Juhend
Aritmeetiline progressioon on jada kujul a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Number d samm progressioonid.Ilmselt aritmeetika suvalise n-nda liikme summa progressioonid on kujul: An = A1+(n-1)d. Siis teades üht liiget progressioonid, liige progressioonid ja astuda progressioonid, võib olla , see tähendab progressiooniliikme number. Ilmselt määratakse see valemiga n = (An-A1+d)/d.
Olgu nüüd m-s tähtaeg teada progressioonid ja mõni teine liige progressioonid- n-s, kuid n , nagu ka eelmisel juhul, kuid on teada, et n ja m ei ühti. progressioonid saab arvutada valemiga: d = (An-Am)/(n-m). Siis n = (An-Am+md)/d.
Kui aritmeetika mitme elemendi summa progressioonid, samuti selle esimene ja viimane , siis saab määrata ka nende elementide arvu Aritmeetika summa progressioonid on võrdne: S = ((A1+An)/2)n. Siis n = 2S/(A1+An) on chdenov progressioonid. Kasutades asjaolu, et An = A1+(n-1)d, saab selle valemi ümber kirjutada järgmiselt: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Siit saab n väljendada lahendades ruutvõrrand.
Aritmeetiline jada on selline järjestatud arvude hulk, mille iga liige, välja arvatud esimene, erineb eelmisest sama palju. Seda konstanti nimetatakse progressiooni või selle astme erinevuseks ja seda saab arvutada aritmeetilise progressiooni teadaolevate liikmete põhjal.
Juhend
Kui ülesande tingimustest on teada esimese ja teise või mõne muu naaberliikmete paari väärtused, lahutage erinevuse (d) arvutamiseks lihtsalt eelmine liige järgmisest liikmest. Saadud väärtus võib olla kas positiivne või negatiivne arv- see sõltub sellest, kas progresseerumine suureneb. Üldjuhul kirjutage progressiooni naaberliikmete suvalise paari (aᵢ ja aᵢ₊₁) lahend järgmiselt: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Sellise progressi liikmete paari jaoks, millest üks on esimene (a1) ja teine on mis tahes muu suvaliselt valitud, saab koostada ka valemi erinevuse (d) leidmiseks. Kuid sel juhul peab olema teada jada suvaliselt valitud liikme seerianumber (i). Erinevuse arvutamiseks lisage mõlemad arvud ja jagage tulemus suvalise liikme järgarvuga, mida on vähendatud ühega. Üldiselt kirjutage see valem järgmiselt: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Kui lisaks järjenumbriga i aritmeetilise progressiooni suvalisele liikmele on teada veel üks järgarvuga u liige, siis muuda eelmise sammu valemit vastavalt. Sel juhul on progressiooni erinevus (d) nende kahe liikme summa jagatud nende järgarvude erinevusega: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
Vahe (d) arvutamise valem muutub mõnevõrra keerulisemaks, kui ülesande tingimustes on antud selle esimese liikme väärtus (a₁) ja summa (Sᵢ). antud number i) aritmeetilise jada esimesed liikmed. Soovitud väärtuse saamiseks jagage summa selle moodustanud liikmete arvuga, lahutage jada esimese numbri väärtus ja kahekordistage tulemus. Jagage saadud väärtus liikmete arvuga, mis moodustasid ühega vähendatud summa. Üldiselt kirjutage diskriminandi arvutamise valem üles järgmiselt: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
aastal õpitakse teemat "aritmeetiline progressioon". üldkursus algebra koolides 9. klassis. See teema on edaspidiseks oluline süvaõpe arvuridade matemaatika. Selles artiklis tutvume nii aritmeetilise progressiooni, selle erinevuse kui ka tüüpiliste ülesannetega, millega koolilapsed silmitsi võivad tulla.
Algebralise progressiooni mõiste
Numbriline progressioon on arvude jada, milles iga järgnev element on mõne matemaatilise seaduse rakendamisel saadud eelmisest. On kaks lihtsat progressiooni tüüpi: geomeetriline ja aritmeetiline, mida nimetatakse ka algebraliseks. Peatume sellel üksikasjalikumalt.
Kujutage ette mingit ratsionaalset arvu, tähistage seda sümboliga a 1 , kus indeks näitab selle järjekorranumbrit vaadeldavas jadas. Lisame 1-le mõne muu arvu, tähistame seda d-ga. Siis saab seeria teist elementi kajastada järgmiselt: a 2 = a 1 + d. Nüüd lisage uuesti d, saame: a 3 = a 2 + d. Seda matemaatilist tehtet jätkates võib saada terve rida arvud, mida nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks.
Nagu ülaltoodust võib aru saada, tuleb selle jada n-nda elemendi leidmiseks kasutada valemit: a n = a 1 + (n-1) * d. Tõepoolest, asendades avaldises n=1, saame a 1 = a 1, kui n = 2, siis valem eeldab: a 2 = a 1 + 1*d jne.
Näiteks kui aritmeetilise progressiooni erinevus on 5 ja 1 \u003d 1, tähendab see, et numbriseeria vaadeldava tüübi tüübil on vorm: 1, 6, 11, 16, 21, ... Nagu näete, on iga selle liige 5 võrra suurem kui eelmine.
Aritmeetilise progressiooni erinevuse valemid
Vaadeldava arvude jada ülaltoodud definitsioonist järeldub, et selle määramiseks peate teadma kahte arvu: a 1 ja d. Viimast nimetatakse selle progresseerumise erinevuseks. See määrab ainulaadselt kogu seeria käitumise. Tõepoolest, kui d on positiivne, siis arvurida kasvab pidevalt, vastupidi, negatiivse d korral kasvavad arvud seerias ainult modulo, samas kui nende absoluutväärtus väheneb arvu n suurenemisega.
Mis vahe on aritmeetilisel progressioonil? Mõelge kahele peamisele valemile, mida selle väärtuse arvutamiseks kasutatakse:
- d = a n+1 -a n , see valem tuleneb otseselt vaadeldava arvujada definitsioonist.
- d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), saadakse see avaldis, väljendades d artikli eelmises lõigus toodud valemist. Pange tähele, et see avaldis muutub määramatuks (0/0), kui n = 1. See on tingitud asjaolust, et selle erinevuse kindlakstegemiseks on vaja teada vähemalt 2 seeria elementi.
Neid kahte põhivalemit kasutatakse progresseerumise erinevuse leidmise probleemide lahendamiseks. Siiski on veel üks valem, mida peate samuti teadma.
Esimeste elementide summa
Valemi, mille abil saab ajalooliste tõendite kohaselt määrata algebralise progressiooni suvalise arvu liikmete summa, sai esmakordselt 18. sajandi matemaatika "prints" Carl Gauss. Saksa teadlane, olles veel poiss Põhikool külakool, märkas, et naturaalarvude liitmiseks reas 1–100 tuleb esmalt summeerida esimene ja viimane element (saadud väärtus võrdub eelviimase ja teise, eelviimase ja kolmanda elemendi summaga, ja nii edasi) ja siis tuleks see arv korrutada nende summade arvuga, see tähendab 50-ga.
Valemit, mis kajastab konkreetse näite puhul esitatud tulemust, saab üldistada suvaliseks juhtumiks. See näeb välja selline: S n = n/2*(a n + a 1). Pange tähele, et määratud väärtuse leidmiseks ei ole vaja teada erinevust d, kui on teada kaks progressiooni liiget (a n ja a 1).
Näide nr 1. Määrake erinevus, teades seeria a1 ja an kahte liiget
Näitame, kuidas artiklis ülaltoodud valemeid rakendada. Toome lihtsa näite: aritmeetilise progressiooni erinevus pole teada, tuleb kindlaks teha, millega see võrdub, kui 13 \u003d -5,6 ja 1 \u003d -12,1.
Kuna me teame numbrilise jada kahe elemendi väärtusi ja üks neist on esimene number, saame erinevuse d määramiseks kasutada valemit nr 2. Meil on: d \u003d (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. Avaldises kasutasime väärtust n=13, kuna selle järjekorranumbriga liige on teada.
Saadud erinevus näitab, et progresseerumine suureneb, hoolimata asjaolust, et probleemi tingimuses antud elemendid on negatiivse väärtusega. On näha, et a 13 >a 1 , kuigi |a 13 |<|a 1 |.
Näide nr 2. Positiivse progresseerumise terminid näites nr 1
Kasutame eelmises näites saadud tulemust uue ülesande lahendamiseks. See on sõnastatud järgmiselt: millisest järgarvust hakkavad näites nr 1 toodud progressiooni elemendid võtma positiivseid väärtusi?
Nagu näidatud, progresseerumine, milles a 1 = -12,1 ja d = 0,54167, kasvab, nii et alates teatud arvust saavad arvud ainult positiivseid väärtusi. Selle arvu n määramiseks on vaja lahendada lihtne võrratus, mis kirjutatakse matemaatiliselt järgmiselt: a n>0 või kirjutame vastava valemi abil võrratuse ümber: a 1 + (n-1)*d>0. On vaja leida tundmatu n, väljendame seda: n>-1*a 1 /d + 1. Nüüd jääb üle asendada teadaolevad erinevuse väärtused ja jada esimene liige. Saame: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 või n>23,338. Kuna n saab võtta ainult täisarvulisi väärtusi, järeldub saadud võrratusest, et rea kõik liikmed, mille arv on suurem kui 23, on positiivsed.
Kontrollime oma vastust ülaltoodud valemi abil, et arvutada selle aritmeetilise progressiooni 23. ja 24. elemendid. Meil on: a 23 \u003d -12,1 + 22 * 0,54167 \u003d -0,18326 (negatiivne arv); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (positiivne väärtus). Seega on saadud tulemus õige: alates n=24 on kõik arvurea liikmed suuremad kui null.
Näide nr 3. Mitu palki mahub?
Siin on üks huvitav probleem: raie käigus otsustati saetud palgid üksteise peale laduda nii nagu alloleval joonisel näha. Mitu palki saab sel viisil laduda, teades, et kokku mahub 10 rida?
Sellisel palkide voltimisel võib märgata üht huvitavat asja: iga järgnev rida hakkab sisaldama ühe palgi vähem kui eelmises, ehk siis on algebraline progressioon, mille vahe on d=1. Eeldades, et palkide arv igas reas on selle progressi liige, ja võttes arvesse ka seda, et a 1 = 1 (ainult üks palk mahub kõige ülaossa), leiame arvu a 10 . Meil on: a 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. See tähendab, et 10. reas, mis asub maapinnal, on 10 palki.
Selle "püramiidse" konstruktsiooni kogumahu saab saada Gaussi valemi abil. Saame: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 palki.
Paljud on kuulnud aritmeetilisest progressioonist, kuid mitte kõik ei tea, mis see on. Selles artiklis anname vastava määratluse ja käsitleme ka küsimust, kuidas leida aritmeetilise progressiooni erinevust, ja toome mitmeid näiteid.
Matemaatiline määratlus
Seega, kui me räägime aritmeetilisest või algebralisest progressioonist (need mõisted defineerivad sama asja), siis see tähendab, et on mõni arvuseeria, mis vastab järgmisele seadusele: jada iga kaks kõrvutiasetsevat arvu erinevad sama väärtuse võrra. Matemaatiliselt on see kirjutatud nii:
Siin tähistab n elemendi a n arvu jadas ja arv d on progressiooni erinevus (selle nimi tuleneb esitatud valemist).
Mida tähendab erinevuse d teadmine? Umbes sellest, kui kaugel on kõrvuti asetsevad numbrid. Siiski on d tundmine vajalik, kuid mitte piisav seisukord kogu progresseerumise määramiseks (taandamiseks). Peate teadma veel ühte arvu, mis võib olla absoluutselt mis tahes vaadeldava seeria element, näiteks 4, a10, kuid reeglina kasutatakse esimest numbrit, see tähendab 1.
Progressiooni elementide määramise valemid
Üldiselt on ülaltoodud teave juba piisav, et liikuda konkreetsete probleemide lahendamiseni. Sellegipoolest esitame enne aritmeetilise progressiooni andmist ja selle erinevuse leidmist paari kasulikud valemid, hõlbustades seeläbi edasist probleemide lahendamise protsessi.
Lihtne on näidata, et jada mis tahes elemendi numbriga n võib leida järgmiselt:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d
Tõepoolest, igaüks saab seda valemit kontrollida lihtsa loendamisega: kui asendame n = 1, siis saame esimese elemendi, kui asendame n = 2, siis avaldis annab esimese arvu ja erinevuse summa jne.
Paljude ülesannete tingimused on koostatud nii, et teadaoleva arvupaari jaoks, mille numbrid on ka jadas antud, on vaja taastada kogu arvurida (leia vahe ja esimene element). Nüüd lahendame selle probleemi üldiselt.
Niisiis, oletame, et meile on antud kaks elementi numbritega n ja m. Kasutades ülaltoodud valemit, saame koostada kahe võrrandi süsteemi:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
Tundmatute suuruste leidmiseks kasutame sellise süsteemi lahendamiseks tuntud lihtsat meetodit: lahutame paarikaupa vasaku ja parema osa, kusjuures võrdsus jääb kehtima. Meil on:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Seega oleme elimineerinud ühe tundmatu (a 1). Nüüd saame kirjutada lõpliku avaldise d määramiseks:
d = (a n - a m) / (n - m), kus n > m
Oleme saanud väga lihtne valem: erinevuse d arvutamiseks vastavalt ülesande tingimustele on vaja võtta ainult elementide endi ja nende seerianumbrite erinevuste suhe. Peaks keskenduma ühele oluline punkt Tähelepanu: erinevused on võetud "kõrgema" ja "madalama" liikme vahel, see tähendab n > m ("kõrgem" tähendab, et seisad jada algusest kaugemal, selle absoluutväärtus võib olla suurem või väiksem kui "noorem" "element) .
Progressiooni erinevuse d avaldis tuleks asendada mis tahes võrrandiga ülesande lahendamise alguses, et saada esimese liikme väärtus.
Meie arenguajastul arvutitehnoloogia paljud koolilapsed püüavad leida oma ülesannetele lahendusi Internetist, mistõttu tekivad sageli seda tüüpi küsimused: leidke aritmeetilise progressiooni erinevus Internetist. Sellise päringu peale kuvab otsingumootor hulga veebilehti, millele minnes tuleb sisestada tingimusest teada olevad andmed (see võib olla kas kaks progressi liiget või mõne summa ) ja saate kohe vastuse. Sellegipoolest on selline lähenemine probleemi lahendamisele ebaproduktiivne õpilase arengu ja talle pandud ülesande olemuse mõistmise seisukohalt.
Lahendus ilma valemeid kasutamata
Lahendame esimese ülesande, samas kui me ei kasuta ühtegi ülaltoodud valemit. Olgu antud jada elemendid: a6 = 3, a9 = 18. Leia aritmeetilise progressiooni erinevus.
Tuntud elemendid on reas üksteise lähedal. Mitu korda tuleb erinevus d lisada väikseimale, et saada suurim? Kolm korda (esimest korda d lisamisel saame 7. elemendi, teist korda - kaheksanda, lõpuks, kolmandal korral - üheksanda). Millise arvu tuleb kolmele kolm korda lisada, et saada 18? See on number viis. Tõesti:
Seega on tundmatu erinevus d = 5.
Loomulikult sai lahenduse teha vastava valemi abil, kuid seda ei tehtud tahtlikult. Probleemi lahenduse üksikasjalik selgitus peaks saama selgeks ja ilmekaks näiteks sellest, mis on aritmeetiline progressioon.
Eelmisega sarnane ülesanne
Nüüd lahendame sarnase probleemi, kuid muutke sisendandmeid. Seega peaksite leidma, kas a3 = 2, a9 = 19.
Muidugi võite uuesti kasutada "otsmikul" lahendamise meetodit. Kuid kuna seeria elemendid on antud, mis on üksteisest suhteliselt kaugel, ei muutu selline meetod eriti mugavaks. Kuid saadud valemi kasutamine viib meid kiiresti vastuseni:
d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17/6 ≈ 2,83
Siin oleme lõpliku arvu ümardanud. Kui palju see ümardamine viga põhjustas, saab hinnata tulemust kontrollides:
a 9 = 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98
See tulemus erineb tingimuses antud väärtusest vaid 0,1%. Seetõttu võib kasutatud sajandikuteks ümardamist pidada heaks valikuks.
Liikme valemi rakendamise ülesanded
Vaatleme klassikalist näidet tundmatu d määramise ülesandest: leidke aritmeetilise progressiooni erinevus, kui a1 = 12, a5 = 40.
Kui on antud kaks tundmatu algebralise jada numbrit ja üks neist on element a 1 , siis ei pea kaua mõtlema, vaid tuleks kohe rakendada a n liikme valemit. Sel juhul on meil:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Täpse arvu saime jagamisel, seega pole mõtet arvutatud tulemuse õigsust kontrollida, nagu tehti eelmises lõigus.
Lahendame veel ühe sarnase ülesande: peaksime leidma aritmeetilise progressiooni erinevuse, kui a1 = 16, a8 = 37.
Kasutame eelmisega sarnast lähenemist ja saame:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Mida veel peaksite aritmeetilise progressiooni kohta teadma?
Lisaks tundmatu erinevuse või üksikute elementide leidmise probleemidele on sageli vaja lahendada jada esimeste liikmete summa ülesandeid. Nende probleemide käsitlemine jääb artikli teemast välja, kuid teabe täielikkuse huvides esitame seeria n numbrite summa üldvalemi:
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
Näiteks jada \(2\); \(5\); \(8\); \(üksteist\); \(14\)… on aritmeetiline progressioon, kuna iga järgmine element erineb eelmisest kolme võrra (saab eelmisest kolme liitmisega):
Selles progressioonis on erinevus \(d\) positiivne (võrdne \(3\)) ja seetõttu on iga järgmine liige suurem kui eelmine. Selliseid progressioone nimetatakse suureneb.
Siiski võib \(d\) olla ka negatiivne arv. Näiteks, aritmeetilises progressioonis \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… progresseerumise erinevus \(d\) võrdub miinus kuuega.
Ja sel juhul on iga järgmine element väiksem kui eelmine. Neid progressioone nimetatakse väheneb.
Aritmeetiline progressiooni tähistus
Edenemist tähistatakse väikese ladina tähega.
Arve, mis moodustavad progressi, nimetatakse selleks liikmed(või elemendid).
Neid tähistatakse sama tähega nagu aritmeetiline progressioon, kuid numbrilise indeksiga, mis on võrdne elemendi numbriga.
Näiteks aritmeetiline progressioon \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) koosneb elementidest \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ja nii edasi.
Teisisõnu, progressi jaoks \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Ülesannete lahendamine aritmeetilisel progressioonil
Põhimõtteliselt on ülaltoodud teave juba piisav, et lahendada peaaegu kõik aritmeetilise progressiooni ülesanded (sealhulgas need, mida OGE pakub).
Näide (OGE).
Aritmeetilise progressiooni annavad tingimused \(b_1=7; d=4\). Otsige üles \(b_5\).
Lahendus:
Vastus: \(b_5=23\)
Näide (OGE).
Aritmeetilise progressiooni kolm esimest liiget on antud: \(62; 49; 36…\) Leidke selle progressiooni esimese negatiivse liikme väärtus.
Lahendus:
|
Meile antakse jada esimesed elemendid ja teame, et see on aritmeetiline progressioon. See tähendab, et iga element erineb naaberelemendist sama numbri võrra. Uurige välja, milline, lahutades järgmisest elemendist eelmise: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Nüüd saame taastada oma edenemise soovitud (esimese negatiivse) elemendini. |
|
|
Valmis. Võite kirjutada vastuse. |
Vastus: \(-3\)
Näide (OGE).
Antud on mitu aritmeetilise progressiooni järjestikust elementi: \(...5; x; 10; 12,5...\) Leia tähega \(x\) tähistatud elemendi väärtus.
Lahendus:
|
|
\(x\) leidmiseks peame teadma, kui palju erineb järgmine element eelmisest ehk teisisõnu progresseerumise erinevus. Leiame selle kahe teadaoleva naaberelemendi järgi: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
Ja nüüd leiame otsitava probleemideta: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Valmis. Võite kirjutada vastuse. |
Vastus: \(7,5\).
Näide (OGE).
Aritmeetiline progressioon on antud järgmiste tingimustega: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Leidke selle progressiooni esimese kuue liikme summa.
Lahendus:
|
Peame leidma progressiooni esimese kuue liikme summa. Kuid me ei tea nende tähendusi, meile on antud ainult esimene element. Seetõttu arvutame kõigepealt väärtused omakorda, kasutades meile antud: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Taotletud summa on leitud. |
Vastus: \(S_6=9\).
Näide (OGE).
Aritmeetilises progressioonis \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Leidke selle edenemise erinevus.
Lahendus:
Vastus: \(d=7\).
Olulised aritmeetilised progressioonivalemid
Nagu näete, saab paljusid aritmeetilise progressiooni ülesandeid lahendada lihtsalt peamise mõistmisega - et aritmeetiline progressioon on arvude ahel ja iga järgmine element selles ahelas saadakse sama arvu lisamisega eelmisele (erinevus progresseerumisest).
Vahel tuleb aga ette olukordi, kus "otsapeal" on väga ebamugav lahendada. Näiteks kujutage ette, et kõige esimeses näites peame leidma mitte viienda elemendi \(b_5\), vaid kolmesaja kaheksakümne kuuenda \(b_(386)\). Mis see on, me \ (385 \) korda lisame neli? Või kujutage ette, et eelviimases näites peate leidma esimese seitsmekümne kolme elemendi summa. Loendamine on segane...
Seetõttu ei lahenda nad sellistel juhtudel "otsmikul", vaid kasutavad aritmeetiliseks progressiooniks tuletatud spetsiaalseid valemeid. Ja peamised neist on progressiooni n-nda liikme valem ja esimeste liikmete summa \(n\) valem.
\(n\)nda liikme valem: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kus \(a_1\) on progressi esimene liige;
\(n\) – nõutava elemendi number;
\(a_n\) on progressi liige numbriga \(n\).
See valem võimaldab meil kiiresti leida vähemalt kolmesajanda, isegi miljonilise elemendi, teades ainult esimest ja progresseerumise erinevust.
Näide.
Aritmeetilise progressiooni annavad tingimused: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Otsige üles \(b_(246)\).
Lahendus:
Vastus: \(b_(246)=1850\).
Esimese n liikme summa valem on: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kus
\(a_n\) on viimane liidetud liige;
Näide (OGE).
Aritmeetilise progressiooni annavad tingimused \(a_n=3,4n-0,6\). Leidke selle progressiooni esimeste \(25\) liikmete summa.
Lahendus:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Esimese kahekümne viie elemendi summa arvutamiseks peame teadma esimese ja kahekümne viienda liikme väärtust. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\) |
Nüüd leiame kahekümne viienda liikme, asendades \(n\) asemel kakskümmend viis. |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\) |
Noh, nüüd arvutame ilma probleemideta vajaliku summa. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Vastus on valmis. |
Vastus: \(S_(25)=1090\).
Esimeste terminite summa \(n\) jaoks saate teise valemi: peate lihtsalt \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) asemel asenda selle valem \(a_n=a_1+(n-1)d\). Saame:
Esimese n liikme summa valem on: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kus
\(S_n\) – esimeste elementide nõutav summa \(n\);
\(a_1\) on esimene liige, mis liidetakse;
\(d\) – progresseerumise erinevus;
\(n\) - elementide arv summas.
Näide.
Leidke aritmeetilise progressiooni esimeste \(33\)-ex liikmete summa: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Lahendus:
Vastus: \(S_(33)=-231\).
Keerulisemad aritmeetilised progressiooniülesanded
Nüüd on teil kogu teave, mida vajate peaaegu kõigi aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamiseks. Lõpetagem teema, kaaludes probleeme, mille puhul peate mitte ainult valemeid rakendama, vaid ka veidi mõtlema (matemaatikas võib see kasulik olla ☺)
Näide (OGE).
Leidke progressiooni kõigi negatiivsete liikmete summa: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Lahendus:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Ülesanne on väga sarnane eelmisele. Lahendamist alustame samamoodi: kõigepealt leiame \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Nüüd asendaksime summa valemis \(d\) ... ja siin avaneb väike nüanss - me ei tea \(n\). Teisisõnu, me ei tea, kui palju termineid tuleb lisada. Kuidas teada saada? Mõelgem. Me lõpetame elementide lisamise, kui jõuame esimese positiivse elemendini. See tähendab, et peate välja selgitama selle elemendi numbri. Kuidas? Kirjutame üles valemi aritmeetilise progressiooni mis tahes elemendi arvutamiseks: \(a_n=a_1+(n-1)d\) meie juhtumi jaoks. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\) |
Peame \(a_n\) olema suurem kui null. Uurime välja, miks \(n\) see juhtub. |
|
|
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\) |
||
|
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Jagame võrratuse mõlemad pooled arvuga \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Kanname üle miinus ühe, unustamata märke vahetada |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Arvutamine... |
|
|
\(n> 65 333…\) |
…ja selgub, et esimene positiivne element on numbriga \(66\). Vastavalt sellele on viimasel negatiivsel \(n=65\). Igaks juhuks vaatame üle. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) |
Seega peame lisama esimesed \(65\) elemendid. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Vastus on valmis. |
Vastus: \(S_(65)=-630,5\).
Näide (OGE).
Aritmeetilise progressiooni annavad tingimused: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Leidke summa elemendist \(26\) kuni \(42\) (kaasa arvatud).
Lahendus:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Selles ülesandes peate leidma ka elementide summa, kuid alustades mitte esimesest, vaid \(26\)-ndast. Meil pole selle jaoks valemit. Kuidas otsustada? |
|
|
Meie progressiooni \(a_1=-33\) ja erinevuse \(d=4\) jaoks (lõppkokkuvõttes lisame järgmise leidmiseks eelmisele elemendile neli). Seda teades leiame esimeste \(42\)-uh elementide summa. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Nüüd esimeste \(25\)-nda elementide summa. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Ja lõpuks arvutame vastuse. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Vastus: \(S=1683\).
Aritmeetilise progressiooni jaoks on veel mitu valemit, mida me selles artiklis ei käsitlenud nende vähese praktilise kasulikkuse tõttu. Siiski saate neid hõlpsalt leida.
Esimene tase
Aritmeetiline progressioon. Üksikasjalik teooria koos näidetega (2019)
Numbriline jada
Nii et istume maha ja hakkame numbreid kirjutama. Näiteks:
Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite (meie puhul neid). Ükskõik kui palju numbreid me kirjutame, saame alati öelda, milline neist on esimene, milline teine ja nii edasi kuni viimaseni, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast:
Numbriline jada
Näiteks meie jada jaoks:
Määratud number on spetsiifiline ainult ühele järjekorranumbrile. Teisisõnu, jadas pole kolme sekundilist numbrit. Teine number (nagu -th number) on alati sama.
Numbriga arvu nimetatakse jada -ndaks liikmeks.
Tavaliselt nimetame kogu jada mõneks täheks (näiteks) ja selle jada iga liiget - sama tähte, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .
Meie puhul: 
Oletame, et meil on arvuline jada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne.
Näiteks: 
jne.
Sellist arvulist jada nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks.
Mõiste "edenemine" võttis Rooma autor Boethius kasutusele juba 6. sajandil ja seda mõisteti laiemas tähenduses lõputu numbrijadana. Nimetus "aritmeetika" kanti üle pidevate proportsioonide teooriast, millega tegelesid vanad kreeklased.
See on arvuline jada, mille iga liige on võrdne eelmisega, millele on lisatud sama number. Seda arvu nimetatakse aritmeetilise progressiooni erinevuseks ja seda tähistatakse.
Proovige kindlaks teha, millised arvujadad on aritmeetiline progressioon ja millised mitte:
a)
b)
c)
d)
Sain aru? Võrrelge meie vastuseid:
On aritmeetiline progressioon - b, c.
Ei ole aritmeetiline progressioon - a, d.
Pöördume tagasi antud progressiooni () juurde ja proovime leida selle th liikme väärtust. Olemas kaks viis selle leidmiseks.
1. Meetod
Saame lisada progressiooninumbri eelmisele väärtusele, kuni jõuame progressiooni th liikmeni. Hea, et meil pole palju kokkuvõtet – ainult kolm väärtust:
Seega on kirjeldatud aritmeetilise progressiooni -s liige võrdne.
2. viis
Mis siis, kui meil oleks vaja leida progressiooni th liikme väärtus? Summeerimine oleks võtnud meilt üle ühe tunni ja pole tõsiasi, et me poleks arvude liitmisel vigu teinud.
Muidugi on matemaatikud välja mõelnud viisi, et aritmeetilise progressiooni erinevust pole vaja eelmisele väärtusele lisada. Vaadake joonistatud pilti tähelepanelikult ... Kindlasti olete juba märganud teatud mustrit, nimelt:
Näiteks vaatame, mis moodustab selle aritmeetilise progressiooni -nda liikme väärtuse: 
Teisisõnu:
Proovige sel viisil iseseisvalt leida selle aritmeetilise progressiooni liikme väärtus.
Arvutatud? Võrrelge oma sissekandeid vastusega:
Pange tähele, et saite täpselt sama arvu, mis eelmises meetodis, kui lisasime järjestikku aritmeetilise progressiooni liikmed eelmisele väärtusele.
Proovime "depersonaliseerida" see valem- too ta juurde üldine vorm ja saada:
|
Aritmeetilise progressiooni võrrand. |
Aritmeetilised progressioonid kas suurenevad või vähenevad.
Kasvav- progressioonid, milles iga järgmine termini väärtus on eelmisest suurem.
Näiteks:
Langevad- progressioonid, milles iga järgmine termini väärtus on väiksem kui eelmine.
Näiteks:
Tuletatud valemit kasutatakse aritmeetilise progressiooni nii kasvavate kui ka kahanevate liikmete liikmete arvutamisel.
Kontrollime seda praktikas.
Meile antakse aritmeetiline progressioon, mis koosneb järgmistest numbritest:
Sellest ajast:
Seega olime veendunud, et valem töötab nii kahanevas kui ka suurendavas aritmeetilises progressioonis.
Proovige ise leida selle aritmeetilise progressiooni -ndat ja -ndat liiget.
Võrdleme tulemusi:
Aritmeetilise progressiooni omadus
Teeme ülesande keerulisemaks – tuletame aritmeetilise progressiooni omaduse.
Oletame, et meile antakse järgmine tingimus:
- aritmeetiline progressioon, leidke väärtus.
See on lihtne, ütlete ja hakkate loendama juba tuttava valemi järgi:
Olgu siis a:
Täiesti õigus. Selgub, et kõigepealt leiame, siis lisame selle esimesele numbrile ja saame otsitava. Kui progresseerumist kujutavad väikesed väärtused, siis pole selles midagi keerulist, aga mis siis, kui tingimuses on meile antud numbrid? Nõus, arvutustes on vigu võimalik teha.
Mõelge nüüd, kas seda probleemi on võimalik ühe sammuga lahendada mis tahes valemi abil? Muidugi, jah, ja me proovime selle nüüd välja tuua.
Tähistame aritmeetilise progressiooni soovitud liiget nii, et me teame selle leidmise valemit - see on sama valem, mille tuletasime alguses:
, Siis:
- edenemise eelmine liige on:
- edenemise järgmine tähtaeg on:
Summeerime edenemise eelmised ja järgmised liikmed:
Selgub, et progressiooni eelmiste ja järgnevate liikmete summa on kaks korda suurem kui nende vahel paikneva progressiooni liikme väärtus. Teisisõnu, teadaolevate eelnevate ja järjestikuste väärtustega progressiooniliikme väärtuse leidmiseks on vaja need liita ja jagada.
Täpselt nii, meil on sama number. Parandame materjali. Arvutage progresseerumise väärtus ise, sest see pole üldse keeruline.
Hästi tehtud! Teate progresseerumisest peaaegu kõike! Jääb välja selgitada ainult üks valem, mille legendi järgi on üks kõigi aegade suurimaid matemaatikuid, "matemaatikute kuningas" - Karl Gauss - enda jaoks hõlpsasti tuletatud ...
Kui Carl Gauss oli 9-aastane, esitas õpetaja, kes oli hõivatud teiste klasside õpilaste tööde kontrollimisega, tunnis järgmise ülesande: „Arvutage kõigi summa. naturaalarvud alates kuni (teistel andmetel kuni) kaasa arvatud. Mis oli õpetaja üllatus, kui üks tema õpilastest (see oli Karl Gauss) andis minuti pärast ülesandele õige vastuse, samal ajal kui enamik hulljulge klassikaaslasi sai pärast pikki arvutusi vale tulemuse ...
Noor Carl Gauss märkas mustrit, mida on lihtne märgata.
Oletame, et meil on aritmeetiline progressioon, mis koosneb -ti liikmetest: Peame leidma aritmeetilise progressiooni antud liikmete summa. Muidugi saame kõik väärtused käsitsi summeerida, aga mis siis, kui meil on vaja leida ülesandest selle liikmete summa, nagu Gauss otsis?
Kujutame meile antud progressi. Vaadake tähelepanelikult esiletõstetud numbreid ja proovige nendega teha erinevaid matemaatilisi tehteid. 
Proovis? Mida sa märkasid? Õige! Nende summad on võrdsed
Nüüd vastake, kui palju selliseid paare meile antud progressioonis on? Muidugi täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab.
Lähtudes asjaolust, et aritmeetilise progressiooni kahe liikme summa on võrdne ja sarnased võrdsed paarid, saame, et kogusumma on võrdne:
.
Seega on mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa valem järgmine:
Mõne ülesande puhul me ei tea th liiget, kuid teame progresseerumise erinevust. Proovige summa valemis asendada th liikme valemiga.
Mis sa said?
Hästi tehtud! Nüüd pöördume tagasi Carl Gaussile antud ülesande juurde: arvutage ise, milline on -ndast algavate arvude summa ja -ndast algavate arvude summa.
Kui palju sa said?
Gauss selgus, et liikmete summa on võrdne ja liikmete summa. Kas nii otsustasite?
Tegelikult tõestas aritmeetilise progressiooni liikmete summa valemit juba 3. sajandil Vana-Kreeka teadlane Diophantus ja kogu selle aja jooksul kasutasid vaimukad inimesed aritmeetilise progressiooni omadusi jõuliselt ja põhiliselt.
Näiteks kujutage ette Iidne Egiptus ja selle aja suurim ehitusplats - püramiidi ehitamine ... Joonisel on selle üks pool. 
Kus siin areng on, ütlete? Vaadake hoolikalt ja leidke püramiidi seina igas reas liivaplokkide arvust muster. 
Miks mitte aritmeetiline progressioon? Loendage, mitu plokki on vaja ühe seina ehitamiseks, kui alusesse asetada klotsid. Loodan, et te ei loe sõrmega üle monitori liigutades, kas mäletate viimast valemit ja kõike, mida me aritmeetilise progressiooni kohta rääkisime?
Sel juhul näeb edenemine välja järgmine:
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Aritmeetilise progressiooni liikmete arv.
Asendame oma andmed viimastesse valemitesse (loendame plokkide arvu kahel viisil).
1. meetod.
2. meetod.
Ja nüüd saate ka monitoril arvutada: võrrelda saadud väärtusi meie püramiidis olevate plokkide arvuga. Kas see nõustus? Hästi tehtud, olete omandanud aritmeetilise progressiooni liikmete summa.
Muidugi ei saa te aluse plokkidest püramiidi ehitada, aga millest? Proovige arvutada, kui palju liivatelliseid on selle tingimusega seina ehitamiseks vaja.
Kas said hakkama?
Õige vastus on plokid:
Koolitus
Ülesanded:
- Maša on suveks vormi saamas. Iga päev suurendab ta kükkide arvu. Mitu korda kükib Maša nädalate jooksul, kui ta tegi kükke esimeses treeningus.
- Mis on kõigis sisalduvate paaritute arvude summa.
- Palkide ladustamisel laovad metsamehed need nii, et iga pealmine kiht sisaldab ühe palgi vähem kui eelmises. Mitu palki on ühes müüritises, kui müüritise alus on palgid.
Vastused:
- Määratleme aritmeetilise progressiooni parameetrid. Sel juhul
(nädalad = päevad).Vastus: Kahe nädala pärast peaks Masha kükitama kord päevas.
- Esimene paaritu number, viimane number.
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Paaritute arvude arv pooles, kontrollige seda fakti aritmeetilise progressiooni -nda liikme leidmise valemi abil:Numbrid sisaldavad paarituid numbreid.
Asendame saadaolevad andmed valemiga:Vastus: Kõigis sisalduvate paaritute arvude summa on võrdne.
- Tuletage meelde püramiididega seotud probleemi. Meie puhul a , kuna iga pealmine kiht on vähendatud ühe palgi võrra, on ainult hunnik kihte, see tähendab.
Asendage andmed valemis:Vastus: Müüritises on palgid.
Summeerida
- - numbriline jada, milles kõrvuti asetsevate arvude erinevus on sama ja võrdne. See suureneb ja väheneb.
- Valemi leidmine aritmeetilise progressiooni liige kirjutatakse valemiga - , kus on progressioonis olevate arvude arv.
- Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus- - kus - progressi arvude arv.
- Aritmeetilise progressiooni liikmete summa võib leida kahel viisil:
, kus on väärtuste arv.
ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. KESKMINE TASE
Numbriline jada
Istume maha ja hakkame mõnda numbrit kirjutama. Näiteks:
Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite. Kuid alati saab öelda, milline neist on esimene, kumb teine ja nii edasi, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast.
Numbriline jada on numbrite komplekt, millest igaühele saab määrata kordumatu numbri.
Teisisõnu, iga arvu saab seostada teatud naturaalarvuga ja ainult ühega. Ja me ei määra seda numbrit ühelegi teisele selle komplekti numbrile.
Numbriga arvu nimetatakse jada -ndaks liikmeks.
Tavaliselt nimetame kogu jada mõneks täheks (näiteks) ja selle jada iga liiget - sama tähte, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .
Väga mugav on, kui jada -nda liige saab esitada mingi valemiga. Näiteks valem
määrab järjestuse:
Ja valem on järgmine jada:
Näiteks aritmeetiline progressioon on jada (esimene liige on siin võrdne ja erinevus). Või (, erinevus).
n-nda termini valem
Korduvaks nimetame valemit, milles -nda liikme väljaselgitamiseks peate teadma eelmist või mitut eelnevat:
Et leida sellise valemi abil näiteks progressiooni th liiget, peame arvutama eelmised üheksa. Näiteks lase. Seejärel:
Noh, nüüd on selge, mis valem on?
Igal real liidame, korrutatuna mõne arvuga. Milleks? Väga lihtne: see on praeguse liikme number miinus:
Nüüd on palju mugavam, eks? Kontrollime:
Otsustage ise:
Leidke aritmeetilises progressioonis n-nda liikme valem ja sajanda liige.
Lahendus:
Esimene täht on võrdne. Ja mis vahet sellel on? Ja siin on see, mis:
(lõppude lõpuks nimetatakse seda erinevuseks, kuna see on võrdne progressiooni järjestikuste liikmete erinevusega).
Seega valem on järgmine:
Siis on sajas liige:
Mis on kõigi naturaalarvude summa alates kuni?
Legendi järgi arvutas suur matemaatik Carl Gauss, olles 9-aastane poiss, selle summa mõne minutiga välja. Ta märkas, et esimese ja viimase arvu summa on võrdne, teise ja eelviimase summa on sama, kolmanda ja 3. summa lõpust on sama jne. Kui palju selliseid paare on? See on õige, täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab. Niisiis,
Mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa üldvalem on järgmine:
Näide:
Leidke kõigi summa kahekohalised numbrid, mitmekordsed.
Lahendus:
Esimene selline number on see. Iga järgmine saadakse, lisades eelmisele numbri. Seega moodustavad meid huvitavad arvud aritmeetilise progressiooni esimese liikme ja erinevusega.
Selle progresseerumise kolmanda liikme valem on:
Mitu liiget on progressioonis, kui need kõik peavad olema kahekohalised?
Väga lihtne: .
Edenemise viimane tähtaeg on võrdne. Siis summa:
Vastus:.
Otsustage nüüd ise:
- Iga päev jookseb sportlane 1m rohkem kui eelmisel päeval. Mitu kilomeetrit ta nädalatega jookseb, kui ta jooksis esimesel päeval km m?
- Jalgrattur sõidab iga päev rohkem miile kui eelmine. Esimesel päeval sõitis ta km. Mitu päeva peab ta sõitma, et kilomeeter läbida? Mitu kilomeetrit ta reisi viimasel päeval läbib?
- Külmiku hinda poes langetatakse igal aastal sama palju. Tehke kindlaks, kui palju külmiku hind igal aastal langes, kui rubla eest müüki pandud, kuus aastat hiljem müüdi see rubla eest.
Vastused:
- Siin on kõige olulisem aritmeetilise progressiooni äratundmine ja selle parameetrite määramine. Sel juhul (nädalad = päevad). Peate määrama selle progresseerumise esimeste tingimuste summa:
.
Vastus: - Siin on antud:, on vaja leida.
Ilmselt peate kasutama sama summa valemit nagu eelmises ülesandes:
.
Asendage väärtused:Juur ilmselgelt ei sobi, seega vastus.
Arvutame viimase päeva jooksul läbitud vahemaa, kasutades -nda liikme valemit:
(km).
Vastus: - Arvestades: . Leia:.
See ei lähe lihtsamaks:
(hõõruda).
Vastus:
ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. LÜHIDALT PEAMISEST
See on arvuline jada, milles kõrvuti asetsevate arvude erinevus on sama ja võrdne.
Aritmeetiline progressioon suureneb () ja väheneb ().
Näiteks:
Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme leidmise valem
kirjutatakse valemina, kus on arvude arv progresseerumisel.
Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus
See muudab progressi liikme leidmise lihtsaks, kui selle naaberliikmed on teada – kus on progressioonis olevate arvude arv.
Aritmeetilise progressiooni liikmete summa
Summa leidmiseks on kaks võimalust:
Kus on väärtuste arv.
Kus on väärtuste arv.
