A szinuszfüggvény felépítése. Az y=sinx trigonometrikus függvény grafikonjának felépítése és tanulmányozása az MS Excel táblázatban. "Bejegyzés a leckére"

, „Prezentáció a leckéhez” verseny

Előadás a leckéhez

Vissza előre

Figyelem! A dia előnézete csak tájékoztató jellegű, és nem feltétlenül képviseli a bemutató teljes terjedelmét. Ha érdekel ez a munka kérjük töltse le a teljes verziót.

A vas rozsdásodik, nem talál magának hasznot,
az álló víz megrohad vagy megfagy a hidegben,
és az emberi elme, nem találva magának hasznot, elsorvad.
Leonardo da Vinci

Használt technológiák: probléma alapú tanulás, kritikus gondolkodás, kommunikatív kommunikáció.

Célok:

A tanulás iránti kognitív érdeklődés fejlesztése.
Az y \u003d sin x függvény tulajdonságainak tanulmányozása.
Gyakorlati készségek kialakítása az y \u003d sin x függvény grafikonjának elkészítéséhez a vizsgált elméleti anyag alapján.

Feladatok:

1. Használja ki az y \u003d sin x függvény tulajdonságairól meglévő tudásban rejlő lehetőségeket adott helyzetekben.

2. Alkalmazza az y \u003d sin x függvény analitikai és geometriai modelljei közötti kapcsolatok tudatos létrehozását.

Fejleszteni kell a kezdeményezőkészséget, bizonyos készséget és érdeklődést a megoldás keresésében; a döntések meghozatalának képessége, hogy ne álljunk meg itt, megvédjük álláspontjukat.

Nevelni a tanulókat kognitív tevékenységre, felelősségérzetre, egymás tiszteletére, kölcsönös megértésre, kölcsönös támogatásra, önbizalomra; kommunikációs kultúra.

Az órák alatt

1. szakasz. Alapismeretek aktualizálása, motiváció új tananyag elsajátítására

"Bejegyzés a leckére"

A táblára három állítás van felírva:

A sin t = a trigonometrikus egyenletnek mindig vannak megoldásai.
Egy páratlan függvény ábrázolható az y tengely körüli szimmetriatranszformációval.
Menetrend trigonometrikus függvény egy fő félhullám felhasználásával építhető.

A tanulók párban megbeszélik: Igazak az állítások? (1 perc). A kezdeti megbeszélés eredményei (igen, nem) ezután bekerülnek a táblázatba az „Előtte” oszlopban.

A tanár határozza meg az óra céljait és célkitűzéseit.

2. Az ismeretek frissítése (frontálisan a trigonometrikus kör modellen).

Az s = sin t függvénnyel már találkoztunk.

1) Milyen értékeket vehet fel a t változó? Mi ennek a funkciónak a hatóköre?

2) Milyen intervallumban vannak a sin t kifejezés értékei? Keresse meg az s = sin t függvény legnagyobb és legkisebb értékét.

3) Oldja meg a sin t = 0 egyenletet!

4) Mi történik a pont ordinátájával, amikor az első negyedben mozog? (az ordináta nő). Mi történik egy pont ordinátájával, amikor a második negyedben mozog? (az ordináta fokozatosan csökken). Hogyan kapcsolódik ez a függvény monotonitásához? (az s = sin t függvény a szakaszon növekszik, a szakaszon csökken).

5) Írjuk fel az s = sin t függvényt a nálunk szokásos formában y = sin x (a szokásos xOy koordinátarendszerben építjük fel), és állítsunk össze egy értéktáblázatot ehhez a függvényhez.

x	0
nál nél	0			1			0

2. szakasz. Érzékelés, megértés, elsődleges konszolidáció, akaratlan memorizálás

4. szakasz. Az ismeretek és a tevékenységi módszerek elsődleges rendszerezése, átadása és alkalmazása új helyzetekben

6. No. 10.18 (b, c)

5. szakasz Végső ellenőrzés, javítás, értékelés és önértékelés

7. Visszatérünk az állításokhoz (a lecke elejére), megbeszéljük az y \u003d sin x trigonometrikus függvény tulajdonságait, és kitöltjük a táblázat „Utána” oszlopát.

8. D / z: 10. tétel, 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Ebben a leckében részletesen megvizsgáljuk az y \u003d sin x függvényt, főbb tulajdonságait és grafikonját. A lecke elején megadjuk az y \u003d sin t trigonometrikus függvény definícióját a koordinátakörön, és figyelembe vesszük a függvény grafikonját a körön és az egyenesen. Mutassuk meg ennek a függvénynek a periodicitását a grafikonon, és vegyük figyelembe a függvény főbb tulajdonságait. Az óra végén néhány egyszerű feladatot oldunk meg a függvény és tulajdonságainak grafikonjával.

Téma: Trigonometrikus függvények

Lecke: y=sinx függvény, főbb tulajdonságai és grafikonja

Egy függvény figyelembevételekor fontos, hogy a függvény egyetlen értékét társítsuk az argumentum minden értékéhez. Ez levelezés törvényeés függvénynek nevezzük.

Határozzuk meg a megfelelési törvényt.

Bármely valós szám az egységkör egyetlen pontjának felel meg, amelynek egyetlen ordinátája van, amelyet a szám szinuszának nevezünk (1. ábra).

Minden argumentumértékhez egyetlen függvényérték van hozzárendelve.

A szinusz definíciójából nyilvánvaló tulajdonságok következnek.

Az ábra azt mutatja mert az egységkör egy pontjának ordinátája.

Tekintsük a függvénygrafikont. Emlékezzünk vissza az érv geometriai értelmezésére. Az argumentum a radiánban mért központi szög. A tengelyen a valós számokat vagy szögeket radiánban ábrázoljuk, a tengely mentén a megfelelő függvényértékeket.

Például az egységkörön lévő szög a grafikon egy pontjának felel meg (2. ábra).

Megkaptuk a függvény grafikonját az oldalon, de a szinusz periódusának ismeretében a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományon ábrázolhatjuk (3. ábra).

A függvény fő periódusa Ez azt jelenti, hogy a grafikont egy szegmensen lehet megkapni, majd folytatni a teljes definíciós tartományra.

Tekintsük a függvény tulajdonságait:

1) A meghatározás tartománya:

2) Értéktartomány:

3) Páratlan függvény:

4) A legkisebb pozitív időszak:

5) A grafikon és az x tengellyel való metszéspontjainak koordinátái:

6) A gráf y tengellyel való metszéspontjának koordinátái:

7) Intervallumok, amelyeken a függvény pozitív értékeket vesz fel:

8) Azok az időközök, amelyeknél a függvény negatív értékeket vesz fel:

9) Növekvő időközök:

10) Csökkenő intervallumok:

11) Mélypontok:

12) Minimális jellemzők:

13) Legmagasabb pontok:

14) Maximális jellemzők:

Megvizsgáltuk egy függvény és grafikonjának tulajdonságait. A tulajdonságok ismételten felhasználásra kerülnek a problémák megoldásában.

Bibliográfia

1. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Tankönyv oktatási intézmények számára ( profilszint) szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Feladatfüzet oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra és matematikai elemzés 10. évfolyamhoz ( oktatóanyag iskolák és osztályok tanulói számára a matematika elmélyült tanulmányozásával).-M .: Nevelés, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Mély tanulás algebra és matematikai elemzés.-M.: Nevelés, 1997.

5. Matematikai feladatgyűjtemény műszaki egyetemekre jelentkezők számára (M.I.Skanavi szerkesztésében).-M.: Higher school, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrai tréner.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Az algebrai feladatok és az elemzés kezdetei (kézikönyv az általános oktatási intézmények 10-11. osztályos tanulói számára).-M .: Nevelés, 2003.

8. Karp A.P. Az algebrai feladatgyűjtemény és az elemzés kezdetei: tankönyv. pótlék 10-11 cellára. egy mély tanulmány matematika.-M.: Oktatás, 2006.

Házi feladat

Algebra és az elemzés kezdetei, 10. évfolyam (két részben). Feladatfüzet oktatási intézmények számára (profilszint), szerk.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

További webes források

3. Oktatási portál vizsgákra készülni ().

Megállapítottuk, hogy a trigonometrikus függvények viselkedése, és a függvények y = sin x különösen, a teljes számegyenesen (vagy az argumentum összes értékére x) teljes mértékben meghatározza az intervallumban való viselkedése 0 < x < π / 2 .

Ezért először ábrázoljuk a függvényt y = sin x pontosan ebben az intervallumban.

Készítsük el a függvényünk alábbi értéktáblázatát;

A koordinátasíkon a megfelelő pontokat megjelölve és sima vonallal összekötve az ábrán látható görbét kapjuk

A kapott görbe geometriailag is megszerkeszthető anélkül, hogy függvényértékek táblázatát összeállítanák y = sin x .

1. Az 1 sugarú kör első negyedét 8 egyenlő részre osztjuk A kör osztási pontjainak ordinátái a megfelelő szögek szinuszai.

2. A kör első negyede 0-tól ig terjedő szögeknek felel meg π / 2 . Ezért a tengelyen x Vegyünk egy szakaszt, és osszuk 8 egyenlő részre.

3.Húzzunk a tengellyel párhuzamos egyeneseket x, és az osztási pontokból visszaállítjuk a merőlegeseket a vízszintes vonalakkal való metszéspontra.

4. Kösse össze a metszéspontokat egy sima vonallal.

Most nézzük az intervallumot π / 2 < x < π .
Minden argumentum értéke x ebből az intervallumból úgy ábrázolható

x = π / 2 + φ

Ahol 0 < φ < π / 2 . A redukciós képletek szerint

bűn( π / 2 + φ ) = cos φ = bűn ( π / 2 - φ ).

Tengelypontok x abszcisszával π / 2 + φ És π / 2 - φ szimmetrikusan egymásra a tengelypont körül x abszcisszával π / 2 , és ezekben a pontokban a szinuszok megegyeznek. Ez lehetővé teszi a függvény grafikonjának elkészítését y = sin x intervallumban [ π / 2 , π ] egyszerűen szimmetrikusan megjelenítve ennek a függvénynek a grafikonját az egyeneshez viszonyított intervallumban x = π / 2 .

Most használja az ingatlant páratlan függvény y \u003d sin x,

bűn(- x) = -sin x,

ezt a függvényt könnyű ábrázolni a [- π , 0].

Az y \u003d sin x függvény periodikus, 2π periódussal ;. Ezért ennek a függvénynek a teljes grafikonjának felépítéséhez elegendő az ábrán látható görbét periodikusan egy ponttal balra és jobbra folytatni. 2π .

Az így kapott görbét ún szinuszos . Ez a függvény grafikonja y = sin x.

Az ábra jól szemlélteti a függvény összes tulajdonságát y = sin x , amelyeket korábban mi is bebizonyítottunk. Emlékezzen ezekre a tulajdonságokra.

1) Funkció y = sin x minden értékre definiálva x , így a tartománya az összes valós szám halmaza.

2) Funkció y = sin x korlátozott. Az összes szükséges érték -1 és 1 között van, beleértve ezt a két számot is. Ezért ennek a függvénynek a tartományát a -1 egyenlőtlenség határozza meg < nál nél < 1. Mikor x = π / 2 + 2k π függvény veszi legmagasabb értékeket, egyenlő 1-gyel, és x = - π / 2 + 2k π - legkisebb értékek, egyenlő -1.

