Ընդհանուր դեպքում այս խնդիրը ներառում է ստեղծագործական մոտեցում, քանի որ դրա լուծման ունիվերսալ մեթոդ գոյություն չունի։ Այնուամենայնիվ, փորձենք մի քանի հուշում տալ.

Դեպքերի ճնշող մեծամասնությունում բազմանդամի տարրալուծումը գործոնների հիմնված է Բեզութի թեորեմի հետևանքով, այսինքն՝ արմատը գտնվել կամ ընտրվել է, և բազմանդամի աստիճանը կրճատվում է մեկով՝ բաժանելով։ Ստացված բազմանդամը փնտրում է արմատ և գործընթացը կրկնվում է մինչև ամբողջական ընդլայնումը:

Եթե ​​արմատը հնարավոր չէ գտնել, ապա օգտագործվում են տարրալուծման հատուկ մեթոդներ՝ խմբավորումից մինչև լրացուցիչ փոխադարձ բացառող տերմինների ներմուծում։

Հետագա ներկայացումը հիմնված է հավասարումների լուծման հմտությունների վրա ավելի բարձր աստիճաններամբողջ թվային գործակիցներով։

Ընդհանուր գործոնի փակագծում:

Սկսենք ամենապարզ դեպքից, երբ ազատ անդամը հավասար է զրոյի, այսինքն՝ բազմանդամն ունի .

Ակնհայտ է, որ նման բազմանդամի արմատը , այսինքն՝ բազմանդամը կարող է ներկայացվել որպես .

Այս մեթոդը ոչ այլ ինչ է, քան փակագծերից հանելով ընդհանուր գործոնը.

Օրինակ.

Երրորդ աստիճանի բազմանդամը տարրալուծել գործոնների.

Լուծում.

Ակնհայտ է, որ բազմանդամի արմատն է, այսինքն. Xկարելի է փակագծել՝

Գտնենք արմատները քառակուսի եռանկյուն

Այսպիսով,

Էջի վերևում

Ռացիոնալ արմատներով բազմանդամի գործոնացում.

Նախ դիտարկենք ձևի ամբողջ թվային գործակիցներով բազմանդամի ընդլայնման մեթոդը, ամենաբարձր աստիճանի գործակիցը հավասար է մեկի:

Այս դեպքում, եթե բազմանդամն ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանք ազատ անդամի բաժանիչներ են։

Օրինակ.

Լուծում.

Եկեք ստուգենք, արդյոք կան ամբողջ թվային արմատներ: Դա անելու համար մենք դուրս ենք գրում թվի բաժանարարները -18 : Այսինքն, եթե բազմանդամն ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանք դուրս գրված թվերի թվում են։ Եկեք ստուգենք այս թվերը հաջորդաբար՝ ըստ Հորների սխեմայի։ Դրա հարմարությունը կայանում է նրանում, որ վերջում մենք կստանանք նաև բազմանդամի ընդլայնման գործակիցները.

Այն է, x=2Եվ x=-3սկզբնական բազմանդամի արմատներն են և այն կարող է ներկայացվել որպես արտադրյալ.

Մնում է ընդլայնել քառակուսի եռանկյունը։

Այս եռանդամի տարբերակիչը բացասական է, հետևաբար այն չունի իրական արմատներ։

Պատասխան.

Մեկնաբանություն:

Հորների սխեմայի փոխարեն կարելի էր օգտագործել արմատի ընտրությունը և բազմանդամի հետագա բաժանումը բազմանդամի վրա։

Այժմ դիտարկենք ձևի ամբողջ թվային գործակիցներով բազմանդամի ընդլայնումը, և ամենաբարձր աստիճանի գործակիցը հավասար չէ մեկի:

Այս դեպքում բազմանդամը կարող է ունենալ կոտորակային ռացիոնալ արմատներ։

Օրինակ.

Գործոնացնել արտահայտությունը:

Լուծում.

Փոփոխականը փոխելով y=2x, անցնում ենք ամենաբարձր աստիճանի մեկին հավասար գործակից ունեցող բազմանդամի։ Դա անելու համար մենք նախ բազմապատկում ենք արտահայտությունը 4 .

Եթե ​​ստացված ֆունկցիան ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանք ազատ անդամի բաժանարարների թվում են։ Եկեք գրենք դրանք.

Հաջորդաբար հաշվարկեք ֆունկցիայի արժեքները g(y)այս կետերում մինչև զրոյի հասնելը:

Այն է, y=-5արմատն է , հետևաբար, սկզբնական ֆունկցիայի արմատն է։ Կատարենք բազմանդամի սյունակով (անկյունով) բաժանումը երկանդամի.

Այսպիսով,

Ցանկալի չէ շարունակել ստուգել մնացած բաժանարարները, քանի որ ստացված քառակուսի եռանկյունը ավելի հեշտ է ֆակտորիզացնել։

Հետևաբար,

Անհայտ բազմանդամներ. Բազմանդամի բաշխման թեորեմը dobutok-ում անգիտակցաբար. Բազմանդամի կանոնական դասավորությունը:

Շատ հաճախ կոտորակի համարիչը և հայտարարը հանրահաշվական արտահայտություններ են, որոնք նախ պետք է բաժանել գործոնների, այնուհետև, գտնելով նույնը նրանց մեջ, բաժանել և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը, այսինքն՝ կրճատել կոտորակը: 7-րդ դասարանի հանրահաշիվ դասագրքի մի ամբողջ գլուխ նվիրված է բազմանդամի ֆակտորիզացման առաջադրանքներին: Ֆակտորինգ կարելի է անել 3 ճանապարհ, ինչպես նաև այս մեթոդների համակցությունը:

1. Բազմապատկման կրճատ բանաձեւերի կիրառում

Ինչպես հայտնի է բազմանդամը բազմապատկել բազմանդամով, անհրաժեշտ է մեկ բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամը բազմապատկել մյուս բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամով և ավելացնել ստացված արտադրյալները։ Կան բազմանդամների բազմապատկման առնվազն 7 (յոթ) ընդհանուր դեպքեր, որոնք ներառված են հայեցակարգում: Օրինակ,

Աղյուսակ 1. Ֆակտորիզացիա 1-ին ճանապարհով

2. Ընդհանուր գործոնը փակագծից հանելը

Այս մեթոդը հիմնված է բազմապատկման բաշխիչ օրենքի կիրառման վրա։ Օրինակ,

Բնօրինակ արտահայտության յուրաքանչյուր տերմինը բաժանում ենք այն գործակցի վրա, որը հանում ենք, և միևնույն ժամանակ ստանում ենք փակագծերի արտահայտությունը (այսինքն՝ եղածը մեր հանածի վրա բաժանելու արդյունքը մնում է փակագծերում)։ Նախևառաջ անհրաժեշտ է ճիշտ որոշել բազմապատկիչը, որը պետք է փակագծված լինի։

Փակագծերում բազմանդամը կարող է նաև ընդհանուր գործոն լինել.

«Factorize» առաջադրանքը կատարելիս պետք է հատկապես զգույշ լինել ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելիս նշանների նկատմամբ։ Փակագծում յուրաքանչյուր անդամի նշանը փոխելու համար (բ - ա), հանում ենք ընդհանուր գործոնը -1 , մինչդեռ փակագծում յուրաքանչյուր անդամ բաժանվում է -1-ի. (բ - ա) = - (ա - բ) .

Այն դեպքում, երբ փակագծերում արտահայտությունը քառակուսի է (կամ ցանկացած նույնիսկ աստիճան), դա փակագծերում գտնվող թվերը կարող են փոխանակվել ամբողջովին անվճար, քանի որ փակագծերից հանված մինուսները բազմապատկելիս դեռ կվերածվեն պլյուսի. (բ - ա) 2 = (ա - բ) 2, (բ - ա) 4 = (ա - բ) 4 և այլն…

3. Խմբավորման մեթոդ

Երբեմն արտահայտության մեջ ոչ բոլոր տերմիններն ունեն ընդհանուր գործոն, այլ միայն որոշները: Ապա դուք կարող եք փորձել խմբային պայմաններ փակագծերում, որպեսզի յուրաքանչյուրից որոշ գործոն հանվի: Խմբավորման մեթոդընդհանուր գործոնների կրկնակի փակագծում է:

4. Միանգամից մի քանի մեթոդների կիրառում

Երբեմն անհրաժեշտ է կիրառել ոչ թե մեկ, այլ մի քանի եղանակ՝ բազմանդամը գործոնների միանգամից վերածելու համար:

Սա թեմայի ամփոփումն է։ «Ֆակտորիզացիա». Ընտրեք հաջորդ քայլերը.

• Անցեք հաջորդ վերացականին.

Արտադրանք ստանալու համար բազմանդամների ընդլայնումը երբեմն շփոթեցնող է թվում: Բայց դա այնքան էլ դժվար չէ, եթե դուք քայլ առ քայլ հասկանաք գործընթացը։ Հոդվածը մանրամասնում է, թե ինչպես կարելի է ֆակտորիզացնել քառակուսի եռանկյունը:

Շատերը չեն հասկանում, թե ինչպես կարելի է ֆակտորիզացնել քառակուսի եռանկյունը և ինչու է դա արվում: Սկզբում կարող է թվալ, որ սա անօգուտ վարժություն է։ Բայց մաթեմատիկայում ոչինչ հենց այնպես չի արվում։ Փոխակերպումն անհրաժեշտ է արտահայտությունը պարզեցնելու և հաշվարկի հարմարության համար:

Բազմանդամ, որն ունի ax² + bx + c ձև, կոչվում է քառակուսի եռանդամ:«ա» տերմինը պետք է լինի բացասական կամ դրական: Գործնականում այս արտահայտությունը կոչվում է քառակուսի հավասարում: Հետեւաբար, երբեմն նրանք այլ կերպ են ասում՝ ինչպես ընդլայնել քառակուսի հավասարումը:

Հետաքրքիր է!Քառակուսի բազմանդամը կոչվում է իր ամենամեծ աստիճանի պատճառով՝ քառակուսի: Եվ եռանկյուն՝ 3 բաղադրիչ տերմինների պատճառով։

Բազմանդամների մի քանի այլ տեսակներ.

• գծային երկանդամ (6x+8);
• խորանարդ քառանկյուն (x³+4x²-2x+9):

Քառակուսի եռանդամի գործոնացում

Նախ, արտահայտությունը հավասար է զրոյի, ապա պետք է գտնել x1 և x2 արմատների արժեքները: Կարող է արմատներ չլինեն, կարող են լինել մեկ կամ երկու արմատ: Արմատների առկայությունը որոշվում է տարբերակիչով: Դրա բանաձեւը պետք է անգիր հայտնի լինի՝ D=b²-4ac:

Եթե ​​D-ի արդյունքը բացասական է, արմատներ չկան։ Եթե ​​դրական է, ապա երկու արմատ կա. Եթե ​​արդյունքը զրոյական է, ապա արմատը մեկ է: Արմատները նույնպես հաշվարկվում են բանաձևով.

Եթե ​​դիսկրիմինանտի հաշվարկը զրոյի է բերում, կարող եք կիրառել բանաձևերից որևէ մեկը: Գործնականում բանաձևը պարզապես կրճատ է՝ -b / 2a:

Տարբերակիչի տարբեր արժեքների բանաձևերը տարբեր են:

Եթե ​​D-ն դրական է.

Եթե ​​D-ն զրո է.

Առցանց հաշվիչներ

Համացանցն ունի առցանց հաշվիչ. Այն կարող է օգտագործվել ֆակտորիզացիայի համար: Որոշ ռեսուրսներ լուծումը քայլ առ քայլ տեսնելու հնարավորություն են տալիս։ Նման ծառայություններն օգնում են ավելի լավ հասկանալ թեման, բայց պետք է փորձել լավ հասկանալ։

Օգտակար տեսանյութ՝ քառակուսի եռանկյունի ֆակտորինգ

Օրինակներ

Հրավիրում ենք դիտելու պարզ օրինակներինչպես ֆակտորիզացնել քառակուսի հավասարումը:

Օրինակ 1

Այստեղ հստակ ցույց է տրվում, որ արդյունքը կլինի երկու x, քանի որ D-ն դրական է։ Նրանք պետք է փոխարինվեն բանաձևով: Եթե ​​արմատները բացասական են, ապա բանաձևի նշանը հակադարձվում է:

Մենք գիտենք քառակուսի եռանդամի գործակցման բանաձևը՝ a(x-x1)(x-x2): Արժեքները դնում ենք փակագծերում՝ (x+3)(x+2/3): Ցուցանիշում տերմինից առաջ թիվ չկա: Սա նշանակում է, որ կա միավոր, այն իջեցված է։

Օրինակ 2

Այս օրինակը հստակ ցույց է տալիս, թե ինչպես կարելի է լուծել մեկ արմատ ունեցող հավասարումը:

Փոխարինեք ստացված արժեքը.

Օրինակ 3

Տրված է՝ 5x²+3x+7

Նախ, մենք հաշվարկում ենք խտրականությունը, ինչպես նախորդ դեպքերում:

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Խտրականը բացասական է, ինչը նշանակում է, որ արմատներ չկան:

Արդյունքը ստանալուց հետո արժե բացել փակագծերը և ստուգել արդյունքը։ Բնօրինակ եռանկյունը պետք է հայտնվի:

Այլընտրանքային լուծում

Որոշ մարդիկ երբեք չեն կարողացել ընկերանալ խտրականի հետ։ Քառակուսի եռանկյունը ֆակտորիզացնելու մեկ այլ եղանակ կա: Հարմարության համար մեթոդը ներկայացված է օրինակով:

Տրված է՝ x²+3x-10

Մենք գիտենք, որ պետք է ավարտենք 2 փակագծով՝ (_)(_): Երբ արտահայտությունն այսպիսի տեսք ունի՝ x² + bx + c, յուրաքանչյուր փակագծի սկզբում դնում ենք x՝ (x_) (x_): Մնացած երկու թվերն այն արտադրյալն են, որը տալիս է «c», այսինքն՝ -10 այս դեպքում: Պարզելու համար, թե որոնք են այս թվերը, կարող եք օգտագործել միայն ընտրության մեթոդը: Փոխարինված թվերը պետք է համապատասխանեն մնացած ժամկետին:

Օրինակ՝ հետևյալ թվերը բազմապատկելով՝ ստացվում է -10.

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Ոչ
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Ոչ
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Ոչ
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Տեղավորվում է.

Այսպիսով, x2+3x-10 արտահայտության փոխակերպումն ունի հետևյալ տեսքը՝ (x-2)(x+5):

Կարևոր.Դուք պետք է զգույշ լինեք, որպեսզի չշփոթեք նշանները:

Բարդ եռանդամի տարրալուծում

Եթե ​​«ա»-ն մեկից մեծ է, դժվարություններ են սկսվում։ Բայց ամեն ինչ այնքան էլ դժվար չէ, որքան թվում է։

Ֆակտորիզացնելու համար նախ պետք է տեսնել, թե հնարավո՞ր է ինչ-որ բան հանել:

Օրինակ՝ տրված է 3x²+9x-30 արտահայտությունը: Այստեղ փակագծերից հանված է 3 թիվը.

3 (x²+3x-10): Արդյունքը արդեն հայտնի եռանդամն է։ Պատասխանն ունի հետևյալ տեսքը՝ 3(x-2)(x+5)

Ինչպե՞ս տարրալուծվել, եթե քառակուսի տերմինը բացասական է: Այս դեպքում փակագծից հանվում է -1 թիվը։ Օրինակ՝ -x²-10x-8: Այնուհետև արտահայտությունը կունենա հետևյալ տեսքը.

Սխեման քիչ է տարբերվում նախորդից: Միայն մի քանի նոր բան կա։ Ենթադրենք տրված է արտահայտությունը՝ 2x²+7x+3: Պատասխանը գրված է նաև 2 փակագծերում, որոնք պետք է լրացվեն (_) (_): 2-րդ փակագծում գրված է X, իսկ 1-ինում մնացածը։ Կարծես հետևյալն է՝ (2x_)(x_): Հակառակ դեպքում կրկնվում է նախորդ սխեման։

3 համարը տալիս է թվերը.

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Հավասարումները լուծում ենք՝ փոխարինելով տրված թվերը։ Վերջին տարբերակը տեղավորվում է. Այսպիսով, 2x²+7x+3 արտահայտության փոխակերպումն ունի հետևյալ տեսքը՝ (2x+1)(x+3):

Այլ դեպքեր

Միշտ չէ, որ հնարավոր է փոխակերպել արտահայտությունը: Երկրորդ մեթոդով հավասարման լուծումը պարտադիր չէ։ Բայց տերմինները ապրանքի վերածելու հնարավորությունը ստուգվում է միայն դիսկրիմինատորի միջոցով։

Արժե որոշել պրակտիկան քառակուսի հավասարումներորպեսզի բանաձևեր օգտագործելիս դժվարություններ չլինեն։

Օգտակար տեսանյութ՝ եռանդամի ֆակտորիզացիա

Եզրակացություն

Դուք կարող եք այն օգտագործել ցանկացած ձևով: Բայց ավելի լավ է աշխատել երկուսն էլ դեպի ավտոմատիզմ: Նաև նրանք, ովքեր պատրաստվում են իրենց կյանքը կապել մաթեմատիկայի հետ, պետք է սովորեն, թե ինչպես լավ լուծել քառակուսի հավասարումները և բազմանդամները տարրալուծել գործոնների: Բոլոր հետևյալ մաթեմատիկական թեմաները կառուցված են սրա վրա։

հետ շփման մեջ

Այս առցանց հաշվիչը նախատեսված է ֆունկցիայի ֆակտորիզացիայի համար:

Օրինակ՝ ֆակտորիզացնել՝ x 2 /3-3x+12: Գրենք որպես x^2/3-3*x+12: Կարող եք նաև օգտվել այս ծառայությունից, որտեղ բոլոր հաշվարկները պահվում են Word ձևաչափով։

Օրինակ՝ տարրալուծել տերմինների։ Եկեք այն գրենք որպես (1-x^2)/(x^3+x) . Լուծման առաջընթացը տեսնելու համար սեղմեք Ցույց տալ քայլերը: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է արդյունքը ստանալ Word ձևաչափով, օգտվեք այս ծառայությունից:

Նշում«pi» թիվը (π) գրվում է pi ; քառակուսի արմատը որպես sqrt, օրինակ՝ sqrt(3), tg-ի շոշափողը գրվում է որպես tan: Պատասխանի համար տե՛ս «Այլընտրանք» բաժինը:

1. Եթե ​​տրված է պարզ արտահայտություն, օրինակ՝ 8*d+12*c*d, ապա արտահայտության ֆակտորավորումը նշանակում է գործոնավորել արտահայտությունը։ Դա անելու համար հարկավոր է ընդհանուր գործոններ գտնել: Այս արտահայտությունը գրում ենք հետևյալ կերպ՝ 4*d*(2+3*c) .
2. Արտադրյալն արտահայտեք երկու երկանդամների տեսքով՝ x 2 + 21yz + 7xz + 3xy: Այստեղ մենք արդեն պետք է գտնենք մի քանի ընդհանուր գործոն՝ x(x + 7z) + 3y(x + 7z): Հանում ենք (x+7z) և ստանում՝ (x+7z)(x + 3y) .

տես նաև Բազմանդամների բաժանումը անկյունով (ցուցված են սյունակով բաժանման բոլոր քայլերը)

Օգտակար են ֆակտորիզացիայի կանոնները սովորելիս կրճատված բազմապատկման բանաձևեր, որով պարզ կլինի, թե ինչպես կարելի է բացել փակագծերը քառակուսիով.

1. (ա+բ) 2 = (ա+բ)(ա+բ) = ա 2 +2աբ+բ 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Ֆակտորինգի մեթոդներ

Մի քանի հնարքներ սովորելուց հետո ֆակտորիզացիալուծումները կարելի է դասակարգել հետևյալ կերպ.

1. Օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը:
2. Որոնեք ընդհանուր գործոն:

Սա արտահայտությունը պարզեցնելու ամենատարրական եղանակներից մեկն է։ Այս մեթոդը կիրառելու համար հիշենք գումարման նկատմամբ բազմապատկման բաշխիչ օրենքը (մի վախեցեք այս բառերից, դուք հաստատ գիտեք այս օրենքը, պարզապես գուցե մոռացել եք դրա անունը):

Օրենքն ասում է՝ երկու թվերի գումարը երրորդ թվով բազմապատկելու համար պետք է յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկել այս թվով և ավելացնել արդյունքները, այլ կերպ ասած՝։

Դուք կարող եք նաև հակադարձ գործողություն կատարել, և հենց այս հակադարձ գործողությունն է մեզ հետաքրքրում: Ինչպես երևում է նմուշից, ընդհանուր գործոնը a, կարելի է հանել փակագծից:

Նմանատիպ գործողություն կարող է կատարվել ինչպես փոփոխականներով, ինչպիսիք են և, օրինակ, այնպես էլ թվերով.

Այո, սա չափազանց տարրական օրինակ է, ճիշտ այնպես, ինչպես նախկինում տրված օրինակը, թվի ընդլայնմամբ, քանի որ բոլորը գիտեն, թե թվերը ինչ են և բաժանվում են, բայց եթե ավելի բարդ արտահայտություն ստանաք.

Ինչպե՞ս պարզել, թե ինչի է բաժանվում, օրինակ, թիվը, ոչ, հաշվիչով ցանկացած մարդ կարող է, բայց առանց դրա թույլ է: Եվ դրա համար կան բաժանելիության նշաններ, այս նշաններն իսկապես արժե իմանալ, դրանք կօգնեն արագ հասկանալ՝ հնարավո՞ր է արդյոք ընդհանուր գործոնը հանել փակագծից։

Բաժանելիության նշաններ

Նրանց հիշելը այնքան էլ դժվար չէ, ամենայն հավանականությամբ, նրանցից շատերն արդեն ծանոթ էին ձեզ, և ինչ-որ բան կլինի նոր օգտակար բացահայտում, ավելի մանրամասն աղյուսակում.

Նշում. Աղյուսակում բացակայում է 4-ի բաժանելիության նշանը: Եթե ​​վերջին երկու թվանշանները բաժանվում են 4-ի, ապա ամբողջ թիվը բաժանվում է 4-ի։

Դե, ինչպես եք սիրում նշանը: Խորհուրդ եմ տալիս հիշել այն!

Լավ, վերադառնանք արտահայտությանը, միգուցե փակագծից հանենք ու հերի՞ք է դրանից։ Ո՛չ, մաթեմատիկոսների համար ընդունված է պարզեցնել, այնպես որ ամբողջությամբ, հանել այն ամենը, ինչ հանված է:

Եվ այսպես, խաղացողի հետ ամեն ինչ պարզ է, իսկ արտահայտության թվային մասի՞ մասին: Երկու թվերն էլ կենտ են, այնպես որ դուք չեք կարող բաժանել

Դուք կարող եք օգտագործել բաժանելիության նշանը թվանշանների գումարի վրա, և որից բաղկացած է թիվը, հավասար է և բաժանվում է, ինչը նշանակում է, որ այն բաժանվում է:

Իմանալով դա, դուք կարող եք ապահով կերպով բաժանվել սյունակի, որի արդյունքում մենք ստանում ենք բաժանման նշաններ (բաժանելիության նշանները հարմար էին): Այսպիսով, մենք կարող ենք թիվը հանել փակագծից, ինչպես y-ն, և արդյունքում կունենանք.

Համոզվելու համար, որ ամեն ինչ ճիշտ է քայքայվել, կարող եք ստուգել ընդլայնումը բազմապատկելով:

Նաև ընդհանուր գործոնը կարելի է դուրս բերել ուժային արտահայտություններ. Այստեղ, օրինակ, ընդհանուր գործոնը տեսնո՞ւմ եք։

Այս արտահայտության բոլոր անդամներն ունեն x-եր՝ հանում ենք, բոլորը բաժանվում են՝ նորից հանում ենք, նայում ենք, թե ինչ է եղել.

2. Կրճատ բազմապատկման բանաձևեր

Կրճատված բազմապատկման բանաձևերը տեսականորեն արդեն նշվել են, եթե դժվար թե հիշեք, թե դա ինչ է, ապա դրանք պետք է թարմացնեք ձեր հիշողության մեջ։

Դե, եթե դուք ձեզ շատ խելացի եք համարում և չափազանց ծույլ եք կարդալու նման տեղեկատվության ամպ, ապա պարզապես կարդացեք, նայեք բանաձևերին և անմիջապես վերցրեք օրինակները:

Այս տարրալուծման էությունը կայանում է նրանում, որ ձեր առջև դրված արտահայտության մեջ ինչ-որ որոշակի բանաձև նշեք, կիրառեք այն և այդպիսով ստացեք ինչ-որ բանի և ինչ-որ բանի արտադրյալը, ահա ամբողջ տարրալուծումը: Հետևյալ բանաձևերն են.

Այժմ փորձեք գործակցել հետևյալ արտահայտությունները՝ օգտագործելով վերը նշված բանաձևերը.

Եվ ահա թե ինչ պետք է տեղի ունենար.

Ինչպես նկատեցիք, այս բանաձևերը ֆակտորինգի շատ արդյունավետ միջոց են, այն միշտ չէ, որ հարմար է, բայց կարող է շատ օգտակար լինել:

3. Խմբավորման կամ խմբավորման մեթոդ

Ահա ևս մեկ օրինակ ձեզ համար.

Դե, ինչ եք պատրաստվում անել դրա հետ: Թվում է, թե այն բաժանվում է ինչ-որ բանի վրա և ինչ-որ բանի, և ինչ-որ բանի մեջ և մեջ

Բայց դուք չեք կարող ամեն ինչ միասին բաժանել մեկ բանի, լավ ընդհանուր գործոն չկա, ինչպե՞ս չփնտրել ինչն ու թողնել առանց ֆակտորինգի։

Այստեղ դուք պետք է հնարամտություն դրսևորեք, և այս հնարամտության անունը խմբավորում է:

Այն կիրառվում է, երբ ընդհանուր բաժանարարներՈչ բոլոր անդամներն ունեն: Խմբավորման համար անհրաժեշտ է Գտեք տերմինների խմբեր, որոնք ունեն ընդհանուր բաժանարարներև վերադասավորիր դրանք այնպես, որ յուրաքանչյուր խմբից ստացվի նույն բազմապատկիչը:

Իհարկե, պետք չէ տեղ-տեղ վերադասավորվել, բայց դա տեսանելիություն է տալիս, պարզության համար կարող եք արտահայտության առանձին հատվածներ վերցնել փակագծերում, արգելված չէ դրանք դնել այնքան, որքան ցանկանում եք, գլխավորը՝ չ շփոթել նշանները.

Այս ամենը շատ պարզ չէ՞: Բացատրեմ օրինակով.

Բազմանդամում - դրեք անդամ - անդամից հետո - ստանում ենք

առաջին երկու անդամները խմբավորում ենք առանձին փակագծում և նույն կերպ խմբավորում ենք երրորդ և չորրորդ անդամները՝ փակագծից դուրս թողնելով մինուս նշանը, ստանում ենք.

Եվ հիմա մենք առանձին-առանձին նայում ենք այն երկու «կույտերից» յուրաքանչյուրին, որոնց մեջ մենք կոտրել ենք արտահայտությունը փակագծերով։

Խնդիրն այն է, որ այն տրոհվի այնպիսի կույտերի, որոնցից հնարավոր կլինի հանել հնարավոր ամենամեծ գործոնը, կամ, ինչպես այս օրինակում, փորձենք խմբավորել անդամներին այնպես, որ գործոնները կույտերից փակագծերից հանելուց հետո մենք. փակագծերում ունեն նույն արտահայտությունները:

Երկու փակագծերից էլ առաջին փակագծից հանում ենք անդամների ընդհանուր գործակիցները, իսկ երկրորդ փակագծից ստանում ենք.

Բայց դա տարրալուծում չէ:

Պէշտարրալուծումը պետք է մնա միայն բազմապատկում, բայց առայժմ մենք ունենք մի բազմանդամ ուղղակի բաժանված երկու մասի...

ԲԱՅՑ Այս բազմանդամն ունի ընդհանուր գործոն. Սա

փակագծից դուրս, և մենք ստանում ենք վերջնական արտադրանքը

Բինգո Ինչպես տեսնում եք, արդեն արտադրյալ կա և փակագծերից դուրս ոչ ավելացում կա, ոչ հանում, տարրալուծումն ավարտված է, քանի որ. փակագծերից հանելու բան չունենք։

Կարող է հրաշք թվալ, որ գործոնները փակագծերից հանելուց հետո փակագծերում դեռ ունենք նույն արտահայտությունները, որոնք, դարձյալ, հանել ենք փակագծերից։

Եվ սա ամենևին էլ հրաշք չէ, փաստն այն է, որ դասագրքերում և քննության օրինակները հատուկ արված են այնպես, որ առաջադրանքների արտահայտությունների մեծ մասը պարզեցման կամ ֆակտորիզացիադրանց նկատմամբ ճիշտ մոտեցման դեպքում դրանք հեշտությամբ պարզեցվում են և կոճակ սեղմելիս կտրուկ փլվում են հովանոցի պես, ուստի յուրաքանչյուր արտահայտության մեջ փնտրեք հենց այդ կոճակը:

Ինչ-որ բան շեղում եմ, ի՞նչ ունենք այնտեղ պարզեցմամբ։ Բարդ բազմանդամն ավելի պարզ ձև է ստացել.

Համաձայնեք, ոչ այնքան ծավալուն, որքան նախկինում էր:

4. Լրիվ քառակուսու ընտրություն:

Երբեմն, կրճատ բազմապատկման բանաձևերը կիրառելու համար (կրկնել թեման), անհրաժեշտ է վերափոխել գոյություն ունեցող բազմանդամը՝ ներկայացնելով նրա անդամներից մեկը որպես երկու անդամների գումար կամ տարբերություն։

Որ դեպքում դուք պետք է դա անեք, դուք կսովորեք օրինակից.

Այս ձևով բազմանդամը չի կարող քայքայվել՝ օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը, ուստի այն պետք է փոխարկվի: Միգուցե սկզբում ձեզ համար ակնհայտ չլինի, թե որ տերմինին բաժանել, բայց ժամանակի ընթացքում դուք կսովորեք անմիջապես տեսնել կրճատված բազմապատկման բանաձևերը, նույնիսկ եթե դրանք ամբողջությամբ չկան, և դուք արագ կորոշեք, թե ինչն է այստեղ բացակայում: ամբողջական բանաձեւով, բայց առայժմ՝ սովորիր, ուսանող, ավելի ճիշտ՝ դպրոցական։

Տարբերության քառակուսու ամբողջական բանաձևի համար այստեղ ձեզ հարկավոր է. Ներկայացնենք երրորդ անդամը որպես տարբերություն, ստանում ենք՝ մենք կարող ենք կիրառել տարբերության քառակուսի բանաձևը փակագծերում դրված արտահայտության վրա։ (չշփոթել քառակուսիների տարբերության հետ!!!), ունենք՝ , այս արտահայտության համար կարող ենք կիրառել քառակուսիների տարբերության բանաձևը (չշփոթել քառակուսի տարբերության հետ!!!), պատկերացնելով, թե ինչպես, ստանում ենք.

Արտահայտությունը, որը միշտ չէ, որ հաշվի է առնվում գործոնների մեջ, ավելի պարզ և փոքր է թվում, քան տարրալուծվելուց առաջ, բայց այս ձևով այն դառնում է ավելի շարժուն, այն իմաստով, որ դուք չեք կարող անհանգստանալ նշանների փոփոխության և այլ մաթեմատիկական անհեթեթությունների մասին: Դե, ահա ձեզ համար անկախ որոշում, պետք է հաշվի առնել հետևյալ արտահայտությունները.

Օրինակներ.

Պատասխաններ

5. Քառակուսի եռանդամի գործոնացում

Քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիան տե՛ս ստորև՝ տարրալուծման օրինակներում:

Բազմանդամի գործակցման 5 մեթոդի օրինակներ

1. Ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելը. Օրինակներ.

Հիշո՞ւմ եք, թե որն է բաշխման օրենքը: Սա այսպիսի կանոն է.

Օրինակ:

Գործոնացնել բազմանդամը:

Լուծում:

Մեկ այլ օրինակ.

Բազմապատկել.

Լուծում:

Եթե ​​ամբողջ տերմինը հանվում է փակագծերից, ապա դրա փոխարեն մեկը մնում է փակագծերում։

2. Համառոտ բազմապատկման բանաձևեր. Օրինակներ.

Առավել հաճախ օգտագործվող բանաձևերն են քառակուսիների տարբերությունը, խորանարդների տարբերությունը և խորանարդների գումարը: Հիշո՞ւմ եք այս բանաձևերը: Եթե ​​ոչ, ապա շտապ կրկնել թեման:

Օրինակ:

Գործոնավորեք արտահայտությունը:

Լուծում:

Այս արտահայտության մեջ հեշտ է պարզել խորանարդների տարբերությունը.

Օրինակ:

Լուծում:

3. Խմբավորման մեթոդ. Օրինակներ

Երբեմն կարելի է տերմինները փոխանակել այնպես, որ հարևան տերմինների յուրաքանչյուր զույգից հանվի նույն գործոնը: Այս ընդհանուր գործոնը կարելի է հանել փակագծից և սկզբնական բազմանդամը կվերածվի արտադրյալի։

Օրինակ:

Դուրս բերեք բազմանդամը:

Լուծում:

Մենք խմբավորում ենք պայմանները հետևյալ կերպ.
.

Առաջին խմբում փակագծերից հանում ենք ընդհանուր գործոնը, իսկ երկրորդում՝ .
.

Այժմ փակագծերից կարելի է հանել նաև ընդհանուր գործոնը.
.

4. Լրիվ քառակուսու ընտրության մեթոդը. Օրինակներ.

Եթե ​​բազմանդամը կարելի է ներկայացնել որպես երկու արտահայտությունների քառակուսիների տարբերություն, մնում է միայն կիրառել կրճատված բազմապատկման բանաձևը (քառակուսիների տարբերություն):

Օրինակ:

Դուրս բերեք բազմանդամը:

Լուծում:Օրինակ:

\սկիզբ(զանգված)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(քառակուսի\ գումարներ\ ((\ձախ (x+3 \աջ))^(2)))-9-7=((\ձախ(x+3 \աջ))^(2))-16= \\
=\ ձախ (x + 3 + 4 \ աջ) \ ձախ (x + 3-4 \ աջ) = \ ձախ (x + 7 \ աջ) \ ձախ (x-1 \ աջ) \\
\վերջ (զանգված)

Դուրս բերեք բազմանդամը:

Լուծում:

\սկիզբ(զանգված)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(քառակուսի\ տարբերություններ((\left(((x)^(2))-2 \աջ))^(2)))-4-1=((\left(((x)^ (2))-2 \աջ))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \աջ) \\
\վերջ (զանգված)

5. Քառակուսի եռանդամի գործոնացում. Օրինակ.

Քառակուսի եռանդամը ձևի բազմանդամն է, որտեղ անհայտ է, որոշ թվեր են, ընդ որում:

Փոփոխական արժեքները, որոնք քառակուսի եռանդամի վերածում են զրոյի, կոչվում են եռանդամի արմատներ: Հետևաբար, եռանդամի արմատները քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Թեորեմ.

Օրինակ:

Եկեք գործոնացնենք քառակուսի եռանկյունը՝ .

Նախ լուծում ենք քառակուսի հավասարումը.

Հիմա ձեր կարծիքը...

Մենք մանրամասն նկարագրել ենք, թե ինչպես և ինչու պետք է ֆակտորիզացնել բազմանդամը:

Մենք բազմաթիվ օրինակներ բերեցինք, թե ինչպես դա անել գործնականում, մատնանշեցինք ծուղակները, տվեցինք լուծումներ ...

Ինչ ես ասում?

Ինչպե՞ս է ձեզ դուր գալիս այս հոդվածը: Դուք օգտվու՞մ եք այս հնարքներից։ Հասկանու՞մ եք դրանց էությունը։

Գրեք մեկնաբանություններում և... պատրաստվեք քննությանը։

Առայժմ դա ձեր կյանքում ամենակարեւորն է: