Համալիր թվերը եռանկյունաչափական ձևով ներկայացրեք առցանց: Կոմպլեքս թվի եռանկյունաչափական և էքսպոնենցիալ ձևերը: Կոմպլեքս թվեր xi

2.3. Բարդ թվերի եռանկյունաչափական ձև

Ֆ-ով նշեք դրական կիսաառանցքի Ox-ի և վեկտորի միջև ընկած անկյունը (ֆ անկյունը համարվում է դրական, եթե այն հաշվվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, իսկ հակառակ դեպքում՝ բացասական):

Նշեք վեկտորի երկարությունը r-ով: Հետո . Նշում ենք նաև

Ոչ զրոյական կոմպլեքս z թիվը գրելը որպես

կոչվում է z բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև։ r թիվը կոչվում է z կոմպլեքս թվի մոդուլ, իսկ φ թիվը՝ այս կոմպլեքս թվի արգումենտ և նշանակվում է Arg z-ով։

Կոմպլեքս թվի գրման եռանկյունաչափական ձևը - (Էյլերի բանաձևը) - բարդ թվի գրման էքսպոնենցիալ ձև.

Կոմպլեքս z թիվը ունի անսահման շատ արգումենտներ. եթե φ0-ը z թվի որևէ արգումենտ է, ապա մնացած բոլորը կարելի է գտնել բանաձևով.

Կոմպլեքս թվի համար արգումենտը և եռանկյունաչափական ձևը սահմանված չեն:

Այսպիսով, ոչ զրոյական բարդ թվի փաստարկը հավասարումների համակարգի ցանկացած լուծում է.

(3)

Z կոմպլեքս թվի արգումենտի φ արժեքը, որը բավարարում է անհավասարությունները, կոչվում է հիմնական արժեք և նշանակվում է arg z-ով։

Փաստարկները Arg z և arg z կապված են հավասարությամբ

, (4)

Բանաձևը (5) (3) համակարգի հետևանքն է, ուստի կոմպլեքս թվի բոլոր փաստարկները բավարարում են հավասարությունը (5), բայց (5) հավասարման ոչ բոլոր φ լուծումներն են z թվի արգումենտներ։

Ոչ զրոյական բարդ թվի փաստարկի հիմնական արժեքը հայտնաբերվում է բանաձևերով.

Բարդ թվերի բազմապատկման և բաժանման բանաձևեր եռանկյունաչափական ձևունեն հետևյալ ձևը.

. (7)

Կոմպլեքս թիվը բնական հզորության հասցնելիս օգտագործվում է դե Մոիվի բանաձևը.

Բարդ թվից արմատ հանելիս օգտագործվում է բանաձևը.

, (9)

որտեղ k=0, 1, 2, …, n-1:

Խնդիր 54. Հաշվի՛ր, որտեղ .

Ներկայացնենք այս արտահայտության լուծումը բարդ թիվ գրելու էքսպոնենցիալ ձևով՝ .

Եթե, ապա .

Հետո, . Հետեւաբար, ուրեմն Եվ , Որտեղ.

Պատասխան. , ժամը .

Խնդիր 55. Կոմպլեքս թվերը գրի՛ր եռանկյունաչափական տեսքով.

Ա) ; բ) ; V) ; G) ; ե) ; ե) ; և) .

Քանի որ բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևը հետևյալն է.

ա) Կոմպլեքս թվով.

Ահա թե ինչու

բ) , Որտեղ ,

է) , Որտեղ ,

ե) .

և) , Ա , Դա .

Ահա թե ինչու

Պատասխան. ; 4; ; ; ; ; .

Խնդիր 56. Գտե՛ք բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևը

Թող, .

Հետո, , .

Որովհետև և , , ապա , եւ

Հետեւաբար, հետեւաբար

Պատասխան. , Որտեղ.

Խնդիր 57. Օգտագործելով կոմպլեքս թվի եռանկյունաչափական ձևը՝ կատարե՛ք հետևյալ գործողությունները.

Պատկերացրեք թվեր և եռանկյունաչափական ձևով.

1), որտեղ Հետո

Գտնելով հիմնական փաստարկի արժեքը.

