Diferenciālvienādojumu metode konstantes variācijai. ODE. Patvaļīgas konstantes variācijas metode. Sociālās transformācijas. Valsts un Baznīca

Patvaļīgas konstantes variācijas metode jeb Lagranža metode ir vēl viens veids, kā atrisināt pirmās kārtas lineāros diferenciālvienādojumus un Bernulli vienādojumu.

Pirmās kārtas lineārie diferenciālvienādojumi ir vienādojumi formā y’+p(x)y=q(x). Ja labā puse ir nulle: y’+p(x)y=0, tad tā ir lineāra viendabīgs 1. kārtas vienādojums. Attiecīgi vienādojums ar labo pusi, kas nav nulle, y’+p(x)y=q(x), — neviendabīgs pirmās kārtas lineārais vienādojums.

Patvaļīgas konstantas variācijas metode (Lagranža metode) sastāv no sekojošiem:

1) Mēs meklējam vispārīgu risinājumu viendabīgs vienādojums y'+p(x)y=0: y=y*.

2) Vispārīgajā risinājumā C tiek uzskatīts nevis par konstanti, bet gan par x funkciju: C=C(x). Mēs atrodam vispārējā risinājuma (y*)' atvasinājumu un aizstājam iegūto izteiksmi y* un (y*)' sākotnējā nosacījumā. No iegūtā vienādojuma atrodam funkciju С(x).

3) Homogēnā vienādojuma vispārīgajā risinājumā C vietā aizvietojam atrasto izteiksmi C (x).

Apsveriet piemērus par patvaļīgas konstantes variācijas metodi. Veiksim tos pašus uzdevumus kā , salīdziniet risinājuma gaitu un pārliecināsimies, ka saņemtās atbildes ir vienādas.

1) y'=3x-y/x

Pārrakstīsim vienādojumu standarta formā (atšķirībā no Bernulli metodes, kur mums bija nepieciešams apzīmējums tikai tāpēc, lai redzētu, ka vienādojums ir lineārs).

y'+y/x=3x (I). Tagad ejam pēc plāna.

1) Atrisinām viendabīgo vienādojumu y’+y/x=0. Šis ir atdalāms mainīgā vienādojums. Atveidojiet y’=dy/dx, aizstājiet: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Mēs reizinām abas vienādojuma daļas ar dx un dalām ar xy≠0: dy/y=-dx/x. Mēs integrējam:

2) Iegūtajā viendabīgā vienādojuma vispārīgajā risinājumā С uzskatīsim nevis par konstanti, bet gan par x funkciju: С=С(x). No šejienes

Iegūtās izteiksmes tiek aizstātas ar nosacījumu (I):

Mēs integrējam abas vienādojuma daļas:

šeit C jau ir kaut kāda jauna konstante.

3) Viendabīgā vienādojuma y \u003d C / x vispārīgajā risinājumā, kur mēs uzskatījām C \u003d C (x), tas ir, y \u003d C (x) / x, C (x) vietā mēs aizstājam atrastā izteiksme x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x vai y=x²+C/x. Saņēmām tādu pašu atbildi kā risinot ar Bernulli metodi.

Atbilde: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Šeit vienādojums jau ir uzrakstīts standarta formā, nav nepieciešams konvertēt.

1) Atrisinām viendabīgu lineāru vienādojumu y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Mēs integrējam:

Lai iegūtu ērtāku apzīmējumu, mēs izmantosim eksponentu C pakāpē kā jaunu C:

Šī transformācija tika veikta, lai ērtāk atrastu atvasinājumu.

2) Iegūtajā lineāra viendabīga vienādojuma vispārīgajā risinājumā С uzskatām nevis par konstanti, bet gan par x funkciju: С=С(x). Saskaņā ar šo nosacījumu

Iegūtās izteiksmes y un y' tiek aizstātas ar nosacījumu:

Reiziniet abas vienādojuma puses ar

Mēs integrējam abas vienādojuma daļas, izmantojot formulu integrācija pa daļām, mēs iegūstam:

Šeit C vairs nav funkcija, bet parasta konstante.

