Online számológép 2 csodálatos határ. Funkciók határainak online számítása. Egy függvény cauchy határértéke

Általában a második figyelemre méltó határ a következő formában van írva:

\begin(egyenlet) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(egyenlet)

Az (1) egyenlőség jobb oldalán jelzett $e$ szám irracionális. Ennek a számnak a hozzávetőleges értéke: $e\approx(2(,)718281828459045)$. Ha végrehajtjuk a $t=\frac(1)(x)$ behelyettesítést, akkor az (1) képlet a következő formában írható át:

\begin(egyenlet) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(egyenlet)

Ami az első figyelemre méltó határt illeti, nem mindegy, hogy melyik kifejezést használjuk az (1) képletben a $x$ változó helyett, vagy a (2) képletben a $t$ változó helyett. A fő dolog két feltétel teljesülése:

A fokozat alapja (azaz az (1) és (2) képlet zárójelben lévő kifejezése) egynek kell lennie;
A kitevőnek (azaz $x$ az (1) képletben vagy $\frac(1)(t)$ a (2) képletben) a végtelen felé kell irányulnia.

Azt mondják, hogy a második figyelemre méltó határ $1^\infty$ határozatlanságáról árulkodik. Figyeljük meg, hogy az (1) képletben nem adjuk meg, hogy milyen végtelenről ($+\infty$ vagy $-\infty$) beszélünk. Ezen esetek bármelyikében igaz az (1) képlet. A (2) képletben a $t$ változó balról és jobbról egyaránt nullára hajolhat.

Megjegyzem, hogy a második figyelemre méltó határnak több hasznos következménye is van. A második figyelemre méltó határérték alkalmazására vonatkozó példák, valamint annak következményei nagyon népszerűek a szabványos standard számítások és tesztek készítői körében.

1. példa

Számítsa ki a $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$ korlátot.

Rögtön megjegyezzük, hogy a fokozat alapja (azaz $\frac(3x+1)(3x-5)$) egyre hajlik:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) =1. $$

Ebben az esetben a kitevő ($4x+7$ kifejezés) a végtelenbe hajlik, azaz. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

A fok alapja egy, a kitevő a végtelen felé, azaz. $1^\infty$ bizonytalanságával van dolgunk. Alkalmazzuk a képletet ennek a bizonytalanságnak a feltárására. A $1+\frac(1)(x)$ kifejezés a képlet fokszámának alján található, példánkban pedig a fokszám alapja a következő: $\frac(3x+1)(3x-5)$. Ezért az első lépés a $\frac(3x+1)(3x-5)$ kifejezés formális beállítása $1+\frac(1)(x)$ értékre. Kezdjük azzal, hogy összeadunk és kivonunk egyet:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

Meg kell jegyezni, hogy lehetetlen egyszerűen hozzáadni egy egységet. Ha kénytelenek vagyunk egy mértékegységet hozzáadni, akkor azt is ki kell vonni, hogy ne változzon a teljes kifejezés értéke. A megoldás folytatásához ezt figyelembe vesszük

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1-3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

Mivel $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, akkor:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) $$

Folytassuk a kiigazítással. A képlet $1+\frac(1)(x)$ kifejezésében a tört számlálója 1, a $1+\frac(6)(3x-5)$ kifejezésünkben pedig a számláló $6$. Ahhoz, hogy a számlálóba $1$ kerüljön, dobjon $6$-t a nevezőbe a következő transzformáció segítségével:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

És így,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$

Tehát a diploma alapja, i.e. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, úgy igazítva, hogy a képletben megkövetelt $1+\frac(1)(x)$ illeszkedjen. Most kezdjünk el dolgozni a kitevővel. Vegye figyelembe, hogy a képletben a kifejezések a kitevőben és a nevezőben megegyeznek:

Ez azt jelenti, hogy példánkban a kitevőt és a nevezőt azonos alakba kell hozni. Ahhoz, hogy a $\frac(3x-5)(6)$ kifejezést megkapja a kitevőben, egyszerűen szorozza meg a kitevőt ezzel a törttel. Természetesen egy ilyen szorzás kompenzálásához azonnal meg kell szoroznia a reciprokkal, azaz. $\frac(6)(3x-5)$-ba. Tehát nekünk van:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)\jobbra(3)x)\c5) \c dot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7)))($3x-5)

Külön vegye figyelembe a hatványban található $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ tört határát:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\frac(4)(3) =8. $$

Válasz: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2)(9))$.

4. példa

Keresse meg a $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$ korlátot.

Mivel $x>0$ esetén $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, akkor:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) $$

A $\frac(x+1)(x)$ törtet a $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ törtek összegére bontva kapjuk:

USD rac(x+1)(x)\jobbra)^x\jobbra) =\ln(e) =1. $$

Válasz: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

5. példa

Keresse meg a $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$ korlátot.

Mivel $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ és $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)=\infty$, ezért a $1^\infty$ alakú határozatlansággal van dolgunk. A részletes magyarázatot a 2. példa tartalmazza, de itt csak egy rövid megoldásra szorítkozunk. A $t=x-2$ behelyettesítéssel a következőt kapjuk:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=x-2;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(igazított)\jobbra| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot\biggl(1+3t\biggr)\c(2t+4) (0) ))\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^3. $$

Ezt a példát más módon is megoldhatja, a következő helyettesítéssel: $t=\frac(1)(x-2)$. Természetesen a válasz ugyanaz lesz:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\bal|\begin(igazított)&t=\frac(1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\vége\inf)ty =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3)(\c)(c)c)^(\c)(c) \frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot)(4t+1))(4t+1)) $$

Válasz: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

6. példa

Keresse meg a $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $ határértéket.

Nézzük meg, mire hajlamos a $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ kifejezés a $x\to\infty$ feltétel alatt:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2-0)=1. $$

Így az adott limitben egy $1^\infty$ alakú határozatlansággal van dolgunk, amit a második figyelemre méltó határérték segítségével fogunk feltárni:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x\to\lim_f(ty) =\lim_1(c) 2x^2-4)(7))\jobbra)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)\xlepont\f-4)(2x^2-4) ( \left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Válasz: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

Azok számára, akik szeretnék megtanulni, hogyan találják meg a korlátokat ebben a cikkben, arról fogunk beszélni. Az elméletbe nem fogunk belemenni, általában a tanárok előadásain tartják. Tehát az "unalmas elméletet" fel kell vázolni a füzeteiben. Ha nem, akkor elolvashatja a könyvtárból vett tankönyveket oktatási intézmény vagy más online források.

Tehát a határ fogalma nagyon fontos a felsőbb matematika kurzusának tanulmányozásában, különösen, ha találkozunk az integrálszámítással, és megértjük a határ és az integrál közötti kapcsolatot. A jelenlegi anyag figyelembe veszi egyszerű példák, valamint ezek megoldásának módjait.

Megoldási példák

1. példa
Számítsa ki a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
Megoldás
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Gyakran kapjuk ezeket a korlátokat, hogy segítséget kérjünk a megoldáshoz. Úgy döntöttünk, hogy külön példaként kiemeljük őket, és elmagyarázzuk, hogy ezekre a határokra általában egyszerűen emlékezni kell. Ha nem tudja megoldani a problémát, küldje el nekünk. Részletes megoldást adunk. Képes lesz megismerkedni a számítás menetével és információkat gyűjteni. Ez segít abban, hogy időben kreditet kapjon a tanártól!
Válasz
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$

Mi a teendő az űrlap bizonytalanságával: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

3. példa
$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ megoldása
Megoldás
Mint mindig, most is azzal kezdjük, hogy behelyettesítjük a $ x $ értékét a határjel alatti kifejezésbe. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac(0)(0) $$ Mi a következő lépés? Mi legyen az eredmény? Mivel ez bizonytalanság, ez még nem válasz, és folytatjuk a számítást. Mivel a számlálókban polinom van, a jól ismert $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ képlet segítségével bontjuk faktorokra. Emlékezett? Nagy! Most pedig alkalmazd a dalhoz :) Azt kapjuk, hogy a $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ számláló Folytatjuk a megoldást a fenti átalakítás alapján: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+1))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
Válasz
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Vegyük az utolsó két példában szereplő határértéket a végtelenbe, és vegyük figyelembe a bizonytalanságot: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

5. példa
A $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ kiszámítása
Megoldás
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Mit kell tenni? Hogyan legyen? Ne ess pánikba, mert a lehetetlen lehetséges. A számlálóból és az X nevezőből is ki kell venni a zárójeleket, majd kicsinyíteni. Ezután próbálja meg kiszámítani a határértéket. Megpróbálja... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac(1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ A 2. példa definícióját használva és x helyett a végtelent kapjuk: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Válasz
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritmus a határértékek kiszámításához

Tehát röviden foglaljuk össze az elemzett példákat, és készítsünk egy algoritmust a határértékek megoldására:

Helyettesítsd be az x pontot a határjel utáni kifejezésben! Ha egy bizonyos számot vagy végtelent kapunk, akkor a határ teljesen megoldott. Ellenkező esetben bizonytalanságunk van: "nulla osztva nullával" vagy "végtelen osztva a végtelennel", és folytassa az utasítás következő bekezdéseivel.
A "nulla osztás nullával" bizonytalanság kiküszöbölése érdekében a számlálót és a nevezőt tizedelni kell. Csökkentse a hasonlót. Helyettesítsd be az x pontot a határjel alatti kifejezésben.
Ha a bizonytalanság a "végtelen osztva a végtelennel", akkor a számlálóból és a nevezőből is kivesszük a legnagyobb mértéket. Lerövidítjük az x-eket. A határ alatti x értékeket behelyettesítjük a fennmaradó kifejezésbe.

Ebben a cikkben megismerkedtél a Kalkulus tanfolyamon gyakran használt határértékek megoldásának alapjaival. Természetesen ezek a vizsgáztatók által kínált problémák nem minden típusa, hanem csak a legegyszerűbb korlátok. Más típusú feladatokról a jövőbeni cikkekben fogunk beszélni, de először meg kell tanulnia ezt a leckét a továbblépéshez. Megbeszéljük, mit tegyünk, ha vannak gyökök, fokok, tanulmányozzuk a végtelenül kicsi ekvivalens függvényeket, csodálatos határokat, L'Hopital szabályát.

Ha nem tudod egyedül kitalálni a határokat, ne ess pánikba. Mindig szívesen segítünk!

Mi az a határ? A határ fogalma

Kivétel nélkül, valahol a lelke mélyén mindenki érti, mi az a határ, de amint meghallja a „funkciókorlát” vagy a „sorrendi határ” szót, egy kis zavar támad.

Ne félj, ez csak a tudatlanságból van! 3 perc elteltével az alábbiak elolvasása után írástudóbb leszel.

Fontos, hogy egyszer s mindenkorra megértsük, mire gondolnak, amikor bizonyos korlátozó pozíciókról, jelentésekről, helyzetekről beszélnek, és általában, amikor az életben a határ kifejezéshez folyamodnak.

A felnőttek ezt intuitívan értik, és néhány példával elemezzük.

Egy példa

Emlékezzünk vissza a Chaif csoport dalának soraira: "... ne vedd a határig, ne vedd a határig ...".

2. példa

Bizonyára hallottad már azt a mondatot, hogy egy tárgy rendkívül stabil helye van a térben.

Te magad is könnyen szimulálhatsz egy ilyen helyzetet rögtönzött dolgokkal.

Például kissé döntse meg a műanyag palackot, és engedje el. Vissza fog menni az aljára.

De vannak olyan korlátozó ferde pozíciók, amelyeken túl egyszerűen leesik.

A korlátozó pozíció ebben az esetben is valami sajátos. Ezt fontos megérteni.

A határ kifejezés használatára számos példa hozható: az emberi képességek határa, az anyag végső szilárdsága stb.

Nos, általában minden nap szembesülünk a törvénytelenségekkel)))

De most a sorozat határa és egy függvény határa érdekel minket a matematikában.

A számsor határértéke a matematikában

Limit (egy numerikus sorozat) - az egyik alapfogalom matematikai elemzés. A modern tudományt meghatározó tételek százai és százai a határig való áthaladás fogalmán alapulnak.

Azonnal konkrét példa az egyértelműség kedvéért.

Tegyük fel, hogy van egy végtelen számsorozat, amelyek mindegyike az előző fele, egytől kezdve: 1, ½, ¼, ...

Tehát a numerikus sorozat határa (ha létezik) valamilyen meghatározott érték.

A felezési folyamat során a sorozat minden további értéke korlátlanul közelít egy bizonyos számhoz.

Könnyű kitalálni, hogy nulla lesz.

Fontos!

Ha határérték (határérték) létezéséről beszélünk, ez nem azt jelenti, hogy a sorozat valamely tagja egyenlő lesz ezzel a határértékkel. Csak arra tud törekedni.

Példánkból ez több mint egyértelmű. Akárhányszor osztunk egyet kettővel, soha nem lesz nulla. Csak egy szám lesz az előzőnek fele, de nem nulla!

Egy függvény határértéke a matematikában

A matematikai elemzésben természetesen a legfontosabb a függvény határának fogalma.

Anélkül, hogy belemélyednénk az elméletbe, mondjuk a következőket: egy függvény határértéke nem mindig tartozik magának a függvénynek az értéktartományába.

Amikor az argumentum megváltozik, a függvény valamilyen értékre törekszik, de előfordulhat, hogy soha nem fogadja el.

Például a hiperbola 1/x egyetlen ponton sem nulla értéke, de végtelenségig nullára hajlik, ahogyan x a végtelenig.

Limit kalkulátor

Nem az a célunk, hogy elméleti tudást adjunk, ehhez nagyon sok okos vastag könyv létezik.

De arra kérjük Önt, hogy használja online számológép határértékeket, amelyekkel összehasonlíthatja megoldását a helyes válasszal.

Ezenkívül a számológép lépésről lépésre ad megoldást a határértékekre, gyakran a L'Hopital-szabályt alkalmazva egy pontban vagy egy adott szakaszon a folytonos függvény számlálójának és nevezőjének differenciálásával.