Փոխարինեք արժեքները և արտահայտության մեջ մենք ստանում ենք

2) որտեղ ապա

Հետո

3) Գտի՛ր գործակիցը

Ենթադրելով k=0, 1, 2, ստանում ենք երեք տարբեր իմաստներցանկալի արմատ:

Եթե, ապա

Եթե, ապա .

Պատասխան՝ :

: .

Խնդիր 58. Թողեք , , , տարբեր կոմպլեքս թվեր և . Ապացուցեք դա

թիվ իրական դրական թիվ է;

բ) հավասարությունը տեղի է ունենում.

ա) Ներկայացնենք այս բարդ թվերը եռանկյունաչափական տեսքով.

Որովհետեւ .

Եկեք ձևացնենք, որ. Հետո

Վերջին արտահայտությունը դրական թիվ է, քանի որ սինուսի նշանների տակ կան թվեր:

քանի որ թիվը իրական և դրական: Իսկապես, եթե a-ն և b-ը բարդ թվեր են և իրական են և մեծ են զրոյից, ապա .

Բացի այդ,

հետևաբար ապացուցվում է պահանջվող հավասարությունը։

Խնդիր 59. Թիվը գրի՛ր հանրահաշվական տեսքով .

Մենք թիվը ներկայացնում ենք եռանկյունաչափական ձևով, այնուհետև գտնում ենք նրա հանրահաշվական ձևը: Մենք ունենք . Համար մենք ստանում ենք համակարգը.

Սրանից հետևում է հավասարությունը. .

Կիրառելով De Moivre-ի բանաձևը.

մենք ստանում ենք

Գտնվել է եռանկյունաչափական ձև տրված համարը.

Այժմ մենք գրում ենք այս թիվը հանրահաշվական ձևով.

Պատասխան. .

Խնդիր 60. Գտե՛ք գումարը , ,

Հաշվի առեք գումարը

Կիրառելով De Moivre բանաձեւը, մենք գտնում ենք

Այս գումարը n տերմինների գումարն է երկրաչափական առաջընթացհայտարարով և առաջին անդամը .

Կիրառելով նման պրոգրեսիայի պայմանների գումարի բանաձևը, մենք ունենք

Ընդգծելով երևակայական մասվերջին արտահայտության մեջ մենք գտնում ենք

Իրական մասն առանձնացնելով՝ ստանում ենք նաև հետևյալ բանաձևը՝ , , .

Խնդիր 61. Գտե՛ք գումարը.

Ա) ; բ) .

Համաձայն Նյուտոնի հզորության բարձրացման բանաձեւի՝ մենք ունենք

Դե Մոիվի բանաձևի համաձայն մենք գտնում ենք.

Հավասարեցնելով ստացված արտահայտությունների իրական և երևակայական մասերը, ունենք.

Եվ .

Այս բանաձևերը կարող են գրվել կոմպակտ ձևով հետևյալ կերպ.

, Որտեղ - ամբողջ մասըթվեր ա.

Խնդիր 62. Գտի՛ր բոլորը, որոնց համար .

Քանի որ , ապա կիրառելով բանաձևը

, Արմատները հանելու համար մենք ստանում ենք ,

Հետևաբար, , ,

, .

Թվերին համապատասխան կետերը գտնվում են (0;0) կետում կենտրոնացած 2 շառավղով շրջանագծով գրված քառակուսու գագաթներում (նկ. 30):

Պատասխան. , ,

, .

Խնդիր 63. Լուծե՛ք հավասարումը , .

Ըստ պայմանի; հետևաբար, այս հավասարումը արմատ չունի, և, հետևաբար, այն համարժեք է հավասարմանը:

Որպեսզի z թիվը լինի այս հավասարման արմատը, անհրաժեշտ է, որ թիվը լինի արմատ n-րդ աստիճանթիվ 1-ից.

Այսպիսով, մենք եզրակացնում ենք, որ սկզբնական հավասարումը ունի հավասարություններից որոշված արմատներ

Այսպիսով,

այսինքն. ,

Պատասխան. .

Խնդիր 64. Լուծե՛ք բարդ թվերի բազմության հավասարումը:

Քանի որ թիվը այս հավասարման արմատը չէ, ուրեմն այս հավասարման համար համարժեք է հավասարմանը.

Այսինքն՝ հավասարումը։

Այս հավասարման բոլոր արմատները ստացվում են բանաձևից (տես խնդիրը 62).

; ; ; ; .

Խնդիր 65. Կոմպլեքս հարթության վրա գծե՛ք անհավասարությունները բավարարող կետերի բազմություն. . (45-րդ խնդիրը լուծելու 2-րդ եղանակ)

Թող .

Նույն մոդուլներով բարդ թվերը համապատասխանում են հարթության կետերին, որոնք ընկած են սկզբնակետում կենտրոնացած շրջանագծի վրա, ուստի անհավասարությունը բավարարել բոլոր կետերը բաց օղակ, սահմանափակված են սկզբնամասում ընդհանուր կենտրոնով և շառավղով շրջաններով և (նկ. 31): Թող բարդ հարթության ինչ-որ կետ համապատասխանի w0 թվին: Թիվ , ունի w0 մոդուլից փոքր մոդուլ, որը մեծ է w0 արգումենտից։ Երկրաչափական տեսանկյունից w1-ին համապատասխան կետը կարելի է ձեռք բերել սկզբնաղբյուրի և գործակիցի վրա կենտրոնացած համասեռության, ինչպես նաև սկզբի նկատմամբ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ հակառակ պտույտի միջոցով: Այս երկու փոխակերպումները օղակի կետերին կիրառելու արդյունքում (նկ. 31) վերջինս կվերածվի օղակի, որը սահմանափակված է նույն կենտրոնով և 1 և 2 շառավղներով շրջաններով (նկ. 32):

վերափոխում իրականացվում է վեկտորի վրա զուգահեռ թարգմանության միջոցով: Մի կետում կենտրոնացված օղակը տեղափոխելով նշված վեկտորին՝ ստանում ենք նույն չափի օղակ՝ կենտրոնացած մի կետում (նկ. 22):

Առաջարկվող մեթոդը, որն օգտագործում է ինքնաթիռի երկրաչափական վերափոխումների գաղափարը, հավանաբար ավելի քիչ հարմար է նկարագրության մեջ, բայց այն շատ էլեգանտ է և արդյունավետ։

Խնդիր 66. Գտե՛ք, եթե .

Թող , ապա եւ . Բնօրինակը հավասարությունը կընդունի ձևը . Երկու կոմպլեքս թվերի հավասարության պայմանից ստանում ենք , , որտեղից , . Այսպիսով, .

Z թիվը գրենք եռանկյունաչափական ձևով.

, Որտեղ , . Համաձայն Դե Մոիվրի բանաձևի, մենք գտնում ենք.

Պատասխան՝ - 64։

Խնդիր 67. Կոմպլեքս թվի համար գտե՛ք բոլոր բարդ թվերն այնպես, որ , և .

Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական ձևով.

. Հետևաբար, . Մեր ստացած թվի համար կարող է հավասար լինել որևէ մեկին:

Առաջին դեպքում , երկրորդում

Պատասխան՝ .

Խնդիր 68. Գտե՛ք այնպիսի թվերի գումարը, որ . Նշեք այս թվերից մեկը:

Նկատի ունեցեք, որ արդեն իսկ խնդրի ձևակերպումից կարելի է հասկանալ, որ հավասարման արմատների գումարը կարելի է գտնել առանց իրենց արմատները հաշվարկելու։ Իրոք, հավասարման արմատների գումարը -ի գործակիցն է, վերցված հակառակ նշանով (Վիետայի ընդհանրացված թեորեմ), այսինքն.

Աշակերտները, դպրոցական փաստաթղթերը, եզրակացություններ են անում ձուլման աստիճանի մասին այս հայեցակարգը. Ամփոփեք մաթեմատիկական մտածողության առանձնահատկությունների ուսումնասիրությունը և բարդ թվի հասկացության ձևավորման գործընթացը: Մեթոդների նկարագրություն. Դիագնոստիկ՝ ես բեմադրում եմ։ Հարցազրույցն անցկացվել է մաթեմատիկայի ուսուցչի հետ, ով 10-րդ դասարանում դասավանդում է հանրահաշիվ և երկրաչափություն։ Խոսակցությունը տեղի է ունեցել որոշ ժամանակ անց...

ռեզոնանս» (!)), որը ներառում է նաև սեփական վարքագծի գնահատում 4. Իրավիճակի ըմբռնման քննադատական գնահատում (կասկածներ) 5. Վերջապես՝ առաջարկությունների կիրառում. իրավական հոգեբանություն(հաշվապահական հաշվառում փաստաբանի կողմից հոգեբանական ասպեկտներկատարել մասնագիտական գործողություններ՝ մասնագիտական և հոգեբանական պատրաստվածություն): Դիտարկենք այժմ իրավական փաստերի հոգեբանական վերլուծությունը: ...

Եռանկյունաչափական փոխարինման մաթեմատիկա և մշակված ուսուցման մեթոդիկայի արդյունավետության ստուգում. Աշխատանքի փուլերը՝ 1. «Եռանկյունաչափական փոխարինման օգտագործումը հանրահաշվական խնդիրների լուծման համար» թեմայով ընտրովի դասընթացի մշակում դասարանների սովորողների հետ. խորը ուսումնասիրությունՄաթեմատիկա. 2. Մշակված ընտրովի դասընթացի անցկացում. 3. Ախտորոշիչ հսկողության իրականացում...

Ճանաչողական առաջադրանքները նախատեսված են միայն լրացնելու առկա ուսումնական միջոցները և պետք է համապատասխան համակցված լինեն բոլոր ավանդական միջոցների և տարրերի հետ: ուսումնական գործընթաց. Ուսուցման նպատակների տարբերությունը ուսուցման մեջ հումանիտար գիտություններճշգրիտից, սկսած մաթեմատիկական խնդիրներբաղկացած է միայն նրանից, որ պատմական խնդիրներում չկան բանաձևեր, կոշտ ալգորիթմներ և այլն, ինչը բարդացնում է դրանց լուծումը։ ...

Դասախոսություն

Բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև

Պլանավորել

1.Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական պատկերը.

2.Կոմպլեքս թվերի եռանկյունաչափական նշում.

3. Գործողություններ կոմպլեքս թվերի վրա եռանկյունաչափական տեսքով:

Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական ներկայացում:

ա) Կոմպլեքս թվերը ներկայացված են հարթության կետերով՝ համաձայն հետևյալ կանոնի. ա + երկ = Մ ( ա ; բ ) (նկ. 1):

Նկար 1

բ) Կոմպլեքս թիվը կարող է ներկայացվել որպես վեկտոր, որը սկսվում է կետիցՄԱՍԻՆ և ավարտվում է տվյալ կետում (նկ. 2):

Նկար 2

Օրինակ 7. Կոմպլեքս թվեր ներկայացնող կետեր.1; - ես ; - 1 + ես ; 2 – 3 ես (նկ. 3):

Նկար 3

Բարդ թվերի եռանկյունաչափական նշում.

Համալիր համարըզ = ա + երկ կարելի է սահմանել՝ օգտագործելով շառավիղ - վեկտորը կոորդինատներով( ա ; բ ) (նկ. 4):

Նկար 4

Սահմանում . Վեկտորի երկարությունը որը ներկայացնում է համալիր թիվըզ , կոչվում է այս թվի մոդուլ և նշվում կամr .

Ցանկացած բարդ թվի համարզ դրա մոդուլըr = | զ | որոշվում է եզակի բանաձևով .

Սահմանում . Իրական առանցքի դրական ուղղության և վեկտորի միջև անկյան արժեքը կոմպլեքս թիվ ներկայացնելը կոչվում է այս բարդ թվի արգումենտ և նշվումԱ rg զ կամφ .

Կոմպլեքս թվի փաստարկզ = 0 անորոշ. Կոմպլեքս թվի փաստարկզ≠ 0-ը բազմարժեք մեծություն է և որոշվում է մինչև տերմինը2 πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Արգ զ = արգ զ + 2 πk , Որտեղարգ զ - փաստարկի հիմնական արժեքը, որը կցվում է միջակայքում(-π; π] , այն է-π < արգ զ ≤ π (երբեմն ինտերվալին պատկանող արժեքը վերցվում է որպես փաստարկի հիմնական արժեք .

Այս բանաձեւըr =1 հաճախ կոչվում է Դե Մոիվրի բանաձև.

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Օրինակ 11 Հաշվել(1 + ես ) 100 .

Գրենք բարդ թիվ1 + ես եռանկյունաչափական ձևով.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + ես մեղք եմ գործում )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + ես մեղք եմ գործում 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) արդյունահանում քառակուսի արմատկոմպլեքս թվից։

Բարդ թվի քառակուսի արմատը հանելիսա + երկ ունենք երկու դեպք.

Եթեբ > մասին , Դա ;

3.1. Բևեռային կոորդինատներ

Հաճախ օգտագործվում է ինքնաթիռում բևեռային կոորդինատային համակարգ . Այն սահմանվում է, եթե տրված է O կետ, կոչվում է բեւեռ, և բևեռից բխող ճառագայթ (մեզ համար սա առանցքն է Եզ) բևեռային առանցքն է: M կետի դիրքը ամրագրված է երկու թվով. շառավիղը (կամ շառավիղի վեկտորը) և φ անկյունը բևեռային առանցքի և վեկտորի միջև:Ֆ անկյունը կոչվում է բևեռային անկյուն; Այն չափվում է ռադիաններով և հաշվվում է բևեռային առանցքից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ:

Բևեռային կոորդինատային համակարգում կետի դիրքը տրվում է դասավորված թվերի զույգով (r; φ): Բեւեռում r = 0իսկ φ սահմանված չէ։ Մնացած բոլոր կետերի համար r > 0իսկ φ սահմանվում է մինչև 2π-ի բազմապատիկ: Այս դեպքում (r; φ) և (r 1; φ 1) թվերի զույգերին վերագրվում է նույն կետը, եթե .

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի համար xOy Դեկարտյան կոորդինատներըկետերը հեշտությամբ արտահայտվում են իր բևեռային կոորդինատներով հետևյալ կերպ.

3.2. Կոմպլեքս թվի երկրաչափական մեկնաբանություն

Նկատի առեք դեկարտյան հարթությունը ուղղանկյուն համակարգկոորդինատները xOy.

Ցանկացած բարդ թվի z=(a, b) վերագրվում է հարթության մի կետ կոորդինատներով ( x, y), որտեղ կոորդինատ x = a, այսինքն. կոմպլեքս թվի իրական մասը, իսկ y = bi կոորդինատը երևակայական մասն է:

Այն հարթությունը, որի կետերը բարդ թվեր են, բարդ հարթություն է:

Նկարում կոմպլեքս թիվը z = (a, b)համընկնումի կետ M(x, y).

Զորավարժություններ.Նկարը միացված է կոորդինատային հարթությունկոմպլեքս թվեր:

3.3. Բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև

Հարթության մեջ կոմպլեքս թիվն ունի կետի կոորդինատներ M(x; y). Որտեղ:

Կոմպլեքս թիվ գրելը - բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև.

կոչվում է r թիվը մոդուլ համալիր համարը զև նշվում է. Մոդուլը ոչ բացասական իրական թիվ է: Համար .

Մոդուլը զրո է, եթե և միայն եթե z = 0, այսինքն. a=b=0.

Ֆ թիվը կոչվում է փաստարկ z և նշվում է. Z արգումենտը սահմանվում է երկիմաստորեն, ինչպես բևեռային անկյունը բևեռային կոորդինատային համակարգում, այն է՝ մինչև 2π-ի բազմապատիկը:

Այնուհետև ընդունում ենք՝ , որտեղ φ է ամենափոքր արժեքըփաստարկ. Ակնհայտ է, որ

Թեմայի ավելի խորը ուսումնասիրությամբ ներմուծվում է օժանդակ փաստարկ φ*, այնպիսին, որ

Օրինակ 1. Գտե՛ք բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևը:

Լուծում. 1) մենք դիտարկում ենք մոդուլը.

2) փնտրում է φ: ;

3) եռանկյունաչափական ձև.

Օրինակ 2Գտե՛ք բարդ թվի հանրահաշվական ձևը .

Այստեղ բավական է փոխարինել արժեքները եռանկյունաչափական ֆունկցիաներև փոխակերպել արտահայտությունը.

Օրինակ 3Գտի՛ր կոմպլեքս թվի մոդուլը և արգումենտը;

1) ;

2) ; φ - 4 եռամսյակում.

3.4. Գործողություններ բարդ թվերի հետ եռանկյունաչափական ձևով

· Գումարում և հանումավելի հարմար է կատարել բարդ թվերով հանրահաշվական ձևով.

· Բազմապատկում– պարզ եռանկյունաչափական փոխակերպումների օգնությամբ կարելի է ցույց տալ, որ բազմապատկելիս թվերի մոդուլները բազմապատկվում են, իսկ արգումենտները գումարվում են. ;

ՀԱՄԱԼԻՐ ԹՎԵՐ XI

§ 256. Կոմպլեքս թվերի եռանկյունաչափական ձև

Թող կոմպլեքս թիվը ա + բի համապատասխան վեկտոր ՕԱ> կոորդինատներով ( ա, բ ) (տես նկ. 332):

Նշեք այս վեկտորի երկարությունը ըստ r , և անկյունը, որը կազմում է առանցքի հետ X , միջոցով φ . Սինուսի և կոսինուսի սահմանմամբ.

ա / r = cos φ , բ / r = մեղք φ .

Ահա թե ինչու Ա = r cos φ , բ = r մեղք φ . Բայց այս դեպքում կոմպլեքս թիվը ա + բի կարելի է գրել այսպես.

ա + բի = r cos φ + ir մեղք φ = r (cos φ + ես մեղք φ ).

Ինչպես գիտեք, ցանկացած վեկտորի երկարության քառակուսին հավասար է նրա կոորդինատների քառակուսիների գումարին: Ահա թե ինչու r 2 = ա 2 + բ 2, որտեղից r = √ ա 2 + բ 2

Այսպիսով, ցանկացած բարդ թիվ ա + բի կարող է ներկայացվել որպես :

ա + բի = r (cos φ + ես մեղք φ ), (1)

որտեղ r = √ ա 2 + բ 2 և անկյունը φ որոշվում է պայմանից.

Բարդ թվեր գրելու այս ձևը կոչվում է եռանկյունաչափական.

Թիվ r բանաձևում (1) կոչվում է մոդուլ, և անկյունը φ - փաստարկ, կոմպլեքս թիվ ա + բի .

Եթե բարդ թիվ ա + բի հավասար չէ զրոյի, ապա դրա մոդուլը դրական է. եթե ա + բի = 0, ապա ա = բ = 0 և հետո r = 0.

Ցանկացած բարդ թվի մոդուլը եզակիորեն որոշվում է:

Եթե բարդ թիվ ա + բի հավասար չէ զրոյի, ապա դրա արգումենտը որոշվում է բանաձևերով (2) հաստատմինչև 2-ի անկյան բազմապատիկ π . Եթե ա + բի = 0, ապա ա = բ = 0. Այս դեպքում r = 0. Բանաձևից (1) հեշտ է հասկանալ, որ որպես փաստարկ φ այս դեպքում կարող եք ընտրել ցանկացած անկյուն՝ ի վերջո ցանկացածի համար φ

0 (cos φ + ես մեղք φ ) = 0.

Հետևաբար, զրոյական արգումենտը սահմանված չէ:

Համալիր թվերի մոդուլ r երբեմն նշանակում են | զ |, իսկ փաստարկը արգ զ . Դիտարկենք բարդ թվերի եռանկյունաչափական ձևով ներկայացման մի քանի օրինակ:

Օրինակ. 1. 1 + ես .

Եկեք գտնենք մոդուլը r և փաստարկ φ այս թիվը.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Ուստի մեղք φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, որտեղից φ = π / 4 + 2nπ .

Այսպիսով,

1 + ես = √ 2 ,

Որտեղ Պ - ցանկացած ամբողջ թիվ: Սովորաբար, կոմպլեքս թվի արգումենտի արժեքների անսահման շարքից ընտրվում է մեկը, որը գտնվում է 0-ից 2-ի միջև: π . Այս դեպքում այս արժեքն է π / 4 . Ահա թե ինչու

1 + ես = √ 2 (cos π / 4 + ես մեղք π / 4)

Օրինակ 2Եռանկյունաչափական ձևով գրի՛ր բարդ թիվ √ 3 - ես . Մենք ունենք:

r = √ 3+1 = 2 կոստ φ = √ 3 / 2 , մեղք φ = - 1 / 2

Հետևաբար, մինչև 2-ի բաժանվող անկյունը π , φ = 11 / 6 π ; հետևաբար,

√ 3 - ես = 2 (cos 11 / 6 π + ես մեղք 11/6 π ).

Օրինակ 3Եռանկյունաչափական ձևով գրի՛ր բարդ թիվ ես .

համալիր համարը ես համապատասխան վեկտոր ՕԱ> ավարտվում է առանցքի A կետում ժամը 1-ին օրդինատով (նկ. 333): Նման վեկտորի երկարությունը հավասար է 1-ի, իսկ անկյունը, որը նա կազմում է աբսցիսայի առանցքի հետ, հավասար է. π / 2. Ահա թե ինչու

ես = cos π / 2 + ես մեղք π / 2 .

Օրինակ 4 3 կոմպլեքս թիվը գրի՛ր եռանկյունաչափական տեսքով:

Համալիր թիվ 3 համապատասխանում է վեկտորին ՕԱ > X abscissa 3 (նկ. 334):

Նման վեկտորի երկարությունը 3 է, իսկ x առանցքի հետ նրա կազմած անկյունը՝ 0։ Հետևաբար

3 = 3 (cos 0 + ես մեղք 0),

Օրինակ 5Եռանկյունաչափական ձևով գրի՛ր -5 կոմպլեքս թիվը:

-5 կոմպլեքս թիվը համապատասխանում է վեկտորին ՕԱ> ավարտվում է առանցքի կետում X աբսցիսով -5 (նկ. 335): Նման վեկտորի երկարությունը 5 է, իսկ x առանցքի հետ կազմած անկյունը π . Ահա թե ինչու

5 = 5 (cos π + ես մեղք π ).

Զորավարժություններ

2047. Այս կոմպլեքս թվերը գրի՛ր եռանկյունաչափական տեսքով՝ սահմանելով դրանց մոդուլներն ու արգումենտները.

1) 2 + 2√3 ես , 4) 12ես - 5; 7).3ես ;

2) √3 + ես ; 5) 25; 8) -2ես ;

3) 6 - 6ես ; 6) - 4; 9) 3ես - 4.

2048. Հարթության վրա նշել կոմպլեքս թվեր ներկայացնող կետերի բազմությունները, որոնց մոդուլները r և φ արգումենտները բավարարում են պայմաններին.

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Կարո՞ղ են թվերը միաժամանակ լինել բարդ թվի մոդուլ: r Եվ - r ?

2050. Կոմպլեքս թվի արգումենտը կարո՞ղ է միաժամանակ լինել անկյուններ φ Եվ - φ ?

Ներկայացրե՛ք այս բարդ թվերը եռանկյունաչափական տեսքով՝ սահմանելով դրանց մոդուլներն ու փաստարկները.

2051*. 1 + cos α + ես մեղք α . 2054*. 2 (20° - ես մեղք 20°):

2052*։ մեղք φ + ես cos φ . 2055*։ 3 (- cos 15° - ես մեղք 15°):

Գործողություններ կոմպլեքս թվերի վրա՝ գրված հանրահաշվական ձևով

z = կոմպլեքս թվի հանրահաշվական ձևը(ա,բ) կոչվում է ձևի հանրահաշվական արտահայտություն

զ = ա + երկ.

Թվաբանական գործողություններ կոմպլեքս թվերի վրա զ 1 = ա 1 +b 1 եսԵվ զ 2 = ա 2 +b 2 ես, գրված հանրահաշվական ձևով, կատարվում են հետևյալ կերպ.

1. Կոմպլեքս թվերի գումարը (տարբերությունը):

զ 1 ± z 2 = (ա 1 ± ա 2) + (բ 1 ±բ 2)∙ ես,

դրանք. գումարումը (հանումը) կատարվում է բազմանդամների գումարման կանոնի համաձայն՝ համանման անդամների կրճատմամբ։

2. Կոմպլեքս թվերի արտադրյալ

զ 1 ∙զ 2 = (ա 1 ∙ա 2 -բ 1 ∙բ 2) + (ա 1 ∙բ 2 + ա 2 ∙բ 1)∙ ես,

դրանք. Բազմապատկումը կատարվում է բազմանդամների բազմապատկման սովորական կանոնով՝ հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ ես 2 = 1.

3. Երկու կոմպլեքս թվերի բաժանումն իրականացվում է հետեւյալ կանոնով.

, (զ 2 ≠ 0),

դրանք. բաժանումն իրականացվում է շահաբաժինն ու բաժանարարը բաժանարարի խոնարհումով բազմապատկելով։

Կոմպլեքս թվերի աստիճանականությունը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

Հեշտ է դա ցույց տալ

Օրինակներ.

1. Գտի՛ր կոմպլեքս թվերի գումարը զ 1 = 2 – եսԵվ զ 2 = – 4 + 3ես.

զ 1 +z 2 = (2 + (–1)∙ ես)+ (–4 + 3ես) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) ես = –2+2ես.

2. Գտի՛ր բարդ թվերի արտադրյալը զ 1 = 2 – 3եսԵվ զ 2 = –4 + 5ես.

= (2 – 3ես) ∙ (–4 + 5ես) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3ես)+ 2∙5ես– 3ես∙ 5ես = 7+22ես.

3. Գտեք անձնական զբաժանումից զ 1 \u003d 3 - 2 զ 2 = 3 – ես.

z= .

4. Լուծե՛ք հավասարումը. xԵվ y Î Ռ.

(2x+y) + (x+y)ես = 2 + 3ես.

Կոմպլեքս թվերի հավասարության ուժով մենք ունենք.

որտեղ x=–1 , y= 4.

5. Հաշվել. ես 2 ,ես 3 ,ես 4 ,ես 5 ,ես 6 ,ես -1 , ի -2 .

6. Հաշվե՛ք, եթե .

7. Հաշվի՛ր թվի փոխադարձությունը զ=3-ի.

Կոմպլեքս թվեր եռանկյունաչափական ձևով

բարդ հարթությունկոչվում է դեկարտյան կոորդինատներով հարթություն ( x, y), եթե յուրաքանչյուր կետ ունի կոորդինատներ ( ա, բ) նշանակվում է բարդ համար z = a + bi. Այս դեպքում աբսցիսային առանցքը կոչվում է իրական առանցք, իսկ y առանցքը երևակայական. Հետո ամեն կոմպլեքս թիվ ա+բիերկրաչափորեն ներկայացված է հարթության վրա որպես կետ Ա (ա, բ) կամ վեկտոր:

Հետեւաբար, կետի դիրքորոշումը Ա(և, հետևաբար, կոմպլեքս թիվը զ) կարող է սահմանվել վեկտորի երկարությամբ | | = rև անկյուն ժառաջացած վեկտորով | | իրական առանցքի դրական ուղղությամբ։ Վեկտորի երկարությունը կոչվում է կոմպլեքս թվերի մոդուլև նշվում է | զ|=ր, և անկյունը ժկանչեց բարդ թվի արգումենտև նշվում է ժ = արգզ.

Հասկանալի է, որ | զ| ³ 0 և | z | = 0 Û z= 0.

Սկսած թզ. 2 ցույց է տալիս, որ.

Կոմպլեքս թվի արգումենտը սահմանվում է ոչ միանշանակ, և մինչև 2 pk, kÎ Զ.

Սկսած թզ. 2-ը նաև ցույց է տալիս, որ եթե z=a+biԵվ ժ=արգզ,Դա

cos j =, մեղք j =, տգ ժ =.

Եթե zՕՌԵվ z > 0 ապա արգզ = 0 +2pk;

Եթե z ՕՌԵվ զ< 0 ապա argz = p + 2pk;

Եթե z= 0,արգզանորոշ.

Փաստարկի հիմնական արժեքը որոշվում է 0-ի միջակայքում £արգզ£2 p,

կամ -էջ£ արգ զ £ պ.

Օրինակներ.

1. Գտի՛ր կոմպլեքս թվերի մոդուլը զ 1 = 4 – 3եսԵվ զ 2 = –2–2ես.