Տարբեր պրիզմաները տարբերվում են միմյանցից: Միեւնույն ժամանակ, նրանք շատ ընդհանրություններ ունեն։ Պրիզմայի հիմքի տարածքը գտնելու համար պետք է պարզել, թե ինչպիսի տեսք ունի այն:

Ընդհանուր տեսություն

Պրիզմա է ցանկացած բազմանիստ, որի կողմերն ունեն զուգահեռագծի ձև: Ընդ որում, ցանկացած բազմանիստ կարող է լինել իր հիմքում՝ եռանկյունից մինչև n-անկյուն: Ընդ որում, պրիզմայի հիմքերը միշտ հավասար են միմյանց։ Ինչը չի վերաբերում կողային երեսներին, դրանք կարող են զգալիորեն տարբերվել չափերով:

Խնդիրները լուծելիս հանդիպում է ոչ միայն պրիզմայի հիմքի տարածքը: Հնարավոր է, որ անհրաժեշտ լինի իմանալ կողային մակերեսը, այսինքն, բոլոր դեմքերը, որոնք հիմքեր չեն: Ամբողջ մակերեսն արդեն կլինի պրիզմա կազմող բոլոր դեմքերի միավորումը։

Երբեմն բարձրություններ են հայտնվում առաջադրանքներում: Այն ուղղահայաց է հիմքերին։ Բազմեյդրոնի անկյունագիծը մի հատված է, որը զույգերով միացնում է նույն դեմքին չպատկանող ցանկացած երկու գագաթ:

Հարկ է նշել, որ ուղիղ կամ թեք պրիզմայի հիմքի տարածքը կախված չէ նրանց և կողային երեսների միջև եղած անկյունից: Եթե ​​նրանք ունեն նույն թվերը վերին և ստորին երեսներում, ապա նրանց տարածքները հավասար կլինեն:

եռանկյուն պրիզմա

Այն հիմքում ունի երեք գագաթներով պատկեր, այսինքն՝ եռանկյուն: Հայտնի է, որ տարբեր է: Եթե, ապա բավական է հիշել, որ դրա տարածքը որոշվում է ոտքերի արտադրանքի կեսով:

Մաթեմատիկական նշումն ունի հետևյալ տեսքը՝ S = ½ av.

Բազայի տարածքը գտնելու համար ընդհանուր տեսարան, բանաձևերը օգտակար են՝ Հերոն և այն, որի կողքի կեսը վերցված է դեպի իրեն ձգված բարձրության վրա։

Առաջին բանաձևը պետք է գրվի այսպես. S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)): Այս գրառումը պարունակում է կիսաշրջագիծ (p), այսինքն՝ երեք կողմերի գումարը՝ բաժանված երկուսի։

Երկրորդ. S = ½ n a * a.

Եթե ​​ցանկանում եք իմանալ բազայի տարածքը եռանկյուն պրիզմա, որը ճիշտ է, ապա եռանկյունը հավասարակողմ է։ Այն ունի իր բանաձևը՝ S = ¼ a 2 * √3:

քառանկյուն պրիզմա

Նրա հիմքը հայտնի քառանկյուններից որևէ մեկն է։ Այն կարող է լինել ուղղանկյուն կամ քառակուսի, զուգահեռական կամ ռոմբուս: Յուրաքանչյուր դեպքում, պրիզմայի հիմքի տարածքը հաշվարկելու համար ձեզ հարկավոր է ձեր սեփական բանաձևը:

Եթե ​​հիմքը ուղղանկյուն է, ապա դրա մակերեսը որոշվում է հետևյալ կերպ՝ S = av, որտեղ a, b ուղղանկյան կողմերն են։

Երբ խոսքը վերաբերում է քառանկյուն պրիզմայի, կանոնավոր պրիզմայի բազային տարածքը հաշվարկվում է քառակուսու բանաձևով: Որովհետև հենց նա է ընկած հիմքում։ S \u003d a 2.

Այն դեպքում, երբ հիմքը զուգահեռ է, անհրաժեշտ կլինի հետևյալ հավասարությունը՝ S \u003d a * n a. Պատահում է, որ տրված են զուգահեռականի մի կողմ և անկյուններից մեկը։ Այնուհետեւ, բարձրությունը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել լրացուցիչ բանաձեւ n a \u003d b * sin A: Ավելին, A անկյունը հարում է «b» կողմին, իսկ բարձրությունը n և հակառակ այս անկյունին:

Եթե ​​ռոմբը ընկած է պրիզմայի հիմքում, ապա դրա մակերեսը որոշելու համար անհրաժեշտ կլինի նույն բանաձևը, ինչ զուգահեռագծի համար (քանի որ դա դրա հատուկ դեպքն է): Բայց դուք կարող եք նաև օգտագործել սա՝ S = ½ d 1 d 2: Այստեղ d 1 և d 2-ը ռոմբի երկու անկյունագծեր են:

Կանոնավոր հնգանկյուն պրիզմա

Այս դեպքը ներառում է բազմանկյունը եռանկյունների բաժանելը, որոնց տարածքներն ավելի հեշտ է պարզել։ Թեև պատահում է, որ թվերը կարող են լինել տարբեր թվով գագաթներով։

Քանի որ պրիզմայի հիմքն է կանոնավոր հնգանկյուն, ապա այն կարելի է բաժանել հինգ հավասարակողմ եռանկյունների։ Այնուհետև պրիզմայի հիմքի մակերեսը հավասար է մեկ այդպիսի եռանկյունու մակերեսին (բանաձևը կարելի է տեսնել վերևում), բազմապատկված հինգով:

Կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմա

Հնգանկյուն պրիզմայի համար նկարագրված սկզբունքով կարելի է հիմքի վեցանկյունը բաժանել 6 հավասարակողմ եռանկյունների։ Նման պրիզմայի հիմքի մակերեսի բանաձևը նման է նախորդին: Միայն դրա մեջ պետք է բազմապատկել վեցով։

Բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը՝ S = 3/2 և 2 * √3:

Առաջադրանքներ

Թիվ 1. Տրված է կանոնավոր ուղիղ գիծ, ​​որի անկյունագիծը 22 սմ է, բազմանկյունի բարձրությունը՝ 14 սմ։ Հաշվե՛ք պրիզմայի հիմքի և ամբողջ մակերեսի մակերեսը։

Լուծում.Պրիզմայի հիմքը քառակուսի է, բայց նրա կողմը հայտնի չէ։ Դրա արժեքը կարող եք գտնել քառակուսու (x) անկյունագծից, որը կապված է պրիզմայի (d) անկյունագծի և բարձրության (n) հետ։ x 2 \u003d d 2 - n 2: Մյուս կողմից, այս «x» հատվածը հիպոթենուսն է եռանկյան մեջ, որի ոտքերը հավասար են քառակուսու կողմին: Այսինքն, x 2 \u003d a 2 + a 2: Այսպիսով, պարզվում է, որ 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2:

Փոխարինեք 22 թիվը d-ի փոխարեն և փոխարինեք «n»-ն իր արժեքով՝ 14, ստացվում է, որ քառակուսու կողմը 12 սմ է: Այժմ հեշտ է պարզել բազային տարածքը՝ 12 * 12 \u003d 144 սմ 2: .

Ամբողջ մակերեսի տարածքը պարզելու համար հարկավոր է կրկնակի ավելացնել բազային տարածքի արժեքը և քառապատկել կողմը: Վերջինս հեշտ է գտնել ուղղանկյան բանաձևով՝ բազմապատկել բազմանկյունի բարձրությունը և հիմքի կողմը։ Այսինքն՝ 14 և 12, այս թիվը հավասար կլինի 168 սմ 2-ի։ Պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը 960 սմ 2 է:

Պատասխանել.Պրիզմայի հիմքի մակերեսը 144 սմ2 է։ Ամբողջ մակերեսը - 960 սմ 2:

Թիվ 2. Դանա Հիմքում ընկած է 6 սմ կողմ ունեցող եռանկյուն, այս դեպքում կողային երեսի անկյունագիծը 10 սմ է։Հաշվե՛ք մակերեսները՝ հիմքը և կողային մակերեսը։

Լուծում.Քանի որ պրիզման կանոնավոր է, դրա հիմքը հավասարակողմ եռանկյուն է: Հետևաբար, նրա մակերեսը հավասար է 6-ի քառակուսի ¼-ի և քառակուսի արմատի 3-ի: Պարզ հաշվարկով ստացվում է արդյունք՝ 9√3 սմ 2: Սա պրիզմայի մեկ հիմքի տարածքն է:

Բոլորը կողմնակի դեմքերնույնական են և ուղղանկյուններ են, որոնց կողմերը 6 և 10 սմ են: Նրանց մակերեսները հաշվարկելու համար բավական է բազմապատկել այս թվերը: Այնուհետև դրանք բազմապատկեք երեքով, քանի որ պրիզման ունի ճիշտ այդքան կողային երեսներ: Այնուհետև կողային մակերեսի մակերեսը փաթաթվում է 180 սմ 2:

Պատասխանել.Տարածքները՝ հիմքը՝ 9√3 սմ 2, պրիզմայի կողային մակերեսը՝ 180 սմ 2։

Պինդ երկրաչափության դասընթացի դպրոցական ծրագրում եռաչափ պատկերների ուսումնասիրությունը սովորաբար սկսվում է պարզ երկրաչափական մարմնից՝ պրիզմայական պոլիէդրոնից։ Նրա հիմքերի դերը կատարում են զուգահեռ հարթություններում ընկած 2 հավասար բազմանկյուններ։ Հատուկ դեպք է կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա: Նրա հիմքերը 2 միանման կանոնավոր քառանկյուններ են, որոնց կողմերը ուղղահայաց են՝ ունենալով զուգահեռագծի (կամ ուղղանկյունների, եթե պրիզմաը թեքված չէ):

Ինչ տեսք ունի պրիզմա

Կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա վեցանկյուն է, որի հիմքերում կա 2 քառակուսի, իսկ կողային երեսները ներկայացված են ուղղանկյուններով։ Սրա մեկ այլ անուն երկրաչափական պատկեր- ուղիղ զուգահեռական:

Նկարը, որը պատկերում է քառանկյուն պրիզմա, ներկայացված է ստորև։

Դուք կարող եք տեսնել նաև նկարում ամենակարևոր տարրերը, որոնք կազմում են երկրաչափական մարմինը. Դրանք սովորաբար կոչվում են.

Երբեմն երկրաչափության խնդիրների մեջ կարելի է գտնել հատված հասկացությունը: Սահմանումը կհնչի այսպես. հատվածը ծավալային մարմնի բոլոր կետերն են, որոնք պատկանում են կտրող հարթությանը: Հատվածը ուղղահայաց է (հատում է նկարի եզրերը 90 աստիճանի անկյան տակ): Ուղղանկյուն պրիզմայի համար դիտարկվում է նաև անկյունագծային հատված (հատվածների առավելագույն քանակը, որոնք կարելի է կառուցել 2-ն է)՝ անցնելով 2 եզրերով և հիմքի անկյունագծերով։

Եթե ​​հատվածը գծված է այնպես, որ կտրող հարթությունը զուգահեռ չլինի ոչ հիմքերին, ոչ կողային երեսներին, ապա ստացվում է կտրված պրիզմա:

Կրճատված պրիզմատիկ տարրերը գտնելու համար օգտագործվում են տարբեր գործակիցներ և բանաձևեր: Դրանցից մի քանիսը հայտնի են պլանաչափության ընթացքից (օրինակ, պրիզմայի հիմքի մակերեսը գտնելու համար բավական է հիշել քառակուսու մակերեսի բանաձևը):

Մակերեսի մակերեսը և ծավալը

Բանաձևով պրիզմայի ծավալը որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա հիմքի և բարձրության տարածքը.

V = Sprim h

Քանի որ կանոնավոր քառանիստ պրիզմայի հիմքը կողքով քառակուսի է ա,Դուք կարող եք բանաձևը գրել ավելի մանրամասն ձևով.

V = a² ժ

Եթե ​​մենք խոսում ենք խորանարդի մասին, սովորական պրիզմա հետ հավասար երկարություն, լայնությունը և բարձրությունը, ծավալը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

Հասկանալու համար, թե ինչպես գտնել պրիզմայի կողային մակերեսը, դուք պետք է պատկերացնեք դրա ավլումը:

Գծանկարից երևում է, որ կողային մակերեսկազմված 4 հավասար ուղղանկյուններից։ Դրա մակերեսը հաշվարկվում է որպես հիմքի պարագծի և նկարի բարձրության արտադրյալ.

Սայդ = Pos h

Քանի որ քառակուսու պարագիծը P = 4 ա,բանաձևը ստանում է ձև.

Կողք = 4ա ժ

Խորանարդի համար.

Կողք = 4a²

Պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը հաշվարկելու համար կողային մակերեսին ավելացրեք 2 հիմնական տարածք.

Sfull = Siside + 2Sbase

Ինչպես կիրառվում է քառանկյուն կանոնավոր պրիզմայի նկատմամբ, բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.

Լիքը = 4ա ժ + 2ա²

Խորանարդի մակերեսի համար.

Լիքը = 6a²

Իմանալով ծավալը կամ մակերեսը, կարող եք հաշվարկել երկրաչափական մարմնի առանձին տարրերը:

Պրիզմայի տարրերի հայտնաբերում

Հաճախ կան խնդիրներ, որոնցում տրվում է ծավալը կամ հայտնի է կողային մակերեսի արժեքը, որտեղ անհրաժեշտ է որոշել հիմքի կողմի երկարությունը կամ բարձրությունը։ Նման դեպքերում բանաձևերը կարող են ստացվել.

• բազային կողմի երկարությունը. a = կողմ / 4h = √ (V / h);
• բարձրությունը կամ կողքի երկարությունը. h = Կողք / 4a = V / a²;
• բազայի տարածքը: Sprim = V / h;
• կողային դեմքի տարածքը. Կողք gr = Կողք / 4.

Որոշելու համար, թե որքան տարածք ունի անկյունագծային հատվածը, դուք պետք է իմանաք շեղանկյունի երկարությունը և նկարի բարձրությունը: Քառակուսու համար d = a√2.Հետևաբար.

Սդիագ = ah√2

Պրիզմայի անկյունագիծը հաշվարկելու համար օգտագործվում է բանաձևը.

dprize = √(2a² + h²)

Հասկանալու համար, թե ինչպես կիրառել վերը նշված գործակիցները, կարող եք զբաղվել և լուծել մի քանի պարզ առաջադրանքներ:

Լուծումների հետ կապված խնդիրների օրինակներ

Ահա որոշ առաջադրանքներ, որոնք ի հայտ են գալիս մաթեմատիկայի պետական ​​ավարտական ​​քննություններում.

Վարժություն 1.

Ավազը լցվում է սովորական քառանկյուն պրիզմայի ձևով տուփի մեջ։ Նրա մակարդակի բարձրությունը 10 սմ է, ինչքա՞ն կլինի ավազի մակարդակը, եթե այն տեղափոխեք նույն ձևի, բայց հիմքի երկարությամբ 2 անգամ ավելի երկար տարայի մեջ:

Պետք է վիճարկել հետևյալ կերպ. Առաջին և երկրորդ տարաներում ավազի քանակը չի փոխվել, այսինքն՝ դրանց ծավալը նույնն է։ Դուք կարող եք սահմանել բազայի երկարությունը որպես ա. Այս դեպքում առաջին տուփի համար նյութի ծավալը կլինի.

V1 = ha² = 10a²

Երկրորդ տուփի համար հիմքի երկարությունն է 2 ա, բայց ավազի մակարդակի բարձրությունը անհայտ է.

V2 = h(2a)² = 4հա²

Քանի որ V1 = V2, արտահայտությունները կարելի է հավասարեցնել.

10 ա² = 4 հա²

Հավասարման երկու կողմերը a²-ով կրճատելուց հետո մենք ստանում ենք.

Արդյունքում ավազի նոր մակարդակը կլինի h = 10 / 4 = 2,5սմ.

Առաջադրանք 2.

ABCDA1B1C1D1 կանոնավոր պրիզմա է: Հայտնի է, որ BD = AB₁ = 6√2: Գտեք մարմնի ընդհանուր մակերեսը:

Որպեսզի ավելի հեշտ լինի հասկանալ, թե որ տարրերն են հայտնի, կարող եք նկարել նկար:

Քանի որ խոսքը կանոնավոր պրիզմայի մասին է, կարելի է եզրակացնել, որ հիմքը 6√2 անկյունագծով քառակուսի է։ Կողքի երեսի անկյունագիծը նույն արժեքն ունի, հետևաբար, կողային երեսը նույնպես ունի հիմքին հավասար քառակուսու ձև։ Պարզվում է, որ բոլոր երեք չափերը՝ երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը, հավասար են։ Կարող ենք եզրակացնել, որ ABCDA1B1C1D1 խորանարդ է:

Ցանկացած եզրի երկարությունը որոշվում է հայտնի անկյունագծով.

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ընդհանուր մակերեսը հայտնաբերվում է խորանարդի բանաձևով.

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Առաջադրանք 3.

Սենյակը վերանորոգվում է։ Հայտնի է, որ դրա հատակն ունի քառակուսիի ձև՝ 9 մ² մակերեսով։ Սենյակի բարձրությունը 2,5 մ է: Ո՞րն է սենյակի պաստառապատման ամենացածր արժեքը, եթե 1 մ²-ն արժե 50 ռուբլի:

Քանի որ հատակը և առաստաղը քառակուսի են, այսինքն՝ կանոնավոր քառանկյուններ, իսկ դրա պատերը ուղղահայաց են հորիզոնական մակերևույթներին, կարող ենք եզրակացնել, որ այն ճիշտ պրիզմա. Անհրաժեշտ է որոշել դրա կողային մակերեսի տարածքը:

Սենյակի երկարությունը կազմում է a = √9 = 3մ.

Հրապարակը ծածկվելու է պաստառով Կողք = 4 3 2,5 = 30 մ².

Այս սենյակի համար պաստառների ամենացածր արժեքը կլինի 50 30 = 1500ռուբլի։

Այսպիսով, ուղղանկյուն պրիզմայի համար խնդիրներ լուծելու համար բավական է կարողանալ հաշվարկել քառակուսու և ուղղանկյունի մակերեսը և պարագիծը, ինչպես նաև իմանալ ծավալը և մակերեսը գտնելու բանաձևերը։

Ինչպես գտնել խորանարդի մակերեսը

Սահմանում 1. Պրիզմատիկ մակերես
Թեորեմ 1. Պրիզմատիկ մակերեսի զուգահեռ հատվածների վրա
Սահմանում 2. Պրիզմատիկ մակերեսի ուղղահայաց հատված
Սահմանում 3. Պրիզմա
Սահմանում 4. Պրիզմայի բարձրություն
Սահմանում 5. Ուղղակի պրիզմա
Թեորեմ 2. Պրիզմայի կողային մակերեսի մակերեսը

Զուգահեռաբար.
Սահմանում 6. Parallelepiped
Թեորեմ 3. Զուգահեռապատիկի անկյունագծերի հատման մասին
Սահմանում 7. Աջ զուգահեռական
Սահմանում 8. Ուղղանկյուն զուգահեռական
Սահմանում 9. Զուգահեռի չափերը
Սահմանում 10. Cube
Սահմանում 11. Rhombohedron
Թեորեմ 4. Անկյունագծերի մասին խորանարդաձեւ
Թեորեմ 5. Պրիզմայի ծավալը
Թեորեմ 6. Ուղիղ պրիզմայի ծավալը
Թեորեմ 7. Ուղղանկյուն զուգահեռականի ծավալը

