Ennek segítségével online számológép keresse meg a vonalak közötti szöget. Részletes megoldást adunk magyarázatokkal. A vonalak közötti szög kiszámításához állítsa be a méretet (2-ha egy egyenest síkon veszünk figyelembe, 3- ha egy egyenest térben tekintünk), írja be az egyenlet elemeit a cellákba, és kattintson a " Megoldás" gombra. Lásd alább az elméleti részt.

×

Figyelem

Törli az összes cellát?

Bezárás Törlés

Adatbeviteli utasítás. A számokat egész számokként (például 487, 5, -7623 stb.), decimális számokként (pl. 67., 102,54 stb.) vagy törtként kell megadni. A törtet a/b formában kell beírni, ahol a és b (b>0) egész szám, ill. decimális számok. Példák 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 stb.

1. Egy sík vonalai közötti szög

Az egyeneseket a kanonikus egyenletek adják meg

1.1. A vonalak közötti szög meghatározása

Hagyja, hogy a vonalak kétdimenziós térben legyenek L 1 és L

Így az (1.4) képletből megtalálhatjuk a vonalak közötti szöget L 1 és L 2. Amint az 1. ábrán látható, a metsző vonalak szomszédos szögeket alkotnak φ És φ 1 . Ha a talált szög nagyobb, mint 90°, akkor megtalálhatja a vonalak közötti minimális szöget L 1 és L 2: φ 1 =180-φ .

Az (1.4) képletből következtethetünk két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltételeire.

Példa 1. Határozza meg a vonalak közötti szöget!

Egyszerűsítsük és oldjuk meg:

1.2. Párhuzamos vonalak állapota

Hadd φ =0. Akkor cosφ=1. Ebben az esetben az (1.4) kifejezés a következő formában jelenik meg:

,

,

2. példa Határozza meg, hogy az egyenesek párhuzamosak-e

Az (1.9) egyenlőség teljesül, ezért az (1.10) és (1.11) egyenesek párhuzamosak.

Válasz. Az (1.10) és (1.11) egyenesek párhuzamosak.

1.3. A vonalak merőlegességének feltétele

Hadd φ =90°. Akkor cosφ=0. Ebben az esetben az (1.4) kifejezés a következő formában jelenik meg:

3. példa Határozza meg, hogy az egyenesek merőlegesek-e

Az (1.13) feltétel teljesül, ezért az (1.14) és (1.15) egyenesek merőlegesek.

Válasz. Az (1.14) és (1.15) egyenesek merőlegesek.

Az egyeneseket az általános egyenletek adják meg

1.4. A vonalak közötti szög meghatározása

Legyen két sor L 1 és L 2 általános egyenletek adják meg

Két vektor skaláris szorzatának definíciójából a következőt kapjuk:

4. példa Keresse meg a vonalak közötti szöget

Értékek helyettesítése A 1 , B 1 , A 2 , B 2 in (1,23), kapjuk:

Ez a szög nagyobb, mint 90°. Keresse meg a vonalak közötti minimális szöget. Ehhez vonja ki ezt a szöget 180-ból:

Másrészt a párhuzamos egyenesek feltétele L 1 és L 2 ekvivalens a kollineáris vektorok feltételével n 1 és n 2, és a következőképpen ábrázolható:

Az (1.24) egyenlőség teljesül, ezért az (1.26) és (1.27) egyenesek párhuzamosak.

Válasz. Az (1.26) és (1.27) egyenesek párhuzamosak.

1.6. A vonalak merőlegességének feltétele

A vonalak merőlegességének feltétele L 1 és L 2 helyettesítéssel kinyerhető az (1.20) képletből kötözősaláta(φ )=0. Ezután a skalárszorzat ( n 1 ,n 2)=0. Ahol

Az (1.28) egyenlőség teljesül, ezért az (1.29) és (1.30) egyenesek merőlegesek.

Válasz. Az (1.29) és (1.30) egyenesek merőlegesek.

2. A vonalak közötti szög a térben

2.1. A vonalak közötti szög meghatározása

Engedd a vonalakat a térbe L 1 és L 2-t a kanonikus egyenletek adják meg

ahol | q 1 | és | q 2 | irányvektor modulok q 1 és q 2, ill. φ - vektorok közötti szög q 1 és q 2 .

A (2.3) kifejezésből a következőket kapjuk:

.

Egyszerűsítsük és oldjuk meg:

.

Keressük meg a sarkot φ

Legyenek vonalak adottak a térben lÉs m. A tér valamely A pontján keresztül egyenes vonalakat húzunk l 1 || lÉs m 1 || m(138. ábra).

Figyeljük meg, hogy az A pont tetszőlegesen választható, különösen az adott egyenesek valamelyikén feküdhet. Ha egyenes lÉs m metszi egymást, akkor A-t tekinthetjük ezen egyenesek metszéspontjának ( l 1 = lÉs m 1 = m).

Szög a nem párhuzamos vonalak között lÉs m a metsző egyenesek által alkotott szomszédos szögek legkisebb értéke l 1 És m 1 (l 1 || l, m 1 || m). A párhuzamos egyenesek közötti szöget nullának kell tekinteni.

Szög a vonalak között lÉs m jelölése \(\widehat((l;m)) \). A definícióból az következik, hogy ha fokban mérjük, akkor 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, és ha radiánban, akkor 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Feladat. Adott az ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kocka (139. ábra).

Határozzuk meg az AB és DC 1 egyenesek közötti szöget.

Egyenes AB és DC 1 kereszteződés. Mivel a DC egyenes párhuzamos az AB egyenessel, az AB és DC 1 egyenesek közötti szög a definíció szerint egyenlő \(\widehat(C_(1)DC)\).

Ezért \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Közvetlen lÉs m hívott merőleges, ha \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Például egy kockában

A vonalak közötti szög kiszámítása.

A térben két egyenes közötti szög kiszámításának problémája ugyanúgy megoldott, mint a síkban. Jelölje φ-vel a vonalak közötti szöget l 1 És l 2 , és ψ-n keresztül - az irányvektorok közötti szög A És b ezeket az egyenes vonalakat.

Aztán ha

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (206.6. ábra), akkor φ = 180° - ψ. Nyilvánvaló, hogy mindkét esetben igaz a cos φ = |cos ψ| egyenlőség. A képlet szerint (az a és b nem nulla vektorok közötti szög koszinusza egyenlő ezen vektorok skaláris szorzatával osztva a hosszuk szorzatával)

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

ennélfogva,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Adják meg az egyeneseket a kanonikus egyenleteik

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; És \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Ezután a képlet segítségével meghatározzuk a vonalak közötti φ szöget

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Ha az egyik egyenest (vagy mindkettőt) nem kanonikus egyenletek adják meg, akkor a szög kiszámításához meg kell találni ezen egyenesek irányvektorainak koordinátáit, majd az (1) képletet kell használni.

1. feladat. Számítsa ki a vonalak közötti szöget

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;és\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Az egyenesek irányvektorainak koordinátái vannak:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Az (1) képlet alapján azt találjuk

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Ezért ezen vonalak közötti szög 60°.

2. feladat. Számítsa ki a vonalak közötti szöget

$$ \begin(esetek)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(esetek) és \begin(esetek)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(esetek) $$

A vezetővektor mögött A vegye az első sort vektor termék normálvektorok n 1 = (3; 0; -12) és n 2 = (1; 1; -3) ezt az egyenest meghatározó síkok. A \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) képlettel azt kapjuk, hogy

$$ a==\begin(vmátrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Hasonlóképpen megtaláljuk a második egyenes irányvektorát:

$$ b=\begin(vmátrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

De az (1) képlet kiszámítja a kívánt szög koszinuszát:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Ezért ezen vonalak közötti szög 90°.

3. feladat. A MAVS háromszöggúlában az MA, MB és MC élek egymásra merőlegesek, (207. ábra);

hosszuk rendre 4, 3, 6. A D pont a középső [MA]. Keresse meg a CA és a DB egyenesek közötti φ szöget.

Legyenek SA és DB az SA és DB egyenesek irányvektorai.

Vegyük az M pontot a koordináták origójának. A feladatfeltétel szerint van A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Ezért \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Az (1) képletet használjuk:

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

A koszinusztáblázat alapján azt találjuk, hogy a CA és a DB egyenesek közötti szög körülbelül 72°.

Minden matematika vizsgára készülő diák számára hasznos lesz, ha megismétli a „Vonalok közötti szög keresése” témát. Amint a statisztikák azt mutatják, a tanúsítási teszt sikeres teljesítése során a sztereometria e szakaszában szereplő feladatok nagyszámú diák számára nehézséget okoznak. Ugyanakkor az egyenesek közötti szög megállapítását igénylő feladatok megtalálhatók a USE-ban mind az alap, mind a profilszint. Ez azt jelenti, hogy ezeket mindenkinek meg kell tudnia oldani.

Alapvető pillanatok

A vonalak térbeli kölcsönös elrendezésének 4 típusa van. Egybeeshetnek, metszhetik egymást, lehetnek párhuzamosak vagy metszőek. A köztük lévő szög lehet hegyes vagy egyenes.

Az egységes államvizsgán vagy például a megoldásban a vonalak közötti szög megtalálásához a moszkvai és más városok iskolásai több módszert is használhatnak a sztereometria ezen szakaszában a problémák megoldására. A feladatot klasszikus konstrukciókkal oldhatja meg. Ehhez érdemes elsajátítani a sztereometria alapvető axiómáit, tételeit. A tanulónak képesnek kell lennie logikus érvelés felépítésére és rajzok készítésére annak érdekében, hogy a feladatot egy planimetrikus feladathoz hozzák.

Alkalmazással is használhatja a vektor-koordináta módszert egyszerű képletek, szabályok és algoritmusok. Ebben az esetben a legfontosabb az összes számítás helyes végrehajtása. Fejlessze problémamegoldó készségeit a sztereometriában és más témákban iskolai tanfolyam segíteni fog neked oktatási projekt"Shkolkovo".

A. Legyen két egyenes, ezek a vonalak, amint azt az 1. fejezetben jeleztük, különböző pozitív és negatív szögeket alkotnak, amelyek lehetnek hegyesek vagy tompaszögűek. Ha ismerjük az egyik szöget, könnyen találunk másikat.

Egyébként mindezen szögeknél az érintő számértéke ugyanaz, a különbség csak az előjelben lehet

Vonalegyenletek. A számok az első és a második egyenes irányítóvektorának vetületei, amelyek között a szög egyenlő az egyenesek által alkotott szögek valamelyikével. Ezért a probléma a vektorok közötti szög meghatározására redukálódik, azt kapjuk

Az egyszerűség kedvéért megegyezhetünk két egyenes közötti szögben, hogy megértsük a hegyes pozitív szöget (mint például az 53. ábrán).

Ekkor ennek a szögnek az érintője mindig pozitív lesz. Így ha az (1) képlet jobb oldalán mínusz jelet kapunk, akkor azt el kell vetnünk, azaz csak az abszolút értéket kell megtartanunk.

Példa. Határozza meg a vonalak közötti szöget!

Az (1) képlet alapján megvan

Val vel. Ha fel van tüntetve, hogy a szög melyik oldala a kezdete és melyik a vége, akkor mindig a szög irányát az óramutató járásával ellentétes irányba számolva az (1) képletekből még valamit kivonhatunk. Amint az az ábrából könnyen látható. 53 Az (1) képlet jobb oldalán kapott jel jelzi, hogy melyik - hegyes vagy tompaszögű - szög alkotja a második vonalat az elsővel.

(Valóban, az 53. ábrán azt látjuk, hogy az első és a második irányvektor közötti szög vagy egyenlő a kívánt vonalak közötti szöggel, vagy ±180°-kal eltér attól.)

d. Ha az egyenesek párhuzamosak, akkor az irányvektoraik is párhuzamosak Két vektor párhuzamosságának feltételét alkalmazva kapjuk!

Ez szükséges és elégséges feltétele annak, hogy két egyenes párhuzamos legyen.

Példa. Közvetlen

párhuzamosak, mert

e. Ha az egyenesek merőlegesek, akkor az irányvektoraik is merőlegesek. Két vektor merőlegességi feltételét alkalmazva megkapjuk két egyenes merőlegességi feltételét, nevezetesen

Példa. Közvetlen

merőleges, mert

A párhuzamosság és a merőlegesség feltételeivel kapcsolatban a következő két feladatot fogjuk megoldani.

f. Rajzolj egy ponton keresztül egy adott egyenessel párhuzamos egyenest

A döntés így születik. Mivel a kívánt egyenes párhuzamos az adott egyenessel, ezért annak irányító vektorához ugyanazt vehetjük, mint az adott egyenesé, azaz egy A és B vetületű vektort. Ekkor felírjuk a kívánt egyenes egyenletét. formában (1. §)

Példa. Egy egyenessel párhuzamos ponton (1; 3) átmenő egyenes egyenlete

lesz a következő!

g. Rajzoljon egy egyenest egy ponton keresztül, amely merőleges az adott egyenesre

Itt már nem alkalmas A vetületű vektort venni irányító vektornak, hanem egy rá merőleges vektort kell nyerni. Ennek a vektornak a vetületeit ezért annak a feltételnek megfelelően kell megválasztani, hogy mindkét vektor merőleges, azaz a feltételnek megfelelően

Ez a feltétel végtelen sokféleképpen teljesíthető,hiszen itt egy egyenlet van két ismeretlennel.De a legegyszerűbb úgy felvenni.Akkor a kívánt egyenes egyenlete a formában lesz felírva

Példa. A (-7; 2) ponton átmenő egyenes egyenlete egy merőleges egyenesben

a következő lesz (a második képlet szerint)!

h. Abban az esetben, ha az egyeneseket alakegyenletek adják meg

Meghatározás. Ha két egyenest y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , akkor a vonalak közötti hegyesszöget a következőképpen határozzuk meg

Két egyenes párhuzamos, ha k 1 = k 2 . Két egyenes merőleges, ha k 1 = -1/ k 2 .

Tétel. Az Ax + Vy + C \u003d 0 és A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 egyenesek párhuzamosak, ha az A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB együtthatók arányosak. Ha С 1 = λС is, akkor a vonalak egybeesnek. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit ezen egyenesek egyenletrendszerének megoldásaként találjuk meg.

Áthaladó egyenes egyenlete adott pont

Erre az egyenesre merőlegesen

Meghatározás. Az M 1 (x 1, y 1) ponton átmenő és az y \u003d kx + b egyenesre merőleges egyenest a következő egyenlet ábrázolja:

Távolság ponttól vonalig

Tétel. Ha adott egy M(x 0, y 0) pont, akkor az Ax + Vy + C \u003d 0 egyenes távolságát a következőképpen határozzuk meg:

.

Bizonyíték. Legyen az M 1 (x 1, y 1) pont az M pontból az adott egyenesre ejtett merőleges alapja. Ekkor az M és M 1 pontok közötti távolság:

(1)

Az x 1 és y 1 koordináták az egyenletrendszer megoldásaként találhatók:

A rendszer második egyenlete egy adott M 0 ponton átmenő egyenes egyenlete, amely merőleges egy adott egyenesre. Ha a rendszer első egyenletét alakra alakítjuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 + C = 0,

majd megoldva a következőket kapjuk:

Ezeket a kifejezéseket az (1) egyenletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy:

A tétel bizonyítást nyert.

Példa. Határozza meg a vonalak közötti szöget: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Példa. Mutassuk meg, hogy a 3x - 5y + 7 = 0 és a 10x + 6y - 3 = 0 egyenesek merőlegesek.

Megoldás. Megtaláljuk: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, ezért a vonalak merőlegesek.

Példa. Az A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) háromszög csúcsai adottak. Határozzuk meg a C csúcsból húzott magasság egyenletét!

Megoldás. Megtaláljuk az AB oldal egyenletét: ; 4 x = 6 y-6;

2x – 3 év + 3 = 0;

A kívánt magassági egyenlet: Ax + By + C = 0 vagy y = kx + b. k = . Ekkor y = . Mert a magasság áthalad a C ponton, akkor a koordinátái kielégítik ezt az egyenletet: ahonnan b = 17. Összesen: .

Válasz: 3x + 2y - 34 = 0.

Adott ponton adott irányban átmenő egyenes egyenlete. Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete. Szög két vonal között. Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltétele. Két egyenes metszéspontjának meghatározása

1. Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete A(x 1 , y 1) adott irányban, amelyet a lejtő határozza meg k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ez az egyenlet egy ponton áthaladó vonalak ceruzáját határozza meg A(x 1 , y 1), amelyet a sugár középpontjának nevezünk.

2. Két ponton átmenő egyenes egyenlete: A(x 1 , y 1) és B(x 2 , y 2) így van leírva:

A két adott ponton áthaladó egyenes meredekségét a képlet határozza meg

3. Az egyenesek közötti szög AÉs B az a szög, amellyel az első egyenest el kell forgatni A ezen vonalak metszéspontja körül az óramutató járásával ellentétes irányban, amíg egybe nem esik a második vonallal B. Ha két egyenest meredekségi egyenletek adnak meg

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

akkor a köztük lévő szöget a képlet határozza meg

Meg kell jegyezni, hogy a tört számlálójában az első egyenes meredekségét le kell vonni a második egyenes meredekségéből.

Ha egy egyenes egyenleteit megadjuk Általános nézet

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

a köztük lévő szöget a képlet határozza meg

4. Két egyenes párhuzamosságának feltételei:

a) Ha az egyeneseket a (4) egyenletek meredekséggel adják meg, akkor a szükséges ill elégséges állapot párhuzamosságuk szögegyütthatóik egyenlőségében áll:

k 1 = k 2 . (8)

b) Abban az esetben, ha az egyeneseket a (6) általános formájú egyenletek adják meg, párhuzamosságuk szükséges és elégséges feltétele, hogy az egyenleteikben a megfelelő áramkoordinátákon lévő együtthatók arányosak legyenek, azaz.

5. Két egyenes merőlegességének feltételei:

a) Abban az esetben, ha az egyeneseket a (4) egyenletek meredekséggel adják meg, akkor a merőlegességük szükséges és elégséges feltétele, hogy meredekségeik reciprok nagyságúak és ellentétes előjelűek, azaz.

Ez a feltétel az űrlapba is beírható

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ha az egyenesek egyenletei általános formában (6) vannak megadva, akkor merőlegességük (szükséges és elégséges) feltétele az egyenlőség teljesülése

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit a (6) egyenletrendszer megoldásával találjuk meg. A (6) vonalak akkor és csak akkor metszik egymást

1. Írja fel az M ponton átmenő egyenesek egyenleteit, amelyek közül az egyik párhuzamos, a másik merőleges az adott l egyenesre!