Lahendus kõige lihtsamast trigonomeetrilised võrrandid.

Mis tahes keerukusega trigonomeetriliste võrrandite lahendamine taandub lõpuks kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamisele. Ja selles osutub trigonomeetriline ring taas parimaks abimeheks.

Tuletage meelde koosinuse ja siinuse määratlusi.

Nurga koosinus on ühikringi punkti abstsiss (st koordinaat piki telge), mis vastab antud nurga võrra pööramisele.

Nurga siinus on ühikringi punkti ordinaat (st koordinaat piki telge), mis vastab antud nurga võrra pööramisele.

Positiivne liikumise suund trigonomeetriline ring arvestatakse vastupäeva liikumist. Pööramine 0 kraadi (või 0 radiaani) vastab punktile koordinaatidega (1; 0)

Me kasutame neid määratlusi kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks.

1. Lahenda võrrand

See võrrand on täidetud kõigi selliste pöördenurga väärtustega, mis vastavad ringi punktidele, mille ordinaat on võrdne .

Märgime y-teljel punkti ordinaatidega:

Joonistage x-teljega paralleelne horisontaaljoon, kuni see lõikub ringiga. Ringjoonel lamades ja ordinaatidega saame kaks punkti. Need punktid vastavad pöördenurkadele ja radiaanidele:

Kui me, olles lahkunud punktist, mis vastab pöördenurgale radiaani kohta, läheme ümber täisringi, siis jõuame punkti, mis vastab pöördenurgale radiaani kohta ja millel on sama ordinaat. See tähendab, et see pöördenurk rahuldab ka meie võrrandit. Saame teha nii palju "tühikäigulisi" pöördeid, kui tahame, naastes samasse punkti ja kõik need nurga väärtused rahuldavad meie võrrandit. "Tühikäigu" pöörete arv on tähistatud tähega (või). Kuna me saame neid pöördeid teha nii positiivses kui ka negatiivses suunas, võib (või ) võtta mis tahes täisarvu.

See tähendab, et algse võrrandi lahenduste esimene seeria on kujul:

, , - täisarvude hulk (1)

Sarnaselt on teisel lahenduste seeria vorm:

, Kus,. (2)

Nagu arvasite, põhineb see lahendusseeria ringi punktil, mis vastab pöördenurgale .

Need kaks lahenduste seeriat saab ühendada üheks kirjeks:

Kui võtame selle sissekande (st paaris), siis saame esimese seeria lahendusi.

Kui võtame selle sissekande (st paaritu), saame teise seeria lahendusi.

2. Nüüd lahendame võrrandi

Kuna läbi nurga pööramisel saadud ühikringi punkti abstsiss on , siis märgime teljele punkti abstsissiga :

Joonistage teljega paralleelne vertikaaljoon, kuni see lõikub ringiga. Ringjoonel lamades ja abstsissil on kaks punkti. Need punktid vastavad pöördenurkadele ja radiaanidele. Tuletame meelde, et päripäeva liikudes saame negatiivse pöördenurga:

Kirjutame üles kaks lahenduste seeriat:

,

,

(Õige punkti jõuame peamisest täisringist möödudes, st.

Ühendame need kaks seeriat üheks postituseks:

3. Lahenda võrrand

Puutujate joon läbib OY-teljega paralleelset ühikuringi koordinaatidega (1,0) punkti

Märkige sellele punkt, mille ordinaat on võrdne 1-ga (otsime puutujat, mille nurgad on 1):

Ühendage see punkt sirgjoonega lähtepunktiga ja märkige sirge lõikepunktid ühikringiga. Sirge ja ringi lõikepunktid vastavad pöördenurkadele ja :

Kuna meie võrrandit rahuldavatele pöördenurkadele vastavad punktid asuvad üksteisest radiaanide kaugusel, saame lahenduse kirjutada järgmiselt:

4. Lahenda võrrand

Kootangentide joon läbib punkti, mille ühikringi koordinaadid on paralleelsed teljega.

Märgime punkti abstsiss-1-ga kotangentide reale:

Ühendage see punkt sirge alguspunktiga ja jätkake seda, kuni see lõikub ringiga. See joon lõikab ringi punktides, mis vastavad pöördenurkadele ja radiaanidele:

Kuna need punktid on üksteisest eraldatud vahemaaga, mis on võrdne , saame selle võrrandi üldlahenduse kirjutada järgmiselt:

Toodud näidetes, illustreerides lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahendust, kasutati tabeliväärtusi trigonomeetrilised funktsioonid.

Kui aga võrrandi paremal küljel on mittetabeliväärtus, siis asendame võrrandi üldlahendis väärtuse:

ERILAHENDUSED:

Märkige ringile punktid, mille ordinaat on 0:

Märgi ringil üks punkt, mille ordinaat on 1:

Märkige ringil üks punkt, mille ordinaat on võrdne -1:

Kuna tavaks on näidata nullile lähimad väärtused, kirjutame lahenduse järgmiselt:

Märgi punktid ringile, mille abstsiss on 0:

5.
Märgime ringile ühe punkti, mille abstsiss on võrdne 1-ga:

Märkige ringile üks punkt, mille abstsiss on võrdne -1:

Ja mõned keerulisemad näited:

1.

Siinus on üks, kui argument on

Meie siinuse argument on , seega saame:

Jagage võrrandi mõlemad pooled 3-ga:

Vastus:

2.

Koosinus on null, kui koosinuse argument on

Meie koosinuse argument on , seega saame:

Väljendame , selleks liigume kõigepealt paremale vastupidise märgiga:

Lihtsustage paremat külge:

Jagage mõlemad osad -2-ga:

Pange tähele, et märk enne terminit ei muutu, kuna k võib võtta mis tahes täisarvu.

Vastus:

Ja lõpetuseks vaadake videoõpetust "Juurte valimine trigonomeetrilises võrrandis trigonomeetrilise ringi abil"

Sellega lõpeb vestlus kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise üle. Järgmine kord räägime, kuidas lahendada.

Trigonomeetrilised võrrandid pole just kõige lihtsam teema. Valusalt on need erinevad.) Näiteks need:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Jne...

Kuid neil (ja kõigil teistel) trigonomeetrilistel koletistel on kaks ühist ja kohustuslikku tunnust. Esiteks – te ei usu seda – võrrandites on trigonomeetrilised funktsioonid.) Teiseks: kõik x-iga avaldised on samade funktsioonide raames. Ja ainult seal! Kui kuskil ilmub x väljas, Näiteks, sin2x + 3x = 3, see on segatüüpi võrrand. Sellised võrrandid nõuavad individuaalset lähenemist. Siin me neid ei arvesta.

Ka selles tunnis ei lahenda me kurje võrrandeid.) Siin käsitlemegi lihtsaimad trigonomeetrilised võrrandid. Miks? Jah, sest otsus ükskõik milline trigonomeetrilised võrrandid koosnevad kahest etapist. Esimeses etapis taandatakse kurja võrrand erinevate teisenduste abil lihtsaks. Teisel - see lihtsaim võrrand on lahendatud. Ei muud moodi.

Seega, kui teil on probleeme teises etapis, pole esimesel etapil erilist mõtet.)

Kuidas näevad välja elementaartrigonomeetrilised võrrandid?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Siin A tähistab mis tahes numbrit. Ükskõik milline.

Muide, funktsiooni sees ei pruugi olla puhas x, vaid mingisugune avaldis, näiteks:

cos(3x+π /3) = 1/2

jne. See muudab elu keeruliseks, kuid ei mõjuta trigonomeetrilise võrrandi lahendamise meetodit.

Kuidas lahendada trigonomeetrilisi võrrandeid?

Trigonomeetrilisi võrrandeid saab lahendada kahel viisil. Esimene viis: loogika ja trigonomeetrilise ringi kasutamine. Uurime seda teed siin. Teist võimalust - mälu ja valemite kasutamist - käsitletakse järgmises õppetükis.

Esimene viis on selge, usaldusväärne ja raskesti unustatav.) See on hea trigonomeetriliste võrrandite, võrratuste ja igasuguste keeruliste mittestandardsete näidete lahendamiseks. Loogika on tugevam kui mälu!

Võrrandid lahendame trigonomeetrilise ringi abil.

Sisaldame elementaarset loogikat ja trigonomeetrilise ringi kasutamise oskust. Kas sa ei saa!? Siiski... Trigonomeetrias saab sul raske olema...) Aga see ei loe. Heitke pilk õppetundidele "Trigonomeetriline ring ...... Mis see on?" ja "Nurkide loendamine trigonomeetrilisel ringil". Seal on kõik lihtne. Erinevalt õpikutest...)

Ah, tead!? Ja isegi meisterdatud "Praktiline töö trigonomeetrilise ringiga"!? Võtke õnnitlused vastu. See teema on teile lähedane ja arusaadav.) Eriti meeldiv on see, et trigonomeetrilisel ringil pole vahet, millise võrrandi te lahendate. Siinus, koosinus, puutuja, kotangent – ​​tema jaoks on kõik sama. Lahenduse põhimõte on sama.

Seega võtame mis tahes elementaarse trigonomeetrilise võrrandi. Vähemalt see:

cosx = 0,5

Ma pean leidma X. Kui rääkida inimkeel, vaja leida nurk (x), mille koosinus on 0,5.

Kuidas me ringi varem kasutasime? Joonistasime sellele nurga. Kraadides või radiaanides. Ja kohe nähtud selle nurga trigonomeetrilised funktsioonid. Nüüd teeme vastupidi. Joonista ringile koosinus 0,5 ja kohe me näeme nurk. Jääb vaid vastus kirja panna.) Jah, jah!

Joonistame ringi ja märgime koosinuse väärtusega 0,5. Koosinusteljel muidugi. Nagu nii:

Nüüd joonistame nurga, mille see koosinus meile annab. Hõljutage kursorit pildi kohal (või puudutage pilti tahvelarvutis) ja vaata see sama nurk X.

Millise nurga koosinus on 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Mõni uriseb skeptiliselt, jah... Ütlevad, kas tasus ringi tarastada, kui kõik on nagunii selge... Nuriseda võib muidugi...) Aga fakt on see, et see on ekslik vastama. Või õigemini, ebapiisav. Ringi asjatundjad saavad aru, et on veel terve hunnik nurki, mis annavad ka koosinuse 0,5-ga.

Kui keerate liikuva külje OA täispöördeks, punkt A naaseb algasendisse. Sama koosinusega 0,5. Need. nurk muutub 360° või 2π radiaani ja koosinus ei ole. Uus nurk 60° + 360° = 420° on ka meie võrrandi lahendus, sest

Selliseid täispöördeid on lõpmatu arv... Ja kõik need uued nurgad on meie trigonomeetrilise võrrandi lahendused. Ja need kõik tuleb kuidagi kirja panna. Kõik. Vastasel juhul otsust ei arvestata, jah ...)

Matemaatika saab seda teha lihtsalt ja elegantselt. Ühes lühikeses vastuses kirjutage üles lõpmatu hulk lahendusi. Meie võrrandi puhul näeb see välja järgmine:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

ma dešifreerin. Kirjuta ikka tähendusrikkalt kenam kui rumalalt mingeid salapäraseid tähti joonistada, eks?)

π /3 on sama nurk, mis meie Saag ringil ja tuvastatud koosinuste tabeli järgi.

2π on üks täispööre radiaanides.

n - see on täielike, s.o. terve revolutsioonid. On selge, et n võib olla 0, ±1, ±2, ±3.... ja nii edasi. Nagu näitab lühike sissekanne:

n ∈ Z

n kuulub ( ∈ ) täisarvude hulka ( Z ). Muide, kirja asemel n saab kasutada tähti k, m, t jne.

See märge tähendab, et võite võtta mis tahes täisarvu n . Vähemalt -3, vähemalt 0, vähemalt +55. Mida sa tahad. Kui ühendate selle numbri oma vastusega, saate konkreetse nurga, mis on kindlasti meie karmi võrrandi lahendus.)

Või teisisõnu x \u003d π / 3 on lõpmatu hulga ainus juur. Kõigi teiste juurte saamiseks piisab, kui lisada π / 3-le suvaline arv täispöördeid ( n ) radiaanides. Need. 2πn radiaan.

Kõik? Ei. Venitan konkreetselt naudingut. Et paremini meeles pidada.) Saime vaid osa võrrandi vastustest. Kirjutan selle lahenduse esimese osa järgmiselt:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - mitte üks juur, see on terve rida juuri, mis on kirjutatud lühivormis.

Kuid on ka teisi nurki, mis annavad koosinuse 0,5-ga!

Tuleme tagasi oma pildi juurde, mille järgi vastuse kirja panime. Siin ta on:

Liigutage hiirt üle pildi ja vaata teine ​​nurk see annab ka koosinuse 0,5. Millega see teie arvates võrdub? Kolmnurgad on samad... Jah! Ta võrdne nurgaga X , joonistatud ainult negatiivses suunas. See on nurk -X. Aga me oleme x juba välja arvutanud. π /3 või 60°. Seetõttu võime julgelt kirjutada:

x 2 \u003d - π / 3

Ja loomulikult lisame kõik nurgad, mis saadakse täispöördega:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

See on nüüd kõik.) Trigonomeetrilises ringis me Saag(kes mõistab muidugi)) Kõik nurgad, mis annavad koosinuse 0,5. Ja nad kirjutasid need nurgad lühikeses matemaatilises vormis üles. Vastus on kaks lõpmatut juurte seeriat:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

See on õige vastus.

Loodan, trigonomeetriliste võrrandite lahendamise üldpõhimõte ringi abil on arusaadav. Märgime ringile koosinuse (siinus, puutuja, kotangens). antud võrrand, joonista sellele vastavad nurgad ja kirjuta vastus üles. Muidugi peate välja mõtlema, mis nurgad me oleme Saag ringi peal. Mõnikord pole see nii ilmne. Noh, nagu ma ütlesin, on siin vaja loogikat.)

Näiteks analüüsime teist trigonomeetrilist võrrandit:

Pange tähele, et arv 0,5 ei ole võrrandites ainus võimalik arv!) Minu jaoks on lihtsalt mugavam kirjutada see kui juured ja murded.

Töötame üldpõhimõtte järgi. Joonistame ringi, märgime (siinusteljel loomulikult!) 0,5. Joonistame korraga kõik sellele siinusele vastavad nurgad. Saame selle pildi:

Kõigepealt tegeleme nurgaga. X esimesel kvartalil. Tuletame meelde siinuste tabeli ja määrame selle nurga väärtuse. Asi on lihtne:

x \u003d π / 6

Tuletame meelde täispöördeid ja paneme puhta südametunnistusega kirja esimesed vastuste seeriad:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Pool tööd on tehtud. Nüüd peame määratlema teine ​​nurk... See on keerulisem kui koosinused, jah... Aga loogika päästab meid! Kuidas määrata teist nurka läbi x? Jah Lihtne! Pildil olevad kolmnurgad on samad ja punane nurk X võrdne nurgaga X . Ainult seda loetakse nurgast π negatiivses suunas. Sellepärast on see punane.) Ja vastuseks vajame positiivsest poolteljelt OX õigesti mõõdetud nurka, s.t. 0 kraadise nurga alt.

Hõljutage kursorit pildi kohal ja näete kõike. Esimese nurga eemaldasin, et pilti mitte keeruliseks ajada. Meie jaoks huvipakkuv nurk (joonistatud rohelisega) on võrdne:

π - x

x me teame seda π /6 . Nii et teine ​​nurk on järgmine:

π - π /6 = 5π /6

Jällegi tuletame meelde täispöörete lisamist ja paneme kirja teise seeria vastused:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

See on kõik. Täielik vastus koosneb kahest juurte seeriast:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangensi ja kotangensiga võrrandeid saab hõlpsasti lahendada, kasutades trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel sama üldpõhimõtet. Kui te muidugi ei tea, kuidas joonistada trigonomeetrilisele ringile puutujat ja kotangenti.

Ülaltoodud näidetes kasutasin siinuse ja koosinuse tabeliväärtust: 0,5. Need. üks neist tähendustest, mida õpilane teab peab. Nüüd laiendame oma võimalusi kõik muud väärtused. Otsustage, nii et otsustage!)

Oletame, et peame lahendama järgmise trigonomeetrilise võrrandi:

See koosinusväärtus sisse kokkuvõtlikud tabelid Ei. Me ignoreerime seda kohutavat tõsiasja jahedalt. Joonistame ringi, märgime koosinusteljele 2/3 ja joonistame vastavad nurgad. Saame selle pildi.

Alustuseks saame aru esimese veerandi nurgaga. Et teada saada, millega x on võrdne, kirjutaksid nad vastuse kohe kirja! Me ei tea... Ebaõnnestumine!? Rahune! Matemaatika ei jäta oma hätta! Ta leiutas selle juhtumi jaoks kaarekoosinused. Ei tea? Asjatult. Uurige välja. See on palju lihtsam, kui arvate. Selle lingi järgi pole ühtegi keerulist loitsu "trigonomeetriliste pöördfunktsioonide" kohta ... See on siin teemas üleliigne.

Kui olete kursis, öelge endale: "X on nurk, mille koosinus on 2/3." Ja kohe, puhtalt arkosiini määratluse järgi, võime kirjutada:

Meenutame täiendavaid pöördeid ja kirjutame rahulikult üles meie trigonomeetrilise võrrandi esimesed juured:

x 1 = kaared 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ka teine ​​juurte seeria kirjutatakse peaaegu automaatselt, teise nurga jaoks. Kõik on sama, ainult x (arccos 2/3) on miinusega:

x 2 = - kaared 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ja kõik asjad! See on õige vastus. Isegi lihtsam kui tabeliväärtustega. Te ei pea midagi meeles pidama.) Muide, kõige tähelepanelikumad märkavad, et see pilt lahendusega läbi kaarekoosinuse ei erine sisuliselt pildil olevast võrrandi cosx = 0,5 korral.

Täpselt nii! Üldpõhimõte selle kohta ja üldine! Konkreetselt joonistasin kaks peaaegu identset pilti. Ring näitab meile nurka X koosinuse järgi. See on tabelikoosinus või mitte - ring ei tea. Mis nurk see on, π / 3 või milline kaarekoosinus on meie otsustada.

Siinusega sama laul. Näiteks:

Jällegi joonistame ringi, märgime siinuse, mis on võrdne 1/3-ga, joonistame nurgad. Selgub see pilt:

Ja jällegi on pilt peaaegu sama, mis võrrandi puhul sinx = 0,5. Taas alustame esimesel veerandajal nurgast. Millega võrdub x, kui selle siinus on 1/3? Pole probleemi!

Nii et esimene juurtepakk on valmis:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Heidame pilgu teise nurga alla. Näites tabeli väärtusega 0,5 oli see võrdne:

π - x

Nii et siin on see täpselt sama! Ainult x on erinev, arcsin 1/3. Mis siis!? Teise juurpaki võite julgelt kirjutada:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

See on täiesti õige vastus. Kuigi see ei tundu väga tuttav. Aga see on arusaadav, ma loodan.)

Nii lahendatakse ringi abil trigonomeetrilisi võrrandeid. See tee on selge ja arusaadav. Just tema salvestab trigonomeetrilistes võrrandites juurte valikuga antud intervallil, trigonomeetrilistes võrratustes - need lahendatakse üldiselt peaaegu alati ringis. Ühesõnaga kõigis tavapärastest pisut keerulisemates ülesannetes.

Kas teadmisi praktikas rakendada?

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine:

Alguses on see lihtsam, otse selle õppetüki kohta.

Nüüd on see keerulisem.

Vihje: siin tuleb mõelda ringi peale. Isiklikult.)

Ja nüüd väliselt tagasihoidlikud ... Neid nimetatakse ka erijuhtudeks.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Vihje: siin peate ringis välja mõtlema, kus on kaks vastuseseeriat ja kus üks ... Ja kuidas kahe vastuseseeria asemel üks üles kirjutada. Jah, nii et ükski juur lõpmatust arvust ei läheks kaotsi!)

Noh, üsna lihtne):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Vihje: siin peate teadma, mis on arcsiinus, arkosiinus? Mis on kaartangens, kaartangens? Kõige lihtsamad määratlused. Kuid te ei pea meeles pidama ühtegi tabeliväärtust!)

Vastused on loomulikult segased):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Kas kõik ei õnnestu? Juhtub. Lugege õppetund uuesti läbi. Ainult mõtlikult(on selline vananenud sõna...) Ja järgi linke. Peamised lingid on seotud ringiga. Ilma selleta trigonomeetrias - kuidas ületada teed kinniseotud silmadega. Mõnikord see töötab.)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Videokursus "Saa A" sisaldab kõiki edukaks tegemiseks vajalikke teemasid eksami sooritamine matemaatikas 60-65 punkti. Täiesti kõik ülesanded 1-13 profiilieksam matemaatika. Sobib ka matemaatika Basic USE läbimiseks. Kui soovid sooritada eksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus eksamiks 10-11 klassidele, samuti õpetajatele. Kõik vajalik matemaatika eksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei sajapalline tudeng ega humanist.

Kogu vajalik teooria. Kiired viisid eksami lahendused, lõksud ja saladused. Kõik 1. osa asjakohased ülesanded FIPI ülesannete pangast on analüüsitud. Kursus vastab täielikult USE-2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad eksamiülesanded. Tekstülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad probleemide lahendamise algoritmid. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi USE ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, arendus ruumiline kujutlusvõime. Trigonomeetria nullist – ülesandeni 13. Tuupimise asemel mõistmine. Keeruliste mõistete visuaalne selgitus. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Lahenduse alus väljakutseid pakkuvad ülesanded Eksami 2 osa.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikes huvides.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Tund ja ettekanne teemal: "Kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid! Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.

Käsiraamatud ja simulaatorid veebipoes "Integral" 10. klassile alates 1C
Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ülesanded ruumi ehitamiseks
Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical constructor 6.1"

Mida me uurime:
1. Mis on trigonomeetrilised võrrandid?

3. Kaks peamist trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodit.
4. Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.
5. Näited.

Mis on trigonomeetrilised võrrandid?

Poisid, me oleme juba uurinud arcsiini, arkosiini, arctangenti ja arkotangensi. Vaatame nüüd trigonomeetrilisi võrrandeid üldiselt.

Trigonomeetrilised võrrandid - võrrandid, milles muutuja sisaldub trigonomeetrilise funktsiooni märgi all.

Kordame lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise vormi:

1) Kui |а|≤ 1, siis on võrrandil cos(x) = a lahendus:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Kui |а|≤ 1, siis on võrrandil sin(x) = a lahendus:

3) Kui |a| > 1, siis võrrandil sin(x) = a ja cos(x) = a pole lahendusi 4) Võrrandil tg(x)=a on lahendus: x=arctg(a)+ πk

5) Võrrandil ctg(x)=a on lahendus: x=arcctg(a)+ πk

Kõigi valemite puhul on k täisarv

Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid on kujul: Т(kx+m)=a, T- mis tahes trigonomeetriline funktsioon.

Näide.

Lahenda võrrandid: a) sin(3x)= √3/2

Lahendus:

A) Tähistame 3x=t, siis kirjutame oma võrrandi ümber kujul:

Selle võrrandi lahendus on: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Väärtuste tabelist saame: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Läheme tagasi meie muutuja juurde: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Siis x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Vastus: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kus n on täisarv. (-1)^n – miinus üks astmeni n.

Veel näiteid trigonomeetrilistest võrranditest.

Lahendage võrrandid: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Lahendus:

A) Seekord läheme kohe otse võrrandi juurte arvutamise juurde:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Siis x/5= πk => x=5πk

Vastus: x=5πk, kus k on täisarv.

B) Kirjutame kujul: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Teame, et arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Vastus: x=2π/9 + πk/3, kus k on täisarv.

Lahendage võrrandid: cos(4x)= √2/2. Ja leidke segmendi kõik juured.

Lahendus:

Otsustame sisse üldine vaade meie võrrand: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X = ± π/16+ πk/2;

Nüüd vaatame, millised juured langevad meie segmendile. Kui k Kui k=0, x= π/16, oleme antud segmendis .
Kui k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, tabavad nad uuesti.
Kui k=2, x= π/16+ π=17π/16, aga siin me ei tabanud, mis tähendab, et me ei taba ka suure k puhul.

Vastus: x= π/16, x= 9π/16

Kaks peamist lahendusmeetodit.

Oleme kaalunud lihtsamaid trigonomeetrilisi võrrandeid, kuid on ka keerukamaid. Nende lahendamiseks kasutatakse uue muutuja sisseviimise meetodit ja faktoriseerimise meetodit. Vaatame näiteid.

Lahendame võrrandi:

Lahendus:
Võrrandi lahendamiseks kasutame uue muutuja sisseviimise meetodit, mida tähistatakse: t=tg(x).

Asenduse tulemusena saame: t 2 + 2t -1 = 0

Leiame juured ruutvõrrand t = -1 ja t = 1/3

Siis tg(x)=-1 ja tg(x)=1/3, saime lihtsaima trigonomeetrilise võrrandi, leiame selle juured.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Vastus: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Näide võrrandi lahendamisest

Lahendage võrrandid: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Lahendus:

Kasutame identiteeti: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Meie võrrand on järgmine: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Tutvustame asendust t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=2 ja t=-1/2

Siis cos(x)=2 ja cos(x)=-1/2.

Sest koosinus ei saa võtta ühest suuremaid väärtusi, siis cos(x)=2-l pole juuri.

Kui cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Vastus: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.

Definitsioon: Võrrandit kujul a sin(x)+b cos(x) nimetatakse esimese astme homogeenseteks trigonomeetrilisteks võrranditeks.

Vormi võrrandid

teise astme homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.

Esimese astme homogeense trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks jagame selle cos(x)-ga: Koosinusega on võimatu jagada, kui see on võrdne nulliga, veenduge, et see nii poleks:
Olgu cos(x)=0, siis asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aga siinus ja koosinus ei võrdu korraga nulliga, saime vastuolu, seega võib julgelt jagada nulliga.

Lahendage võrrand:
Näide: cos 2 (x) + sin(x) cos (x) = 0

Lahendus:

Võtke välja ühine tegur: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Seejärel peame lahendama kaks võrrandit:

cos(x)=0 ja cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, kui x= π/2 + πk;

Vaatleme võrrandit cos(x)+sin(x)=0 Jagage võrrand cos(x)-ga:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Vastus: x= π/2 + πk ja x= -π/4+πk

Kuidas lahendada teise astme homogeenseid trigonomeetrilisi võrrandeid?
Poisid, pidage alati kinni nendest reeglitest!

1. Vaadake, millega võrdub koefitsient a, kui a \u003d 0, siis on meie võrrand kujul cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), mille lahendi näide on eelmisel libisema

2. Kui a≠0, siis tuleb mõlemad võrrandi osad jagada ruudukoosinusega, saame:

Muudame muutujat t=tg(x), saame võrrandi:

Lahendage näide #:3

Lahendage võrrand:
Lahendus:

Jagage võrrandi mõlemad pooled koosinusruuduga:

Muudame muutujat t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Leia ruutvõrrandi juured: t=-3 ja t=1

Siis: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Vastus: x=-arctg(3) + πk ja x= π/4+ πk

Lahendage näide #:4

Lahendage võrrand:

Lahendus:
Muudame oma väljendit:

Saame lahendada sellised võrrandid: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Vastus: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Lahendage näide #:5

Lahendage võrrand:

Lahendus:
Muudame oma väljendit:

Tutvustame asendust tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=-2 ja t=1/2

Siis saame: tg(2x)=-2 ja tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Vastus: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ja x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks.

1) Lahenda võrrand

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Lahenda võrrandid: sin(3x)= √3/2. Ja leida kõik juured lõigul [π/2; π].

3) Lahendage võrrand: ctg 2 (x) + 2 ctg (x) + 1 =0

4) Lahendage võrrand: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lahendage võrrand: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lahendage võrrand: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)