պրիզմակոչվում է բազմանիստ, որի մեջ երկու երեսներ (հիմքեր) ընկած են զուգահեռ հարթություններում, իսկ եզրերը, որոնք այս երեսներում չեն գտնվում, զուգահեռ են միմյանց։
Հիմքերից բացի այլ դեմքեր կոչվում են կողային.
Կողային երեսների և հիմքերի կողմերը կոչվում են պրիզմայի եզրեր, եզրերի ծայրերը կոչվում են պրիզմայի գագաթները. Կողային կողիկներկոչվում են եզրեր, որոնք չեն պատկանում հիմքերին: Կողմնակի դեմքերի միավորումը կոչվում է պրիզմայի կողային մակերեսը, և բոլոր դեմքերի միությունը կոչվում է պրիզմայի ամբողջ մակերեսը: Պրիզմայի բարձրությունըկոչվում է ուղղահայաց, որը իջել է վերին հիմքի կետից դեպի ստորին հիմքի հարթություն կամ այս ուղղահայաց երկարությունը: ուղիղ պրիզմակոչվում է պրիզմա, որի կողային եզրերն ուղղահայաց են հիմքերի հարթություններին։ ճիշտկոչվում է ուղիղ պրիզմա (նկ. 3), որի հիմքում ընկած է կանոնավոր բազմանկյուն։

Նշումներ:
լ- կողային կող;
P - բազայի պարագիծը;
S o - բազային տարածք;
H - բարձրություն;
P ^ - ուղղահայաց հատվածի պարագիծը;
S b - կողային մակերեսի տարածքը;
V - ծավալ;
S p - պրիզմայի ընդհանուր մակերեսի տարածքը:

V=SH S p \u003d S b + 2S o S b = P^l

Սահմանում 1 . Պրիզմատիկ մակերեսը պատկեր է, որը ձևավորվում է մի քանի հարթությունների մասերից, որոնք զուգահեռ են մեկ ուղիղ գծին, սահմանափակված այն ուղիղներով, որոնց երկայնքով այս հարթությունները հաջորդաբար հատվում են մեկը մյուսի հետ *; այս ուղիղները միմյանց զուգահեռ են և կոչվում են պրիզմատիկ մակերեսի եզրեր.
*Ենթադրվում է, որ յուրաքանչյուր երկու հաջորդական հարթությունները հատվում են, իսկ վերջին հարթությունը հատում է առաջինը:

Թեորեմ 1 . Պրիզմատիկ մակերևույթի հատվածները միմյանց զուգահեռ հարթություններով (բայց ոչ դրա եզրերին զուգահեռ) հավասար բազմանկյուններ են:
Թող ABCDE-ն և A"B"C"D"E"-ն լինեն պրիզմատիկ մակերևույթի հատվածներ երկու զուգահեռ հարթություններով: Այս երկու բազմանկյունների հավասարությունը ստուգելու համար բավական է ցույց տալ, որ ABC և A"B"C եռանկյունները հավասար են: և ունեն պտտման նույն ուղղությունը, և որ նույնը վերաբերում է ABD և A"B"D", ABE և A"B"E եռանկյուններին: Բայց այս եռանկյունների համապատասխան կողմերը զուգահեռ են (օրինակ, AC-ը զուգահեռ է A «C»-ին), քանի որ որոշակի հարթության հատման ուղիղները երկու զուգահեռ հարթություններով են. հետևում է, որ այս կողմերը հավասար են (օրինակ՝ AC-ը հավասար է A"C-ին), ինչպես հակառակ կողմերըզուգահեռագիծ և որ այս կողմերից կազմված անկյունները հավասար են և ունեն նույն ուղղությունը։

Սահմանում 2 . Պրիզմատիկ մակերևույթի ուղղահայաց հատվածը այս մակերևույթի հատվածն է իր եզրերին ուղղահայաց հարթությամբ: Ելնելով նախորդ թեորեմից՝ նույն պրիզմատիկ մակերեսի բոլոր ուղղահայաց հատվածները կլինեն հավասար բազմանկյուններ։