3) homogēnā vienādojuma vispārīgajā risinājumā

aizvietojam atrasto funkciju С(x):

Saņēmām tādu pašu atbildi kā risinot ar Bernulli metodi.

Patvaļīgas konstantes variācijas metode ir piemērojama arī risināšanai.

y’x+y=-xy².

Mēs izveidojam vienādojumu standarta formā: y’+y/x=-y² (II).

1) Atrisinām viendabīgo vienādojumu y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Reiziniet abas vienādojuma puses ar dx un daliet ar y: dy/y=-dx/x. Tagad integrēsim:

Iegūtās izteiksmes aizstājam ar nosacījumu (II):

Vienkāršojot:

Mēs saņēmām vienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem C un x:

Šeit C jau ir parasta konstante. Integrācijas procesā C(x) vietā mēs vienkārši ierakstījām C, lai nepārslogotu apzīmējumu. Un beigās atgriezāmies pie C(x), lai nesajauktu C(x) ar jauno C.

3) Atrasto funkciju С(x) aizvietojam homogēnā vienādojuma y=C(x)/x vispārīgajā atrisinājumā:

Saņēmām tādu pašu atbildi kā risinot ar Bernulli metodi.

Pašpārbaudes piemēri:

1. Pārrakstīsim vienādojumu standarta formā: y'-2y=x.

1) Atrisinām viendabīgo vienādojumu y'-2y=0. y’=dy/dx, tātad dy/dx=2y, reiziniet abas vienādojuma puses ar dx, daliet ar y un integrējiet:

No šejienes mēs atrodam y:

Mēs aizvietojam y un y izteiksmes nosacījumā (īsuma labad mēs ievadīsim C, nevis C (x), un C', nevis C "(x)):

Lai atrastu integrāli labajā pusē, mēs izmantojam formulu integrācija pa daļām:

Tagad mēs aizstājam u, du un v formulā:

Šeit C = konst.

3) Tagad mēs aizstājam ar viendabīgo šķīdumu

Teorētiskais minimums
Diferenciālvienādojumu teorijā ir metode, kas apgalvo, ka šai teorijai ir pietiekami augsta universāluma pakāpe.
Mēs runājam par patvaļīgas konstantes variācijas metodi, kas piemērojama risinājumam dažādas nodarbības diferenciālvienādojumi un to
sistēmas. Tas ir tieši tas gadījums, kad teorija - ja izņem apgalvojumu pierādījumus no iekavām - ir minimāla, bet ļauj sasniegt
nozīmīgi rezultāti, tāpēc galvenā uzmanība tiks pievērsta piemēriem.
Metodes vispārīgā ideja ir diezgan vienkārši formulējama. Ļaujiet dots vienādojums(vienādojumu sistēma) ir grūti atrisināma vai vispār nav skaidra,
kā to atrisināt. Tomēr var redzēt, ka tad, kad daži termini tiek izslēgti no vienādojuma, tas tiek atrisināts. Tad viņi atrisina tikai šādu vienkāršotu
vienādojumu (sistēmu), iegūstiet risinājumu, kas satur noteiktu skaitu patvaļīgu konstantu - atkarībā no vienādojuma secības (skaits
vienādojumi sistēmā). Tad tiek pieņemts, ka konstantes atrastajā risinājumā nav īsti konstantes, atrastais risinājums
tiek aizstāts ar sākotnējo vienādojumu (sistēmu), tiek iegūts diferenciālvienādojums (vai vienādojumu sistēma), lai noteiktu "konstantes".
Patvaļīgas konstantes variācijas metodes pielietošanā dažādām problēmām ir noteikta specifika, taču tās jau ir detaļas, kas tiks
parādīts ar piemēriem.
Atsevišķi aplūkosim augstākas kārtas lineāru nehomogēnu vienādojumu atrisinājumu, t.i. formas vienādojumi
.
Lineāra nehomogēna vienādojuma vispārējais risinājums ir atbilstošā homogēnā vienādojuma vispārējā atrisinājuma un konkrētā risinājuma summa
dots vienādojums. Pieņemsim, ka viendabīgā vienādojuma vispārējais atrisinājums jau ir atrasts, proti, ir konstruēta atrisinājumu fundamentālā sistēma (FSR).
. Tad homogēnā vienādojuma vispārējais atrisinājums ir .
Ir jāatrod kāds konkrēts nehomogēnā vienādojuma risinājums. Šim nolūkam tiek uzskatīts, ka konstantes ir atkarīgas no mainīgā.
Tālāk jums jāatrisina vienādojumu sistēma
.
Teorija garantē, ka šī sistēma algebriskie vienādojumi attiecībā uz funkciju atvasinājumiem ir tikai viens risinājums.
Atrodot pašas funkcijas, integrācijas konstantes neparādās: galu galā tiek meklēts jebkurš viens risinājums.
Formas pirmās kārtas lineāru nehomogēnu vienādojumu sistēmu risināšanas gadījumā

