A sorozatok konvergenciáját többféleképpen ellenőrizhetjük. Először is egyszerűen megtalálhatja a sorozat összegét. Ha véges számot kapunk, akkor ilyen sorozat konvergál. Például azért, mert

akkor a sorozat konvergál. Ha nem sikerült megtalálni a sorozatok összegét, akkor más módszerekkel kell ellenőrizni a sorozatok konvergenciáját.

Ezen módszerek egyike az d'Alembert jele

itt és van a sorozat n-edik és (n + 1)-edik tagja, a konvergenciát pedig D értéke határozza meg: Ha D< 1 - ряд сходится, если D >

Példaként egy sorozat konvergenciáját vizsgáljuk meg a d'Alembert-próba segítségével. Először írjunk kifejezéseket és kifejezésekre. Most keressük meg a megfelelő korlátot:

Mivel d'Alembert tesztje szerint a sorozat konvergál.

Egy másik módszer a sorozatok konvergenciájának ellenőrzésére az Cauchy radikális jele, ami a következőképpen van írva:

itt van a sorozat n-edik tagja, és a konvergenciát, mint a d'Alembert-próba esetében, a D értéke határozza meg: Ha D< 1 - ряд сходится, если D >1 - eltér. Ha D = 1 - ez a jel nem ad választ, és további kutatásra van szükség.

Példaként egy sorozat konvergenciáját vizsgáljuk a radikális Cauchy-teszt segítségével. Először írjunk kifejezést a -ra. Most keressük meg a megfelelő korlátot:

Mivel title="15625/64>1"> , a radikális Cauchy-teszt szerint a sorozat eltér.

Megjegyzendő, hogy a fentiek mellett a sorozatok konvergenciájának egyéb jelei is vannak, mint például az integrált Cauchy-teszt, a Raabe-teszt stb.

A miénk online számológép, amely a Wolfram Alpha rendszerre épül, lehetővé teszi a sorozatok konvergenciájának tesztelését. Ebben az esetben, ha a számológép egy adott számot ad meg a sorozat összegeként, akkor a sorozat konvergál. Ellenkező esetben figyelni kell a "Sor konvergencia tesztje" elemre. Ha ott van a „sorozat konvergál” kifejezés, akkor a sorozat konvergál. Ha a "sorozat eltér" kifejezés jelen van, akkor a sorozat eltér.

Az alábbiakban az "Egy sorozat konvergenciájának tesztje" tétel összes lehetséges értékének fordítása látható:

Szöveg bekapcsolva angol nyelv	Szöveg oroszul
A harmonikus sorozat vizsgálata során a sorozat eltér.	A vizsgált sorozatok és a harmonikus sorozatok összehasonlításakor az eredeti sorozat eltér.
Az arányteszt nem meggyőző.	d'Alembert tesztje nem tud választ adni egy sorozat konvergenciájára.
A gyökérteszt nem meggyőző.	Cauchy radikális tesztje nem adhat választ a sorozatok konvergenciájára.
Az összehasonlító teszt alapján a sorozatok konvergálnak.	Ehhez képest a sorozat konvergál
Az aránypróbával a sorozatok konvergálnak.	D'Alembert tesztje szerint a sorozat konvergál
A határteszttel a sorozatok divergenciák.	Azon alapul, hogy title="A sorozat n-edik tagjának határa, amikor n->oo nem egyenlő nullával, vagy nem létezik"> , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится. !}

harmonikus sorozat- a természetes sorozatok egymást követő számainak reciproka, végtelen számú tagból álló összeg:

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 k + ⋯ (\displaystyle \sum _(k=1)^(\mathcal (\infty ))(\frac (1)(k))=1+(frac) (1) (\)(2) )(4))+\cdo ts +(\frac (1)(k))+\cdots ).

Enciklopédiai YouTube

1 / 5

✪ Számsorozat. Alapfogalmak - bezbotvy

✪ A harmonikus sorozat divergenciájának bizonyítása

✪ Számsorozat-9. A Dirichlet-sorok konvergenciája és divergenciája

✪ Konzultáció #1. Mat. elemzés. Fourier-sor a trigonometrikus rendszerben. A legegyszerűbb tulajdonságok

✪ SOROK. Felülvizsgálat

Feliratok

A sorozat első n tagjának összege

A sorozat egyes tagjai általában nullára rúgnak, de összege eltér. Az s n harmonikus sorozat n-edik részösszege az n-edik harmonikus szám:

s n = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n (\frac(1)(n)))

Néhány részösszeg értéke

s 1 = 1 s 2 = 3 2 = 1,5 s 3 = 11 6 ≈ 1,833 s 4 = 25 12 ≈ 2,083 s 5 = 137 60 ≈ 2,283 (\displaystyle (\megjelenítési stílus) frac (3) (2))&=&1(,)5\\\\s_(3)&=&(\frac (11) (6))&\approx &1(,)833\\\\s_(4)&=&(\frac (25)(12)&\kb. &2(,)083(\\\\x) &2(,)283\end (mátrix)))

s 6 = 49 20 = 2. 45 s 7 = 363 140 ≈ 2,593 s 8 = 761 280 ≈ 2,718 s 10 3 ≈ 7,484 s 10 6 ≈ 7,484 s 10 6 ≈ () ( \frac (49) (20))&=&2(,)45\\\\s_(7)&=&(\frac (363) (140))&\cc. 7(,)484\\\\s _(10^(6))&\kb. &14(,)393\end(mátrix)))

Euler képlet

Amikor érték ε n → 0 (\displaystyle \varepsilon _(n)\jobbra 0), ezért nagy n (\displaystyle n):

s n ≈ ln ⁡ (n) + γ (\displaystyle s_(n)\approx \ln(n)+\gamma)- Euler képlete az első összegére n (\displaystyle n) a harmonikus sorozat tagjai. Példa az Euler-képlet használatára

n (\displaystyle n)	s n = ∑ k = 1 n 1 k (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1)(k)))	ln ⁡ (n) + γ (\displaystyle \ln(n)+\gamma)	ε n (\displaystyle \varepsilon _(n)), (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

Pontosabb aszimptotikus képlet a harmonikus sorozatok részösszegére:

s n ≍ ln ⁡ (n) + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − 1 252 n 6 ⋯ = ln ⁡ (n) + γ + 1 2 k n − ∑ k = B2n2 (kijelz. n)\asy mp \ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))-(\frac (1)(12n^(2)))+(\frac (1)(120n^(4)))-(\frac (1)(252n^(6)))\pontok =\ln(n)+\frac)-1^) fty )(\frac (B _(2k))(2k\,n^(2k)))), Ahol B 2 k (\displaystyle B_ (2k))- Bernoulli számok.

Ez a sorozat eltér, de a számítási hiba soha nem haladja meg az első eldobott tag felét.

Parciális összegek számelméleti tulajdonságai

∀ n > 1 s n ∉ N (\displaystyle \forall n>1\;\;\;\;s_(n)\notin \mathbb (N) )

Sorozat eltérés

S n → ∞ (\displaystyle s_(n)\rightarrow \infty ) nál nél n → ∞ (\displaystyle n\rightarrow \infty )

A harmonikus sorozat eltér nagyon lassan (ahhoz, hogy a részösszeg meghaladja a 100-at, a sorozat kb. 10 43 elemére van szükség).

A harmonikus sorozatok eltérése a teleszkópos sorozattal való összehasonlítással szemléltethető:

v n = ln ⁡ (n + 1) − ln ⁡ n = ln ⁡ (1 + 1 n) ∼ + ∞ 1 n (\displaystyle v_(n)=\ln(n+1)-\ln n=\ln \balra (1+()\infc) ))(\frac (1)(n))),

amelynek részösszege nyilvánvalóan egyenlő:

∑ i = 1 n − 1 v i = ln ⁡ n ∼ s n (\displaystyle \sum _(i=1)^(n-1)v_(i)=\ln n\sim s_(n)).

Orem bizonyítéka

Az eltérés bizonyítása a kifejezések következő csoportosításával készíthető:

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 3 + 1 4 ] + [ 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ] + [ 1 9 + ⋯ ] + ⋯ > 1 + [ 1 2 ] + ⋯ > 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 8] + 1 + 8 1 8 ] + [ 1 16 + ⋯ ] + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ . (\displaystyle (\begin(aligned)\sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k))&()=1+\left[(\frac (1)(2))\right]+\left[(\frac (1)(3))+(\frac (1)(\frac) (1)(c) 6 [(\frac (1)(8))+(\frac (1) )(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))\jobbra]+\left[(\frac (1)(16))+\cdots \right]+\cdots \\&()=1) (\frac) (\c) (\frac) ))\ \quad +\ \qquad \quad (\frac (1) (2))\qquad \ \qua d \ +\quad \ \ (\frac (1) (2))\ \quad +\ \cdots .\end(igazított)))

Az utolsó sor nyilvánvalóan eltér. Ez a bizonyíték Nicholas Orem középkori tudósé (1350 körül).

Az eltérés alternatív bizonyítéka

Arra kérjük az olvasót, hogy ellenőrizze ennek a bizonyítéknak a hamisságát.

A különbség köztük n (\displaystyle n)-adik harmonikus szám és természetes logaritmus n (\displaystyle n) konvergál az Euler - Mascheroni állandóhoz.

A különböző harmonikus számok közötti különbség sohasem egész szám és nem harmonikus szám, kivéve H 1 = 1 (\displaystyle H_(1)=1), nem egész szám.

Kapcsolódó sorok

Dirichlet sor

Az általánosított harmonikus sorozatot (vagy a Dirichlet-sort) sorozatnak nevezzük

k = 1 ∞ 1 k (3^(\alpha )))+(\frac (1)(4^(\alpha )))+\cdots +(\frac (1)(k^(\alpha )))+\cdots ).

Az általánosított harmonikus sorozat a α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1)és konvergál at α > 1 (\displaystyle \alpha >1) .

Az általánosított harmonikus sorrend sorozat összege α (\displaystyle \alpha ) egyenlő a Riemann zéta függvény értékével:

∑ k = 1 ∞ 1 k α = ζ (α) (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k^(\alpha )))=\zeta (\alpha))

Páros számok esetén ez az érték kifejezetten  pi-ben van kifejezve, például ζ (2) = π 2 6 (\displaystyle \zeta (2)=(\frac (\pi ^(2))(6))), és már α=3 esetén is analitikailag ismeretlen az értéke.

A harmonikus sorozatok divergenciájának másik példája lehet a reláció ζ (1 + 1 n) ∼ n (\displaystyle \zeta (1+(\frac (1)(n)))\sim n) . Ezért egy ilyen sorozatról azt mondjuk, hogy 1 valószínűséggel rendelkezik, és a sorozat összege egy véletlenszerű mennyiség érdekes tulajdonságokkal. Például a függvény sűrűség valószínűsége a +2 vagy −2 pontban számított értéke a következő:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,

⅛-től kevesebb, mint 10 −42 .

"Vékonyított" harmonikus sorozat

Kempner sorozat (Angol)

Ha egy olyan harmonikus sorozatot veszünk figyelembe, amelyben csak olyan tagok maradnak, amelyek nevezői nem tartalmazzák a 9-es számot, akkor kiderül, hogy a fennmaradó összeg a számhoz konvergál.<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе n (\displaystyle n), egyre kevesebb kifejezést vesznek a „ritkított” sorozatok összegére. Vagyis végül a harmonikus sorozatok összegét alkotó tagok túlnyomó többségét eldobjuk, hogy ne lépjük túl a felülről határoló geometriai haladást.

Ez a cikk egy strukturált és részletes információ, amely hasznos lehet a gyakorlatok és problémák elemzése során. Megvizsgáljuk a számsorok témáját.

Ez a cikk az alapvető definíciókkal és fogalmakkal kezdődik. Ezután standard opciókat fogunk használni, és tanulmányozzuk az alapvető képleteket. Az anyag konszolidálása érdekében a cikk a főbb példákat és feladatokat tartalmazza.

Alaptézisek

Először képzeljük el a rendszert: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . , ahol a k ∈ R , k = 1 , 2 . . . .

Vegyünk például olyan számokat, mint: 6 , 3 , - 3 2 , 3 4 , 3 8 , - 3 16 , . . . .

1. definíció

A számsor a ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + tagok összege. . . + a n +. . . .

A definíció jobb megértéséhez tekintsük ezt az esetet, ahol q = - 0 . 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

2. definíció

a k gyakori ill k-th a sor tagja.

Valahogy így néz ki - 16 · - 1 2 k .

3. definíció

Egy sorozat részösszege valahogy így néz ki S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , amelyben n- bármilyen szám. S n is nth a sorozat összege.

Például ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 .

S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . végtelen számsort alkotnak.

Egy számért n-edik az összeget az S n \u003d a 1 (1 - q n) 1 - q \u003d 8 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 \u003d 16 3 1 - - 1 2 n képlet adja meg. A következő részösszegek sorozatát használjuk: 8 , 4 , 6 , 5 , . . . , 16 3 1 - - 1 2 n , . . . .

4. definíció

A ∑ k = 1 ∞ a k sorozat az összetartó amikor a sorozatnak véges határértéke van S = lim S n n → + ∞ . Ha nincs határérték, vagy a sorozat végtelen, akkor a ∑ k = 1 ∞ a k sorozatot ún. divergens.

5. definíció

A konvergens sorozat összege∑ k = 1 ∞ a k a ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S sorozat határértéke.

Ebben a példában lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ 1 - 1 2 n = 16 3 lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3, a ∑ k = 1 ∞ sorozat (- 126) - konvergál. Az összeg 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

1. példa

Divergens sorozatra példa az összeg geometriai progresszió egynél nagyobb nevezővel: 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2n - 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

Az n-edik részösszeget az S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1 kifejezés határozza meg, a részösszegek határa pedig végtelen: lim n → + ∞ S n = lim n ( → + n - 1 ) = lim n ( → + n - 1 ).

Egy másik példa a divergens számsorokra a ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + alakú összeg. . . . Ebben az esetben az n-edik részösszeg úgy számítható ki, hogy S n = 5 n . A részösszegek határa végtelen lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

6. definíció

A ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + összeghez hasonló összeg. . . + 1n + . . . - Ezt harmonikus számsor.

7. definíció

Az összeg ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1n s + . . . , Ahol s egy valós szám, egy általánosított harmonikus számsor.

A fent tárgyalt definíciók segítenek a legtöbb példa és probléma megoldásában.

A definíciók kiegészítéséhez bizonyos egyenletek bizonyítása szükséges.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k divergens.

Fordítva cselekszünk. Ha konvergál, akkor a határ véges. Az egyenletet felírhatjuk a következőképpen: lim n → + ∞ S n = S és lim n → + ∞ S 2 n = S. Bizonyos műveletek után az l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 egyenlőséget kapjuk.

Ellen,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n + 1n + 1 + 1n + 2 + . . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n

A következő egyenlőtlenségek érvényesek: 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n , . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Azt kapjuk, hogy S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Az S 2 n - S n > 1 2 kifejezés azt jelzi, hogy a lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 nem érhető el. A sorozat szerteágazó.

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Meg kell erősíteni, hogy a számsorozat összege q-re konvergál< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

A fenti definíciók szerint az összeg n tagokat az S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 képlet szerint határozzuk meg.

Ha q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 q n - 1 q - 1 = b 1 lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 0 - 1 q - 1 = b 1 0 - 1 q - 1 = b

Bebizonyítottuk, hogy a számsorok konvergálnak.

q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + esetén. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Az összegek az S n = b 1 · n képlettel határozhatók meg, a határérték végtelen lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ . A bemutatott változatban a sorozat eltér.

Ha q = -1, akkor a sor így néz ki: b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . A részösszegek így néznek ki: S n = b 1 páratlanra n, és S n = 0 párosra n. Ezt az esetet figyelembe véve megbizonyosodunk arról, hogy nincs határ, és a sorozat divergens.

q > 1 esetén lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 (q n - 1) q - 1 = b 1 lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b - 1 ∞ q - 1 = b - 1

Bebizonyítottuk, hogy a számsorok eltérnek egymástól.

1. A ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat konvergál, ha s > 1és divergál, ha s ≤ 1 .

Mert s = 1∑ k = 1 ∞ 1 k eredményt kapunk, a sorozat divergál.

S-nek< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k ,természetes szám. Mivel a sorozat ∑ k = 1 ∞ 1 k divergens, nincs határ. Ezt követően a ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat korlátlan. Arra a következtetésre jutottunk, hogy a kiválasztott sorozat eltér s< 1 .

Bizonyítani kell, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat konvergál s > 1.

Képzelje el, hogy S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s +. . . + 1(2n - 1)s

Tegyük fel, hogy 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Képzeljünk el egy egyenletet olyan számokra, amelyek természetesek és páros n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Kapunk:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 17s + 18s + . . . + 1 15 s + . . . \u003d \u003d 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Az 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + kifejezés. . . egy q = 1 2 s - 1 geometriai haladás összege. A kezdeti adatok szerint s > 1, majd 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 növekszik és 1 1 - 1 2 s - 1 felett korlátozódik. Képzeljük el, hogy van egy határérték, és a sorozat konvergens ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

8. definíció

Sorozat ∑ k = 1 ∞ a k pozitív ebben az esetben, ha tagjai > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Sorozat ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó ha a számok előjele eltérő. Ezt a példát a következőképpen ábrázoljuk: ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k a k vagy ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 a k , ahol a k > 0, k = 1 , . . . .

Sorozat ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó, mivel sok negatív és pozitív számot tartalmaz.

A sorozat második változata a harmadik változat speciális esete.

Íme az egyes esetekre példák:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

A harmadik lehetőségnél megadhat abszolút és feltételes konvergenciát is.

9. definíció

A ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó sorozat abszolút konvergens, ha ∑ k = 1 ∞ b k is konvergensnek tekinthető.

Nézzünk néhány tipikus lehetőséget.

2. példa

Ha a 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + sorok. . . és 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . konvergensnek vannak definiálva, akkor helyes azt feltételezni, hogy 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .

10. definíció

Egy ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó sorozatot feltételesen konvergensnek tekintünk, ha ∑ k = 1 ∞ b k divergens, és a ∑ k = 1 ∞ b k sorozatot konvergensnek tekintjük.

3. példa

Vizsgáljuk meg részletesen a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + opciót. . . . Az abszolút értékekből álló ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k sorozatot divergensnek definiáljuk. Ezt a változatot konvergensnek tekintjük, mert könnyen meghatározható. Ebből a példából megtudjuk, hogy a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + sorozat. . . feltételesen konvergensnek tekintendő.

A konvergens sorozatok jellemzői

Elemezzük a tulajdonságokat bizonyos esetekben

1. Ha ∑ k = 1 ∞ a k konvergál, akkor a ∑ k = m + 1 ∞ a k sorozatot is konvergensnek ismerjük el. Megjegyzendő, hogy a sorozat m tagjai is konvergensnek minősülnek. Ha ∑ k = m + 1 ∞ a k-hoz több számot adunk, akkor a kapott eredmény is konvergál.
2. Ha ∑ k = 1 ∞ a k konvergál és az összeg = S, akkor a ∑ k = 1 ∞ A ak , ∑ k = 1 ∞ A ak = A S sorozat, ahol A-állandó.
3. Ha ∑ k = 1 ∞ a k és ∑ k = 1 ∞ b k konvergensek, az összegek AÉs B is, akkor a ∑ k = 1 ∞ a k + b k és a ∑ k = 1 ∞ a k - b k sorozat is konvergál. Az összegek lesznek A+BÉs A-B illetőleg.

4. példa

Határozzuk meg, hogy a sorozat ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 konvergál.

Változtassuk meg a ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 kifejezést. A ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 sorozatot konvergensnek tekintjük, mivel a ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat konvergál s > 1. A második tulajdonság szerint ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

5. példa

Határozzuk meg, hogy a sorozat ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 konvergál-e.

Átalakítjuk az eredeti változatot ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 .

∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 és ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 összeget kapjuk. Minden sorozatot konvergensnek ismer el a tulajdonság szerint. Mivel a sorozatok konvergálnak, így az eredeti verzió is.

6. példa

Számítsa ki, ha az 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + sorozat konvergál. . . és számolja ki az összeget.

Bontsuk szét az eredetit:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . == 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . - 2 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Mindegyik sorozat konvergál, mert a numerikus sorozat egyik tagja. A harmadik tulajdonság szerint kiszámolhatjuk, hogy az eredeti változat is konvergens. Kiszámoljuk az összeget: A ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 sorozat első tagja és a nevező = 0 . 5 , majd ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Az első tag ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , és a csökkenő számsor nevezője = 1 3 . A következőt kapjuk: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Az 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + összeg meghatározásához a fent kapott kifejezéseket használjuk. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Szükséges feltétele annak meghatározásának, hogy egy sorozat konvergens-e

11. definíció

Ha a ∑ k = 1 ∞ a k sorozat konvergens, akkor a határértéke k-th term = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Ha bármelyik opciót bejelöljük, akkor nem szabad megfeledkeznünk a nélkülözhetetlen feltételről. Ha nem elégedett, akkor a sorozat szétválik. Ha lim k → + ∞ a k ≠ 0, akkor a sorozat divergens.

Tisztázni kell, hogy a feltétel fontos, de nem elégséges. Ha teljesül a lim k → + ∞ a k = 0 egyenlőség, akkor ez nem garantálja, hogy ∑ k = 1 ∞ a k konvergens.

Vegyünk egy példát. A ∑ k = 1 ∞ 1 k harmonikus sorozatra a feltétel teljesül lim k → + ∞ 1 k = 0 , de a sorozat így is eltér.

7. példa

Határozzuk meg a konvergenciát ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .

Ellenőrizze az eredeti kifejezést a lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ feltételre.

Határ nth tag nem 0 . Bebizonyítottuk, hogy ez a sorozat eltér egymástól.

Hogyan határozható meg egy pozitív előjelű sorozat konvergenciája.

Ha folyamatosan használja ezeket a funkciókat, akkor folyamatosan számolnia kell a határokat. Ez a rész segít elkerülni a nehézségeket a példák és problémák megoldása során. Egy pozitív előjelű sorozat konvergenciájának meghatározásához van egy bizonyos feltétel.

Pozitív előjelű ∑ k = 1 ∞ a k konvergenciájára a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . meg kell határozni korlátozott sorozatösszegeket.

A sorok összehasonlítása

A sorozatok összehasonlításának több jele is van. Összehasonlítjuk azokat a sorozatokat, amelyek konvergenciáját javasoljuk meghatározni, azzal a sorozattal, amelynek konvergenciája ismert.

Első jel

∑ k = 1 ∞ a k és ∑ k = 1 ∞ b k pozitív sorozatok. Az a k ≤ b k egyenlőtlenség érvényes k = 1, 2, 3, ... Ebből következik, hogy a ∑ k = 1 ∞ b k sorozatból ∑ k = 1 ∞ a k -t kaphatunk. Mivel ∑ k = 1 ∞ a k divergens, a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat divergensként definiálható.

Ezt a szabályt folyamatosan használják egyenletek megoldására, és komoly érv, amely segít a konvergencia meghatározásában. Nehézséget jelenthet, hogy közel sem lehet minden esetben megfelelő példát találni az összehasonlításra. Elég gyakran egy sorozatot azon elv szerint választanak ki, hogy a mutató k-th tag egyenlő lesz a számláló és a nevező kitevőjének levonásának eredményével k-th sor tagja. Tegyük fel, hogy a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5, a különbség egyenlő lesz 2 – 3 = - 1 . Ebben az esetben megállapítható, hogy egy sorozat a k-th b k = k - 1 = 1 k tag, ami harmonikus.

A kapott anyag megszilárdítása érdekében részletesen megvizsgálunk néhány tipikus lehetőséget.

8. példa

Határozzuk meg, hogy mekkora a ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 sorozat!

Mivel a határérték = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 , megtettük szükséges feltétel. Az egyenlőtlenség igazságos lesz 1 k< 1 k - 1 2 для k , amelyek természetesek. Az előző bekezdésekből megtudtuk, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 k harmonikus sorozat divergens. Az első kritérium szerint bizonyítható, hogy az eredeti változat eltérő.

9. példa

Határozzuk meg, hogy a sorozat konvergens vagy divergens ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

Ebben a példában a szükséges feltétel teljesül, mivel lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 . Az 1 k 3 + 3 k - 1 egyenlőtlenség alakjában ábrázoljuk< 1 k 3 для любого значения k. A ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 sorozat konvergens, mivel a ∑ k = 1 ∞ 1 k s harmonikus sorozat konvergál s > 1. Az első jellemző alapján megállapíthatjuk, hogy a számsor konvergens.

10. példa

Határozzuk meg, mi a sorozat ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) . lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Ennél a változatnál lehetőség van a kívánt feltétel teljesülésének megjelölésére. Határozzuk meg az összehasonlítás céljából egy sorozatot. Például ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Annak meghatározásához, hogy mi a fok, tekintsük az ( ln (ln k) ), k = 3, 4, 5 sorozatot. . . . Az ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , sorozat tagjai. . . a végtelenségig növekszik. Az egyenlet elemzése után megállapítható, hogy ha N = 1619 értéket veszünk, akkor a sorozat tagjai > 2 . Ennél a sorozatnál az 1 k ln (ln k) egyenlőtlenség< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Második jel

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k és ∑ k = 1 ∞ b k pozitív előjelű sorozatok.

Ha lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , akkor a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat konvergál, és ∑ k = 1 ∞ a k is konvergál.

Ha lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , akkor mivel a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat divergál, akkor ∑ k = 1 ∞ a k is divergál.

Ha lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ és lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, akkor egy sorozat konvergenciája vagy divergenciája egy másik sorozat konvergenciáját vagy divergenciáját jelenti.

Tekintsük ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 a második kritérium segítségével. Összehasonlításhoz ∑ k = 1 ∞ b k vesszük a ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 konvergens sorozatot. Határozza meg a határértéket: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

A második kritérium szerint megállapítható, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 konvergens sorozat azt jelenti, hogy az eredeti változat is konvergál.

11. példa

Határozzuk meg, mi a sorozat ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 .

Elemezzük a lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 szükséges feltételt, amely ebben a változatban teljesül. A második kritérium szerint vegyük a ∑ k = 1 ∞ 1 k sorozatot. A határértéket keressük: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

A fenti tézisek szerint a divergens sorozat az eredeti sorozat divergenciáját vonja maga után.

Harmadik jel

Tekintsük az összehasonlítás harmadik jelét.

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k és _ ∑ k = 1 ∞ b k pozitív előjelű numerikus sorozatok. Ha a feltétel teljesül valamilyen a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k számra, akkor ennek a ∑ k = 1 ∞ b k sorozatnak a konvergenciája azt jelenti, hogy a ∑ k = 1 ∞ a k sorozat is konvergens. A ∑ k = 1 ∞ a k divergens sorozat a ∑ k = 1 ∞ b k divergenciát vonja maga után.

D'Alembert jele

Képzeljük el, hogy ∑ k = 1 ∞ a k egy pozitív előjelű számsor. Ha lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1 , akkor divergens.

Megjegyzés 1

d'Alembert tesztje akkor érvényes, ha a határ végtelen.

Ha lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , akkor a sorozat konvergens, ha lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , akkor divergens.

Ha lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1 , akkor a d'Alembert-teszt nem segít, és több vizsgálatra lesz szükség.

12. példa

D'Alembert-próbával határozzuk meg, hogy a sorozat konvergens vagy divergens ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k.

Ellenőrizni kell, hogy a szükséges konvergencia feltétel teljesül-e. Számítsuk ki a határértéket L'Hospital szabályával: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 "2 k" = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ = 0 ln 2

Láthatjuk, hogy a feltétel teljesül. Használjuk a d'Alembert-tesztet: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2< 1

A sorozat konvergens.

13. példa

Határozza meg, hogy a sorozat divergens-e ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Határozzuk meg a sorozat divergenciáját a d'Alembert-próbával: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Ezért a sorozat eltérő.

Cauchy radikális jele

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k egy pozitív előjelű sorozat. Ha lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1 , akkor divergens.

2. megjegyzés

Ha lim k → + ∞ a k k = 1, akkor ez a tulajdonság nem ad információt – további elemzés szükséges.

Ez a funkció könnyen azonosítható példákban használható. Jellemző az eset, ha a számsor egy tagja exponenciális exponenciális kifejezés.

A kapott információk megszilárdítása érdekében nézzünk meg néhány tipikus példát.

14. példa

Határozzuk meg, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k pozitív sorozat konvergál-e a sorozathoz.

A szükséges feltételt teljesültnek tekintjük, mivel lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

A fenti teszt szerint lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0 kapjuk.< 1 . Данный ряд является сходимым.

15. példa

Konvergál-e a számsor ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .

Az előző bekezdésben leírt jelet használjuk lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Integrált Cauchy-teszt

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k egy pozitív előjelű sorozat. Szükséges a folytonos argumentum függvényének kijelölése y=f(x), amely megfelel a n = f (n) . Ha y=f(x) nagyobb, mint nulla, nem törik és csökken [ a ; + ∞) , ahol a ≥ 1

Ekkor, ha a ∫ a + ∞ f (x) d x nem megfelelő integrál konvergens, akkor a vizsgált sorozat is konvergál. Ha eltér, akkor a vizsgált példában a sorozat is eltér.

Egy függvény lecsengésének ellenőrzéséhez használhatja az előző leckékben tárgyalt anyagot.

16. példa

Tekintsük a ∑ k = 2 ∞ 1 k ln k példát a konvergenciára.

A sorozat konvergenciafeltételét teljesültnek tekintjük, mivel lim k → + ∞ 1 k ln k = 1 + ∞ = 0 . Tekintsük y = 1 x ln x . Nagyobb, mint nulla, nem szakad meg, és [2-vel csökken; +∞) . Az első két pont biztosan ismert, de a harmadikat részletesebben kell tárgyalni. Megtaláljuk a deriváltot: y "= 1 x ln x" = x ln x "x ln x 2 = ln x + x 1 x x ln x 2 = - ln x + 1 x ln x 2. [ 2 ; + ∞) értékkel kisebb nullánál. Ez azt a tézist bizonyítja, hogy a függvény csökkenő.

Valójában az y = 1 x ln x függvény megfelel a fentebb megvizsgált elv jellemzőinek. Használjuk: ∫ 2 + ∞ d x x ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln (ln A) - n) (ln A) - n) n (ln 2) = +∞

A kapott eredmények szerint az eredeti példa divergens, mert a nem megfelelő integrál divergens.

17. példa

Igazoljuk a ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 sorozat konvergenciáját.

Mivel lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, a feltétel teljesültnek tekinthető.

A k = 4-től kezdve a helyes kifejezés 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Ha a ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 sorozatot konvergensnek tekintjük, akkor az egyik összehasonlítási elv szerint a ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 sorozatot is konvergensnek tekintjük. Így megállapíthatjuk, hogy az eredeti kifejezés is konvergens.

Folytassuk a ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 bizonyítással.

Mivel az y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 függvény nagyobb nullánál, ezért nem fejeződik be, és a [ 4 ; +∞) . Az előző bekezdésben leírt funkciót használjuk:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ n 4 (5 n (5 x + 8) = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + 1 (2 n - 1 + 1) 0 2

A kapott ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 konvergens sorozatban megállapíthatjuk, hogy ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 is konvergál.

Raabe jele

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k egy pozitív előjelű számsor.

Ha lim k → + ∞ k a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, akkor konvergál.

Ez a meghatározási módszer akkor használható, ha a fent leírt technikák nem adnak látható eredményeket.

Tanulmány az abszolút konvergenciára

A kutatáshoz ∑ k = 1 ∞ b k értéket veszünk. Használjuk a ∑ k = 1 ∞ b k pozitív előjelet. Használhatjuk a fent leírt megfelelő funkciók bármelyikét. Ha a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat konvergál, akkor az eredeti sorozat abszolút konvergens.

18. példa

Vizsgáljuk meg a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 sorozatot a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 konvergenciára.

A feltétel teljesül lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Használjuk a ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 és a második jelet: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

A ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 sorozat konvergál. Az eredeti sorozat is abszolút konvergens.

Váltakozó sorozatok eltérése

Ha a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat divergens, akkor a megfelelő ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó sorozat vagy divergens, vagy feltételesen konvergens.