3) Funkció y = sin x páratlan (a szinusz szimmetrikus az origóhoz képest).

4) Funkció y = sin x periodikus a 2. periódussal π .

5) 2n időközönként π < x < π + 2n π (n bármely egész szám) pozitív, és intervallumokban π + 2k π < x < 2π + 2k π (k bármely egész szám) negatív. x = k esetén π a függvény nullára megy. Ezért az x argumentum ezen értékei (0; ± π ; ±2 π ; ...) a függvény nulláinak nevezzük y = sinx

6) Időközönként - π / 2 + 2n π < x < π / 2 + 2n π funkció y = bűn x monoton és időközönként növekszik π / 2 + 2k π < x < 3π / 2 + 2k π monoton csökken.

Különös figyelmet kell fordítani a függvény viselkedésére y = sinx a pont közelében x = 0 .

Például sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;

sin2° = bűn π 2 / 180=bűn π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Meg kell azonban jegyezni, hogy az x bármely értéke esetén

| bűn x| < | x | . (1)

Valóban, legyen az ábrán látható kör sugara 1,
a / AOB = x.

Aztán bűn x= AC. De AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол x. Ennek az ívnek a hossza nyilvánvalóan egyenlő x, mivel a kör sugara 1. Tehát 0 esetén< x < π / 2

bűn x< х.

Ezért a függvény páratlansága miatt y = sinx könnyű megmutatni, hogy amikor - π / 2 < x < 0

| bűn x| < | x | .

Végül at x = 0

| sin x | = | x |.

Így a | x | < π / 2 az (1) egyenlőtlenség bebizonyosodik. Valójában ez az egyenlőtlenség a |-re is igaz x | > π / 2 amiatt, hogy | | bűn x | < 1, a π / 2 > 1

Feladatok

1.A funkció ütemezése szerint y = sinx határozzuk meg: a) sin 2; b) sin 4; c) bűn (-3).

2. Ütemezés funkció y = sinx határozza meg, melyik szám az intervallumból
[ - π / 2 , π / 2 ] szinusza egyenlő: a) 0,6; b) -0,8.

3. Ütemezett funkció y = sinx határozza meg, hogy mely számoknak van szinusza,
egyenlő 1/2 .

4. Határozza meg megközelítőleg (táblázatok nélkül): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").

Téma: Trigonometrikus függvények

Lecke: y=sinx függvény, főbb tulajdonságai és grafikonja

Egy függvény figyelembevételekor fontos, hogy a függvény egyetlen értékét társítsuk az argumentum minden értékéhez. Ez levelezés törvényeés függvénynek nevezzük.

Határozzuk meg a megfelelési törvényt.

Bármely valós szám az egységkör egyetlen pontjának felel meg, amelynek egyetlen ordinátája van, amelyet a szám szinuszának nevezünk (1. ábra).

Minden argumentumértékhez egyetlen függvényérték van hozzárendelve.

A szinusz definíciójából nyilvánvaló tulajdonságok következnek.

Az ábra azt mutatja mert az egységkör egy pontjának ordinátája.

Például az egységkörön lévő szög a grafikon egy pontjának felel meg (2. ábra).

Megkaptuk a függvény grafikonját az oldalon, de a szinusz periódusának ismeretében a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományon ábrázolhatjuk (3. ábra).

A függvény fő periódusa Ez azt jelenti, hogy a grafikont egy szegmensen lehet megkapni, majd folytatni a teljes definíciós tartományra.

Tekintsük a függvény tulajdonságait:

1) A meghatározás tartománya:

2) Értéktartomány:

3) Páratlan függvény:

4) A legkisebb pozitív időszak:

5) A grafikon és az x tengellyel való metszéspontjainak koordinátái:

6) A gráf y tengellyel való metszéspontjának koordinátái:

7) Intervallumok, amelyeken a függvény pozitív értékeket vesz fel:

8) Azok az időközök, amelyeknél a függvény negatív értékeket vesz fel:

9) Növekvő időközök:

10) Csökkenő intervallumok:

11) Mélypontok:

12) Minimális jellemzők:

13) Legmagasabb pontok:

14) Maximális jellemzők:

Megvizsgáltuk egy függvény és grafikonjának tulajdonságait. A tulajdonságok ismételten felhasználásra kerülnek a problémák megoldásában.

Bibliográfia

1. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Tankönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Feladatfüzet oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra és matematikai elemzés 10. évfolyamra (tankönyv iskolák és osztályok tanulói számára a matematika elmélyült tanulmányozásával) - M .: Nevelés, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Az algebra és a matematikai elemzés elmélyült tanulmányozása.-M .: Oktatás, 1997.

5. Matematikai feladatgyűjtemény műszaki egyetemekre jelentkezők számára (M.I.Skanavi szerkesztésében).-M.: Higher school, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrai tréner.-K.: A.S.K., 1997.

8. Karp A.P. Az algebrai feladatgyűjtemény és az elemzés kezdetei: tankönyv. pótlék 10-11 cellára. egy mély tanulmány matematika.-M.: Oktatás, 2006.

Házi feladat

Algebra és az elemzés kezdetei, 10. évfolyam (két részben). Feladatfüzet oktatási intézmények számára (profilszint), szerk.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

További webes források

3. Vizsgafelkészítő oktatási portál ().

|BD|- egy pontban középpontban lévő kör ívének hossza A.
α egy radiánban kifejezett szög.

szinusz ( sinα) egy trigonometrikus függvény, amely a hipotenusz és a láb közötti α szögtől függ derékszögű háromszög, egyenlő az aránnyal a szemközti láb hossza |BC| a hypotenus hosszára |AC|.
koszinusz ( cosα) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a hypotenus hosszára |AC|.

Elfogadott megnevezések

;
;
.

A szinuszfüggvény grafikonja, y = sin x

A koszinusz függvény grafikonja, y = cos x

A szinusz és a koszinusz tulajdonságai

Periodikaság

y= függvények bűn xés y= cos x periodikus periódussal 2 pi.

Paritás

A szinuszfüggvény páratlan. A koszinusz függvény páros.

Definíció és értékek tartománya, szélsőség, növekedés, csökkenés

A szinusz és koszinusz függvények folytonosak a definíciós tartományukon, azaz minden x-re (lásd a folytonosság bizonyítását). Főbb tulajdonságaikat a táblázat mutatja be (n - egész).

	y= bűn x	y= cos x
Hatály és folytonosság	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Értékek tartománya	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Emelkedő
Csökkenő
Maximum, y= 1
Minimum, y = - 1
Nullák, y= 0
Metszéspontok az y tengellyel, x = 0	y= 0	y= 1

Alapképletek

A szinusz és a koszinusz négyzetének összege

Szinusz és koszinusz képletek összegre és különbségre

;
;

Képletek szinuszok és koszinuszok szorzatára

Összeg és különbség képletek

Szinusz kifejezése koszinuszon keresztül

;
;
;
.

Koszinusz kifejezése szinuszon keresztül

;
;
;
.

Kifejezés érintőben

; .

A következőkkel rendelkezünk:
; .

Nál nél :
; .

Szinuszok és koszinuszok, érintők és kotangensek táblázata

Ez a táblázat a szinuszok és koszinuszok értékeit mutatja az argumentum egyes értékeire vonatkozóan.

Kifejezések összetett változókon keresztül

;

Euler képlet

Kifejezések hiperbolikus függvényekkel

;
;

Származékok

; . Képletek származtatása >>>

Az n-edik rend származékai:
{ -∞ < x < +∞ }

Szekáns, koszekáns

Inverz függvények

Inverz függvények szinuszhoz és koszinuszhoz az arcszinusz, illetve az arkoszinusz.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.

Lásd még: