Առաջին մակարդակ
Աստիճանը և դրա հատկությունները: Համապարփակ ուղեցույց (2019)
Ինչու են անհրաժեշտ աստիճաններ: Որտե՞ղ են դրանք ձեզ անհրաժեշտ: Ինչու՞ պետք է ժամանակ հատկացնեք դրանք ուսումնասիրելուն:
Ամեն ինչ իմանալու համար աստիճանների մասին, ինչի համար են դրանք, ինչպես օգտագործել ձեր գիտելիքները Առօրյա կյանքկարդալ այս հոդվածը.
Եվ, իհարկե, գիտական աստիճանների իմացությունը ձեզ ավելի կմոտեցնի հաջողակին անցնելով OGEկամ միասնական պետական քննություն և ընդունվել քո երազանքների համալսարանը։
Եկեք գնանք ... (Եկեք գնանք):
Կարևոր նշում! Եթե բանաձևերի փոխարեն տեսնում եք անհեթեթություն, մաքրեք ձեր քեշը: Դա անելու համար սեղմեք CTRL+F5 (Windows-ում) կամ Cmd+R (Mac-ում):
ԱՌԱՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ
Ցուցադրումը նույն մաթեմատիկական գործողությունն է, ինչ գումարումը, հանումը, բազմապատկումը կամ բաժանումը:
Հիմա ես ամեն ինչ կբացատրեմ մարդկային լեզուշատ պարզ օրինակներ. Զգույշ եղիր. Օրինակները տարրական են, բայց բացատրում են կարևոր բաները։
Սկսենք ավելացումից։
Այստեղ բացատրելու բան չկա։ Դուք արդեն ամեն ինչ գիտեք՝ մենք ութ հոգի ենք։ Յուրաքանչյուրն ունի երկու շիշ կոլա: Որքա՞ն կոլա: Ճիշտ է` 16 շիշ:
Հիմա բազմապատկում:
Կոլայի հետ նույն օրինակը կարելի է այլ կերպ գրել. Մաթեմատիկոսները խորամանկ և ծույլ մարդիկ են։ Նրանք նախ նկատում են որոշ օրինաչափություններ, իսկ հետո դրանք ավելի արագ «հաշվելու» միջոց են գտնում: Մեր դեպքում նրանք նկատեցին, որ ութ հոգուց յուրաքանչյուրն ունի նույն թվով շիշ կոլա և հայտնագործեցին մի տեխնիկա, որը կոչվում է բազմապատկում: Համաձայն եմ, այն համարվում է ավելի հեշտ և արագ, քան:
Այսպիսով, ավելի արագ, հեշտ և առանց սխալների հաշվելու համար պարզապես անհրաժեշտ է հիշել բազմապատկման աղյուսակ. Իհարկե, դուք կարող եք ամեն ինչ անել ավելի դանդաղ, դժվար և սխալներով: Բայց…
Ահա բազմապատկման աղյուսակը. Կրկնել.
Եվ մեկ այլ, ավելի գեղեցիկ.
Իսկ հաշվելու ուրիշ ի՞նչ խորամանկ հնարքներ են հորինել ծույլ մաթեմատիկոսները: Ճիշտ - թիվը հասցնելով ուժի.
Թիվը հզորության բարձրացում
Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է թիվն ինքն իրենով հինգ անգամ բազմապատկել, ապա մաթեմատիկոսներն ասում են, որ պետք է այդ թիվը հասցնել հինգերորդ աստիճանի: Օրինակ, . Մաթեմատիկոսները հիշում են, որ երկուսից հինգերորդ ուժը հավասար է: Եվ նրանք իրենց մտքում լուծում են այդպիսի խնդիրներ՝ ավելի արագ, հեշտ և առանց սխալների։
Դա անելու համար ձեզ միայն անհրաժեշտ է հիշեք, թե ինչն է գույնով ընդգծված թվերի հզորությունների աղյուսակում. Հավատացեք ինձ, դա ձեր կյանքը շատ կհեշտացնի։
Ի դեպ, ինչու է կոչվում երկրորդ աստիճան քառակուսիթվեր, և երրորդը խորանարդ? Ինչ է դա նշանակում? Շատ լավ հարց. Այժմ դուք կունենաք և՛ քառակուսիներ, և՛ խորանարդներ:
Իրական կյանքի օրինակ թիվ 1
Սկսենք քառակուսուց կամ թվի երկրորդ աստիճանից։
Պատկերացրեք քառակուսի լողավազան, որը չափում է մետր մետր: Լողավազանը ձեր բակում է։ Շոգ է, և ես շատ եմ ուզում լողալ: Բայց ... լողավազան առանց հատակի: Անհրաժեշտ է լողավազանի հատակը ծածկել սալիկներով։ Քանի սալիկ է ձեզ հարկավոր: Դա որոշելու համար դուք պետք է իմանաք լողավազանի հատակի տարածքը:
Դուք կարող եք պարզապես մատը սեղմելով հաշվել, որ լողավազանի հատակը մետր առ մետր խորանարդիկներից է: Եթե ձեր սալիկները մետր առ մետր են, ապա ձեզ անհրաժեշտ կլինեն կտորներ: Հեշտ է... Բայց որտե՞ղ եք տեսել այդպիսի կղմինդր։ Սալիկն ավելի շուտ կլինի սմ առ սմ, իսկ հետո ձեզ տանջելու է «մատով հաշվելը»։ Հետո պետք է բազմապատկել։ Այսպիսով, լողավազանի հատակի մի կողմում մենք կտեղավորենք սալիկներ (կտորներ), իսկ մյուս կողմում նույնպես սալիկներ: Բազմապատկելով՝ ստանում եք սալիկներ ():
Նկատեցի՞ք, որ մենք նույն թիվն ինքնին բազմապատկեցինք՝ լողավազանի հատակի մակերեսը որոշելու համար: Ինչ է դա նշանակում? Քանի որ նույն թիվը բազմապատկվում է, մենք կարող ենք օգտագործել աստիճանավորման տեխնիկան: (Իհարկե, երբ դուք ունեք ընդամենը երկու թիվ, դուք դեռ պետք է դրանք բազմապատկեք կամ դրանք հասցնեք հզորության: Բայց եթե դրանք շատ են, ապա հզորության բարձրացումը շատ ավելի հեշտ է, և նաև հաշվարկների մեջ ավելի քիչ սխալներ կան: Քննության համար սա շատ կարևոր է):
Այսպիսով, երեսունից երկրորդ աստիճանը կլինի (): Կամ կարող եք ասել, որ երեսուն քառակուսի կլինի: Այլ կերպ ասած, թվի երկրորդ աստիճանը միշտ կարող է ներկայացվել որպես քառակուսի: Եվ հակառակը, եթե քառակուսի եք տեսնում, այն ՄԻՇՏ ինչ-որ թվի երկրորդ աստիճանն է։ Քառակուսին թվի երկրորդ աստիճանի պատկերն է։
Իրական կյանքի օրինակ #2
Ահա ձեզ համար առաջադրանք, հաշվեք, թե քանի քառակուսի կա շախմատի տախտակի վրա՝ օգտագործելով թվի քառակուսին... Բջիջների մի կողմում և մյուս կողմից նույնպես: Նրանց թիվը հաշվելու համար պետք է ութը բազմապատկել ութով, կամ ... եթե նկատում եք, որ շախմատի տախտակը կողքով քառակուսի է, ապա կարող եք քառակուսի դնել ութը: Ստացեք բջիջներ: () Ուրեմն?
Իրական կյանքի օրինակ #3
Այժմ խորանարդը կամ թվի երրորդ ուժը: Նույն լողավազան. Բայց հիմա պետք է պարզել, թե որքան ջուր պետք է լցվի այս լողավազանի մեջ։ Դուք պետք է հաշվարկեք ծավալը: (Ծավալներն ու հեղուկները, ի դեպ, չափվում են խորանարդ մետր. Անսպասելիորեն, այնպես չէ՞:) Նկարեք լողավազան. հատակը մեկ մետր չափով և մեկ մետր խորություն և փորձեք հաշվարկել, թե ընդհանուր քանի խորանարդ մետր առ մետր կմտնի ձեր լողավազան:
Պարզապես ցույց տվեք ձեր մատը և հաշվեք: Մեկ, երկու, երեք, չորս… քսաներկու, քսաներեք… Որքա՞ն է ստացվել: Չե՞ք կորել։ Դժվա՞ր է մատով հաշվել։ Այնպես, որ! Օրինակ վերցրեք մաթեմատիկոսներից: Նրանք ծույլ են, ուստի նկատել են, որ լողավազանի ծավալը հաշվարկելու համար պետք է միմյանցով բազմապատկել դրա երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը։ Մեր դեպքում լողավազանի ծավալը հավասար կլինի խորանարդի... Ավելի հեշտ է, չէ՞:
Հիմա պատկերացրեք, թե որքան ծույլ և խորամանկ են մաթեմատիկոսները, եթե դա շատ հեշտ են դարձնում: Ամեն ինչ կրճատեց մեկ գործողության: Նրանք նկատեցին, որ երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը հավասար են, և որ նույն թիվը բազմապատկվում է ինքն իրեն... Իսկ ի՞նչ է սա նշանակում։ Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք օգտագործել աստիճանը: Այսպիսով, այն, ինչ մի անգամ մատով հաշվում էիր, նրանք անում են մեկ գործողությամբ՝ երեքը խորանարդի մեջ հավասար են։ Գրված է այսպես.
Մնում է միայն անգիր անել աստիճանների աղյուսակը. Եթե, իհարկե, մաթեմատիկոսների նման ծույլ ու խորամանկ չեք։ Եթե սիրում եք շատ աշխատել և սխալվել, կարող եք շարունակել հաշվել մատով։
Դե, որպեսզի վերջապես ձեզ համոզեմ, որ աստիճանները հորինել են լոֆերներն ու խորամանկները՝ իրենց կյանքի խնդիրները լուծելու, այլ ոչ թե ձեզ համար խնդիրներ ստեղծելու համար, ահա ևս մի երկու օրինակ կյանքից։
Իրական կյանքի օրինակ #4
Դուք ունեք մեկ միլիոն ռուբլի: Ամեն տարվա սկզբին յուրաքանչյուր միլիոնի դիմաց վաստակում եք ևս մեկ միլիոն: Այսինքն՝ ձեր յուրաքանչյուր միլիոնը յուրաքանչյուր տարվա սկզբին կրկնապատկվում է։ Որքա՞ն գումար կունենաք տարիների ընթացքում: Եթե հիմա նստած ու «մատով հաշվում եք», ուրեմն շատ աշխատասեր մարդ եք և... հիմար։ Բայց, ամենայն հավանականությամբ, մի քանի վայրկյանից պատասխան կտաս, քանի որ դու խելացի ես։ Այսպիսով, առաջին տարում - երկու անգամ երկու ... երկրորդ տարում - ինչ եղավ, ևս երկուսը, երրորդ տարում ... Կանգ առեք: Նկատեցիք, որ թիվը մեկ անգամ բազմապատկվում է ինքն իրեն։ Այսպիսով, երկուսից հինգերորդ ուժը միլիոն է: Հիմա պատկերացրեք, որ դուք ունեք մրցույթ, և նա, ով ավելի արագ է հաշվարկում, կստանա այս միլիոնները... Արժե՞ արդյոք հիշել թվերի աստիճանները, ի՞նչ եք կարծում։
Իրական կյանքի օրինակ #5
Դուք ունեք մեկ միլիոն: Ամեն տարվա սկզբին յուրաքանչյուր միլիոնի դիմաց դուք վաստակում եք ևս երկուսը: Հիանալի է, ճիշտ է? Յուրաքանչյուր միլիոնը եռապատկվում է։ Որքա՞ն գումար կունենաք մեկ տարվա ընթացքում: Եկեք հաշվենք. Առաջին տարին` բազմապատկեք, հետո արդյունքը մեկ այլով... Դա արդեն ձանձրալի է, քանի որ դուք արդեն հասկացաք ամեն ինչ. երեքն ինքն իրենով բազմապատկվում է անգամ: Այսպիսով, չորրորդ իշխանությունը միլիոն է: Պարզապես պետք է հիշել, որ երեքից չորրորդ ուժը կամ է:
Այժմ դուք գիտեք, որ թիվն ուժի հասցնելով, դուք շատ կհեշտացնեք ձեր կյանքը: Եկեք ավելի մանրամասն նայենք, թե ինչ կարող եք անել աստիճաններով և ինչ պետք է իմանաք դրանց մասին:
Տերմիններ և հասկացություններ ... որպեսզի չշփոթվեն
Այսպիսով, նախ, եկեք սահմանենք հասկացությունները: Ինչ ես կարծում, ինչ է ցուցիչը? Դա շատ պարզ է՝ սա այն թիվն է, որը թվի հզորության «վերևում» է։ Ոչ գիտական, բայց պարզ և հեշտ հիշվող…
Դե, միեւնույն ժամանակ, ինչ աստիճանի նման բազա? Նույնիսկ ավելի պարզ է այն թիվը, որը գտնվում է ներքևում, հիմքում:
Ահա մի նկար, որպեսզի համոզվեք:
Դե և ներս ընդհանուր տեսարանընդհանրացնել և ավելի լավ հիշել ... «» հիմքով և «» ցուցիչով աստիճանը կարդացվում է որպես «աստիճան» և գրվում է հետևյալ կերպ.
Բնական ցուցիչով թվի հզորությունը
Դուք հավանաբար արդեն կռահեցիք, քանի որ ցուցիչն է բնական թիվ. Այո, բայց ինչ կա բնական թիվ? Տարրական! Բնական թվերն այն թվերն են, որոնք օգտագործվում են հաշվելու ժամանակ իրերը թվարկելիս՝ մեկ, երկու, երեք… Երբ մենք հաշվում ենք տարրերը, մենք չենք ասում՝ «մինուս հինգ», «մինուս վեց», «մինուս յոթ»: «Մեկ երրորդ» կամ «զրո միավոր հինգ տասներորդ» էլ չենք ասում։ Սրանք բնական թվեր չեն։ Ի՞նչ եք կարծում, որո՞նք են այս թվերը:
Նման թվերը վերաբերում են «մինուս հինգ», «մինուս վեց», «մինուս յոթ»: ամբողջ թվեր.Ընդհանուր առմամբ, ամբողջ թվերը ներառում են բոլոր բնական թվերը, բնական թվերին հակադիր թվերը (այսինքն՝ վերցված մինուս նշանով) և թիվը։ Զրոն հեշտ է հասկանալ, սա այն դեպքում, երբ ոչինչ չկա: Իսկ ի՞նչ են նշանակում բացասական («մինուս») թվերը։ Բայց դրանք հորինվել են հիմնականում պարտքերը նշելու համար. եթե ձեր հեռախոսում հաշվեկշիռ ունեք ռուբլով, դա նշանակում է, որ դուք օպերատորին պարտք եք ռուբլով:
Բոլոր կոտորակները ռացիոնալ թվեր են: Ինչպե՞ս են դրանք առաջացել, ի՞նչ եք կարծում։ Շատ պարզ. Մի քանի հազար տարի առաջ մեր նախնիները հայտնաբերեցին, որ չունեն բավականաչափ բնական թվեր երկարությունը, քաշը, մակերեսը և այլն չափելու համար: Եվ նրանք եկան ռացիոնալ թվեր… Հետաքրքիր է, այնպես չէ՞:
Կան նաև իռացիոնալ թվեր։ Որո՞նք են այս թվերը: Մի խոսքով, անվերջ տասնորդական. Օրինակ, եթե շրջանագծի շրջագիծը բաժանեք տրամագծի վրա, ապա ստացվում է իռացիոնալ թիվ։
Ամփոփում:
Սահմանենք աստիճան հասկացությունը, որի ցուցիչը բնական թիվ է (այսինքն՝ ամբողջ և դրական)։
- Առաջին աստիճանի ցանկացած թիվ հավասար է ինքն իրեն.
- Թիվ քառակուսի դնելը նշանակում է այն բազմապատկել ինքն իրենով.
- Թիվը խորանարդիկ դարձնելը նշանակում է այն երեք անգամ բազմապատկել ինքն իրենով.
Սահմանում.Թիվը բնական հզորության հասցնելու համար նշանակում է թիվը ինքն իրենով բազմապատկել.
.
Դիպլոմային հատկություններ
Որտեղի՞ց են առաջացել այս հատկությունները: Ես ձեզ հիմա ցույց կտամ:
Եկեք տեսնենք, թե ինչ է Եվ ?
A-priory:
Քանի՞ բազմապատկիչ կա ընդհանուր առմամբ:
Դա շատ պարզ է՝ մենք գործոններին ավելացրել ենք գործոններ, և արդյունքը՝ գործոններ։
Բայց ըստ սահմանման սա ցուցիչ ունեցող թվի աստիճանն է, այսինքն՝ , որը պահանջվում էր ապացուցել։
ՕրինակՊարզեցրեք արտահայտությունը:
Լուծում:
Օրինակ:Պարզեցրեք արտահայտությունը.
Լուծում:Կարևոր է նշել, որ մեր կանոնում Պարտադիրպետք է լինի նույն հիմքերը!
Հետևաբար, մենք միավորում ենք աստիճանները հիմքի հետ, բայց մնում ենք առանձին գործոն.
միայն հզորության արտադրանքի համար:
Ոչ մի դեպքում չպետք է դա գրեք։
2. այսինքն - թվի թվի հզորությունը
Ինչպես նախորդ հատկության դեպքում, եկեք անդրադառնանք աստիճանի սահմանմանը.
Ստացվում է, որ արտահայտությունն ինքն իրենով մեկ անգամ է բազմապատկվում, այսինքն՝ ըստ սահմանման, սա թվի երրորդ ուժն է.
Իրականում սա կարելի է անվանել «ցուցանիշի փակագծում»։ Բայց դուք երբեք չեք կարող դա անել ընդհանուր առմամբ.
Հիշենք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը՝ քանի՞ անգամ ենք ուզում գրել։
Բայց դա իրականում ճիշտ չէ:
Բացասական հիմքով աստիճան
Մինչև այս պահը մենք միայն քննարկել ենք, թե ինչպիսին պետք է լինի ցուցանիշը։
Բայց ի՞նչը պետք է հիմք հանդիսանա։
ից աստիճաններով բնական ցուցանիշհիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ. Իրոք, մենք կարող ենք միմյանցով բազմապատկել ցանկացած թիվ, լինի դրանք դրական, բացասական կամ զույգ:
Եկեք մտածենք, թե ո՞ր նշանները («» կամ «») կունենան դրական և բացասական թվերի աստիճաններ։
Օրինակ՝ թիվը դրական կլինի, թե բացասական։ Ա. ? Առաջինի հետ ամեն ինչ պարզ է՝ ինչքան էլ դրական թվեր բազմապատկենք միմյանց հետ, արդյունքը կլինի դրական։
Բայց բացասականները մի քիչ ավելի հետաքրքիր են։ Ի վերջո, մենք հիշում ենք 6-րդ դասարանից մի պարզ կանոն. Այսինքն, կամ. Բայց եթե բազմապատկենք, ստացվում է.
Ինքներդ որոշեք, թե ինչ նշան կունենան հետևյալ արտահայտությունները.
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Դուք հասցրե՞լ եք:
Ահա պատասխանները. Առաջին չորս օրինակներում հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է: Մենք պարզապես նայում ենք բազային և ցուցիչին և կիրառում ենք համապատասխան կանոնը։
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Օրինակ 5-ում, ամեն ինչ նույնպես այնքան սարսափելի չէ, որքան թվում է. կարևոր չէ, թե ինչին է հավասար հիմքը, աստիճանը հավասար է, ինչը նշանակում է, որ արդյունքը միշտ դրական կլինի:
Դե, բացի այն դեպքերից, երբ հիմքը զրո է: Հիմքը նույնը չէ, չէ՞։ Ակնհայտորեն ոչ, քանի որ (որովհետև):
Օրինակ 6) այլևս այնքան էլ պարզ չէ:
6 պրակտիկայի օրինակ
Լուծման վերլուծություն 6 օրինակ
Եթե ուշադրություն չդարձնենք ութերորդ աստիճանին, ի՞նչ ենք տեսնում այստեղ։ Եկեք նայենք 7-րդ դասարանի ծրագրին: Այսպիսով, հիշո՞ւմ եք: Սա կրճատված բազմապատկման բանաձևն է, այն է՝ քառակուսիների տարբերությունը։ Մենք ստանում ենք.
Մենք ուշադիր նայում ենք հայտարարին. Այն շատ նման է համարիչի գործոններից մեկին, բայց ինչն է սխալ: Պայմանների սխալ հերթականություն. Եթե դրանք փոխանակվեին, կանոնը կարող էր կիրառվել:
Բայց ինչպե՞ս դա անել: Պարզվում է, որ դա շատ հեշտ է՝ այստեղ մեզ օգնում է հայտարարի զույգ աստիճանը։
Պայմանները կախարդական կերպով փոխվել են տեղերը: Այս «ֆենոմենը» հավասարաչափ վերաբերում է ցանկացած արտահայտության. մենք կարող ենք ազատորեն փոխել փակագծերի նշանները։
Բայց կարևոր է հիշել. բոլոր նշանները փոխվում են միաժամանակ!
Վերադառնանք օրինակին.
Եվ կրկին բանաձևը.
ամբողջանվանում ենք բնական թվերը, դրանց հակադիրները (այսինքն՝ վերցված «» նշանով) և թիվը։
դրական ամբողջ թիվ, և դա ոչնչով չի տարբերվում բնականից, այնուհետև ամեն ինչ ճիշտ է թվում, ինչպես նախորդ բաժնում:
Հիմա անդրադառնանք նոր դեպքերին։ Սկսենք հավասար ցուցանիշից.
Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:
Ինչպես միշտ, մենք ինքներս մեզ հարցնում ենք՝ ինչո՞ւ է այդպես։
Հաշվի առեք բազայի հետ որոշ հզորություն: Վերցրեք, օրինակ, և բազմապատկեք հետևյալով.
Այսպիսով, մենք թիվը բազմապատկեցինք և ստացանք նույնը, ինչ եղել է -: Ի՞նչ թվով պետք է բազմապատկել, որպեսզի ոչինչ չփոխվի: Ճիշտ է, շարունակվում է: Միջոցներ.
Նույնը կարող ենք անել կամայական թվով.
Կրկնենք կանոնը.
Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:
Բայց կան բացառություններ շատ կանոններից: Եվ այստեղ այն նույնպես կա - սա թիվ է (որպես հիմք):
Մի կողմից, այն պետք է հավասար լինի ցանկացած աստիճանի - ինչքան էլ զրոն իր վրա բազմապատկես, միեւնույն է, զրո ես ստանում, սա պարզ է։ Բայց մյուս կողմից, ինչպես զրոյական աստիճանի ցանկացած թիվ, այն պետք է հավասար լինի։ Այսպիսով, ո՞րն է սրա ճշմարտությունը: Մաթեմատիկոսները որոշեցին չխառնվել և հրաժարվեցին զրոն հասցնել զրո հզորության: Այսինքն՝ այժմ մենք կարող ենք ոչ միայն զրոյի բաժանել, այլև այն հասցնել զրոյական հզորության։
Եկեք ավելի հեռու գնանք: Բացի բնական թվերից և թվերից, ամբողջ թվերը ներառում են բացասական թվեր: Որպեսզի հասկանանք, թե ինչ է բացասական աստիճանը, եկեք անենք նույնը, ինչ նախորդ անգամ.
Այստեղից արդեն հեշտ է արտահայտել ցանկալիը.
Այժմ մենք ընդլայնում ենք ստացված կանոնը կամայական աստիճանի.
Այսպիսով, եկեք ձևակերպենք կանոնը.
Բացասական հզորության թիվը նույն թվի հակադարձն է դրական հզորությանը: Բայց միևնույն ժամանակ բազան չի կարող զրոյական լինել.(որովհետև հնարավոր չէ բաժանել):
Ամփոփենք.
I. Արտահայտությունը գործով սահմանված չէ: Եթե, ապա.
II. Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի.
III. Թիվը, որը հավասար չէ զրոյի բացասական հզորությանը, նույն թվի հակադարձն է դրական հզորությանը.
Անկախ լուծման առաջադրանքներ.
Դե, ինչպես միշտ, օրինակներ անկախ լուծման համար.
Անկախ լուծման համար առաջադրանքների վերլուծություն.
Գիտեմ, գիտեմ, թվերը սարսափելի են, բայց քննության ժամանակ պետք է պատրաստ լինել ամեն ինչի: Լուծե՛ք այս օրինակները կամ վերլուծե՛ք դրանց լուծումը, եթե չկարողացաք լուծել այն, և դուք կսովորեք, թե ինչպես հեշտությամբ վարվել դրանց հետ քննության ժամանակ:
Շարունակենք ընդլայնել «հարմար» թվերի շրջանակը որպես ցուցիչ։
Հիմա հաշվի առեք ռացիոնալ թվեր.Ո՞ր թվերն են կոչվում ռացիոնալ:
Պատասխան. այն ամենը, ինչ կարելի է ներկայացնել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են, ընդ որում:
Հասկանալու համար, թե ինչ է «կոտորակային աստիճան»Դիտարկենք կոտորակը.
Եկեք հավասարման երկու կողմերն էլ հասցնենք հզորության.
Հիմա հիշեք կանոնը «աստիճանից աստիճան»:
Ի՞նչ թիվ պետք է բարձրացվի մինչև ուժ ստանալու համար:
Այս ձևակերպումը րդ աստիճանի արմատի սահմանումն է։
Հիշեցնեմ՝ թվի ()-ի րդ աստիճանի արմատը այն թիվն է, որը, երբ բարձրացվում է աստիճանի, հավասար է։
Այսինքն՝ րդ աստիճանի արմատը հզորության հակադարձ գործողությունն է.
Պարզվում է, որ. Ակնհայտ է, որ այս հատուկ դեպքը կարող է երկարաձգվել.
Հիմա ավելացրեք համարիչը. ինչ է դա: Պատասխանը հեշտ է ստանալ իշխանությունից իշխանություն կանոնով.
Բայց հիմքը կարո՞ղ է լինել որևէ թիվ: Ի վերջո, արմատը չի կարող արդյունահանվել բոլոր թվերից:
Ոչ ոք!
Հիշեք կանոնը. ցանկացած թիվ բարձրացված է նույնիսկ աստիճանդրական թիվ է։ Այսինքն՝ բացասական թվերից անհնար է զույգ աստիճանի արմատներ հանել։
Իսկ դա նշանակում է, որ նման թվեր չեն կարող բարձրացվել կոտորակային աստիճանզույգ հայտարարով, այսինքն՝ արտահայտությունը իմաստ չունի։
Ինչ վերաբերում է արտահայտությանը:
Բայց այստեղ խնդիր է առաջանում.
Թիվը կարող է ներկայացվել որպես այլ, կրճատված կոտորակներ, օրինակ, կամ.
Եվ պարզվում է, որ այն կա, բայց չկա, և դրանք ընդամենը երկու տարբեր գրառումներ են նույն թվով։
Կամ մեկ այլ օրինակ՝ մեկ անգամ, հետո կարող ես գրել: Բայց հենց որ ցուցիչն այլ կերպ ենք գրում, նորից անախորժություն ենք ունենում. (այսինքն՝ լրիվ այլ արդյունք ենք ստացել):
Նման պարադոքսներից խուսափելու համար մտածեք միայն դրական բազային ցուցիչ կոտորակային ցուցիչով.
Այսպիսով, եթե.
- - բնական թիվ;
- ամբողջ թիվ է;
Օրինակներ.
Ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող ուժերը շատ օգտակար են արմատներով արտահայտությունները փոխակերպելու համար, օրինակ.
5 պրակտիկայի օրինակ
Վերապատրաստման 5 օրինակների վերլուծություն
Դե, հիմա - ամենադժվարը: Այժմ մենք կվերլուծենք աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով.
Այստեղ աստիճանների բոլոր կանոններն ու հատկությունները ճիշտ նույնն են, ինչ ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանների համար, բացառությամբ
Իրոք, ըստ սահմանման, իռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են (այսինքն, իռացիոնալ թվերը բոլորն իրական թվեր են, բացառությամբ ռացիոնալ թվերի):
Բնական, ամբողջ թվով և ռացիոնալ ցուցիչով աստիճաններ ուսումնասիրելիս ամեն անգամ ավելի ծանոթ տերմիններով որոշակի «պատկեր», «անալոգիա» կամ նկարագրություն էինք կազմում:
Օրինակ, բնական ցուցիչը իրենից մի քանի անգամ բազմապատկած թիվ է.
...զրոյական հզորություն- սա, այսպես ասած, ինքն իրենով մեկ անգամ բազմապատկված թիվ է, այսինքն, այն դեռ չի սկսել բազմապատկվել, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքնին դեռ չի հայտնվել, հետևաբար արդյունքը միայն որոշակի «դատարկ թիվ» է: , մասնավորապես համարը;
...բացասական ամբողջ թվի ցուցիչ- կարծես ինչ-որ «հակառակ գործընթաց» է տեղի ունեցել, այսինքն՝ թիվն ինքն իրենով չի բազմապատկվել, այլ բաժանվել է։
Ի դեպ, գիտությունը հաճախ օգտագործում է աստիճան բարդ ցուցիչով, այսինքն՝ աստիճանը նույնիսկ իրական թիվ չէ։
Բայց դպրոցում մենք չենք մտածում նման դժվարությունների մասին, դուք հնարավորություն կունենաք ընկալել այս նոր հասկացությունները ինստիտուտում:
ՈՐՏԵՂ ՎՍՏԱՀ ԵՆՔ, ԴՈՒ ԳՆԱԼՈՒ ԵՔ: (եթե սովորես, թե ինչպես լուծել նման օրինակները :))
Օրինակ:
Ինքներդ որոշեք.
Լուծումների վերլուծություն.
1. Սկսենք աստիճանի աստիճանի բարձրացման արդեն սովորական կանոնից.
Հիմա նայեք հաշիվը. Նա ձեզ ինչ-որ բան հիշեցնու՞մ է: Մենք հիշում ենք քառակուսիների տարբերության կրճատ բազմապատկման բանաձևը.
Այս դեպքում,
Ստացվում է, որ.
Պատասխան. .
2. Ցուցանիշներով կոտորակները բերում ենք նույն ձևին՝ երկուսն էլ տասնորդական, կամ երկուսն էլ սովորական: Մենք, օրինակ, ստանում ենք.
Պատասխան՝ 16
3. Ոչ մի առանձնահատուկ բան, մենք կիրառում ենք աստիճանների սովորական հատկությունները.
Ընդլայնված ՄԱՐԴԱԿ
աստիճանի սահմանում
Աստիճանը ձևի արտահայտությունն է՝ , որտեղ.
- — աստիճանի հիմք;
- - ցուցիչ.
Աստիճան բնական ցուցիչով (n = 1, 2, 3,...)
Թիվը բնական n հզորության հասցնելը նշանակում է թիվն ինքն իրենով բազմապատկել.
Հզորությունը ամբողջ թվային ցուցիչով (0, ±1, ±2,...)
Եթե ցուցիչն է դրական ամբողջ թիվթիվ:
էրեկցիա զրոյական հզորության:
Արտահայտությունն անորոշ է, քանի որ, մի կողմից, ցանկացած աստիճան սա է, իսկ մյուս կողմից՝ երրորդ աստիճանի ցանկացած թիվ սա է։
Եթե ցուցիչն է ամբողջ բացասականթիվ:
(որովհետև հնարավոր չէ բաժանել):
Եվս մեկ անգամ nulls-ի մասին. արտահայտությունը գործով սահմանված չէ։ Եթե, ապա.
Օրինակներ.
Աստիճան ռացիոնալ ցուցիչով
- - բնական թիվ;
- ամբողջ թիվ է;
Օրինակներ.
Դիպլոմային հատկություններ
Խնդիրների լուծումը հեշտացնելու համար փորձենք հասկանալ՝ որտեղի՞ց են առաջացել այդ հատկությունները: Եկեք ապացուցենք դրանք:
Տեսնենք՝ ինչ է և.
A-priory:
Այսպիսով, այս արտահայտության աջ կողմում ստացվում է հետևյալ արտադրանքը.
Բայց ըստ սահմանման, սա ցուցիչով թվի ուժ է, այսինքն.
Ք.Ե.Դ.
Օրինակ Պարզեցրեք արտահայտությունը:
Լուծում : .
Օրինակ Պարզեցրեք արտահայտությունը:
Լուծում Կարևոր է նշել, որ մեր կանոնում Պարտադիրպետք է ունենա նույն հիմքը. Հետևաբար, մենք միավորում ենք աստիճանները հիմքի հետ, բայց մնում ենք առանձին գործոն.
Մեկ այլ կարևոր նշում. այս կանոնը. միայն հզորությունների արտադրանքի համար!
Ոչ մի դեպքում դա չպետք է գրեմ։
Ինչպես նախորդ հատկության դեպքում, եկեք անդրադառնանք աստիճանի սահմանմանը.
Եկեք վերադասավորենք այն այսպես.
Ստացվում է, որ արտահայտությունը բազմապատկվում է ինքն իրեն մեկ անգամ, այսինքն, ըստ սահմանման, սա թվի --րդ ուժն է.
Իրականում սա կարելի է անվանել «ցուցանիշի փակագծում»։ Բայց դուք երբեք չեք կարող դա անել ընդհանուր առմամբ:
Հիշենք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը՝ քանի՞ անգամ ենք ուզում գրել։ Բայց դա իրականում ճիշտ չէ:
Հզորությունը բացասական հիմքով:
Մինչ այս պահը մենք քննարկել ենք միայն այն, ինչ պետք է լինի ցուցանիշըաստիճան. Բայց ի՞նչը պետք է հիմք հանդիսանա։ ից աստիճաններով բնական ցուցիչ հիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ .
Իրոք, մենք կարող ենք միմյանցով բազմապատկել ցանկացած թիվ, լինի դրանք դրական, բացասական կամ զույգ: Եկեք մտածենք, թե ինչ նշաններ («» կամ «») կունենան դրական և բացասական թվերի աստիճաններ:
Օրինակ՝ թիվը դրական կլինի, թե բացասական։ Ա. ?
Առաջինի հետ ամեն ինչ պարզ է՝ ինչքան էլ դրական թվեր բազմապատկենք միմյանց հետ, արդյունքը կլինի դրական։
Բայց բացասականները մի քիչ ավելի հետաքրքիր են։ Ի վերջո, մենք հիշում ենք 6-րդ դասարանից մի պարզ կանոն. Այսինքն, կամ. Բայց եթե բազմապատկենք (-ով), կստանանք -.
Եվ այսպես անվերջ. յուրաքանչյուր հաջորդ բազմապատկման հետ նշանը կփոխվի: Կարելի է նման ձեւակերպել պարզ կանոններ:
- նույնիսկաստիճան, - համար դրական.
- Բացասական թիվը բարձրացված է տարօրինակաստիճան, - համար բացասական.
- Ցանկացած ուժի դրական թիվը դրական թիվ է:
- Զրո ցանկացած հզորության հավասար է զրոյի:
Ինքներդ որոշեք, թե ինչ նշան կունենան հետևյալ արտահայտությունները.
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Դուք հասցրե՞լ եք: Ահա պատասխանները.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Առաջին չորս օրինակներում հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է: Մենք պարզապես նայում ենք բազային և ցուցիչին և կիրառում ենք համապատասխան կանոնը։
Օրինակ 5-ում, ամեն ինչ նույնպես այնքան սարսափելի չէ, որքան թվում է. կարևոր չէ, թե ինչին է հավասար հիմքը, աստիճանը հավասար է, ինչը նշանակում է, որ արդյունքը միշտ դրական կլինի: Դե, բացի այն դեպքերից, երբ հիմքը զրո է: Հիմքը նույնը չէ, չէ՞։ Ակնհայտորեն ոչ, քանի որ (որովհետև):
Օրինակ 6) այլևս այնքան էլ պարզ չէ: Այստեղ դուք պետք է պարզեք, թե որն է ավելի քիչ. Եթե դա հիշում եք, պարզ է դառնում, որ դա նշանակում է, որ հիմքը զրոյից փոքր է։ Այսինքն՝ մենք կիրառում ենք 2-րդ կանոնը՝ արդյունքը կլինի բացասական։
Եվ կրկին օգտագործում ենք աստիճանի սահմանումը.
Ամեն ինչ սովորական է. մենք գրում ենք աստիճանների սահմանումը և դրանք բաժանում ենք միմյանց, բաժանում դրանք զույգերի և ստանում.
Նախքան վերջին կանոնը վերլուծելը, լուծենք մի քանի օրինակ։
Հաշվարկել արտահայտությունների արժեքները.
Լուծումներ :
Եթե ուշադրություն չդարձնենք ութերորդ աստիճանին, ի՞նչ ենք տեսնում այստեղ։ Եկեք նայենք 7-րդ դասարանի ծրագրին: Այսպիսով, հիշո՞ւմ եք: Սա կրճատված բազմապատկման բանաձևն է, այն է՝ քառակուսիների տարբերությունը։
Մենք ստանում ենք.
Մենք ուշադիր նայում ենք հայտարարին. Այն շատ նման է համարիչի գործոններից մեկին, բայց ինչն է սխալ: Պայմանների սխալ հերթականություն. Եթե դրանք չեղարկվեին, կարող էր կիրառվել 3-րդ կանոնը: Բայց ինչպե՞ս դա անել: Պարզվում է, որ դա շատ հեշտ է՝ այստեղ մեզ օգնում է հայտարարի զույգ աստիճանը։
Եթե այն բազմապատկես, ոչինչ չի փոխվում, չէ՞: Բայց հիմա այն ունի հետևյալ տեսքը.
Պայմանները կախարդական կերպով փոխվել են տեղերը։ Այս «ֆենոմենը» հավասարաչափ վերաբերում է ցանկացած արտահայտության. մենք կարող ենք ազատորեն փոխել փակագծերի նշանները։ Բայց կարևոր է հիշել. բոլոր նշանները փոխվում են միաժամանակ:Այն չի կարող փոխարինվել մեզ համար միայն մեկ անընդունելի մինուս փոխելով:
Վերադառնանք օրինակին.
Եվ կրկին բանաձևը.
Այսպիսով, հիմա վերջին կանոնը.
Ինչպե՞ս ենք դա ապացուցելու։ Իհարկե, ինչպես միշտ. եկեք ընդլայնենք աստիճան հասկացությունը և պարզեցնենք.
Դե, հիմա բացենք փակագծերը։ Քանի՞ տառ կլինի: անգամ բազմապատկիչներով - ինչ տեսք ունի: Սա ոչ այլ ինչ է, քան գործողության սահմանում բազմապատկումԸնդամենը պարզվեց, որ բազմապատկիչներ կան: Այսինքն, դա, ըստ սահմանման, թվի ուժ է ցուցիչով.
Օրինակ:
Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով
Ի հավելումն միջին մակարդակի աստիճանների մասին տեղեկատվության, մենք աստիճանը կվերլուծենք իռացիոնալ ցուցանիշով: Այստեղ աստիճանների բոլոր կանոններն ու հատկությունները ճիշտ նույնն են, ինչ ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար, բացառությամբ, ի վերջո, ըստ սահմանման, իռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են (այսինքն. , իռացիոնալ թվերը բոլոր իրական թվերն են, բացառությամբ ռացիոնալ թվերի):
Բնական, ամբողջ թվով և ռացիոնալ ցուցիչով աստիճաններ ուսումնասիրելիս ամեն անգամ ավելի ծանոթ տերմիններով որոշակի «պատկեր», «անալոգիա» կամ նկարագրություն էինք կազմում: Օրինակ, բնական ցուցիչը իրենից մի քանի անգամ բազմապատկած թիվ է. զրոյական աստիճանի թիվն, ասես, ինքն իրենով մեկ անգամ բազմապատկված թիվ է, այսինքն՝ այն դեռ չի սկսել բազմապատկվել, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքը դեռ չի էլ հայտնվել, հետևաբար, արդյունքը միայն որոշակի «թվի պատրաստում», այն է՝ թիվ. աստիճան ամբողջ թվով բացասական ցուցանիշով - կարծես որոշակի «հակառակ գործընթաց» է տեղի ունեցել, այսինքն՝ թիվը ինքն իրենով չի բազմապատկվել, այլ բաժանվել է։
Չափազանց դժվար է պատկերացնել աստիճանը իռացիոնալ ցուցիչով (ինչպես դժվար է պատկերացնել 4-չափ տարածությունը): Ավելի շուտ, դա զուտ մաթեմատիկական օբյեկտ է, որը մաթեմատիկոսները ստեղծել են աստիճանի հասկացությունը թվերի ողջ տարածության վրա տարածելու համար։
Ի դեպ, գիտությունը հաճախ օգտագործում է աստիճան բարդ ցուցիչով, այսինքն՝ աստիճանը նույնիսկ իրական թիվ չէ։ Բայց դպրոցում մենք չենք մտածում նման դժվարությունների մասին, դուք հնարավորություն կունենաք ընկալել այս նոր հասկացությունները ինստիտուտում:
Այսպիսով, ի՞նչ անենք, եթե տեսնենք իռացիոնալ ցուցիչ: Մենք ամեն ինչ անում ենք, որ ձերբազատվենք դրանից :)
Օրինակ:
Ինքներդ որոշեք.
| 1) | 2) | 3) |
Պատասխանները:
- Հիշեք քառակուսիների բանաձևի տարբերությունը. Պատասխան.
- Կոտորակները բերում ենք միևնույն ձևի` կամ երկու տասնորդական, կամ երկուսն էլ սովորական: Մենք, օրինակ, ստանում ենք.
- Ոչ մի առանձնահատուկ բան, մենք կիրառում ենք աստիճանների սովորական հատկությունները.
ԲԱԺԻՆ ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎԸ
Աստիճանկոչվում է ձևի արտահայտություն՝ , որտեղ.
Աստիճան՝ ամբողջ թվով ցուցիչով
աստիճան, որի ցուցիչը բնական թիվ է (այսինքն՝ ամբողջ թիվ և դրական)։
Աստիճան ռացիոնալ ցուցիչով
աստիճան, որի ցուցիչը բացասական և կոտորակային թվերն են։
Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով
Ցուցանիշ, որի ցուցիչը անվերջ տասնորդական կոտորակ կամ արմատ է:
Դիպլոմային հատկություններ
Աստիճանների առանձնահատկությունները.
- Բացասական թիվը բարձրացված է նույնիսկաստիճան, - համար դրական.
- Բացասական թիվը բարձրացված է տարօրինակաստիճան, - համար բացասական.
- Ցանկացած ուժի դրական թիվը դրական թիվ է:
- Զրոն հավասար է ցանկացած հզորության:
- Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է:
ՀԻՄԱ ԽՈՍՔ ՈՒՆԵՍ...
Ինչպե՞ս եք հավանում հոդվածը: Տեղեկացրեք ինձ ստորև ներկայացված մեկնաբանություններում՝ ձեզ դուր եկավ, թե ոչ:
Պատմեք մեզ էներգիայի հատկությունների հետ կապված ձեր փորձի մասին:
Երևի հարցեր ունեք։ Կամ առաջարկություններ.
Գրեք մեկնաբանություններում։
Եվ հաջողություն ձեր քննություններին:
Նախորդ հոդվածներից մեկում արդեն նշել էինք թվի աստիճանը։ Այսօր մենք կփորձենք կողմնորոշվել դրա իմաստը գտնելու գործընթացում։ Գիտականորեն մենք կպարզենք, թե ինչպես ճիշտ արտահայտել: Մենք կհասկանանք, թե ինչպես է իրականացվում այս գործընթացը՝ միաժամանակ շոշափելով բոլոր հնարավոր ցուցիչները՝ բնական, իռացիոնալ, ռացիոնալ, ամբողջական։
Այսպիսով, եկեք ավելի սերտ նայենք օրինակների լուծումներին և պարզենք, թե ինչ է դա նշանակում.
- Հայեցակարգի սահմանում.
- Բացասական արվեստի բարձրացում.
- Ամբողջ հաշիվը.
- Թիվը իռացիոնալ ուժի հասցնելը:
Ահա մի սահմանում, որը ճշգրտորեն արտացոլում է իմաստը.
Համապատասխանաբար, ա թվի կառուցումը Արվեստ. r և a աստիճանի արժեքը r ցուցանիշով գտնելու գործընթացը նույնական հասկացություններ են։ Օրինակ, եթե խնդիրն է հաշվարկել աստիճանի արժեքը (0.6) 6″, ապա այն կարելի է պարզեցնել «0.6 թիվը բարձրացրեք 6-ի» արտահայտությամբ:
Դրանից հետո դուք կարող եք ուղղակիորեն անցնել շինարարության կանոններին:
Բացասական ուժի բարձրացում
Պարզության համար պետք է ուշադրություն դարձնել հետևյալ արտահայտությունների շղթային.
110 \u003d 0.1 \u003d 1 * 10 մինուս 1 ստ.,
1100 \u003d 0.01 \u003d 1 * 10 մինուս 2 քայլով,
11000 \u003d 0.0001 \u003d 1 * 10 մինուս 3 փ.,
110000=0.00001=1*10-ից մինուս 4 աստիճան:
Այս օրինակների շնորհիվ դուք կարող եք հստակ տեսնել ցանկացած բացասական հզորության 10-ն ակնթարթորեն հաշվարկելու ունակությունը: Այդ նպատակով բավական է պարզապես տեղափոխել տասնորդական բաղադրիչը.
- 10-ից -1 աստիճան - միավորից առաջ 1 զրոյական;
- -3-ում - երեք զրո մեկից առաջ;
- -9-ը 9 զրո է և այլն:
Հեշտ է նաև հասկանալ այս սխեմայի համաձայն, թե որքան կլինի 10 հանած 5 ճաշի գդալ: -
1100000=0,000001=(1*10)-5.
Ինչպես թիվը հասցնել բնական ուժի
Հիշեցնելով սահմանումը` հաշվի ենք առնում, որ a բնական թիվը արվեստում. n-ը հավասար է n գործոնի արտադրյալին, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a. Եկեք պատկերացնենք. (a * a * ... a) n, որտեղ n-ը բազմապատկված թվերի թիվն է: Համապատասխանաբար, a-ն n-ի հասցնելու համար անհրաժեշտ է հաշվել հետևյալ ձևի արտադրյալը՝ a * a * ... և բաժանել n-ի։
Այստեղից ակնհայտ է դառնում, որ էրեկցիան բնական արվեստում. հիմնված է բազմապատկման ունակության վրա(այս նյութը ներկայացված է իրական թվերի բազմապատկման բաժնում): Եկեք նայենք խնդրին.
Բարձրացրեք -2-ը 4-րդ ճ.գդ.
Մենք գործ ունենք բնական ցուցանիշի հետ։ Ըստ այդմ, որոշման ընթացքը կլինի հետևյալը՝ (-2) Արվեստ. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2): Այժմ մնում է միայն իրականացնել ամբողջ թվերի բազմապատկումը՝ (-2) * (-2) * (-2) * (-2): Մենք ստանում ենք 16:
Առաջադրանքի պատասխանը.
(-2) արվեստում. 4=16.
Օրինակ:
Հաշվիր արժեքը՝ երեք կետ երկու յոթերորդ քառակուսի:
Այս օրինակը հավասար է հետևյալ արտադրյալին. երեք կետ երկու յոթերորդ անգամ երեք կետ երկու յոթերորդ: Հիշելով, թե ինչպես է կատարվում խառը թվերի բազմապատկումը, մենք ավարտում ենք շինարարությունը.
- 3 ամբողջ 2 յոթերորդ՝ բազմապատկված իրենցով;
- հավասար է 23 յոթերորդ անգամ 23 յոթերորդ;
- հավասար է 529 քառասունիններորդ;
- կրճատում ենք և ստանում 10 երեսունինը քառասունիններորդ:
Պատասխան. 10 39/49
Ինչ վերաբերում է իռացիոնալ ցուցանիշի բարձրացման հարցին, ապա հարկ է նշել, որ հաշվարկները սկսում են իրականացվել աստիճանի հիմքի նախնական կլորացումից հետո ինչ-որ աստիճանի, ինչը թույլ կտա ստանալ տվյալ ճշգրտությամբ արժեք։ . Օրինակ, մենք պետք է քառակուսի դարձնենք P թիվը (pi):
Մենք սկսում ենք P-ն հարյուրերորդական կլորացնելով և ստանում.
P քառակուսի \u003d (3.14) 2 \u003d 9.8596: Այնուամենայնիվ, եթե P-ն իջեցնենք մինչև տասը հազարերորդական, մենք կստանանք P = 3,14159: Այնուհետև քառակուսումը ստանում է բոլորովին այլ թիվ՝ 9.8695877281:
Այստեղ պետք է նշել, որ շատ խնդիրներում կարիք չկա իռացիոնալ թվերը հասցնել իշխանության։ Որպես կանոն, պատասխանը մուտքագրվում է կամ, ըստ էության, աստիճանի տեսքով, օրինակ՝ 6-ի արմատը՝ 3-ի, կամ, եթե արտահայտությունը թույլ է տալիս, կատարվում է դրա փոխակերպում՝ 5-ի արմատը։ մինչև 7 աստիճան \u003d 5-ի 125 արմատ:
Ինչպես թիվը հասցնել ամբողջ թվի
Այս հանրահաշվական մանիպուլյացիան տեղին է հաշվի առնել հետևյալ դեպքերը.
- ամբողջ թվերի համար;
- զրոյական ցուցանիշի համար;
- դրական ամբողջ թվի համար:
Քանի որ գրեթե բոլոր դրական ամբողջ թվերը համընկնում են բնական թվերի զանգվածի հետ, դրա վրա դրական ամբողջ հզորության սահմանելը նույն գործընթացն է, ինչ Արվեստում: բնական. Մենք նկարագրել ենք այս գործընթացը նախորդ պարբերությունում:
Հիմա խոսենք Արվեստի հաշվարկի մասին: դատարկ. Վերևում մենք արդեն պարզեցինք, որ a թվի զրոյական հզորությունը կարելի է որոշել ցանկացած ոչ զրոյական a (իրական) համար, մինչդեռ a-ն st. 0-ը հավասար կլինի 1-ի:
Համապատասխանաբար, ցանկացած իրական թվի կառուցումը զրոյական արվեստ. կտա մեկը.
Օրինակ, 10-ը st.0=1-ում, (-3.65)0=1, իսկ 0-ը st. 0-ը չի կարող որոշվել:
Որպեսզի ավարտվի աստիճանավորումը դեպի ամբողջ թիվ, մնում է որոշել բացասական ամբողջ արժեքների տարբերակները: Մենք հիշում ենք, որ Արվեստ. a-ից -z-ն ամբողջ թվով ցուցիչով կսահմանվի որպես կոտորակ: Կոտորակի հայտարարում Արտ. դրական ամբողջ արժեքով, որի արժեքը մենք արդեն սովորել ենք գտնել։ Այժմ մնում է միայն դիտարկել շինարարության օրինակ:
Օրինակ:
Հաշվի՛ր բացասական ամբողջ թվով խորանարդված 2 թվի արժեքը։
Լուծման գործընթաց.
Բացասական ցուցիչով աստիճանի սահմանման համաձայն, մենք նշում ենք. երկուսը մինուս 3 ճաշի գդալ: հավասար է մեկից երկու երրորդին:
Հայտարարը հաշվարկվում է պարզապես՝ երկու խորանարդ;
3 = 2*2*2=8.
Պատասխան. երկուսից մինուս 3-րդ ճ.գ. = մեկ ութերորդ:
Դպրոցից մենք բոլորս գիտենք աստիճանի բարձրացման կանոնը. N չափանիշ ունեցող ցանկացած թիվ հավասար է այս թիվը իր վրա N անգամ բազմապատկելու արդյունքին: Այլ կերպ ասած, 7-ը 3-ի չափով 7-ը բազմապատկվում է իր վրա երեք անգամ, այսինքն՝ 343: Մեկ այլ կանոն՝ ցանկացած արժեք 0-ի չափով բարձրացնելը տալիս է մեկ, իսկ բացասական արժեք բարձրացնելը սովորական հզորության արդյունք է, եթե. այն զույգ է, և նույն արդյունքը մինուս նշանով, եթե այն կենտ է:
Կանոնները նաև պատասխան են տալիս, թե ինչպես կարելի է թիվը հասցնել բացասական ուժի։ Դա անելու համար հարկավոր է սովորական եղանակով բարձրացնել պահանջվող արժեքը ցուցիչի մոդուլով, այնուհետև միավորը բաժանել արդյունքի վրա:
Այս կանոններից պարզ է դառնում, որ մեծ քանակությամբ իրական խնդիրների իրականացումը կպահանջի առկայություն տեխնիկական միջոցներ. Ձեռքով հնարավոր կլինի ինքն իրենով բազմապատկել թվերի առավելագույն միջակայքը մինչև քսան կամ երեսուն, իսկ հետո ոչ ավելի, քան երեք կամ չորս անգամ: Սա էլ չի խոսում այն մասին, որ այնուհետև բաժանեք միավորը արդյունքի վրա: Հետեւաբար, նրանց համար, ովքեր չունեն հատուկ ինժեներական հաշվիչ, մենք կբացատրենք, թե ինչպես կարելի է Excel-ում թիվը հասցնել բացասական ցուցիչի:
Խնդիրների լուծում Excel-ում
Տարբերակման հետ կապված խնդիրները լուծելու համար Excel-ը թույլ է տալիս օգտագործել երկու տարբերակներից մեկը:
Առաջինը ստանդարտ գլխարկի խորհրդանիշով բանաձևի օգտագործումն է: Մուտքագրեք հետևյալ տվյալները աշխատանքային թերթիկի բջիջներում.
Նույն կերպ, դուք կարող եք բարձրացնել ցանկալի արժեքը ցանկացած հզորության՝ բացասական, կոտորակային: Անենք հետևյալը և պատասխանենք այն հարցին, թե ինչպես կարելի է թիվը հասցնել բացասական աստիճանի։ Օրինակ:
Հնարավոր է ուղղակիորեն ուղղել =B2^-C2 բանաձեւով։
Երկրորդ տարբերակն է՝ օգտագործել պատրաստի «Դիպլոմ» ֆունկցիան, որն ընդունում է երկու պարտադիր արգումենտ՝ թիվ և ցուցիչ։ Այն օգտագործել սկսելու համար բավական է ցանկացած ազատ բջիջում դնել հավասար նշան (=)՝ նշելով բանաձևի սկիզբը և մուտքագրել վերը նշված բառերը։ Մնում է ընտրել երկու բջիջ, որոնք կմասնակցեն գործողությանը (կամ ձեռքով նշեք կոնկրետ թվեր) և սեղմեք Enter ստեղնը։ Եկեք նայենք մի քանի պարզ օրինակների:
Բանաձև | Արդյունք |
||||
POWER (B2;C2) | |||||
POWER (B3;C3) |
|
Ինչպես տեսնում եք, ոչ մի բարդ բան չկա այն մասին, թե ինչպես կարելի է Excel-ի միջոցով թիվը հասցնել բացասական հզորության և սովորականի: Ի վերջո, այս խնդիրը լուծելու համար կարող եք օգտագործել և՛ ծանոթ «կափարիչ» նշանը, և՛ ծրագրի հեշտ հիշվող ներկառուցված գործառույթը: Սա միանշանակ գումարած է:
Անցնենք ավելիին բարդ օրինակներ. Եկեք հիշենք կանոնը, թե ինչպես կարելի է թիվը հասցնել կոտորակային նիշի բացասական ուժի, և կտեսնենք, որ այս խնդիրը շատ պարզ է լուծվում Excel-ում:
Կոտորակային ցուցանիշներ
Մի խոսքով, կոտորակային ցուցիչով թիվը հաշվելու ալգորիթմը հետևյալն է.
- Կոտորակի ցուցիչը փոխարկեք պատշաճ կամ ոչ պատշաճ կոտորակի:
- Բարձրացրեք մեր թիվը մինչև ստացված փոխարկված կոտորակի համարիչը:
- Նախորդ պարբերությունում ստացված թվից հաշվարկեք արմատը՝ պայմանով, որ արմատային ցուցիչը կլինի առաջին փուլում ստացված կոտորակի հայտարարը։
Համաձայնեք, որ նույնիսկ փոքր թվերով և պատշաճ կոտորակներով աշխատելիս նման հաշվարկները կարող են շատ ժամանակ խլել: Լավ է, որ աղյուսակը Excel պրոցեսորանկախ նրանից, թե ինչ թիվ և ինչ աստիճանի բարձրացնենք: Փորձեք լուծել հետևյալ օրինակը Excel-ի աշխատաթերթում.
Օգտագործելով վերը նշված կանոնները, կարող եք ստուգել և համոզվել, որ հաշվարկը ճիշտ է:
Մեր հոդվածի վերջում մենք բանաձևերով և արդյունքներով աղյուսակի տեսքով կտանք մի քանի օրինակ, թե ինչպես կարելի է թիվը հասցնել բացասական ուժի, ինչպես նաև գործողության մի քանի օրինակ: կոտորակային թվերև աստիճաններ։
Օրինակ աղյուսակ
Ստուգեք Excel-ի աշխատաթերթը հետևյալ օրինակների համար: Որպեսզի ամեն ինչ ճիշտ աշխատի, բանաձևը պատճենելիս անհրաժեշտ է օգտագործել խառը հղում: Ամրագրեք բարձրացված թիվը պարունակող սյունակի և ցուցիչ պարունակող տողի համարը: Ձեր բանաձևը պետք է նման լինի հետևյալին. «=$B4^C$3»:
Համար / աստիճան | |||||
Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ դրական թվերը (նույնիսկ ոչ ամբողջ թվերը) հաշվարկվում են առանց խնդիրների որևէ ցուցիչի համար: Որևէ թվեր ամբողջ թվերի հասցնելու հետ կապված խնդիրներ չկան: Բայց բացասական թիվը կոտորակային հզորության հասցնելը ձեզ համար սխալ կստացվի, քանի որ անհնար է հետևել բացասական թվերի բարձրացման մասին մեր հոդվածի սկզբում նշված կանոնին, քանի որ հավասարությունը բացառապես INTEGER թվի հատկանիշ է:
Թվի աստիճանի մասին զրույցի շարունակության մեջ տրամաբանական է զբաղվել աստիճանի արժեքը գտնելով։ Այս գործընթացը անվանվել է հզորացում. Այս հոդվածում մենք պարզապես կուսումնասիրենք, թե ինչպես է կատարվում աստիճանավորումը՝ միաժամանակ անդրադառնալով բոլոր հնարավոր ցուցանիշներին՝ բնական, ամբողջական, ռացիոնալ և իռացիոնալ: Եվ ըստ ավանդույթի, մենք մանրամասնորեն կքննարկենք թվերի տարբեր աստիճանների բարձրացման օրինակների լուծումները:
Էջի նավարկություն.
Ի՞նչ է նշանակում «արտահայտում»:
Սկսենք բացատրելով այն, ինչ կոչվում է աստիճանականացում։ Ահա համապատասխան սահմանումը.
Սահմանում.
Էքսպոենտացիաթվի հզորության արժեքը գտնելն է:
Այսպիսով, a-ի հզորության արժեքը գտնելը r ցուցանիշով և a թիվը հասցնելով r-ի մեծության նույն բանն է։ Օրինակ, եթե առաջադրանքը «հաշվիր հզորության արժեքը (0.5) 5», ապա այն կարելի է վերաձեւակերպել հետևյալ կերպ.
Այժմ դուք կարող եք ուղղակիորեն անցնել այն կանոններին, որոնցով իրականացվում է աստիճանավորումը:
Թիվը բնական ուժի հասցնելը
Գործնականում, վրա հիմնված հավասարությունը սովորաբար կիրառվում է ձևով: Այսինքն՝ a թիվը հասցնելով կոտորակային հզորության m/n, սկզբում հանվում է a թվից n-րդ աստիճանի արմատը, որից հետո արդյունքը հասցվում է ամբողջ թվային հզորության m։
Դիտարկենք կոտորակային հզորության բարձրացման օրինակների լուծումները:
Օրինակ.
Հաշվիր աստիճանի արժեքը։
Լուծում.
Մենք ցույց ենք տալիս երկու լուծում.
Առաջին ճանապարհը. Կոտորակի ցուցիչով աստիճանի սահմանմամբ: Մենք հաշվարկում ենք աստիճանի արժեքը արմատի նշանի տակ, որից հետո մենք հանում ենք խորանարդի արմատը. 
.
Երկրորդ ճանապարհը. Ըստ կոտորակային ցուցիչ ունեցող աստիճանի սահմանման և արմատների հատկությունների հիման վրա, հավասարությունները ճշմարիտ են 
. Այժմ հանեք արմատը 
Ի վերջո, մենք բարձրացնում ենք ամբողջ թվի հզորությունը 
.
Ակնհայտ է, որ կոտորակային հզորության բարձրացման ստացված արդյունքները համընկնում են։
Պատասխան.
Նկատենք, որ կոտորակային ցուցիչը կարող է գրվել որպես տասնորդական կոտորակ կամ խառը թիվ, այս դեպքերում այն պետք է փոխարինել համապատասխան սովորական կոտորակով, այնուհետև կատարել աստիճանականացում։
Օրինակ.
Հաշվիր (44,89) 2,5 .
Լուծում.
Ցուցանիշը գրում ենք ձևով ընդհանուր կոտորակ(անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածը): 
. Այժմ մենք կատարում ենք բարձրացում մինչև կոտորակային հզորություն. 
Պատասխան.
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Պետք է նաև ասել, որ թվերը ռացիոնալ հզորությունների հասցնելը բավականին աշխատատար գործընթաց է (հատկապես այն դեպքում, երբ կոտորակային ցուցանիշի համարիչը և հայտարարը բավարար են. մեծ թվեր), որը սովորաբար կատարվում է օգտագործելով Համակարգչային գիտություն.
Այս պարբերության վերջում մենք կանդրադառնանք զրո թվի կոտորակային հզորության կառուցմանը: Ձևի զրոյի կոտորակային աստիճանին տվել ենք հետևյալ նշանակությունը՝ քանի որ ունենք 
, մինչդեռ զրոյական մ/ն հզորությունը սահմանված չէ։ Այսպիսով, զրոյից դեպի դրական կոտորակային ուժը զրո է, օրինակ. 
. Իսկ կոտորակային բացասական հզորության մեջ զրոն իմաստ չունի, օրինակ արտահայտությունները և 0 -4,3-ը իմաստ չունեն։
Իռացիոնալ ուժի բարձրացում
Երբեմն անհրաժեշտ է դառնում պարզել իռացիոնալ ցուցիչով թվի աստիճանի արժեքը։ Միևնույն ժամանակ, ներս գործնական նպատակներսովորաբար բավական է աստիճանի արժեքը հասցնել ինչ-որ նշանի։ Մենք անմիջապես նշում ենք, որ գործնականում այս արժեքը հաշվարկվում է էլեկտրոնային հաշվողական տեխնոլոգիայի միջոցով, քանի որ ձեռքով իռացիոնալ հզորության բարձրացումը պահանջում է մեծ թվով ծանր հաշվարկներ: Բայց, այնուամենայնիվ, մենք ընդհանուր առմամբ կնկարագրենք գործողությունների էությունը։
Իռացիոնալ ցուցիչով a-ի հզորության մոտավոր արժեքը ստանալու համար վերցվում է աստիճանի որոշակի տասնորդական մոտարկում և հաշվարկվում է աստիճանի արժեքը։ Այս արժեքը իռացիոնալ ցուցիչով a թվի աստիճանի մոտավոր արժեքն է։ Որքան ավելի ճշգրիտ լինի թվի տասնորդական մոտարկումը սկզբում, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի աստիճանի արժեքը վերջում:
Որպես օրինակ՝ եկեք հաշվարկենք 2 1,174367-ի հզորության մոտավոր արժեքը... . Վերցնենք իռացիոնալ ցուցիչի հետևյալ տասնորդական մոտարկումը. Այժմ մենք բարձրացնում ենք 2-ը մինչև 1.17 ռացիոնալ ուժ (մենք նկարագրեցինք այս գործընթացի էությունը նախորդ պարբերությունում), ստանում ենք 2 1.17 ≈ 2.250116: Այսպիսով, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Եթե վերցնենք իռացիոնալ ցուցիչի ավելի ճշգրիտ տասնորդական մոտարկում, օրինակ՝ , ապա մենք ստանում ենք սկզբնական աստիճանի ավելի ճշգրիտ արժեքը. 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Մատենագիտություն.
- Վիլենկին Ն.Յա., Ժոխով Վ.Ի., Չեսնոկով Ա.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Մաթեմատիկա Ժ դասագիրք 5 բջիջի համար. ուսումնական հաստատություններ.
- Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ 7 բջիջների դասագիրք. ուսումնական հաստատություններ.
- Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ դասագիրք 8 բջիջների համար. ուսումնական հաստատություններ.
- Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ 9 բջիջների դասագիրք. ուսումնական հաստատություններ.
- Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. և այլք Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների համար.
- Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար).
Առաջին մակարդակ
Աստիճանը և դրա հատկությունները: Համապարփակ ուղեցույց (2019)
Ինչու են անհրաժեշտ աստիճաններ: Որտե՞ղ են դրանք ձեզ անհրաժեշտ: Ինչու՞ պետք է ժամանակ հատկացնեք դրանք ուսումնասիրելուն:
Գիտելիքների մասին ամեն ինչ իմանալու համար, թե ինչի համար են դրանք, ինչպես օգտագործել ձեր գիտելիքները առօրյա կյանքում, կարդացեք այս հոդվածը:
Եվ, իհարկե, գիտական աստիճանների իմացությունը ձեզ ավելի կմոտեցնի OGE կամ միասնական պետական քննությունը հաջողությամբ հանձնելուն և ձեր երազանքների համալսարան ընդունվելուն:
Եկեք գնանք ... (Եկեք գնանք):
Կարևոր նշում! Եթե բանաձևերի փոխարեն տեսնում եք անհեթեթություն, մաքրեք ձեր քեշը: Դա անելու համար սեղմեք CTRL+F5 (Windows-ում) կամ Cmd+R (Mac-ում):
ԱՌԱՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ
Ցուցադրումը նույն մաթեմատիկական գործողությունն է, ինչ գումարումը, հանումը, բազմապատկումը կամ բաժանումը:
Հիմա ես ամեն ինչ կբացատրեմ մարդկային լեզվով՝ օգտագործելով շատ պարզ օրինակներ։ Զգույշ եղիր. Օրինակները տարրական են, բայց բացատրում են կարևոր բաները։
Սկսենք ավելացումից։
Այստեղ բացատրելու բան չկա։ Դուք արդեն ամեն ինչ գիտեք՝ մենք ութ հոգի ենք։ Յուրաքանչյուրն ունի երկու շիշ կոլա: Որքա՞ն կոլա: Ճիշտ է` 16 շիշ:
Հիմա բազմապատկում:
Կոլայի հետ նույն օրինակը կարելի է այլ կերպ գրել. Մաթեմատիկոսները խորամանկ և ծույլ մարդիկ են։ Նրանք նախ նկատում են որոշ օրինաչափություններ, իսկ հետո դրանք ավելի արագ «հաշվելու» միջոց են գտնում: Մեր դեպքում նրանք նկատեցին, որ ութ հոգուց յուրաքանչյուրն ունի նույն թվով շիշ կոլա և հայտնագործեցին մի տեխնիկա, որը կոչվում է բազմապատկում: Համաձայն եմ, այն համարվում է ավելի հեշտ և արագ, քան:
Այսպիսով, ավելի արագ, հեշտ և առանց սխալների հաշվելու համար պարզապես անհրաժեշտ է հիշել բազմապատկման աղյուսակ. Իհարկե, դուք կարող եք ամեն ինչ անել ավելի դանդաղ, դժվար և սխալներով: Բայց…
Ահա բազմապատկման աղյուսակը. Կրկնել.
Եվ մեկ այլ, ավելի գեղեցիկ.
Իսկ հաշվելու ուրիշ ի՞նչ խորամանկ հնարքներ են հորինել ծույլ մաթեմատիկոսները: Ճիշտ - թիվը հասցնելով ուժի.
Թիվը հզորության բարձրացում
Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է թիվն ինքն իրենով հինգ անգամ բազմապատկել, ապա մաթեմատիկոսներն ասում են, որ պետք է այդ թիվը հասցնել հինգերորդ աստիճանի: Օրինակ, . Մաթեմատիկոսները հիշում են, որ երկուսից հինգերորդ ուժը հավասար է: Եվ նրանք իրենց մտքում լուծում են այդպիսի խնդիրներ՝ ավելի արագ, հեշտ և առանց սխալների։
Դա անելու համար ձեզ միայն անհրաժեշտ է հիշեք, թե ինչն է գույնով ընդգծված թվերի հզորությունների աղյուսակում. Հավատացեք ինձ, դա ձեր կյանքը շատ կհեշտացնի։
Ի դեպ, ինչու է կոչվում երկրորդ աստիճան քառակուսիթվեր, և երրորդը խորանարդ? Ինչ է դա նշանակում? Շատ լավ հարց. Այժմ դուք կունենաք և՛ քառակուսիներ, և՛ խորանարդներ:
Իրական կյանքի օրինակ թիվ 1
Սկսենք քառակուսուց կամ թվի երկրորդ աստիճանից։
Պատկերացրեք քառակուսի լողավազան, որը չափում է մետր մետր: Լողավազանը ձեր բակում է։ Շոգ է, և ես շատ եմ ուզում լողալ: Բայց ... լողավազան առանց հատակի: Անհրաժեշտ է լողավազանի հատակը ծածկել սալիկներով։ Քանի սալիկ է ձեզ հարկավոր: Դա որոշելու համար դուք պետք է իմանաք լողավազանի հատակի տարածքը:
Դուք կարող եք պարզապես մատը սեղմելով հաշվել, որ լողավազանի հատակը մետր առ մետր խորանարդիկներից է: Եթե ձեր սալիկները մետր առ մետր են, ապա ձեզ անհրաժեշտ կլինեն կտորներ: Հեշտ է... Բայց որտե՞ղ եք տեսել այդպիսի կղմինդր։ Սալիկն ավելի շուտ կլինի սմ առ սմ, իսկ հետո ձեզ տանջելու է «մատով հաշվելը»։ Հետո պետք է բազմապատկել։ Այսպիսով, լողավազանի հատակի մի կողմում մենք կտեղավորենք սալիկներ (կտորներ), իսկ մյուս կողմում նույնպես սալիկներ: Բազմապատկելով՝ ստանում եք սալիկներ ():
Նկատեցի՞ք, որ մենք նույն թիվն ինքնին բազմապատկեցինք՝ լողավազանի հատակի մակերեսը որոշելու համար: Ինչ է դա նշանակում? Քանի որ նույն թիվը բազմապատկվում է, մենք կարող ենք օգտագործել աստիճանավորման տեխնիկան: (Իհարկե, երբ դուք ունեք ընդամենը երկու թիվ, դուք դեռ պետք է դրանք բազմապատկեք կամ դրանք հասցնեք հզորության: Բայց եթե դրանք շատ են, ապա հզորության բարձրացումը շատ ավելի հեշտ է, և նաև հաշվարկների մեջ ավելի քիչ սխալներ կան: Քննության համար սա շատ կարևոր է):
Այսպիսով, երեսունից երկրորդ աստիճանը կլինի (): Կամ կարող եք ասել, որ երեսուն քառակուսի կլինի: Այլ կերպ ասած, թվի երկրորդ աստիճանը միշտ կարող է ներկայացվել որպես քառակուսի: Եվ հակառակը, եթե քառակուսի եք տեսնում, այն ՄԻՇՏ ինչ-որ թվի երկրորդ աստիճանն է։ Քառակուսին թվի երկրորդ աստիճանի պատկերն է։
Իրական կյանքի օրինակ #2
Ահա ձեզ համար առաջադրանք, հաշվեք, թե քանի քառակուսի կա շախմատի տախտակի վրա՝ օգտագործելով թվի քառակուսին... Բջիջների մի կողմում և մյուս կողմից նույնպես: Նրանց թիվը հաշվելու համար պետք է ութը բազմապատկել ութով, կամ ... եթե նկատում եք, որ շախմատի տախտակը կողքով քառակուսի է, ապա կարող եք քառակուսի դնել ութը: Ստացեք բջիջներ: () Ուրեմն?
Իրական կյանքի օրինակ #3
Այժմ խորանարդը կամ թվի երրորդ ուժը: Նույն լողավազան. Բայց հիմա պետք է պարզել, թե որքան ջուր պետք է լցվի այս լողավազանի մեջ։ Դուք պետք է հաշվարկեք ծավալը: (Ծավալներն ու հեղուկները, ի դեպ, չափվում են խորանարդ մետրերով: Անսպասելի է, չէ՞) Գծե՛ք լողավազան. հատակը մեկ մետր չափի և մեկ մետր խորություն և փորձեք հաշվել, թե մետրը մետրով չափվող քանի խորանարդ կմտնի ձեր լողավազան.
Պարզապես ցույց տվեք ձեր մատը և հաշվեք: Մեկ, երկու, երեք, չորս… քսաներկու, քսաներեք… Որքա՞ն է ստացվել: Չե՞ք կորել։ Դժվա՞ր է մատով հաշվել։ Այնպես, որ! Օրինակ վերցրեք մաթեմատիկոսներից: Նրանք ծույլ են, ուստի նկատել են, որ լողավազանի ծավալը հաշվարկելու համար պետք է միմյանցով բազմապատկել դրա երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը։ Մեր դեպքում լողավազանի ծավալը հավասար կլինի խորանարդի... Ավելի հեշտ է, չէ՞:
Հիմա պատկերացրեք, թե որքան ծույլ և խորամանկ են մաթեմատիկոսները, եթե դա շատ հեշտ են դարձնում: Ամեն ինչ կրճատեց մեկ գործողության: Նրանք նկատեցին, որ երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը հավասար են, և որ նույն թիվը բազմապատկվում է ինքն իրեն... Իսկ ի՞նչ է սա նշանակում։ Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք օգտագործել աստիճանը: Այսպիսով, այն, ինչ մի անգամ մատով հաշվում էիր, նրանք անում են մեկ գործողությամբ՝ երեքը խորանարդի մեջ հավասար են։ Գրված է այսպես.
Մնում է միայն անգիր անել աստիճանների աղյուսակը. Եթե, իհարկե, մաթեմատիկոսների նման ծույլ ու խորամանկ չեք։ Եթե սիրում եք շատ աշխատել և սխալվել, կարող եք շարունակել հաշվել մատով։
Դե, որպեսզի վերջապես ձեզ համոզեմ, որ աստիճանները հորինել են լոֆերներն ու խորամանկները՝ իրենց կյանքի խնդիրները լուծելու, այլ ոչ թե ձեզ համար խնդիրներ ստեղծելու համար, ահա ևս մի երկու օրինակ կյանքից։
Իրական կյանքի օրինակ #4
Դուք ունեք մեկ միլիոն ռուբլի: Ամեն տարվա սկզբին յուրաքանչյուր միլիոնի դիմաց վաստակում եք ևս մեկ միլիոն: Այսինքն՝ ձեր յուրաքանչյուր միլիոնը յուրաքանչյուր տարվա սկզբին կրկնապատկվում է։ Որքա՞ն գումար կունենաք տարիների ընթացքում: Եթե հիմա նստած ու «մատով հաշվում եք», ուրեմն շատ աշխատասեր մարդ եք և... հիմար։ Բայց, ամենայն հավանականությամբ, մի քանի վայրկյանից պատասխան կտաս, քանի որ դու խելացի ես։ Այսպիսով, առաջին տարում - երկու անգամ երկու ... երկրորդ տարում - ինչ եղավ, ևս երկուսը, երրորդ տարում ... Կանգ առեք: Նկատեցիք, որ թիվը մեկ անգամ բազմապատկվում է ինքն իրեն։ Այսպիսով, երկուսից հինգերորդ ուժը միլիոն է: Հիմա պատկերացրեք, որ դուք ունեք մրցույթ, և նա, ով ավելի արագ է հաշվարկում, կստանա այս միլիոնները... Արժե՞ արդյոք հիշել թվերի աստիճանները, ի՞նչ եք կարծում։
Իրական կյանքի օրինակ #5
Դուք ունեք մեկ միլիոն: Ամեն տարվա սկզբին յուրաքանչյուր միլիոնի դիմաց դուք վաստակում եք ևս երկուսը: Հիանալի է, ճիշտ է? Յուրաքանչյուր միլիոնը եռապատկվում է։ Որքա՞ն գումար կունենաք մեկ տարվա ընթացքում: Եկեք հաշվենք. Առաջին տարին` բազմապատկեք, հետո արդյունքը մեկ այլով... Դա արդեն ձանձրալի է, քանի որ դուք արդեն հասկացաք ամեն ինչ. երեքն ինքն իրենով բազմապատկվում է անգամ: Այսպիսով, չորրորդ իշխանությունը միլիոն է: Պարզապես պետք է հիշել, որ երեքից չորրորդ ուժը կամ է:
Այժմ դուք գիտեք, որ թիվն ուժի հասցնելով, դուք շատ կհեշտացնեք ձեր կյանքը: Եկեք ավելի մանրամասն նայենք, թե ինչ կարող եք անել աստիճաններով և ինչ պետք է իմանաք դրանց մասին:
Տերմիններ և հասկացություններ ... որպեսզի չշփոթվեն
Այսպիսով, նախ, եկեք սահմանենք հասկացությունները: Ինչ ես կարծում, ինչ է ցուցիչը? Դա շատ պարզ է՝ սա այն թիվն է, որը թվի հզորության «վերևում» է։ Ոչ գիտական, բայց պարզ և հեշտ հիշվող…
Դե, միեւնույն ժամանակ, ինչ աստիճանի նման բազա? Նույնիսկ ավելի պարզ է այն թիվը, որը գտնվում է ներքևում, հիմքում:
Ահա մի նկար, որպեսզի համոզվեք:
Դե, ընդհանուր առմամբ, ընդհանրացնելու և ավելի լավ հիշելու համար ... «» հիմքով և «» ցուցիչով աստիճանը կարդացվում է որպես «աստիճանի մեջ» և գրվում է հետևյալ կերպ.
Բնական ցուցիչով թվի հզորությունը
Դուք հավանաբար արդեն կռահեցիք, քանի որ ցուցիչը բնական թիվ է: Այո, բայց ինչ կա բնական թիվ? Տարրական! Բնական թվերն այն թվերն են, որոնք օգտագործվում են հաշվելու ժամանակ իրերը թվարկելիս՝ մեկ, երկու, երեք… Երբ մենք հաշվում ենք տարրերը, մենք չենք ասում՝ «մինուս հինգ», «մինուս վեց», «մինուս յոթ»: «Մեկ երրորդ» կամ «զրո միավոր հինգ տասներորդ» էլ չենք ասում։ Սրանք բնական թվեր չեն։ Ի՞նչ եք կարծում, որո՞նք են այս թվերը:
Նման թվերը վերաբերում են «մինուս հինգ», «մինուս վեց», «մինուս յոթ»: ամբողջ թվեր.Ընդհանուր առմամբ, ամբողջ թվերը ներառում են բոլոր բնական թվերը, բնական թվերին հակադիր թվերը (այսինքն՝ վերցված մինուս նշանով) և թիվը։ Զրոն հեշտ է հասկանալ, սա այն դեպքում, երբ ոչինչ չկա: Իսկ ի՞նչ են նշանակում բացասական («մինուս») թվերը։ Բայց դրանք հորինվել են հիմնականում պարտքերը նշելու համար. եթե ձեր հեռախոսում հաշվեկշիռ ունեք ռուբլով, դա նշանակում է, որ դուք օպերատորին պարտք եք ռուբլով:
Բոլոր կոտորակները ռացիոնալ թվեր են: Ինչպե՞ս են դրանք առաջացել, ի՞նչ եք կարծում։ Շատ պարզ. Մի քանի հազար տարի առաջ մեր նախնիները հայտնաբերեցին, որ չունեն բավականաչափ բնական թվեր երկարությունը, քաշը, մակերեսը և այլն չափելու համար: Եվ նրանք եկան ռացիոնալ թվեր… Հետաքրքիր է, այնպես չէ՞:
Կան նաև իռացիոնալ թվեր։ Որո՞նք են այս թվերը: Մի խոսքով, անսահման տասնորդական կոտորակ: Օրինակ, եթե շրջանագծի շրջագիծը բաժանեք տրամագծի վրա, ապա ստացվում է իռացիոնալ թիվ։
Ամփոփում:
Սահմանենք աստիճան հասկացությունը, որի ցուցիչը բնական թիվ է (այսինքն՝ ամբողջ և դրական)։
- Առաջին աստիճանի ցանկացած թիվ հավասար է ինքն իրեն.
- Թիվ քառակուսի դնելը նշանակում է այն բազմապատկել ինքն իրենով.
- Թիվը խորանարդիկ դարձնելը նշանակում է այն երեք անգամ բազմապատկել ինքն իրենով.
Սահմանում.Թիվը բնական հզորության հասցնելու համար նշանակում է թիվը ինքն իրենով բազմապատկել.
.
Դիպլոմային հատկություններ
Որտեղի՞ց են առաջացել այս հատկությունները: Ես ձեզ հիմա ցույց կտամ:
Եկեք տեսնենք, թե ինչ է Եվ ?
A-priory:
Քանի՞ բազմապատկիչ կա ընդհանուր առմամբ:
Դա շատ պարզ է՝ մենք գործոններին ավելացրել ենք գործոններ, և արդյունքը՝ գործոններ։
Բայց ըստ սահմանման սա ցուցիչ ունեցող թվի աստիճանն է, այսինքն՝ , որը պահանջվում էր ապացուցել։
ՕրինակՊարզեցրեք արտահայտությունը:
Լուծում:
Օրինակ:Պարզեցրեք արտահայտությունը.
Լուծում:Կարևոր է նշել, որ մեր կանոնում Պարտադիրպետք է լինի նույն պատճառը!
Հետևաբար, մենք միավորում ենք աստիճանները հիմքի հետ, բայց մնում ենք առանձին գործոն.
միայն հզորության արտադրանքի համար:
Ոչ մի դեպքում չպետք է դա գրեք։
2. այսինքն - թվի թվի հզորությունը
Ինչպես նախորդ հատկության դեպքում, եկեք անդրադառնանք աստիճանի սահմանմանը.
Ստացվում է, որ արտահայտությունն ինքն իրենով մեկ անգամ է բազմապատկվում, այսինքն՝ ըստ սահմանման, սա թվի երրորդ ուժն է.
Իրականում սա կարելի է անվանել «ցուցանիշի փակագծում»։ Բայց դուք երբեք չեք կարող դա անել ընդհանուր առմամբ.
Հիշենք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը՝ քանի՞ անգամ ենք ուզում գրել։
Բայց դա իրականում ճիշտ չէ:
Բացասական հիմքով աստիճան
Մինչև այս պահը մենք միայն քննարկել ենք, թե ինչպիսին պետք է լինի ցուցանիշը։
Բայց ի՞նչը պետք է հիմք հանդիսանա։
ից աստիճաններով բնական ցուցանիշհիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ. Իրոք, մենք կարող ենք միմյանցով բազմապատկել ցանկացած թիվ, լինի դրանք դրական, բացասական կամ զույգ:
Եկեք մտածենք, թե ո՞ր նշանները («» կամ «») կունենան դրական և բացասական թվերի աստիճաններ։
Օրինակ՝ թիվը դրական կլինի, թե բացասական։ Ա. ? Առաջինի հետ ամեն ինչ պարզ է՝ ինչքան էլ դրական թվեր բազմապատկենք միմյանց հետ, արդյունքը կլինի դրական։
Բայց բացասականները մի քիչ ավելի հետաքրքիր են։ Ի վերջո, մենք հիշում ենք 6-րդ դասարանից մի պարզ կանոն. Այսինքն, կամ. Բայց եթե բազմապատկենք, ստացվում է.
Ինքներդ որոշեք, թե ինչ նշան կունենան հետևյալ արտահայտությունները.
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Դուք հասցրե՞լ եք:
Ահա պատասխանները. Առաջին չորս օրինակներում հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է: Մենք պարզապես նայում ենք բազային և ցուցիչին և կիրառում ենք համապատասխան կանոնը։
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Օրինակ 5-ում, ամեն ինչ նույնպես այնքան սարսափելի չէ, որքան թվում է. կարևոր չէ, թե ինչին է հավասար հիմքը, աստիճանը հավասար է, ինչը նշանակում է, որ արդյունքը միշտ դրական կլինի:
Դե, բացի այն դեպքերից, երբ հիմքը զրո է: Հիմքը նույնը չէ, չէ՞։ Ակնհայտորեն ոչ, քանի որ (որովհետև):
Օրինակ 6) այլևս այնքան էլ պարզ չէ:
6 պրակտիկայի օրինակ
Լուծման վերլուծություն 6 օրինակ
Եթե ուշադրություն չդարձնենք ութերորդ աստիճանին, ի՞նչ ենք տեսնում այստեղ։ Եկեք նայենք 7-րդ դասարանի ծրագրին: Այսպիսով, հիշո՞ւմ եք: Սա կրճատված բազմապատկման բանաձևն է, այն է՝ քառակուսիների տարբերությունը։ Մենք ստանում ենք.
Մենք ուշադիր նայում ենք հայտարարին. Այն շատ նման է համարիչի գործոններից մեկին, բայց ինչն է սխալ: Պայմանների սխալ հերթականություն. Եթե դրանք փոխանակվեին, կանոնը կարող էր կիրառվել:
Բայց ինչպե՞ս դա անել: Պարզվում է, որ դա շատ հեշտ է՝ այստեղ մեզ օգնում է հայտարարի զույգ աստիճանը։
Պայմանները կախարդական կերպով փոխվել են տեղերը: Այս «ֆենոմենը» հավասարաչափ վերաբերում է ցանկացած արտահայտության. մենք կարող ենք ազատորեն փոխել փակագծերի նշանները։
Բայց կարևոր է հիշել. բոլոր նշանները փոխվում են միաժամանակ!
Վերադառնանք օրինակին.
Եվ կրկին բանաձևը.
ամբողջանվանում ենք բնական թվերը, դրանց հակադիրները (այսինքն՝ վերցված «» նշանով) և թիվը։
դրական ամբողջ թիվ, և դա ոչնչով չի տարբերվում բնականից, այնուհետև ամեն ինչ ճիշտ է թվում, ինչպես նախորդ բաժնում:
Հիմա անդրադառնանք նոր դեպքերին։ Սկսենք հավասար ցուցանիշից.
Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:
Ինչպես միշտ, մենք ինքներս մեզ հարցնում ենք՝ ինչո՞ւ է այդպես։
Հաշվի առեք բազայի հետ որոշ հզորություն: Վերցրեք, օրինակ, և բազմապատկեք հետևյալով.
Այսպիսով, մենք թիվը բազմապատկեցինք և ստացանք նույնը, ինչ եղել է -: Ի՞նչ թվով պետք է բազմապատկել, որպեսզի ոչինչ չփոխվի: Ճիշտ է, շարունակվում է: Միջոցներ.
Նույնը կարող ենք անել կամայական թվով.
Կրկնենք կանոնը.
Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:
Բայց կան բացառություններ շատ կանոններից: Եվ այստեղ այն նույնպես կա - սա թիվ է (որպես հիմք):
Մի կողմից, այն պետք է հավասար լինի ցանկացած աստիճանի - ինչքան էլ զրոն իր վրա բազմապատկես, միեւնույն է, զրո ես ստանում, սա պարզ է։ Բայց մյուս կողմից, ինչպես զրոյական աստիճանի ցանկացած թիվ, այն պետք է հավասար լինի։ Այսպիսով, ո՞րն է սրա ճշմարտությունը: Մաթեմատիկոսները որոշեցին չխառնվել և հրաժարվեցին զրոն հասցնել զրո հզորության: Այսինքն՝ այժմ մենք կարող ենք ոչ միայն զրոյի բաժանել, այլև այն հասցնել զրոյական հզորության։
Եկեք ավելի հեռու գնանք: Բացի բնական թվերից և թվերից, ամբողջ թվերը ներառում են բացասական թվեր: Որպեսզի հասկանանք, թե ինչ է բացասական աստիճանը, եկեք անենք նույնը, ինչ նախորդ անգամ.
Այստեղից արդեն հեշտ է արտահայտել ցանկալիը.
Այժմ մենք ընդլայնում ենք ստացված կանոնը կամայական աստիճանի.
Այսպիսով, եկեք ձևակերպենք կանոնը.
Բացասական հզորության թիվը նույն թվի հակադարձն է դրական հզորությանը: Բայց միևնույն ժամանակ բազան չի կարող զրոյական լինել.(որովհետև հնարավոր չէ բաժանել):
Ամփոփենք.
I. Արտահայտությունը գործով սահմանված չէ: Եթե, ապա.
II. Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի.
III. Թիվը, որը հավասար չէ զրոյի բացասական հզորությանը, նույն թվի հակադարձն է դրական հզորությանը.
Անկախ լուծման առաջադրանքներ.
Դե, ինչպես միշտ, օրինակներ անկախ լուծման համար.
Անկախ լուծման համար առաջադրանքների վերլուծություն.
Գիտեմ, գիտեմ, թվերը սարսափելի են, բայց քննության ժամանակ պետք է պատրաստ լինել ամեն ինչի: Լուծե՛ք այս օրինակները կամ վերլուծե՛ք դրանց լուծումը, եթե չկարողացաք լուծել այն, և դուք կսովորեք, թե ինչպես հեշտությամբ վարվել դրանց հետ քննության ժամանակ:
Շարունակենք ընդլայնել «հարմար» թվերի շրջանակը որպես ցուցիչ։
Հիմա հաշվի առեք ռացիոնալ թվեր.Ո՞ր թվերն են կոչվում ռացիոնալ:
Պատասխան. այն ամենը, ինչ կարելի է ներկայացնել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են, ընդ որում:
Հասկանալու համար, թե ինչ է «կոտորակային աստիճան»Դիտարկենք կոտորակը.
Եկեք հավասարման երկու կողմերն էլ հասցնենք հզորության.
Հիմա հիշեք կանոնը «աստիճանից աստիճան»:
Ի՞նչ թիվ պետք է բարձրացվի մինչև ուժ ստանալու համար:
Այս ձևակերպումը րդ աստիճանի արմատի սահմանումն է։
Հիշեցնեմ՝ թվի ()-ի րդ աստիճանի արմատը այն թիվն է, որը, երբ բարձրացվում է աստիճանի, հավասար է։
Այսինքն՝ րդ աստիճանի արմատը հզորության հակադարձ գործողությունն է.
Պարզվում է, որ. Ակնհայտ է, որ այս հատուկ դեպքը կարող է երկարաձգվել.
Հիմա ավելացրեք համարիչը. ինչ է դա: Պատասխանը հեշտ է ստանալ իշխանությունից իշխանություն կանոնով.
Բայց հիմքը կարո՞ղ է լինել որևէ թիվ: Ի վերջո, արմատը չի կարող արդյունահանվել բոլոր թվերից:
Ոչ ոք!
Հիշեք կանոնը. ցանկացած թիվ, որը բարձրացվում է մինչև զույգ մեծության, դրական թիվ է: Այսինքն՝ բացասական թվերից անհնար է զույգ աստիճանի արմատներ հանել։
Իսկ սա նշանակում է, որ նման թվերը չի կարելի հասցնել կոտորակային աստիճանի զույգ հայտարարով, այսինքն՝ արտահայտությունն իմաստ չունի։
Ինչ վերաբերում է արտահայտությանը:
Բայց այստեղ խնդիր է առաջանում.
Թիվը կարող է ներկայացվել որպես այլ, կրճատված կոտորակներ, օրինակ, կամ.
Եվ պարզվում է, որ այն կա, բայց չկա, և դրանք ընդամենը երկու տարբեր գրառումներ են նույն թվով։
Կամ մեկ այլ օրինակ՝ մեկ անգամ, հետո կարող ես գրել: Բայց հենց որ ցուցիչն այլ կերպ ենք գրում, նորից անախորժություն ենք ունենում. (այսինքն՝ լրիվ այլ արդյունք ենք ստացել):
Նման պարադոքսներից խուսափելու համար մտածեք միայն դրական բազային ցուցիչ կոտորակային ցուցիչով.
Այսպիսով, եթե.
- - բնական թիվ;
- ամբողջ թիվ է;
Օրինակներ.
Ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող ուժերը շատ օգտակար են արմատներով արտահայտությունները փոխակերպելու համար, օրինակ.
5 պրակտիկայի օրինակ
Վերապատրաստման 5 օրինակների վերլուծություն
Դե, հիմա - ամենադժվարը: Այժմ մենք կվերլուծենք աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով.
Այստեղ աստիճանների բոլոր կանոններն ու հատկությունները ճիշտ նույնն են, ինչ ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանների համար, բացառությամբ
Իրոք, ըստ սահմանման, իռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են (այսինքն, իռացիոնալ թվերը բոլորն իրական թվեր են, բացառությամբ ռացիոնալ թվերի):
Բնական, ամբողջ թվով և ռացիոնալ ցուցիչով աստիճաններ ուսումնասիրելիս ամեն անգամ ավելի ծանոթ տերմիններով որոշակի «պատկեր», «անալոգիա» կամ նկարագրություն էինք կազմում:
Օրինակ, բնական ցուցիչը իրենից մի քանի անգամ բազմապատկած թիվ է.
...զրոյական հզորություն- սա, այսպես ասած, ինքն իրենով մեկ անգամ բազմապատկված թիվ է, այսինքն, այն դեռ չի սկսել բազմապատկվել, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքնին դեռ չի հայտնվել, հետևաբար արդյունքը միայն որոշակի «դատարկ թիվ» է: , մասնավորապես համարը;
...բացասական ամբողջ թվի ցուցիչ- կարծես ինչ-որ «հակառակ գործընթաց» է տեղի ունեցել, այսինքն՝ թիվն ինքն իրենով չի բազմապատկվել, այլ բաժանվել է։
Ի դեպ, գիտությունը հաճախ օգտագործում է աստիճան բարդ ցուցիչով, այսինքն՝ աստիճանը նույնիսկ իրական թիվ չէ։
Բայց դպրոցում մենք չենք մտածում նման դժվարությունների մասին, դուք հնարավորություն կունենաք ընկալել այս նոր հասկացությունները ինստիտուտում:
ՈՐՏԵՂ ՎՍՏԱՀ ԵՆՔ, ԴՈՒ ԳՆԱԼՈՒ ԵՔ: (եթե սովորես, թե ինչպես լուծել նման օրինակները :))
Օրինակ:
Ինքներդ որոշեք.
Լուծումների վերլուծություն.
1. Սկսենք աստիճանի աստիճանի բարձրացման արդեն սովորական կանոնից.
Հիմա նայեք հաշիվը. Նա ձեզ ինչ-որ բան հիշեցնու՞մ է: Մենք հիշում ենք քառակուսիների տարբերության կրճատ բազմապատկման բանաձևը.
Այս դեպքում,
Ստացվում է, որ.
Պատասխան. .
2. Ցուցանիշներով կոտորակները բերում ենք նույն ձևին՝ երկուսն էլ տասնորդական, կամ երկուսն էլ սովորական: Մենք, օրինակ, ստանում ենք.
Պատասխան՝ 16
3. Ոչ մի առանձնահատուկ բան, մենք կիրառում ենք աստիճանների սովորական հատկությունները.
Ընդլայնված ՄԱՐԴԱԿ
աստիճանի սահմանում
Աստիճանը ձևի արտահայտությունն է՝ , որտեղ.
- — աստիճանի հիմք;
- - ցուցիչ.
Աստիճան բնական ցուցիչով (n = 1, 2, 3,...)
Թիվը բնական n հզորության հասցնելը նշանակում է թիվն ինքն իրենով բազմապատկել.
Հզորությունը ամբողջ թվային ցուցիչով (0, ±1, ±2,...)
Եթե ցուցիչն է դրական ամբողջ թիվթիվ:
էրեկցիա զրոյական հզորության:
Արտահայտությունն անորոշ է, քանի որ, մի կողմից, ցանկացած աստիճան սա է, իսկ մյուս կողմից՝ երրորդ աստիճանի ցանկացած թիվ սա է։
Եթե ցուցիչն է ամբողջ բացասականթիվ:
(որովհետև հնարավոր չէ բաժանել):
Եվս մեկ անգամ nulls-ի մասին. արտահայտությունը գործով սահմանված չէ։ Եթե, ապա.
Օրինակներ.
Աստիճան ռացիոնալ ցուցիչով
- - բնական թիվ;
- ամբողջ թիվ է;
Օրինակներ.
Դիպլոմային հատկություններ
Խնդիրների լուծումը հեշտացնելու համար փորձենք հասկանալ՝ որտեղի՞ց են առաջացել այդ հատկությունները: Եկեք ապացուցենք դրանք:
Տեսնենք՝ ինչ է և.
A-priory:
Այսպիսով, այս արտահայտության աջ կողմում ստացվում է հետևյալ արտադրանքը.
Բայց ըստ սահմանման, սա ցուցիչով թվի ուժ է, այսինքն.
Ք.Ե.Դ.
Օրինակ Պարզեցրեք արտահայտությունը:
Լուծում : .
Օրինակ Պարզեցրեք արտահայտությունը:
Լուծում Կարևոր է նշել, որ մեր կանոնում Պարտադիրպետք է ունենա նույն հիմքը. Հետևաբար, մենք միավորում ենք աստիճանները հիմքի հետ, բայց մնում ենք առանձին գործոն.
Մեկ այլ կարևոր նշում. այս կանոնը. միայն հզորությունների արտադրանքի համար!
Ոչ մի դեպքում դա չպետք է գրեմ։
Ինչպես նախորդ հատկության դեպքում, եկեք անդրադառնանք աստիճանի սահմանմանը.
Եկեք վերադասավորենք այն այսպես.
Ստացվում է, որ արտահայտությունը բազմապատկվում է ինքն իրեն մեկ անգամ, այսինքն, ըստ սահմանման, սա թվի --րդ ուժն է.
Իրականում սա կարելի է անվանել «ցուցանիշի փակագծում»։ Բայց դուք երբեք չեք կարող դա անել ընդհանուր առմամբ:
Հիշենք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը՝ քանի՞ անգամ ենք ուզում գրել։ Բայց դա իրականում ճիշտ չէ:
Հզորությունը բացասական հիմքով:
Մինչ այս պահը մենք քննարկել ենք միայն այն, ինչ պետք է լինի ցուցանիշըաստիճան. Բայց ի՞նչը պետք է հիմք հանդիսանա։ ից աստիճաններով բնական ցուցիչ հիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ .
Իրոք, մենք կարող ենք միմյանցով բազմապատկել ցանկացած թիվ, լինի դրանք դրական, բացասական կամ զույգ: Եկեք մտածենք, թե ինչ նշաններ («» կամ «») կունենան դրական և բացասական թվերի աստիճաններ:
Օրինակ՝ թիվը դրական կլինի, թե բացասական։ Ա. ?
Առաջինի հետ ամեն ինչ պարզ է՝ ինչքան էլ դրական թվեր բազմապատկենք միմյանց հետ, արդյունքը կլինի դրական։
Բայց բացասականները մի քիչ ավելի հետաքրքիր են։ Ի վերջո, մենք հիշում ենք 6-րդ դասարանից մի պարզ կանոն. Այսինքն, կամ. Բայց եթե բազմապատկենք (-ով), կստանանք -.
Եվ այսպես անվերջ. յուրաքանչյուր հաջորդ բազմապատկման հետ նշանը կփոխվի: Դուք կարող եք ձևակերպել այս պարզ կանոնները.
- նույնիսկաստիճան, - համար դրական.
- Բացասական թիվը բարձրացված է տարօրինակաստիճան, - համար բացասական.
- Ցանկացած ուժի դրական թիվը դրական թիվ է:
- Զրո ցանկացած հզորության հավասար է զրոյի:
Ինքներդ որոշեք, թե ինչ նշան կունենան հետևյալ արտահայտությունները.
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Դուք հասցրե՞լ եք: Ահա պատասխանները.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Առաջին չորս օրինակներում հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է: Մենք պարզապես նայում ենք բազային և ցուցիչին և կիրառում ենք համապատասխան կանոնը։
Օրինակ 5-ում, ամեն ինչ նույնպես այնքան սարսափելի չէ, որքան թվում է. կարևոր չէ, թե ինչին է հավասար հիմքը, աստիճանը հավասար է, ինչը նշանակում է, որ արդյունքը միշտ դրական կլինի: Դե, բացի այն դեպքերից, երբ հիմքը զրո է: Հիմքը նույնը չէ, չէ՞։ Ակնհայտորեն ոչ, քանի որ (որովհետև):
Օրինակ 6) այլևս այնքան էլ պարզ չէ: Այստեղ դուք պետք է պարզեք, թե որն է ավելի քիչ. Եթե դա հիշում եք, պարզ է դառնում, որ դա նշանակում է, որ հիմքը զրոյից փոքր է։ Այսինքն՝ մենք կիրառում ենք 2-րդ կանոնը՝ արդյունքը կլինի բացասական։
Եվ կրկին օգտագործում ենք աստիճանի սահմանումը.
Ամեն ինչ սովորական է. մենք գրում ենք աստիճանների սահմանումը և դրանք բաժանում ենք միմյանց, բաժանում դրանք զույգերի և ստանում.
Նախքան վերջին կանոնը վերլուծելը, լուծենք մի քանի օրինակ։
Հաշվարկել արտահայտությունների արժեքները.
Լուծումներ :
Եթե ուշադրություն չդարձնենք ութերորդ աստիճանին, ի՞նչ ենք տեսնում այստեղ։ Եկեք նայենք 7-րդ դասարանի ծրագրին: Այսպիսով, հիշո՞ւմ եք: Սա կրճատված բազմապատկման բանաձևն է, այն է՝ քառակուսիների տարբերությունը։
Մենք ստանում ենք.
Մենք ուշադիր նայում ենք հայտարարին. Այն շատ նման է համարիչի գործոններից մեկին, բայց ինչն է սխալ: Պայմանների սխալ հերթականություն. Եթե դրանք չեղարկվեին, կարող էր կիրառվել 3-րդ կանոնը: Բայց ինչպե՞ս դա անել: Պարզվում է, որ դա շատ հեշտ է՝ այստեղ մեզ օգնում է հայտարարի զույգ աստիճանը։
Եթե այն բազմապատկես, ոչինչ չի փոխվում, չէ՞: Բայց հիմա այն ունի հետևյալ տեսքը.
Պայմանները կախարդական կերպով փոխվել են տեղերը։ Այս «ֆենոմենը» հավասարաչափ վերաբերում է ցանկացած արտահայտության. մենք կարող ենք ազատորեն փոխել փակագծերի նշանները։ Բայց կարևոր է հիշել. բոլոր նշանները փոխվում են միաժամանակ:Այն չի կարող փոխարինվել մեզ համար միայն մեկ անընդունելի մինուս փոխելով:
Վերադառնանք օրինակին.
Եվ կրկին բանաձևը.
Այսպիսով, հիմա վերջին կանոնը.
Ինչպե՞ս ենք դա ապացուցելու։ Իհարկե, ինչպես միշտ. եկեք ընդլայնենք աստիճան հասկացությունը և պարզեցնենք.
Դե, հիմա բացենք փակագծերը։ Քանի՞ տառ կլինի: անգամ բազմապատկիչներով - ինչ տեսք ունի: Սա ոչ այլ ինչ է, քան գործողության սահմանում բազմապատկումԸնդամենը պարզվեց, որ բազմապատկիչներ կան: Այսինքն, դա, ըստ սահմանման, թվի ուժ է ցուցիչով.
Օրինակ:
Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով
Ի հավելումն միջին մակարդակի աստիճանների մասին տեղեկատվության, մենք աստիճանը կվերլուծենք իռացիոնալ ցուցանիշով: Այստեղ աստիճանների բոլոր կանոններն ու հատկությունները ճիշտ նույնն են, ինչ ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար, բացառությամբ, ի վերջո, ըստ սահմանման, իռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են (այսինքն. , իռացիոնալ թվերը բոլոր իրական թվերն են, բացառությամբ ռացիոնալ թվերի):
Բնական, ամբողջ թվով և ռացիոնալ ցուցիչով աստիճաններ ուսումնասիրելիս ամեն անգամ ավելի ծանոթ տերմիններով որոշակի «պատկեր», «անալոգիա» կամ նկարագրություն էինք կազմում: Օրինակ, բնական ցուցիչը իրենից մի քանի անգամ բազմապատկած թիվ է. զրոյական աստիճանի թիվն, ասես, ինքն իրենով մեկ անգամ բազմապատկված թիվ է, այսինքն՝ այն դեռ չի սկսել բազմապատկվել, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքը դեռ չի էլ հայտնվել, հետևաբար, արդյունքը միայն որոշակի «թվի պատրաստում», այն է՝ թիվ. աստիճան ամբողջ թվով բացասական ցուցանիշով - կարծես որոշակի «հակառակ գործընթաց» է տեղի ունեցել, այսինքն՝ թիվը ինքն իրենով չի բազմապատկվել, այլ բաժանվել է։
Չափազանց դժվար է պատկերացնել աստիճանը իռացիոնալ ցուցիչով (ինչպես դժվար է պատկերացնել 4-չափ տարածությունը): Ավելի շուտ, դա զուտ մաթեմատիկական օբյեկտ է, որը մաթեմատիկոսները ստեղծել են աստիճանի հասկացությունը թվերի ողջ տարածության վրա տարածելու համար։
Ի դեպ, գիտությունը հաճախ օգտագործում է աստիճան բարդ ցուցիչով, այսինքն՝ աստիճանը նույնիսկ իրական թիվ չէ։ Բայց դպրոցում մենք չենք մտածում նման դժվարությունների մասին, դուք հնարավորություն կունենաք ընկալել այս նոր հասկացությունները ինստիտուտում:
Այսպիսով, ի՞նչ անենք, եթե տեսնենք իռացիոնալ ցուցիչ: Մենք ամեն ինչ անում ենք, որ ձերբազատվենք դրանից :)
Օրինակ:
Ինքներդ որոշեք.
| 1) | 2) | 3) |
Պատասխանները:
- Հիշեք քառակուսիների բանաձևի տարբերությունը. Պատասխան.
- Կոտորակները բերում ենք միևնույն ձևի` կամ երկու տասնորդական, կամ երկուսն էլ սովորական: Մենք, օրինակ, ստանում ենք.
- Ոչ մի առանձնահատուկ բան, մենք կիրառում ենք աստիճանների սովորական հատկությունները.
ԲԱԺԻՆ ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎԸ
Աստիճանկոչվում է ձևի արտահայտություն՝ , որտեղ.
Աստիճան՝ ամբողջ թվով ցուցիչով
աստիճան, որի ցուցիչը բնական թիվ է (այսինքն՝ ամբողջ թիվ և դրական)։
Աստիճան ռացիոնալ ցուցիչով
աստիճան, որի ցուցիչը բացասական և կոտորակային թվերն են։
Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով
Ցուցանիշ, որի ցուցիչը անվերջ տասնորդական կոտորակ կամ արմատ է:
Դիպլոմային հատկություններ
Աստիճանների առանձնահատկությունները.
- Բացասական թիվը բարձրացված է նույնիսկաստիճան, - համար դրական.
- Բացասական թիվը բարձրացված է տարօրինակաստիճան, - համար բացասական.
- Ցանկացած ուժի դրական թիվը դրական թիվ է:
- Զրոն հավասար է ցանկացած հզորության:
- Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է:
ՀԻՄԱ ԽՈՍՔ ՈՒՆԵՍ...
Ինչպե՞ս եք հավանում հոդվածը: Տեղեկացրեք ինձ ստորև ներկայացված մեկնաբանություններում՝ ձեզ դուր եկավ, թե ոչ:
Պատմեք մեզ էներգիայի հատկությունների հետ կապված ձեր փորձի մասին:
Երևի հարցեր ունեք։ Կամ առաջարկություններ.
Գրեք մեկնաբանություններում։
Եվ հաջողություն ձեր քննություններին:
