X-telje ümber pöörleva keha ruumala on parameetriline. Parameetriliselt määratletud kõveraga piiratud joonise pindala arvutamine. Lameda kujundi ümber telje pöörlemisel tekkinud keha ruumala arvutamine

Sektsioonid: Matemaatika

Tunni tüüp: kombineeritud.

Tunni eesmärk:õppida arvutama pöördekehade ruumalasid integraalide abil.

Ülesanded:

kinnistada oskust valida mitmete geomeetriliste kujundite hulgast kõverjoonelisi trapetse ja arendada kõverjooneliste trapetside pindalade arvutamise oskust;
tutvuda ruumilise kujundi mõistega;
õppida arvutama pöördekehade ruumalasid;
arengule kaasa aidata loogiline mõtlemine, pädev matemaatiline kõne, täpsus jooniste koostamisel;
kasvatada huvi aine vastu, opereerida matemaatiliste mõistete ja kujunditega, kasvatada tahet, iseseisvust, visadust lõpptulemuse saavutamisel.

Tundide ajal

I. Organisatsioonimoment.

Rühma tervitus. Õpilastele tunni eesmärkidest teavitamine.

Peegeldus. Rahulik meloodia.

Tahaksin tänast õppetundi alustada tähendamissõnaga. “Oli üks tark mees, kes teadis kõike. Üks inimene tahtis tõestada, et tark ei tea kõike. Liblikat kätes hoides küsis ta: "Ütle mulle, salvei, milline liblikas on minu käes: surnud või elus?" Ja ta ise mõtleb: "Kui elav ütleb, ma tapan ta, kui surnu ütleb, lasen ta välja." Mõeldes tark vastas: "Kõik teie kätes". (Esitlus.Libisema)

- Seetõttu töötagem täna viljakalt, omandagem uus teadmistepagas ning rakendame omandatud oskusi ja vilumusi edasises elus ja praktilises tegevuses. "Kõik teie kätes".

II. Varem õpitud materjali kordamine.

Vaatame üle eelnevalt uuritud materjali põhipunktid. Selleks täidame ülesande "Eemalda üleliigne sõna."(Libisema.)

(Õpilane läheb I.D.-sse kustutuskummi abil ja eemaldab lisasõna.)

- Õige "Diferentsiaal". Proovige nimetada ülejäänud sõnad ühe ühise sõnaga. (Integraalarvutus.)

- Meenutagem integraalarvutusega seotud põhietappe ja mõisteid.

"Matemaatiline kamp".

Harjutus. Taasta pääsmed. (Õpilane tuleb välja ja kirjutab pastapliiatsiga vajalikud sõnad.)

- Integraalide rakendamise aruannet kuuleme hiljem.

Töö vihikutes.

– Newtoni-Leibnizi valemi töötasid välja inglise füüsik Isaac Newton (1643–1727) ja saksa filosoof Gottfried Leibniz (1646–1716). Ja see pole üllatav, sest matemaatika on keel, mida loodus ise räägib.

– Mõelge, kuidas seda valemit kasutatakse praktiliste ülesannete lahendamisel.

Näide 1: Arvutage joontega piiratud kujundi pindala

Lahendus: ehitage edasi koordinaattasand funktsiooni graafikud . Valige leitava kujundi ala.

III. Uue materjali õppimine.

- Pöörake tähelepanu ekraanile. Mis on esimesel pildil näidatud? (Libisema) (Joonisel on lame kujund.)

Mis on teisel pildil näidatud? Kas see kuju on tasane? (Libisema) (Joonis näitab kolmemõõtmelist joonist.)

kosmoses, maa peal ja sees Igapäevane elu me ei kohtu mitte ainult lamedate, vaid ka kolmemõõtmeliste kujunditega, kuid kuidas arvutada selliste kehade ruumala? Näiteks planeedi, komeedi, meteoriidi vms maht.

– Mõelge mahule ja majade ehitamisele ning vee ühest anumast teise valamisele. Oleksid pidanud tekkima reeglid ja meetodid mahtude arvutamiseks, teine asi on see, kui täpsed ja põhjendatud need olid.

Tudengisõnum. (Tyurina Vera.)

1612. aasta oli Austria linna Linzi, kus elas tollane kuulus astronoom Johannes Kepler, elanikele, eriti viinamarjade osas, väga viljakas. Inimesed valmistasid veinivaate ja tahtsid teada, kuidas nende mahtu praktiliselt määrata. (Slaid 2)

- Seega tähistasid Kepleri vaadeldavad tööd terve uurimistöö voo algust, mis kulmineerus 17. sajandi viimasel veerandil. disain I. Newtoni ja G.V. Leibnizi diferentsiaal- ja integraalarvutus. Sellest ajast alates on suurusmuutujate matemaatika võtnud matemaatiliste teadmiste süsteemis juhtiva koha.

- Nii et täna tegeleme selliste praktiliste tegevustega, seetõttu

Meie tunni teema: "Pöördekehade mahtude arvutamine kindla integraali abil." (Libisema)

- Saate teada revolutsiooni keha määratluse, täites järgmise ülesande.

"Labürint".

Labürint (kreeka sõna) tähendab läbipääsu vangikongi. Labürint on keeruline radade, käikude, ruumide võrgustik, mis omavahel suhtlevad.

Kuid määratlus "jooks kokku", vihjeid oli noolte kujul.

Harjutus. Leidke segasest olukorrast väljapääs ja kirjutage definitsioon üles.

Libisema. “Juhendkaart” Mahtude arvutamine.

Kindla integraali abil saate arvutada keha, eriti pöördekeha ruumala.

Pöördekeha on keha, mis saadakse kõverjoonelise trapetsi pööramisel ümber oma aluse (joon. 1, 2).

Pöördekeha ruumala arvutatakse ühe valemiga:

1. ümber x-telje.

2. , kui kõverjoonelise trapetsi pöörlemine ümber y-telje.

Iga õpilane saab juhendamiskaardi. Õpetaja toob välja peamised punktid.

Õpetaja selgitab tahvlil olevate näidete lahendust.

Mõelge katkendile A. S. Puškini kuulsast muinasjutust "Lugu tsaar Saltanist, tema kuulsusrikkast ja võimsast pojast vürst Gvidon Saltanovitšist ja kaunist printsess Lebedist" (4. slaid):

…..
Ja tõi purjus käskjala
Samal päeval on tellimus järgmine:
"Tsaar annab oma bojaaridele käsu,
Ei raiska aega,
Ja kuninganna ja järglased
Salaja vete kuristikku visatud.
Midagi pole teha: bojaarid,
Olles leinanud suverääni
Ja noor kuninganna
Tema magamistuppa tuli rahvas.
Kuulutas kuningliku testamendi -
Tal ja ta pojal on kuri saatus,
Lugege dekreeti ette
Ja kuninganna samal ajal
Nad panid mind koos pojaga tünni,
Palvetas, veeretas
Ja nad lasid mind okianisse -
Nii käskis tsaar Saltan.

Kui suur peaks olema tünni maht, et kuninganna ja tema poeg sinna ära mahuksid?

– Kaaluge järgmisi ülesandeid

1. Leidke joontega piiratud kõverjoonelise trapetsi y-telje ümber pööramisel saadud keha ruumala: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Vastus: 1163 cm 3 .

Leidke keha ruumala, mis on saadud paraboolse trapetsi pööramisel ümber abstsissi y = , x = 4, y = 0.

IV. Uue materjali kinnitamine

Näide 2. Arvutage kroonlehe ümber x-telje pöörlemisel tekkinud keha maht y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Joonistame funktsiooni graafikud. y=x2, y2=x. Ajakava y 2 = x teisendada vormile y= .

Meil on V \u003d V 1 - V 2 Arvutame iga funktsiooni helitugevuse

- Vaatame nüüd Moskva raadiojaama torni Shabolovkal, mis on ehitatud imelise vene inseneri, auakadeemiku V. G. Shukhovi projekti järgi. See koosneb osadest - revolutsiooni hüperboloididest. Pealegi on igaüks neist valmistatud sirgjoonelistest metallvarrastest, mis ühendavad külgnevaid ringe (joonis 8, 9).

- Mõelge probleemile.

Leidke hüperbooli kaare pööramisel saadud keha ruumala ümber oma kujuteldava telje, nagu on näidatud joonisel fig. 8, kus

kuubik ühikut

Grupiülesanded. Õpilased loosivad ülesannetega, joonistatakse whatmani paberile, üks rühma esindajatest kaitseb tööd.

1. rühm.

Löö! Löö! Veel üks tabamus!
Pall lendab väravasse - PALL!
Ja see on arbuusipall
Roheline, ümar, maitsev.
Vaata parem – milline pall!
See koosneb ringidest.
Lõika arbuus ringideks
Ja maitse neid.

Leia keha ruumala, mis on saadud funktsiooni OX-telje ümber pööramisel, mis on piiratud funktsiooniga

Viga! Järjehoidja pole määratletud.

- Ütle mulle, palun, kus me selle kujuga kohtume?

Maja. ülesanne rühmale 1. SILINDER (libisema) .

"Silinder - mis see on?" küsisin isalt.
Isa naeris: Siiber on müts.
Omama esitus on õige,
Ütleme, et silinder on plekkpurk.
Auruti toru on silinder,
Toru ka meie katusel,

Kõik torud on sarnased silindriga.
Ja ma tõin sellise näite -
Minu armastatud kaleidoskoop
Sa ei saa temalt silmi ära võtta.
Samuti näeb see välja nagu silinder.

- Harjutus. Kodutöö joonistage funktsioon ja arvutage helitugevus.

2. rühm. KOONUS (libisema).

Ema ütles: Ja nüüd
Koonusest jääb minu lugu.
Stargazer kõrge mütsiga
Loeb tähti aastaringselt.
KOONUS - tähevaatleja müts.
Seda ta on. Sai aru? See on kõik.
Ema oli laua taga
Ta valas õli pudelitesse.
- Kus on lehter? Lehter puudub.
Vaata. Ära seisa kõrval.
- Ema, ma ei liigu paigast ära,
Räägi mulle koonusest lähemalt.
- Lehter on kastekannu koonuse kujul.
Tule, otsi mind kiiresti üles.
Ma ei leidnud lehtrit
Aga ema tegi koti,
Mähi papp ümber sõrme
Ja osavalt kirjaklambriga kinnitatud.
Õli kallab, ema on rahul
Koonus tuli täpselt välja.

Harjutus. Arvutage ümber x-telje pööramisel saadud keha ruumala

Maja. ülesanne 2. rühmale. PÜRAMID(libisema).

Ma nägin pilti. Sellel pildil
Liivakõrbes on PÜRAMID.
Kõik püramiidis on erakordne,
Selles on mingi salapära ja salapära.
Spasskaja torn Punasel väljakul
Nii lapsed kui ka täiskasvanud on hästi tuntud.
Vaadake torni - välimuselt tavaline,
Mis tal peal on? Püramiid!

Harjutus. Kodutöö joonistage funktsioon ja arvutage püramiidi ruumala

- Arvutasime erinevate kehade ruumalad kehade ruumalade põhivalemi alusel integraali abil.

See on veel üks kinnitus, et kindel integraal on matemaatika õppimise alus.

"Nüüd puhkame natuke."

Leia paar.

Mängib matemaatiline doominomeloodia.

"Teed, mida ta ise otsis, ei unustata kunagi ..."

Uurimistöö. Integraali rakendamine majanduses ja tehnoloogias.

Testid tugevatele õppijatele ja matemaatika jalgpall.

Matemaatika simulaator.

2. Nimetatakse antud funktsiooni kõigi antiderivaatide hulk

A) määramatu integraal

B) funktsioon,

B) eristamine.

7. Leidke joontega piiratud kõverjoonelise trapetsi abstsisstelje ümber pööramisel saadud keha ruumala:

D/Z. Arvutage pöördekehade mahud.

Peegeldus.

Peegelduse aktsepteerimine vormis cinquain(viis rida).

1. rida - teema nimi (üks nimisõna).

2. rida - teema lühikirjeldus, kaks omadussõna.

3. rida – selle teema raames toimuva tegevuse kirjeldus kolme sõnaga.

4. rida - neljasõnaline fraas, näitab suhtumist teemasse (terve lause).

5. rida on sünonüüm, mis kordab teema olemust.

Helitugevus.
Kindel integraal, integreeritav funktsioon.
Ehitame, pöörame, arvutame.
Keha, mis saadakse kõverjoonelise trapetsi pööramisel (ümber selle aluse).
Revolutsiooni keha (3D geomeetriline keha).

Järeldus (libisema).

Kindel integraal on omamoodi vundament matemaatika õppimiseks, mis annab asendamatu panuse praktilise sisuga probleemide lahendamisel.
Teema "Integraal" demonstreerib ilmekalt matemaatika ja füüsika, bioloogia, majanduse ja tehnoloogia seost.
Areng kaasaegne teadus mõeldamatu ilma integraali kasutamata. Sellega seoses on vaja seda õppima asuda keskerihariduse raames!

Hindamine. (Komentaariga.)

Suur Omar Khayyam on matemaatik, luuletaja ja filosoof. Ta kutsub olema oma saatuse peremees. Kuula katkendit tema teosest:

Ütlete, et see elu on vaid hetk.
Hinda seda, ammuta sellest inspiratsiooni.
Nii nagu kulutad, nii see möödub.
Ärge unustage: ta on teie looming.

Leiame keha ruumala, mis tekib tsükloidkaare pöörlemisel ümber selle aluse. Roberval leidis selle, purustades saadud munakujulise keha (joon. 5.1) lõpmata õhukesteks kihtideks, kirjutades nendesse kihtidesse silindrid ja liites nende mahud. Tõestus on pikk, tüütu ja mitte täiesti range. Seetõttu pöördume selle arvutamiseks kõrgema matemaatika poole. Seadistame tsükloidi võrrandi parameetriliselt.

Integraalarvutuses kasutab ta mahtude uurimisel järgmist märkust:

Kui kõverjoonelist trapetsi piirav kõver on antud parameetriliste võrranditega ja nendes võrrandites olevad funktsioonid vastavad teoreemi muutuja muutumise kohta teatud integraalis, siis trapetsi pöörleva keha maht ümber Ox-telje arvutatakse järgmise valemiga:

Kasutame seda valemit vajaliku helitugevuse leidmiseks.

Samamoodi arvutame selle keha pinna.

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – maksumus), 0 ? t ? 2р)

Integraalarvutuses on parameetriliselt (t 0 ?t ?t 1) segmendile määratud kõvera x-telje ümber pöörleva keha pindala leidmiseks järgmine valem:

Rakendades seda valemit meie tsükloidi võrrandile, saame:

Vaatleme ka teist pinda, mis tekib tsükloidkaare pöörlemisel. Selleks ehitame tsükloidkaarele peegelpeegelduse selle aluse suhtes ning pöörame tsükloidi ja selle peegelduse moodustatud ovaalse kuju ümber KT-telje (joonis 5.2).

Kõigepealt leiame tsükloidkaare pöörlemisel ümber KT-telje tekkinud keha ruumala. Selle maht arvutatakse valemiga (*):

Seega arvutasime välja poole selle naeri keha mahu. Siis on kogumaht

Vaatleme näiteid saadud valemi rakendamisest, mis võimaldab arvutada parameetriliselt määratud joontega piiratud jooniste pindalasid.

Näide.

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud sirgega, mille parameetrilised võrrandid näevad välja nagu .

Lahendus.

Meie näites on parameetriliselt määratletud joon ellips, mille poolteljed on 2 ja 3 ühikut. Ehitame selle.

Leidke esimeses kvadrandis asuva ellipsi veerandi pindala. See ala asub intervallis . Arvutame kogu joonise pindala, korrutades saadud väärtuse neljaga.

Mis meil on:

Sest k = 0 saame intervalli . Sellel intervallil funktsioon monotoonselt vähenev (vt jaotist ). Kasutame pindala arvutamiseks valemit ja leiame Newtoni-Leibnizi valemi abil kindla integraali:

Nii et algse joonise pindala on .

Kommenteeri.

Tekib loogiline küsimus: miks võtsime ellipsist veerandi, mitte pool? Arvestada oli võimalik joonise ülemise (või alumise) poolega. Ta on vahemikus . Sel juhul oleksime seda teinud

See tähendab, et k = 0 korral saame intervalli . Sellel intervallil funktsioon monotoonselt väheneb.

Siis on poole ellipsi pindala antud

Kuid ellipsi paremat või vasakut poolt ei saa võtta.

Algpunkti ja pooltelgede a ja b keskpunktiga ellipsi parameetriline esitus on kujul . Kui tegutseme samamoodi nagu parsitud näites, saame valem ellipsi pindala arvutamiseks .

Ringjoon, mille keskpunkt on raadiuse R koordinaatide algpunktis parameetri t kaudu, on antud võrrandisüsteemiga. Kui kasutame saadud valemit ellipsi pindala jaoks, saame kohe kirjutada valem ringi pindala leidmiseks raadius R: .

Lahendame veel ühe näite.

Näide.

Arvutage parameetriliselt antud kõveraga piiratud kujundi pindala.

Lahendus.

Pisut ettepoole vaadates on kõver "piklik" astroid. (Astroidil on järgmine parameetriline esitus).

Vaatleme üksikasjalikult joonist piirava kõvera konstrueerimisel. Ehitame selle punkt-punkti haaval. Tavaliselt piisab sellisest konstruktsioonist enamiku probleemide lahendamiseks. Rohkem rasked juhtumid, kahtlemata parameetri üksikasjalik uuring antud funktsioon kasutades diferentsiaalarvutust.

Meie näites.

Need funktsioonid on defineeritud kõigi parameetri t tegelike väärtuste jaoks ning siinuse ja koosinuse omaduste põhjal teame, et need on perioodilised perioodiga kaks pi. Seega mõne funktsiooni väärtuste arvutamine (Näiteks ), saame punktide komplekti .

Mugavuse huvides sisestame tabelisse väärtused:

Märgime punktid tasapinnale ja ühendame need JÄRJESTIKULT joonega.

Arvutame esimeses koordinaatide kvartalis asuva ala pindala. Selle piirkonna jaoks .

Kell k=0 saame intervalli , millel funktsioon väheneb monotoonselt. Ala leidmiseks kasutame valemit:

Vastu võetud kindlad integraalid arvutame Newtoni-Leibnizi valemi abil ja leiame Newtoni-Leibnizi valemi antiderivaadid, kasutades vormi rekursiivset valemit , Kus .

Seetõttu on joonise neljandiku pindala , siis on kogu joonise pindala võrdne .

Samamoodi võib seda näidata astroidi piirkond asub as , ja joonega piiratud joonise pindala arvutatakse valemiga .

Tervitused, kallid Argemoni ülikooli tudengid!

Veel natuke - ja kursus saab läbi ja nüüd teeme seda.

Zhouli viipas kergelt käega – ja õhku ilmus kuju. Õigemini, see oli ristkülikukujuline trapets. See lihtsalt rippus õhus, tekitatud maagilisest energiast, mis mööda selle külgi voolas, ja keerles ka trapetsi enda sees, mis pani selle sädelema ja virvendama.
Seejärel tegi õpetaja sõrmedega kergelt märgatavalt ringikujulise liigutuse - ja trapets hakkas pöörlema ümber nähtamatu telje. Alguses aeglaselt, siis üha kiiremini - nii et õhus hakkas selgelt paistma mahuline kujund. Tundus, et maagiline energia voolas temast läbi.

Siis juhtus järgmine: figuuri ja selle sisemuse sädelevad kontuurid hakkasid mingi ainega täituma, kuma muutus üha vähem märgatavaks, kuid kuju ise tundus üha enam millegi käegakatsutava moodi. Materjali terad jaotati joonisel ühtlaselt. Ja nüüd on kõik läbi: nii pöörlemine kui ka sära. Õhus rippus lehtrit meenutav objekt. Zhouli liigutas selle õrnalt lauale.

Palun. Midagi sellist võib realiseerida paljusid objekte – pöörates mõnda lamedat kujundit ümber kujuteldavate joonte. Loomulikult on materialiseerimiseks vaja teatud kogust ainet, mis täidab kogu moodustatud ja maagilise energia abil ajutiselt hoitava mahu. Kuid selleks, et täpselt arvutada, kui palju ainet vaja on, peate teadma ka saadud keha mahtu. Vastasel juhul, kui aine on väike, ei täida see kogu mahtu ja keha võib osutuda hapraks, vigadega. Ja suure üleliigse aine materialiseerimine ja säilitamine on maagilise energia tarbetu kulu.
Aga mis siis, kui meil on ainet piiratud kogus? Siis, teades, kuidas arvutada kehade mahtu, saame hinnata, millise suurusega keha suudame ilma maagilise energia kulutamata teha.
Mis puudutab ligitõmbava materjali ülejääki, siis on veel üks mõte. Kuhu kaob liigne aine? Kas need lagunevad, kui neid ei kasutata? Või jääda kuidagi keha külge?
Üldiselt on veel, mille üle mõelda. Kui teil on mõtteid, siis kuulan neid hea meelega. Vahepeal liigume edasi sel viisil saadud kehade mahtude arvutamise juurde.
Siin käsitletakse mitmeid juhtumeid.

Juhtum 1

Pööratav ala on kõige klassikalisem kõverjooneline trapets.

Loomulikult saame seda pöörata ainult ümber OX-telje. Kui seda trapetsi nihutada horisontaalselt paremale, et see ei ristuks OY teljega, siis saab seda ümber selle telje pöörata. Mõlema juhtumi loitsuvalemid on järgmised:

Sina ja mina oleme funktsioonide põhilised maagilised efektid juba päris hästi selgeks saanud, nii et arvan, et teil ei ole vajadusel keeruline figuuri koordinaattelgedel niimoodi liigutada, et see asuks sellega töötamiseks mugavalt .

Juhtum 2

Saate pöörata mitte ainult klassikalist kõverjoonelist trapetsi, vaid ka sellist joonist:

Pöörlemisel saame omamoodi rõnga. Ja nihutades figuuri positiivsele alale, saame seda pöörata ka ümber OY telje. Saame ka sõrmuse või mitte. Kõik sõltub sellest, kuidas kujund asub: kui selle vasak piir läheb täpselt mööda OY-telge, siis rõngas ei tööta. Selliste pöördekehade ruumala saate arvutada järgmiste loitsude abil:

Juhtum 3

Tuletage meelde, et meil on imelised kõverad, kuid need pole seatud tavapärasel viisil, vaid parameetrilisel kujul. Sellised kõverad on sageli suletud. Parameetrit t tuleb muuta nii, et suletud kujund jääks seda mööda kõverat (piiri) läbides vasakule.

Seejärel peate OX- või OY-telje suhtes pöörlevate kehade mahtude arvutamiseks kasutama järgmisi loitse:

Samu valemeid saab kasutada ka mittesuletud kõverate puhul: kui mõlemad otsad asuvad OX-teljel või OY-teljel. Joonis osutub kuidagi suletuks: otsad on suletud telje segmendiga.

