Կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդը կամ Լագրանժի մեթոդը առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումների և Բեռնուլիի հավասարումների լուծման ևս մեկ միջոց է։

Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումները y’+p(x)y=q(x) ձևի հավասարումներ են։ Եթե ​​աջ կողմը զրո է՝ y’+p(x)y=0, ապա սա գծային է միատարր 1-ին կարգի հավասարում. Համապատասխանաբար, հավասարումը ոչ զրոյական աջ կողմով, y’+p(x)y=q(x), — տարասեռ 1-ին կարգի գծային հավասարում.

Կամայական մշտական ​​տատանումների մեթոդ (Լագրանժի մեթոդ) բաղկացած է հետևյալից.

1) Մենք փնտրում ենք ընդհանուր լուծում միատարր հավասարում y'+p(x)y=0: y=y*:

2) Ընդհանուր լուծումում C-ն համարվում է ոչ թե հաստատուն, այլ x-ի ֆունկցիա՝ C=C(x): Մենք գտնում ենք (y*)' ընդհանուր լուծման ածանցյալը և ստացված արտահայտությունը փոխարինում ենք y*-ով և (y*)'-ով նախնական պայմանով: Ստացված հավասարումից մենք գտնում ենք С(x) ֆունկցիան։

3) Միատարր հավասարման ընդհանուր լուծման մեջ C-ի փոխարեն փոխարինում ենք գտնված C արտահայտությունը (x):

Դիտարկենք կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդի օրինակներ: Վերցնենք նույն առաջադրանքները, ինչ , համեմատենք լուծման ընթացքը և համոզվենք, որ ստացված պատասխանները նույնն են:

1) y'=3x-y/x

Եկեք վերագրենք հավասարումը ստանդարտ ձևով (ի տարբերություն Բեռնուլիի մեթոդի, որտեղ նշումը մեզ անհրաժեշտ էր միայն տեսնելու համար, որ հավասարումը գծային է):

y'+y/x=3x (I): Այժմ մենք գնում ենք ըստ պլանի։

1) Լուծում ենք y’+y/x=0 միատարր հավասարումը: Սա բաժանելի փոփոխական հավասարում է: Ներկայացրե՛ք y’=dy/dx, փոխարինող՝ dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x։ Հավասարման երկու մասերը բազմապատկում ենք dx-ով և բաժանում xy≠0-ի` dy/y=-dx/x: Մենք ինտեգրում ենք.

2) Միատարր հավասարման ստացված ընդհանուր լուծումում С-ն կհամարենք ոչ թե հաստատուն, այլ x-ի ֆունկցիա՝ С=С(x): Այստեղից

Ստացված արտահայտությունները փոխարինվում են պայմանով (I).

Մենք ինտեգրում ենք հավասարման երկու մասերը.

այստեղ C-ն արդեն ինչ-որ նոր հաստատուն է:

3) y \u003d C / x միատարր հավասարման ընդհանուր լուծման մեջ, որտեղ մենք համարեցինք C \u003d C (x), այսինքն ՝ y \u003d C (x) / x, C (x) փոխարեն մենք փոխարինում ենք. գտնված x³ + C արտահայտությունը՝ y \u003d (x³ +C)/x կամ y=x²+C/x: Մենք ստացանք նույն պատասխանը, ինչ Բեռնուլիի մեթոդով լուծելիս։

Պատասխան՝ y=x²+C/x:

2) y'+y=cosx.

Այստեղ հավասարումն արդեն գրված է ստանդարտ ձևով, փոխակերպման կարիք չկա։

1) Լուծում ենք միատարր գծային հավասարում y’+y=0՝ dy/dx=-y; dy/y=-dx. Մենք ինտեգրում ենք.

Ավելի հարմար նշում ստանալու համար մենք C-ի հզորության ցուցիչը կվերցնենք որպես նոր C.

Այս փոխակերպումն իրականացվել է ածանցյալը գտնելն ավելի հարմար դարձնելու համար։

2) Գծային միատարր հավասարման ստացված ընդհանուր լուծումում С համարում ենք ոչ թե հաստատուն, այլ x-ի ֆունկցիա՝ С=С(x): Այս պայմանով

Ստացված y և y արտահայտությունները փոխարինվում են պայմանով.

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը

Մենք ինտեգրում ենք հավասարման երկու մասերը՝ օգտագործելով ինտեգրում մասերի բանաձևը, ստանում ենք.

Այստեղ C-ն այլևս ֆունկցիա չէ, այլ սովորական հաստատուն։

3) միատարր հավասարման ընդհանուր լուծման մեջ

մենք փոխարինում ենք գտած ֆունկցիան С(x):

Մենք ստացանք նույն պատասխանը, ինչ Բեռնուլիի մեթոդով լուծելիս։

Լուծման համար կիրառելի է նաև կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդը։

y’x+y=-xy².

Հավասարումը բերում ենք ստանդարտ ձևի՝ y’+y/x=-y² (II):

1) Լուծում ենք y’+y/x=0 միատարր հավասարումը: dy/dx=-y/x. Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկել dx-ով և բաժանել y-ով` dy/y=-dx/x: Հիմա եկեք ինտեգրենք.

Ստացված արտահայտությունները փոխարինում ենք (II) պայմանով.

Պարզեցում:

Մենք ստացանք C-ի և x-ի համար բաժանելի փոփոխականներով հավասարում.

Այստեղ C-ն արդեն սովորական հաստատուն է։ Ինտեգրման գործընթացում C(x-ի փոխարեն) ուղղակի գրել ենք C, որպեսզի չծանրաբեռնենք նշումը։ Եվ վերջում մենք վերադարձանք C(x)-ին, որպեսզի չշփոթենք C(x)-ը նոր C-ի հետ։

3) Գտնված С(x) ֆունկցիան փոխարինում ենք y=C(x)/x միատարր հավասարման ընդհանուր լուծման մեջ.

Մենք ստացանք նույն պատասխանը, ինչ Բեռնուլիի մեթոդով լուծելիս։

Ինքնաթեստավորման օրինակներ.

1. Վերաշարադրենք հավասարումը ստանդարտ ձևով՝ y'-2y=x:

1) Լուծում ենք y'-2y=0 միատարր հավասարումը: y’=dy/dx, հետևաբար dy/dx=2y, բազմապատկել հավասարման երկու կողմերը dx-ով, բաժանել y-ի և ինտեգրել.

Այստեղից մենք գտնում ենք y:

Մենք փոխարինում ենք y և y արտահայտությունները պայմանով (հակիրճության համար մենք կսնուցենք C-ի փոխարեն C (x) և C-ի փոխարեն C "(x)):

Աջ կողմում ինտեգրալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք ինտեգրում ըստ մասերի բանաձևը.

Այժմ մենք փոխարինում ենք u, du և v բանաձևով.

Այստեղ C = const.

3) Այժմ մենք փոխարինում ենք համասեռ լուծույթին

Տեսական նվազագույնը

Դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության մեջ կա մի մեթոդ, որը պնդում է այս տեսության համար ունիվերսալության բավական բարձր աստիճան։
Խոսքը լուծման համար կիրառելի կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդի մասին է տարբեր դասերդիֆերենցիալ հավասարումներ և դրանց
համակարգեր։ Սա հենց այն դեպքն է, երբ տեսությունը, եթե պնդումների ապացույցը հանում ես փակագծերից, նվազագույն է, բայց թույլ է տալիս հասնել.
նշանակալի արդյունքներ, ուստի հիմնական ուշադրությունը կլինի օրինակների վրա:

Մեթոդի ընդհանուր գաղափարը ձևակերպելու համար բավականին պարզ է. Թող տրված հավասարումը(հավասարումների համակարգը) դժվար է լուծել կամ ընդհանրապես պարզ չէ,
ինչպես լուծել այն: Այնուամենայնիվ, երևում է, որ երբ որոշ տերմիններ բացառվում են հավասարումից, այն լուծվում է։ Հետո նրանք լուծում են հենց այդպիսի պարզեցված
հավասարում (համակարգ), ստացեք լուծում, որը պարունակում է որոշակի քանակությամբ կամայական հաստատուններ - կախված հավասարման կարգից (թիվը
հավասարումներ համակարգում): Այնուհետև ենթադրվում է, որ հայտնաբերված լուծման հաստատունները իրականում հաստատուններ չեն, գտնված լուծումը
փոխարինվում է սկզբնական հավասարման (համակարգի) մեջ, ստացվում է դիֆերենցիալ հավասարում (կամ հավասարումների համակարգ)՝ «հաստատությունները» որոշելու համար։
Կա որոշակի յուրահատկություն տարբեր խնդիրներում կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդի կիրառման մեջ, բայց դրանք արդեն մանրամասներ են, որոնք կլինեն.
ցույց է տրված օրինակներով։

Եկեք առանձին դիտարկենք ավելի բարձր կարգի գծային անհամասեռ հավասարումների լուծումը, այսինքն. ձևի հավասարումներ
.
Գծային անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը համապատասխան միատարր հավասարման և որոշակի լուծման ընդհանուր լուծման գումարն է.
տրված հավասարումը. Ենթադրենք, որ միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումն արդեն գտնվել է, այն է՝ կառուցված է լուծումների հիմնարար համակարգը (FSR).
. Այնուհետև միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումն է.
Անհրաժեշտ է գտնել անհամասեռ հավասարման որևէ կոնկրետ լուծում: Դրա համար հաստատունները համարվում են կախված փոփոխականից:
Հաջորդը, դուք պետք է լուծեք հավասարումների համակարգը
.
Տեսությունը երաշխավորում է, որ այս համակարգը հանրահաշվական հավասարումներԻնչ վերաբերում է ֆունկցիաների ածանցյալներին, կա միայն մեկ լուծում.
Ինքնին ֆունկցիաները գտնելիս ինտեգրման հաստատունները չեն երևում. ի վերջո, ցանկացած լուծում է փնտրում:

Ձևի առաջին կարգի գծային անհամասեռ հավասարումների համակարգերի լուծման դեպքում

ալգորիթմը մնում է գրեթե անփոփոխ։ Նախ պետք է գտնել համապատասխան միատարր հավասարումների համակարգի FSR-ը, կազմել հիմնարար մատրիցը
համակարգ, որի սյուները հանդիսանում են FSR-ի տարրերը: Հաջորդը, հավասարումը
.
Լուծելով համակարգը՝ մենք որոշում ենք գործառույթները՝ այդպիսով գտնելով բուն համակարգի որոշակի լուծում
(հիմնական մատրիցը բազմապատկվում է հայտնաբերված հատկանիշի սյունակով):
Մենք այն ավելացնում ենք միատարր հավասարումների համապատասխան համակարգի ընդհանուր լուծմանը, որը կառուցված է արդեն իսկ գտնված FSR-ի հիման վրա։
Ստացվում է սկզբնական համակարգի ընդհանուր լուծումը.

Օրինակներ.

Օրինակ 1 Առաջին կարգի գծային անհամասեռ հավասարումներ.

Դիտարկենք համապատասխան միատարր հավասարումը (պահանջվող ֆունկցիան նշանակում ենք ).
.
Այս հավասարումը հեշտությամբ լուծվում է փոփոխականների տարանջատմամբ.

.
Այժմ մենք ներկայացնում ենք սկզբնական հավասարման լուծումը ձևով , որտեղ գործառույթը դեռ չի գտնվել:
Մենք այս տեսակի լուծումը փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ.
.
Ինչպես տեսնում եք, ձախ կողմում գտնվող երկրորդ և երրորդ տերմինները չեղարկում են միմյանց բնորոշիչկամայական հաստատունի փոփոխության մեթոդ.

Այստեղ արդեն - իսկապես, կամայական հաստատուն: Այսպիսով,
.

Օրինակ 2 Բեռնուլիի հավասարումը.

Մենք գործում ենք առաջին օրինակի նման՝ լուծում ենք հավասարումը

փոփոխականների տարանջատման մեթոդ. Կստացվի, ուստի մենք փնտրում ենք սկզբնական հավասարման լուծումը ձևով
.
Փոխարինեք այս ֆունկցիան սկզբնական հավասարման մեջ.
.
Եվ կրկին կան կրճատումներ.
.
Այստեղ դուք պետք է հիշեք, որպեսզի համոզվեք, որ երբ բաժանելիս լուծումը չի կորչում: Իսկ գործը համապատասխանում է բնօրինակի լուծմանը
հավասարումներ։ Հիշենք նրան։ Այսպիսով,
.
Եկեք գրենք.
Սա է լուծումը։ Պատասխանը գրելիս պետք է նշել նաև ավելի վաղ գտնված լուծումը, քանի որ այն չի համապատասխանում որևէ վերջնական արժեքի
հաստատուններ.

Օրինակ 3 Բարձր կարգի գծային անհամասեռ հավասարումներ.

Մենք անմիջապես նշում ենք, որ այս հավասարումը կարելի է լուծել ավելի պարզ, բայց հարմար է դրա վրա ցույց տալ մեթոդը: Չնայած որոշ առավելություններ
Այս օրինակում կա նաև կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդը:
Այսպիսով, դուք պետք է սկսեք համապատասխան միատարր հավասարման FSR-ից: Հիշեցնենք, որ FSR-ը գտնելու համար հատկանիշը
հավասարումը
.
Այսպիսով, միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը
.
Այստեղ ներառված հաստատունները պետք է բազմազան լինեն: Համակարգի կազմում

Անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման համար օգտագործվում է կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը։ Այս դասը նախատեսված է այն ուսանողների համար, ովքեր արդեն քիչ թե շատ լավ տիրապետում են թեմային։ Եթե ​​դուք նոր եք սկսում ծանոթանալ հեռակառավարման վահանակին, այսինքն. Եթե ​​դուք թեյնիկ եք, խորհուրդ եմ տալիս սկսել առաջին դասից. Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ. Լուծման օրինակներ. Եվ եթե դուք արդեն ավարտում եք, խնդրում ենք հրաժարվել հնարավոր կանխամտածվածությունից, որ մեթոդը դժվար է: Քանի որ նա պարզ է:

Ո՞ր դեպքերում է կիրառվում կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը:

1) կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդը կարող է օգտագործվել լուծելու համար 1-ին կարգի գծային անհամասեռ DE. Քանի որ հավասարումը առաջին կարգի է, ուրեմն հաստատունը (հաստատուն) նույնպես մեկն է։

2) կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը օգտագործվում է որոշների լուծման համար երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ հավասարումներ. Այստեղ երկու հաստատուն (հաստատուն) տարբերվում են։

Տրամաբանական է ենթադրել, որ դասը բաղկացած կլինի երկու պարբերությունից .... Այսպիսով, ես գրեցի այս առաջարկը, և մոտ 10 րոպե ես ցավագին մտածում էի, թե ինչ այլ խելացի հիմարություն ավելացնել՝ սահուն անցում կատարելու համար: գործնական օրինակներ. Բայց, չգիտես ինչու, տոներից հետո մտքեր չկան, թեև կարծես թե ոչինչ չեմ չարաշահել։ Այսպիսով, եկեք անմիջապես անցնենք առաջին պարբերությանը:

Կամայական մշտական ​​տատանումների մեթոդ
գծային անհամասեռ առաջին կարգի հավասարման համար

Նախքան կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդը դիտարկելը, ցանկալի է ծանոթ լինել հոդվածին Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ. Այդ դասին մենք պարապեցինք լուծելու առաջին միջոցը 1-ին կարգի անհամասեռ ԴԵ. Այս առաջին լուծումը, հիշեցնում եմ, կոչվում է փոխարինման մեթոդկամ Բեռնուլիի մեթոդ(չշփոթել դրա հետ Բեռնուլիի հավասարումը!!!)

Այժմ մենք կքննարկենք լուծման երկրորդ ճանապարհը- կամայական հաստատունի փոփոխության մեթոդ. Բերեմ ընդամենը երեք օրինակ, և դրանք կվերցնեմ վերը նշված դասից։ Ինչու՞ այդքան քիչ: Որովհետև իրականում երկրորդ եղանակով լուծումը շատ նման կլինի առաջին ձևի լուծմանը։ Բացի այդ, իմ դիտարկումների համաձայն, կամայական հաստատունների տատանումների մեթոդը օգտագործվում է ավելի քիչ, քան փոխարինման մեթոդը:

Օրինակ 1

(Տարբերվեք դասի թիվ 2 օրինակից 1-ին կարգի գծային անհամասեռ DE)

Լուծում:Այս հավասարումը գծային անհամասեռ է և ունի ծանոթ ձև.

Առաջին քայլը ավելի պարզ հավասարման լուծումն է.
Այսինքն՝ մենք հիմարաբար վերականգնում ենք աջ կողմը, փոխարենը գրում ենք զրո։
Հավասարումը Ես կզանգեմ օժանդակ հավասարում.

Այս օրինակում դուք պետք է լուծեք հետևյալ օժանդակ հավասարումը.

Մեր առաջ բաժանելի հավասարում, որի լուծումը (հուսով եմ) այլևս դժվար չէ ձեզ համար.

Այսպիսով.
օժանդակ հավասարման ընդհանուր լուծումն է:

Երկրորդ քայլին փոխարինելորոշ հաստատուն դեռանհայտ ֆունկցիա, որը կախված է «x»-ից.

Այստեղից էլ առաջացել է մեթոդի անվանումը՝ մենք փոփոխում ենք հաստատունը: Որպես այլընտրանք, հաստատունը կարող է լինել ինչ-որ ֆունկցիա, որը մենք պետք է գտնենք հիմա:

IN սկզբնականանհամասեռ հավասարում Փոխարինենք.

Փոխարինել և հավասարման մեջ :

վերահսկման պահը - ձախ կողմի երկու ժամկետները չեղյալ են հայտարարվում. Եթե ​​դա տեղի չունենա, դուք պետք է փնտրեք վերը նշված սխալը:

Փոխարինման արդյունքում ստացվում է բաժանելի փոփոխականներով հավասարում։ Առանձնացնել փոփոխականները և ինտեգրել:

Ի՜նչ օրհնություն, ցուցիչները նույնպես փոքրանում են.

Գտնված ֆունկցիային ավելացնում ենք «նորմալ» հաստատուն.

Վերջնական փուլում մենք հիշում ենք մեր փոխարինողին.

Ֆունկցիան հենց նոր գտա:

Այսպիսով, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Պատասխան.ընդհանուր որոշում.

Եթե ​​տպեք երկու լուծումները, հեշտությամբ կնկատեք, որ երկու դեպքում էլ մենք գտել ենք նույն ինտեգրալները։ Տարբերությունը միայն լուծման ալգորիթմի մեջ է։

Հիմա ավելի բարդ բան, ես կմեկնաբանեմ նաև երկրորդ օրինակը.

Օրինակ 2

Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը
(տարբերվել դասի թիվ 8 օրինակից 1-ին կարգի գծային անհամասեռ DE)

Լուծում:Մենք հավասարումը բերում ենք ձևի :

Աջ կողմը դրեք զրոյի և լուծեք օժանդակ հավասարումը.

Օժանդակ հավասարման ընդհանուր լուծում.

Անհամասեռ հավասարման մեջ մենք կկատարենք փոխարինումը.

Ըստ արտադրանքի տարբերակման կանոնի.

Փոխարինել և սկզբնական անհամասեռ հավասարման մեջ.

Ձախ կողմի երկու տերմինները չեղյալ են համարվում, ինչը նշանակում է, որ մենք ճիշտ ուղու վրա ենք.

Մենք ինտեգրվում ենք մասերով: Համեղ նամակինտեգրման մասերի բանաձևից, որը մենք արդեն ներգրավել ենք լուծման մեջ, ուստի մենք օգտագործում ենք, օրինակ, «a» և «be» տառերը.

Հիմա եկեք նայենք փոխարինմանը.

Պատասխան.ընդհանուր որոշում.

Եվ մեկ օրինակ համար անկախ որոշում:

Օրինակ 3

Գտե՛ք տրված սկզբնական պայմանին համապատասխան դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում:

,
(Տարբերվեք դաս 4-ի օրինակից 1-ին կարգի գծային անհամասեռ DE)
Լուծում:
Այս DE-ն գծային անհամասեռ է: Մենք օգտագործում ենք կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը: Եկեք լուծենք օժանդակ հավասարումը.

Մենք առանձնացնում ենք փոփոխականները և ինտեգրում.

Ընդհանուր որոշում.
Անհամասեռ հավասարման մեջ մենք կկատարենք փոխարինումը.

Կատարենք փոխարինումը.

Այսպիսով, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Գտեք տվյալ սկզբնական պայմանին համապատասխան որոշակի լուծում.

Պատասխան.մասնավոր լուծում.

Դասի վերջում տրված լուծումը կարող է մոտավոր մոդել ծառայել առաջադրանքն ավարտելու համար։

Կամայական հաստատունների տատանումների մեթոդ
գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի հավասարման համար
հաստատուն գործակիցներով

Հաճախ կարելի էր լսել կարծիք, որ երկրորդ կարգի հավասարման համար կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը հեշտ բան չէ: Բայց ես ենթադրում եմ հետևյալը. ամենայն հավանականությամբ, մեթոդը շատերին դժվար է թվում, քանի որ այն այնքան էլ տարածված չէ։ Բայց իրականում առանձնակի դժվարություններ չկան. որոշման ընթացքը պարզ է, թափանցիկ և հասկանալի։ Եվ գեղեցիկ:

Մեթոդին տիրապետելու համար ցանկալի է, որ կարողանանք լուծել երկրորդ կարգի անհամասեռ հավասարումներ՝ ընտրելով որոշակի լուծում՝ ըստ աջ կողմի ձևի։ Այս մեթոդը մանրամասնորեն քննարկվում է հոդվածում: 2-րդ կարգի անհամասեռ ԴԵ. Հիշում ենք, որ հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ հավասարումն ունի հետևյալ ձևը.

Ընտրության մեթոդը, որը դիտարկվել է վերը նշված դասում, գործում է միայն սահմանափակ թվով դեպքերում, երբ աջ կողմում են բազմանդամները, ցուցիչները, սինուսները, կոսինուսները: Բայց ի՞նչ անել, երբ աջ կողմում, օրինակ, կոտորակ, լոգարիթմ, շոշափում: Նման իրավիճակում օգնության է գալիս հաստատունների տատանումների մեթոդը։

Օրինակ 4

Գտե՛ք երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը

Լուծում:Այս հավասարման աջ կողմում կա մի կոտորակ, ուստի անմիջապես կարող ենք ասել, որ կոնկրետ լուծում ընտրելու մեթոդը չի գործում: Մենք օգտագործում ենք կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը:

Ոչինչ չի ներկայացնում ամպրոպ, լուծման սկիզբը միանգամայն սովորական է.

Եկեք գտնենք ընդհանուր որոշումհամապատասխան միատարրհավասարումներ:

Կազմում և լուծում ենք բնորոշ հավասարումը.


– ստացվում են զուգակցված բարդ արմատներ, ուստի ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Ուշադրություն դարձրեք ընդհանուր լուծման արձանագրությանը, եթե կան փակագծեր, ապա բացեք դրանք:

Այժմ մենք անում ենք գրեթե նույն հնարքը, ինչ առաջին կարգի հավասարման դեպքում. մենք փոփոխում ենք հաստատունները՝ դրանք փոխարինելով անհայտ ֆունկցիաներով: Այն է, անհամասեռի ընդհանուր լուծումՄենք կփնտրենք հավասարումներ հետևյալ ձևով.

Որտեղ - դեռանհայտ գործառույթներ.

Կարծես աղբանոց լինի, բայց հիմա ամեն ինչ կդասավորենք։

Գործառույթների ածանցյալները գործում են որպես անհայտներ: Մեր նպատակը ածանցյալներ գտնելն է, իսկ գտնված ածանցյալները պետք է բավարարեն համակարգի թե՛ առաջին, թե՛ երկրորդ հավասարումները։

Որտեղի՞ց են գալիս «խաղերը»: Արագիլը բերում է նրանց։ Դիտում ենք նախկինում ստացված ընդհանուր լուծումը և գրում.

Եկեք գտնենք ածանցյալներ.

Զբաղվել է ձախ կողմով: Ի՞նչ կա աջ կողմում:

սկզբնական հավասարման աջ կողմն է, այս դեպքում՝

Գործակիցը երկրորդ ածանցյալի գործակիցն է.

Գործնականում գրեթե միշտ, և մեր օրինակը բացառություն չէ:

Ամեն ինչ մաքրվեց, այժմ կարող եք ստեղծել համակարգ.

Համակարգը սովորաբար լուծվում է ըստ Քրամերի բանաձեւերիօգտագործելով ստանդարտ ալգորիթմ: Միակ տարբերությունն այն է, որ թվերի փոխարեն ունենք ֆունկցիաներ։

Գտեք համակարգի հիմնական որոշիչը.

Եթե ​​մոռացել եք, թե ինչպես է բացահայտվում «երկու-երկու» որոշիչը, դիմեք դասին Ինչպե՞ս հաշվարկել որոշիչը:Հղումը տանում է դեպի ամոթի տախտակ =)

Այսպիսով, համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում:

Մենք գտնում ենք ածանցյալը.

Բայց սա դեռ ամենը չէ, մինչ այժմ մենք գտել ենք միայն ածանցյալը:
Ֆունկցիան ինքնին վերականգնվում է ինտեգրման միջոցով.

Դիտարկենք երկրորդ գործառույթը.

Այստեղ մենք ավելացնում ենք «նորմալ» հաստատուն

Լուծման վերջնական փուլում մենք հիշում ենք, թե ինչ ձևով էինք փնտրում անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը: Նման:

Ձեզ անհրաժեշտ հատկանիշները հենց նոր են գտնվել:

Մնում է կատարել փոխարինումը և գրել պատասխանը.

Պատասխան.ընդհանուր որոշում.

Սկզբունքորեն պատասխանը կարող էր բացել փակագծերը։

Պատասխանի ամբողջական ստուգումը կատարվում է դասում դիտարկված ստանդարտ սխեմայի համաձայն: 2-րդ կարգի անհամասեռ ԴԵ. Բայց ստուգումը հեշտ չի լինի, քանի որ մենք պետք է գտնենք բավականին ծանր ածանցյալներ և կատարենք ծանր փոխարինում։ Սա տհաճ հատկանիշ է, երբ դուք լուծում եք նման տարբերությունները:

Օրինակ 5

Լուծեք դիֆերենցիալ հավասարումը կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդով

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Իրականում աջ կողմը նույնպես կոտորակ է։ Մենք հիշում ենք եռանկյունաչափական բանաձև, ի դեպ, լուծման ընթացքում այն ​​կիրառելու կարիք կլինի։

Ամենաշատն է կամայական հաստատունների տատանումների մեթոդը ունիվերսալ մեթոդ. Նրանք կարող են լուծել ցանկացած լուծվող հավասարում աջ կողմի ձևի համաձայն որոշակի լուծում ընտրելու մեթոդը. Հարց է ծագում, ինչո՞ւ այնտեղ էլ չկիրառել կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը։ Պատասխանն ակնհայտ է՝ կոնկրետ լուծման ընտրություն, որը դիտարկվել է դասում Երկրորդ կարգի անհամասեռ հավասարումներ, զգալիորեն արագացնում է լուծումը և նվազեցնում նշումը՝ ոչ մի խառնաշփոթ որոշիչների և ինտեգրալների հետ:

Դիտարկենք երկու օրինակ Կոշի խնդիր.

Օրինակ 6

Գտե՛ք տրված սկզբնական պայմաններին համապատասխան դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում

,

Լուծում:Կրկին կոտորակ և ցուցիչ հետաքրքիր վայր.
Մենք օգտագործում ենք կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը:

Եկեք գտնենք ընդհանուր որոշումհամապատասխան միատարրհավասարումներ:



– ստացվում են տարբեր իրական արմատներ, ուստի ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Անհամասեռի ընդհանուր լուծումըմենք փնտրում ենք հավասարումներ ձևով. , որտեղ - դեռանհայտ գործառույթներ.

Եկեք ստեղծենք համակարգ.

Այս դեպքում:
,
Գտնել ածանցյալներ.
,

Այսպիսով.

Մենք լուծում ենք համակարգը՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը.
, ուստի համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։

Մենք վերականգնում ենք գործառույթը ինտեգրման միջոցով.

Օգտագործված է այստեղ ֆունկցիան դիֆերենցիալ նշանի տակ բերելու մեթոդ.

Մենք վերականգնում ենք երկրորդ գործառույթը ինտեգրման միջոցով.

Նման ինտեգրալը լուծված է փոփոխական փոխարինման մեթոդ:

Ինքնին փոխարինումից մենք արտահայտում ենք.

Այսպիսով.

Այս ինտեգրալը կարելի է գտնել արդյունահանման մեթոդ լրիվ քառակուսի , բայց դիֆուրներով օրինակներում ես նախընտրում եմ ընդլայնել կոտորակը անորոշ գործակիցների մեթոդ:

Երկու գործառույթներն էլ գտնվել են.

Արդյունքում անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Գտեք որոշակի լուծում, որը բավարարում է նախնական պայմանները .

Տեխնիկապես լուծման որոնումն իրականացվում է ստանդարտ եղանակով, որը քննարկվել է հոդվածում։ Անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Սպասիր, հիմա կգտնենք գտնված ընդհանուր լուծման ածանցյալը.

Ահա այսպիսի խայտառակություն. Պետք չէ պարզեցնել այն, ավելի հեշտ է անհապաղ կազմել հավասարումների համակարգ։ Ըստ նախնական պայմանների :

Փոխարինեք հաստատունների գտնված արժեքները ընդհանուր լուծման մեջ.

Պատասխանում լոգարիթմները կարելի է մի փոքր փաթեթավորել։

Պատասխան.մասնավոր լուծում.

Ինչպես տեսնում եք, դժվարություններ կարող են առաջանալ ինտեգրալներում և ածանցյալներում, բայց ոչ կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդի ալգորիթմում։ Ես չէի, որ վախեցրի ձեզ, այս ամենը Կուզնեցովի հավաքածուն է:

Հանգստանալու համար, վերջնական, ավելի պարզ, ինքնալուծվող օրինակ.

Օրինակ 7

Լուծիր Քոշիի խնդիրը

,

Օրինակը պարզ է, բայց ստեղծագործական, երբ դուք համակարգ եք ստեղծում, նախքան որոշելը ուշադիր նայեք դրան ;-),




Արդյունքում, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Գտեք նախնական պայմաններին համապատասխան կոնկրետ լուծում .



Մենք հաստատունների գտնված արժեքները փոխարինում ենք ընդհանուր լուծման մեջ.

Պատասխան.մասնավոր լուծում.

Դիտարկված է հաստատուն գործակիցներով ավելի բարձր կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման մեթոդ Լագրանժի հաստատունների փոփոխության մեթոդով։ Լագրանժի մեթոդը կիրառելի է նաև ցանկացած գծային անհամասեռ հավասարումների լուծման համար, եթե հայտնի է միատարր հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը։

Բովանդակություն

Տես նաեւ:

Լագրանժի մեթոդ (հաստատունների փոփոխություն)

Դիտարկենք գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարում կամայական n-րդ կարգի հաստատուն գործակիցներով.
(1) .
Մեր կողմից դիտարկված մշտական ​​տատանումների մեթոդը առաջին կարգի հավասարումներ, կիրառելի է նաև ավելի բարձր կարգի հավասարումների համար։

Լուծումն իրականացվում է երկու փուլով. Առաջին փուլում մենք հեռացնում ենք աջ կողմը և լուծում ենք միատարր հավասարումը։ Արդյունքում ստանում ենք n կամայական հաստատուն պարունակող լուծում։ Երկրորդ քայլում մենք փոփոխում ենք հաստատունները: Այսինքն՝ մենք համարում ենք, որ այս հաստատունները x անկախ փոփոխականի ֆունկցիաներ են և գտնում ենք այդ ֆունկցիաների ձևը։

Չնայած մենք այստեղ դիտարկում ենք հաստատուն գործակիցներով հավասարումներ, բայց Լագրանժի մեթոդը կիրառելի է նաև ցանկացած գծային անհամասեռ հավասարումների լուծման համար. Դրա համար, սակայն, պետք է հայտնի լինի միատարր հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը։

Քայլ 1. Միատարր հավասարման լուծում

Ինչպես առաջին կարգի հավասարումների դեպքում, մենք նախ փնտրում ենք միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը՝ ճիշտ անհամասեռ մասը հավասարեցնելով զրոյի.
(2) .
Նման հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև.
(3) .
Ահա կամայական հաստատուններ. - միատարր (2) հավասարման n գծային անկախ լուծումներ, որոնք կազմում են այս հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը:

Քայլ 2. հաստատունների տատանումներ - հաստատունների փոխարինում ֆունկցիաներով

Երկրորդ քայլում մենք կզբաղվենք հաստատունների փոփոխությամբ: Այլ կերպ ասած, հաստատունները կփոխարինենք x անկախ փոփոխականի ֆունկցիաներով.
.
Այսինքն, մենք փնտրում ենք սկզբնական (1) հավասարման լուծում հետևյալ ձևով.
(4) .

Եթե ​​(4)-ը փոխարինենք (1-ով), ապա կստանանք մեկ դիֆերենցիալ հավասարում n ֆունկցիաների համար: Այս դեպքում մենք կարող ենք կապել այս գործառույթները լրացուցիչ հավասարումներով։ Այնուհետև դուք ստանում եք n հավասարումներ, որոնցից կարող եք որոշել n ֆունկցիա։ Լրացուցիչ հավասարումները կարող են գրվել տարբեր ձևերով: Բայց մենք այնպես կանենք, որ լուծումն ունենա ամենապարզ ձևը։ Դա անելու համար տարբերակելիս անհրաժեշտ է հավասարեցնել ֆունկցիաների ածանցյալներ պարունակող զրոյական տերմինների։ Եկեք ցույց տանք սա.

Առաջարկվող լուծումը (4) փոխարինելու սկզբնական հավասարման մեջ (1), մենք պետք է գտնենք (4) ձևով գրված ֆունկցիայի առաջին n կարգերի ածանցյալները: Տարբերակել (4)՝ կիրառելով գումարի տարբերակման կանոններԵվ աշխատանքները :
.
Եկեք խմբավորենք անդամներին. Սկզբում մենք դուրս ենք գրում տերմինները ածանցյալներով, իսկ հետո տերմինները ածանցյալներով.

.
Մենք առաջին պայմանը դնում ենք գործառույթների վրա.
(5.1) .
Այնուհետև առաջին ածանցյալի արտահայտությունը կունենա ավելի պարզ ձև.
(6.1) .

Նույն կերպ մենք գտնում ենք երկրորդ ածանցյալը.

.
Գործառույթների վրա դնում ենք երկրորդ պայմանը.
(5.2) .
Հետո
(6.2) .
Եվ այսպես շարունակ։ Լրացուցիչ պայմաններում ֆունկցիաների ածանցյալները պարունակող տերմինները հավասարեցնում ենք զրոյի։

Այսպիսով, եթե ընտրենք հետևյալ լրացուցիչ հավասարումները ֆունկցիաների համար.
(5.k) ,
այնուհետև առաջին ածանցյալները կունենան ամենապարզ ձևը.
(6.k) .
Այստեղ .

Մենք գտնում ենք n-րդ ածանցյալը.
(6.n)
.

Մենք փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ (1).
(1) ;






.
Մենք հաշվի ենք առնում, որ բոլոր գործառույթները բավարարում են (2) հավասարումը.
.
Այնուհետև պարունակող տերմինների գումարը տալիս է զրո: Արդյունքում մենք ստանում ենք.
(7) .

Արդյունքում մենք ունենք համակարգ գծային հավասարումներածանցյալների համար.
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Լուծելով այս համակարգը՝ մենք գտնում ենք ածանցյալների արտահայտություններ՝ որպես x-ի ֆունկցիաներ: Ինտեգրվելով՝ մենք ստանում ենք.
.
Ահա հաստատուններ, որոնք այլևս կախված չեն x-ից: Փոխարինելով (4-ով)՝ ստանում ենք սկզբնական հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Նկատի ունեցեք, որ մենք երբեք չենք օգտագործել այն փաստը, որ a i գործակիցները հաստատուն են ածանցյալների արժեքները որոշելու համար: Ահա թե ինչու Լագրանժի մեթոդը կիրառելի է ցանկացած գծային անհամասեռ հավասարումներ լուծելու համար, եթե հայտնի է միատարր հավասարման (2) լուծումների հիմնարար համակարգը։

Օրինակներ

Հավասարումները լուծել հաստատունների փոփոխության մեթոդով (Լագրանժ):


Օրինակների լուծում > > >

Տես նաեւ: Առաջին կարգի հավասարումների լուծումը հաստատուն տատանումների մեթոդով (Լագրանժ)
Բարձր կարգի հավասարումների լուծում Բեռնուլիի մեթոդով
Գծային անհամասեռ բարձրագույն կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում մշտական ​​գործակիցներով գծային փոխարինմամբ