Սահմանում 3 . Պրիզմա պրիզմատիկ մակերևույթով և միմյանց զուգահեռ երկու հարթություններով (բայց ոչ պրիզմատիկ մակերևույթի եզրերին զուգահեռ) սահմանափակված բազմանիստ մակերևույթով:
Այս վերջին ինքնաթիռներում ընկած դեմքերը կոչվում են պրիզմայի հիմքերը; պրիզմատիկ մակերեսին պատկանող դեմքեր - կողմնակի դեմքեր; պրիզմատիկ մակերեսի եզրեր - պրիզմայի կողային եզրերը. Նախորդ թեորեմի ուժով պրիզմայի հիմքերն են հավասար բազմանկյուններ. Պրիզմայի բոլոր կողային երեսները զուգահեռագրություններ; բոլոր կողային եզրերը հավասար են միմյանց:
Ակնհայտ է, որ եթե ABCDE պրիզմայի հիմքը և AA եզրերից մեկը տրված են մեծությամբ և ուղղությամբ, ապա հնարավոր է պրիզմա կառուցել՝ գծելով BB, CC, .. եզրերը, հավասար և զուգահեռ: եզրը AA»:

Սահմանում 4 . Պրիզմայի բարձրությունը նրա հիմքերի հարթությունների միջև եղած հեռավորությունն է (HH"):

Սահմանում 5 . Պրիզման կոչվում է ուղիղ, եթե դրա հիմքերը պրիզմատիկ մակերևույթի ուղղահայաց հատվածներ են: Այս դեպքում պրիզմայի բարձրությունը, իհարկե, իրն է կողային կող; կողային եզրերը կամք ուղղանկյուններ.
Պրիզմաները կարելի է դասակարգել ըստ կողային երեսների քանակի. հավասար թվովբազմանկյան կողմերը, որոնք ծառայում են որպես դրա հիմք: Այսպիսով, պրիզմաները կարող են լինել եռանկյուն, քառանկյուն, հնգանկյուն և այլն։

Թեորեմ 2 . Պրիզմայի կողային մակերեսի մակերեսը հավասար է կողային եզրի արտադրյալին և ուղղահայաց հատվածի պարագծին:
Թող ABCDEA"B"C"D"E" լինի տրված պրիզմա, և abcde լինի նրա ուղղահայաց հատվածը, այնպես որ ab, bc, .. հատվածները ուղղահայաց լինեն նրա կողային եզրերին: ABA"B" երեսը զուգահեռագիծ է, նրա մակերեսը: հավասար է AA հիմքի արտադրյալին մի բարձրության վրա, որը համապատասխանում է ab; BCV «C» դեմքի մակերեսը հավասար է BB հիմքի արտադրյալին bc բարձրությամբ և այլն: Հետևաբար, կողային մակերեսը (այսինքն՝ կողային երեսների մակերեսների գումարը) հավասար է. հավասար է կողային եզրի արտադրյալին, այլ կերպ ասած՝ AA», BB», .. հատվածների ընդհանուր երկարությանը ab+bc+cd+de+ea գումարով։

Պրիզմա. Զուգահեռաբար

պրիզմակոչվում է բազմանիստ, որի երկու դեմքերը հավասար են n-անկյունների (հիմքեր) , զուգահեռ հարթություններում ընկած, իսկ մնացած n դեմքերը զուգահեռականներ են (կողային եզրեր) . Կողքի կող Պրիզմա կողային երեսի այն կողմն է, որը չի պատկանում հիմքին:

Այն պրիզմա է, որի կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերի հարթություններին, կոչվում է ուղիղ պրիզմա (նկ. 1): Եթե ​​կողային եզրերը ուղղահայաց չեն հիմքերի հարթություններին, ապա կոչվում է պրիզմա թեք . ճիշտ Պրիզման ուղիղ պրիզմա է, որի հիմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են։

ԲարձրությունՊրիզմա կոչվում է հիմքերի հարթությունների միջև ընկած հեռավորությունը։ Շեղանկյուն Պրիզման մի հատված է, որը կապում է երկու գագաթները, որոնք չեն պատկանում նույն դեմքին: անկյունագծային հատված Պրիզմայի այն հատվածը, որն անցնում է միևնույն դեմքին չպատկանող երկու կողային եզրերով հարթությամբ, կոչվում է: Ուղղահայաց հատված կոչվում է պրիզմայի հատված պրիզմայի կողային եզրին ուղղահայաց հարթությամբ:

Կողային մակերեսի մակերեսը Պրիզմա բոլոր կողային երեսների մակերեսների գումարն է։ Ամբողջ մակերեսը կոչվում է պրիզմայի բոլոր երեսների մակերեսների գումարը (այսինքն՝ կողային երեսների և հիմքերի մակերեսների գումարը)։

Կամայական պրիզմայի համար բանաձևերը ճշմարիտ են:

Որտեղ լկողային կողի երկարությունն է;

Հ- բարձրություն;

Պ

Ք

S կողմը

Ս լիքը

Ս գլխավորհիմքերի տարածքն է;

Վպրիզմայի ծավալն է։

Ուղիղ պրիզմայի համար ճշմարիտ են հետևյալ բանաձևերը.

Որտեղ էջ- հիմքի պարագիծը;

լկողային կողի երկարությունն է;

Հ- բարձրություն.

ԶուգահեռաբարԱյն պրիզման, որի հիմքը զուգահեռագիծ է, կոչվում է: Զուգահեռաբար, որի կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերին, կոչվում է ուղիղ (նկ. 2): Եթե ​​կողային եզրերը ուղղահայաց չեն հիմքերին, ապա կոչվում է զուգահեռական թեք . Ուղղանկյուն զուգահեռաբարձը, որի հիմքը ուղղանկյուն է, կոչվում է ուղղանկյուն. Ուղղանկյուն զուգահեռագիծ, որի բոլոր եզրերը հավասար են, կոչվում է խորանարդ.

Զուգահեռականի դեմքերը, որոնք չունեն ընդհանուր գագաթներ, կոչվում են հակառակը . Մեկ գագաթից բխող եզրերի երկարությունները կոչվում են չափումներ զուգահեռ. Քանի որ տուփը պրիզմա է, դրա հիմնական տարրերը սահմանվում են այնպես, ինչպես սահմանվում են պրիզմաների համար:

Թեորեմներ.

1. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են մի կետում և կիսում այն:

2. Ուղղանկյուն զուգահեռականի մեջ շեղանկյունի երկարության քառակուսին հավասար է նրա երեք չափերի քառակուսիների գումարին.

3. Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի բոլոր չորս անկյունագծերը հավասար են միմյանց:

Կամայական զուգահեռականի համար ճշմարիտ են հետևյալ բանաձևերը.

Որտեղ լկողային կողի երկարությունն է;

Հ- բարձրություն;

Պուղղահայաց հատվածի պարագիծն է.

Ք- ուղղահայաց հատվածի տարածք;

S կողմըկողային մակերեսն է;

Ս լիքըընդհանուր մակերեսն է;

Ս գլխավորհիմքերի տարածքն է;

Վպրիզմայի ծավալն է։

Համար աջ զուգահեռականճիշտ բանաձևեր.

Որտեղ էջ- հիմքի պարագիծը;

լկողային կողի երկարությունն է;

Հաջ զուգահեռականի բարձրությունն է։

Ուղղանկյուն զուգահեռականի համար ճշմարիտ են հետևյալ բանաձևերը.

(3)

Որտեղ էջ- հիմքի պարագիծը;

Հ- բարձրություն;

դ- անկյունագծային;

ա, բ, գ- զուգահեռականի չափումներ.

Խորանարդի ճիշտ բանաձևերն են.

Որտեղ ակողոսկրի երկարությունն է;

դխորանարդի անկյունագիծն է։

Օրինակ 1Ուղղանկյուն խորանարդի անկյունագիծը 33 դմ է, իսկ չափումները՝ 2:6:9:Գտե՛ք խորանարդի չափերը:

Լուծում.Զուգահեռի չափերը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը (3), այսինքն. այն փաստը, որ խորանարդի հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է նրա չափերի քառակուսիների գումարին։ Նշել ըստ կհամաչափության գործակից։ Այդ դեպքում զուգահեռանիստի չափերը հավասար կլինեն 2-ի կ, 6կև 9 կ. Խնդրի տվյալների համար մենք գրում ենք բանաձև (3).

Լուծելով այս հավասարումը կ, ստանում ենք.

Այսպիսով, զուգահեռանիստի չափերն են՝ 6 դմ, 18 դմ և 27 դմ։

Պատասխան. 6 դմ, 18 դմ, 27 դմ.

Օրինակ 2Գտե՛ք թեքված եռանկյուն պրիզմայի ծավալը, որի հիմքը հավասարակողմ եռանկյուն է, որի կողմը 8 սմ է, եթե կողային եզրը հավասար է հիմքի կողմին և թեքված է հիմքի նկատմամբ 60º անկյան տակ։

Լուծում . Եկեք նկարենք (նկ. 3):

Թեք պրիզմայի ծավալը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա հիմքի և բարձրության տարածքը: Այս պրիզմայի հիմքի մակերեսը հավասարակողմ եռանկյան մակերեսն է՝ 8 սմ կողմով։ Եկեք հաշվարկենք այն.

Պրիզմայի բարձրությունը նրա հիմքերի միջև եղած հեռավորությունն է։ Վերևից ԱՎերին հիմքի 1 մասում մենք իջեցնում ենք ստորին հիմքի հարթությանը ուղղահայացը Ա 1 Դ. Դրա երկարությունը կլինի պրիզմայի բարձրությունը: Դիտարկենք Դ Ա 1 ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆքանի որ սա կողային կողի թեքության անկյունն է Ա 1 Ադեպի բազային հարթություն Ա 1 Ա= 8 սմ Այս եռանկյունից մենք գտնում ենք Ա 1 Դ:

Այժմ մենք հաշվարկում ենք ծավալը՝ օգտագործելով բանաձևը (1).

Պատասխան. 192 սմ3:

Օրինակ 3Կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայի կողային եզրը 14 սմ է: Ամենամեծ անկյունագծային հատվածի մակերեսը 168 սմ 2 է: Գտեք պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը:

Լուծում.Եկեք նկարենք (նկ. 4)

Ամենամեծ անկյունագծային հատվածը ուղղանկյուն է ԱԱ 1 DD 1, քանի որ անկյունագծով ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆկանոնավոր վեցանկյուն ABCDEFամենամեծն է։ Պրիզմայի կողային մակերեսը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ հիմքի կողմը և կողային կողի երկարությունը:

Իմանալով անկյունագծային հատվածի տարածքը (ուղղանկյուն), մենք գտնում ենք հիմքի անկյունագիծը:

Որովհետև, ուրեմն

Այդ ժամանակվանից ԱԲ= 6 սմ.

Այնուհետև հիմքի պարագիծը հետևյալն է.

Գտեք պրիզմայի կողային մակերեսի տարածքը.

6 սմ կողմ ունեցող կանոնավոր վեցանկյունի մակերեսը հետևյալն է.

Գտեք պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը.

Պատասխան.

Օրինակ 4Աջ զուգահեռականի հիմքը ռոմբ է: Շեղանկյուն հատվածների մակերեսները 300 սմ 2 և 875 սմ 2 են: Գտեք զուգահեռականի կողային մակերեսի մակերեսը:

Լուծում.Եկեք նկարենք (նկ. 5):

Նշեք ռոմբի կողմը Ա, ռոմբի անկյունագծերը դ 1 և դ 2, տուփի բարձրությունը հ. Ուղիղ զուգահեռականի կողային մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է բազայի պարագիծը բազմապատկել բարձրությամբ (բանաձև (2)): Հիմքի պարագիծը p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, որովհետեւ Ա Բ Գ Դ- ռոմբուս: H = AA 1 = հ. Դա. Պետք է գտնել ԱԵվ հ.

Դիտարկենք անկյունագծային հատվածները: ԱԱ 1 ՍՍ 1 - ուղղանկյուն, որի մի կողմը ռոմբի անկյունագիծն է AC = դ 1, երկրորդ - կողային եզր ԱԱ 1 = հ, Հետո

Նմանապես հատվածի համար ԲԲ 1 DD 1 մենք ստանում ենք.

Օգտագործելով զուգահեռագծի այնպիսի հատկություն, որ շեղանկյունների քառակուսիների գումարը հավասար լինի նրա բոլոր կողմերի քառակուսիների գումարին, ստանում ենք հավասարություն Ստացվում է հետևյալը.

«Get a A» տեսադասընթացը ներառում է հաջողակ լինելու համար անհրաժեշտ բոլոր թեմաները քննություն հանձնելըմաթեմատիկայից 60-65 միավորով. Ամբողջությամբ բոլոր առաջադրանքները 1-13 պրոֆիլի քննությունՄաթեմատիկա. Հարմար է նաև մաթեմատիկայի հիմնական USE-ն անցնելու համար: Եթե ​​ցանկանում եք քննությունը հանձնել 90-100 միավորով, ապա պետք է 1-ին մասը լուծեք 30 րոպեում և առանց սխալների։

Քննությանը նախապատրաստական ​​դասընթաց 10-11-րդ դասարանների, ինչպես նաև ուսուցիչների համար. Այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է մաթեմատիկայի քննության 1-ին մասը (առաջին 12 խնդիրները) և 13-րդ խնդիրը (եռանկյունաչափություն) լուծելու համար: Իսկ սա միասնական պետական ​​քննության 70 միավորից ավելին է, և ոչ հարյուր միավոր ուսանողը, ոչ հումանիստը առանց դրանց չեն կարող։

Բոլոր անհրաժեշտ տեսությունը. Արագ ուղիներքննության լուծումներ, թակարդներ և գաղտնիքներ. Վերլուծվել են FIPI-ի բանկի առաջադրանքների 1-ին մասի բոլոր համապատասխան առաջադրանքները: Դասընթացը լիովին համապատասխանում է USE-2018-ի պահանջներին:

Դասընթացը պարունակում է 5 մեծ թեմա՝ յուրաքանչյուրը 2,5 ժամ: Յուրաքանչյուր թեմա տրված է զրոյից, պարզ ու հստակ։

Հարյուրավոր քննական առաջադրանքներ: Տեքստի խնդիրներ և հավանականությունների տեսություն. Պարզ և հեշտ հիշվող խնդիրների լուծման ալգորիթմներ: Երկրաչափություն. Տեսություն, տեղեկատու նյութ, USE-ի բոլոր տեսակի առաջադրանքների վերլուծություն: Ստերեոմետրիա. Բարդ լուծումներ, օգտակար խաբեբա թերթիկներ, զարգացում տարածական երևակայություն. Եռանկյունաչափություն զրոյից - մինչև առաջադրանք 13. Խճճվելու փոխարեն հասկացողություն: Բարդ հասկացությունների տեսողական բացատրություն: Հանրահաշիվ. Արմատներ, հզորություններ և լոգարիթմներ, ֆունկցիա և ածանցյալ: Հիմք լուծման համար դժվար առաջադրանքներՔննության 2 մաս.