algoritms paliek gandrīz nemainīgs. Vispirms jāatrod atbilstošās viendabīgās vienādojumu sistēmas FSR, jāsastāda pamatmatrica
sistēma , kuras kolonnas ir FSR elementi. Tālāk vienādojums
.
Atrisinot sistēmu, mēs nosakām funkcijas, tādējādi atrodot konkrētu risinājumu oriģinālajai sistēmai
(pamatmatrica tiek reizināta ar atrastās pazīmes kolonnu).
Mēs to pievienojam atbilstošās viendabīgo vienādojumu sistēmas vispārīgajam risinājumam, kas veidots, pamatojoties uz jau atrasto FSR.
Tiek iegūts sākotnējās sistēmas vispārīgais risinājums.
Piemēri.
1. piemērs Pirmās kārtas lineāri nehomogēni vienādojumi.
Apskatīsim atbilstošo viendabīgo vienādojumu (vajadzīgo funkciju apzīmējam ar ):
.
Šo vienādojumu ir viegli atrisināt, atdalot mainīgos:

.
Tagad mēs attēlojam sākotnējā vienādojuma risinājumu formā , kur funkcija vēl nav atrasta.
Mēs aizstājam šāda veida risinājumus sākotnējā vienādojumā:
.
Kā redzat, otrais un trešais termins kreisajā pusē atceļ viens otru - tas ir raksturīgs patvaļīgas konstantes variācijas metode.

Šeit jau - patiešām, patvaļīga konstante. Tādējādi
.
2. piemērs Bernulli vienādojums.
Mēs rīkojamies līdzīgi kā pirmajā piemērā – atrisinām vienādojumu

mainīgo lielumu atdalīšanas metode. Izrādīsies , tāpēc mēs meklējam sākotnējā vienādojuma risinājumu formā
.
Aizstājiet šo funkciju sākotnējā vienādojumā:
.
Un atkal ir griezumi:
.
Šeit jums ir jāatceras, ka, dalot ar, risinājums netiek zaudēts. Un lieta atbilst oriģināla risinājumam
vienādojumi. Atcerēsimies viņu. Tātad,
.
Rakstīsim.
Šis ir risinājums. Rakstot atbildi, jānorāda arī iepriekš atrastais risinājums, jo tas neatbilst nevienai gala vērtībai
konstantes.
3. piemērs Augstākas kārtas lineāri nehomogēni vienādojumi.
Mēs uzreiz atzīmējam, ka šo vienādojumu var atrisināt vienkāršāk, taču ir ērti parādīt metodi. Lai gan dažas priekšrocības
patvaļīgas konstantes variācijas metodei tā ir arī šajā piemērā.
Tātad, jums jāsāk ar atbilstošā viendabīgā vienādojuma FSR. Atgādiniet, ka, lai atrastu FSR, raksturlielumu
vienādojums
.
Tādējādi homogēnā vienādojuma vispārējais risinājums
.
Šeit iekļautās konstantes ir jāmaina. Sistēmas sastādīšana

Patvaļīgu konstantu variācijas metodi izmanto nehomogēnu diferenciālvienādojumu risināšanai. Šī nodarbība ir paredzēta tiem skolēniem, kuri jau vairāk vai mazāk labi pārzina tēmu. Ja tikko sāc iepazīties ar tālvadības pulti, t.i. Ja esat tējkanna, iesaku sākt ar pirmo nodarbību: Pirmās kārtas diferenciālvienādojumi. Risinājumu piemēri. Un, ja jūs jau esat pabeidzis, lūdzu, atmetiet iespējamo aizspriedumu, ka metode ir sarežģīta. Jo viņš ir vienkāršs.

Kādos gadījumos tiek izmantota patvaļīgu konstantu variācijas metode?

1) Lai atrisinātu, var izmantot patvaļīgas konstantes variācijas metodi lineārs nehomogēns 1. kārtas DE. Tā kā vienādojums ir pirmās kārtas, tad arī konstante (konstante) ir viena.

2) Dažu atrisināšanai tiek izmantota patvaļīgu konstantu variācijas metode otrās kārtas lineāri nehomogēni vienādojumi. Šeit atšķiras divas konstantes (konstantes).

Ir loģiski pieņemt, ka nodarbība sastāvēs no divām rindkopām .... Tāpēc es uzrakstīju šo priekšlikumu un apmēram 10 minūtes sāpīgi domāju par to, ko vēl gudru muļķību pievienot, lai pāreja uz praktiski piemēri. Bet nez kāpēc pēc svētkiem domas nav, lai gan šķiet, ka neko ļaunprātīgi neizmantoju. Tātad pāriesim tieši pirmajā rindkopā.

Patvaļīgas konstantas variācijas metode
lineāram nehomogēnam pirmās kārtas vienādojumam

Pirms apsvērt patvaļīgas konstantes variācijas metodi, ir vēlams iepazīties ar rakstu Pirmās kārtas lineārie diferenciālvienādojumi. Tajā nodarbībā mēs trenējāmies pirmais veids, kā atrisināt neviendabīga 1. kārtas DE. Šo pirmo risinājumu, es atgādinu, sauc aizstāšanas metode vai Bernulli metode(nejaukt ar Bernulli vienādojums!!!)

Mēs tagad apsvērsim otrais risinājums– patvaļīgas konstantes variācijas metode. Es sniegšu tikai trīs piemērus, un es tos ņemšu no iepriekš minētās nodarbības. Kāpēc tik maz? Jo patiesībā risinājums otrajā veidā būs ļoti līdzīgs risinājumam pirmajā veidā. Turklāt, pēc maniem novērojumiem, patvaļīgu konstantu variācijas metode tiek izmantota retāk nekā aizstāšanas metode.

1. piemērs

(Atšķirība no nodarbības piemēra Nr. 2 Lineāra nehomogēna 1. kārtas DE)

Risinājums:Šis vienādojums ir lineāri nehomogēns, un tam ir pazīstama forma:

Pirmais solis ir atrisināt vienkāršāku vienādojumu:
Tas ir, mēs muļķīgi atiestatām labo pusi - tā vietā mēs rakstām nulli.
Vienādojums Es piezvanīšu palīgvienādojums.

Šajā piemērā jums jāatrisina šāds palīgvienādojums:

Pirms mums atdalāms vienādojums, kuras risinājums (es ceru) jums vairs nav grūts:

Tādējādi:
ir palīgvienādojuma vispārējais risinājums.

Otrajā solī aizvietot dažu konstante vēl nezināma funkcija, kas ir atkarīga no "x":

Līdz ar to metodes nosaukums - mēs variējam konstanti . Alternatīvi, konstante var būt kāda funkcija, kas mums tagad jāatrod.

IN oriģināls nehomogēns vienādojums Aizstāsim:

Aizstāt un vienādojumā :

kontroles moments - divi termini kreisajā pusē tiek atcelti. Ja tas nenotiek, jums vajadzētu meklēt iepriekš minēto kļūdu.

Aizstāšanas rezultātā tiek iegūts vienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem. Atdaliet mainīgos un integrējiet.

Kāda svētība, arī eksponenti sarūk:

Atrastajai funkcijai pievienojam “normālu” konstanti:

Pēdējā posmā mēs atgādinām mūsu nomaiņu:

Funkcija tikko atrasta!

Tātad vispārējais risinājums ir:

Atbilde: kopīgs lēmums:

Ja izdrukāsiet abus risinājumus, jūs viegli pamanīsit, ka abos gadījumos mēs atradām vienus un tos pašus integrāļus. Vienīgā atšķirība ir risinājuma algoritmā.

Tagad kaut kas sarežģītāks, komentēšu arī otro piemēru:

2. piemērs

Atrodiet diferenciālvienādojuma vispārīgo risinājumu
(Atšķirība no nodarbības piemēra Nr. 8 Lineāra nehomogēna 1. kārtas DE)

Risinājums: Mēs pārnesam vienādojumu uz formu :

Iestatiet labo pusi uz nulli un atrisiniet palīgvienādojumu:

Palīgvienādojuma vispārīgs risinājums:

Nehomogēnā vienādojumā mēs veiksim aizstāšanu:

Saskaņā ar produktu diferenciācijas noteikumu:

Aizstāt un sākotnējā nehomogēnā vienādojumā:

Kreisajā pusē esošie divi termini tiek atcelti, kas nozīmē, ka esam uz pareizā ceļa:

Mēs integrējam pa daļām. Garšīga vēstule no integrācijas pa daļām formulas, ko jau esam iesaistījuši risinājumā, tāpēc izmantojam, piemēram, burtus "a" un "be":

Tagad apskatīsim nomaiņu:

Atbilde: kopīgs lēmums:

Un viens piemērs priekš neatkarīgs lēmums:

3. piemērs

Atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu, kas atbilst dotajam sākuma nosacījumam.

,
(Atšķirība no 4. nodarbības piemēra Lineāra nehomogēna 1. kārtas DE)
Risinājums:
Šis DE ir lineāri nehomogēns. Mēs izmantojam patvaļīgu konstantu variācijas metodi. Atrisināsim palīgvienādojumu:

Mēs atdalām mainīgos un integrējam:

Kopīgs lēmums:
Nehomogēnā vienādojumā mēs veiksim aizstāšanu:

Veiksim aizstāšanu:

Tātad vispārējais risinājums ir:

Atrodiet konkrētu risinājumu, kas atbilst dotajam sākuma nosacījumam:

Atbilde: privāts risinājums:

Risinājums nodarbības beigās var kalpot kā aptuvens modelis uzdevuma pabeigšanai.

Patvaļīgu konstantu variācijas metode
lineāram nehomogēnam otrās kārtas vienādojumam
ar nemainīgiem koeficientiem

Bieži dzirdēts viedoklis, ka patvaļīgu konstantu variācijas metode otrās kārtas vienādojumam nav vienkārša lieta. Bet es domāju sekojošo: visticamāk, metode daudziem šķiet sarežģīta, jo tā nav tik izplatīta. Taču patiesībā īpašu grūtību nav – lēmuma gaita ir skaidra, caurspīdīga un saprotama. Un skaisti.

Metodes apguvei vēlams spēt atrisināt nehomogēnus otrās kārtas vienādojumus, izvēloties konkrētu risinājumu pēc labās puses formas. Šī metode ir detalizēti aplūkota rakstā. Nehomogēns 2. kārtas DE. Atgādinām, ka otrās kārtas lineāram nehomogēnam vienādojumam ar nemainīgiem koeficientiem ir šāda forma:

Atlases metode, kas tika aplūkota iepriekš minētajā nodarbībā, darbojas tikai ierobežotā skaitā gadījumu, kad polinomi, eksponenti, sinusus, kosinusus atrodas labajā pusē. Bet ko darīt, ja labajā pusē, piemēram, daļskaitlis, logaritms, tangenss? Šādā situācijā palīgā nāk konstantu variācijas metode.

4. piemērs

Atrodiet otrās kārtas diferenciālvienādojuma vispārīgo risinājumu

Risinājums:Šī vienādojuma labajā pusē ir daļa, tāpēc mēs uzreiz varam teikt, ka konkrēta risinājuma izvēles metode nedarbojas. Mēs izmantojam patvaļīgu konstantu variācijas metodi.

Nekas neliecina par pērkona negaisu, risinājuma sākums ir diezgan parasts:

Atradīsim kopīgs lēmums atbilstošs viendabīgs vienādojumi:

Mēs sastādām un atrisinām raksturīgo vienādojumu:

– tiek iegūtas konjugētas kompleksās saknes, tāpēc vispārējais risinājums ir:

Pievērsiet uzmanību vispārējā risinājuma ierakstam - ja ir iekavas, tad atveriet tās.

Tagad mēs veicam gandrīz tādu pašu triku kā pirmās kārtas vienādojuma gadījumā: mainām konstantes, aizstājot tās ar nezināmām funkcijām. Tas ir, nehomogēnā vispārējs risinājums Mēs meklēsim vienādojumus šādā formā:

Kur - vēl nezināmas funkcijas.

Izskatās pēc atkritumu izgāztuves, bet tagad visu šķirosim.

Funkciju atvasinājumi darbojas kā nezināmie. Mūsu mērķis ir atrast atvasinājumus, un atrastajiem atvasinājumiem jāatbilst gan sistēmas pirmajam, gan otrajam vienādojumam.

No kurienes nāk "spēles"? Stārķis tos atnes. Apskatām iepriekš iegūto vispārīgo risinājumu un rakstām:

Atradīsim atvasinājumus:

Tika galā ar kreiso pusi. Kas atrodas labajā pusē?

ir sākotnējā vienādojuma labā puse, šajā gadījumā:

Koeficients ir koeficients pie otrā atvasinājuma:

Praksē gandrīz vienmēr, un mūsu piemērs nav izņēmums.

Viss ir noskaidrots, tagad varat izveidot sistēmu:

Sistēma parasti tiek atrisināta pēc Krāmera formulām izmantojot standarta algoritmu. Vienīgā atšķirība ir tā, ka skaitļu vietā mums ir funkcijas.

Atrodiet galveno sistēmas noteicošo faktoru:

Ja esat aizmirsis, kā tiek atklāts noteicošais faktors “divi reiz divi”, skatiet nodarbību Kā aprēķināt determinantu? Saite ved uz kauna dēli =)

Tātad: , tāpēc sistēmai ir unikāls risinājums.

Mēs atrodam atvasinājumu:

Bet tas vēl nav viss, līdz šim esam atraduši tikai atvasinājumu.
Pati funkcija tiek atjaunota, integrējot:

Apskatīsim otro funkciju:

Šeit mēs pievienojam "normālu" konstanti

Risinājuma pēdējā posmā mēs atceramies, kādā formā mēs meklējām nehomogēnā vienādojuma vispārējo risinājumu? Šādā:

Jums vajadzīgās funkcijas ir tikko atrastas!

Atliek veikt aizstāšanu un pierakstīt atbildi:

Atbilde: kopīgs lēmums:

Principā atbilde varētu atvērt iekavas.

Pilna atbildes pārbaude tiek veikta pēc standarta shēmas, kas tika aplūkota nodarbībā. Nehomogēns 2. kārtas DE. Taču pārbaude nebūs viegla, jo mums ir jāatrod diezgan smagi atvasinājumi un jāveic apgrūtinoša aizstāšana. Šī ir nepatīkama funkcija, risinot šādas atšķirības.

5. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu ar patvaļīgu konstantu variācijas metodi

Šis ir “dari pats” piemērs. Patiesībā labā puse arī ir daļa. Mēs atceramies trigonometriskā formula, starp citu, tas būs jāpiemēro risinājuma gaitā.

Patvaļīgu konstantu variācijas metode ir visvairāk universāla metode. Viņi var atrisināt jebkuru vienādojumu, ko var atrisināt konkrēta risinājuma izvēles metode atbilstoši labās puses formai. Rodas jautājums, kāpēc arī tur neizmantot patvaļīgu konstantu variācijas metodi? Atbilde ir acīmredzama: konkrēta risinājuma izvēle, kas tika apskatīta nodarbībā Otrās kārtas nehomogēni vienādojumi, ievērojami paātrina risinājumu un samazina apzīmējumu - nav jājaucas ar determinantiem un integrāļiem.

Apsveriet divus piemērus ar Cauchy problēma.

6. piemērs

Atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu, kas atbilst dotajiem sākuma nosacījumiem

Risinājums: Atkal daļa un eksponents iekšā interesanta vieta.
Mēs izmantojam patvaļīgu konstantu variācijas metodi.

Atradīsim kopīgs lēmums atbilstošs viendabīgs vienādojumi:

– tiek iegūtas dažādas reālās saknes, tāpēc vispārējais risinājums ir:

Neviendabīgā vispārējais risinājums mēs meklējam vienādojumus šādā formā: , kur - vēl nezināmas funkcijas.

Izveidosim sistēmu:

Šajā gadījumā:
,
Atvasinājumu atrašana:
,

Tādējādi:

Mēs atrisinām sistēmu, izmantojot Krāmera formulas:
, tāpēc sistēmai ir unikāls risinājums.

Mēs atjaunojam funkciju, integrējot:

Izmantots šeit metode, kā funkciju novietot zem diferenciālzīmes.

Mēs atjaunojam otro funkciju, integrējot:

Šāds integrālis ir atrisināts mainīgā aizstāšanas metode:

No pašas nomaiņas mēs izsakām:

Tādējādi:

Šo integrāli var atrast ekstrakcijas metode pilns kvadrāts , bet piemēros ar difūziem es dodu priekšroku frakcijas paplašināšanai nenoteikto koeficientu metode:

Atrastas abas funkcijas:

Rezultātā nehomogēnā vienādojuma vispārējais risinājums ir:

Atrodiet konkrētu risinājumu, kas atbilst sākotnējiem nosacījumiem .

Tehniski risinājuma meklēšana tiek veikta standarta veidā, kas tika apspriests rakstā. Nehomogēni otrās kārtas diferenciālvienādojumi.

Pagaidiet, tagad mēs atradīsim atrastā vispārējā risinājuma atvasinājumu:

Šeit ir tāds apkaunojums. Nav nepieciešams to vienkāršot, vieglāk ir uzreiz sastādīt vienādojumu sistēmu. Saskaņā ar sākotnējiem nosacījumiem :

Aizstājiet atrastās konstantu vērtības vispārīgā risinājumā:

Atbildē logaritmus var nedaudz iepakot.

Atbilde: privāts risinājums:

Kā redzat, grūtības var rasties integrāļos un atvasinājumos, bet ne patvaļīgu konstantu variācijas metodes algoritmā. Ne es jūs iebiedēju, tas viss ir Kuzņecova kolekcija!

Lai atpūstos, pēdējais, vienkāršāks, pašrisināms piemērs:

7. piemērs

Atrisiniet Košī problēmu

Piemērs ir vienkāršs, bet radošs, veidojot sistēmu, rūpīgi apskatiet to pirms lēmuma pieņemšanas ;-),

Rezultātā vispārējais risinājums ir šāds:

Atrodiet konkrētu risinājumu, kas atbilst sākotnējiem nosacījumiem .

Atrastās konstantu vērtības aizstājam ar vispārējo risinājumu:

Atbilde: privāts risinājums:

Aplūkota metode lineāru nehomogēnu augstākas kārtas diferenciālvienādojumu atrisināšanai ar nemainīgiem koeficientiem ar Lagranža konstantu variācijas metodi. Lagranža metode ir piemērojama arī jebkuru lineāru nehomogēnu vienādojumu risināšanai, ja ir zināma homogēnā vienādojuma atrisinājumu pamatsistēma.

Saturs

Skatīt arī:

Lagranža metode (konstantes izmaiņas)

Apsveriet lineāru nehomogēnu diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem patvaļīgas n-tās kārtas koeficientiem:
(1) .
Pastāvīgās variācijas metode, par kuru mēs uzskatām pirmās kārtas vienādojumi, ir piemērojams arī augstākas kārtas vienādojumiem.

Risinājums tiek veikts divos posmos. Pirmajā posmā mēs atmetam labo pusi un atrisinām viendabīgo vienādojumu. Rezultātā mēs iegūstam risinājumu, kas satur n patvaļīgas konstantes. Otrajā solī mēs mainām konstantes. Tas ir, mēs uzskatām, ka šīs konstantes ir neatkarīgā mainīgā x funkcijas, un atrodam šo funkciju formu.

Lai gan mēs šeit apsveram vienādojumus ar nemainīgiem koeficientiem, bet Lagranža metode ir piemērojama arī jebkuru lineāru nehomogēnu vienādojumu risināšanai. Tomēr šim nolūkam ir jāzina viendabīgā vienādojuma atrisinājumu pamatsistēma.

1. solis. Homogēnā vienādojuma atrisinājums

Tāpat kā pirmās kārtas vienādojumu gadījumā, mēs vispirms meklējam homogēnā vienādojuma vispārējo risinājumu, labo nehomogēnu daļu pielīdzinot nullei:
(2) .
Šāda vienādojuma vispārīgajam risinājumam ir šāda forma:
(3) .
Šeit ir patvaļīgas konstantes; - n viendabīgā vienādojuma (2) lineāri neatkarīgi atrisinājumi, kas veido šī vienādojuma atrisinājumu pamatsistēmu.

2. solis. Konstantu variēšana – konstantu aizstāšana ar funkcijām

Otrajā solī mēs aplūkosim konstantu variācijas. Citiem vārdiem sakot, mēs aizstāsim konstantes ar neatkarīgā mainīgā x funkcijām:
.
Tas ir, mēs meklējam sākotnējā vienādojuma (1) risinājumu šādā formā:
(4) .

Ja (4) aizstājam ar (1), mēs iegūstam vienu diferenciālvienādojumu n funkcijām. Šajā gadījumā mēs varam savienot šīs funkcijas ar papildu vienādojumiem. Tad jūs iegūstat n vienādojumus, no kuriem jūs varat noteikt n funkcijas. Papildu vienādojumus var uzrakstīt dažādos veidos. Bet mēs to darīsim tā, lai risinājumam būtu visvienkāršākā forma. Lai to izdarītu, diferencējot, jums ir jāpielīdzina nullei termini, kas satur funkciju atvasinājumus. Demonstrēsim to.

Lai piedāvāto risinājumu (4) aizstātu ar sākotnējo vienādojumu (1), jāatrod formā (4) ierakstītās funkcijas pirmo n kārtu atvasinājumi. Atšķirties (4), piesakoties summas diferencēšanas noteikumi Un darbojas :
.
Sagrupēsim dalībniekus. Vispirms mēs uzrakstām terminus ar atvasinājumiem un pēc tam terminus ar atvasinājumiem no :

.
Mēs izvirzām pirmo nosacījumu funkcijām:
(5.1) .
Tad izteiksmei pirmajam atvasinājumam attiecībā pret būs vienkāršāka forma:
(6.1) .

Tādā pašā veidā mēs atrodam otro atvasinājumu:

.
Otro nosacījumu mēs izvirzām funkcijām:
(5.2) .
Tad
(6.2) .
Un tā tālāk. Papildu nosacījumos vārdus, kas satur funkciju atvasinājumus, pielīdzinām nullei.

Tādējādi, ja funkcijām izvēlamies šādus papildu vienādojumus:
(5.k) ,
tad pirmajiem atvasinājumiem attiecībā uz būs visvienkāršākā forma:
(6.k) .
Šeit .

Mēs atrodam n-to atvasinājumu:
(6.n)
.

Mēs aizstājam ar sākotnējo vienādojumu (1):
(1) ;

.
Mēs ņemam vērā, ka visas funkcijas atbilst (2) vienādojumam:
.
Tad terminu summa, kas satur, dod nulli. Rezultātā mēs iegūstam:
(7) .

Rezultātā mums ir sistēma lineārie vienādojumi atvasinājumiem:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam izteiksmes atvasinājumiem kā x funkcijas. Integrējot, mēs iegūstam:
.
Šeit ir konstantes, kas vairs nav atkarīgas no x. Aizstājot ar (4), iegūstam sākotnējā vienādojuma vispārējo risinājumu.

Ņemiet vērā, ka mēs nekad neizmantojām faktu, ka koeficienti a i ir nemainīgi, lai noteiktu atvasinājumu vērtības. Tāpēc Lagranža metode ir piemērojama, lai atrisinātu jebkuru lineāru nehomogēnu vienādojumu, ja ir zināma homogēnā vienādojuma (2) atrisinājumu fundamentālā sistēma.