Դիտարկենք կամայական ABC եռանկյունը և D կետը, որը չի գտնվում այս եռանկյան հարթությունում: Այս կետը հատվածներով միացրեք ABC եռանկյան գագաթներին: Արդյունքում մենք ստանում ենք ADC, CDB, ABD եռանկյուններ: Չորս եռանկյուններով ABC, ADC, CDB և ABD սահմանափակված մակերեսը կոչվում է քառաեդրոն և նշվում է DABC:
Եռանկյունները, որոնք կազմում են քառաեդրոնը, կոչվում են նրա դեմքեր։
Այս եռանկյունների կողմերը կոչվում են քառանկյունի եզրեր: Իսկ դրանց գագաթները քառանիստի գագաթներ են

Տետրեդրոնն ունի 4 դեմք, 6 կողիկներԵվ 4 գագաթ.
Երկու եզրերը, որոնք չունեն ընդհանուր գագաթ, կոչվում են հակառակ:
Հաճախ, հարմարության համար, տետրաեդրոնի դեմքերից մեկը կոչվում է հիմք, իսկ մնացած երեք դեմքերը կողմնակի դեմքեր են։

Այսպիսով, քառանիստը ամենապարզ բազմանկյունն է, որի երեսները չորս եռանկյուններ են։

Բայց ճիշտ է նաև, որ ցանկացած կամայական եռանկյուն բուրգ քառաեդրոն է: Ապա ճիշտ է նաև, որ քառաեդրոն կոչվում է բուրգ, որի հիմքում եռանկյուն է:

Տետրաեդրոնի բարձրությունըկոչվում է հատված, որը միացնում է գագաթը մի կետի, որը գտնվում է հակառակ երեսին և դրան ուղղահայաց:
քառաեդրոնի միջնկոչվում է հատված, որը միացնում է գագաթը հակառակ երեսի միջնամասերի հատման կետի հետ։
Բիմեդիան քառաեդրոնկոչվում է հատված, որը միացնում է քառանիստի հատվող եզրերի միջնակետերը։

Քանի որ քառաեդրոնը բուրգ է եռանկյուն հիմք, ապա ցանկացած քառանիստի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով

• Սցանկացած դեմքի տարածքն է,
• Հ- այս դեմքի վրա իջեցված բարձրությունը

Կանոնավոր տետրաեդրոն - տետրաեդրոնի հատուկ տեսակ

Այն քառաեդրոնը, որի բոլոր դեմքերը հավասարակողմ եռանկյուններ են, կոչվում է ճիշտ.
Կանոնավոր քառաեդրոնի հատկությունները.

• Բոլոր եզրերը հավասար են:
• Կանոնավոր քառաեդրոնի բոլոր հարթ անկյունները 60° են
• Քանի որ նրա յուրաքանչյուր գագաթը երեք կանոնավոր եռանկյունների գագաթն է, յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 180° է։
• Կանոնավոր քառանիստի ցանկացած գագաթ նախագծված է հակառակ դեմքի ուղղահայաց կենտրոնին (եռանկյան բարձրությունների հատման կետին):

Մեզ տրվի կանոնավոր քառաեդրոն ABCD, որի ծայրերը հավասար են a-ի: DH-ն նրա բարձրությունն է:
Կազմենք լրացուցիչ կոնստրուկցիաներ BM - ABC եռանկյան բարձրությունը և DM - ACD եռանկյան բարձրությունը:
Բարձրությունը BM հավասար է BM և հավասար է
Դիտարկենք BDM եռանկյունը, որտեղ DH-ը, որը քառաեդրոնի բարձրությունն է, նույնպես այս եռանկյունու բարձրությունն է:
ՄԲ կողմի վրա իջած եռանկյան բարձրությունը կարելի է գտնել բանաձևով

, Որտեղ
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Փոխարինեք այս արժեքները բարձրության բանաձևով: Ստացեք


Հանենք 1/2 ա. Ստացեք

Կիրառել քառակուսիների բանաձևի տարբերությունը

Որոշ փոքր փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք


Ցանկացած քառաեդրոնի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով
,
Որտեղ ,

Փոխարինելով այս արժեքները՝ մենք ստանում ենք

Այսպիսով, կանոնավոր քառաեդրոնի ծավալային բանաձևը հետևյալն է

Որտեղ ա- քառաեդրոնի եզր

Չորեքդրոնի ծավալի հաշվարկ, եթե հայտնի են նրա գագաթների կոորդինատները

Տրվենք քառանիստի գագաթների կոորդինատները

Գծե՛ք վեկտորներ գագաթից , , .
Այս վեկտորներից յուրաքանչյուրի կոորդինատները գտնելու համար վերջի կոորդինատից հանեք համապատասխան սկզբնական կոորդինատը։ Ստացեք

Տետրաեդրոնի ծավալի հիմնական բանաձևից

Որտեղ Սցանկացած դեմքի տարածքն է, և Հ- դրա վրա իջեցված բարձրությունը, կարող եք ավելին ցուցադրել ամբողջ գիծըբանաձևեր, որոնք արտահայտում են ծավալը քառաեդրոնի տարբեր տարրերով: Մենք տալիս ենք այս բանաձևերը քառանիստի համար Ա Բ Գ Դ.

(2) ,

որտեղ ∠ ( ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ,ABC) եզրերի միջև եղած անկյունն է ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆև դեմքի հարթություն ABC;

(3) ,

որտեղ ∠ ( ABC,ABD) երեսների միջև եղած անկյունն է ABCԵվ ABD;

որտեղ | ԱԲ,CD| - հեռավորությունը հակառակ կողերի միջև ԱԲԵվ CD, ∠ (ԱԲ,CD) այս եզրերի միջև եղած անկյունն է:

(2)–(4) բանաձևերը կարող են օգտագործվել ուղիղների և հարթությունների միջև անկյունները գտնելու համար. Հատկապես օգտակար է բանաձևը (4), որով կարելի է գտնել թեք գծերի միջև հեռավորությունը ԱԲԵվ CD.

Բանաձևերը (2) և (3) նման են բանաձևին Ս = (1/2)աբմեղք Գեռանկյան մակերեսի համար. Բանաձև Ս = rpնմանատիպ բանաձեւ

Որտեղ rքառաեդրոնի ներգծված գնդիկի շառավիղն է, Σ՝ նրա ընդհանուր մակերեսը (բոլոր երեսների մակերեսների գումարը)։ Գոյություն ունի նաև գեղեցիկ բանաձև, որը շառավղով կապում է քառաեդրոնի ծավալը Ռդրա նկարագրված շրջանակը ( Crelle բանաձեւը):

որտեղ Δ-ն եռանկյան մակերեսն է, որի կողմերը թվայինորեն հավասար են հակառակ եզրերի արտադրյալներին ( ԱԲ× CD, AC× ԲԴ,ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ× մ.թ.ա) Բանաձևից (2) և եռանկյուն անկյունների կոսինուսի թեորեմից (տես Գնդային եռանկյունաչափություն) կարելի է դուրս բերել եռանկյունների համար Հերոնի բանաձևին նման բանաձև։

Տետրաեդրոնի սահմանում

Տետրաեդրոն- ամենապարզ բազմանիստ մարմինը, որի դեմքերը և հիմքը եռանկյուններ են:

Առցանց հաշվիչ

Տետրեդրոնն ունի չորս երես, որոնցից յուրաքանչյուրը կազմված է երեք կողմերից։ Չորսայրն ունի չորս գագաթ, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի երեք եզր։

Այս մարմինը բաժանված է մի քանի տեսակների. Ստորև ներկայացնում ենք դրանց դասակարգումը.

1. Իզոեդրալ քառաեդրոն- նրա բոլոր դեմքերը նույն եռանկյուններն են.
2. Օրթոցենտրիկ քառաեդրոն- յուրաքանչյուր գագաթից դեպի հակառակ երես քաշված բոլոր բարձրությունները երկարությամբ նույնն են.
3. Ուղղանկյուն քառանիստ- մեկ գագաթից բխող եզրերը միմյանց հետ կազմում են 90 աստիճանի անկյուն.
4. շրջանակ;
5. Համաչափ;
6. կենտրոնական.

Տետրաեդրոնի ծավալային բանաձևեր

Տվյալ մարմնի ծավալը կարելի է գտնել մի քանի ձևով. Եկեք վերլուծենք դրանք ավելի մանրամասն:

Վեկտորների խառը արտադրյալի միջոցով

Եթե ​​քառաեդրոնը կառուցված է կոորդինատներով երեք վեկտորների վրա.

A ⃗ = (a x, a y, a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)ա= (ա x​ , ա y​ , ա զ​ )
b ⃗ = (b x, b y, b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)բ= (բ x​ , բ y​ , բ զ​ )
c ⃗ = (c x, c y, c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)գ= (գ x​ , գ y​ , գ զ​ ) ,

ապա այս քառանիստի ծավալն է խառը արտադրանքայս վեկտորներից, այսինքն՝ այդպիսի որոշիչ.

Տետրեդրոնի ծավալը որոշիչի միջոցով

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_v. )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ա x​ բ x​ գ x​ ​ ա y​ բ y​ գ y​ ​ ա զ​ բ զ​ գ զ​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Առաջադրանք 1

Հայտնի են ութանիստի չորս գագաթների կոորդինատները։ A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9), B(8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) C (1,2,3) C (1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7, 1 2, 1). Գտեք դրա ծավալը:

Լուծում

A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9)
B(8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C (1,2,3) C (1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7, 1 2, 1)

Առաջին քայլը վեկտորների կոորդինատների որոշումն է, որոնց վրա կառուցված է տվյալ մարմինը։
Դա անելու համար հարկավոր է գտնել վեկտորի յուրաքանչյուր կոորդինատ՝ հանելով երկու կետերի համապատասխան կոորդինատները։ Օրինակ՝ վեկտորի կոորդինատները A B → \overrightarrow(AB) Ա Բ, այսինքն՝ կետից ուղղված վեկտոր Ա Ա Ադեպի կետ Բ Բ Բ, սրանք կետերի համապատասխան կոորդինատների տարբերություններն են Բ Բ ԲԵվ Ա Ա Ա:

A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)Ա Բ= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Հիմա եկեք գտնենք այս վեկտորների խառը արտադրյալը, դրա համար մենք կազմում ենք երրորդ կարգի որոշիչ՝ միաժամանակ ենթադրելով, որ A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)Ա Բ= ա, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= բ, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ= գ.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 8 − 8 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ − − ⋅ − − 0 = 1 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6) \cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ա x​ բ x​ գx​ ​ աy​ բy​ գy​ ​ ազ​ բզ​ գզ​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Այսինքն քառաեդրոնի ծավալը հետևյալն է.

$Վ=61\cdot |$

Պատասխանել

$44.8\text{սմ3 .}$

Իր կողմի երկայնքով իզոեդրային քառաեդրոնի ծավալի բանաձևը

Այս բանաձևը վավեր է միայն իզոեդրային քառաեդրոնի ծավալը հաշվարկելու համար, այսինքն՝ քառանիստ, որի բոլոր դեմքերը միանման կանոնավոր եռանկյուններ են։

Իզոեդրային քառաեդրոնի ծավալը

$Վ=12\sqrt{2\cdot {ա}^3}$

ա աաքառանիստի եզրի երկարությունն է։

Առաջադրանք 2

Գտե՛ք քառանիստի ծավալը, եթե նրա կողմը տրված է հավասար $11\text{սմ.}$

Լուծում

$ա=11$

Փոխարինող ա աաքառաեդրոնի ծավալի բանաձևի մեջ.

$Վ=12\sqrt{2\cdot {ա}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{սմ3}}}}}$

Պատասխանել

$156.8\text{սմ3 .}$

Նշում. Սա երկրաչափության խնդիրներով դասի մի մասն է (հատված պինդ երկրաչափություն, խնդիրներ բուրգի մասին): Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է լուծել երկրաչափության խնդիր, որն այստեղ չկա, գրեք այդ մասին ֆորումում: Առաջադրանքներում «քառակուսի արմատ» նշանի փոխարեն օգտագործվում է sqrt () ֆունկցիան, որում sqrt խորհրդանիշն է։ քառակուսի արմատ, իսկ փակագծերում արմատային արտահայտությունն է.Պարզ արմատական ​​արտահայտությունների համար կարելի է օգտագործել «√» նշանը. կանոնավոր տետրաեդրոնկանոնավոր եռանկյուն բուրգ է, որի բոլոր դեմքերը հավասարակողմ եռանկյուններ են:

Կանոնավոր քառաեդրոնի համար բոլոր երկանկյուն անկյունները եզրերում և բոլոր եռանկյուն անկյունները գագաթներում հավասար են

Տետրաեդրոնն ունի 4 դեմք, 4 գագաթ և 6 եզր։

Կանոնավոր քառաեդրոնի հիմնական բանաձևերը տրված են աղյուսակում:

Որտեղ:
S - կանոնավոր քառաեդրոնի մակերեսը
V - ծավալ
h - բարձրությունը իջեցվել է հիմքի վրա
r - քառանկյունի մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը
R - շրջագծված շրջանագծի շառավիղը
ա - կողերի երկարությունը

Գործնական օրինակներ

Առաջադրանք.
Գտեք եռանկյուն բուրգի մակերեսը, որի յուրաքանչյուր եզրը հավասար է √3

Լուծում.
Քանի որ եռանկյուն բուրգի բոլոր եզրերը հավասար են, դա ճիշտ է։ Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի մակերեսը S = a 2 √3 է:
Հետո
S = 3√3

Պատասխանել: 3√3

Առաջադրանք.
Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի բոլոր եզրերը 4 սմ են:Գտե՛ք բուրգի ծավալը

Լուծում.
Քանի որ կանոնավոր եռանկյուն բուրգում բուրգի բարձրությունը նախագծված է հիմքի կենտրոնում, որը նաև շրջագծված շրջանագծի կենտրոնն է, ապա.

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Այսպիսով, OM բուրգի բարձրությունը կարելի է գտնել ուղղանկյուն եռանկյուն AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √ (32/3)
OM = 4√2 / √3

Բուրգի ծավալը գտնում ենք V = 1/3 Շ բանաձևով
Այս դեպքում մենք գտնում ենք բազայի տարածքը S \u003d √3/4 a 2 բանաձևով.

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Պատասխանել 16√2/3սմ