http//:www.svkspb.nm.ru
Lamedate sektsioonide geomeetrilised omadused
Ruut: , dF - elementaarne platvorm.
Pindalaelemendi staatiline momentdF telje suhtes 0x
- pindala elemendi korrutis kaugusega "y" 0x teljest: dS x = ydF
Pärast selliste toodete summeerimist (integreerimist) kogu joonise ala ulatuses saame staatilised hetked y- ja x-telgede suhtes: 
;
[cm 3, m 3 jne].
Raskuskeskme koordinaadid:
. Staatilised hetked suhtelised keskteljed(lõike raskuskeset läbivad teljed) on võrdsed nulliga. Keerulise kujundi staatiliste momentide arvutamisel jagatakse see lihtsateks osadeks, mille pindala on F i ja raskuskeskmete koordinaadid x i, y i Kogu kujundi pindala staatiline moment = summa iga selle osa staatilised momendid: 
.
Keerulise kujundi raskuskeskme koordinaadid: 
M
Sektsiooni inertsimomendid
Aksiaalne(ekvatoriaalne) sektsiooni inertsimoment- elementaarpindade dF korrutiste summa nende kauguste teljega ruutudega.
;
[cm 4, m 4 jne].
Lõike polaarne inertsmoment teatud punkti (pooluse) suhtes on elementaarpindade korrutised nende kauguste ruutude võrra sellest punktist.
; [cm 4, m 4 jne]. J y + J x = J p.
Lõigu tsentrifugaalne inertsimoment- elementaarpindade ja nende kauguste korrutised kahest üksteisega risti asetsevast teljest. 
.
Lõike tsentrifugaalne inertsimoment telgede suhtes, millest üks või mõlemad langevad kokku sümmeetriatelgedega, on võrdne nulliga.
Aksiaalsed ja polaarsed inertsmomendid on alati positiivsed, tsentrifugaalsed inertsmomendid võivad olla positiivsed, negatiivsed või nullid.
Komplekskuju inertsimoment on võrdne selle moodustavate osade inertsimomentide summaga.
Lihtsa kujuga lõikude inertsmomendid
P 
ristkülikukujuline sektsioon Ring
TO 
ring
T 
kolmnurk
R 
isofemoraalne
Ristkülikukujuline
T 
kolmnurk
H 
veerand ring
J y = J x = 0,055R 4
J xy =0,0165R 4
joonisel fig. (-)
Poolring
M 
Standardprofiilide inertsmomendid leiate sortimendi tabelitest:
D 
vutavr
Kanal
Nurk
M
J 
x1 = J x + a2F;
Jy1 = J y + b2F;
inertsmoment mis tahes telje ümber on võrdne inertsmomendiga antud teljega paralleelse kesktelje suhtes, millele lisandub joonise pindala ja telgede vahelise kauguse ruudu korrutis. J y1x1 =J yx + abF; (“a” ja “b” asendatakse valemis, võttes arvesse nende märki).
Sõltuvus vahel inertsmomendid telgede pööramisel:
J 
x1 =J x cos 2 + J y sin 2 - J xy sin2; J y1 =J y cos 2 + J x sin 2 + J xy sin2;
J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;
Nurk >0, kui üleminek vanalt koordinaatsüsteemilt uude toimub vastupäeva. J y1 + J x1 = J y + J x
Nimetatakse inertsmomentide äärmuslikke (maksimaalseid ja minimaalseid) väärtusi peamised inertsimomendid. Nimetatakse telgi, mille suhtes inertsmomentidel on äärmuslikud väärtused inertsi peamised teljed. Peamised inertsteljed on üksteisega risti. Tsentrifugaalsed inertsimomendid peatelgede suhtes = 0, s.o. inertsi põhiteljed - teljed, mille suhtes tsentrifugaalne inertsimoment = 0. Kui üks telgedest langeb kokku või langevad mõlemad kokku sümmeetriateljega, siis on need peamised. Põhitelgede asukohta määrav nurk: 
, kui 0 >0 teljed pöörlevad vastupäeva. Maksimaalne telg moodustab alati väiksema nurga nende telgedega, mille suhtes on inertsmoment suurem. Raskuskeskme läbivaid põhitelgi nimetatakse peamised kesksed inertsteljed. Nende telgede inertsimomendid: 
J max + J min = J x + J y. Tsentrifugaalne inertsimoment peamiste kesksete inertsitelgede suhtes on 0. Kui peamised inertsimomendid on teada, siis pööratud telgedele ülemineku valemid on järgmised:
J x1 =J max cos 2 + J min sin 2 ; J y1 =J max cos 2 + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min)sin2;
Lõike geomeetriliste karakteristikute arvutamise lõppeesmärk on määrata peamised kesksed inertsmomendid ja peamiste kesksete inertstelgede asukoht. R 
inertsiraadius -
; J x =Fi x 2, J y =Fi y 2 .
Kui J x ja J y on peamised inertsimomendid, siis i x ja i y - pöörlemise peamised raadiused. Nimetatakse ellipsi, mis on ehitatud peamiste inertsiraadiuste nagu pooltelgedele inertsi ellips. Inertsi ellipsi abil saate graafiliselt leida mis tahes telje x1 inertsiraadiuse i x1. Selleks peate joonistama ellipsi puutuja, mis on paralleelne teljega x1, ja mõõtma kaugust sellelt teljest puutujani. Teades inertsiraadiust, saate leida lõigu inertsmomendi x 1 telje suhtes: 
. Enam kui kahe sümmeetriateljega lõikude puhul (näiteks: ring, ruut, rõngas jne) on kõigi kesktelgede teljelised inertsmomendid üksteisega võrdsed, J xy = 0, inertsi ellips muutub inertsi ring.
Vastupanu hetked.
Aksiaalne takistusmoment- telje suhtes tekkiva inertsimomendi suhe kaugusesse sellest lõigu kõige kaugema punktini. 
[cm 3, m 3]
Eriti olulised on takistusmomendid peamiste kesktelgede suhtes:
ristkülik: 
; ring: W x =W y = 
,
torukujuline sektsioon (rõngas): W x =W y = 
, kus = d N /d B .
Polaartakistusmoment - polaarse inertsimomendi suhe pooluse ja lõigu kõige kaugema punkti kaugusesse: 
.
Ringjoone jaoks W р = 
.
Nagu eespool märgitud, sisaldavad lihtsad tasapinnalised kujundid kolme kujundit: ristkülikut, kolmnurka ja ringi. Neid kujundeid peetakse lihtsateks, kuna nende kujundite raskuskeskme asukoht on ette teada. Kõik muud kujundid võivad koosneda nendest lihtsatest kujunditest ja neid peetakse keerukateks. Arvutame lihtkujude aksiaalsed inertsmomendid nende kesktelgede suhtes.
1. Ristkülik. Vaatleme ristkülikukujulise profiili ristlõiget mõõtmetega (joonis 4.6). Valime lõigu elemendi, millel on kaks lõpmatult lähedast lõiku kaugusel 
keskteljest 
.
Arvutame ristkülikukujulise ristlõike inertsimomendi telje suhtes:
.
(4.10)
Ristkülikukujulise lõigu inertsmoment telje ümber 
leiame sarnaselt. Järeldust siin ei tehta.
.
(4.11)
Ja 
on võrdne nulliga, kuna teljed 
Ja 
on sümmeetriateljed ja seega ka põhiteljed.
2. Võrdhaarne kolmnurk. Vaatleme mõõtmetega kolmnurkse profiili lõiku 
(Joon.4.7). Valime lõigu elemendi, millel on kaks lõpmatult lähedast lõiku kaugusel 
keskteljest 
. Kolmnurga raskuskese on kaugel 
alusest. Eeldatakse, et kolmnurk on võrdhaarne, seega telg 
lõik on sümmeetriatelg.
Arvutame välja lõigu inertsimomendi telje suhtes 
:
.
(4.12)
Suurus 
kolmnurkade sarnasuse põhjal määrame:
; kus 
.
Avaldiste asendamine 
punktis (4.12) ja integreerides saame:
.
(4.13)
Võrdhaarse kolmnurga inertsimoment telje ümber 
on leitud sarnasel viisil ja on võrdne:
(4.14)
Tsentrifugaalne inertsimoment telgede suhtes 
Ja 
on võrdne nulliga, kuna telg 
on lõigu sümmeetriatelg.
3. Ring. Mõelge läbimõõduga ringikujulise profiili ristlõikele 
(Joon.4.8). Tõstkem esile lõiguelemendi kahe lõpmata lähedal asuva kontsentrilise ringiga, mis asuvad kaugusel 
ringi raskuskeskmest 
.
Arvutame avaldise (4.5) abil ringi polaarinertsmomendi:
.
(4.15)
Kasutades invariantsustingimust kahe vastastikku risti asetseva telje (4.6) telje inertsmomentide summa jaoks ja võttes arvesse seda sümmeetria tõttu ringi puhul 
, määrame aksiaalsete inertsimomentide väärtuse:
.
(4.16)
.
(4.17)
Tsentrifugaalne inertsimoment telgede suhtes 
Ja 
on võrdne nulliga, kuna teljed 
Ja 
on lõigu sümmeetriateljed.
4.4. Sõltuvused inertsmomentide vahel paralleelsete telgede suhtes
Keerukate kujundite inertsimomentide arvutamisel tuleks meeles pidada üht reeglit: inertsimomentide väärtused saab lisada, kui need on arvutatud sama telje suhtes. Keeruliste figuuride puhul ei lange enamasti üksikute lihtfiguuride ja kogu figuuri raskuskeskmed kokku. Sellest lähtuvalt ei lange üksikute lihtkujude ja kogu joonise keskteljed kokku. Sellega seoses on olemas tehnikad inertsmomentide viimiseks ühele teljele, näiteks kogu joonise keskteljele. Selle põhjuseks võib olla inertsitelgede paralleelne tõlge ja lisaarvutused.
Vaatleme joonisel 4.9 näidatud inertsimomentide määramist paralleelsete inertstelgede suhtes.
Olgu joonisel 4.9 näidatud aksiaalsed ja tsentrifugaalsed inertsmomendid. arvud suvaliselt valitud telgede suhtes 
Ja 
lähtekohaga punktis 
teatud. On vaja arvutada kujundi aksiaalsed ja tsentrifugaalsed inertsmomendid suvaliste paralleeltelgede suhtes 
Ja 
lähtekohaga punktis 
. Teljed 
Ja 
viiakse läbi vahemaadel 
Ja 
vastavalt telgedest 
Ja 
.
Kasutame teljelise inertsimomendi (4.4) ja tsentrifugaalse inertsimomendi (4.7) avaldisi. Asendagem praeguste koordinaatide asemel nende avaldistega 
Ja 
element lõpmata väikese koordinaatpinnaga 
Ja 
uues koordinaatsüsteemis. Saame:
Saadud avaldisi analüüsides jõuame järeldusele, et paralleelsete telgede suhtes inertsmomentide arvutamisel tuleks algsete inertstelgede suhtes arvutatud inertsimomentidele lisada lisaliikmete kujul lisandid, mis võivad olla palju suuremad. kui inertsimomentide väärtused esialgsete telgede suhtes. Seetõttu ei tohiks neid lisatingimusi mingil juhul tähelepanuta jätta.
Vaadeldav juhtum on kõige üldisem telgede paralleelse ülekandmise juhtum, kui esialgseteks võeti suvalised inertsteljed. Enamikus arvutustes on inertsimomentide määramise erijuhud.
Esimene erijuhtum. Lähteteljed on joonise kesksed inertsteljed. Seejärel, kasutades pindala staatilise hetke põhiomadust, saame võrranditest (4.18)–(4.20) välja jätta nende võrrandite liikmed, mis sisaldavad joonise staatilist pindalamomenti. Selle tulemusena saame:
.
(4.21)
.
(4.22)
.
(4.23)
Siin on kirved 
Ja 
-inertsuse keskteljed.
Teine erijuhtum. Võrdlusteljed on peamised inertsi teljed. Seejärel, võttes arvesse, et inertsi põhitelgede suhtes on tsentrifugaalinertsimoment võrdne nulliga, saame:
.
(4.24)
.
(4.25)
.
(4.26)
Siin on kirved 
Ja 
inertsuste põhiteljed.
Kasutame saadud avaldisi ja vaatleme mitmeid näiteid tasapinnaliste kujundite inertsimomentide arvutamisest.
Näide 4.2. Määrake joonisel fig. 4.10 kesktelgede suhtes 
Ja 
.
Eelmises näites 4.1 joonisel 4.10 kujutatud joonise jaoks määrati raskuskeskme C asend Raskuskeskme koordinaat joonistati teljelt 
ja koostatud 
. Arvutame vahemaad 
Ja 
telgede vahel 
Ja 
ja kirved 
Ja 
. Need vahemaad olid vastavalt 
Ja 
. Alates originaaltelgedest 
Ja 
on keskteljed lihtsate ristkülikukujuliste kujundite jaoks, et määrata kujundi inertsimoment telje suhtes 
Kasutame esimese konkreetse juhtumi järeldusi, eelkõige valemit (4.21).
Inertsimoment telje suhtes 
saame lihtkujude inertsmomentide liitmisel sama telje suhtes, kuna telg 
on lihtkujude ja kogu joonise ühine kesktelg.
cm 4.
Tsentrifugaalne inertsimoment telgede suhtes 
Ja 
on võrdne nulliga, kuna inertsi telg 
on peatelg (joonise sümmeetriatelg).
Näide 4.3. Mis on suurus? b(cm)
joonisel fig. 4.11, kui kujundi inertsmoment telje suhtes 
võrdne 1000 cm 4?
Avaldame inertsimomenti telje suhtes 
läbi tundmatu sektsiooni suuruse 
, kasutades valemit (4.21), võttes arvesse, et telgede vaheline kaugus 
Ja 
võrdub 7 cm:
cm 4. (A)
Avaldise (a) lahendamine lõigu suuruse jaoks 
, saame:
cm.
Näide 4.4. Kummal joonisel 4.12 näidatud joonistel on suurem inertsimoment telje suhtes 
kui mõlemal kujundil on sama pindala 
cm 2?
1. Avaldame kujundite pindalad nende suuruste järgi ja määrame:
a) ümmarguse sektsiooni ristlõike läbimõõt:
cm 2; Kus 
cm.
b) ruudu külje suurus:
; Kus 
cm.
2. Arvutage ringlõike inertsimoment:
cm 4.
3. Arvutage ruutlõike inertsimoment:
cm 4.
Saadud tulemusi võrreldes jõuame järeldusele, et ruutlõikel on suurim inertsimoment võrreldes sama pindalaga ringikujulise lõiguga.
Näide 4.5. Määrake ristkülikukujulise lõigu polaarinertsimoment (cm 4) selle raskuskeskme suhtes, kui lõigu laius 
cm, sektsiooni kõrgus 
cm.
1. Leia lõigu inertsmomendid horisontaali suhtes 
ja vertikaalne 
kesksed inertsteljed:
cm 4; 
cm 4.
2. Määrame lõigu polaarse inertsmomendi telje inertsmomentide summana:
cm 4.
Näide 4.6. Määrake joonisel 4.13 näidatud kolmnurkse kujundi inertsimoment kesktelje suhtes 
, kui kujundi inertsmoment telje suhtes 
võrdne 2400 cm 4.
Kolmnurkse lõigu inertsimoment inertsi peatelje suhtes 
on väiksem võrreldes inertsmomendiga telje suhtes 
summa järgi 
. Seetõttu, millal 
cm lõigu inertsimoment telje suhtes 
leiame selle järgmiselt.
1. Aksiaalsed inertsmomendid vastastikku risti olevate telgede suhtes x0a (kattub kolmnurga külgedega) (joon. 2.17).
Inertsmomendi määramiseks telje suhtes X Valime elementaarala lõpmata väikese laiusega riba kujul dу, teljega paralleelne X, distantsil juures temalt. Saidi ala
. Riba pikkus kõrval) määrame kolmnurkade sarnasuse alusel alustega kõrval) Ja b,
kus 
. Siis 
. Selle asendamine suhe avaldisesse Ix(2.21) ja lõimimise piiride määramine “0- h", saame
.
Defineeritud sarnaselt I y.
2. Tsentrifugaalne inertsimoment telgede suhtes x0a (kattub kolmnurga külgedega)
Tsentrifugaalne inertsimoment vastavalt määratlusele on võrdne
Kasutame sama elementaarset platvormi, mis varem (vt joonis 2.17). Koordinaadina X võtame elementaarplatvormi raskuskeskme koordinaadi
.
Asendame selle avaldise ja ka valemi dA integraali all ja integreeri vahemikus 0 kuni h
Seega on täisnurkse kolmnurga kujul oleva lõigu inertsimomentide valemid jalgadega kokkulangevate telgede suhtes kujul
Pange tähele, et vaadeldava lõigu puhul pakuvad suuremat huvi kolmnurga jalgadega paralleelsete kesktelgede (CO) inertsimomendid.
3. Inertsmomendid vastastikku risti olevate tsentrite suhtes x koos v-ga koos (paralleelselt kolmnurga külgedega)
Täisnurkse kolmnurga telgede suhtes inertsmomentide valemid x koos v-ga koos(vt. joon. 2.17) saab hõlpsasti saada kasutades avaldisi (2.24), aga ka teoreemi telgede paralleeltõlke kohta, mille kohaselt:
aksiaalsed inertsmomendid 
; 
;
tsentrifugaalne inertsimoment 
.
Siin: A, e– lõigu raskuskeskme koordinaadid koordinaatsüsteemis x0a
Asendades need avaldised ja ka seosed (2.24) ülaltoodud valemitega, saame
(2.25)
Pange tähele, et lõigu orientatsioon telgede suhtes mõjutab tsentrifugaalse inertsimomendi märki. Vaadeldava orientatsiooni jaoks selgus, et<0. Действительно, на рис.2.17 видно, что большая часть сечения лежит в области с отрицательным произведением координат X´ juures(teine ja neljas koordinaatveerand). See määrab tekkiva tsentrifugaalse inertsmomendi negatiivse märgi. Allpool on diagrammid täisnurkse kolmnurga erineva orientatsiooniga keskpunktide suhtes, mis on paralleelsed külgedega, mille jaoks märk on näidatud.
Lõigu aksiaalne (või ekvatoriaalne) inertsmoment teatud telje suhtes on elementaarpindade korrutised, mis on võetud kogu selle ala F ulatuses nende kauguste ruutudega sellest teljest, s.o.
Lõigu polaarinertsmoment teatud punkti (pooluse) suhtes on elementaarpindade korrutiste summa, mis on võetud kogu selle ala F üle nende kauguste ruutudega sellest punktist, s.o.
Lõigu tsentrifugaalinertsimoment mingi kahe vastastikku risti asetseva telje suhtes on kogu selle ala F ja nende kauguste summa nendest telgedest, s.o.
Inertsimomente väljendatakse jne.
Aksiaalsed ja polaarsed inertsmomendid on alati positiivsed, kuna nende avaldised integraalmärkide all sisaldavad pindalade väärtusi (alati positiivseid) ja nende alade kauguste ruute antud teljest või poolusest.
Joonisel fig. 9.5, a näitab F-alaga lõiku ning y- ja z-telge. Selle lõigu aksiaalsed inertsmomendid y-telgede suhtes:
Nende inertsimomentide summa
ning seetõttu
Seega on lõigu aksiaalsete inertsimomentide summa kahe vastastikku risti asetseva telje suhtes võrdne selle lõigu polaarse inertsmomendiga nende telgede lõikepunkti suhtes.
Tsentrifugaalsed inertsmomendid võivad olla positiivsed, negatiivsed või nullid. Näiteks joonisel fig. 9.5, a, y ja telgede suhtes on positiivne, kuna selle jaotise põhiosa puhul, mis asub esimeses kvadrandis, on väärtused ja seega positiivsed.
Kui muudate y-telje positiivset suunda või vastupidist suunda (joonis 9.5, b) või pöörate mõlemat telge 90° (joonis 9.5, c), muutub tsentrifugaalinertsimoment negatiivseks (selle absoluutväärtus ei muutu), kuna osa põhiosa paikneb siis kvadrandis, mille y-koordinaadid on positiivsed ja z-koordinaadid negatiivsed. Kui muudate mõlema telje positiivsed suunad vastupidiseks, ei muuda see tsentrifugaalinertsmomendi märki ega suurust.
Vaatleme kujundit, mis on sümmeetriline ühe või mitme telje suhtes (joonis 10.5). Joonistame teljed nii, et vähemalt üks neist (antud juhul y-telg) langeb kokku joonise sümmeetriateljega. Sel juhul vastab iga teljest paremal asuv platvorm samale platvormile, mis asub sümmeetriliselt esimesega, kuid y-teljest vasakul. Selliste sümmeetriliselt paiknevate platvormide iga paari tsentrifugaalne inertsmoment on võrdne:
Seega
Seega on lõigu tsentrifugaalinertsimoment telgede suhtes, millest üks või mõlemad langevad kokku selle sümmeetriatelgedega, võrdne nulliga.
Kompleksse lõigu teljesuunaline inertsimoment teatud telje suhtes on võrdne selle koostisosade teljeinertsmomentide summaga sama telje suhtes.
Samamoodi on kompleksse lõigu tsentrifugaalinertsimoment kahe vastastikku risti asetseva telje suhtes võrdne selle koostisosade tsentrifugaalinertsimomentide summaga samade telgede suhtes. Samuti on kompleksse lõigu polaarne inertsimoment teatud punkti suhtes võrdne selle koostisosade polaarsete inertsimomentide summaga sama punkti suhtes.
Tuleb meeles pidada, et erinevate telgede ja punktide kohta arvutatud inertsimomente ei saa summeerida.
Konstruktsioonide osade tugevuse kontrollimisel tuleb kokku puutuda üsna keeruka kujuga lõikudega, mille puhul pole inertsimomenti nii lihtsalt võimalik arvutada, nagu kasutasime ristküliku ja ringi puhul.
Selline sektsioon võib olla näiteks T-varras (joon. 5 A) painduva toru rõngakujuline osa (lennuki konstruktsioonid) (joon. 5, b), võlli kannu rõngakujuline osa või isegi keerulisemad sektsioonid. Kõik need jaotised võib jagada lihtsateks, näiteks ristkülikuteks, kolmnurkadeks, ringideks jne. Võib näidata, et nii keerulise kujundi inertsmoment on nende osade inertsimomentide summa, milleks me selle jagame.
Joonis 5. T-tüüpi sektsioonid - a) ja rõngas b)
On teada, et mis tahes kujundi inertsimoment telje suhtes juures— juures võrdne:
Kus z— elementaarpatjade kaugus teljest juures—juures.
Jagame võetud ala neljaks osaks: , , ja . Nüüd saate inertsmomendi arvutamisel rühmitada terminid integrandi funktsioonis nii, et iga valitud nelja ala jaoks eraldi liita, ja seejärel need summad liita. See ei muuda integraali väärtust.
Meie integraal jagatakse neljaks integraaliks, millest igaüks katab ühte aladest ja:
Igaüks neist integraalidest tähistab ala vastava osa inertsimomenti telje suhtes juures— juures; Sellepärast
kus on inertsimoment telje suhtes juures — juures pindala, - sama ala jne.
Saadud tulemuse saab sõnastada järgmiselt: komplekskuju inertsmoment võrdub selle moodustavate osade inertsimomentide summaga. Seega peame suutma arvutada mis tahes kujundi inertsmomenti selle tasapinnal asuva telje suhtes.
Selle probleemi lahenduseks on selle ja kahe järgmise intervjuu sisu.
Inertsimomendid paralleelsete telgede suhtes.
Mis tahes kujundi inertsmomendi arvutamiseks mis tahes telje suhtes kõige lihtsamate valemite saamine lahendatakse mitmes etapis. Kui võtta rida üksteisega paralleelseid telgesid, selgub, et me saame hõlpsalt arvutada kujundi inertsmomenti mis tahes nende telgede suhtes, teades selle inertsimomenti kujundi raskuskeset läbiva telje suhtes. paralleelselt valitud telgedega.
Joonis 1. Arvutusmudel paralleeltelgede inertsimomentide määramiseks.
Nimetame telgi, mis läbivad raskuskeset keskteljed. Võtame (joonis 1) suvalise kujundi. Joonistame kesktelje OU, nimetame selle telje suhtes inertsmomenti . Joonistame joonise tasapinnale telje paralleelselt teljed juures temast kaugel. Leiame seose ja - inertsmomendi telje suhtes. Selleks kirjutame avaldised ja . Jagame joonise pindala piirkondadeks; iga sellise platvormi kaugused telgedest juures ja helistame ja . Siis
Jooniselt 1 on meil:
Esimene neist kolmest integraalist on inertsimoment kesktelje suhtes OU. Teine on staatiline moment sama telje ümber; see on võrdne nulliga, kuna telg juures läbib kujundi raskuskeskme. Lõpuks võrdub kolmas integraal joonise pindalaga F. Seega
| (1) |
see tähendab, et inertsmoment mis tahes telje ümber on võrdne inertsmomendiga antud teljega paralleelse kesktelje suhtes, millele lisandub joonise pindala ja telgede vahelise kauguse ruudu korrutis.
See tähendab, et meie ülesanne on nüüd taandatud ainult kesksete inertsimomentide arvutamisele; kui me neid teame, saame arvutada inertsimomendi mis tahes muu telje suhtes. Valemist (1) järeldub, et keskne inertsimoment on kõige väiksem paralleeltelgede inertsmomentide hulgas ja selle jaoks saame:
Leiame ka tsentraalsete telgedega paralleelsete telgede tsentrifugaalse inertsimomendi, kui see on teada (joonis 1). Kuna definitsiooni järgi
kus: , siis järgneb
Kuna kaks viimast integraali esindavad pindala staatilisi momente kesktelgede ümber OU Ja Oz siis nad kaovad ja seetõttu:
| (2) |
Tsentrifugaalne inertsimoment vastastikku risti olevate telgede süsteemi suhtes, mis on paralleelsed kesktelgedega, on võrdne tsentrifugaalse inertsmomendiga nende kesktelgede suhtes pluss joonise pindala ja selle raskuskeskme koordinaatide korrutis uute telgede suhtes.
Inertsimomentide seos telgede pööramisel.
Saate joonistada nii palju kesktelge, kui soovite. Tekib küsimus, kas on võimalik väljendada inertsimomenti mis tahes kesktelje suhtes sõltuvalt inertsimomendist umbes ühe või kahe teatud teljed. Selleks vaatame, kuidas inertsmomendid muutuvad kahe vastastikku risti asetseva telje ümber, kui neid nurga all pöörata.
Võtame kujundi ja joonistame selle läbi selle raskuskeskme KOHTA kaks vastastikku risti olevat telge OU Ja Oz(Joon.2).
Joonis 2. Arvutusmudel pööratud telgede inertsmomentide määramiseks.
Andke meile teada nende telgede aksiaalsed inertsmomendid, samuti tsentrifugaalinertsimoment. Joonistame teise koordinaattelgede süsteemi, mis on esimese suhtes nurga all kallutatud; telgede ümber punkti pööramisel arvestame selle nurga positiivset suunda KOHTA vastupäeva. Päritolu KOHTA salvestada. Avaldagem teise koordinaattelgede süsteemi suhtes momendid ja läbi teadaolevate inertsimomentide ja .
Kirjutame nende telgede inertsimomentide avaldised:
Samamoodi:
Ülesannete lahendamiseks võite vajada valemeid ühelt teljelt teistele üleminekuks tsentrifugaalinertsmomendi jaoks. Telgede pööramisel (joonis 2) on meil:
kus ja arvutatakse valemite (14.10) abil; Siis
Pärast teisendusi saame:
| (7) |
Seega, et arvutada inertsmomenti mis tahes kesktelje suhtes, peate teadma inertsimomente kahe vastastikku risti asetseva kesktelje süsteemi suhtes. OU Ja Oz, tsentrifugaalne inertsimoment samade telgede suhtes ja telje kaldenurk telje suhtes juures.
Väärtuste> arvutamiseks peate valima sellised teljed juures Ja z ja jagage joonise pindala sellisteks osadeks, et saaksite seda arvutust teha, kasutades ainult valemeid üleminekuks iga komponendi kesktelgedelt nendega paralleelsetele telgedele. Kuidas seda praktikas teha, näidatakse allpool näite abil. Pange tähele, et selles arvutuses tuleb keerulised arvud jagada sellisteks elementaarseteks osadeks, mille jaoks on võimaluse korral teada kesksete inertsimomentide väärtused vastastikku risti asetsevate telgede süsteemi suhtes.
Pange tähele, et tuletamise käik ja saadud tulemused ei oleks muutunud, kui koordinaatide alguspunkt oleks võetud mitte lõigu raskuskeskmest, vaid mis tahes muust punktist KOHTA. Seega on valemid (6) ja (7) valemid üleminekuks ühest vastastikku risti asetsevate telgede süsteemist teise, mis on pööratud teatud nurga võrra, olenemata sellest, kas need on keskteljed või mitte.
Valemitest (6) on võimalik saada teine seos telgede pööramise inertsmomentide vahel. Lisades avaldised ja saame
st mis tahes vastastikku risti asetsevate telgede inertsmomentide summa juures Ja z ei muutu, kui neid pöörata. Asendades nende väärtuste asemel viimase avaldise, saame:
kus on saitide kaugus dF punktist KOHTA. Suurus on, nagu juba teada, lõigu polaarne inertsmoment punkti suhtes KOHTA.
Seega on lõigu polaarne inertsmoment mis tahes punkti suhtes võrdne seda punkti läbivate vastastikku risti olevate telgede teljeliste inertsimomentide summaga. Seetõttu jääb see summa telgede pööramisel konstantseks. Seda sõltuvust (14.16) saab kasutada inertsimomentide arvutamise lihtsustamiseks.
Niisiis, ringi jaoks:
Kuna sümmeetria järgi ringi jaoks siis
mis saadi ülalpool integreerimise teel.
Samamoodi saab õhukese seinaga rõngakujulise sektsiooni jaoks saada:
Peamised inertsteljed ja peamised inertsimomendid.
Nagu juba teada, saate keskseid inertsmomente teades ja antud joonise korral arvutada inertsmomendi mis tahes muu telje suhtes.
Sel juhul on võimalik võtta peamise telgede süsteemina selline süsteem, milles valemid on oluliselt lihtsustatud. Nimelt on võimalik leida koordinaattelgede süsteem, mille tsentrifugaalinertsimoment on võrdne nulliga. Tegelikult on inertsmomendid alati positiivsed, nagu positiivsete liikmete summa, kuid tsentrifugaalmoment
võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed, kuna terminid zydF võib olenevalt märkidest olla erineva märgiga z Ja juuresühe või teise saidi jaoks. See tähendab, et see võib olla võrdne nulliga.
Nimetatakse telgi, mille ümber tsentrifugaalinertsimoment kaob põhiteljed inerts. Kui sellise süsteemi algus asetada figuuri raskuskeskmesse, siis need on peamised keskteljed. Tähistame need teljed ja ; neile
Leiame, millise nurga all on põhiteljed kesktelgede y ja z suhtes kaldu (joon. 198).
Joonis 1. Arvutusmudel peamiste inertsitelgede asukoha määramiseks.
Tuntud väljendis telgedest liikumiseks yz telgedele, tsentrifugaalse inertsmomendi jaoks anname nurgale väärtuse; siis teljed ja langevad kokku põhilistega ning tsentrifugaal-inertsmoment on võrdne nulliga:
| (1) |
See võrrand on täidetud kahe väärtusega , mis erinevad 180°, või kahe väärtusega , mis erinevad 90° võrra. Nii et see võrrand annab meile positsiooni kaks telge, moodustades üksteisega täisnurga. Need on peamised keskteljed ja , mille jaoks .
Selle valemi abil saate teadaolevate abil saada valemeid peamiste inertsimomentide ja . Selleks kasutame taas üldpositsiooni aksiaalsete inertsimomentide avaldisi. Nad määravad väärtused ja kui me asendame
| (2) |
Tekkivaid suhteid saab kasutada probleemide lahendamiseks. Üks peamisi inertsimomente on, teine.
Valemid (2) saab teisendada väärtusest vabaks vormiks. Väljendades ja läbides ja asendades nende väärtused esimesse valemisse (2), saame, samal ajal asendades valemist (1):
Asendades siin murdosa valemist (1) väärtusega
saame
| (3) |
Sama avaldise saab saavutada teise valemi (3) sarnase teisendusega.
Kesktelgede põhisüsteemi jaoks, kust saab liikuda ükskõik millisele teisele, võib võtta OU Ja Oz, ja põhiteljed ja ; siis tsentrifugaalinertsimomenti () valemitesse ei kuvata. Tähistame telje , (joonis 2) ja peatelje poolt moodustatud nurka . Arvutamiseks ja, liikudes telgedest ja, peate asendama nurga läbi , a ja varem leitud avaldistes , ja , ja , ja . Selle tulemusena saame:
Välimuselt on need valemid täiesti sarnased normaal- ja nihkepingete valemitega piki kahte üksteisega risti asetsevat ala elemendis, mis on allutatud kahes suunas pingele. Näitame ainult valemit, mis võimaldab meil valida kahe nurga väärtuse hulgast selle, mis vastab esimese peatelje kõrvalekaldele (andes max J) telje algasendist juures:
Nüüd saame lõpuks sõnastada, mida tuleb teha, et oleks võimalik kõige lihtsamal viisil arvutada kujundi inertsmoment mis tahes telje suhtes. Läbi figuuri raskuskeskme on vaja tõmmata teljed OU Ja Oz nii, et jagades joonise selle kõige lihtsamateks osadeks, saame hõlpsalt arvutada raskuskeskmest kaugemal (joonis 2) mööduvad momendid:
Paljudel juhtudel on võimalik kohe joonistada joonise põhiteljed; kui joonisel on sümmeetriatelg, siis on see üks peamistest telgedest. Tegelikult käsitlesime valemi tuletamisel juba integraali, mis on lõigu tsentrifugaalinertsimoment telgede suhtes juures Ja z; on tõestatud, et kui telg Oz on sümmeetriatelg, see integraal kaob.
Seega antud juhul teljed OU Ja Oz on peamine lõigu kesksed inertsteljed. Seega sümmeetriatelg- alati peamine kesktelg; teiseks Kodu kesktelg läbib raskuskeskme risti sümmeetriateljega.
Näide. Leidke ristküliku (joonis 3) inertsimomendid telgede suhtes ja on võrdsed:
Inertsmomendid telgede suhtes ja on võrdsed:
Tsentrifugaalne inertsimoment on võrdne.