Juhtum 4

Mõned meie suurepärased kõverad on antud polaarkoordinaatidega (r=r(fi)). Ja siis saab figuuri ümber polaartelje pöörata. Sel juhul kombineeritakse Descartes'i koordinaatsüsteem polaarsega ja eeldatakse
x=r(fi)*cos(fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Seega jõuame kõvera parameetrilise vormini, kus parameeter fi peab muutuma nii, et kõvera läbimisel jääb ala vasakule.
Ja me kasutame loitsuvalemeid juhtumist 3.

Polaarkoordinaatide jaoks on aga olemas ka õigekirjavalem:

Muidugi saab tasapinnalisi kujundeid pöörata ka mis tahes muude joonte ümber, mitte ainult OX ja OY telgede ümber, kuid need manipulatsioonid on juba keerulisemad, seega piirdume loengus käsitletud juhtumitega.

Ja nüüd kodutöö . Ma ei anna teile konkreetseid arve. Oleme juba palju funktsioone õppinud ja ma tahaksin, et te ise ehitaksite midagi, mida maagilises praktikas vaja võib minna. Ma arvan, et neljast näitest kõigi loengus mainitud juhtumite jaoks piisab.

Enne pöördepinna pindala valemite juurde asumist anname lühidalt pöördepinna enda. Pöördepind või, mis on sama, pöördekeha pind on ruumikujund, mis moodustub segmendi pöörlemisel AB kõver ümber telje Ox(pilt allpool).

Kujutagem ette kõverjoonelist trapetsi, mis on ülalt piiratud kõvera nimetatud lõiguga. Keha, mis moodustub selle trapetsi pöörlemisel ümber sama telje Ox, ja seal on revolutsiooniline keha. Ja pöörlemispind või pöörleva keha pind on selle välimine kest, arvestamata ringe, mis on moodustunud pöörlemisel ümber joonte telje x = a Ja x = b .

Pange tähele, et pöördekeha ja vastavalt ka selle pinda saab moodustada ka figuuri pööramisel mitte ümber telje Ox ja ümber telje Oy.

Ristkülikukujuliste koordinaatidega antud pöördepinna pindala arvutamine

Laske sisse ristkülikukujulised koordinaadid tasapinnal võrrandi järgi y = f(x) on antud kõver, mille pöörlemine ümber koordinaattelje moodustab pöördekeha.

Revolutsiooni pindala arvutamise valem on järgmine:

(1).

Näide 1 Leidke ümber telje pöörlemisel tekkiva paraboloidi pindala Ox muutusele vastava parabooli kaar x alates x= 0 kuni x = a .

Lahendus. Me väljendame selgesõnaliselt funktsiooni, mis määratleb parabooli kaare:

Leiame selle funktsiooni tuletise:

Enne pöördepinna pindala leidmise valemi kasutamist kirjutame selle integrandi osa, mis on juur, ja asendame sealt just leitud tuletise:

Vastus: Kõvera kaare pikkus on

Näide 2 Leidke ümber telje pöörlemisel tekkiva pinna pindala Ox astroidid.

Lahendus. Piisab, kui arvutada pindala, mis tuleneb astroidi ühe haru pöörlemisest, mis asub esimeses kvartalis, ja korrutada see 2-ga. Astroidi võrrandis väljendame sõnaselgelt funktsiooni, mille peame valemis asendama pöörlemispinna leidmiseks:

Teostame integreerimist 0 kuni a:

Parameetriliselt antud pöörde pindala arvutamine

Vaatleme juhust, kui pöördepinna moodustav kõver on antud parameetriliste võrranditega

Seejärel arvutatakse valemi abil pöördepinna pindala

(2).

Näide 3 Leia pöördepinna pindala, mille moodustab ümber telje pöörlemine Oy tsükloidi ja sirgjoonega piiratud kujund y = a. Tsükloid on antud parameetriliste võrranditega