V ω korda piki x-telge.

Näiteks funktsiooni graafik y \u003d sin 2x mis saadakse sinusoidi "kokkusurumisel". y = sinx kaks korda mööda abstsissi.

Funktsioonigraafik y \u003d sin x / 2 saadakse sinusoidi y \u003d sin x "venitamisel" kaks korda (või "kokkusurumisel" 1 / 2 korda) piki x-telge.

Alates funktsioonist y = patt ωx kordab oma väärtusi ω korda sagedamini kui funktsioon
y = sinx, siis selle periood aastal ω korda vähem kui funktsiooni periood y = sinx. Näiteks funktsiooni periood y \u003d sin 2x võrdub 2π / 2 = π ja funktsiooni periood y \u003d sin x / 2 võrdub π / x / 2 = 4π .

Huvitav on uurida funktsiooni käitumist y \u003d sin kirves animatsiooni näitel, mida saab programmis väga lihtsalt luua vaher:

Samamoodi koostatakse graafikud teiste mitme nurga trigonomeetriliste funktsioonide jaoks. Joonisel on kujutatud funktsiooni graafik y = cos 2x, mis saadakse koosinuse "kokkusurumisel". y = cos x kaks korda piki x-telge.

Funktsioonigraafik y = cos x / 2 saadakse koosinuslaine "venitamisel". y = cos x kaks korda piki x-telge.

Joonisel näete funktsiooni graafikut y = tg 2x, mis saadakse tangentoidi "kokkusurumisel". y = tg x kaks korda mööda abstsissi.

Funktsioonigraafik y = tg x / 2 , mis saadakse tangentoidi "venitamisel". y = tg x kaks korda piki x-telge.

Ja lõpetuseks programmi esituses olev animatsioon vaher:

Harjutused

1. Koostage nende funktsioonide graafikud ja märkige nende graafikute ja koordinaatide telgede lõikepunktide koordinaadid. Määrake nende funktsioonide perioodid.

A). y = patt 4x / 3 G). y=tg 5x / 6 ja). y = cos 2x / 3

b). y= cos 5x / 3 e). y=ctg 5x / 3 h). y=ctg x / 3

V). y=tg 4x / 3 e). y = patt 2x / 3

2. Määratlege funktsiooni perioodid y \u003d sin (πx) Ja y = tg (πх / 2).

3. Tooge kaks näidet funktsioonist, mis võtab kõik väärtused vahemikus -1 kuni +1 (kaasa arvatud need kaks numbrit) ja muutub perioodiliselt perioodiga 10.

4 *. Tooge kaks näidet funktsioonidest, mis võtavad kõik väärtused vahemikus 0 kuni 1 (kaasa arvatud need kaks numbrit) ja muutuvad perioodiliselt punktiga π / 2.

5. Tooge kaks näidet funktsioonidest, mis võtavad kõik tegelikud väärtused ja muutuvad perioodiliselt 1. perioodiga.

6 *. Tooge kaks näidet funktsioonidest, mis võtavad kõik negatiivsed väärtused ja nulli, kuid ei võta positiivseid väärtusi ja muutuvad perioodiliselt perioodiga 5.

Tund ja ettekanne teemal: "Funktsioon y=cos(x). Funktsiooni definitsioon ja graafik"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid. Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.

Õppevahendid ja simulaatorid veebipoes "Integral" 10. klassile
Algebraülesanded parameetritega, klass 9–11
Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical constructor 6.1"

Mida me uurime:
1. Definitsioon.
2. Funktsiooni graafik.
3. Funktsiooni Y=cos(X) omadused.
4. Näited.

Koosinusfunktsiooni y=cos(x) definitsioon

Poisid, me oleme juba kohtunud funktsiooniga Y=sin(X).

Meenutagem üht kummitusvalemit: sin(X + π/2) = cos(X).

Tänu sellele valemile saame väita, et funktsioonid sin(X + π/2) ja cos(X) on identsed ning nende funktsioonigraafikud on samad.

Funktsiooni sin(X + π/2) graafik saadakse funktsiooni sin(X) graafikult paralleelselt nihutades π/2 ühikut vasakule. See on funktsiooni Y=cos(X) graafik.

Funktsiooni Y=cos(X) graafikut nimetatakse ka sinusoidiks.

cos(x) funktsiooni omadused

Kirjutame oma funktsiooni omadused:
• Määratluspiirkond on reaalarvude hulk.
• Funktsioon on ühtlane. Meenutagem määratlust ühtlane funktsioon. Funktsiooni kutsutakse isegi siis, kui kehtib võrdus y(-x)=y(x). Nagu kummitusvalemitest mäletame: cos(-x)=-cos(x), on definitsioon täidetud, siis on koosinus paarisfunktsioon.
• Funktsioon Y=cos(X) väheneb intervallil ja suureneb intervallil [π; 2π]. Seda saame kontrollida oma funktsiooni graafikul.
• Funktsioon Y=cos(X) on alt ja ülalt piiratud. See omadus tuleneb asjaolust, et
  -1 ≤ cos(X) ≤ 1
• Funktsiooni väikseim väärtus on -1 (x = π + 2πk korral). Kõrgeim väärtus funktsioon on võrdne 1-ga (x = 2πk korral).
• Funktsioon Y=cos(X) on pidev funktsioon. Vaatame graafikut ja veendume, et meie funktsioonil pole lünki, mis tähendab järjepidevust.
• Väärtuste vahemik on segment [- 1; 1]. See on ka graafikult selgelt näha.
• Funktsioon Y=cos(X) on perioodiline funktsioon. Vaatame uuesti graafikut ja näeme, et funktsioon võtab teatud ajavahemike järel samad väärtused.

Näited funktsiooniga cos(x).

1. Lahendage võrrand cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Lahendus: Koostame 2 funktsiooni graafikut: y=cos(x) ja y=(x - 2π) 2 + 1 (vt joonist).


y \u003d (x - 2π) 2 + 1 on parabool, mis on nihutatud paremale 2π võrra ja ülespoole 1 võrra. Meie graafikud ristuvad ühes punktis A (2π; 1), see on vastus: x \u003d 2π.

2. Joonistage funktsioon Y=cos(X), kui x ≤ 0 ja Y=sin(X), kui x ≥ 0

Lahendus: Vajaliku graafiku koostamiseks joonistame kaks funktsiooni graafikut tükkhaaval. Esimene osa: y=cos(x), kui x ≤ 0. Teine viil: y=sin(x)
x ≥ 0 korral. Kujutame mõlemad "tükid" ühel graafikul.

3. Leia suurim ja väikseim väärtus funktsioon Y=cos(X) intervallil [π; 7π/4]

Lahendus: koostame funktsiooni graafiku ja vaatleme oma lõiku [π; 7π/4]. Graafik näitab, et suurimad ja väikseimad väärtused saavutatakse segmendi otstes: vastavalt punktides π ja 7π/4.
Vastus: cos(π) = -1 on väikseim väärtus, cos(7π/4) = suurim väärtus.

4. Joonistage funktsioon y=cos(π/3 - x) + 1

Lahendus: cos(-x)= cos(x), siis saadakse funktsiooni y=cos(x) graafikut π/3 ühiku võrra paremale ja 1 ühiku võrra ülespoole liigutades soovitud graafik.

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

1) Lahendage võrrand: cos (x) \u003d x - π / 2.
2) Lahendage võrrand: cos(x)= - (x - π) 2 - 1.
3) Joonistage funktsioon y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Joonistage funktsioon y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Leia funktsiooni y=cos(x) suurim ja väikseim väärtus lõigul .
6) Leia funktsiooni y=cos(x) suurim ja väikseim väärtus intervallil [- π/6; 5π/4].

"Funktsioonide ja nende omaduste graafikud" - y = ctg x. 4) Piiratud funktsioon. 3) paaritu funktsioon. (Funktsiooni graafik on sümmeetriline alguspunkti suhtes). y = tgx. 7) Funktsioon on pidev vormi mis tahes intervallil (?k; ? + ?k). Funktsioon y = tg x on pidev igal vormi intervallil. 4) Funktsioon väheneb mis tahes vormi intervallil (?k; ? + ?k). Funktsiooni y \u003d tg x graafikut nimetatakse tangentoidiks.

"Funktsiooni Y X graafik" – parabooli mall y \u003d x2. Klõpsake graafikute vaatamiseks. Näide 2. Koostame funktsiooni y = x2 + 1 graafiku, mis põhineb funktsiooni y=x2 graafikul (hiire klõps). Näide 3. Tõestame, et funktsiooni y \u003d x2 + 6x + 8 graafik on parabool, ja koostame graafiku. Funktsiooni y=(x - m)2 graafik on parabool, mille tipp asub punktis (m; 0).

"Graafika matemaatika" – kuidas saate graafikuid koostada? Kõige loomulikumad funktsionaalsed sõltuvused kajastuvad graafikute abil. Huvitav rakendus: joonised, ... Miks me uurime graafikuid? Graafikud elementaarsed funktsioonid. Mida saab graafikutega joonistada? Vaatleme graafikute kasutamist akadeemilised ained: matemaatika, füüsika, ...

"Graafika tuletisega" - üldistus. Koostage funktsiooni graafiku visand. Leia funktsiooni graafiku asümptoodid. Funktsiooni tuletise graafik. Lisaülesanne. Uurige funktsiooni. Nimetage kahaneva funktsiooni intervallid. Iseseisev tööõpilased. Laiendage teadmisi. Õppetund õpitud materjali kinnistamiseks. Hinda oma oskusi. Funktsiooni maksimumpunktid.

"Mooduliga diagrammid" – kuvab "alumise" osa ülemisel pooltasandil. Reaalarvu moodul. Funktsiooni y = |x| omadused. |x|. Numbrid. Funktsiooni graafiku koostamise algoritm. Ehitusalgoritm. Funktsioon y=lхl. Omadused. Iseseisev töö. Funktsiooni nullid. Suurepärane nõuanne. Tee ise lahendus.

"Tangentsiaalvõrrand" – puutuja võrrand. Normaalvõrrand. Kui, siis kõverad lõikuvad täisnurga all. Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused. Funktsioonigraafikute vaheline nurk. Funktsiooni graafiku puutuja võrrand punktis. Olgu funktsioon punktis diferentseeruv. Olgu sirged antud võrranditega ja.

Teemas on kokku 25 ettekannet