Csak a d'Alembert-teszt és a radikális Cauchy-teszt segít levonni a ∑ k = 1 ∞ b k-ra vonatkozó következtetéseket a ∑ k = 1 ∞ b k moduloktól való eltérésből. A ∑ k = 1 ∞ b k sorozat akkor is divergál, ha a szükséges konvergenciafeltétel nem teljesül, azaz ha lim k → ∞ + b k ≠ 0 .

19. példa

Ellenőrizd az eltérést 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , . . . .

Modul k-th kifejezést a következőképpen ábrázoljuk: b k = k ! 7k.

Fedezzük fel a ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k sorozatot! 7 k a d'Alembert-kritérium szerinti konvergenciára: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7k + 1k! 7 k = 1 7 limk → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k ugyanúgy eltér, mint az eredeti verzió.

20. példa

∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) konvergens.

Tekintsük a szükséges feltételt lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 + 1 k +1 ∞ . A feltétel nem teljesül, ezért ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) a sorozat divergens. A limitet a L'Hospital szabálya szerint számították ki.

Feltételes konvergenciakritériumok

Leibniz jel

12. definíció

Ha a váltakozó sorozat tagjainak értékei csökkennek b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . és modulushatár = 0, ha k → + ∞ , akkor a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat konvergál.

17. példa

Tekintsük ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) a konvergenciához.

A sorozatot a következőképpen ábrázoljuk: ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . A szükséges feltétel teljesül lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Tekintsük ∑ k = 1 ∞ 1 k a második összehasonlítási kritérium lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Azt kapjuk, hogy ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) divergál. A ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) sorozat a Leibniz-próba szerint konvergál: a sorozat 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10 , 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 + 3 + 3 . . . csökken és lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

A sorozat feltételesen konvergál.

Abel-Dirichlet jel

13. definíció

∑ k = 1 + ∞ u k v k konvergál, ha ( u k ) nem növekszik és a ∑ k = 1 + ∞ v k sorozat korlátos.

17. példa

Fedezze fel az 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + számokat. . . a konvergencia érdekében.

Képzeld el

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

ahol ( u k ) = 1 , 1 2 , 1 3 , . . . - nem növekvő, és a sorozat ( v k ) = 1 , - 3 , 2 , 1 , - 3 , 2 , . . . korlátozott ( S k ) = 1 , - 2 , 0 , 1 , - 2 , 0 , . . . . A sorozat összefolyik.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Keresse meg egy számsorozat összegét. Ha nem lehet megtalálni, akkor a rendszer bizonyos pontossággal kiszámítja a sorozat összegét.

Sorozat konvergencia

Ez a számológép meg tudja határozni, hogy egy sorozat konvergál-e, és azt is megmutatja, hogy a konvergencia mely jelei működnek és melyek nem.

Azt is tudja, hogyan kell meghatározni a hatványsorok konvergenciáját.

Készül egy sorozatgráf is, ahol láthatjuk a sorozatok konvergenciájának (vagy divergenciájának) mértékét.

Kifejezések és függvények bevitelének szabályai

A kifejezések függvényekből állhatnak (a jelöléseket ábécé sorrendben adjuk meg): abszolút (x) Abszolút érték x
(modul x vagy |x|) arccos(x) Funkció - ív koszinusza x arccosh(x)Ív koszinusz hiperbolikus innen x arcsin(x) Arcsine from x arcsinh(x) Arcsine hyperbolic from x arctg(x) Funkció - ív érintő x arctgh(x) Az arctangens hiperbolikus -ból x e e egy szám, amely megközelítőleg egyenlő 2,7-tel exp(x) Függvény - kitevő x(ami e^x) log(x) vagy log(x) természetes logaritmusa x
(Megszerezni log7(x), be kell írnia a log(x)/log(7) parancsot (vagy például a for log10(x)=log(x)/log(10)) pi A szám "Pi", ami körülbelül 3,14 bűn(x) Funkció - Sine of x cos(x) Funkció - koszinusza x sinh(x) Funkció - Hiperbolikus szinusz x készpénz(x) Funkció - Hiperbolikus koszinusza x sqrt(x) Funkció - Négyzetgyök tól től x sqr(x) vagy x^2 Funkció - Négyzet x tg(x) Funkció – Érintő innen x tgh(x) Funkció - Hiperbolikus tangense x cbrt(x) A függvény a kockagyöke x

A következő műveleteket használhatja kifejezésekben: Valós számokírja be az űrlapba 7.5 , Nem 7,5 2*x- szorzás 3/x- osztály x^3- hatványozás x + 7- kiegészítés x - 6- kivonás
Más funkciók: emelet (x) Funkció - kerekítés x le (példa padló(4,5)==4,0) mennyezet (x) Funkció - kerekítés x felfelé (például mennyezet (4,5)==5,0) jel (x) Funkció - Jel x erf(x) Hibafüggvény (vagy valószínűségi integrál) lapla(x) Laplace függvény