Komplex integrálok

Ez a cikk a határozatlan integrálok témakörét fejezi be, és olyan integrálokat tartalmaz, amelyeket meglehetősen nehéznek tartok. A leckét a látogatók ismételt kérésére hoztuk létre, akik kifejezték óhajukat, hogy nehezebb példákat is elemezzenek az oldalon.

Feltételezhető, hogy a szöveg olvasója jól felkészült és tudja, hogyan kell alkalmazni az integráció alapvető technikáit. A bábuknak és az integrálókban nem túl bízó embereknek a legelső leckére kell hivatkozniuk - Határozatlan integrál. Megoldási példák ahol szinte a nulláról tanulhatja meg a témát. A tapasztaltabb hallgatók megismerkedhetnek az integráció olyan technikáival, módszereivel, amelyekkel a cikkeimben még nem találkoztak.

Milyen integrálokat kell figyelembe venni?

Először a gyökös integrálokat tekintjük, amelyek megoldására egymást követően használjuk változó helyettesítésÉs részenkénti integráció. Vagyis az egyik példában két módszert kombinálunk egyszerre. És még több is.

Aztán megismerkedünk egy érdekes és eredetivel módszer az integrál önmagára redukálására. Nem olyan kevés integrált oldanak meg így.

A program harmadik száma összetett törtek integráljai lesznek, amelyek a korábbi cikkekben elrepültek a pénztárgép mellett.

Negyedszer, a trigonometrikus függvényekből származó további integrálokat elemezzük. Különösen vannak olyan módszerek, amelyek elkerülik az időigényes univerzális trigonometrikus helyettesítést.

(2) Az integrandusban tagonként elosztjuk a számlálót a nevezővel.

(3) A határozatlan integrál linearitási tulajdonságát használjuk. Az utolsó integrálban azonnal vigye a függvényt a differenciál jele alá.

(4) A maradék integrálokat vesszük. Vegye figyelembe, hogy a logaritmusban zárójeleket használhat, és nem a modulust, mert .

(5) A fordított helyettesítést végezzük, a "te" közvetlen helyettesítésből kifejezve:

A mazochista tanulók meg tudják különböztetni a választ, és megkapják az eredeti integrandust, ahogy én is tettem. Nem, nem, a megfelelő értelemben ellenőriztem =)

Mint látható, a megoldás során még kettőnél is több megoldási módot kellett alkalmazni, így az ilyen integrálok kezeléséhez magabiztos integrációs készség és nem utolsósorban tapasztalat szükséges.

A gyakorlatban természetesen a négyzetgyök gyakoribb, íme három példa erre független megoldás:

2. példa

megtalálja határozatlan integrál

3. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

4. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ezek a példák azonos típusúak, így a cikk végén található teljes megoldás csak a 2. példára vonatkozik, a 3-4. példákban - egy válasz. Azt gondolom, hogy a döntések kezdetén melyik helyettesítőt használjuk, az nyilvánvaló. Miért választottam azonos típusú példákat? Gyakran megtalálhatók szerepeikben. Gyakrabban talán csak valami hasonlót .

De nem mindig, amikor az arc tangens, szinusz, koszinusz, kitevő és más függvények alatt van egy gyöke lineáris függvény, egyszerre több módszert kell alkalmazni. Számos esetben lehet „könnyen kiszállni”, vagyis a csere után azonnal egy egyszerű integrált kapunk, amit elemileg veszünk. A fent javasolt feladatok közül a legkönnyebb a 4. példa, amelyben a csere után egy viszonylag egyszerű integrált kapunk.

Az integrál önmagára redukálásának módszere

Okos és szép módszer. Nézzük a műfaj klasszikusait:

5. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

A gyökér alatt négyzetes binomiális található, és amikor megpróbáljuk integrálni ezt a példát, a teáskanna órákig szenvedhet. Az ilyen integrált részek veszik fel, és önmagára redukálják. Elvileg nem nehéz. Ha tudod hogyan.

Jelöljük a figyelembe vett integrált latin betűvel, és kezdjük a megoldást:

Integrálás részenként:

(1) Előkészítjük az integrandust a tagozatos felosztásra.

(2) Az integrandus tagot tagokra osztjuk. Talán nem mindenki érti, írok részletesebben:

(3) A határozatlan integrál linearitási tulajdonságát használjuk.

(4) Vegyük az utolsó integrált ("hosszú" logaritmus).

Most nézzük a megoldás legelejét:

És a végére:

Mi történt? Manipulációink hatására az integrál önmagára redukált!

Tegye egyenlővé a kezdet és a vég:

Átszállunk a bal oldalra jelzésváltással:

És lebontjuk a ketteset a jobb oldalra. Ennek eredményeként:

Az állandót szigorúan véve korábban kellett volna hozzátenni, de a végén tettem hozzá. Erősen javaslom, hogy olvassa el itt, mi a súlyosság:

Jegyzet: Szigorúbban a megoldás végső szakasza így néz ki:

És így:

A konstans átnevezhető -val. Miért lehet átnevezni? Mert még tart Bármiértékeket, és ebben az értelemben nincs különbség az állandók és.
Ennek eredményeként:

Egy hasonló trükköt az állandó átnevezéssel széles körben alkalmaznak differenciál egyenletek. És ott szigorú leszek. És itt az ilyen szabadságjogokat csak azért engedem meg, hogy ne keverjem össze felesleges dolgokkal, és magára az integráció módszerére koncentráljak.

6. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Egy másik tipikus integrál a független megoldáshoz. Komplett megoldásés a válasz a lecke végén. A különbség az előző példa válaszához képest lesz!

Ha alatta négyzetgyök található négyzetes trinomikus, akkor a megoldás mindenképpen két elemzett példára redukálódik.

Vegyük például az integrált . Mindössze annyit kell tennie, hogy előre válasszon egy teljes négyzetet:
.
Ezután egy lineáris cserét hajtanak végre, amely "minden következmény nélkül" működik:
, ami egy integrált eredményez. Valami ismerős, igaz?

Vagy ez a példa négyzetes binomimmal:
Teljes négyzet kiválasztása:
És egy lineáris csere után megkapjuk az integrált, amit szintén a már figyelembe vett algoritmus old meg.

Tekintsünk még két tipikus példát arra, hogyan lehet egy integrált önmagára redukálni:
a kitevő integrálja és a szinusz szorzata;
a kitevő integrálja és a koszinusz szorzata.

A felsorolt, részenkénti integrálokban már kétszer kell integrálnia:

7. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Az integrandus a szinuszos kitevő szorozva.

Kétszer integráljuk részenként, és az integrált önmagára redukáljuk:

A részenkénti kettős integráció eredményeként az integrál önmagára redukálódik. Tegye egyenlővé a megoldás kezdetét és végét:

Előjelváltással átlépünk a bal oldalra, és kifejezzük integrálunkat:

Kész. Útközben kívánatos a jobb oldali fésülés, azaz. vegyük ki a kitevőt a zárójelekből, és tegyük zárójelbe a szinust és a koszinust „szép” sorrendben.

Most térjünk vissza a példa elejére, vagy inkább a részenkénti integrációra:

Ugyanis mi jelöltük ki a kiállítót. Felmerül a kérdés, hogy mindig a kitevőt kell jelölni? Nem szükséges. Valójában a figyelembe vett integrálban alapvetően nem számít, mit jelöljünk, lehet másképp is:

Miért lehetséges ez? Mivel a kitevő önmagába fordul (differenciáláskor és integrálásakor), a szinusz és a koszinusz kölcsönösen egymásba fordul (ismét differenciáláskor és integrálásakor is).

Azaz a trigonometrikus függvény is jelölhető. De a vizsgált példában ez kevésbé racionális, mivel törtek jelennek meg. Ha szeretné, megpróbálhatja ezt a példát a második módon megoldani, a válaszoknak azonosaknak kell lenniük.

8. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy „csináld magad” példa. Mielőtt döntene, gondolja át, hogy ebben az esetben mi a jövedelmezőbb, az exponenciális vagy a trigonometrikus függvényt? Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

És persze ne feledje, hogy ebben a leckében a válaszok többsége meglehetősen könnyen ellenőrizhető differenciálással!

A példákat nem tartották a legnehezebbnek. A gyakorlatban gyakoribbak az integrálok, ahol az állandó a trigonometrikus függvény kitevőjében és argumentumában is szerepel, például: . Sok embernek össze kell zavarodnia egy ilyen integrálban, és én magam is gyakran összezavarodok. Az a tény, hogy a megoldásban nagy a valószínűsége a törtek megjelenésének, és nagyon könnyű valamit elveszíteni a figyelmetlenség miatt. Ezenkívül az előjelekben nagy a hiba valószínűsége, vegye figyelembe, hogy a kitevőben mínusz jel van, és ez további nehézségeket okoz.

A végső szakaszban gyakran valami ilyesmi derül ki:

Még a megoldás végén is rendkívül óvatosnak kell lennie, és helyesen kell kezelnie a törteket:

Összetett törtek integrálása

Lassan közeledünk a lecke egyenlítőjéhez, és elkezdjük figyelembe venni a törtek integráljait. Ismétlem, nem mindegyik szuperbonyolult, csak ilyen vagy olyan okok miatt, a példák más cikkekben kissé „eltértek a témától”.

A gyökerek téma folytatása

9. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

A nevezőben a gyök alatt van egy négyzetes trinomiális plusz a gyök „függelékén” kívül „x” alakban. Ennek az űrlapnak az integrálját szabványos helyettesítéssel oldjuk meg.

Mi döntünk:

A csere itt egyszerű:

Az élet cseréje után:

(1) A behelyettesítés után a gyök alatti kifejezéseket közös nevezőre redukáljuk.
(2) Kivesszük a gyökér alól.
(3) A számlálót és a nevezőt csökkentjük -vel. Ugyanakkor a gyökér alatt átrendeztem a feltételeket kényelmes sorrendbe. Némi tapasztalat birtokában az (1), (2) lépések kihagyhatók a kommentált műveletek szóbeli végrehajtásával.
(4) A kapott integrál, ahogy emlékszel a leckéből Néhány tört integrálása, meg van oldva extrakciós módszer teljes négyzet . Válasszon ki egy teljes négyzetet.
(5) Integrálással egy közönséges "hosszú" logaritmust kapunk.
(6) A fordított cserét hajtjuk végre. Ha kezdetben , akkor vissza: .
(7) A végső művelet az eredmény hajrá: a gyökér alatt ismét közös nevezőre hozzuk a kifejezéseket, és kivesszük a gyökér alól.

10. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy „csináld magad” példa. Itt egy állandót adunk az egyedüli x-hez, és a csere majdnem ugyanaz:

Az egyetlen dolog, amit még meg kell tenni, az az "x" kifejezés a cseréből:

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Néha egy ilyen integrálban négyzetes binomiális lehet a gyök alatt, ez nem változtat a megoldáson, sőt még egyszerűbb is lesz. Érezd a különbséget:

11. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

12. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Rövid megoldások és válaszok a lecke végén. Meg kell jegyezni, hogy a 11. példa pontosan binomiális integrál, melynek megoldási módját az órán átgondoltuk Irracionális függvények integráljai.

2. fokú felbonthatatlan polinom integrálja a fokra

(polinom a nevezőben)

Ritkább, de mégis találkozás gyakorlati példák integrál típusa.

13. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

De térjünk vissza a példához a 13-as szerencseszámmal ( őszintén, nem tippeltem). Ez az integrál is azok kategóriájába tartozik, amelyekkel nagyjából meg lehet szenvedni, ha nem tudod, hogyan kell megoldani.

A megoldás egy mesterséges átalakítással kezdődik:

Azt hiszem, már mindenki érti, hogyan kell tagonként osztani a számlálót a nevezővel.

A kapott integrált részekre vesszük:

A ( – természetes szám) származtatott visszatérő leminősítési képlet:
, Ahol alacsonyabb fokú integrálja.

Ellenőrizzük ennek a képletnek az érvényességét a megoldott integrálra.
Ebben az esetben: , , a következő képletet használjuk:

Amint látja, a válaszok ugyanazok.

14. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy „csináld magad” példa. A mintaoldat a fenti képletet kétszer egymás után használja.

Ha a diploma alatt van felbonthatatlan négyzetes trinomit, akkor a megoldást binomiálisra redukáljuk a teljes négyzet kinyerésével, például:

Mi van akkor, ha van egy további polinom a számlálóban? Ebben az esetben a határozatlan együtthatók módszerét alkalmazzuk, és az integrandust törtösszeggé bővítjük. De az én gyakorlatomban egy ilyen példa soha nem találkozott, ezért ezt az esetet kihagytam a cikkben Tört-racionális függvény integráljai, most kihagyom. Ha még mindig előfordul egy ilyen integrál, lásd a tankönyvet - ott minden egyszerű. Nem tartom célszerűnek olyan anyagokat (még egyszerűt sem) szerepeltetni, amelyekkel való találkozás valószínűsége a nullára hajlik.

Összetett trigonometrikus függvények integrálása

A „nehéz” jelző a legtöbb példában ismét nagyrészt feltételes. Kezdjük az érintőkkel és a kotangensekkel magas fokok. Az érintő és a kotangens megoldására használt módszerek szempontjából közel azonosak, ezért az érintőről szólok bővebben, vagyis az integrál megoldásának bemutatott módja a kotangensre is érvényes.

A fenti leckében megnéztük univerzális trigonometrikus helyettesítés bizonyos típusú integrálok megoldására abból trigonometrikus függvények. Az univerzális trigonometrikus helyettesítés hátránya, hogy alkalmazása gyakran nehézkes, nehéz számításokat igénylő integrálokhoz vezet. És bizonyos esetekben az univerzális trigonometrikus helyettesítés elkerülhető!

Tekintsünk egy másik kanonikus példát, a szinuszos egység integrálját:

17. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Itt használhatja az univerzális trigonometrikus helyettesítést, és megkaphatja a választ, de van egy racionálisabb módszer is. Minden lépéshez egy komplett megoldást adok megjegyzésekkel:

(1) Használat trigonometrikus képlet kettős szög szinusza.
(2) Mesterséges transzformációt hajtunk végre: A nevezőben osztunk és szorozunk -vel.
(3) A nevezőben jól ismert képlet szerint a törtet érintővé alakítjuk.
(4) A függvényt a differenciál jele alá visszük.
(5) Vegyük az integrált.

Néhány egyszerű példa önálló megoldásra:

18. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Tipp: A legelső lépés a redukciós képlet használata és gondosan hajtsa végre az előző példához hasonló műveleteket.

19. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Nos, ez egy nagyon egyszerű példa.

Teljes megoldások és válaszok a lecke végén.

Azt hiszem, most senkinek nem lesz problémája az integrálokkal:
stb.

Mi az ötlet a módszer mögött? Az ötlet az, hogy transzformációkkal, trigonometrikus képletekkel csak az érintőket és az érintő deriváltját rendezzük az integrandusban. Vagyis cseréről beszélünk: . A 17-19. példákban tulajdonképpen ezt a helyettesítést használtuk, de az integrálok olyan egyszerűek voltak, hogy ez egy ekvivalens művelettel történt – a függvényt a differenciáljel alá hozva.

Hasonló érvelés, mint már említettem, végrehajtható a kotangensre is.

A fenti helyettesítés alkalmazásának formális előfeltétele is van:

A koszinusz és a szinusz hatványainak összege egy negatív egész PÁROS szám, Például:

integrál esetén egész szám negatív PÁROS szám.

! jegyzet : ha az integrandus CSAK szinust vagy CSAK koszinust tartalmaz, akkor az integrált még negatív páratlan fokkal is felvesszük (a legegyszerűbb esetek a 17., 18. példákban találhatók).

Vegyünk néhány értelmesebb feladatot ehhez a szabályhoz:

20. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

A szinusz és a koszinusz fokainak összege: 2 - 6 \u003d -4 - negatív egész PÁROS szám, ami azt jelenti, hogy az integrál redukálható érintőkre és származékaira:

(1) Alakítsuk át a nevezőt.
(2) A jól ismert képlet szerint megkapjuk.
(3) Alakítsuk át a nevezőt.
(4) A képletet használjuk .
(5) A függvényt a differenciáljel alá visszük.
(6) A cserét elvégezzük. Előfordulhat, hogy a tapasztaltabb hallgatók nem hajtják végre a cserét, de mégis jobb, ha az érintőt egy betűre cserélik - kisebb az összetévesztés veszélye.

21. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy „csináld magad” példa.

Kitartás, kezdődik a bajnoki forduló =)

Az integrandban gyakran van egy "hodgepodge":

22. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez az integrál kezdetben egy érintőt tartalmaz, ami azonnal egy már ismert gondolatot sugall:

A mesterséges átalakítást a legelején, a többi lépést pedig kommentár nélkül hagyom, hiszen fent már mindenről volt szó.

Néhány kreatív példa egy független megoldáshoz:

23. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

24. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Igen, bennük természetesen lehet csökkenteni a szinusz, koszinusz fokait, használni az univerzális trigonometrikus helyettesítést, de sokkal hatékonyabb és rövidebb lesz a megoldás, ha érintőkön keresztül húzzuk. Teljes megoldás és válaszok a lecke végén

A logaritmusok integráljai

Integráció alkatrészek szerint. Megoldási példák

Megoldás.

Például.

Integrál kiszámítása:

Az integrál tulajdonságait alkalmazva (linearitás), ᴛ.ᴇ. , redukáljuk táblaintegrálra, azt kapjuk

Szia ismét. Ma a leckében megtanuljuk, hogyan kell integrálni az alkatrészeket. A részenkénti integrálás módja ϶ᴛᴏ az integrálszámítás egyik sarokköve. Egy teszten, vizsgán szinte mindig felajánlják a hallgatónak, hogy a következő típusú integrálokat oldja meg: a legegyszerűbb integrál (lásd a cikketHatározatlan integrál. Megoldási példák ) vagy egy integrál a változó megváltoztatására (lásd a cikketVáltozómódosítási módszer határozatlan integrálban ) vagy az integrál éppen részenkénti integráció módja.

Mint mindig, kéznél kell lennie: Integrálok táblázataÉs Származékos táblázat. Ha még mindig nincsenek meg, akkor látogassa meg oldalam spájzját: Matematikai képletek és táblázatok. Nem fogok belefáradni az ismétlésbe - jobb mindent kinyomtatni. Igyekszem minden anyagot következetesen, egyszerűen és közérthetően bemutatni, a részenkénti integráció nem okoz különösebb nehézséget.

Milyen problémát old meg az alkatrészekkel történő integráció? Az alkatrészenkénti integráció módszere nagyon megoldja fontos feladat, lehetővé teszi néhány olyan függvény integrálását, amelyek nem szerepelnek a táblázatban, munka funkciókat, és bizonyos esetekben - és privát. Mint emlékszünk, nincs kényelmes képlet: . De van ez: - az alkatrészek személyes integrációjának képlete. Tudom, tudom, te vagy az egyetlen - vele együtt fogjuk dolgozni az egész leckét (ez már könnyebb).

És azonnal a lista a stúdióban. A következő típusú integrálokat részenként veszik fel:

1) , - logaritmus, logaritmus szorozva valamilyen polinommal.

2) , egy exponenciális függvény, szorozva valamilyen polinommal. Ide tartoznak az olyan integrálok is, mint - egy exponenciális függvény szorozva egy polinommal, de a gyakorlatban ez 97 százalék, az integrál alatt egy csinos ʼʼеʼʼ betű pompázik. ... a cikk valami líraira sikeredett, na igen ... megjött a tavasz.

3) , trigonometrikus függvények valamilyen polinommal szorozva.

4) , inverz trigonometrikus függvények (ʼʼarchesʼʼ), ʼʼarchesʼʼ, megszorozva valamilyen polinommal.

Ezenkívül néhány tört részenként történik, a megfelelő példákat is részletesen megvizsgáljuk.

1. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Klasszikus. Időnként ez az integrál megtalálható a táblázatokban, de nem kívánatos kész választ használni, mivel a tanárnak tavasszal beriberije van, és sokat szidni fog. Mivel a szóban forgó integrál semmiképpen sem táblázatos – részekre bontva. Mi döntünk:

A megoldást köztes magyarázatokra megszakítjuk.

Az alkatrészek szerinti integráció képletét használjuk:

A logaritmus integráljai - fogalma és típusai. A "Logaritmusok integráljai" kategória osztályozása és jellemzői 2017, 2018.

Az antiderivatívek ("integrálok") táblázata. Integrálok táblázata. Táblázatos nem határozott integrálok. (Egyszerű integrálok és paraméteres integrálok). Képletek alkatrészenkénti integrációhoz. Newton-Leibniz képlet.

Az antiderivatívek ("integrálok") táblázata. Táblázatos határozatlan integrálok. (Egyszerű integrálok és paraméteres integrálok).
Teljesítmény funkció integrált.	Teljesítmény funkció integrált.
Integrál, amely egy teljesítményfüggvény integráljává redukálódik, ha x-et a differenciál előjele alatt hajtjuk.
	Az exponenciális integrál, ahol a egy állandó szám.
Összetett exponenciális függvény integrálja.	Az exponenciális függvény integrálja.
A természetes logaritmussal egyenlő integrál.	Integrál: "Hosszú logaritmus".
	Integrál: "Hosszú logaritmus".
Integrál: "Magas logaritmus".	Az integrál, ahol a számlálóban x a differenciál előjele alá kerül (az előjel alatti konstans összeadható és kivonható is), ennek eredményeként hasonló a természetes logaritmussal egyenlő integrálhoz.
Integrál: "Magas logaritmus".
Koszinusz integrál.	Szinusz integrál.
Az érintővel egyenlő integrál.	A kotangenssel egyenlő integrál.
Integrál egyenlő arcszinusszal és arcszinusszal
Egy integrál, amely egyenlő az inverz és az inverz koszinuszokkal.	Integrál, amely megegyezik az arctangenssel és az ívkotangenssel.
Az integrál egyenlő a koszekánssal.	Integrál egyenlő a szekánssal.
Az ívessel egyenlő integrál.	Az ív koszekánsával egyenlő integrál.
Az ívessel egyenlő integrál.	Az ívessel egyenlő integrál.
A hiperbolikus szinusznak megfelelő integrál.	A hiperbolikus koszinusznak megfelelő integrál.
A hiperbolikus szinusznak megfelelő integrál, ahol a sinhx a hiperbolikus szinusz az angolban.	A hiperbolikus koszinusznak megfelelő integrál, ahol sinhx a hiperbolikus szinusz az angol változatban.
A hiperbolikus érintővel egyenlő integrál.	A hiperbolikus kotangenssel egyenlő integrál.
A hiperbolikus szekánssal egyenlő integrál.	A hiperbolikus koszekánssal egyenlő integrál.

Képletek alkatrészenkénti integrációhoz. Integrációs szabályok.

Képletek alkatrészenkénti integrációhoz. Newton-Leibniz képlet Integrációs szabályok.
Termék (függvény) integrálása konstanssal:
A függvények összegének integrálása:
határozatlan integrálok:
Integrálás alkatrész képlet szerint határozott integrálok:
Newton-Leibniz képlet határozott integrálok:	Ahol F(a), F(b) az antiderivatívek értékei a b és a pontokban.

Származékos táblázat. Táblázat származékai. A termék származéka. A magán szó származéka. Derivált összetett funkció.

Ha x független változó, akkor:

Származékos táblázat. Táblázat származékok. "táblázati származék" - igen, sajnos így keresik őket az interneten
	Hatványfüggvény derivált
	A kitevő származéka
Összetett exponenciális függvény deriváltja	Az exponenciális függvény deriváltja
Logaritmikus függvény deriváltja	A természetes logaritmus származéka
	Függvény természetes logaritmusának deriváltja
Szinusz derivált	koszinusz-származék
Koszekáns származék	Szekáns származék
Az arcszinusz származéka	Ív koszinusz derivált
Az arcszinusz származéka	Ív koszinusz derivált
Érintő derivált	Kotangens derivált
Ívtangens derivált	Az inverz érintő származéka
Ívtangens derivált	Az inverz érintő származéka
Arcsekant származék	Az ív koszekáns származéka
Arcsekant származék	Az ív koszekáns származéka
A hiperbolikus szinusz származéka A hiperbolikus szinusz származéka az angol változatban	Hiperbolikus koszinusz-származék A hiperbolikus koszinusz származéka az angol változatban
A hiperbolikus érintő származéka	A hiperbolikus kotangens származéka
A hiperbolikus szekáns származéka	A hiperbolikus koszekáns származéka

Differenciálási szabályok. A termék származéka. A magán szó származéka. Komplex függvény származéka.
Egy szorzat (függvény) származéka konstanssal:
Az összeg származéka (függvények):
A szorzat (a függvények) származéka:
A (függvények) hányadosának deriváltja:
Egy összetett függvény származéka:

A logaritmusok tulajdonságai. A logaritmusok alapképletei. Tizedes (lg) és természetes logaritmus (ln).

Alapvető logaritmikus azonosság
Mutassuk meg, hogyan tehető exponenciálissá az a b alak bármely függvénye. Mivel az e x alakú függvényt exponenciálisnak nevezzük, akkor
Bármely a b alakú függvény tíz hatványaként ábrázolható

ln természetes logaritmus (e logaritmusalap = 2,718281828459045…) ln(e)=1; log(1)=0

Taylor sorozat. Egy függvény kiterjesztése egy Taylor sorozatban.

Kiderült, hogy a legtöbb gyakorlatilag előfordul A matematikai függvények egy adott pont közelében tetszőleges pontossággal ábrázolhatók a változó hatványait növekvő sorrendben tartalmazó hatványsorok formájában. Például az x=1 pont közelében:

Az úgynevezett sorok használatakor Taylor rows, mondjuk algebrai, trigonometrikus és exponenciális függvényeket tartalmazó vegyes függvények tisztán algebrai függvényekként fejezhetők ki. Sorozatok segítségével sokszor gyorsan elvégezhető a differenciálás és az integráció.

Az a pont közelében lévő Taylor sorozatnak a következő formái vannak:

1) , ahol f(x) egy olyan függvény, amelynek minden rendjének deriváltja van x=a helyen. R n - a Taylor-sorozat maradék tagját a kifejezés határozza meg

2)

A sorozat k-edik együtthatóját (x k-nél) a képlet határozza meg

3) A Taylor sorozat speciális esete a Maclaurin sorozat (=McLaren) (a bomlás az a=0 pont körül megy végbe)

ha a=0

a sorozat tagjait a képlet határozza meg

A Taylor sorozat alkalmazásának feltételei.

1. Ahhoz, hogy az f(x) függvény Taylor-sorozatban kibővüljön a (-R;R) intervallumon, szükséges és elegendő, hogy a Taylor-képletben (Maclaurin (=McLaren)) a maradék tag nullára hajlik, mint k →∞ a megadott intervallumon (-R;R).

2. Szükséges, hogy ennek a függvénynek legyenek deriváltjai azon a ponton, amelynek közelében Taylor sorozatot fogunk építeni.

A Taylor sorozat tulajdonságai.

Ha f egy analitikus függvény, akkor a Taylor-sor az f tartományának bármely a pontjában konvergál f-hez az a szomszédságában.

Vannak végtelenül differenciálható függvények, amelyek Taylor-sora konvergál, de különbözik az a bármely környezetében lévő függvénytől. Például:

Taylor sorozatot használunk a közelítésben (közelítés - tudományos módszer, amely abból áll, hogy egyes objektumokat másokkal helyettesítünk, bizonyos értelemben az eredetihez közeli, de egyszerűbb) függvényeket polinomokkal. Különösen az egyenletek linearizálása ((a linearisból - lineáris), a zárt nemlineáris rendszerek közelítő ábrázolásának egyik módszere, amelyben a nemlineáris rendszer tanulmányozását egy lineáris rendszer elemzése váltja fel, bizonyos értelemben az eredetivel egyenértékű.) egyenletek Taylor-sorozattá történő kiterjesztésével és az első rend feletti összes tag levágásával történik.

Így szinte minden függvény adott pontossággal polinomként ábrázolható.

Példák a hatványfüggvények néhány gyakori kiterjesztésére a Maclaurin sorozatban (=McLaren,Taylor a 0. pont közelében) és Taylor az 1. pont közelében. A Taylor és MacLaren sorozatok fő függvényeinek kiterjesztésének első feltételei.

Példák a hatványfüggvények néhány gyakori kiterjesztésére a Maclaurin sorozatban (= MacLaren, Taylor a 0 pont közelében)

Példák néhány gyakori Taylor-sorozat-bővítésre az 1. pont körül

Integráció alkatrészek szerint. Megoldási példák

Szia ismét. Ma a leckében megtanuljuk, hogyan kell integrálni az alkatrészeket. Az integrálszámítás egyik sarokköve a részek szerinti integrálás módszere. A teszten, vizsgán szinte mindig felajánlják a hallgatónak a következő típusú integrálok megoldását: a legegyszerűbb integrál (lásd a cikket) vagy egy integrál a változó megváltoztatására (lásd a cikket) vagy az integrál éppen részenkénti integráció módja.

Mint mindig, kéznél kell lennie: Integrálok táblázataÉs Származékos táblázat. Ha még mindig nincsenek meg, akkor látogassa meg oldalam raktárát: Matematikai képletek és táblázatok. Nem fogok belefáradni az ismétlésbe - jobb mindent kinyomtatni. Igyekszem minden anyagot következetesen, egyszerűen és közérthetően bemutatni, a részenkénti integráció nem okoz különösebb nehézséget.

Milyen problémát old meg az alkatrészekkel történő integráció? Az alkatrészenkénti integráció módszere egy nagyon fontos problémát old meg, lehetővé teszi néhány olyan függvény integrálását, amelyek nem szerepelnek a táblázatban, munka funkciókat, és bizonyos esetekben - és privát. Mint emlékszünk, nincs kényelmes képlet: . De van ilyen: az alkatrészek személyes integrációjának képlete. Tudom, tudom, te vagy az egyetlen - vele együtt fogjuk dolgozni az egész leckét (ez már könnyebb).

És azonnal a lista a stúdióban. A következő típusú integrálokat részenként veszik fel:

1) , , - logaritmus, logaritmus szorozva valamilyen polinommal.

2) ,egy exponenciális függvény, szorozva valamilyen polinommal. Ide tartoznak az olyan integrálok is, mint - egy exponenciális függvény szorozva egy polinommal, de a gyakorlatban ez 97 százalék, az integrál alatt egy csinos „e” betű pompázik. ... a cikk valami líraira sikeredett, na igen ... megjött a tavasz.

3) , , trigonometrikus függvények, megszorozva valamilyen polinommal.

4) , - inverz trigonometrikus függvények („ívek”), „ívek”, szorozva valamilyen polinommal.

Ezenkívül néhány tört részenként történik, a megfelelő példákat is részletesen megvizsgáljuk.

A logaritmusok integráljai

1. példa

Klasszikus. Időnként ez az integrál megtalálható a táblázatokban, de nem kívánatos kész választ használni, mivel a tanárnak tavasszal beriberije van, és sokat szidni fog. Mivel a szóban forgó integrál semmiképpen sem táblázatos – részekre bontva. Mi döntünk:

A megoldást köztes magyarázatokra megszakítjuk.

Az alkatrészek szerinti integráció képletét használjuk:

A képletet balról jobbra alkalmazzuk

A bal oldalt nézzük:. Nyilvánvaló, hogy a mi példánkban (és az összes többiben, amit figyelembe fogunk venni) valamit jelölni kell, valamit pedig -vel.

A vizsgált típusú integrálokban mindig a logaritmust jelöljük.

Technikailag a megoldás kialakítása a következőképpen valósul meg, az oszlopba írjuk:

Vagyis mert a logaritmust jelöltük, és - a fennmaradó részt integrand.

Következő lépés: keresse meg a differenciálművet:

A differenciál szinte megegyezik a deriválttal, az előző leckékben már tárgyaltuk, hogyan találjuk meg.

Most megtaláljuk a függvényt. A függvény megtalálásához integrálni kell jobb oldal alacsonyabb egyenlőség:

Most megnyitjuk a megoldásunkat, és megszerkesztjük a képlet jobb oldalát: .
Egyébként itt van egy példa a végső megoldásra néhány megjegyzéssel:

Az egyetlen pillanat a szorzatban, azonnal átrendeztem, és mivel a szorzót szokás a logaritmus elé írni.

Amint látható, a részenkénti integráció képlet alkalmazása lényegében két egyszerű integrálra redukálta megoldásunkat.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy bizonyos esetekben közvetlenül utána A képlet alkalmazásakor a maradék integrál alatt szükségszerűen egyszerűsítést kell végrehajtani - a vizsgált példában az integrandust "x"-szel csökkentettük.

Csináljunk egy ellenőrzést. Ehhez a válasz származékát kell vennie:

Megkaptuk az eredeti integrandust, ami azt jelenti, hogy az integrál helyesen lett megoldva.

Az ellenőrzés során a termékdifferenciálási szabályt alkalmaztuk: . És ez nem véletlen.

Integrálás alkatrész képlet szerint és képlet Ez két egymással ellentétes szabály.

2. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Az integrandus a logaritmus és a polinom szorzata.
Mi döntünk.

Még egyszer részletesen leírom a szabály alkalmazásának menetét, a jövőben a példák rövidebben kerülnek bemutatásra, és ha nehézségei vannak a megoldás során, akkor vissza kell térnie a lecke első két példájához.

Mint már említettük, ehhez szükséges a logaritmus kijelölése (az a tény, hogy fokban van, nem számít). jelöljük a fennmaradó részt integrand.

Egy oszlopba írjuk:

Először megtaláljuk a különbséget:

Itt egy komplex függvény differenciálási szabályát használjuk . Nem véletlen, hogy a téma legelső óráján Határozatlan integrál. Megoldási példák Arra koncentráltam, hogy az integrálok elsajátításához "rá kell fogni" a deriváltokra. A származékos termékeknek többször is szembe kell nézniük.

Most megtaláljuk a függvényt, ehhez integráljuk jobb oldal alacsonyabb egyenlőség:

Az integrációhoz a legegyszerűbb táblázatos képletet alkalmaztuk

Most készen áll a képlet alkalmazására . "Csillaggal" nyitjuk meg, és a jobb oldalnak megfelelően "tervezzük meg" a megoldást:

Az integrál alatt ismét van egy polinom a logaritmuson! Ezért a megoldást ismét megszakítják, és másodszor is alkalmazzák a részenkénti integráció szabályát. Ne felejtsük el, hogy hasonló helyzetekben a logaritmust mindig jelöljük.

Jó lenne, ha ezen a ponton szóban meg tudná találni a legegyszerűbb integrálokat és származékokat.

(1) Ne tévesszen meg a táblákban! Itt nagyon gyakran elveszik egy mínusz, de vegye figyelembe, hogy a mínusz érvényes mindenkinek zárójel , és ezeket a zárójeleket megfelelően kell kinyitni.

(2) Bontsa ki a zárójeleket. Az utolsó integrált egyszerűsítjük.

(3) Vegyük az utolsó integrált.

(4) A válasz „fésülködése”.

Nem ritka, hogy kétszer (vagy akár háromszor) kell alkalmazni a részenkénti integráció szabályát.

És most néhány példa egy független megoldásra:

3. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Ezt a példát a változó metódus megváltoztatásával (vagy a differenciáljel alá szummálásával) oldjuk meg! És miért ne – megpróbálhatod részekre szedni, kapsz egy vicces dolgot.

4. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

De ezt az integrált részek (az ígért tört) integrálják.

Ezek önmegoldó példák, megoldások és válaszok a lecke végén.

Úgy tűnik, hogy a 3,4 példákban az integrandusok hasonlóak, de a megoldási módok eltérőek! Pontosan ez a fő nehézség az integrálok elsajátításában - ha rossz módszert választasz az integrál megoldására, akkor órákig bíbelődhetsz vele, mint egy igazi rejtvénynél. Ezért minél többet old meg különféle integrálokat, annál jobb, annál könnyebb lesz a teszt és a vizsga. Ráadásul a második évben lesz differenciál egyenletek, és integrálok és deriváltak megoldásában szerzett tapasztalat nélkül nincs mit tenni.

Logaritmus alapján talán több mint elég. Uzsonnára arra is emlékszem, hogy a műszaki hallgatók logaritmusnak hívják a női melleket =). Egyébként hasznos fejből ismerni a fő grafikáját elemi függvények: szinusz, koszinusz, arctangens, exponenciális, harmadik, negyedik fokú polinomok stb. Nem, természetesen óvszer a földgömbön
Nem húzom, de most sok mindenre fog emlékezni a szakaszból Grafikonok és függvények =).

A kitevő integráljai szorozva a polinommal

Általános szabály:

5. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Ismert algoritmussal részenként integráljuk:

Ha nehézségei vannak az integrállal, akkor térjen vissza a cikkhez Változómódosítási módszer határozatlan integrálban.

Az egyetlen más teendő, hogy "fésüljük" a választ:

De ha a számítási technikája nem túl jó, hagyja meg válaszként a legjövedelmezőbb lehetőséget. vagy akár

Vagyis a példa akkor tekinthető megoldottnak, amikor az utolsó integrált vettük. Nem lesz hiba, más kérdés, hogy a tanár kérheti a válasz egyszerűsítését.

6. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Ez egy „csináld magad” példa. Ezt az integrált részek kétszer integrálják. Speciális figyelemérdemes figyelni a jelekre - könnyen összetéveszthető bennük, erre is emlékezünk - összetett funkció.

A kiállítóról nem nagyon lehet többet mondani. Csak annyit tudok hozzátenni, hogy az exponenciális és a természetes logaritmus kölcsönösen inverz függvények, ez nekem a felsőbb matematika szórakoztató grafikonjainak témája =) Stop-stop, ne aggódj, az előadó józan.

Trigonometrikus függvények integráljai polinommal szorozva

Általános szabály: mindig a polinomot jelöli

7. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Integrálás részenként:

Hmmm... és nincs mit kommentálni.

8. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy példa a „csináld magad” megoldásra

9. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Egy másik példa törttel. Az előző két példához hasonlóan a polinomot a.

Integrálás részenként:

Ha nehézségei vagy félreértései vannak az integrál megtalálásával kapcsolatban, akkor azt javaslom, hogy vegyen részt az órán Trigonometrikus függvények integráljai.

10. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy „csináld magad” példa.

Tipp: a részenkénti integráció módszer használata előtt alkalmazzon valamilyen trigonometrikus képletet, amely két trigonometrikus függvény szorzatát egyetlen függvénnyel alakítja. A képlet az alkatrészenkénti integráció módszerének alkalmazása során is használható, akinek ez kényelmesebb.

Ebben a bekezdésben talán minden benne van. Valamiért eszembe jutott egy sor a Fizika és Matematika Tanszék himnuszából „És a szinuszgráf hullám után hullám fut az abszcissza tengely mentén” ....

Inverz trigonometrikus függvények integráljai.
Inverz trigonometrikus függvények integráljai polinommal szorozva

Általános szabály: mindig az inverz trigonometrikus függvényt jelöli.

Emlékeztetlek arra, hogy az inverz trigonometrikus függvények közé tartozik az arcszinusz, az arkoszinusz, az arctangens és az arckotangens. A rövidség kedvéért "íveknek" fogom hivatkozni rájuk.