Հզորության բանաձևերօգտագործվում է կրճատման և պարզեցման գործընթացում բարդ արտահայտություններ, հավասարումներ և անհավասարություններ լուծելիս։

Թիվ գէ n- թվի հզորությունը աԵրբ:

Գործողություններ աստիճաններով.

1. Միևնույն հիմքով աստիճանները բազմապատկելով՝ դրանց ցուցիչները գումարվում են.

մի մa n = a m + n.

2. Նույն հիմքով աստիճանների բաժանման ժամանակ հանվում են դրանց ցուցանիշները.

3. 2 կամ ավելի գործակիցների արտադրյալի աստիճանը հավասար է այս գործոնների աստիճանների արտադրյալին.

(abc…) n = a n b n c n…

4. Կոտորակի աստիճանը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի աստիճանների հարաբերությանը.

(a/b) n = a n / b n .

5. Բարձրացնելով հզորությունը հզորության՝ աստիճանները բազմապատկվում են.

(am) n = a m n .

Վերը նշված յուրաքանչյուր բանաձև ճիշտ է ձախից աջ և հակառակ ուղղություններով:

Օրինակ. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Գործողություններ արմատներով.

1. Մի քանի գործոնների արտադրյալի արմատը հավասար է այս գործոնների արմատների արտադրյալին.

2. Հարաբերությունների արմատը հավասար է հարաբերակցությանըարմատների բաժանելի և բաժանարար.

3. Արմատը հզորության բարձրացնելիս բավական է արմատային թիվը հասցնել այս հզորության.

4. Եթե մեծացնենք արմատի աստիճանը ներս nմեկ անգամ և միևնույն ժամանակ բարձրացնել մինչև nրդ հզորությունը արմատային թիվ է, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.

5. Եթե իջեցնենք արմատի աստիճանը ներս nարմատը միաժամանակ nրդ աստիճան արմատական ​​թվից, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.

Բացասական ցուցիչով աստիճան:Ոչ դրական (ամբողջ) ցուցիչով թվի աստիճանը սահմանվում է որպես այն, որը բաժանվում է նույն թվի աստիճանի վրա, որի ցուցիչը հավասար է ոչ դրական ցուցիչի բացարձակ արժեքին.

Բանաձև մի մ:a n = a m - nկարող է օգտագործվել ոչ միայն մ> n, այլեւ ժ մ< n.

Օրինակ. ա4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Բանաձևին մի մ:a n = a m - nդարձավ արդար m=n, անհրաժեշտ է զրոյական աստիճանի առկայությունը։

Աստիճան զրոյական ցուցիչով:Զրոյական ցուցիչով ցանկացած ոչ զրոյական թվի հզորությունը հավասար է մեկի:

Օրինակ. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Աստիճան կոտորակային ցուցիչով:Իրական թիվ բարձրացնելու համար Ամի աստիճանի մ/ն, դուք պետք է հանեք արմատը n-րդ աստիճանի մայս թվի հզորությունը Ա.

Յուրաքանչյուր թվաբանական գործողություն երբեմն դառնում է չափազանց ծանր՝ գրանցելու համար, և նրանք փորձում են այն պարզեցնել: Նախկինում նույնն էր ավելացման գործողության դեպքում։ Անհրաժեշտ էր, որ մարդիկ նույն տեսակի կրկնակի հավելումներ կատարեին, օրինակ՝ հաշվարկեին հարյուր պարսկական գորգի արժեքը, որոնց արժեքը յուրաքանչյուրի համար կազմում է 3 ոսկի։ 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300: Մեծության պատճառով ենթադրվում էր, որ նշումը կրճատվում է մինչև 3 * 100 = 300: Փաստորեն, «երեք անգամ հարյուր» նշումը նշանակում է, որ դուք պետք է վերցնեք հարյուր եռապատիկ և ավելացրեք դրանք միասին: Բազմապատկումը արմատավորվեց, ընդհանուր ժողովրդականություն ձեռք բերեց։ Բայց աշխարհը կանգ չի առնում, և միջնադարում անհրաժեշտություն առաջացավ իրականացնել նույն տեսակի կրկնակի բազմապատկում։ Հիշում եմ մի հին հնդկական հանելուկ մի իմաստունի մասին, ով որպես վարձատրություն կատարած աշխատանքի համար ցորենի հատիկներ խնդրեց հետևյալ քանակությամբ. հինգերորդը՝ ութ և այլն։ Այսպես հայտնվեց հզորությունների առաջին բազմապատկումը, քանի որ հատիկների թիվը հավասար էր երկուսի բջջի թվի ուժին։ Օրինակ, վերջին բջիջի վրա կլիներ 2*2*2*…*2 = 2^63 հատիկ, որը հավասար է 18 նիշ երկարությամբ թվի, որն իրականում հանելուկի իմաստն է։

Հզորության բարձրացման օպերացիան բավականին արագ արմատավորվեց, ինչպես նաև արագ անհրաժեշտություն առաջացավ իրականացնել աստիճանների գումարում, հանում, բաժանում և բազմապատկում։ Վերջինս արժե ավելի մանրամասն դիտարկել: Ուժեր ավելացնելու բանաձևերը պարզ են և հեշտ հիշվող: Բացի այդ, շատ հեշտ է հասկանալ, թե որտեղից են դրանք գալիս, եթե հզորության գործառնությունը փոխարինվի բազմապատկմամբ։ Բայց նախ պետք է հասկանալ տարրական տերմինաբանությունը: a ^ b արտահայտությունը (կարդացեք «a-ն b-ի հզորությամբ») նշանակում է, որ a թիվը պետք է բազմապատկվի ինքն իրեն b անգամ, իսկ «a»-ն կոչվում է աստիճանի հիմք, իսկ «b»-ն արտահայտիչն է։ Եթե ​​հզորությունների հիմքերը նույնն են, ապա բանաձևերը ստացվում են բավականին պարզ: Կոնկրետ օրինակԳտեք 2^3 * 2^4 արտահայտության արժեքը: Իմանալու համար, թե ինչ պետք է տեղի ունենա, դուք պետք է իմանաք պատասխանը համակարգչում, նախքան լուծումը սկսելը: Այս արտահայտությունը տեղադրելով ցանկացած առցանց հաշվիչի, որոնման համակարգի մեջ՝ մուտքագրելով «բազմապատկելով աստիճանները տարբեր հիմքերև նույնը» կամ մաթեմատիկական փաթեթ, ելքը կլինի 128։ Այժմ գրենք այս արտահայտությունը՝ 2^3 = 2*2*2 և 2^4 = 2*2*2*2։ Ստացվում է, որ 2^ 3 * 2^4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 7 \u003d 2 ^ (3 + 4) ... Ստացվում է, որ նույն հիմքով հզորությունների արտադրյալն է. հավասար է նախորդ երկու հզորությունների գումարին հավասար հզորության բարձրացված հիմքին:

Դուք կարող եք մտածել, որ սա պատահականություն է, բայց ոչ. ցանկացած այլ օրինակ կարող է միայն հաստատել այս կանոնը: Այսպիսով, մեջ ընդհանուր տեսարանբանաձևն ունի հետևյալ տեսքը՝ a^n * a^m = a^(n+m) . Կա նաև կանոն, որ զրոյական հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի: Այստեղ պետք է հիշել բացասական ուժերի կանոնը՝ a^(-n) = 1 / a^n: Այսինքն, եթե 2^3 = 8, ապա 2^(-3) = 1/8: Օգտագործելով այս կանոնը՝ մենք կարող ենք ապացուցել a^0 = 1 հավասարությունը. a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) կարող է կրճատվել և մնում է մեկ: Այստեղից բխում է այն կանոնը, որ նույն հիմքերով հզորությունների քանորդը հավասար է այս հիմքին այն աստիճանով, որը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի քանորդին. a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) : Օրինակ՝ Պարզեցրե՛ք 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) արտահայտությունը: Բազմապատկումը կոմուտատիվ գործողություն է, ուստի բազմապատկման ցուցիչները նախ պետք է գումարվեն՝ 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Հաջորդ քայլը բաժանման հետ գործ ունենալն է բացասական աստիճան. Դիվիդենտի ցուցիչից անհրաժեշտ է հանել բաժանարարի աստիճանը՝ 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8: պարզվում է, որ բացասական աստիճանով բաժանելու գործողությունը նույնական է նմանատիպ դրական ցուցիչով բազմապատկելու գործողությանը։ Այսպիսով, վերջնական պատասխանը 8 է:

Կան օրինակներ, որտեղ տեղի է ունենում լիազորությունների ոչ կանոնական բազմապատկում։ Տարբեր հիմքերով հզորությունները բազմապատկելը շատ հաճախ շատ ավելի դժվար է, իսկ երբեմն նույնիսկ անհնար է: Պետք է տրվեն տարբեր հնարավոր մոտեցումների մի քանի օրինակներ: Օրինակ՝ պարզեցնել 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729 արտահայտությունը. Ակնհայտ է, որ տեղի է ունենում տարբեր հիմքերով հզորությունների բազմապատկում: Սակայն պետք է նշել, որ բոլոր հիմքերը եռակի տարբեր ուժեր են: 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6: Օգտագործելով (a^n) ^m = a^(n*m) կանոնը, դուք պետք է վերագրեք արտահայտությունը ավելի հարմար ձևով. 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7) -4+12 -10+6) = 3^(11) . Պատասխան՝ 3^11։ Այն դեպքերում, երբ տարբեր հիմքերով, վրա հավասար կատարումգործում է a^n * b^n = (a*b) ^n կանոնը։ Օրինակ, 3^3 * 7^3 = 21^3: Հակառակ դեպքում, երբ կան տարբեր հիմքեր ու ցուցանիշներ, անհնար է լիարժեք բազմապատկել։ Երբեմն դուք կարող եք մասամբ պարզեցնել կամ դիմել համակարգչային տեխնիկայի օգնությանը:

Մաթեմատիկայի աստիճան հասկացությունը ներդրվում է դեռևս 7-րդ դասարանում՝ հանրահաշվի դասաժամին: Եվ ապագայում, մաթեմատիկայի ուսումնասիրության ողջ ընթացքում, այս հասկացությունը ակտիվորեն օգտագործվում է իր տարբեր ձևերով: Դիպլոմները բավականին բարդ թեմա են, որը պահանջում է արժեքների անգիր և ճիշտ և արագ հաշվելու ունակություն: Մաթեմատիկայի աստիճանների հետ ավելի արագ և լավ աշխատանքի համար նրանք եկան աստիճանի հատկությունների: Դրանք օգնում են կրճատել մեծ հաշվարկները, հսկայական օրինակը որոշ չափով վերածել մեկ թվի։ Հատկություններն այնքան էլ շատ չեն, և դրանք բոլորը հեշտ է հիշել և կիրառել գործնականում: Հետևաբար, հոդվածում քննարկվում են աստիճանի հիմնական հատկությունները, ինչպես նաև որտեղ են դրանք կիրառվում:

աստիճանի հատկություններ

Մենք կդիտարկենք աստիճանի 12 հատկություն, ներառյալ նույն հիմքով հզորությունների հատկությունները, և յուրաքանչյուր հատկության համար կտանք օրինակ: Այս հատկություններից յուրաքանչյուրը կօգնի ձեզ ավելի արագ լուծել աստիճանների հետ կապված խնդիրները, ինչպես նաև կփրկի ձեզ բազմաթիվ հաշվողական սխալներից:

1-ին սեփականություն.

Շատերը հաճախ մոռանում են այս հատկության մասին, սխալվում են՝ զրոյական աստիճանի թիվը ներկայացնելով որպես զրո:

2-րդ սեփականություն.

3-րդ սեփականություն.

Պետք է հիշել, որ այս հատկությունը կարող է օգտագործվել միայն թվերը բազմապատկելիս, այն չի աշխատում գումարի հետ: Եվ չպետք է մոռանալ, որ այս և հետևյալ հատկությունները վերաբերում են միայն միևնույն բազա ունեցող ուժերին։

4-րդ սեփականություն.

Եթե ​​հայտարարի թիվը հասցվում է բացասական հզորության, ապա հանելիս փակագծերում վերցվում է հայտարարի աստիճանը՝ հետագա հաշվարկներում նշանը ճիշտ փոխարինելու համար։

Գույքը գործում է միայն բաժանելիս, այլ ոչ թե հանելիս։

5-րդ սեփականություն.

6-րդ սեփականություն.

Այս գույքը կարող է կիրառվել նաև հակառակ կողմը. Միավորը, որը որոշ չափով բաժանվում է թվի, այդ թիվը բացասական է:

7-րդ սեփականություն.

Այս հատկությունը չի կարող կիրառվել գումարի և տարբերության նկատմամբ: Գումարը կամ տարբերությունը մեծացնելու դեպքում օգտագործվում են կրճատված բազմապատկման բանաձևեր, այլ ոչ թե հզորության հատկությունները:

8-րդ սեփականություն.

9-րդ սեփականություն.

Այս գույքն աշխատում է ցանկացածի համար կոտորակային աստիճանմեկին հավասար համարիչով բանաձևը կլինի նույնը, միայն արմատի աստիճանը կփոխվի՝ կախված աստիճանի հայտարարից։

Բացի այդ, այս հատկությունը հաճախ օգտագործվում է հակառակ հերթականությամբ: Թվի ցանկացած ուժի արմատը կարող է ներկայացվել որպես այդ թիվ մեկի ուժի մեջ, որը բաժանվում է արմատի ուժի վրա: Այս հատկությունը շատ օգտակար է այն դեպքերում, երբ թվի արմատը չի հանվում։

10-րդ սեփականություն.

Այս գույքը աշխատում է ոչ միայն քառակուսի արմատև երկրորդ աստիճան. Եթե ​​արմատի աստիճանը և այս արմատի բարձրացման աստիճանը նույնն են, ապա պատասխանը կլինի արմատական ​​արտահայտություն։

11-րդ սեփականություն.

Դուք պետք է կարողանաք ժամանակին տեսնել այս հատկությունը լուծելիս, որպեսզի փրկվեք հսկայական հաշվարկներից։

12-րդ սեփականություն.

Այս հատկություններից յուրաքանչյուրը ձեզ կհանդիպի ավելի քան մեկ անգամ առաջադրանքներում, այն կարող է տրվել իր մաքուր ձևով, կամ կարող է պահանջել որոշակի փոխակերպումներ և այլ բանաձևերի օգտագործում: Ուստի ճիշտ լուծման համար բավարար չէ միայն հատկությունները իմանալը, հարկավոր է պարապել և միացնել մաթեմատիկական մնացած գիտելիքները։

Աստիճանների և դրանց հատկությունների կիրառումը

Ակտիվորեն օգտագործվում են հանրահաշվի և երկրաչափության մեջ։ Առանձին, կարևոր տեղ ունեն մաթեմատիկայի աստիճանները։ Նրանց օգնությամբ լուծվում են էքսպոնենցիալ հավասարումներ և անհավասարություններ, ինչպես նաև հզորությունները հաճախ բարդացնում են մաթեմատիկայի այլ բաժինների հետ կապված հավասարումները և օրինակները։ Ցուցանիշները օգնում են խուսափել մեծ և երկար հաշվարկներից, ավելի հեշտ է կրճատել և հաշվարկել ցուցանիշները։ Բայց աշխատել մեծ աստիճաններով, կամ աստիճաններով մեծ թվեր, դուք պետք է իմանաք ոչ միայն աստիճանի հատկությունները, այլև գրագետ աշխատեք հիմքերի հետ, կարողանաք դրանք քայքայել, որպեսզի հեշտացնեք ձեր խնդիրը։ Հարմարության համար դուք պետք է իմանաք նաև հզորության բարձրացված թվերի նշանակությունը: Սա կնվազեցնի ձեր ժամանակը լուծելու համար՝ վերացնելով երկար հաշվարկների անհրաժեշտությունը:

Լոգարիթմներում հատուկ դեր է խաղում աստիճան հասկացությունը։ Քանի որ լոգարիթմը, ըստ էության, թվի ուժ է։

Կրճատ բազմապատկման բանաձևերը հզորությունների օգտագործման ևս մեկ օրինակ են։ Նրանք չեն կարող օգտագործել աստիճանների հատկությունները, դրանք քայքայվում են ըստ հատուկ կանոններ, բայց յուրաքանչյուր կրճատված բազմապատկման բանաձև անփոփոխ ուժեր է պարունակում։

Դիպլոմները ակտիվորեն օգտագործվում են նաև ֆիզիկայի և համակարգչային գիտության մեջ: SI համակարգում բոլոր թարգմանությունները կատարվում են աստիճանների կիրառմամբ, իսկ ապագայում խնդիրներ լուծելիս կիրառվում են աստիճանի հատկությունները։ Համակարգչային գիտության մեջ ակտիվորեն օգտագործվում են երկուսի ուժերը՝ թվերի ընկալումը հաշվելու և պարզեցնելու համար։ Չափման միավորների փոխակերպման կամ խնդիրների հաշվարկների հետագա հաշվարկները, ինչպես ֆիզիկայում, տեղի են ունենում աստիճանի հատկությունների կիրառմամբ:

Աստիճանները շատ օգտակար են նաև աստղագիտության մեջ, որտեղ հազվադեպ կարելի է գտնել աստիճանի հատկությունների օգտագործումը, բայց աստիճաններն իրենք ակտիվորեն օգտագործվում են տարբեր քանակությունների և հեռավորությունների գրանցումը կրճատելու համար:

Աստիճաններն օգտագործվում են նաև առօրյա կյանքում, տարածքները, ծավալները, հեռավորությունները հաշվելիս։

Դիպլոմների օգնությամբ գիտության ցանկացած բնագավառում գրվում են շատ մեծ և շատ փոքր արժեքներ։

էքսպոնենցիալ հավասարումներ և անհավասարություններ

Դիպլոմային հատկությունները հատուկ տեղ են զբաղեցնում հենց դրանում էքսպոնենցիալ հավասարումներև անհավասարություններ։ Այս առաջադրանքները շատ տարածված են, ինչպես դպրոցական դասընթացինչպես նաև քննությունների ժամանակ։ Դրանք բոլորը լուծվում են աստիճանի հատկությունների կիրառմամբ։ Անհայտը միշտ բուն աստիճանի մեջ է, հետևաբար, իմանալով բոլոր հատկությունները, դժվար չի լինի լուծել նման հավասարումը կամ անհավասարությունը։

Ակնհայտ է, որ հզորությամբ թվերը կարող են ավելացվել, ինչպես մյուս մեծությունները , դրանք մեկ առ մեկ ավելացնելով իրենց նշաններով.

Այսպիսով, a 3-ի և b 2-ի գումարը a 3 + b 2 է:
a 3 - b n-ի և h 5 -d 4-ի գումարը 3 - b n + h 5 - d 4 է:

Հնարավորություններ նույն փոփոխականների նույն ուժերըկարելի է գումարել կամ հանել։

Այսպիսով, 2a 2-ի և 3a 2-ի գումարը 5a 2 է:

Ակնհայտ է նաև, որ եթե վերցնենք երկու a, կամ երեք քառակուսի a, կամ հինգ քառակուսի a.

Բայց աստիճաններ տարբեր փոփոխականներԵվ տարբեր աստիճաններ նույնական փոփոխականներ, պետք է ավելացվեն՝ ավելացնելով դրանք իրենց նշաններին։

Այսպիսով, 2-ի և 3-ի գումարը 2 + a 3-ի գումարն է:

Ակնհայտ է, որ a-ի քառակուսին և a-ի խորանարդը ոչ թե a-ի քառակուսին է, այլ կրկնակի մեծ է a-ի խորանարդից:

a 3 b n-ի և 3a 5 b 6-ի գումարը a 3 b n + 3a 5 b 6 է:

Հանումլիազորություններն իրականացվում են այնպես, ինչպես հավելումը, բացառությամբ այն բանի, որ ենթակառուցվածքի նշանները պետք է համապատասխանաբար փոխվեն:

Կամ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (ա - ը) 6 - 2 (ա - ը) 6 = 3 (ա - ժ) 6

Հզորության բազմապատկում

Հզորություններ ունեցող թվերը կարելի է բազմապատկել մյուս մեծությունների նման՝ գրելով դրանք մեկը մյուսի հետևից՝ նրանց միջև բազմապատկման նշանով կամ առանց դրա։

Այսպիսով, a 3-ը b 2-ով բազմապատկելու արդյունքը կլինի a 3 b 2 կամ aaabb:

Կամ:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Վերջին օրինակի արդյունքը կարելի է պատվիրել՝ ավելացնելով նույն փոփոխականները։
Արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը՝ a 5 b 5 y 3:

Մի քանի թվեր (փոփոխականներ) հզորությունների հետ համեմատելով՝ կարող ենք տեսնել, որ եթե դրանցից երկուսը բազմապատկվեն, ապա ստացվում է մի թիվ (փոփոխական), որի հզորությունը հավասար է. գումարտերմինների աստիճաններ.

Այսպիսով, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5:

Այստեղ 5-ը բազմապատկման արդյունքի հզորությունն է, որը հավասար է 2 + 3-ի, անդամների հզորությունների գումարը:

Այսպիսով, a n .a m = a m+n .

a n-ի համար a-ն ընդունվում է որպես գործակից այնքան անգամ, որքան n-ի հզորությունը;

Իսկ a m-ն ընդունվում է որպես գործակից այնքան անգամ, որքան m աստիճանը հավասար է.

Ահա թե ինչու, Նույն հիմքերով հզորությունները կարելի է բազմապատկել՝ ավելացնելով աստիճանները:

Այսպիսով, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8: Իսկ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6:

Կամ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Բազմապատկել (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y):
Պատասխան՝ x 4 - y 4.
Բազմապատկել (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1):

Այս կանոնը ճիշտ է նաև այն թվերի համար, որոնց ցուցիչներն են. բացասական.

1. Այսպիսով, a -2 .a -3 = a -5: Սա կարելի է գրել որպես (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa:

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Եթե ​​a + b-ը բազմապատկվում է a - b-ով, ապա արդյունքը կլինի a 2 - b 2. այսինքն

Երկու թվերի գումարը կամ տարբերությունը բազմապատկելու արդյունքը հավասար է նրանց քառակուսիների գումարին կամ տարբերությանը։

Եթե ​​երկու թվերի գումարն ու տարբերությունը բարձրացվեն քառակուսի, արդյունքը հավասար կլինի այս թվերի գումարին կամ տարբերությանը չորրորդաստիճան.

Այսպիսով, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2:
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4:
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8:

Լիազորությունների բաժանում

Հզորությամբ թվերը կարելի է բաժանել մյուս թվերի նման՝ բաժանարարից հանելով կամ կոտորակի տեսքով դնելով։

Այսպիսով, a 3 b 2-ը բաժանված է b 2-ի, a 3 է:

Կամ:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5-ը 3-ի վրա բաժանված գրելը կարծես $\frac(a^5)(a^3)$ է: Բայց սա հավասար է 2-ի: Մի շարք թվերով
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4:
ցանկացած թիվ կարելի է բաժանել մյուսի վրա, և ցուցանիշը հավասար կլինի տարբերությունըբաժանելի թվերի ցուցիչներ.

Նույն հիմքով հզորությունները բաժանելիս հանվում են դրանց չափորոշիչները:.

Այսպիսով, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1: Այսինքն՝ $\frac(yyyy)(yy) = y$։

Եվ a n+1:a = a n+1-1 = a n: Այսինքն՝ $\frac(aa^n)(a) = a^n$։

Կամ:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Կանոնը գործում է նաև հետ թվերի համար բացասականաստիճանի արժեքներ.
-5-ը -3-ի բաժանելու արդյունքը -2 է:
Նաև $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 կամ $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Հարկավոր է շատ լավ տիրապետել ուժերի բազմապատկմանը և բաժանմանը, քանի որ նման գործողությունները շատ լայնորեն կիրառվում են հանրահաշվում։

Հզոր թվեր պարունակող կոտորակներով օրինակներ լուծելու օրինակներ

1. Կրճատել չափիչները $\frac(5a^4)(3a^2)$-ում Պատասխան՝ $\frac(5a^2)(3)$:

2. Կրճատեք ցուցիչները $\frac(6x^6)(3x^5)$-ում: Պատասխան՝ $\frac(2x)(1)$ կամ 2x:

3. Կրճատել a 2 / a 3 և a -3 / a -4 ցուցանիշները և բերել ընդհանուր հայտարարի:
a 2 .a -4-ը -2 առաջին համարիչն է:
a 3 .a -3-ը 0 = 1 է, երկրորդ համարիչը:
a 3 .a -4-ը -1 է, ընդհանուր համարիչը:
Պարզեցումից հետո՝ a -2 /a -1 և 1/a -1:

4. Կրճատել 2a 4 /5a 3 և 2 /a 4 չափորոշիչները և բերել ընդհանուր հայտարարի:
Պատասխան՝ 2a 3 / 5a 7 և 5a 5 / 5a 7 կամ 2a 3 / 5a 2 և 5/5a 2:

5. Բազմապատկել (a 3 + b)/b 4-ը (a - b)/3-ով:

6. Բազմապատկել (a 5 + 1)/x 2-ով (b 2 - 1)/(x + a):

7. Բ 4 /a -2-ը բազմապատկեք h -3 /x-ով և a n /y -3-ով:

8. 4 /y 3-ը բաժանեք 3/y 2-ի: Պատասխան՝ ա/տ.

9. Բաժանեք (h 3 - 1)/d 4-ը (d n + 1)/h-ի վրա: