Arvude ja avaldiste astendamiseks ja korrutamiseks kasutatakse lühendatud korrutamisvalemeid (FSU). Sageli võimaldavad need valemid teha arvutusi kompaktsemalt ja kiiremini.
Käesolevas artiklis loetleme peamised lühendatud korrutamisvalemid, koondame need tabelisse, vaatleme nende valemite kasutamise näiteid ja peatume ka lühendatud korrutamisvalemite tõestamise põhimõtetel.
Esmakordselt käsitletakse FSU teemat kursuse "Algebra" raames 7. klassile. Allpool on 7 põhivalemit.
Lühendatud korrutusvalemid
- summa ruutvalem: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- erinevuse ruudu valem: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- summa kuubiku valem: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- erinevuse kuubi valem: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- ruutude erinevuse valem: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- kuubikute summa valem: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- kuubiku erinevuse valem: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
Tähed a, b, c nendes avaldistes võivad olla mis tahes numbrid, muutujad või avaldised. Kasutamise hõlbustamiseks on parem seitse põhivalemit pähe õppida. Võtame need kokku tabelis ja anname need allpool, tuues need kastiga ümber.
Esimesed neli valemit võimaldavad teil arvutada vastavalt kahe avaldise summa või erinevuse ruudu või kuubi.
Viies valem arvutab avaldiste ruutude erinevuse, korrutades nende summa ja erinevuse.
Kuues ja seitsmes valem on vastavalt avaldiste summa ja erinevuse korrutamine erinevuse mittetäieliku ruudu ja summa mittetäieliku ruuduga.
Lühendatud korrutamisvalemit nimetatakse mõnikord ka lühendatud korrutusidentiteetideks. See pole üllatav, sest iga võrdsus on identiteet.
Otsustades praktilisi näiteid kasutavad sageli lühendatud korrutusvalemeid, mille vasak ja parem osa on ümber paigutatud. See on eriti mugav polünoomi arvestamisel.
Täiendavad lühendatud korrutusvalemid
Me ei piirdu algebra 7. klassi kursusega ja lisame oma FSU tabelisse veel paar valemit.
Esiteks kaaluge Newtoni binoomvalemit.
a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
Siin on C n k binoomkoefitsiendid, mis asuvad Pascali kolmnurga real number n. Binoomkoefitsiendid arvutatakse järgmise valemiga:
C nk = n! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
Nagu näete, on erinevuse ja summa ruudu ja kuubi FSU Newtoni binoomvalemi erijuhtum vastavalt n=2 ja n=3 korral.
Aga mis siis, kui astmeks tõstetavas summas on rohkem kui kaks liiget? Kasulik on kolme, nelja või enama liikme summa ruudu valem.
a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Teine valem, mis võib kasuks tulla, on kahe liikme n-nda astme erinevuse valem.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
See valem jaguneb tavaliselt kaheks valemiks – vastavalt paaris- ja paaritu kraadi jaoks.
Paarisaste eksponentide jaoks 2m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2
Paaritute eksponentide 2m+1 puhul:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. . + b 2 m
Arvasite ära, et ruutude erinevuse ja kuubikute erinevuse valemid on selle valemi erijuhud vastavalt n = 2 ja n = 3 korral. Kuubikute vahe jaoks asendatakse b ka -b .
Kuidas lugeda lühendatud korrutusvalemeid?
Toome iga valemi kohta vastavad sõnastused, kuid esmalt käsitleme valemite lugemise põhimõtet. Lihtsaim viis seda teha on näite abil. Võtame kahe arvu summa ruudu kõige esimese valemi.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
Nad ütlevad: kahe avaldise a ja b summa ruut on võrdne esimese avaldise ruudu summaga, kahekordne avaldiste ja teise avaldise ruudu korrutis.
Kõiki teisi valemeid loetakse sarnaselt. Ruudulise erinevuse a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 jaoks kirjutame:
kahe avaldise a ja b erinevuse ruut on võrdne nende avaldiste ruutude summaga, millest on lahutatud esimese ja teise avaldise kahekordne korrutis.
Loeme valemit a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kahe avaldise a ja b summa kuup on võrdne nende avaldiste kuubikute summaga, kolmekordne esimese avaldise ja teise avaldise ruudu korrutis ning kolm korda teise avaldise ruudu korrutis ja esimene väljend.
Jätkame kuubikute a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 erinevuse valemi lugemisega. Kahe avaldise a ja b erinevuse kuup on võrdne esimese avaldise kuubiga, millest on lahutatud esimese ja teise avaldise kolm korda ruut pluss kolm korda teise avaldise ja esimese avaldise ruut, millest on lahutatud kuup teisest väljendist.
Viies valem a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (ruutude erinevus) kõlab järgmiselt: kahe avaldise ruutude erinevus võrdub erinevuse ja kahe avaldise summa korrutisega.
Avaldisi nagu a 2 + a b + b 2 ja a 2 - a b + b 2 nimetatakse mugavuse huvides vastavalt summa mittetäielikuks ruuduks ja erinevuse mittetäielikuks ruuduks.
Seda silmas pidades loetakse kuubikute summa ja erinevuse valemid järgmiselt:
Kahe avaldise kuubikute summa võrdub nende avaldiste summa ja nende erinevuse mittetäieliku ruudu korrutisega.
Kahe avaldise kuubikute vahe on võrdne nende avaldiste erinevuse korrutisega nende summa mittetäieliku ruuduga.
FSU tõend
FSU tõestamine on üsna lihtne. Korrutamise omaduste põhjal viime läbi sulgudes olevate valemite osade korrutamise.
Näiteks kaaluge erinevuse ruudu valemit.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Avaldise teise astmeni tõstmiseks tuleb avaldis korrutada iseendaga.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Laiendame sulgusid:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Valem on tõestatud. Teised FSO-d on tõestatud sarnaselt.
Näited FSO rakendustest
Vähendatud korrutusvalemite kasutamise eesmärk on avaldiste kiire ja ülevaatlik korrutamine ja astendamine. See ei ole aga kogu FSO ulatus. Neid kasutatakse laialdaselt avaldiste vähendamiseks, murdude vähendamiseks, polünoomide faktoriseerimiseks. Toome näiteid.
Näide 1. FSO
Lihtsustame avaldist 9 y - (1 + 3 y) 2 .
Rakenda ruutude summa valem ja saad:
9 a - (1 + 3 a) 2 = 9 a - (1 + 6 a + 9 a 2) = 9 a - 1 - 6 a - 9 a 2 = 3 a - 1 - 9 a 2
Näide 2. FSO
Vähendage murdosa 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
Märkame, et lugeja avaldis on kuubikute erinevus ja nimetaja - ruutude erinevus.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Vähendame ja saame:
8 x 3 – z 6 4 x 2 – z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
FSU-d aitavad ka avaldiste väärtusi arvutada. Peaasi, et osata märgata, kuhu valemit rakendada. Näitame seda näitega.
Teeme arvu 79 ruutu. Tülikate arvutuste asemel kirjutame:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Näib, et keeruline arvutus viidi läbi kiiresti, kasutades ainult lühendatud korrutusvalemeid ja korrutustabelit.
Teine oluline punkt- binoomi ruudu valik. Avaldise 4 x 2 + 4 x - 3 saab teisendada 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Selliseid teisendusi kasutatakse integratsioonis laialdaselt.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Lühendatud korrutusvalemid.
Lühendatud korrutamise valemite uurimine: summa ruut ja kahe avaldise erinevuse ruut; kahe avaldise ruutude erinevus; kahe avaldise summa ja vahe kuup; kahe avaldise kuubikute summad ja erinevused.
Lühendatud korrutusvalemite rakendamine näidete lahendamisel.
Avaldiste lihtsustamiseks, polünoomide faktoriseerimiseks ja polünoomide taandamiseks standardvormiks kasutatakse lühendatud korrutusvalemeid. Lühendatud korrutusvalemid, mida peate peast teadma.
Olgu a, b R. Seejärel:
1. Kahe avaldise summa ruut on esimese avaldise ruut pluss esimese avaldise kahekordne korrutis ja teine pluss teise avaldise ruut.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kahe avaldise erinevuse ruut on esimese avaldise ruut miinus esimese avaldise kahekordne korrutis ja teine pluss teise avaldise ruut.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Ruudude erinevus kaks avaldist on võrdne nende avaldiste ja nende summa erinevuse korrutisega.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. summa kuup kahest avaldisest on võrdne esimese avaldise kuubiga pluss kolm korda esimese avaldise ruut korda teine pluss kolm korda esimese avaldise korrutis teise avaldise kuubiga pluss teise avaldise kuup.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. erinevuse kuubik kahest avaldisest on võrdne esimese avaldise kuubiga miinus kolm korda esimese avaldise ruudu korrutis ja teise pluss kolm korda esimese avaldise ja teise avaldise ruudu korrutis, millest on lahutatud teise avaldise kuup.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kuubikute summa kaks avaldist võrdub esimese ja teise avaldise summa korrutisega nende avaldiste erinevuse mittetäieliku ruuduga.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Kuubikute erinevus kahe avaldise arv on võrdne esimese ja teise avaldise erinevuse korrutisega nende avaldiste summa mittetäieliku ruuduga.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Lühendatud korrutusvalemite rakendamine näidete lahendamisel.
Näide 1
Arvutama
a) Kasutades kahe avaldise summa ruudu valemit, saame
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Kasutades kahe avaldise ruudu erinevuse valemit, saame
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Näide 2
Arvutama
Kasutades kahe avaldise ruutude erinevuse valemit, saame
Näide 3
Väljendi lihtsustamine
(x - y) 2 + (x + y) 2
Kasutame kahe avaldise summa ruudu ja erinevuse ruudu valemeid
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Lühendatud korrutusvalemid ühes tabelis:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Vähendatud korrutamise valemeid või reegleid kasutatakse aritmeetikas ja täpsemalt algebras, et kiirendada suurte algebraavaldiste arvutamist. Valemid ise on tuletatud algebra olemasolevatest reeglitest mitme polünoomi korrutamiseks.
Nende valemite kasutamine pakub üsna kiiret lahendust erinevatele matemaatika ülesandeid ja aitab ka väljendeid lihtsustada. Algebraliste teisenduste reeglid võimaldavad teil teha mõningaid manipulatsioone avaldistega, mille järgi saate avaldise paremal pool oleva võrdsuse vasakul küljel või teisendada võrrandi paremat poolt (avaldise saamiseks vasak pool pärast võrdusmärki).
Mäluga lühendatud korrutamiseks kasutatavaid valemeid on mugav teada, kuna neid kasutatakse sageli ülesannete ja võrrandite lahendamisel. Selle loendi peamised valemid ja nende nimed on loetletud allpool.
summa ruut
Summa ruudu arvutamiseks tuleb leida summa, mis koosneb esimese liikme ruudust, esimese ja teise liikme kahekordsest korrutisest ning teise liikme ruudust. Avaldise kujul kirjutatakse see reegel järgmiselt: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Vahe ruut
Vahe ruudu arvutamiseks peate arvutama summa, mis koosneb esimese arvu ruudust, esimese arvu kahekordsest korrutisest teisega (võetud vastupidise märgiga) ja teise numbri ruudust. Avaldise kujul näeb see reegel välja järgmine: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².
Ruudude erinevus
Kahe arvu ruudus vahe valem võrdub nende arvude summa ja nende erinevuse korrutisega. Avaldise kujul näeb see reegel välja järgmine: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).
summa kuup
Kahe liikme summa kuubi arvutamiseks on vaja arvutada summa, mis koosneb esimese liikme kuubist, esimese ja teise liikme ruudu kolmikkorrutisest, esimese liikme kolmikkorrutisest ja teine ruudus ja teise liikme kuup. Avaldise kujul näeb see reegel välja järgmine: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Kuubikute summa
Valemi järgi võrdub see nende liikmete summa ja nende erinevuse mittetäieliku ruudu korrutisega. Avaldise kujul näeb see reegel välja järgmine: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).
Näide. On vaja arvutada kujundi maht, mis moodustub kahe kuubi lisamisel. Teada on vaid nende külgede suurused.
Kui külgede väärtused on väikesed, on arvutusi lihtne teha.
Kui külgede pikkused on väljendatud tülikate numbritega, on sel juhul lihtsam rakendada valemit "Kuupide summa", mis lihtsustab arvutusi oluliselt.
erinevuse kuubik
Kuubiku erinevuse avaldis kõlab järgmiselt: esimese liikme kolmanda astme summana kolmekordistatakse esimese liikme ruudu negatiivne korrutis teisega, kolmekordistatakse esimese liikme korrutis teise liikme ruuduga. , ja teise liikme negatiivne kuup. Nagu matemaatiline avaldis erinevuse kuup näeb välja selline: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Kuubikute erinevus
Kuubikute erinevuse valem erineb kuubikute summast vaid ühe märgi võrra. Seega on kuubikute erinevus valem, mis võrdub nende arvude erinevuse korrutisega summa mittetäieliku ruuduga. Kujul näeb kuubikute erinevus välja selline: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Näide. On vaja arvutada joonise maht, mis jääb alles pärast sinise kuubi ruumala lahutamist joonise mahust kollast värvi, mis on samuti kuubik. Teada on vaid väikese ja suure kuubi külje suurus.
Kui külgede väärtused on väikesed, on arvutused üsna lihtsad. Ja kui külgede pikkused on väljendatud märkimisväärsetes numbrites, siis tasub kasutada valemit pealkirjaga "Kuupide erinevus" (või "Erinevuskuubik"), mis lihtsustab arvutusi oluliselt.
Ruudude erinevus
Tuletame ruutude $a^2-b^2$ erinevuse valemi.
Selleks pidage meeles järgmist reeglit:
Kui avaldisele lisada suvaline monoom ja lahutada sama monoom, saame õige identiteedi.
Liidame oma avaldisele ja lahutame sellest monomial $ab$:
Kokku saame:
See tähendab, et kahe monomi ruutude vahe on võrdne nende erinevuse ja nende summa korrutisega.
Näide 1
Väljendage $(4x)^2-y^2$ korrutisena
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]
Kuubikute summa
Tuletame kuubikute summa valemi $a^3+b^3$.
Võtame sulgudest välja tavalised tegurid:
Võtame sulgudest välja $\left(a+b\right)$:
Kokku saame:
See tähendab, et kahe monomi kuubikute summa on võrdne nende summa korrutisega nende erinevuse mittetäieliku ruuduga.
Näide 2
Ekspress tootena $(8x)^3+y^3$
Selle väljendi saab ümber kirjutada järgmisel kujul:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Kasutades ruutude erinevuse valemit, saame:
\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]
Kuubikute erinevus
Tuletame kuubikute $a^3-b^3$ erinevuse valemi.
Selleks kasutame ülaltoodud reeglit.
Lisame oma avaldisele ja lahutame sellest monooomid $a^2b\ ja\ (ab)^2$:
Võtame sulgudest välja tavalised tegurid:
Võtame sulgudest välja $\left(a-b\right)$:
Kokku saame:
See tähendab, et kahe monomi kuubikute vahe on võrdne nende erinevuse korrutisega nende summa mittetäieliku ruuduga.
Näide 3
Väljendage $(8x)^3-y^3$ korrutisena
Selle väljendi saab ümber kirjutada järgmisel kujul:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Kasutades ruutude erinevuse valemit, saame:
\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]
Näide ülesannetest ruutude vahe ning kuubikute summa ja vahe valemite kasutamiseks
Näide 4
Korrutada.
a) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Lahendus:
a) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Ruudude erinevuse valemit rakendades saame:
\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]
Kirjutame selle väljendi kujul:
Rakendame kuubikute kuubikute valemit:
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Kirjutame selle väljendi kujul:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]
Rakendame kuubikute kuubikute valemit:
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\parem)\]
