Sok számot nem lehet teljesen felosztani, osztásakor gyakran van egy nullától eltérő maradék. Ebben a cikkben megvitatjuk a felosztás módját természetes számok a maradékkal, és példákkal részletesen mérlegeljük alkalmazásukat.
Kezdjük a természetes számok osztásával egy oszlop maradékával, majd az osztást az egymást követő kivonással fogjuk megfontolni. Végül a hiányos hányados kiválasztásának módszerének elemzésével fejezzük be. Bemutatunk egy algoritmust a maradékkal való osztásra a legáltalánosabb esetre, és megmutatjuk, hogyan ellenőrizhető a természetes számok maradékkal való osztása.
Ez az egyik legkényelmesebb módja a felosztásnak. Ezt egy külön cikkben ismertetjük részletesen, amely a természetes számok oszlopos osztásával foglalkozik. Itt nem adjuk meg újra az egész elméletet, hanem az osztás esetére koncentrálunk a maradékkal.
Adunk egy példamegoldást, hiszen a módszer lényegét a gyakorlatban a legkönnyebb megérteni.
Példa 1. Hogyan kell osztani a természetes számokat maradékkal?
Osszuk el a 273844 természetes számot a 97 természetes számmal.
Osztjuk egy oszloppal, és írjuk:
Eredmény: a parciális hányados 2823 , a maradék pedig 13 .
Számok osztása maradékkal egymás utáni kivonással
A hiányos hányados és maradék megtalálásához az osztó osztójának egymást követő kivonását használhatja az osztalékból. Ez a módszer nem mindig megfelelő, de bizonyos esetekben nagyon kényelmes a használata. Nézzük újra a példát.
2. példa: Osztás maradékkal egymást követő kivonás útján.
Tegyük fel, hogy van 7 almánk. Ezt a 7 almát 3 almás zacskóba kell helyeznünk. Más szóval, 7 osztva 3-mal.
A kezdeti számú almából 3 darabot veszünk, és egy csomagba tesszük. 7-3 = 4 almánk marad. Most a maradék almából ismét kiveszünk 3 darabot, és egy másik zacskóba tesszük. 4 - 3 = 1 alma maradt.
1 alma a felosztás maradéka, mivel ebben a szakaszban már nem tudunk három almából újabb csomagot alkotni, és a felosztás tulajdonképpen kész. Osztály eredménye:
7 ÷ 3 = 2 (a maradék 1)
Ez azt jelenti, hogy a 3-as szám kétszeresen belefér a 7-be, és az egység 3-nál kisebb maradék.
Nézzünk még egy példát. Ezúttal csak matematikai számításokat adunk, analógiák nélkül.
3. példa: Osztás maradékkal egymást követő kivonás útján.
Számítsuk ki: 145 ÷ 46 .
A 99-es szám nagyobb, mint 46, ezért folytatjuk az osztó szekvenciális kivonását:
Ezt a műveletet még egyszer megismételjük:
Ennek eredményeként háromszor egymás után ki kellett vonnunk az osztót az osztóból, mielőtt megkaptuk a maradékot - a kivonás eredményét, amely kisebb, mint az osztó. Esetünkben a maradék a 7-es szám.
145 ÷ 46 = 3 (a maradék 7) .
Az egymást követő kivonási módszer nem megfelelő, ha az osztó kisebb, mint az osztó. Ebben az esetben azonnal leírhatja a választ: a hiányos hányados nulla, a maradék pedig egyenlő a leginkább oszthatóval.
Ha egy< b , то a ÷ b = 0 (остаток a) .
Például:
12 ÷ 36 = 0 (a maradék 12) 47 ÷ 88 = 0 (a maradék 47)
Az egymást követő kivonási módszerrel kapcsolatban is meg kell jegyezni, hogy ez csak olyan esetekben kényelmes, amikor a teljes osztási műveletet kis számú kivonásra csökkentik. Ha az osztalék sokszorosa az osztóénak, akkor ez a módszer nem praktikus, és sok körülményes számítással jár.
Hiányos hányados kiválasztási módszer
A természetes számok maradékkal való osztásakor az eredményt egy hiányos hányados kiválasztásával számíthatja ki. Megmutatjuk, hogyan hajtható végre a kiválasztási folyamat, és mi alapján történik.
Először is meghatározzuk, hogy mely számok között kell hiányos hányadost keresnünk. Már az osztási folyamat definíciójából is kitűnik, hogy a hiányos hányados egyenlő nullával, vagy az 1, 2, 3 stb. természetes számok egyike.
Másodszor, kapcsolatot hozunk létre az osztó, az osztalék, a hiányos hányados és a maradék között. Tekintsük a d = a - b c egyenletet. Itt d az osztás maradéka, a az osztó, b az osztó, c a parciális hányados.
Harmadszor, ne felejtsük el, hogy a maradék mindig kisebb, mint az osztó.
Most pedig vessünk egy pillantást a kiválasztási folyamatra. Az a osztó és a b osztó a kezdetektől fogva ismert. Hiányos hányadosként sorra veszünk számokat a 0, 1, 2, 3 stb. sorozatból. A d = a - b c képletet alkalmazva és a kapott értéket osztóval számítva akkor fejezzük be a folyamatot, amikor a d maradék kisebb, mint a b osztó. A c-re ebben a lépésben vett szám hiányos hányados lesz.
Nézzük meg ennek a módszernek az alkalmazását egy példán keresztül.
4. példa Osztás maradékkal kijelöléssel
Ossza el a 267-et 21-gyel.
a = 267 b = 21. Válasszunk egy hiányos hányadost.
Használjuk a d = a - b · c képletet, és iteráljuk c felett, és adjuk meg a 0 , 1 , 2 , 3 és így tovább értékeket.
Ha c = 0, akkor a következőt kapjuk: d \u003d a - b c = 267 - 21 0 \u003d 267. A 267-es szám nagyobb, mint 21, így folytatjuk a helyettesítést.
c \u003d 1 esetén a következőket kapjuk: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 1 \u003d 246. Mert 246 > 21, ismételje meg a folyamatot.
c \u003d 2 esetén: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 2 \u003d 267 - 42 \u003d 225; 225 > 21 .
c \u003d 3 esetén: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 3 \u003d 267 - 63 \u003d 204; 204 > 21 .
c \u003d 12 esetén a következőket kapjuk: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 12 \u003d 267 - 252 \u003d 15; 15< 21 .
Természetes számok maradékkal való osztásának algoritmusa
Ha a fent tárgyalt parciális hányados és egymást követő kivonási módszerek túlságosan körülményes számításokat igényelnek, akkor a maradékkal való osztáshoz a következő módszert alkalmazzuk. Tekintsünk egy algoritmust egy a természetes szám egy b számmal való elosztására maradékkal.
Emlékezzünk arra, hogy ha a< b, неполное частное равно нулю, а остаток равен делимомому a . Мы будем рассматривать случай, когда a >b.
Három kérdést fogalmazunk meg és válaszolunk rájuk:
- Mit ismernek ott?
- Mit kell találnunk?
- Hogyan fogjuk csinálni?
Kezdetben az osztalék és az osztó ismert: a és b.
Meg kell találni a hiányos c hányadost és a d maradékot.
Itt van egy képlet, amely meghatározza az osztalék, az osztó, a hiányos hányados és a maradék közötti kapcsolatot. a = b c + d. Ezt az arányt vesszük alapul a természetes számok maradékkal való osztásához. Az a osztalékot a = b c + d összeggel kell ábrázolni, akkor megkeressük a szükséges értékeket.
Az osztási algoritmus, melynek köszönhetően a-t a = b c + d összegként ábrázoljuk, nagyon hasonlít a természetes számok maradék nélküli osztására szolgáló algoritmushoz. Az alábbiakban az algoritmus lépéseit mutatjuk be a 899-es szám 47-tel való osztásának példájával.
1. Először is nézzük az osztalékot és az osztót. Megtudjuk, és emlékezünk arra, hogy az osztalékbejegyzésben szereplő szám hány számjegyű nagyobb, mint az osztóban lévő szám. Miénkben konkrét példa Az osztalék három számjegyű, az osztó pedig kettő.
Emlékezzünk erre a számra.
2. Az osztó bejegyzés jobb oldalán adja hozzá az osztó és az osztó karaktereinek különbsége által meghatározott nullák számát. Esetünkben hozzá kell adni egy nullát. Ha az írott szám nagyobb, mint az osztható, akkor az első bekezdésben megjegyzett számból ki kell vonni egyet.
Példánkban a 47-től jobbra nullát adunk. 470 óta< 899 , запомненное в предыдущем пункте число не нужно уменьшать на единицу. Таким образом, число 1 так и остается у нас в памяти.
3. Az 1-es számhoz jobb oldalon a nullák számát rendeljük, számával egyenlő az előző bekezdésben meghatározott. Példánkban, ha egy nullát egyhez rendelünk, a 10-es számot kapjuk. Az akció eredményeként megkaptuk a mentesítés munkaegységét, amellyel tovább dolgozunk.
4. Sorrendben megszorozzuk az osztót 1-gyel, 2-vel, 3-mal. . stb. egységnyi munkajegyet, amíg olyan számot nem kapunk, amely nagyobb vagy egyenlő, mint az osztható.
Példánkban a munkaszámjegy tízes. Miután megszoroztuk az osztót a munkabit egy egységével, 470-et kapunk.
470 < 899 , поэтому умножаем на еще одну единицу рабочего разряда. Получаем: 47 · 20 = 940 ; 940 > 899 .
Az utolsó előtti lépésben kapott szám (470 = 47 10) az első a kötelező kifejezések közül.
5. Határozza meg a különbséget az osztalék és az első talált tag között! Ha a kapott szám nagyobb, mint az osztó, akkor keressük a második tagot.
Az 1-5. lépéseket megismételjük, azonban az itt kapott számot osztaléknak vesszük. Ha ismét az osztónál nagyobb számot kapunk, ismételjük meg az 1-5 lépéseket körben, de osztalékként egy új számmal. Addig folytatjuk, amíg az itt kapott szám kisebb lesz, mint az osztó. Térjünk át a végső szakaszra. Ha előre tekintünk, tegyük fel, hogy az utoljára kapott szám egyenlő lesz a maradékkal.
Nézzünk egy példát. 899 - 470 = 429, 429 > 47. Az algoritmus 1-5 lépéseit megismételjük osztalékként vett 429-es számmal.
1. A 429-es szám beírásában egy jellel több van, mint a 47-es szám bejegyzésében. Emlékszünk a különbségre - az 1-es számra.
2. A jobb oldali osztalék rekordban egy nullát adunk. A 470-es számot kapjuk. Mivel 470 > 429, vonjon le 1-et az előző bekezdésben megjegyzett 1-es számból, és kapja meg, hogy 1 - 1 = 0. 0-ra emlékszünk.
3. Mivel az előző bekezdésben megkaptuk a 0-t és megjegyeztük, nem kell nullát hozzáadnunk a jobb oldalihoz. Így a munkaszám egységek
4. Sorozatosan szorozza meg a 47 osztóját 1-gyel, 2-vel, 3-mal. . stb. Részletes számításokat nem adunk, de figyeljünk a végeredményre: 47 9 = 423< 429 , 47 · 10 = 470 >429 . Így a második kötelező tag 47 9 = 423.
5. A 429 és 423 közötti különbség egyenlő a 6-os számmal. 6 óta< 47 , это третье, и последнее искомое слагаемое. Перейдем к завершающему этапу алгоритма деления столбиком.
6. Az előző lépések célja az volt, hogy az osztalékot több kifejezés összegeként ábrázoljuk. Példánkban a következőt kaptuk: 899 = 470 + 423 + 6 . Emlékezzünk vissza, hogy 470 = 47 10, 423 = 47 9 . Írjuk át az egyenletet:
899 = 47 10 + 47 9 + 6
Alkalmazza a szorzás eloszlási tulajdonságát.
899 = 47 10 + 47 9 + 6 = 47 (10 + 9) + 6
899 = 47 19 + 6 .
Így az osztalékot a korábban megadott a \u003d b c + d képlet formájában mutattuk be.
Kötelező ismeretlenek: hiányos hányados c \u003d 19, maradék d \u003d 6.
Természetesen döntéskor gyakorlati példák nem szükséges minden műveletet ilyen részletesen leírni. Mutassuk meg:
5. példa Természetes számok osztása maradékkal
Osszuk el a 42252 és 68 számokat.
Használjunk egy algoritmust. Az első öt lépés adja az első tagot - a 40800 = 68 600 számot.
Ismételjük meg az algoritmus első öt lépését az 1452 = 42252 - 40800 számmal, és megkapjuk a második tagot 1360 = 68 20
A harmadik alkalommal az aglorritmus lépésein megyünk végig, de az új számmal 92 = 1452 - 1360. A harmadik tag egyenlő: 68 = 68 1 . A maradék 24 = 92-68.
Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
42252 = 40800 + 1360 + 68 + 24 = 68 600 + 68 20 + 68 1 + 24 = = 68 (600 + 20 + 1) + 24 = 68 621 + 24
A hiányos hányados 621, a maradék 24.
Természetes számok osztása maradékkal. Az eredmény ellenőrzése
Természetes számok osztása maradékkal, különösen amikor nagy számok, meglehetősen fáradságos és körülményes folyamat. Bárki hibázhat a számításokban. Éppen ezért az osztás eredményének ellenőrzése segít megérteni, hogy mindent jól csinált-e. A természetes számok maradékkal való osztása eredményének ellenőrzése két lépésben történik.
Az első lépésben ellenőrizzük, hogy a maradék nagyobb-e, mint az osztó. Ha nem, akkor minden rendben van. Ellenkező esetben azt a következtetést vonhatjuk le, hogy valami elromlott.
Fontos!
A maradék mindig kisebb, mint az osztó!
A második lépésben az a = b · c + d egyenlőség érvényességét ellenőrizzük. Ha az értékek helyettesítése után az egyenlőség igaznak bizonyul, akkor az osztás hiba nélkül történt.
6. példa Természetes számok maradékkal való osztásának eredményének ellenőrzése.
Ellenőrizzük, hogy igaz-e, hogy 506 ÷ 28 = 17 (a maradék 30) .
Hasonlítsa össze a maradékot és az osztót: 30 > 28 .
Tehát rossz a felosztás.
7. példa Természetes számok maradékkal való osztásának eredményének ellenőrzése.
A tanuló a 121-et elosztotta 13-mal, és ennek eredményeként hiányos hányadost kapott, 9-et és 5-öt. Helyesen cselekedett?
Hogy megtudjuk, először összehasonlítjuk a maradékot és az osztót: 5< 13 .
Az első ellenőrzőponton túljutottunk, térjünk át a másodikra.
Írjuk fel az a = b c + d képletet. a = 121; b = 13; c = 9 d = 5.
Cserélje be az értékeket, és hasonlítsa össze az eredményeket
13 9 + 5 = 117 + 5 = 122; 121 ≠ 122
Ez azt jelenti, hogy valahol hiba csúszott a tanuló számításaiba.
8. példa Természetes számok maradékkal való osztásának eredményének ellenőrzése.
A diák fellépett laboratóriumi munka a fizikában. A kivégzés során 5998-at el kellett osztania 111-gyel. Ennek eredményeként az 54-es számot kapta a maradék 4-gyel. Mindent jól számoltak?
Ellenőrizzük! A maradék 4 kisebb, mint a 111 osztó, így továbblépünk az ellenőrzés második szakaszába.
Az a \u003d b c + d képletet használjuk, ahol a \u003d 5998; b = 111; c=54; d = 4.
Csere után a következőkkel rendelkezünk:
5998 = 111 54 + 4 = 5994 + 4 = 5998 .
Az egyenlőség helyes, ami azt jelenti, hogy a felosztás helyes.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
Osztani a maradékkal az egyik szám osztása egy másikkal úgy, hogy a maradék ne legyen nulla.
Nem mindig lehet osztást végrehajtani, mivel vannak esetek, amikor egy szám nem osztható egy másikkal. Például a 11-es szám nem osztható 3-mal, mivel nincs olyan természetes szám, amely 3-mal szorozva 11-et adna.
Amikor az osztást nem lehet végrehajtani, abban állapodtak meg, hogy nem az összes oszthatót osztják fel, hanem annak csak a legnagyobb részét, amely csak osztóra osztható. Ebben a példában az osztalék 3-mal osztható legnagyobb része 9 (eredményként 3-at kapunk), az osztalék fennmaradó kisebb része - 2 nem lesz osztva 3-mal.
Ha a 11-et 3-mal osztjuk, a 11-et még mindig oszthatónak, a 3-at osztónak nevezik, az osztás eredménye a 3. hiányos privát, és a 2-es szám - osztás maradéka. Magát az osztást ebben az esetben maradékkal való osztásnak nevezzük.
A hiányos hányadost nevezzük legnagyobb számban, amit osztóval megszorozva olyan szorzatot kapunk, amely nem haladja meg az osztalékot. Az osztalék és a termék közötti különbséget maradéknak nevezzük. A maradék mindig kisebb, mint az osztó, különben az osztóval is osztható.
A maradékkal való osztás a következőképpen írható fel:
11:3 = 3 (a maradék 2)
Ha egy természetes szám osztásakor a maradék 0, akkor az első számot egyenletesen oszthatónak mondjuk a másodikkal. Például a 4 egyenlően osztható 2-vel. Az 5-ös szám nem is osztható 2-vel. Az egész szót általában kihagyják a rövidség kedvéért és azt mondják: ilyen és ilyen szám osztható egy másikkal, például: a 4 osztható 2-vel, az 5 pedig nem osztható 2-vel.
A maradékkal való osztás ellenőrzése
A maradékkal való osztás eredményét a következő módon ellenőrizhetjük: a hiányos hányadost megszorozzuk az osztóval (vagy fordítva), és a maradékot hozzáadjuk a kapott szorzathoz. Ha az eredmény egy osztalékkal egyenlő szám, akkor a maradékkal való osztás helyesen történik:
11:3 = 3 (a maradék 2)
A cikk az egész számok maradékkal való osztásának fogalmát elemzi. Bebizonyítjuk az egész számok oszthatóságának tételét maradékkal, és megvizsgáljuk az osztható és osztó, a hiányos hányadosok és a maradékok közötti összefüggéseket. Tekintsük az egész számok maradékokkal való felosztásának szabályait, miután részletesen megvizsgáltuk példákkal. A megoldás végén ellenőrzést végzünk.
Az egész számok maradékokkal való felosztásának általános ismerete
Az egész számok maradékkal való osztása a természetes számok maradékával általánosított osztásnak tekinthető. Ez azért van így, mert a természetes számok egész számok alkotóelemei.
Egy tetszőleges szám maradékával való osztás azt mondja, hogy az a egész szám osztható b számmal, amely különbözik nullától. Ha b = 0, akkor nem történik maradékkal való osztás.
Valamint a természetes számok maradékkal való osztása, az a és b egész számok c-vel és d-vel való osztása, ahol b különbözik nullától. Ebben az esetben a-t és b-t osztónak és osztónak nevezzük, d pedig az osztás maradéka, c egész szám vagy részhányados.
Ha feltételezzük, hogy a maradék nemnegatív egész szám, akkor értéke nem nagyobb, mint a b szám modulusa. Írjuk fel így: 0 ≤ d ≤ b . Ezt az egyenlőtlenségi láncot 3 vagy több szám összehasonlításakor használjuk.
Ha c egy hiányos hányados, akkor d egy a egész szám b-vel való osztásának maradéka, akkor röviden javíthatja: a: b \u003d c (marad d).
A maradék az a számok b-vel való osztásakor nulla lehet, akkor azt mondják, hogy a-t teljesen, azaz maradék nélkül osztjuk b-vel. A maradék nélküli osztás az osztás speciális esetének számít.
Ha a nullát elosztjuk valamilyen számmal, akkor nullát kapunk. Az osztás maradéka is nulla lesz. Ez látható a nulla egész számmal való osztásának elméletéből.
Most nézzük meg az egész számok maradékkal való felosztásának jelentését.
Ismeretes, hogy a pozitív egész számok természetesek, akkor maradékkal osztva ugyanazt a jelentést kapjuk, mint a természetes számok maradékkal való osztásakor.
Az a negatív egész szám elosztása egy pozitív b egész számmal van értelme. Nézzünk egy példát. Képzeljünk el egy olyan helyzetet, amikor a tételes tartozásunk van a összegben, amelyet b embernek vissza kell fizetnie. Ehhez mindenkinek egyformán hozzá kell járulnia. Az egyes tartozás összegének meghatározásához figyelni kell a magánc. A maradék d azt jelzi, hogy a tartozások törlesztése utáni tételek száma ismert.
Vegyünk egy példát az almával. Ha 2 embernek 7 almára van szüksége. Ha úgy számolunk, hogy mindenkinek 4 almát kell visszaadnia, akkor a teljes számítás után 1 alma marad. Ezt írjuk fel egyenlőségként: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) .
Egy tetszőleges a szám egész számmal való elosztása értelmetlen, de lehetőségként lehetséges.
Oszthatósági tétel maradékkal rendelkező egész számokra
Megállapítottuk, hogy a az osztó, majd b az osztó, c a parciális hányados, és d a maradék. Összefüggenek egymással. Ezt az összefüggést az a = b · c + d egyenlőséggel fogjuk bemutatni. A köztük lévő kapcsolatot a maradékkal való oszthatósági tétel jellemzi.
Tétel
Bármely egész szám csak egész számmal és egy nem nulla b számmal ábrázolható így: a = b · q + r , ahol q és r néhány egész szám. Itt 0 ≤ r ≤ b .
Bizonyítsuk be a = b · q + r létezésének lehetőségét.
Bizonyíték
Ha két a és b szám van, és a osztható b-vel maradék nélkül, akkor a definícióból következik, hogy van q szám, az a = b · q egyenlőség igaz lesz. Ekkor az egyenlőség igaznak tekinthető: a = b q + r r = 0 esetén.
Ekkor olyan q-t kell venni, hogy a b · q egyenlőtlenség adja meg< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Megvan, hogy az a − b · q kifejezés értéke nagyobb nullánál és nem nagyobb, mint a b szám értéke, ebből következik, hogy r = a − b · q . Azt kapjuk, hogy az a szám a = b · q + r alakban ábrázolható.
Most meg kell fontolnunk annak lehetőségét, hogy a = b · q + r ábrázolását b negatív értékei esetén.
A szám modulusa pozitívnak bizonyul, ekkor a = b q 1 + r-t kapjuk, ahol a q 1 érték valamilyen egész szám, r olyan egész szám, amely megfelel a 0 ≤ r feltételnek.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Az egyediség bizonyítéka
Tegyük fel, hogy a = b q + r, q és r egész számok, amelyek feltétele 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1És r1 van néhány szám, ahol q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .
Ha az egyenlőtlenséget kivonjuk a bal és a jobb oldalról, akkor 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 -t kapunk, ami r - r 1 = b · q 1 - q ekvivalens. Mivel a modult használjuk, az r - r 1 = b · q 1 - q egyenlőséget kapjuk.
Az adott feltétel azt mondja, hogy 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qÉs q 1- egész, és q ≠ q 1, akkor q 1 - q ≥ 1 . Ebből adódik, hogy b · q 1 - q ≥ b . A kapott r - r 1 egyenlőtlenségek< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
Ebből következik, hogy az a szám nem ábrázolható más módon, csak az a = b · q + r jelöléssel.
Osztalék, osztó, parciális hányados és maradék kapcsolata
Az a \u003d b c + d egyenlőség segítségével megtalálhatja az ismeretlen a osztót, ha a b osztó ismert c hiányos hányadossal és a maradék d.
1. példa
Határozzuk meg az osztalékot, ha osztásakor - 21-et, egy hiányos hányadost 5-öt és a maradékot 12-t kapunk.
Megoldás
Ki kell számítani az a osztót ismert osztóval b = − 21, hiányos hányadossal c = 5 és maradékkal d = 12. Az a = b c + d egyenlőségre kell hivatkoznunk, innen a = (− 21) 5 + 12 egyenletet kapjuk. A műveleti sorrendtől függően a - 21-et megszorozzuk 5-tel, ami után (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93-at kapunk.
Válasz: - 93 .
Az osztó és a parciális hányados és a maradék közötti összefüggést a b = (a − d) : c , c = (a − d) : b és d = a − b · c egyenlőségekkel fejezhetjük ki. Segítségükkel kiszámolhatjuk az osztót, a parciális hányadost és a maradékot. Ez arra vezet, hogy folyamatosan meg kell találni az a egész szám b-vel való osztásának maradékát ismert osztóval, osztóval és parciális hányadossal. A d = a − b · c képletet alkalmazzuk. Nézzük részletesen a megoldást.
2. példa
Határozzuk meg egy -19 egész szám 3-mal való osztásának maradékát, amelynek ismert hiányos hányadosa egyenlő -7.
Megoldás
Az osztás maradékának kiszámításához egy d = a − b c képletet alkalmazunk. Feltétel szerint minden a = − 19 , b = 3 , c = − 7 adat elérhető. Innen kapjuk a d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (különbség - 19 - (- 21)... Ezt a példát a kivonási szabály, a teljes negatív szám számítja ki.
Válasz: 2 .
Minden pozitív egész szám természetes. Ebből következik, hogy az osztás az összes osztási szabály szerint történik, a természetes számok maradékával. A természetes számok maradékával való osztás sebessége fontos, hiszen ezen nem csak a pozitívak osztása alapul, hanem a tetszőleges egészek osztásának szabályai is.
A legkényelmesebb osztási módszer az oszlop, mivel könnyebben és gyorsabban lehet hiányos vagy csak hányadost kapni a maradékkal. Tekintsük a megoldást részletesebben.
3. példa
Ossza el az 14671-et 54-gyel.
Megoldás
Ezt a felosztást egy oszlopban kell elvégezni:
Vagyis a hiányos hányados 271, a maradék pedig 37.
Válasz: 14671: 54 = 271. (többi 37.)
Pozitív egész szám maradékával negatív egész számmal való osztás szabálya, példák
Egy pozitív szám maradékával egy negatív egész számmal való osztás végrehajtásához meg kell fogalmazni egy szabályt.
1. definíció
Az a pozitív egész szám egy negatív b egész számmal való osztásának hiányos hányadosa olyan számot ad, amely ellentétes az a számok moduljait b-vel osztó hiányos hányadossal. Ekkor a maradék a maradék, ha a-t osztjuk b-vel.
Ebből következik, hogy a pozitív egész szám negatív egész számmal való elosztásának hiányos hányadosát nem pozitív egész számnak tekintjük.
Megkapjuk az algoritmust:
- osztjuk az osztó modulusát az osztó modulusával, akkor hiányos hányadost kapunk és
- maradék;
- írja le az ellenkező számot.
Tekintsük a pozitív egész szám negatív egész számmal való osztására szolgáló algoritmus példáját.
4. példa
Hajtsa végre az osztást a maradék 17 by - 5 - tel .
Megoldás
Alkalmazzuk az osztási algoritmust a pozitív egész szám maradékával egy negatív egész számmal. A 17-et el kell osztani 5-tel modulo. Innen azt kapjuk, hogy a hiányos hányados 3, a maradék pedig 2.
A kívánt számot úgy kapjuk meg, hogy elosztjuk 17-et - 5 \u003d - 3-mal, a maradék 2-vel.
Válasz: 17: (− 5) = − 3 (maradék 2).
5. példa
Oszd el a 45-öt 15-tel.
Megoldás
A számokat modulo kell osztani. A 45-öt elosztjuk 15-tel, maradék nélkül megkapjuk a 3-as hányadost. Tehát a 45-ös szám maradék nélkül osztható 15-tel. A válaszban - 3-at kapunk, mivel a felosztást modulo hajtották végre.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Válasz: 45: (− 15) = − 3 .
A maradékkal való osztási szabály megfogalmazása a következő.
2. definíció
Ahhoz, hogy egy a negatív egész számot pozitív b-vel osztva hiányos c hányadost kapjunk, ennek a számnak az ellenkezőjét kell alkalmazni, és ki kell vonni belőle 1-et, majd a d maradékot a következő képlettel számítjuk ki: d = a − b · c.
A szabály alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy osztáskor nemnegatív egész számot kapunk. A megoldás pontossága érdekében azt az algoritmust használjuk, amely az a-t b-vel osztja maradékkal:
- keresse meg az osztó és az osztó moduljait;
- oszt modulo;
- írd fel a megadott szám ellentétét, és vonj ki 1-et;
- használja a képletet a maradékhoz d = a − b c .
Vegyünk egy példát egy olyan megoldásra, ahol ezt az algoritmust alkalmazzák.
6. példa
Keresse meg a hiányos hányadost és az osztás maradékát - 17 5-tel.
Megoldás
A megadott számokat elosztjuk modulo. Azt kapjuk, hogy osztáskor a hányados 3, a maradék pedig 2. Mivel 3-at kaptunk, az ellenkezője a 3. 1-et kell kivonni.
− 3 − 1 = − 4 .
A kívánt érték egyenlő -4.
A maradék kiszámításához a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , majd d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = szükséges. 3.
Ez azt jelenti, hogy az osztás hiányos hányadosa a - 4, a maradék pedig 3.
Válasz:(− 17) : 5 = − 4 (maradék 3).
7. példa
Osszuk el az 1404 negatív egész számot a pozitív 26-tal.
Megoldás
Oszloppal és modulussal kell osztani.
A számok moduljainak felosztását maradék nélkül megkaptuk. Ez azt jelenti, hogy az osztás maradék nélkül történik, és a kívánt hányados = -54.
Válasz: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Osztási szabály negatív egész számok maradékával, példák
Meg kell fogalmazni egy osztási szabályt egész számok maradékával negatív számok.
3. definíció
Ahhoz, hogy egy a negatív egész számot egy b negatív egész számmal elosztva hiányos hányadost kapjunk, modulo számításokat kell végezni, amelyek után adjunk hozzá 1-et, majd a d = a − b · c képlettel számolhatunk.
Ebből következik, hogy a negatív egész számok osztásának hiányos hányadosa pozitív szám lesz.
Ezt a szabályt algoritmus formájában fogalmazzuk meg:
- keresse meg az osztó és az osztó moduljait;
- osztjuk az osztó modulusát az osztó modulusával, hogy hiányos hányadost kapjunk
- maradék;
- 1 hozzáadása a hiányos hányadoshoz;
- a maradék kiszámítása, a d = a − b c képlet alapján.
Tekintsük ezt az algoritmust egy példán keresztül.
8. példa
Határozzuk meg a parciális hányadost és a maradékot, ha -17-et osztunk 5-tel.
Megoldás
A megoldás helyessége érdekében a maradékkal való osztás algoritmusát alkalmazzuk. Először osszuk el a számokat modulo. Innen azt kapjuk, hogy a hiányos hányados \u003d 3, a maradék pedig 2. A szabály szerint össze kell adni a hiányos hányadost és az 1-et. Azt kapjuk, hogy 3 + 1 = 4 . Ebből azt kapjuk, hogy az osztás nem teljes hányadosa adott számokat egyenlő 4 .
A maradék kiszámításához a képletet alkalmazzuk. Feltétel szerint a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, akkor a képlet segítségével d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = -17 + 20 = 3 . A kívánt válasz, vagyis a maradék 3, a hiányos hányados pedig 4.
Válasz:(− 17) : (− 5) = 4 (maradék 3).
Egész számok maradékkal való osztásának eredményének ellenőrzése
A számok maradékkal való osztása után ellenőrzést kell végezni. Ez az ellenőrzés 2 szakaszból áll. Először a d maradékot ellenőrizzük nem-negativitás szempontjából, a feltétel 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Nézzünk példákat.
9. példa
Gyártott részleg - 521 x - 12. A hányados 44, a maradék 7. Futtasson ellenőrzést.
Megoldás
Mivel a maradék egy pozitív szám, értéke kisebb, mint az osztó modulusa. Az osztó - 12, tehát a modulusa 12. Továbbléphet a következő ellenőrzőponthoz.
Feltétel szerint a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . Innen számítjuk ki a b c + d értéket, ahol b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . Ebből következik, hogy az egyenlőség igaz. Az ellenőrzés sikeres.
10. példa
Ellenőrző osztás (− 17): 5 = − 3 (maradék − 2). Igaz az egyenlőség?
Megoldás
Az első szakasz jelentése az, hogy ellenőrizni kell az egész számok osztását maradékkal. Ez azt mutatja, hogy a műveletet helytelenül hajtották végre, mivel a maradék értéke - 2. A maradék nem negatív szám.
Megállapítottuk, hogy a második feltétel teljesül, de erre az esetre nem elegendő.
Válasz: Nem.
11. példa
A -19-es szám osztva -3-mal. A parciális hányados 7, a maradék pedig 1. Ellenőrizze, hogy ez a számítás helyes-e.
Megoldás
Adott a maradék 1. Ő pozitív. Az érték kisebb, mint az osztómodulé, ami azt jelenti, hogy az első szakasz végrehajtásra kerül. Térjünk át a második szakaszra.
Számítsuk ki a b · c + d kifejezés értékét. Feltétel szerint b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, ezért a számértékeket helyettesítve b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Ebből következik, hogy az a = b · c + d egyenlőség nem teljesül, mivel a feltétel adott a = - 19 .
Ez azt jelenti, hogy a felosztás hibásan történt.
Válasz: Nem.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
Olvassa el a lecke témáját: "Osztás a maradékkal." Mit tudsz már erről a témáról?
El lehet osztani 8 szilvát egyenlő arányban két tányéron (1. ábra)?
Rizs. 1. Illusztráció például
Mindegyik tányérba 4 szilvát tehet (2. ábra).
Rizs. 2. Illusztráció például
Az általunk végrehajtott művelet a következőképpen írható fel.
8: 2 = 4
Mit gondolsz, lehet-e 8 szilvát egyformán 3 tányérra osztani (3. ábra)?
Rizs. 3. Illusztráció például
Csináljunk így. Először minden tányérba tegyen egy szilvát, majd a második szilvát. 2 szilvánk marad, de 3 tányér. Tehát nem tudjuk egyenletesen elosztani. Minden tányérba 2 szilvát teszünk, és maradt 2 szilva (4. kép).
Rizs. 4. Illusztráció például
Folytassuk a megfigyelést.
Olvasd el a számokat. Keresse meg a megadott számok közül azokat, amelyek oszthatók 3-mal!
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Teszteld magad.
A fennmaradó számok (11, 13, 14, 16, 17, 19) nem oszthatók 3-mal, vagy azt mondják "ossza el a maradékkal."
Találjuk meg a magánélet értékét.
Nézzük meg, hogy a 3-at hányszor tartalmazza a 17-es szám (5. ábra).
Rizs. 5. Illusztráció például
Látjuk, hogy 3 ovális 5-ször belefér és 2 ovális maradt.
A végrehajtott művelet a következőképpen írható fel.
17: 3 = 5 (többi 2)
Oszlopba is írható (6. ábra)
Rizs. 6. Illusztráció például
Tekintse át a rajzokat. Magyarázza el ezeknek az ábráknak a feliratait (7. ábra).
Rizs. 7. Illusztráció például
Tekintsük az első ábrát (8. ábra).
Rizs. 8. Illusztráció például
Azt látjuk, hogy 15 ovális volt osztva 2-vel. 2-t 7-szer megismételtük, a maradékban - 1 oválist.
Tekintsük a második ábrát (9. ábra).
Rizs. 9. Illusztráció például
Ezen az ábrán 15 négyzetet osztottak 4-gyel. A 4-et 3-szor ismételték meg, a maradékban - 3 négyzetet.
Tekintsük a harmadik ábrát (10. ábra).
Rizs. 10. Illusztráció például
Elmondhatjuk, hogy 15 oválist 3-ra osztottak. 3-at 5-ször egyformán megismételtünk. Ilyen esetekben a maradékot 0-nak mondjuk.
Végezzük el a felosztást.
A hét négyzetet három részre osztjuk. Két csoportot kapunk, és egy négyzet marad. Írjuk fel a megoldást (11. ábra).
Rizs. 11. Illusztráció például
Végezzük el a felosztást.
Megtudjuk, hogy a 10-es szám hányszor tartalmazza a négyet. Látjuk, hogy a 10-es számban négy kétszer szerepel, és 2 négyzet marad. Írjuk fel a megoldást (12. ábra).
Rizs. 12. Illusztráció például
Végezzük el a felosztást.
Megtudjuk, hogy a 11-es szám hányszor tartalmaz kettőt. Látjuk, hogy a 11-es számban kettő ötször szerepel, és 1 négyzet marad. Írjuk fel a megoldást (13. ábra).
Rizs. 13. Illusztráció például
Vegyünk egy következtetést. A maradékkal való osztás azt jelenti, hogy megtudjuk, hányszor szerepel az osztó az osztalékban, és hány egység marad.
A maradékkal való osztás számegyenesen is végrehajtható.
A számegyenesen 3 osztású szakaszokat jelölünk, és látni fogjuk, hogy három osztás háromszorosnak bizonyult és egy osztás maradt (14. ábra).
Rizs. 14. Illusztráció például
Írjuk le a megoldást.
10:3 = 3 (többi 1)
Végezzük el a felosztást.
A numerikus gerendán 3 osztású szakaszokat jelölünk, és látni fogjuk, hogy három osztás háromszorosnak bizonyult és két osztás maradt (15. ábra).
Rizs. 15. Illusztráció például
Írjuk le a megoldást.
11:3 = 3 (többnyire 2)
Végezzük el a felosztást.
A numerikus sugáron 3 osztású szakaszokat jelölünk, és látni fogjuk, hogy pontosan 4-szer kaptunk, nincs maradék (16. ábra).
Rizs. 16. Illusztráció például
Írjuk le a megoldást.
12: 3 = 4
A mai órán megismerkedtünk a maradékkal való osztással, megtanultuk a nevezett művelet végrehajtását kép és számnyaláb segítségével, példák megoldását gyakoroltuk az óra témájában.
Bibliográfia
- M.I. Moro, M.A. Bantova és mások Matematika: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 1. rész. - M .: "Felvilágosodás", 2012.
- M.I. Moro, M.A. Bantova és mások Matematika: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 2. rész. - M .: "Felvilágosodás", 2012.
- M.I. Moreau. Matematika órák: Irányelvek a tanár számára. 3. évfolyam - M.: Oktatás, 2012.
- Szabályozó dokumentum. A tanulási eredmények nyomon követése és értékelése. - M.: "Felvilágosodás", 2011.
- "Oroszország Iskola": Programok számára Általános Iskola. - M.: "Felvilágosodás", 2011.
- S.I. Volkov. Matematika: Ellenőrző munka. 3. évfolyam - M.: Oktatás, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Tesztek. - M.: "Vizsga", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Házi feladat
1. Írja fel azokat a számokat, amelyek maradék nélkül oszthatók 2-vel!
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
2. Hajtsa végre az osztást a maradékkal a rajz segítségével.
3. Hajtsa végre az osztást a maradékkal a számegyenesen.
4. Készítsen feladatot társai számára az óra témájában!
Olvassa el a lecke témáját: "Osztás a maradékkal." Mit tudsz már erről a témáról?
El lehet osztani 8 szilvát egyenlő arányban két tányéron (1. ábra)?
Rizs. 1. Illusztráció például
Mindegyik tányérba 4 szilvát tehet (2. ábra).
Rizs. 2. Illusztráció például
Az általunk végrehajtott művelet a következőképpen írható fel.
8: 2 = 4
Mit gondolsz, lehet-e 8 szilvát egyformán 3 tányérra osztani (3. ábra)?
Rizs. 3. Illusztráció például
Csináljunk így. Először minden tányérba tegyen egy szilvát, majd a második szilvát. 2 szilvánk marad, de 3 tányér. Tehát nem tudjuk egyenletesen elosztani. Minden tányérba 2 szilvát teszünk, és maradt 2 szilva (4. kép).
Rizs. 4. Illusztráció például
Folytassuk a megfigyelést.
Olvasd el a számokat. Keresse meg a megadott számok közül azokat, amelyek oszthatók 3-mal!
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Teszteld magad.
A fennmaradó számok (11, 13, 14, 16, 17, 19) nem oszthatók 3-mal, vagy azt mondják "ossza el a maradékkal."
Találjuk meg a magánélet értékét.
Nézzük meg, hogy a 3-at hányszor tartalmazza a 17-es szám (5. ábra).
Rizs. 5. Illusztráció például
Látjuk, hogy 3 ovális 5-ször belefér és 2 ovális maradt.
A végrehajtott művelet a következőképpen írható fel.
17: 3 = 5 (többi 2)
Oszlopba is írható (6. ábra)
Rizs. 6. Illusztráció például
Tekintse át a rajzokat. Magyarázza el ezeknek az ábráknak a feliratait (7. ábra).
Rizs. 7. Illusztráció például
Tekintsük az első ábrát (8. ábra).
Rizs. 8. Illusztráció például
Azt látjuk, hogy 15 ovális volt osztva 2-vel. 2-t 7-szer megismételtük, a maradékban - 1 oválist.
Tekintsük a második ábrát (9. ábra).
Rizs. 9. Illusztráció például
Ezen az ábrán 15 négyzetet osztottak 4-gyel. A 4-et 3-szor ismételték meg, a maradékban - 3 négyzetet.
Tekintsük a harmadik ábrát (10. ábra).
Rizs. 10. Illusztráció például
Elmondhatjuk, hogy 15 oválist 3-ra osztottak. 3-at 5-ször egyformán megismételtünk. Ilyen esetekben a maradékot 0-nak mondjuk.
Végezzük el a felosztást.
A hét négyzetet három részre osztjuk. Két csoportot kapunk, és egy négyzet marad. Írjuk fel a megoldást (11. ábra).
Rizs. 11. Illusztráció például
Végezzük el a felosztást.
Megtudjuk, hogy a 10-es szám hányszor tartalmazza a négyet. Látjuk, hogy a 10-es számban négy kétszer szerepel, és 2 négyzet marad. Írjuk fel a megoldást (12. ábra).
Rizs. 12. Illusztráció például
Végezzük el a felosztást.
Megtudjuk, hogy a 11-es szám hányszor tartalmaz kettőt. Látjuk, hogy a 11-es számban kettő ötször szerepel, és 1 négyzet marad. Írjuk fel a megoldást (13. ábra).
Rizs. 13. Illusztráció például
Vegyünk egy következtetést. A maradékkal való osztás azt jelenti, hogy megtudjuk, hányszor szerepel az osztó az osztalékban, és hány egység marad.
A maradékkal való osztás számegyenesen is végrehajtható.
A számegyenesen 3 osztású szakaszokat jelölünk, és látni fogjuk, hogy három osztás háromszorosnak bizonyult és egy osztás maradt (14. ábra).
Rizs. 14. Illusztráció például
Írjuk le a megoldást.
10:3 = 3 (többi 1)
Végezzük el a felosztást.
A numerikus gerendán 3 osztású szakaszokat jelölünk, és látni fogjuk, hogy három osztás háromszorosnak bizonyult és két osztás maradt (15. ábra).
Rizs. 15. Illusztráció például
Írjuk le a megoldást.
11:3 = 3 (többnyire 2)
Végezzük el a felosztást.
A numerikus sugáron 3 osztású szakaszokat jelölünk, és látni fogjuk, hogy pontosan 4-szer kaptunk, nincs maradék (16. ábra).
Rizs. 16. Illusztráció például
Írjuk le a megoldást.
12: 3 = 4
A mai órán megismerkedtünk a maradékkal való osztással, megtanultuk a nevezett művelet végrehajtását kép és számnyaláb segítségével, példák megoldását gyakoroltuk az óra témájában.
Bibliográfia
- M.I. Moro, M.A. Bantova és mások Matematika: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 1. rész. - M .: "Felvilágosodás", 2012.
- M.I. Moro, M.A. Bantova és mások Matematika: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 2. rész. - M .: "Felvilágosodás", 2012.
- M.I. Moreau. Matematika órák: Útmutató tanároknak. 3. évfolyam - M.: Oktatás, 2012.
- Szabályozó dokumentum. A tanulási eredmények nyomon követése és értékelése. - M.: "Felvilágosodás", 2011.
- "Oroszország iskolája": Programok az általános iskola számára. - M.: "Felvilágosodás", 2011.
- S.I. Volkov. Matematika: Ellenőrző munka. 3. évfolyam - M.: Oktatás, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Tesztek. - M.: "Vizsga", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Házi feladat
1. Írja fel azokat a számokat, amelyek maradék nélkül oszthatók 2-vel!
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
2. Hajtsa végre az osztást a maradékkal a rajz segítségével.
3. Hajtsa végre az osztást a maradékkal a számegyenesen.
4. Készítsen feladatot társai számára az óra témájában!
