Az óra témája: Kör egyenlet

Az óra céljai:

Nevelési: Vezesse le a köregyenletet, tekintve ennek a feladatnak a megoldását a koordináta-módszer alkalmazási lehetőségeinek egyikeként!

Képesnek lenni:

– Ismerje fel a kör egyenletét a javasolt egyenlet szerint, tanítsa meg a tanulókat egy kész rajz alapján kör egyenlet felállítására, adott egyenlet alapján kört építeni.

Nevelési : A kritikai gondolkodás kialakítása.

Nevelési : Algoritmikus előírások készítésének képességének és a javasolt algoritmusnak megfelelő cselekvési képesség fejlesztése.

Képesnek lenni:

– Nézze meg a problémát, és tervezze meg a megoldási módokat.

– Foglalja össze gondolatait szóban és írásban.

Az óra típusa: új ismeretek asszimilációja.

Felszerelés : PC, multimédiás projektor, vetítővászon.

Tanterv:

1. Megnyitó beszéd - 3 perc.

2. Tudásfrissítés - 2 perc.

3. A probléma megfogalmazása és megoldása -10 perc.

4. Az új anyag elülső rögzítése - 7 perc.

5. Önálló munkavégzés csoportokban - 15 perc.

6. A munka bemutatása: beszélgetés - 5 perc.

7. Az óra eredménye. Házi feladat- 3 perc

Az órák alatt

Ennek a szakasznak a célja: A tanulók pszichológiai hangulata; Minden diák bevonása a munkába oktatási folyamat, sikerhelyzetet teremtve.

1. Idő szervezése.

3 perc

Srácok! A körrel még az 5. és 8. osztályban találkoztál. Mit tudsz róla?

Ön sokat tud, és ezek az adatok felhasználhatók geometriai feladatok megoldásában. De a koordináta-módszert használó problémák megoldásához ez nem elég.Miért?

Teljesen igaza van.

Ezért a mai óra fő célja az, hogy egy adott egyenes geometriai tulajdonságaiból levezetjük a kör egyenletét, és ezt alkalmazzuk geometriai feladatok megoldására.

Elengedniaz óra mottója Al-Biruni közép-ázsiai tudós-enciklopédista szavai a következők lesznek: „A tudás a legkiválóbb birtok. Mindenki erre törekszik, de nem jön magától.”

Írd le egy füzetbe az óra témáját!

A kör definíciója.

Sugár.

Átmérő.

Akkord. Stb.

Még nem tudjuk Általános nézet köregyenletek.

A tanulók felsorolnak mindent, amit a körről tudnak.

2. dia

3. dia

A színpad célja, hogy képet kapjanak a tanulók az anyag tanulásának minőségéről, meghatározzák az alapvető ismereteket.

2. Tudásfrissítés.

2 perc

A köregyenlet levezetésénél szüksége lesz a kör már ismert definíciójára és egy képletre, amely lehetővé teszi két pont távolságának koordinátái alapján történő meghatározását.Emlékezzünk ezekre a tényekre /Panyag ismétlése korábban tanult/:

– Írja fel a képletet egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak megtalálásához!

– Írja fel a vektor hosszának kiszámításához szükséges képletet!

– Írd fel a képletet a pontok közötti távolság meghatározásához! (a szegmens hossza).

Rekordok szerkesztése...

Geometriai edzés.

Adott pontokA (-1; 7) ÉsIn (7; 1).

Számítsa ki az AB szakasz felezőpontjának és hosszának koordinátáit!

Ellenőrzi a végrehajtás helyességét, javítja a számításokat ...

Egy diák a táblánál, a többiek pedig képleteket írnak le a füzetekbe

A kört úgy hívják geometriai alakzat, amely egy adott ponttól adott távolságra lévő összes pontból áll.

| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²

M(x;y), A(x;y)

Számítsd ki: C (3; 4)

| AB | = 10

VAL VEL feküdt 4

5. dia

3. Új ismeretek formálása.

12 perc

Cél: a fogalom kialakítása - a kör egyenlete.

Megoldani a problémát:

BAN BEN téglalap alakú rendszer koordinátákat, egy A(x; y) középpontú kört szerkesztünk. M(x; y) - a kör tetszőleges pontja. Keresse meg a kör sugarát.

Bármely másik pont koordinátái teljesítik-e ezt az egyenlőséget? Miért?

Nézzük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát.Ennek eredményeként a következőkkel rendelkezünk:

r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² a kör egyenlete, ahol (x; y) a kör középpontjának koordinátái, (x; y) egy tetszőleges kör koordinátái a körön fekvő pont, r a kör sugara.

Megoldani a problémát:

Mi lesz az origó középpontú kör egyenlete?

Tehát mit kell tudni a kör egyenletének felírásához?

Javasoljon egy algoritmust a köregyenlet összeállításához!

Következtetés: ... írj egy füzetbe.

A sugár egy szakasz, amely a kör középpontját a körön fekvő tetszőleges ponttal köti össze. Ezért r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²

A kör bármely pontja azon a körön fekszik.

A tanulók füzetekbe írnak.

(0;0)-a kör középpontjának koordinátái.

x² + y² = r², ahol r a kör sugara.

A kör középpontjának koordinátái, a sugár, a kör bármely pontja...

Javasolnak egy algoritmust...

Írd le az algoritmust egy füzetbe.

6. dia

7. dia

8. dia

A tanár felírja az egyenletet a táblára.

9. dia

4. Elsődleges rögzítés.

23 perc

Cél:az imént észlelt anyag hallgatói általi reprodukálása, hogy megakadályozzák a kialakult ötletek és koncepciók elvesztését. Új ismeretek, ötletek, koncepciók megszilárdítása ezek alapjánalkalmazások.

ZUN vezérlés

Alkalmazzuk a megszerzett ismereteket az alábbi feladatok megoldásában.

Feladat: A javasolt egyenletek közül nevezze meg azoknak a számát, amelyek a kör egyenletei! És ha az egyenlet egy kör egyenlete, akkor nevezze meg a középpont koordinátáit, és adja meg a sugarat.

Nem minden kétváltozós másodfokú egyenlet határoz meg egy kört.

4x² + y² \u003d 4-ellipszis egyenlet.

x²+y²=0-pont.

x² + y² \u003d -4-ez az egyenlet nem határoz meg egyetlen ábrát sem.

Srácok! Mit kell tudni a kör egyenletének felírásához?

Megoldani a problémát 966. szám 245. (tankönyv).

A tanár a táblához szólítja a tanulót.

A feladat feltételében megadott adatok elegendőek egy kör egyenletének felállításához?

Feladat:

Írd fel az origó középpontú, 8 átmérőjű kör egyenletét!

Feladat : kört rajzol.

A központnak van koordinátája?

Határozza meg a sugarat... és építse

Feladat a 243. oldalon (tankönyv) szóban érthető.

A 243. oldalon található problémamegoldási terv segítségével oldja meg a problémát:

Írja fel az A(3;2) pontban középpontos kör egyenletét, ha a kör áthalad a B(7;5) ponton!

1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - köregyenlet; (5; 3), r \u003d 6.

2) (x-1)² + y² \u003d 49 - köregyenlet; (1; 0), r \u003d 7.

3) x² + y² \u003d 7 - köregyenlet; (0; 0), r \u003d √7.

4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d 2- kör egyenlet; (-3;8),r=√2.

5) A 4x² + y² \u003d 4 nem egy kör egyenlete.

6) x² + y² = 0- nem a kör egyenlete.

7) x² + y² = -4- nem a kör egyenlete.

Ismerje meg a kör középpontjának koordinátáit.

Sugárhossz.

Helyettesítsük be a középpont koordinátáit és a sugár hosszát a kör általános egyenletébe!

966. számú feladat megoldása 245. oldal (tankönyv).

Elég adat.

Megoldják a problémát.

Mivel a kör átmérője kétszerese a sugarának, akkor r=8÷2=4. Ezért x² + y² = 16.

Hajtsa végre a körök felépítését

Tankönyvi munka. Feladat a 243. oldalon.

Adott: A (3; 2) - a kör középpontja; В(7;5)є(А;r)

Keresse meg: köregyenlet

Megoldás: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²

r² \u003d (x -3)² + (y -2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r²=25

(x -3)² + (y -2)² \u003d 25

Válasz: (x -3)² + (y -2)² \u003d 25

dia 10-13

Tipikus problémák megoldása a megoldás hangos beszédben történő kiejtésével.

A tanár felhív egy tanulót, hogy írja le a kapott egyenletet.

Vissza a 9. diához

A probléma megoldásának tervének megvitatása.

Csúszik. 15. A tanár a táblához hív egy diákot, hogy oldja meg ezt a problémát.

16. dia.

dia 17.

5. A lecke összefoglalása.

5 perc

Az osztálytermi tevékenységek tükrözése.

Házi feladat: 3. §, 91. pont, Ellenőrző kérdések №16,17.

Feladatok 959(b, d, e), 967. sz.

Feladat kiegészítő értékeléshez (problémafeladat): Szerkesszen meg egy kört, amelyet az egyenlet adott

x² + 2x + y² -4y = 4.

Miről beszéltünk az órán?

mit akartál kapni?

Mi volt az óra célja?

Milyen feladatokat oldhat meg „felfedezésünk”?

Melyikőtök úgy gondolja, hogy a tanár által az órán kitűzött célt 100%-ban, 50%-ban teljesítette; nem érte el a célt...?

Osztályozás.

Írd le a házi feladatot.

A tanulók válaszolnak a tanár által feltett kérdésekre. Végezzen önértékelést saját teljesítményükről.

A tanulóknak egy szóval kell kifejezniük az eredményt és annak elérésének módjait.

körméret a síkban egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza, amelyet középpontnak nevezünk.

Ha a C pont a kör középpontja, R a sugara, és M a kör tetszőleges pontja, akkor a kör definíciója szerint

Az (1) egyenlőség az kör egyenlet R sugár középpontjában a C pont.

Legyen egy derékszögű derékszögű koordinátarendszer (104. ábra) és egy C pont ( A; b) az R sugarú kör középpontja. Legyen М( X; nál nél) ennek a körnek egy tetszőleges pontja.

Mivel |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), akkor az (1) egyenlet a következőképpen írható fel:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

A (2) egyenletet nevezzük a kör általános egyenlete vagy egy R sugarú kör egyenlete, amelynek középpontja a ( A; b). Például az egyenlet

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

egy R = 5 sugarú kör egyenlete, amelynek középpontja az (1; -3) pontban van.

Ha a kör középpontja egybeesik az origóval, akkor a (2) egyenlet alakját veszi fel

x 2 + nál nél 2 = R2. (3)

A (3) egyenletet nevezzük a kör kanonikus egyenlete .

1. feladat.Írja fel az R = 7 sugarú kör egyenletét, amelynek középpontja az origóban van!

Ha a sugár értékét közvetlenül behelyettesítjük a (3) egyenletbe, megkapjuk

x 2 + nál nél 2 = 49.

2. feladat.Írja fel az R = 9 sugarú kör egyenletét, amelynek középpontja a C(3; -6) pont!

A C pont koordinátáinak értékét és a sugár értékét behelyettesítve a (2) képletbe, megkapjuk

(x - 3) 2 + (nál nél- (-6)) 2 = 81 vagy ( x - 3) 2 + (nál nél + 6) 2 = 81.

3. feladat. Keresse meg a kör középpontját és sugarát

(x + 3) 2 + (nál nél-5) 2 =100.

Ha ezt az egyenletet összevetjük a (2) általános köregyenlettel, azt látjuk A = -3, b= 5, R = 10. Ezért С(-3; 5), R = 10.

4. feladat. Bizonyítsuk be, hogy az egyenlet

x 2 + nál nél 2 + 4x - 2y - 4 = 0

a kör egyenlet. Keresse meg a középpontját és a sugarát.

Alakítsuk át ennek az egyenletnek a bal oldalát:

x 2 + 4x + 4- 4 + nál nél 2 - 2nál nél +1-1-4 = 0

(x + 2) 2 + (nál nél - 1) 2 = 9.

Ez az egyenlet egy kör egyenlete, amelynek középpontja (-2; 1); a kör sugara 3.

5. feladat.Írja fel az AB egyenest érintő C(-1; -1) pont középpontjában álló kör egyenletét, ha A (2; -1), B(-1; 3).

Írjuk fel az AB egyenes egyenletét:

vagy 4 x + 3y-5 = 0.

Mivel a kör érinti az adott egyenest, az érintkezési pontra húzott sugár merőleges erre az egyenesre. A sugár meghatározásához meg kell találnia a távolságot a C ponttól (-1; -1) - a kör középpontjától az egyenesig 4 x + 3y-5 = 0:

Írjuk fel a kívánt kör egyenletét

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Legyen adott egy kör téglalap alakú koordinátarendszerben x 2 + nál nél 2 = R2. Tekintsük tetszőleges M( X; nál nél) (105. ábra).

Legyen a sugárvektor OM> M pont nagyságszöget alkot t az O tengely pozitív irányával x, akkor az M pont abszcisszája és ordinátája attól függően változik t

(0 t x és y keresztül t, találunk

x= Rcos t ; y= R sin t , 0 t

A (4) egyenleteket nevezzük origó középpontú kör parametrikus egyenletei.

6. feladat. A kört az egyenletek adják meg

x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Írd fel ennek a körnek a kanonikus egyenletét!

A feltételből következik x 2 = 3, mert 2 t, nál nél 2 = 3 bűn 2 t. Ha ezeket az egyenlőségeket tagonként összeadjuk, azt kapjuk

x 2 + nál nél 2 = 3 (cos 2 t+ bűn 2 t)

vagy x 2 + nál nél 2 = 3

Egy síkon lévő egyenes egyenlete

Először mutassuk be egy kétdimenziós koordináta-rendszerben az egyenes egyenletének fogalmát. Legyen egy tetszőleges $L$ egyenes a derékszögű koordinátarendszerben (1. ábra).

1. ábra Tetszőleges vonal a koordinátarendszerben

1. definíció

A két $x$ és $y$ változójú egyenletet a $L$ egyenes egyenletének nevezzük, ha ezt az egyenletet kielégíti bármely, az $L$ egyeneshez tartozó pont koordinátája, és nem teljesül egyetlen olyan pont sem, amely nem tartozik a vonalhoz. sor $L.$

Kör egyenlet

Vezessük le a köregyenletet a $xOy$ derékszögű koordinátarendszerben. Legyen a $C$ kör középpontjának $(x_0,y_0)$ koordinátája, és legyen a kör sugara $r$. Legyen a $(x,y)$ koordinátájú $M$ pont ennek a körnek tetszőleges pontja (2. ábra).

2. ábra Kör derékszögű koordinátarendszerben

A kör középpontjától a $M$ pontig mért távolságot a következőképpen számítjuk ki

De mivel $M$ fekszik a körön, így $CM=r$-t kapunk. Akkor a következőket kapjuk

Az (1) egyenlet egy kör egyenlete, amelynek középpontja a $(x_0,y_0)$ pont és a sugara $r$.

Különösen, ha a kör középpontja egybeesik az origóval. Ekkor a kör egyenletének van alakja

Egy egyenes egyenlete.

Vezessük le az $l$ egyenes egyenletét a $xOy$ derékszögű koordinátarendszerben. Legyen a $A$ és $B$ pontok $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ és $\(x_2,\ y_2\)$ koordinátái, a $A$ és $B pontok pedig A $ úgy van kiválasztva, hogy az egyenes $l$ - középső merőleges$AB$ szegmentálásához. A $l$ egyeneshez tartozó tetszőleges $M=\(x,y\)$ pontot választunk (3. ábra).

Mivel az $l$ egyenes a felező merőleges az $AB$ szakaszra, a $M$ pont egyenlő távolságra van ennek a szakasznak a végeitől, azaz $AM=BM$.

Határozza meg ezen oldalak hosszát a pontok közötti távolság képletével:

Ennélfogva

Jelölje: $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1)^2 -(y_1)^2$, Azt kapjuk, hogy az egyenes egyenlete a derékszögű koordinátarendszerben a következő alakú:

Példa a Descartes-koordináta-rendszerben lévő egyenesek egyenleteinek megtalálásának problémájára

1. példa

Határozzuk meg egy kör egyenletét, amelynek középpontja a $(2,\ 4)$ pontban van. Áthaladva az origón és a $Ox,$ tengelyével párhuzamos egyenesen áthaladva a középpontján.

Megoldás.

Először keressük meg az adott kör egyenletét. Ehhez a kör általános egyenletét használjuk (fent levezetve). Mivel a kör középpontja a $(2,\ 4)$ pontban van, megkapjuk

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Határozza meg a kör sugarát a $(2,\ 4)$ és a $(0,0)$ pont távolságaként

Azt kapjuk, hogy a kör egyenlete a következő:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Most az 1. speciális eset segítségével megtaláljuk a köregyenletet. Megkapjuk

Osztály: 8

Az óra célja: bevezetni a kör egyenletét, megtanítani a tanulókat kész rajz alapján kör egyenlet felállítására, adott egyenlet alapján kört építeni.

Felszerelés: interaktív tábla.

Tanterv:

1. Szervezési pillanat - 3 perc.
2. Ismétlés. Mentális tevékenység szervezése - 7 perc.
3. Új anyag magyarázata. A köregyenlet levezetése - 10 perc.
4. A vizsgált anyag összevonása - 20 perc.
5. Óra összefoglalója - 5 perc.

Az órák alatt

2. Ismétlés:

− (1. számú melléklet 2. dia) írja le a képletet a szakasz közepe koordinátáinak megtalálásához;

− (3. dia) Zírja fel a pontok közötti távolság képletét (a szakasz hosszát).

3. Új anyag magyarázata.

(4-6. dia) Határozza meg a kör egyenletét! Vezesse le egy pontban középpontos kör egyenleteit ( A;b) és az origó középpontjában.

(x – A ) 2 + (nál nél – b ) 2 = R 2 − köregyenlet középponttal VAL VEL (A;b) , sugár R , x És nál nél – a kör tetszőleges pontjának koordinátái .

x 2 + y 2 = R A 2 az origó középpontú kör egyenlete.

(7. dia)

A kör egyenletének felírásához a következőkre lesz szüksége:

• ismerje a középpont koordinátáit;
• ismerje a sugár hosszát;
• cserélje be a középpont koordinátáit és a sugár hosszát a köregyenletbe.

4. Problémamegoldás.

Az 1. - 6. számú feladatokban készítse el a kör egyenleteit az elkészült rajzok szerint!

(14. dia)

№ 7. Töltse ki a táblázatot.

(15. dia)

№ 8. Szerkesszünk köröket a füzetben az egyenletek alapján:

A) ( x – 5) 2 + (nál nél + 3) 2 = 36;
b) (x + 1) 2 + (nál nél– 7) 2 = 7 2 .

(16. dia)

№ 9. Keresse meg a középpont koordinátáit és a sugár hosszát, ha AB a kör átmérője.

Adott:		Megoldás:
		R	Középponti koordináták
1	A(0 ; -6) BAN BEN(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	A(0; -6) BAN BEN(0 ; 2) VAL VEL(0 ; – 2) – központ
2	A(-2 ; 0) BAN BEN(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	A (-2;0) BAN BEN (4 ;0) VAL VEL(1 ; 0) – központ

(17. dia)

№ 10. Írd fel a ponton átmenő origó középpontú kör egyenletét! NAK NEK(-12;5).

Megoldás.

R2 = Rendben 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Köregyenlet: x 2 + y 2 = 169 .

(18. dia)

№ 11. Írjon egyenletet az origón áthaladó és a pontban középpontjában álló körre! VAL VEL(3; - 1).

Megoldás.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Kör egyenlet: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(19. dia)

№ 12. Írd fel egy középpontos kör egyenletét! A(3;2) áthaladó BAN BEN(7;5).

Megoldás.

1. A kör középpontja - A(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Kör egyenlet ( x – 3) 2 + (nál nél − 2) 2 = 25.

(20. dia)

№ 13. Ellenőrizze, hogy a pontok hazudnak-e A(1; -1), BAN BEN(0;8), VAL VEL(-3; -1) egy körön, egyenlet adja meg (x + 3) 2 + (nál nél − 4) 2 = 25.

Megoldás.

én. Helyettesítsd be a pont koordinátáit! A(1; -1) a köregyenletbe:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 - az egyenlőség hamis, tehát A(1; -1) nem hazudik egyenlet által megadott körön ( x + 3) 2 + (nál nél − 4) 2 = 25.

II. Helyettesítsd be a pont koordinátáit! BAN BEN(0;8) a köregyenletbe:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
BAN BEN(0;8)hazugságok x + 3) 2 + (nál nél − 4) 2 = 25.

III. Helyettesítsd be a pont koordinátáit! VAL VEL(-3; -1) a köregyenletbe:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - az egyenlőség igaz, tehát VAL VEL(-3; -1) hazugságok egyenlet által megadott körön ( x + 3) 2 + (nál nél − 4) 2 = 25.

A lecke összefoglalása.

1. Ismétlés: kör egyenlete, origó középpontú kör egyenlete.
2. (21. dia) Házi feladat.