Mint tudod, a kifejezések hatványokkal való szorzásakor a kitevőik mindig összeadódnak (a b * a c = a b + c). Ezt a matematikai törvényt Arkhimédész vezette le, majd később, a 8. században Virasen matematikus elkészítette az egész mutatók táblázatát. Ők voltak azok, akik a logaritmusok további felfedezését szolgálták. Szinte mindenhol találunk példákat ennek a függvénynek a használatára, ahol a nehézkes szorzást egyszerű összeadásig kell egyszerűsíteni. Ha 10 percet tölt ennek a cikknek a elolvasásával, elmagyarázzuk Önnek, mik azok a logaritmusok, és hogyan kell velük dolgozni. Egyszerű és hozzáférhető nyelv.

Definíció a matematikában

A logaritmus a következő formájú kifejezés: log a b=c, azaz bármely nem negatív szám (vagyis bármely pozitív) "b" logaritmusa az "a" alapja szerint a "c" hatványának tekinthető. ", amelyre meg kell emelni az "a" alapot, hogy végül megkapja a "b" értéket. Elemezzük a logaritmust példákon keresztül, mondjuk van egy log 2 kifejezés 8. Hogyan találjuk meg a választ? Nagyon egyszerű, olyan fokozatot kell találni, hogy 2-től a kívánt fokozatig 8-at kapjon. Gondolatban végzett számítások után megkapjuk a 3-as számot! És jogosan, mert a 2 a 3 hatványára a 8-as számot adja a válaszban.

A logaritmusok változatai

Sok diák és diák számára ez a téma bonyolultnak és érthetetlennek tűnik, de valójában a logaritmusok nem olyan ijesztőek, a lényeg az, hogy megértsük általános jelentésüket, és emlékezzünk tulajdonságaikra és néhány szabályra. Itt három van bizonyos fajták logaritmikus kifejezések:

1. Természetes logaritmus ln a, ahol az alap az Euler-szám (e = 2,7).
2. Tizedes a, ahol az alap 10.
3. Bármely b szám logaritmusa az a>1 bázishoz.

Mindegyiket szabványos módon oldják meg, beleértve az egyszerűsítést, a redukciót és az azt követő redukciót egy logaritmusra logaritmikus tételek segítségével. A logaritmusok helyes értékének meghatározásához emlékezni kell a tulajdonságaikra és a cselekvések sorrendjére a döntésekben.

Szabályok és néhány korlátozás

A matematikában több olyan szabály-korlátozás létezik, amelyeket axiómaként fogadnak el, vagyis nem vitathatóak és igazak. Például a számokat nem lehet nullával osztani, és a gyökér kinyerése sem lehetséges páros fokozat negatív számokból. A logaritmusoknak is megvannak a saját szabályai, amelyek betartásával könnyedén megtanulhatja, hogyan kell dolgozni még hosszú és terjedelmes logaritmikus kifejezésekkel is:

• az "a" alapnak mindig nagyobbnak kell lennie nullánál, és ugyanakkor nem lehet egyenlő 1-gyel, különben a kifejezés értelmét veszti, mert az "1" és a "0" bármilyen mértékben mindig egyenlő az értékükkel;
• ha a > 0, akkor a b > 0, akkor kiderül, hogy "c"-nek nagyobbnak kell lennie nullánál.

Hogyan lehet logaritmusokat megoldani?

Például azt a feladatot kaptuk, hogy a 10 x \u003d 100 egyenletre keressük meg a választ. Nagyon egyszerű, ilyen hatványt kell választani, fel kell emelni a tízes számot, amelyre 100-at kapunk. Ez természetesen 10 2 \u003d 100.

Most ábrázoljuk ezt a kifejezést logaritmikusként. Log 10 100 = 2-t kapunk. A logaritmusok megoldása során gyakorlatilag minden művelet konvergál ahhoz, hogy megtaláljuk, milyen mértékben kell megadni a logaritmus alapját egy adott szám megszerzéséhez.

Az ismeretlen fok értékének pontos meghatározásához meg kell tanulnia, hogyan kell dolgozni a foktáblázattal. Ez így néz ki:

Amint látja, néhány kitevő intuitív módon kitalálható, ha rendelkezik technikai gondolkodásmóddal és ismeri a szorzótáblát. A nagyobb értékekhez azonban teljesítménytáblázatra lesz szükség. Azok is használhatják, akik egyáltalán nem értenek semmit a bonyolult matematikai témákhoz. A bal oldali oszlop számokat tartalmaz (a bázis), a felső számsor a c hatvány értéke, amelyre az a számot emeljük. A cellák metszéspontjában meghatározzák a számok értékeit, amelyek a válasz (a c =b). Vegyük például a legelső 10-es számú cellát, és négyzetre emeljük, megkapjuk a 100-as értéket, amit a két cellánk metszéspontjában jelez. Minden olyan egyszerű és könnyű, hogy még a legigazibb humanista is megérti!

Egyenletek és egyenlőtlenségek

Kiderül, hogy bizonyos feltételek mellett a kitevő a logaritmus. Ezért bármilyen matematikai numerikus kifejezés felírható logaritmikus egyenletként. Például a 3 4 =81 felírható 81 logaritmusaként a 3-as bázisra, ami négy (log 3 81 = 4). Mert negatív erőket a szabályok ugyanazok: 2 -5 \u003d 1/32 logaritmus formájában írunk, log 2 (1/32) \u003d -5 kapunk. A matematika egyik leglenyűgözőbb része a „logaritmusok” témája. Az egyenletek példáit és megoldásait egy kicsit alacsonyabban fogjuk figyelembe venni, közvetlenül tulajdonságaik tanulmányozása után. Most nézzük meg, hogyan néznek ki az egyenlőtlenségek, és hogyan lehet megkülönböztetni őket az egyenletektől.

A következő formájú kifejezést adjuk meg: log 2 (x-1) > 3 - ez logaritmikus egyenlőtlenség, mivel az ismeretlen "x" érték a logaritmus előjele alatt van. És a kifejezésben is két mennyiséget hasonlítanak össze: a kívánt szám logaritmusa a kettes bázisban nagyobb, mint a három.

A legfontosabb különbség a logaritmikus egyenletek és az egyenlőtlenségek között az, hogy a logaritmusos egyenletek (például a 2 x = √9 logaritmusa) egy vagy több konkrét számértéket tartalmaznak a válaszban, míg az egyenlőtlenség megoldása során mindkét elfogadható értékeket és a funkciót megszakító pontokat. Következésképpen a válasz nem egyedi számok egyszerű halmaza, mint az egyenlet válaszában, hanem egy folytonos számsor vagy számhalmaz.

Alaptételek a logaritmusokról

A logaritmus értékeinek megtalálásával kapcsolatos primitív feladatok megoldása során előfordulhat, hogy a tulajdonságai nem ismertek. Amikor azonban logaritmikus egyenletekről vagy egyenlőtlenségekről van szó, mindenekelőtt tisztán kell érteni és a gyakorlatban alkalmazni kell a logaritmus összes alapvető tulajdonságát. A későbbiekben egyenletpéldákkal fogunk megismerkedni, először elemezzük az egyes tulajdonságokat részletesebben.

1. Az alapazonosító így néz ki: a logaB =B. Csak akkor érvényes, ha a nagyobb, mint 0, nem egyenlő eggyel, és B nagyobb, mint nulla.
2. A szorzat logaritmusa a következő képlettel ábrázolható: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Ebben az esetben az előfeltétel: d, s 1 és s 2 > 0; a≠1. Ezt a logaritmusképletet példákkal és megoldással bizonyíthatja. Legyen log a s 1 = f 1 és log a s 2 = f 2, akkor a f1 = s 1, a f2 = s 2. Azt kapjuk, hogy s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (foktulajdonságok ), és további definíció szerint: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, amit igazolni kellett.
3. A hányados logaritmusa így néz ki: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. A képlet formájú tétel a következő alakot ölti: log a q b n = n/q log a b.

Ezt a képletet "a logaritmus fokának tulajdonságának" nevezik. Hasonlít a közönséges fokok tulajdonságaira, és ez nem meglepő, mert minden matematika szabályos posztulátumokon nyugszik. Nézzük a bizonyítékot.

Hagyja naplózni a b \u003d t, kiderül, hogy a t \u003d b. Ha mindkét részt m hatványra emeljük: a tn = b n ;

de mivel a tn = (a q) nt/q = b n, ezért log a q b n = (n*t)/t, akkor log a q b n = n/q log a b. A tétel bizonyítást nyert.

Példák problémákra és egyenlőtlenségekre

A logaritmusfeladatok leggyakoribb típusai az egyenletek és egyenlőtlenségek példái. Szinte minden feladatfüzetben megtalálhatóak, és a matematika vizsgakötelező részében is szerepelnek. Az egyetemre való belépéshez vagy a matematikai felvételi vizsgák letételéhez tudnia kell, hogyan kell helyesen megoldani az ilyen feladatokat.

Sajnos egyetlen terv vagy séma foglalkozni és meghatározni ismeretlen érték nincs logaritmus, azonban bizonyos szabályok alkalmazhatók minden matematikai egyenlőtlenségre vagy logaritmikus egyenletre. Először is meg kell találnia, hogy a kifejezés egyszerűsíthető-e vagy redukálható-e Általános nézet. Leegyszerűsítheti a hosszú logaritmikus kifejezéseket, ha helyesen használja a tulajdonságaikat. Hamarosan megismerjük őket.

A logaritmikus egyenletek megoldásánál meg kell határozni, hogy milyen logaritmus áll előttünk: egy kifejezés példája tartalmazhat természetes logaritmust vagy decimális logaritmust.

Itt vannak példák az ln100, ln1026. Megoldásuk arra a tényre vezet, hogy meg kell határoznia, hogy a 10-es bázis milyen mértékben lesz egyenlő 100-mal, illetve 1026-tal. A természetes logaritmusok megoldásához logaritmikus azonosságokat vagy azok tulajdonságait kell alkalmazni. Nézzünk példákat különféle típusú logaritmikus problémák megoldására.

A logaritmusképletek használata: példákkal és megoldásokkal

Tehát nézzünk példákat a fő tételek logaritmusokon való használatára.

1. A szorzat logaritmusának tulajdonsága olyan feladatokban használható, ahol bővíteni kell nagyon fontos b számokat egyszerűbb tényezőkké. Például log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. A válasz 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - mint látható, a logaritmus fokának negyedik tulajdonságát felhasználva egy első ránézésre összetett és feloldhatatlan kifejezést sikerült megoldanunk. Csak az alapot kell faktorizálni, majd a kitevő értékeket kivenni a logaritmus előjeléből.

Feladatok a vizsgáról

A felvételi vizsgákon gyakran előfordulnak logaritmusok, különösen sok logaritmikus probléma a vizsgán ( Államvizsga minden érettségizett számára). Általában ezek a feladatok nem csak az A részben (a vizsga legkönnyebb tesztrésze), hanem a C részben is (a legnehezebb és legterjedelmesebb feladatok) vannak jelen. A vizsga a "Természetes logaritmusok" témakör pontos és tökéletes ismeretét jelenti.

Példák és problémamegoldások a hivatalostól származnak HASZNÁLJON lehetőségeket. Lássuk, hogyan oldják meg az ilyen feladatokat.

Adott log 2 (2x-1) = 4. Megoldás:
írjuk át a kifejezést, kicsit leegyszerűsítve log 2 (2x-1) = 2 2, a logaritmus definíciójával azt kapjuk, hogy 2x-1 = 2 4, tehát 2x = 17; x = 8,5.

• A logaritmusokat legjobb ugyanarra az alapra redukálni, hogy a megoldás ne legyen nehézkes és zavaró.
• Minden logaritmus előjele alatti kifejezés pozitívnak van jelölve, ezért a logaritmus előjele alatt álló kifejezés kitevőjének kitevőjének kivonásakor a logaritmus alatt maradó kifejezésnek pozitívnak kell lennie.

(a görög λόγος - "szó", "kapcsolat" és ἀριθμός - "szám") számok bésszel a(log α b) ilyen számnak nevezzük c, És b= a c, azaz log α b=cÉs b=ac egyenértékűek. A logaritmus akkor értelmezhető, ha a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Más szavakkal logaritmus számok bésszel A kitevőként fogalmazzák meg, amelyre egy számot kell emelni a hogy megkapja a számot b(a logaritmus csak pozitív számoknál létezik).

Ebből a megfogalmazásból az következik, hogy a számítás x= log α b, ekvivalens az a x =b egyenlet megoldásával.

Például:

log 2 8 = 3, mert 8=2 3 .

Megjegyezzük, hogy a logaritmus feltüntetett megfogalmazása lehetővé teszi az azonnali meghatározását logaritmus érték amikor a logaritmus előjele alatti szám az alap bizonyos hatványa. Valójában a logaritmus megfogalmazása lehetővé teszi annak igazolását, hogy ha b=a c, majd a szám logaritmusa bésszel a egyenlő Val vel. Az is jól látható, hogy a logaritmus témaköre szorosan kapcsolódik a témához szám foka.

A logaritmus kiszámítására hivatkozunk logaritmus. A logaritmus a logaritmus felvételének matematikai művelete. A logaritmus felvételekor a tényezők szorzatai tagok összegévé alakulnak.

Potencírozás a logaritmusra fordított matematikai művelet. Potencírozáskor az adott bázist annak a kifejezésnek a hatványára emeljük, amelyen a potencírozás történik. Ebben az esetben a tagok összegei faktorok szorzatává alakulnak.

Gyakran 2-es (bináris), e Euler-számú e ≈ 2,718 (természetes logaritmus) és 10-es (tizedes) valós logaritmusokat használnak.

Tovább ezt a szakaszt célszerű figyelembe venni logaritmus minták napló 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

És az lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 bejegyzéseknek nincs értelme, mivel az elsőben negatív szám kerül a logaritmus előjele alá, a másodikban - negatív szám az alapban és a harmadikban - negatív szám a logaritmus jele alatt és egy egység az alapban.

A logaritmus meghatározásának feltételei.

Külön érdemes figyelembe venni az a > 0, a ≠ 1, b > 0 feltételeket. a logaritmus meghatározása. Nézzük meg, miért fogadjuk el ezeket a korlátozásokat. Ez segít nekünk egy x = log α alakú egyenlőségben b, az úgynevezett alapvető logaritmikus azonosság, ami közvetlenül következik a logaritmus fent megadott definíciójából.

Fogadd el a feltételt a≠1. Mivel egy tetszőleges hatványhoz egyenlő eggyel, akkor az x=log α egyenlőség b csak akkor létezhet b=1, de log 1 1 bármilyen valós szám lesz. Ennek a kétértelműségnek a kiküszöbölésére vesszük a≠1.

Bizonyítsuk be a feltétel szükségességét a>0. Nál nél a=0 a logaritmus megfogalmazása szerint csak akkor létezhet b=0. És akkor ennek megfelelően log 0 0 bármely nullától eltérő valós szám lehet, mivel nullától bármely nem-nulla hatvány nulla. Ennek a kétértelműségnek a kiküszöbölésére a feltétel a≠0. És mikor a<0 el kell vetnünk a logaritmus racionális és irracionális értékeinek elemzését, mivel a racionális és irracionális kitevővel rendelkező kitevő csak nem negatív bázisokra van definiálva. Ez az oka annak, hogy a feltétel a>0.

És az utolsó feltétel b>0 az egyenlőtlenségből következik a>0, mert x=log α b, és a fokozat értéke pozitív bázissal a mindig pozitív.

A logaritmus jellemzői.

Logaritmusok jellegzetessége jellemzi jellemzők, ami széleskörű használatukhoz vezetett, hogy nagyban megkönnyítsék a gondos számításokat. A „logaritmusok világába” való átmenetben a szorzás sokkal könnyebb összeadássá, az osztás kivonássá, a hatványra emelés és a gyökérvétel pedig kitevővel szorzássá, illetve osztássá alakul.

A logaritmusok megfogalmazása és értékeinek táblázata (az trigonometrikus függvények) John Napier skót matematikus adta ki először 1614-ben. A más tudósok által felnagyított és részletezett logaritmikus táblázatokat széles körben használták tudományos és mérnöki számításokban, és mindaddig relevánsak maradtak, amíg az elektronikus számológépeket és számítógépeket el nem kezdték használni.

Kezdjük azzal az egység logaritmusának tulajdonságai. Ennek megfogalmazása a következő: az egység logaritmusa egyenlő nullával, azaz log a 1=0 bármely a>0 esetén a≠1 . A bizonyítás egyszerű: mivel a 0 =1 minden olyan a esetén, amely teljesíti a fenti feltételeket a>0 és a≠1 , akkor a logaritmus definíciójából azonnal következik a bevált log a 1=0 egyenlőség.

Mondjunk példákat a vizsgált tulajdonság alkalmazására: log 3 1=0 , lg1=0 és .

Térjünk át a következő ingatlanra: az alappal egyenlő szám logaritmusa egyenlő eggyel, vagyis log a a=1 a>0 esetén a≠1. Valóban, mivel bármely a esetén a 1 =a, akkor a logaritmus definíciója szerint log a a=1 .

Példák a logaritmus ezen tulajdonságának használatára: log 5 5=1 , log 5.6 5.6 és lne=1 .

Például log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 és .

Két pozitív szám szorzatának logaritmusa x és y egyenlő ezeknek a számoknak a logaritmusának szorzatával: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Bizonyítsuk be a szorzat logaritmusának tulajdonságát. A fok tulajdonságai miatt a log a x+log a y =a log a x a log a y, és mivel a fő logaritmikus azonosság szerint egy log a x =x és egy log a y =y , akkor a log a x a log a y =x y . Így egy log a x+log a y =x y , ahonnan a logaritmus definíciójából következik a szükséges egyenlőség.

Mutassunk példákat a szorzat logaritmusának tulajdonságának használatára: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 és .

A szorzatlogaritmus tulajdonság általánosítható x 1 , x 2 , …, x n pozitív számok véges számú n szorzatára. log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Ez az egyenlőség könnyen bebizonyítható.

Például egy szorzat természetes logaritmusa helyettesíthető a 4, e és számok három természetes logaritmusának összegével.

Két pozitív szám hányadosának logaritmusa x és y egyenlő ezeknek a számoknak a logaritmusa közötti különbséggel. A hányados logaritmus tulajdonság egy formájú képletnek felel meg, ahol a>0 , a≠1 , x és y néhány pozitív szám. Ennek a képletnek az érvényességét a szorzat logaritmusának képletéhez hasonlóan igazoljuk: mivel , akkor a logaritmus definíciója szerint.

Íme egy példa a logaritmus ezen tulajdonságának használatára: .

Menjünk tovább fok logaritmusának tulajdonsága. Egy fok logaritmusa egyenlő ennek a foknak a kitevőjének és a modulusának logaritmusával. A fokozat logaritmusának ezt a tulajdonságát képlet formájában írjuk le: log a b p =p log a |b|, ahol a>0, a≠1, b és p olyan számok, amelyek alapján b p mértéke értelmes, b p >0.

Először igazoljuk ezt a tulajdonságot pozitív b -re. Az alapvető logaritmikus azonosság lehetővé teszi, hogy a b számot log a bként ábrázoljuk, majd b p =(a log a b) p, és az eredményül kapott kifejezés a hatványtulajdonság miatt egyenlő a p log a b -vel. Így jutunk el a b p =a p log a b egyenlőséghez, amelyből a logaritmus definíciójával arra a következtetésre jutunk, hogy log a b p =p log a b .

Ezt a tulajdonságot kell bizonyítani negatív b esetén. Itt jegyezzük meg, hogy a log a b p kifejezés negatív b-re csak páros p kitevő esetén van értelme (mivel a b p fok értékének nagyobbnak kell lennie nullánál, különben a logaritmusnak nem lesz értelme), és ebben az esetben b p =|b| o. Akkor b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, honnan log a b p =p log a |b| .

Például, és ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Az előző tulajdonságból következik a logaritmus gyökér tulajdonsága: az n-edik fok gyökének logaritmusa egyenlő az 1/n tört és a gyökkifejezés logaritmusának szorzatával, azaz , ahol a>0, a≠1, n – természetes szám, nagyobb, mint egy, b>0 .

A bizonyítás alapja a tetszőleges pozitív b -re érvényes egyenlőség (lásd ), valamint a fokozat logaritmusának tulajdonsága: .

Íme egy példa a tulajdonság használatára: .

Most bizonyítsuk be konverziós képletet a logaritmus új bázisára kedves . Ehhez elegendő az egyenlőség log c b=log a b log c a érvényességét bizonyítani. Az alapvető logaritmikus azonosság lehetővé teszi, hogy a b számot log a bként ábrázoljuk, majd log c b=log c a log a bként. Marad a fok logaritmusának tulajdonsága: log c a log a b = log a b log c a. Így beigazolódik a log c b=log a b log c a egyenlőség, ami azt jelenti, hogy a logaritmus új bázisára való átmenet képlete is bizonyítva van.

Mutassunk néhány példát a logaritmus ezen tulajdonságának alkalmazására: és .

Az új bázisra való átállás képlete lehetővé teszi, hogy továbblépjen a „kényelmes” alappal rendelkező logaritmusokkal való munkavégzésre. Segítségével például át lehet váltani a természetes ill decimális logaritmusok hogy a logaritmustáblázatból ki tudja számítani a logaritmus értékét. A logaritmus új bázisára való áttérés képlete bizonyos esetekben lehetővé teszi egy adott logaritmus értékének meghatározását is, ha ismertek bizonyos logaritmusok értékei más bázisokkal.

Gyakran használják a képlet egy speciális esetét a logaritmus új bázisára való átmenetre az alak c=b esetén . Ez azt mutatja, hogy log a b és log b a – . Például, .

Szintén gyakran használják a képletet , ami hasznos a logaritmusértékek megtalálásához. Szavaink megerősítésére megmutatjuk, hogyan számítják ki az űrlap logaritmusának értékét a segítségével. Nekünk van . A képlet bizonyítására elég az a logaritmus új alapjára az átmenet képletét használni: .

A logaritmusok összehasonlítási tulajdonságainak bizonyítása van hátra.

Bizonyítsuk be, hogy bármely b 1 és b 2 pozitív számra b 1 log a b 2, a>1 esetén pedig a log a b 1 egyenlőtlenség

Végül a logaritmusok felsorolt ​​tulajdonságai közül az utolsót kell bizonyítanunk. Az első részének bizonyítására szorítkozunk, vagyis bebizonyítjuk, hogy ha egy 1 >1 , a 2 >1 és egy 1 1 igaz log a 1 b>log a 2 b . A logaritmus ezen tulajdonságának fennmaradó állításait hasonló elv bizonyítja.

Használjuk az ellenkező módszert. Tegyük fel, hogy egy 1 >1, egy 2 >1 és egy 1 esetén 1 log a 1 b≤log a 2 b igaz. A logaritmusok tulajdonságai alapján ezek az egyenlőtlenségek átírhatók És rendre, és belőlük az következik, hogy log b a 1 ≤log b a 2, illetve log b a 1 ≥log b a 2. Ekkor az azonos bázisú hatványok tulajdonságai alapján a b log b a 1 ≥b log b a 2 és a b log b a 1 ≥b log b a 2 egyenlőségnek teljesülnie kell, azaz a 1 ≥a 2 . Így az 1-es feltétel ellentmondásához érkeztünk

Bibliográfia.