Paljusid numbreid ei saa täielikult jagada, jagamisel on sageli nullist erinev jääk. Selles artiklis arutame, kuidas jagada naturaalarvudülejäänud osaga ja kaaluge nende rakendamist näidete abil üksikasjalikult.
Alustame naturaalarvude jagamisest jäägiga veerus, seejärel käsitleme jagamist järjestikuse lahutamise abil. Lõpuks analüüsime mittetäieliku jagatise valimise meetodit. Esitame kõige üldisema juhtumi jaoks jäägiga jagamise algoritmi ja näitame, kuidas kontrollida naturaalarvude jäägiga jagamise tulemust.
See on üks mugavamaid jagamisviise. Seda kirjeldatakse üksikasjalikult eraldi artiklis, mis on pühendatud naturaalarvude jagamisele veeruga. Siin me ei esita kogu teooriat uuesti, vaid keskendume jäägiga jagamise juhtumile.
Anname näitelahenduse, kuna meetodi olemust on praktikas kõige lihtsam mõista.
Näide 1. Kuidas jagada naturaalarve jäägiga?
Jagage naturaalarv 273844 naturaalarvuga 97 .
Jagame veeruga ja kirjutame:
Tulemus: osajagatis on 2823 ja jääk on 13 .
Arvude jagamine jäägiga järjestikuse lahutamise teel
Mittetäieliku jagatise ja jäägi leidmiseks võite kasutada jagaja järjestikust lahutamist dividendist. See meetod ei ole alati sobiv, kuid mõnel juhul on seda väga mugav kasutada. Vaatame uuesti näidet.
Näide 2. Jagamine jäägiga järjestikuse lahutamise teel.
Oletame, et meil on 7 õuna. Peame panema need 7 õuna 3 õunaga kottidesse. Teisisõnu, 7 jagatud 3-ga.
Võtame esialgsest õunte arvust 3 tükki ja paneme need ühte pakki. Meil jääb alles 7-3 = 4 õuna. Nüüd võtame ülejäänud õuntest jälle 3 tükki ära ja paneme teise kotti. Jääb 4-3 = 1 õun.
1 õun on jaotuse ülejäänud osa, kuna selles etapis ei saa me enam kolme õunaga pakki moodustada ja jagamine on tegelikult lõpetatud. Jaotuse tulemus:
7 ÷ 3 = 2 (ülejäänud 1)
See tähendab, et arv 3 mahub justkui kaks korda numbrisse 7 ja ühik on jääk, mis on väiksem kui 3.
Vaatleme veel ühte näidet. Seekord anname ainult matemaatilisi arvutusi, kasutamata analoogiaid.
Näide 3. Jagamine jäägiga järjestikuse lahutamise teel.
Arvutame: 145 ÷ 46 .
Arv 99 on suurem kui 46, seega jätkame jagaja järjestikust lahutamist:
Kordame seda toimingut veel kord:
Selle tulemusena pidime lahutama jagaja dividendist 3 korda, enne kui saime jäägi - lahutamise tulemuse, mis on väiksem kui jagaja. Meie puhul on ülejäänud arv 7.
145 ÷ 46 = 3 (ülejäänud 7) .
Järjestikuse lahutamise meetod ei sobi, kui dividend on väiksem kui jagaja. Sel juhul saate vastuse kohe üles kirjutada: mittetäielik jagatis on null ja jääk on võrdne kõige jaguvamaga.
Kui a< b , то a ÷ b = 0 (остаток a) .
Näiteks:
12 ÷ 36 = 0 (ülejäänud 12) 47 ÷ 88 = 0 (ülejäänud 47)
Ka järjestikuse lahutamise meetodi osas tuleb märkida, et see on mugav ainult juhtudel, kui kogu jagamisoperatsioon on taandatud väikesele arvule lahutamistele. Kui dividend on jagajast mitu korda suurem, on selle meetodi kasutamine ebapraktiline ja nõuab palju tülikaid arvutusi.
Mittetäieliku jagatise valimise meetod
Naturaalarvude jagamisel jäägiga saate tulemuse arvutada, valides mittetäieliku jagatise. Näitame, kuidas saab valikuprotsessi läbi viia ja millel see põhineb.
Esiteks määrame kindlaks, milliste arvude hulgast peame otsima mittetäielikku jagatist. Jagamisprotsessi definitsioonist on selge, et mittetäielik jagatis võrdub nulliga või on üks naturaalarvudest 1, 2, 3 jne.
Teiseks loome seose jagaja, dividendi, osajagatise ja jäägi vahel. Vaatleme võrrandit d = a - b c . Siin d on jagamise jääk, a on dividend, b on jagaja, c on osajagatis.
Kolmandaks, ärgem unustagem, et jääk on alati väiksem kui jagaja.
Vaatame nüüd valikuprotsessi. Dividend a ja jagaja b on meile algusest peale teada. Mittetäieliku jagatisena võtame järjestikku arvud seeriatest 0, 1, 2, 3 jne. Rakendades valemit d = a - b c ja arvutades saadud väärtuse jagajaga, lõpetame protsessi, kui jääk d on väiksem kui jagaja b . Selles etapis c jaoks võetud arv on mittetäielik jagatis.
Vaatame selle meetodi rakendamist näitega.
Näide 4. Jagamine jäägiga valiku teel
Jagage 267 21-ga.
a = 267 b = 21. Valime mittetäieliku jagatise.
Kasutame valemit d = a - b · c ja kordame c üle, andes sellele väärtused 0 , 1 , 2 , 3 jne.
Kui c \u003d 0, on meil: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 0 = 267. Arv 267 on suurem kui 21, seega jätkame asendust.
Kui c \u003d 1 on meil: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 1 \u003d 246. Sest 246 > 21, korrake protsessi uuesti.
C \u003d 2 puhul on meil: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 2 \u003d 267 - 42 \u003d 225; 225 > 21 .
C \u003d 3 puhul on meil: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 3 \u003d 267 - 63 \u003d 204; 204 > 21 .
Väärtusega c \u003d 12 on meil: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 12 \u003d 267 - 252 \u003d 15; 15< 21 .
Naturaalarvude jäägiga jagamise algoritm
Kui eespool käsitletud osajagatise ja järjestikuste lahutamise meetodid nõuavad liiga tülikaid arvutusi, kasutatakse jäägiga jagamiseks järgmist meetodit. Vaatleme algoritmi naturaalarvu a jagamiseks arvuga b jäägiga.
Tuletage meelde, et kui a< b, неполное частное равно нулю, а остаток равен делимомому a . Мы будем рассматривать случай, когда a >b.
Sõnastame kolm küsimust ja vastame neile:
- Mida seal teatakse?
- Mida me peame leidma?
- Kuidas me seda teeme?
Esialgu on teada dividend ja jagaja: a ja b.
Tuleb leida mittetäielik jagatis c ja jääk d.
Siin on valem, mis määratleb seose dividendi, jagaja, mittetäieliku jagatise ja jäägi vahel. a = b c + d. Just selle suhte võtame naturaalarvude jäägiga jagamise algoritmi aluseks. Dividend a tuleb esitada summana a = b c + d, siis leiame vajalikud väärtused.
Jagamisalgoritm, tänu millele esitame a summana a = b c + d, on väga sarnane naturaalarvude jäägita jagamise algoritmiga. Allpool on toodud algoritmi sammud, kasutades näidet arvu 899 jagamisest 47-ga.
1. Kõigepealt vaatame dividendi ja jagajat. Selgitame välja ja jätame meelde, mitu numbrit on dividendikandes olev arv suurem kui jagajas. Meie konkreetne näide Dividendil on kolm numbrit ja jagajal on kaks numbrit.
Meenutagem seda numbrit.
2. Paremal pool jagaja kirjes lisage nullide arv, mis on määratud dividendi ja jagaja märkide arvu vahega. Meie puhul peate lisama ühe nulli. Kui kirjutatud arv on suurem kui jagatav, peate esimeses lõigus meelde jäetud arvust lahutama ühe.
Meie näites lisame 47-st paremale nulli. Alates 470< 899 , запомненное в предыдущем пункте число не нужно уменьшать на единицу. Таким образом, число 1 так и остается у нас в памяти.
3. Paremal numbril 1 omistame nullide arvu, võrdne arvuga määratletud eelmises lõigus. Meie näites, määrates ühe nulli ühele, saame arvu 10. Selle tegevuse tulemusena saime väljalaske tööüksuse, kellega töötame edasi.
4. Korrutame jagaja järgemööda 1, 2, 3-ga. . jne. töökoha ühikut, kuni saame arvu, mis on jagatavast suurem või sellega võrdne.
Meie näite töönumber on kümned. Pärast jagaja korrutamist tööbiti ühe ühikuga saame 470.
470 < 899 , поэтому умножаем на еще одну единицу рабочего разряда. Получаем: 47 · 20 = 940 ; 940 > 899 .
Eelviimasel etapil saadud arv (470 = 47 10) on esimene nõutavatest terminitest.
5. Leia erinevus dividendi ja esimese leitud tähtaja vahel. Kui saadud arv on suurem kui jagaja, jätkame teise liikme leidmist.
Kordame samme 1 - 5, kuid siin saadud numbri võtame dividendina. Kui jällegi saame jagajast suurema arvu, korrake samme 1–5 uuesti ringis, kuid dividendina uue arvuga. Jätkame seni, kuni siin saadud arv on väiksem kui jagaja. Liigume edasi viimase etapi juurde. Tulevikku vaadates oletame, et viimati saadud arv võrdub jäägiga.
Vaatame näidet. 899–470 = 429, 429 > 47. Kordame dividendina võetud numbriga 429 algoritmi samme 1 - 5.
1. Arvu 429 kandes on üks märk rohkem kui numbri 47 kandes. Me mäletame erinevust - number 1.
2. Parempoolsesse dividendi kirjesse lisame ühe nulli. Saame numbri 470. Kuna 470 > 429, lahutage eelmises lõigus meelde jäetud arvust 1 1 ja saate 1 - 1 = 0. Me mäletame 0.
3. Kuna eelmises lõigus saime numbri 0 ja jätsime selle meelde, ei pea me parempoolsele ühele nulli lisama. Seega on töönumber ühikud
4. Korrutage jagaja 47 järjestikku arvuga 1 , 2 , 3 . . jne. Me ei anna üksikasjalikke arvutusi, kuid pöörame tähelepanu lõpptulemusele: 47 9 = 423< 429 , 47 · 10 = 470 >429 . Seega on teine nõutav liige 47 9 = 423.
5. 429 ja 423 vahe on võrdne arvuga 6 . Alates 6< 47 , это третье, и последнее искомое слагаемое. Перейдем к завершающему этапу алгоритма деления столбиком.
6. Eelnevate sammude eesmärk oli esitada dividendi mitme tähtaja summana. Meie näites saime 899 = 470 + 423 + 6 . Tuletage meelde, et 470 = 47 10, 423 = 47 9. Kirjutame võrrandi ümber:
899 = 47 10 + 47 9 + 6
Rakenda korrutamise jaotusomadus.
899 = 47 10 + 47 9 + 6 = 47 (10 + 9) + 6
899 = 47 19 + 6 .
Seega esitasime dividendi eelnevalt antud valemi a \u003d b c + d kujul.
Nõutavad tundmatud: mittetäielik jagatis c \u003d 19, jääk d \u003d 6.
Muidugi otsustamisel praktilisi näiteid ei ole vaja kõiki toiminguid nii üksikasjalikult kirjeldada. Näitame seda:
Näide 5. Naturaalarvude jagamine jäägiga
Jagage arvud 42252 ja 68.
Kasutame algoritmi. Esimesed viis sammu annavad esimese liikme - arvu 40800 = 68 600 .
Kordame algoritmi viit esimest sammu uuesti arvuga 1452 = 42252 - 40800 ja saame teise liikme 1360 = 68 20
Kolmandal korral läbime aglorütmi sammud, kuid uue numbriga 92 = 1452 - 1360. Kolmas liige on võrdne 68 = 68 1 . Ülejäänud osa on 24 = 92–68.
Selle tulemusena saame:
42252 = 40800 + 1360 + 68 + 24 = 68 600 + 68 20 + 68 1 + 24 = = 68 (600 + 20 + 1) + 24 = 68 621 + 24
Mittetäielik jagatis on 621, jääk on 24.
Naturaalarvude jagamine jäägiga. Tulemuse kontrollimine
Naturaalarvude jagamine jäägiga, eriti kui suured numbrid, üsna töömahukas ja tülikas protsess. Igaüks võib arvutustes eksida. Sellepärast aitab jagamise tulemuse kontrollimine mõista, kas tegite kõik õigesti. Naturaalarvude jäägiga jagamise tulemust kontrollitakse kahes etapis.
Esimeses etapis kontrollime, kas jääk on suurem kui jagaja. Kui ei, siis on kõik hästi. Vastasel juhul võime järeldada, et midagi läks valesti.
Tähtis!
Jääk on alati väiksem kui jagaja!
Teises etapis kontrollitakse võrdsuse a = b · c + d kehtivust. Kui võrdsus pärast väärtuste asendamist osutub tõeks, viidi jagamine läbi vigadeta.
Näide 6. Naturaalarvude jäägiga jagamise tulemuse kontrollimine.
Kontrollime, kas vastab tõele, et 506 ÷ 28 = 17 (ülejäänud 30) .
Võrrelge jääki ja jagajat: 30 > 28 .
Seega on jaotus vale.
Näide 7. Naturaalarvude jäägiga jagamise tulemuse kontrollimine.
Õpilane jagas 121 13-ga ja sai selle tulemusel mittetäieliku jagatise 9 jäägiga 5. Kas ta tegi õigesti?
Selle väljaselgitamiseks võrdleme esmalt jääki ja jagajat: 5< 13 .
Esimene kontrollpunkt on läbitud, liigume teise juurde.
Kirjutame üles valemi a = b c + d. a = 121; b = 13; c = 9 d = 5.
Asendage väärtused ja võrrelge tulemusi
13 9 + 5 = 117 + 5 = 122; 121 ≠ 122
See tähendab, et õpilase arvutustesse on kuskilt sisse pugenud viga.
Näide 8. Naturaalarvude jäägiga jagamise tulemuse kontrollimine.
Õpilane esines laboritööd füüsikas. Hukkamise ajal oli tal vaja 5998 jagada 111-ga. Selle tulemusel sai ta numbri 54 jäägiga 4. Kas kõik on õigesti arvutatud?
Kontrollime! Ülejäänud osa 4 on väiksem kui jagaja 111, seega jätkame kontrollimise teise etappi.
Kasutame valemit a \u003d b c + d, kus a \u003d 5998; b = 111; c = 54; d = 4.
Pärast asendamist on meil:
5998 = 111 54 + 4 = 5994 + 4 = 5998 .
Võrdsus on õige, mis tähendab, et jaotus on õige.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Jagage jäägiga on ühe arvu jagamine teisega nii, et jääk ei oleks null.
Jagamist ei ole alati võimalik teostada, sest on juhtumeid, kus üks arv ei jagu teisega. Näiteks arv 11 ei jagu 3-ga, kuna pole sellist naturaalarvu, mis 3-ga korrutades annaks 11.
Kui jagamist ei saa läbi viia, lepiti kokku, et jagatakse mitte kõik jagatav, vaid ainult suurim osa sellest, mida saab jagada ainult jagajaks. Selles näites on 3-ga jagatud dividendi suurim osa 9 (selle tulemusena saame 3), ülejäänud väiksem osa dividendist - 2 ei jagata 3-ga.
Rääkides 11 jagamisest 3-ga, nimetatakse 11 endiselt jagatavaks, 3 on jagaja, jagamise tulemus on arv 3, nad kutsuvad puudulik privaatne ja number 2 - jaotuse ülejäänud osa. Jagamist ennast nimetatakse sel juhul jäägiga jagamiseks.
Nimetatakse mittetäielik jagatis suurim arv, mis jagajaga korrutamisel annab korrutise, mis ei ületa dividendi. Dividendi ja selle toote vahet nimetatakse jäägiks. Jääk on alati väiksem kui jagaja, vastasel juhul võiks selle jagada ka jagajaga.
Jäägiga jagamise saab kirjutada järgmiselt:
11: 3 = 3 (ülejäänud 2)
Kui ühe naturaalarvu jagamisel teisega on jääk 0, siis öeldakse, et esimene arv jagub võrdselt teisega. Näiteks 4 jagub võrdselt 2-ga. Arv 5 ei jagu isegi 2-ga. Tavaliselt jäetakse kogu sõna lühiduse mõttes välja ja öeldakse: selline ja selline arv jagub teisega, näiteks: 4 jagub 2-ga ja 5 ei jagu 2-ga.
Jäägiga jagamise kontrollimine
Jäägiga jagamise tulemust saate kontrollida järgmiselt: korrutage mittetäielik jagatis jagajaga (või vastupidi) ja lisage saadud korrutisele jääk. Kui tulemuseks on dividendiga võrdne arv, tehakse jäägiga jagamine õigesti:
11: 3 = 3 (ülejäänud 2)
Artiklis analüüsitakse täisarvude jäägiga jagamise kontseptsiooni. Tõestame teoreemi täisarvude jaguvuse kohta jäägiga ning vaatleme seoseid jagajate ja jagajate, mittetäielike jagatiste ja jääkide vahel. Mõelge reeglitele, kui teostatakse täisarvude jagamine jääkidega, olles näidetega üksikasjalikult uurinud. Lahenduse lõpus teeme kontrolli.
Üldine arusaam täisarvude jagamisest jääkidega
Täisarvude jagamist jäägiga loetakse naturaalarvude jäägiga üldistatud jagamiseks. Seda tehakse seetõttu, et naturaalarvud on täisarvude koostisosad.
Jagamine suvalise arvu jäägiga ütleb, et täisarv a jagub arvuga b , mis erineb nullist. Kui b = 0, siis jäägiga jagamist ei teostata.
Lisaks naturaalarvude jagamisele jäägiga jagatakse täisarvud a ja b, kus b erineb nullist, c ja d-ga. Sel juhul nimetatakse a ja b dividendiks ja jagajaks ning d on jagamise jääk, c on täisarv või osajagatis.
Kui eeldame, et jääk on mittenegatiivne täisarv, siis ei ole selle väärtus suurem kui arvu b moodul. Kirjutame selle nii: 0 ≤ d ≤ b . Seda ebavõrdsuse ahelat kasutatakse 3 või enama arvu võrdlemisel.
Kui c on mittetäielik jagatis, siis d on täisarvu a jagamise jääk b-ga, saate lühidalt parandada: a: b \u003d c (jääb d).
Ülejääk arvude a jagamisel b-ga on võimalik null, siis öeldakse, et a jagatakse b-ga täielikult, see tähendab ilma jäägita. Jäägita jagamist peetakse jagamise erijuhuks.
Kui jagame nulli mõne arvuga, saame tulemuseks nulli. Jaotuse ülejäänud osa on samuti null. Seda võib näha nulli täisarvuga jagamise teooriast.
Nüüd kaaluge täisarvude jäägiga jagamise tähendust.
On teada, et positiivsed täisarvud on loomulikud, siis jäägiga jagamisel saadakse sama tähendus, mis naturaalarvude jäägiga jagamisel.
Negatiivse täisarvu a jagamine positiivse täisarvuga b on mõttekas. Vaatame näidet. Kujutage ette olukorda, kus meil on esemete võlg summas a, mis tuleb tagasi maksta b inimesel. Selleks peavad kõik panustama võrdselt. Igaühe võlasumma kindlaksmääramiseks on vaja pöörata tähelepanu erasektori c väärtusele. Ülejäänud osa d näitab, et esemete arv pärast võlgade tasumist on teada.
Võtame näite õuntega. Kui 2 inimest vajavad 7 õuna. Kui arvutame, et igaüks peab tagastama 4 õuna, jääb pärast täielikku arvutust alles 1 õun. Kirjutame selle võrrandiks: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) .
Suvalise arvu a jagamine täisarvuga ei ole mõttekas, kuid valikuna on see võimalik.
Jäägiga täisarvude jaguvuse teoreem
Leidsime, et a on dividend, siis b on jagaja, c on osajagatis ja d on jääk. Need on omavahel seotud. Näitame seda seost võrrandi a = b · c + d abil. Nendevahelist seost iseloomustab jäägiga jaguvuse teoreem.
Teoreem
Iga täisarvu saab esitada ainult täisarvuna ja nullist erineva arvuna b järgmiselt: a = b · q + r , kus q ja r on mõned täisarvud. Siin on 0 ≤ r ≤ b.
Tõestame a = b · q + r olemasolu võimalikkust.
Tõestus
Kui on kaks arvu a ja b ning a jagub b-ga ilma jäägita, siis definitsioonist järeldub, et on olemas arv q, et võrdus a = b · q on tõene. Siis võib võrdsust lugeda tõeseks: a = b q + r, kui r = 0.
Siis on vaja võtta q selline, mis on antud võrratusega b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Meil on, et avaldise a − b · q väärtus on suurem kui null ja mitte suurem kui arvu b väärtus, seega järeldub, et r = a − b · q . Saame, et arvu a saab esitada kujul a = b · q + r.
Nüüd peame kaaluma võimalust esitada a = b · q + r b negatiivsete väärtuste korral.
Arvu moodul osutub positiivseks, siis saame a = b q 1 + r, kus väärtus q 1 on mingi täisarv, r on täisarv, mis sobib tingimusega 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Unikaalsuse tõend
Oletame, et a = b q + r , q ja r on täisarvud tingimusega 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 Ja r1 on mõned numbrid kus q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .
Kui ebavõrdsus lahutada vasakult ja paremalt poolt, siis saame 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 , mis on võrdne r - r 1 = b · q 1 - q . Kuna moodulit kasutatakse, saame võrdsuse r - r 1 = b · q 1 - q.
Antud tingimus ütleb, et 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q Ja q 1- terve ja q ≠ q 1, siis q 1 - q ≥ 1 . Seega saame, et b · q 1 - q ≥ b . Saadud võrratused r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
Sellest järeldub, et arvu a ei saa esitada muul viisil, välja arvatud sellise tähisega a = b · q + r.
Dividendi, jagaja, osajagatise ja jäägi vaheline seos
Võrdsuse a \u003d b c + d abil saate leida tundmatu dividendi a, kui jagaja b on teada mittetäieliku jagatisega c ja jääk d.
Näide 1
Määrake dividend, kui jagamisel saame - 21, mittetäieliku jagatise 5 ja jäägi 12.
Lahendus
On vaja arvutada dividend a teadaoleva jagajaga b = − 21, mittetäieliku jagatisega c = 5 ja jäägiga d = 12. Peame viitama võrdusele a = b c + d, siit saame a = (− 21) 5 + 12. Vastavalt toimingute järjestusele korrutame - 21 5-ga, mille järel saame (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93.
Vastus: - 93 .
Jagaja ja osajagatise ning jäägi vahelist seost saab väljendada võrratuste abil: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b ja d = a − b · c . Nende abiga saame arvutada jagaja, osajagatise ja jäägi. Selle tulemuseks on teadaoleva dividendi, jagaja ja osajagatisega täisarvu a jagamise b-ga jäägi leidmine. Rakendatakse valemit d = a − b · c. Vaatleme lahendust üksikasjalikult.
Näide 2
Leidke täisarvu -19 jagamisel täisarvuga 3 jääk, mille teadaolev mittetäielik jagatis on -7.
Lahendus
Jaotuse jäägi arvutamiseks rakendame valemit kujul d = a − b c . Tingimuse järgi on kõik andmed a = −19, b = 3, c = −7 saadaval. Siit saame d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (erinevus - 19 - (- 21)... See näide arvutatakse lahutamise reegliga negatiivne täisarv.
Vastus: 2 .
Kõik positiivsed täisarvud on loomulikud. Sellest järeldub, et jagamine toimub kõigi jagamisreeglite järgi naturaalarvude jäägiga. Naturaalarvude jäägiga jagamise kiirus on oluline, kuna sellel ei põhine mitte ainult positiivsete jagamine, vaid ka suvaliste täisarvude jagamise reeglid.
Kõige mugavam jagamismeetod on veerg, kuna mittetäieliku või lihtsalt jagatise saamine jäägiga on lihtsam ja kiirem. Vaatleme lahendust üksikasjalikumalt.
Näide 3
Jagage 14671 54-ga.
Lahendus
See jaotus tuleb teha veerus:
See tähendab, et mittetäielik jagatis võrdub 271-ga ja ülejäänud osa on 37.
Vastus: 14671: 54 = 271. (ülejäänud 37)
Positiivse täisarvu jäägiga jagamise reegel negatiivse täisarvuga, näited
Positiivse arvu jäägiga jagamiseks negatiivse täisarvuga on vaja sõnastada reegel.
Definitsioon 1
Positiivse täisarvu a negatiivse täisarvuga b jagamise mittetäielik jagatis annab arvu, mis on vastupidine arvude a moodulite jagamise mittetäielikule jagatusele b-ga. Siis on jääk jääk, kui a jagatakse b-ga.
Sellest tuleneb, et positiivse täisarvu negatiivse täisarvuga jagamise mittetäielikku jagatis loetakse mittepositiivseks täisarvuks.
Saame algoritmi:
- jagame dividendi mooduli jagaja mooduliga, siis saame mittetäieliku jagatise ja
- ülejäänud osa;
- kirjutage üles vastupidine number.
Vaatleme positiivse täisarvu negatiivse täisarvuga jagamise algoritmi näidet.
Näide 4
Tehke jagamine jäägiga 17-5.
Lahendus
Rakendame jagamisalgoritmi positiivse täisarvu jäägiga negatiivse täisarvuga. 17 on vaja jagada mooduliga 5. Siit saame, et mittetäielik jagatis on 3 ja jääk on 2.
Soovitud arvu saame, jagades 17 arvuga - 5 \u003d - 3, jäägiga 2.
Vastus: 17: (− 5) = − 3 (ülejäänud 2).
Näide 5
Jaga 45 15-ga.
Lahendus
Arvud on vaja jagada mooduliga. Jagame arvu 45 15-ga, jagatise 3 saame ilma jäägita. Nii et arv 45 jagub 15-ga ilma jäägita. Vastuseks saame - 3, kuna jagamine viidi läbi modulo.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Vastus: 45: (− 15) = − 3 .
Jäägiga jagamise reegli sõnastus on järgmine.
2. definitsioon
Negatiivse täisarvu a positiivse b-ga jagamisel mittetäieliku jagatise c saamiseks peate kasutama selle arvu vastandit ja lahutama sellest 1, seejärel arvutatakse jääk d valemiga: d = a − b · c.
Reegli põhjal saame järeldada, et jagamisel saame mittenegatiivse täisarvu. Lahenduse täpsuse tagamiseks kasutatakse algoritmi a jagamiseks b-ga jäägiga:
- leida dividendi ja jagaja moodulid;
- jaga modulo;
- kirjuta antud arvule vastand ja lahuta 1 ;
- kasuta jäägi valemit d = a − b c .
Vaatleme näidet lahendusest, kus seda algoritmi rakendatakse.
Näide 6
Leidke mittetäielik jagatis ja jagamise jääk - 17 5-ga.
Lahendus
Jagame antud arvud mooduliga. Saame, et jagamisel on jagatis 3 ja jääk 2. Kuna saime 3 , siis vastand on 3 . On vaja lahutada 1 .
− 3 − 1 = − 4 .
Soovitud väärtus on -4.
Jäägi arvutamiseks on vaja a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , siis d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .
See tähendab, et jagamise mittetäielik jagatis on arv - 4, jäägiga 3.
Vastus:(− 17) : 5 = − 4 (ülejäänud 3).
Näide 7
Jagage negatiivne täisarv - 1404 positiivsega 26 .
Lahendus
Vaja on jagada veeru ja mooduliga.
Saime arvude moodulite jaotuse ilma jäägita. See tähendab, et jagamine toimub ilma jäägita ja soovitud jagatis = -54.
Vastus: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Jagamisreegel negatiivsete täisarvude jäägiga, näited
On vaja sõnastada jagamisreegel täisarvude jäägiga negatiivsed arvud.
3. määratlus
Negatiivse täisarvu a jagamisel negatiivse täisarvuga b mittetäieliku jagatise saamiseks on vaja teha moodularvutused, mille järel liita 1, siis saame arvutada valemiga d = a − b · c.
Sellest järeldub, et negatiivsete täisarvude jagamise mittetäielik jagatis on positiivne arv.
Sõnastame selle reegli algoritmi kujul:
- leida dividendi ja jagaja moodulid;
- jagage dividendi moodul jagaja mooduliga, et saada mittetäielik jagatis
- ülejäänud osa;
- mittetäielikule jagatisele 1 lisamine;
- jäägi arvutamine valemi d = a − b c alusel.
Vaatleme seda algoritmi näitega.
Näide 8
Leidke mittetäielik jagatis ja jääk, kui jagate -17 5-ga.
Lahendus
Lahenduse õigsuse huvides rakendame jäägiga jagamise algoritmi. Esiteks jagage numbrid mooduliga. Siit saame, et mittetäielik jagatis \u003d 3 ja jääk on 2. Reegli järgi on vaja liita mittetäielik jagatis ja 1. Saame, et 3 + 1 = 4 . Sellest saame, et jagamise mittetäielik jagatis antud numbrid võrdub 4.
Ülejäänud osa arvutamiseks rakendame valemit. Tingimusel on meil, et a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, siis saame valemi abil d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = -17 + 20 = 3 . Soovitud vastus, see tähendab jääk, on 3 ja mittetäielik jagatis on 4.
Vastus:(− 17) : (− 5) = 4 (ülejäänud 3).
Täisarvude jäägiga jagamise tulemuse kontrollimine
Pärast arvude jäägiga jagamist on vaja teha kontroll. See kontroll hõlmab 2 etappi. Esiteks kontrollitakse jääk d mittenegatiivsuse suhtes, tingimus 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Vaatame näiteid.
Näide 9
Toodetud jaotus - 521 x - 12. Jagatis on 44, jääk on 7. Käivitage kontroll.
Lahendus
Kuna jääk on positiivne arv, on selle väärtus väiksem kui jagaja moodul. Jagaja on -12, seega on selle moodul 12. Saate liikuda järgmise kontrollpunkti juurde.
Tingimuse järgi saame a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . Siit arvutame b c + d , kus b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . Sellest järeldub, et võrdsus on tõsi. Kontroll läbitud.
Näide 10
Kontrolljaotus (− 17) : 5 = − 3 (ülejäänud − 2). Kas võrdsus on tõsi?
Lahendus
Esimese etapi tähendus on see, et on vaja kontrollida täisarvude jagamist jäägiga. See näitab, et toiming sooritati valesti, kuna ülejäänud osa on võrdne - 2-ga. Ülejäänud osa ei ole negatiivne arv.
Oleme seisukohal, et teine tingimus on täidetud, kuid antud juhul ebapiisav.
Vastus: Ei.
Näide 11
Arv - 19 jagatud - 3 - ga . Osaline jagatis on 7 ja jääk on 1. Kontrollige, kas see arvutus on õige.
Lahendus
Arvestades ülejäänud 1. Ta on positiivne. Väärtus on väiksem kui jaotusmoodul, mis tähendab, et esimene etapp on sooritatud. Liigume edasi teise etapi juurde.
Arvutame avaldise b · c + d väärtuse. Tingimuse järgi on meil b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, seega, asendades arvväärtused, saame b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Sellest järeldub, et a = b · c + d võrdus ei ole täidetud, kuna tingimuseks on antud a = - 19 .
See tähendab, et jagamine tehti veaga.
Vastus: Ei.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Lugege tunni teemat: "Jagage jäägiga." Mida sa sellest teemast juba tead?
Kas saate jagada 8 ploomi võrdselt kahele taldrikule (joonis 1)?
Riis. 1. Illustratsioon näiteks
Igasse taldrikusse võid panna 4 ploomi (joonis 2).
Riis. 2. Illustratsioon näiteks
Meie sooritatud toimingu saab kirjutada järgmiselt.
8: 2 = 4
Mis te arvate, kas 8 ploomi on võimalik jagada võrdselt 3 taldrikuks (joonis 3)?
Riis. 3. Illustratsioon näiteks
Käitugu nii. Kõigepealt pane igasse taldrikusse üks ploom, siis teine ploom. Meil jääb 2 ploomi, aga 3 taldrikut. Nii et me ei saa seda võrdselt jagada. Panime igasse taldrikusse 2 ploomi ja alles jääb 2 ploomi (joonis 4).
Riis. 4. Illustratsioon näiteks
Jätkame jälgimist.
Lugege numbreid. Leidke antud arvude hulgast need, mis jaguvad 3-ga.
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Testige ennast.
Ülejäänud arvud (11, 13, 14, 16, 17, 19) ei jagu 3-ga või nad ütlevad "jaga ülejäänud osaga."
Leiame eraelu väärtuse.
Uurime, mitu korda 3 sisaldub arvus 17 (joonis 5).
Riis. 5. Illustratsioon näiteks
Näeme, et 3 ovaali mahub 5 korda ja 2 ovaali on jäänud.
Tehtud toimingu saab kirjutada järgmiselt.
17: 3 = 5 (ülejäänud 2)
Seda saab kirjutada ka veergu (joon. 6)
Riis. 6. Illustratsioon näiteks
Vaadake joonised üle. Selgitage nende jooniste pealkirju (joonis 7).
Riis. 7. Illustratsioon näiteks
Mõelge esimesele joonisele (joonis 8).
Riis. 8. Illustratsioon näiteks
Näeme, et 15 ovaali jagati 2-ga. 2 korrati 7 korda, ülejäänud osas - 1 ovaal.
Mõelge teisele joonisele (joonis 9).
Riis. 9. Illustratsioon näiteks
Sellel joonisel jagati 15 ruutu 4-ga. 4 korrati 3 korda, ülejäänud osas - 3 ruutu.
Mõelge kolmandale joonisele (joonis 10).
Riis. 10. Illustratsioon näiteks
Võime öelda, et 15 ovaali jagati 3-ks. 3 korrati 5 korda võrdselt. Sellistel juhtudel öeldakse, et jääk on 0.
Teeme jaotuse.
Jagame seitse ruutu kolmeks. Saame kaks rühma ja üks ruut jääb alles. Paneme lahenduse kirja (joon. 11).
Riis. 11. Illustratsioon näiteks
Teeme jaotuse.
Saame teada, mitu korda neli sisaldub arvus 10. Näeme, et arvus 10 sisaldub neli 2 korda ja jääb 2 ruutu. Paneme lahenduse kirja (joon. 12).
Riis. 12. Illustratsioon näiteks
Teeme jaotuse.
Saame teada, mitu korda kaks sisalduvad arvus 11. Näeme, et arvus 11 sisaldub kaks 5 korda ja jääb 1 ruut. Paneme lahenduse kirja (joon. 13).
Riis. 13. Illustratsioon näiteks
Teeme järelduse. Jäägiga jagamine tähendab välja selgitada, mitu korda jagaja sisaldub dividendis ja mitu osakut jääb alles.
Jäägiga jagamist saab sooritada ka arvureal.
Arvjoonele märgime 3 jaotuse lõigud ja näeme, et kolm jaotust osutusid kolmekordseks ja üks jaotus jäi alles (joon. 14).
Riis. 14. Illustratsioon näiteks
Paneme lahenduse kirja.
10: 3 = 3 (ülejäänud 1)
Teeme jaotuse.
Arvvihule märgime 3 jaotuse lõigud ja näeme, et kolm jaotust osutusid kolmekordseks ja jäid kaks jaotust (joon. 15).
Riis. 15. Illustratsioon näiteks
Paneme lahenduse kirja.
11: 3 = 3 (ülejäänud 2)
Teeme jaotuse.
Arvkiirele märgime 3 jaotuse lõigud ja näeme, et saime täpselt 4 korda, jääki pole (joon. 16).
Riis. 16. Illustratsioon näiteks
Paneme lahenduse kirja.
12: 3 = 4
Tänases tunnis tutvusime jäägiga jagamisega, õppisime pildi ja numbrivihu abil nimelist tegevust sooritama, harjutasime tunni teemal näidete lahendamist.
Bibliograafia
- M.I. Moro, M.A. Bantova jt. Matemaatika: Õpik. 3. klass: kahes osas, 1. osa. - M .: "Valgustus", 2012.
- M.I. Moro, M.A. Bantova jt. Matemaatika: Õpik. 3. klass: 2 osas, 2. osa. - M .: "Valgustus", 2012.
- M.I. Moreau. Matemaatika tunnid: Juhisedõpetaja jaoks. 3. klass - M.: Haridus, 2012.
- Regulatiivne dokument. Õpitulemuste jälgimine ja hindamine. - M.: "Valgustus", 2011.
- "Venemaa kool": programmid algkool. - M.: "Valgustus", 2011.
- S.I. Volkov. Matemaatika: Kontrollimistööd. 3. klass - M.: Haridus, 2012.
- V.N. Rudnitskaja. Testid. - M.: "Eksam", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Kodutöö
1. Kirjuta üles arvud, mis jaguvad 2-ga ilma jäägita.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
2. Tehke joonist kasutades jagamine jäägiga.
3. Soorita arvurida kasutades jäägiga jagamine.
4. Koostage oma kaaslastele tunni teemal ülesanne.
Lugege tunni teemat: "Jagage jäägiga." Mida sa sellest teemast juba tead?
Kas saate jagada 8 ploomi võrdselt kahele taldrikule (joonis 1)?
Riis. 1. Illustratsioon näiteks
Igasse taldrikusse võid panna 4 ploomi (joonis 2).
Riis. 2. Illustratsioon näiteks
Meie sooritatud toimingu saab kirjutada järgmiselt.
8: 2 = 4
Mis te arvate, kas 8 ploomi on võimalik jagada võrdselt 3 taldrikuks (joonis 3)?
Riis. 3. Illustratsioon näiteks
Käitugu nii. Kõigepealt pane igasse taldrikusse üks ploom, siis teine ploom. Meil jääb 2 ploomi, aga 3 taldrikut. Nii et me ei saa seda võrdselt jagada. Panime igasse taldrikusse 2 ploomi ja alles jääb 2 ploomi (joonis 4).
Riis. 4. Illustratsioon näiteks
Jätkame jälgimist.
Lugege numbreid. Leidke antud arvude hulgast need, mis jaguvad 3-ga.
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Testige ennast.
Ülejäänud arvud (11, 13, 14, 16, 17, 19) ei jagu 3-ga või nad ütlevad "jaga ülejäänud osaga."
Leiame eraelu väärtuse.
Uurime, mitu korda 3 sisaldub arvus 17 (joonis 5).
Riis. 5. Illustratsioon näiteks
Näeme, et 3 ovaali mahub 5 korda ja 2 ovaali on jäänud.
Tehtud toimingu saab kirjutada järgmiselt.
17: 3 = 5 (ülejäänud 2)
Seda saab kirjutada ka veergu (joon. 6)
Riis. 6. Illustratsioon näiteks
Vaadake joonised üle. Selgitage nende jooniste pealkirju (joonis 7).
Riis. 7. Illustratsioon näiteks
Mõelge esimesele joonisele (joonis 8).
Riis. 8. Illustratsioon näiteks
Näeme, et 15 ovaali jagati 2-ga. 2 korrati 7 korda, ülejäänud osas - 1 ovaal.
Mõelge teisele joonisele (joonis 9).
Riis. 9. Illustratsioon näiteks
Sellel joonisel jagati 15 ruutu 4-ga. 4 korrati 3 korda, ülejäänud osas - 3 ruutu.
Mõelge kolmandale joonisele (joonis 10).
Riis. 10. Illustratsioon näiteks
Võime öelda, et 15 ovaali jagati 3-ks. 3 korrati 5 korda võrdselt. Sellistel juhtudel öeldakse, et jääk on 0.
Teeme jaotuse.
Jagame seitse ruutu kolmeks. Saame kaks rühma ja üks ruut jääb alles. Paneme lahenduse kirja (joon. 11).
Riis. 11. Illustratsioon näiteks
Teeme jaotuse.
Saame teada, mitu korda neli sisaldub arvus 10. Näeme, et arvus 10 sisaldub neli 2 korda ja jääb 2 ruutu. Paneme lahenduse kirja (joon. 12).
Riis. 12. Illustratsioon näiteks
Teeme jaotuse.
Saame teada, mitu korda kaks sisalduvad arvus 11. Näeme, et arvus 11 sisaldub kaks 5 korda ja jääb 1 ruut. Paneme lahenduse kirja (joon. 13).
Riis. 13. Illustratsioon näiteks
Teeme järelduse. Jäägiga jagamine tähendab välja selgitada, mitu korda jagaja sisaldub dividendis ja mitu osakut jääb alles.
Jäägiga jagamist saab sooritada ka arvureal.
Arvjoonele märgime 3 jaotuse lõigud ja näeme, et kolm jaotust osutusid kolmekordseks ja üks jaotus jäi alles (joon. 14).
Riis. 14. Illustratsioon näiteks
Paneme lahenduse kirja.
10: 3 = 3 (ülejäänud 1)
Teeme jaotuse.
Arvvihule märgime 3 jaotuse lõigud ja näeme, et kolm jaotust osutusid kolmekordseks ja jäid kaks jaotust (joon. 15).
Riis. 15. Illustratsioon näiteks
Paneme lahenduse kirja.
11: 3 = 3 (ülejäänud 2)
Teeme jaotuse.
Arvkiirele märgime 3 jaotuse lõigud ja näeme, et saime täpselt 4 korda, jääki pole (joon. 16).
Riis. 16. Illustratsioon näiteks
Paneme lahenduse kirja.
12: 3 = 4
Tänases tunnis tutvusime jäägiga jagamisega, õppisime pildi ja numbrivihu abil nimelist tegevust sooritama, harjutasime tunni teemal näidete lahendamist.
Bibliograafia
- M.I. Moro, M.A. Bantova jt. Matemaatika: Õpik. 3. klass: kahes osas, 1. osa. - M .: "Valgustus", 2012.
- M.I. Moro, M.A. Bantova jt. Matemaatika: Õpik. 3. klass: 2 osas, 2. osa. - M .: "Valgustus", 2012.
- M.I. Moreau. Matemaatikatunnid: juhendid õpetajatele. 3. klass - M.: Haridus, 2012.
- Regulatiivne dokument. Õpitulemuste jälgimine ja hindamine. - M.: "Valgustus", 2011.
- "Venemaa kool": programmid põhikoolile. - M.: "Valgustus", 2011.
- S.I. Volkov. Matemaatika: kontrolltöö. 3. klass - M.: Haridus, 2012.
- V.N. Rudnitskaja. Testid. - M.: "Eksam", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Kodutöö
1. Kirjuta üles arvud, mis jaguvad 2-ga ilma jäägita.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
2. Tehke joonist kasutades jagamine jäägiga.
3. Soorita arvurida kasutades jäägiga jagamine.
4. Koostage oma kaaslastele tunni teemal ülesanne.
