AR TICAMIEM "NO GALA LĪDZ SĀKUMA" IEMESLI TEHNOLOĢISKO PROCESA FAKTORU NOVĒRTĒŠANAI

Vispārīga informācija par dimensiju analīzes metodi

Studējot mehāniskās parādības tiek ieviesti vairāki jēdzieni, piemēram, enerģija, ātrums, spriegums u.c., kas raksturo aplūkojamo parādību un ko var dot un noteikt, izmantojot skaitli. Visi jautājumi par kustību un līdzsvaru tiek formulēti kā problēmas noteiktu funkciju un skaitlisko vērtību noteikšanai parādību raksturojošiem lielumiem, un, risinot šādas problēmas tīri teorētiskos pētījumos, dabas likumi un dažādas ģeometriskās (telpiskās) attiecības tiek parādītas. funkcionālo vienādojumu forma - parasti diferenciālvienādojumu.

Ļoti bieži mums nav iespējas formulēt problēmu matemātiskā formā, jo pētītā mehāniskā parādība ir tik sarežģīta, ka tai vēl nav pieņemamas shēmas un kustības vienādojumi. Ar šādu situāciju sastopamies, risinot uzdevumus gaisa kuģu mehānikas, hidromehānikas, stiprības un deformāciju izpētes uzdevumos utt. Šajos gadījumos galveno lomu spēlē eksperimentālās pētniecības metodes, kas ļauj iegūt visvienkāršākos eksperimentālos datus, kas pēc tam ar stingru matemātisko aparātu veido saskaņotu teoriju pamatu. Tomēr pašus eksperimentus var veikt, tikai pamatojoties uz iepriekšēju teorētisko analīzi. Pretruna tiek atrisināta iteratīvā pētījuma procesā, izvirzot pieņēmumus un hipotēzes un pārbaudot tās eksperimentāli. Tajā pašā laikā tie ir balstīti uz dabas parādību līdzības klātbūtni kā vispārēju likumu. Līdzības un dimensiju teorija zināmā mērā ir eksperimenta "gramatika".

Daudzumu izmēri

Dažādu fizisko lielumu mērvienības, kas apvienotas, pamatojoties uz to konsekvenci, veido mērvienību sistēmu. Pašlaik tiek izmantota starptautiskā mērvienību sistēma (SI). SI neatkarīgi viena no otras tiek izvēlētas tā saukto primāro lielumu mērvienības - masa (kilograms, kg), garums (metrs, m), laiks (sekunde, sek, s), strāvas stiprums (ampēri). , a), temperatūra (Kelvina grādos, K) un gaismas stiprums (svece, sv). Tos sauc par pamatvienībām. Atlikušo, sekundāro lielumu mērvienības tiek izteiktas ar galvenajiem. Formulu, kas norāda sekundārā lieluma mērvienības atkarību no galvenajām mērvienībām, sauc par šī lieluma dimensiju.

Sekundārā lieluma dimensija tiek atrasta, izmantojot definējošo vienādojumu, kas kalpo kā šī daudzuma definīcija matemātiskā formā. Piemēram, ātruma definējošais vienādojums ir

.

Mēs norādīsim daudzuma izmēru, izmantojot šī daudzuma simbolu kvadrātiekavās

, vai
,

kur [L], [T] ir attiecīgi garuma un laika izmēri.

Spēka definējošo vienādojumu var uzskatīt par otro Ņūtona likumu

Tad spēka izmēram būs šāda forma

[F]=[M][L][T] .

Definējošajam vienādojumam un darba dimensijas formulai būs attiecīgi forma

A=Fs un [A]=[M][L] [T] .

Vispārīgā gadījumā mums būs attiecības

[Q] =[M] [L] [T] (1).

Pievērsīsim uzmanību dimensiju attiecību pierakstam, tas mums vienalga noderēs.

Līdzības teorēmas

Līdzības teorijas veidošanos vēsturiskajā aspektā raksturo tās trīs galvenās teorēmas.

Pirmā līdzības teorēma formulē šādu sistēmu nepieciešamos nosacījumus un īpašības, apgalvojot, ka šādām parādībām ir vienādi līdzības kritēriji bezdimensiju izteiksmju veidā, kas ir divu pētāmajam procesam būtisku fizisko efektu intensitātes attiecības mērs.

Otrā līdzības teorēma(P-teorēma) pierāda iespēju reducēt vienādojumu līdz kritērija formai, nenosakot nosacījumu pietiekamību līdzības pastāvēšanai.

Trešā līdzības teorēma norāda uz vienas pieredzes regulāras izplatības robežām, jo ​​līdzīgas parādības būs tās, kurām ir līdzīgi unikalitātes nosacījumi un vienādi definējošie kritēriji.

Tādējādi dimensiju teorijas metodoloģiskā būtība slēpjas apstāklī, ka jebkuru vienādojumu sistēmu, kas satur fenomenu regulējošo likumu matemātisko ierakstu, var formulēt kā bezdimensiju lielumu attiecības. Noteicošos kritērijus veido savstarpēji neatkarīgi lielumi, kas iekļauti unikalitātes nosacījumos: ģeometriskās attiecības, fizikālie parametri, robežnosacījumi (sākotnējie un robežnosacījumi). Parametru noteikšanas sistēmai ir jābūt pabeigtības īpašībām. Daži no noteicošajiem parametriem var būt fizikālās dimensijas konstantes, mēs tos sauksim par fundamentāliem mainīgajiem, atšķirībā no citiem - vadāmajiem mainīgajiem. Piemērs ir gravitācijas paātrinājums. Viņa ir fundamentāls mainīgais. Zemes apstākļos - nemainīga vērtība un - mainīgais kosmosa apstākļos.

Lai pareizi piemērotu dimensiju analīzi, pētniekam savā eksperimentā jāzina fundamentālo un kontrolēto mainīgo raksturs un skaits.

Šajā gadījumā ir praktisks secinājums no dimensiju analīzes teorijas, un tas slēpjas faktā, ka, ja eksperimentētājs patiešām zina visus pētāmā procesa mainīgos lielumus, un joprojām nav likuma matemātiska ieraksta vienādojumu, tad viņam ir tiesības tos pārveidot, piemērojot pirmo daļu Bekingema teorēmas: "Ja kāds vienādojums ir nepārprotams attiecībā uz izmēriem, tad to var pārvērst relācijā, kas satur bezdimensiju lielumu kombināciju kopu."

Homogēns attiecībā uz izmēriem ir vienādojums, kura forma nav atkarīga no pamatvienību izvēles.

PS. Empīriskie modeļi parasti ir aptuveni. Tie ir apraksti nehomogēnu vienādojumu veidā. To dizainā tiem ir izmēru koeficienti, kas "darbojas" tikai noteiktā mērvienību sistēmā. Pēc tam, uzkrājot datus, mēs nonākam pie apraksta viendabīgu vienādojumu veidā, t.i., neatkarīgi no mērvienību sistēmas.

Kombinācijas bez izmēriem Attiecīgie ir produkti vai daudzumu attiecības, kas sastādītas tā, ka katrā izmēru kombinācijā tiek samazinātas. Šajā gadījumā veidojas dažādu fizikālo raksturu vairāku dimensiju lielumu produkti kompleksi, viena un tā paša fiziskā rakstura divu dimensiju lielumu attiecība - vienkāršības.

Tā vietā, lai mainītu katru mainīgo pēc kārtas,un dažu no tiem mainīšana var izraisītgrūtības, pētnieks var tikai atšķirtieskombinācijas. Šis apstāklis ​​ievērojami vienkāršo eksperimentu un ļauj daudz ātrāk un precīzāk attēlot grafiskā formā un analizēt iegūtos datus.

Izmantojot dimensiju analīzes metodi, ticamu argumentāciju organizēšana "no beigām līdz sākumam".

Pēc iepriekš minētās vispārīgās informācijas pārskatīšanas varat īpaši pievērst uzmanību šādiem punktiem.

Visefektīvākā dimensiju analīzes izmantošana ir vienas bezdimensiju kombinācijas klātbūtnē. Šajā gadījumā ir pietiekami eksperimentāli noteikt tikai atbilstības koeficientu (pietiek ar vienu eksperimentu, lai apkopotu un atrisinātu vienu vienādojumu). Uzdevums kļūst sarežģītāks, palielinoties bezdimensiju kombināciju skaitam. Atbilstība prasībai par pilnīgu fiziskās sistēmas aprakstu, kā likums, ir iespējama (vai varbūt viņi tā domā), ja tiek ņemts vērā mainīgo lielumu skaits. Bet tajā pašā laikā palielinās funkcijas formas sarežģītības iespējamība un, pats galvenais, strauji palielinās eksperimentālā darba apjoms. Papildu pamatvienību ieviešana kaut kādā veidā atvieglo problēmu, bet ne vienmēr un ne pilnībā. Tas, ka dimensiju analīzes teorija laika gaitā attīstās, ir ļoti iepriecinoši un orientē uz jaunu iespēju meklējumiem.

Nu, kā būtu, ja, meklējot un veidojot vērā ņemamo faktoru kopumu, t.i., faktiski no jauna veidojot pētāmās fiziskās sistēmas struktūru, mēs izmantojam ticamas spriešanas organizēšanu "no gala līdz sākumam" saskaņā ar Pappus?

Lai izprastu augstāk minēto priekšlikumu un nostiprinātu dimensiju analīzes metodes pamatus, mēs piedāvājam analizēt piemēru, kā noteikt faktoru sakarību, kas nosaka sprādzienbīstamības plīšanas efektivitāti rūdas atradņu pazemes ieguves laikā.

Ņemot vērā sistēmiskās pieejas principus, varam pamatoti spriest, ka divi sistēmiski mijiedarbīgi objekti veido jaunu dinamisku sistēmu. Ražošanas darbībās šie objekti ir transformācijas objekts un transformācijas subjekta instruments.

Laužot rūdu uz sprādzienbīstamas iznīcināšanas pamata, par tādu varam uzskatīt rūdas masīvu un sprādzienbīstamo lādiņu (urbumu) sistēmu.

Izmantojot dimensiju analīzes principus ar ticama spriešanas organizēšanu "no gala līdz sākumam", mēs iegūstam šādu spriešanas līniju un savstarpējo attiecību sistēmu starp sprādzienbīstamā kompleksa parametriem un masīva īpašībām.

d m = f 1 (V, I 0 ,t vietnieks , s)	d m = k 1 W(st vietnieks ¤ es 0 W) n (1)
es 0 = f 2 (I c ,V Boer ,K Un )	es 0 = k 2 es c V Boer K Un (2)
es c = f 3 (t vietnieks ,Q,A)	es Ar = k 3 t gaiss 2/3 J 2/3 A 1/3 (3)
t gaiss = f 4 (r zab ,P Maks l labi )	t gaiss = k 4 r zab 1/2 P Maks –1/2 l labi (4)
P Maks = f 5 (r zar D)	P Maks = k 5 r zar D 2 (5)

Izmantoto mainīgo izmēru apzīmējumi un formulas ir doti tabulā.

MAINĪGIE	Apzīmējums	izmēriem
Maksimālais drupināšanas diametrs	d m	[ L]
Vismazākās pretestības līnija		[ L]
Akmeņu spiedes izturība
Spridzināšanas palēninājuma periods (intervāls).	t vietnieks	[ T]
Eksplozijas impulss uz 1 m 3 masīva	es 0
Urbšanas īpatnējais patēriņš, m / m 3	V Boer	[ L -2 ]
Maksas urbumu izmantošanas līmenis	UZ ir
Sprādziena impulss uz 1 m akas	es c
Eksplozijas enerģija uz 1 m lādiņu
Vides akustiskā cietība (A=gC)
Sprādziena trieciena laiks akā	t gaiss	[ T]
cilmes blīvums	r zab	[ L -3 M]
Nu garums	l labi	[ L]
Maksimālais sākotnējais urbuma spiediens		[ L -1 M T -2 ]
Uzlādes blīvums akā	r zar	[ L -3 M]
Sprādzienbīstamas detonācijas ātrums		[ L T -1 ]

Pārejot no formulas (5) uz formulu (1), atklājot izveidotās attiecības, kā arī paturot prātā iepriekš izveidoto attiecību starp vidējā diametra un maksimālā gabala diametru sabrukšanas izteiksmē.

d Tr = k 6 d m 2/3 , (6)

iegūstam vispārīgo vienādojumu saspiešanas kvalitāti noteicošo faktoru attiecībai:

d Tr = kW 2/3 [ s t vietnieks / r zab 1/3 D -2/3 l labi 2/3 M zar 2|3 U gadsimtiem 2/3 A 1/3 V Boer UZ ir W] n (7)

Pārveidosim pēdējo izteiksmi, lai izveidotu bezdimensiju kompleksus, vienlaikus paturot prātā:

J= M zar U gadsimtiem ; q gadsimtiem =M zar V Boer UZ ir ; M zab =0.25 lpp r zab d labi 2 ;

Kur M zar ir sprādzienbīstamā lādiņa masa 1 m no urbuma garuma, kg/m;

M zab – stublāju masa 1 stumbra m, kg/m;

U gadsimtiem – sprāgstvielu siltumspēja, kcal/kg.

Skaitītājā un saucējā mēs izmantojam [M zar 1/3 U gadsimtiem 1/3 (0.25 lppd labi 2 ) 1/3 ] . Mēs beidzot saņemsim

Visiem kompleksiem un vienkāršībām ir fiziska nozīme. Saskaņā ar eksperimentāliem un prakses datiem jaudas eksponents n=1/3, un koeficients k tiek noteikts atkarībā no izteiksmes vienkāršošanas skalas (8).

Lai gan dimensiju analīzes panākumi ir atkarīgi no pareizas konkrētas problēmas fiziskās nozīmes izpratnes, pēc mainīgo un pamatdimensiju izvēles šo metodi var pielietot pilnīgi automātiski. Tāpēc šo metodi var viegli norādīt recepšu veidā, tomēr paturot prātā, ka šādai "receptei" pētniekam ir pareizi jāizvēlas sastāvdaļas. Vienīgais, ko mēs šeit varam darīt, ir sniegt dažus vispārīgus padomus.

1. posms. Atlasiet neatkarīgus mainīgos, kas ietekmē sistēmu. Jāņem vērā arī izmēru koeficienti un fiziskās konstantes, ja tiem ir svarīga loma. Tas ir pats atbildīgākaisvisa darba neviens posms.

2. posms. Izvēlieties pamatdimensiju sistēmu, ar kuras palīdzību varat izteikt visu atlasīto mainīgo vienības. Parasti tiek izmantotas šādas sistēmas: mehānikā un šķidrumu dinamikā MLq(Dažreiz FLq), V termodinamika MLqT vai MLqTH; elektrotehnikā un kodolfizikā MLqUZ vai MLkv.m., šajā gadījumā temperatūru var uzskatīt par pamatlielumu vai izteikt molekulārās kinētiskās enerģijas izteiksmē.

3. posms. Pierakstiet izvēlēto neatkarīgo mainīgo izmērus un izveidojiet bezdimensiju kombinācijas. Risinājums būs pareizs, ja: 1) katra kombinācija ir bezizmēra; 2) kombināciju skaits nav mazāks par to, ko paredz p-teorēma; 3) katrs mainīgais sastopams kombinācijās vismaz vienu reizi.

4. posms. Ja iespējams, pārbaudiet iegūtās kombinācijas pēc to pieņemamības, fiziskās nozīmes un (ja jāizmanto mazāko kvadrātu metode) nenoteiktības koncentrācijas vienā kombinācijā. Ja kombinācijas neatbilst šiem kritērijiem, tad var: 1) iegūt citu eksponentu vienādojumu risinājumu, lai atrastu labāko kombināciju kopu; 2) izvēlēties citu pamatizmēru sistēmu un veikt visu darbu no paša sākuma; 3) pārbaudīt neatkarīgo mainīgo izvēles pareizību.

Skatuves 5. Kad ir iegūts apmierinošs bezdimensiju kombināciju kopums, pētnieks var plānot kombinācijas mainīt, mainot izvēlēto mainīgo vērtības savā iekārtā. Īpaša uzmanība jāpievērš eksperimentu plānošanai.

Izmantojot dimensiju analīzes metodi ar ticamu argumentāciju organizēšanu "no beigām līdz sākumam", ir jāievieš nopietni labojumi, it īpaši pirmajā posmā.

Īsi secinājumi

Mūsdienās ir iespējams veidot pētnieciskā darba konceptuālos nosacījumus pēc jau izveidotā normatīvā algoritma. Soli pa solim sekošana ļauj racionalizēt tēmas meklēšanu un noteikt tās īstenošanas posmus, izmantojot piekļuvi zinātniskiem noteikumiem un ieteikumiem. Atsevišķu procedūru satura zināšanas veicina to ekspertu novērtēšanu un atbilstošāko un efektīvāko izvēli.

Zinātnisko pētījumu virzība var parādīt loģiskas shēmas veidā, kas noteikta pētījuma veikšanas procesā, izceļot trīs jebkurai darbībai raksturīgus posmus:

Sagatavošanas posms: To var saukt arī par pētījumu metodiskās sagatavošanas un pētījumu metodiskā nodrošinājuma veidošanās posmu. Darba apjoms ir šāds. Problēmas definēšana, pētījuma priekšmeta konceptuāla apraksta izstrāde un pētījuma tēmas definēšana (formulēšana). Pētījuma programmas sastādīšana ar uzdevumu formulēšanu un to risināšanas plāna izstrādi. Saprātīga pētījumu metožu izvēle. Eksperimentālā darba metodikas izstrāde.

Galvenā skatuve: - izpildvaras (tehnoloģiskā), programmas un pētniecības plāna īstenošana.

pēdējais posms: - pētījumu rezultātu apstrāde, galveno noteikumu formulēšana, ieteikumi, ekspertīze.

Zinātniskie nosacījumi ir jauna zinātniska patiesība – to vajag un var aizstāvēt. Zinātnisko nosacījumu formulējums var būt matemātisks vai loģisks. Zinātniskie nosacījumi palīdz problēmas cēlonim, risinājumam. Zinātniskajiem noteikumiem jābūt mērķtiecīgiem, t. atspoguļo (satur) tēmu, par kuru tie tika risināti. Lai veiktu vispārēju P&A satura sasaisti ar tās īstenošanas stratēģiju, pirms un (vai) pēc šo noteikumu izstrādes ieteicams strādāt pie P&A pārskata struktūras. Pirmajā gadījumā darbam pie atskaites struktūras ir pat heiristisks potenciāls, tas veicina R&D ideju izpratni, otrajā gadījumā tas darbojas kā sava veida stratēģijas pārbaude un atgriezeniskā saite R&D vadībai.

Atcerēsimies, ka ir loģika meklēt, darīt darbu un lūk geek prezentācija. Pirmā ir dialektiska – dinamiska, ar cikliem, atdevēm, grūti formalizējama, otrā ir statiskā stāvokļa loģika, formālā, t.i. kam ir stingri noteikta forma.

Kā secinājums vēlams visu pētījuma laiku nepārstāt strādāt pie ziņojuma struktūras un tādējādi epizodiski "pārbaudīt DIVU LOĢIKU pulksteņus".

Mūsdienu kalnrūpniecības problēmu sistematizācija administratīvā līmenī veicina koncepcijas izstrādes darba efektivitātes paaugstināšanos.

Pētnieciskā darba metodiskajā nodrošinājumā bieži sastopamies ar situācijām, kad teorētiskie nosacījumi konkrētai problēmai vēl nav pilnībā izstrādāti. Ir lietderīgi izmantot metodisko "līzingu". Kā šādas pieejas un tās iespējamās izmantošanas piemērs ir interesanta dimensiju analīzes metode ar ticamu argumentāciju organizēšanu "no beigām līdz sākumam".

Pamattermini un jēdzieni

Darbības objekts un priekšmets	Atbilstība	ieguves tehnoloģija
Koncepcija		Kalnrūpniecības tehnoloģiju iekārta
Mērķa un mērķu noteikšana		Kalnrūpniecības tehnoloģiju rīki
problēmsituācija	Struktūra	Fiziskais un tehniskais efekts
Pētījuma stadijas un stadijas		Zinātniskā pozīcija
Līdzības teorēmas	Izmērs	Pamatvienības

Pieredze ir dabas pētnieks. Viņš nekad nemaldina... Mums ir jāveic eksperimenti, mainot apstākļus, līdz mēs no tiem izvilksim vispārīgus noteikumus, jo pieredze nodrošina patiesus noteikumus.

Leonardo da Vinči

Fizikālos lielumus, kuru skaitliskā vērtība nav atkarīga no izvēlētās mērvienību skalas, sauc par bezdimensiju. Bezdimensiju lielumu piemēri ir leņķis (loka garuma attiecība pret rādiusu), vielas laušanas koeficients (gaismas ātruma attiecība vakuumā pret gaismas ātrumu vielā).

Fizikālos lielumus, kas maina savu skaitlisko vērtību, mainot mērvienību skalu, sauc par dimensiju. Izmēru lielumu piemēri ir garums, spēks utt. Fiziskā lieluma vienības izteiksmi pamatvienībās sauc par tās dimensiju (vai dimensijas formulu). Piemēram, spēka dimensiju CGS un SI sistēmās izsaka ar formulu

Dimensijas apsvērumus var izmantot, lai pārbaudītu iegūto atbilžu pareizību, risinot fiziskus uzdevumus: iegūto izteiksmju labajai un kreisajai daļai, kā arī atsevišķiem terminiem katrā no daļām jābūt ar vienādu izmēru.

Izmēru metodi var izmantot arī formulu un vienādojumu atvasināšanai, ja mēs zinām, no kādiem fizikāliem parametriem var būt atkarīga vēlamā vērtība. Metodes būtību visvieglāk saprast ar konkrētiem piemēriem.

Izmēru metodes pielietojumi. Apsveriet problēmu, uz kuru mums ir labi zināma atbilde: ar kādu ātrumu ķermenis nokritīs zemē, brīvi krītot bez sākuma ātruma no augstuma, ja gaisa pretestību var neņemt vērā? Tā vietā, lai veiktu tiešu aprēķinu, pamatojoties uz kustības likumiem, mēs strīdēsimies šādi.

Padomāsim par to, no kā var būt atkarīgs vēlamais ātrums. Ir skaidrs, ka tam jābūt atkarīgam no sākotnējā augstuma un brīvā kritiena paātrinājuma. Sekojot Aristotelim, var pieņemt, ka tas ir atkarīgs arī no masas. Tā kā var pievienot tikai vienas un tās pašas dimensijas vērtības, vēlamajam ātrumam var piedāvāt šādu formulu:

kur C ir kāda bezdimensiju konstante (skaitliskais koeficients), un x, y un z ir nezināmi skaitļi, kas jānosaka.

Šīs vienādības labās un kreisās daļas izmēriem jābūt vienādiem, un tieši ar šo nosacījumu var noteikt eksponentus x, y, z punktā (2). Ātruma dimensija ir augstuma dimensija ir brīvā kritiena paātrinājuma dimensija, visbeidzot, masas izmērs ir vienāds ar M. Tā kā konstante C ir bezizmēra, formula (2) atbilst šādai izmēru vienādībai. :

Šai vienlīdzībai ir jābūt spēkā neatkarīgi no tā, kādas ir skaitliskās vērtības. Tāpēc vienādības (3) kreisajā un labajā daļā ir jāpielīdzina eksponenti pie un M:

No šīs vienādojumu sistēmas mēs iegūstam Tāpēc formula (2) iegūst formu

Ātruma patiesā vērtība, kā zināms, ir vienāda ar

Tātad izmantotā pieeja ļāva pareizi noteikt atkarību no un un neļāva atrast vērtību

bezdimensiju konstante C. Lai gan mums nav izdevies iegūt izsmeļošu atbildi, tomēr ir iegūta ļoti nozīmīga informācija. Piemēram, mēs varam pilnīgi droši apgalvot, ka, ja sākotnējo augstumu četrkāršo, ātrums kritiena brīdī dubultosies un, pretēji Aristoteļa viedoklim, šis ātrums nav atkarīgs no krītošā ķermeņa masas.

Opciju izvēle. Izmantojot izmēru metodi, vispirms ir jānosaka parametri, kas nosaka aplūkojamo parādību. To ir viegli izdarīt, ja ir zināmi fiziskie likumi, kas to apraksta. Vairākos gadījumos parametrus, kas nosaka parādību, var norādīt pat tad, ja fizikālie likumi nav zināmi. Parasti jums ir jāzina mazāk, lai izmantotu dimensiju analīzes metodi, nekā rakstītu kustības vienādojumus.

Ja parametru skaits, kas nosaka pētāmo parādību, ir lielāks par pamatvienību skaitu, uz kurām ir būvēta izvēlētā mērvienību sistēma, tad, protams, visus eksponentus piedāvātajā formulā vēlamajai vērtībai nevar noteikt. Šajā gadījumā vispirms ir lietderīgi noteikt visas izvēlēto parametru neatkarīgās bezdimensiju kombinācijas. Tad vēlamo fizisko lielumu noteiks nevis pēc formulas, piemēram, (2), bet ar kādas (vienkāršākās) parametru kombinācijas reizinājumu, kam ir vēlamā dimensija (t.i., vēlamā daudzuma dimensija) ar kādu no parametra funkcijām. atrasti bezdimensiju parametri.

Ir viegli redzēt, ka iepriekš minētajā piemērā, kurā ķermenis krīt no augstuma, no daudzumiem un bezizmēra kombinācijas nav iespējams izveidot bezizmēra kombināciju. Tāpēc formula (2) izsmeļ visus iespējamos gadījumus.

Bezizmēra parametrs. Tagad apskatīsim šādu problēmu: mēs nosakām horizontālā virzienā izšauta šāviņa horizontālā lidojuma diapazonu ar sākotnējo ātrumu no pistoles, kas atrodas augstuma kalnā.

Ja nav gaisa pretestības, parametru skaits, no kuriem var būt atkarīgs vēlamais diapazons, ir vienāds ar četriem: un m. Tā kā pamatvienību skaits ir vienāds ar trīs, pilnīgs problēmas risinājums ar izmēru metodi nav iespējams. . Vispirms atradīsim visus neatkarīgos bezdimensiju parametrus y, kurus var veidot un

Šī izteiksme atbilst šādai dimensiju vienādībai:

No šejienes mēs iegūstam vienādojumu sistēmu

kas dod un vēlamajam bezdimensiju parametram iegūstam

Redzams, ka vienīgais neatkarīgais bezdimensiju parametrs aplūkojamā uzdevumā ir .

kur ir vēl nezināmā bezdimensiju parametra funkcija.Izmēru metode (iesniegtajā versijā) neļauj šo funkciju noteikt. Bet, ja mēs no kaut kurienes zinām, piemēram, no pieredzes, ka vēlamais diapazons ir proporcionāls šāviņa horizontālajam ātrumam, tad uzreiz tiek noteikta funkcijas forma: ātrumam tajā jāieiet līdz pirmajai pakāpei, t.i.

Tagad no (5) par šāviņa diapazonu mēs iegūstam

kas atbilst pareizajai atbildei

Mēs uzsveram, ka ar šo funkcijas veida noteikšanas metodi mums pietiek zināt eksperimentāli noteiktās lidojuma diapazona atkarības raksturu nevis no visiem parametriem, bet tikai no viena no tiem.

Vektoru garuma mērvienības. Bet diapazonu (7) var noteikt tikai pēc dimensiju apsvērumiem, ja līdz četrām palielinām pamatvienību skaitu, pēc kurām tiek izteikti parametri utt. Līdz šim, rakstot izmēru formulas, netika nošķirtas garuma vienības horizontālā un vertikālā virzienā. Tomēr šādu atšķirību var ieviest, pamatojoties uz faktu, ka gravitācija darbojas tikai vertikāli.

Apzīmēsim garuma izmēru horizontālā virzienā cauri un vertikālā virzienā - cauri Tad lidojuma diapazona dimensija horizontālā virzienā būs augstuma dimensija būs horizontālā ātruma izmērs un paātrinājumam

Mēs iegūstam brīvo kritienu Tagad, aplūkojot formulu (5), mēs redzam, ka vienīgais veids, kā iegūt pareizo dimensiju labajā pusē, ir uzskatīt to par proporcionālu. Mēs atkal nonākam pie formulas (7).

Protams, ja ir četras pamatvienības un M, var tieši izveidot nepieciešamās dimensijas vērtību no četriem parametriem un

Kreisās un labās daļas izmēru vienādībai ir forma

Vienādojumu sistēma x, y, z un un dod vērtības, un mēs atkal nonākam pie formulas (7).

Šeit izmantotās dažādās garuma vienības savstarpēji perpendikulāros virzienos dažreiz tiek sauktas par vektora garuma vienībām. To pielietojums būtiski paplašina dimensiju analīzes metodes iespējas.

Izmantojot dimensiju analīzes metodi, ir lietderīgi attīstīt prasmes tādā mērā, ka neveidojat vienādojumu sistēmu eksponentiem vēlamajā formulā, bet atlasāt tos tieši. Ilustrēsim to nākamajā uzdevumā.

Uzdevums

Maksimālais diapazons. Kādā leņķī pret horizontāli ir jāmet akmens, lai maksimāli palielinātu horizontālo lidojuma diapazonu?

Risinājums. Pieņemsim, ka esam "aizmirsuši" visas kinemātikas formulas un mēģināsim iegūt atbildi no dimensijas apsvērumiem. No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka izmēru metode šeit vispār nav piemērojama, jo atbildē jāiekļauj kāda trigonometriskā mešanas leņķa funkcija. Tāpēc paša leņķa a vietā mēģināsim meklēt izteiksmi diapazonam Skaidrs, ka bez vektoru garuma vienībām neiztikt.

Gadījumos, kad nav procesu aprakstošu vienādojumu un nav iespējams tos izveidot, ir iespējams izmantot dimensiju analīzi, lai noteiktu kritēriju veidu, no kuriem jāsastāda līdzības vienādojums. Taču iepriekš ir jānosaka visi procesa aprakstam būtiskie parametri. To var izdarīt, pamatojoties uz pieredzi vai teorētiskiem apsvērumiem.

Dimensiju metode fizikālos lielumus iedala pamata (primārajos), kas raksturo mēru tieši (bez savienojuma ar citiem lielumiem), un atvasinājumos, kas tiek izteikti caur pamatlielumiem saskaņā ar fizikālajiem likumiem.

SI sistēmā pamatvienībām tiek piešķirti apzīmējumi: garums L, svars M, laiks T, temperatūra Θ , strāvas stiprums es, gaismas spēks Dž, vielas daudzums N.

Atvasinātās vērtības izteiksme φ caur galveno sauc par dimensiju. Formula atvasināta lieluma dimensijai, piemēram, ar četrām pamatmērvienībām L, M, T, Θ, izskatās kā:

Kur a, b, c, d ir reāli skaitļi.

Saskaņā ar vienādojumu bezdimensiju skaitļiem ir nulles dimensija, bet pamatlielumiem ir vienāds ar vienu.

Papildus iepriekšminētajam principam metodes pamatā ir aksioma, ka var pievienot un atņemt tikai tādus daudzumus un lielumu kompleksus, kuriem ir vienāda dimensija. No šiem noteikumiem izriet, ka, ja kāds fiziskais daudzums, piemēram ∆ lpp, tiek definēts kā citu formā esošo fizisko lielumu funkcija ∆ lpp= f(V, ρ, η, l, d) , tad šo atkarību var attēlot šādi:

,

Kur C- nemainīgs.

Ja mēs pēc tam izsakām katra atvasinātā lieluma dimensiju galveno izmēru izteiksmē, tad mēs varam atrast eksponentu vērtības x, y, z utt. Tādējādi:

Saskaņā ar vienādojumu pēc izmēru aizstāšanas iegūstam:

Grupējot pēc tam viendabīgus terminus, mēs atrodam:

Ja abās vienādojuma daļās eksponentus pielīdzinām vienādām pamatvienībām, mēs iegūstam šādu vienādojumu sistēmu:

Šajā trīs vienādojumu sistēmā ir pieci nezināmie. Tāpēc jebkurus trīs no šiem nezināmajiem var izteikt ar pārējiem diviem, proti x, y Un r cauri z Un v:

Pēc eksponentu aizstāšanas
Un par jaudas funkciju izrādās:

.

Kritērija vienādojums apraksta šķidruma plūsmu caurulē. Šis vienādojums ietver, kā parādīts iepriekš, divus kritēriju kompleksus un vienu kritēriju kompleksu. Tagad, izmantojot dimensiju analīzi, tiek noteikti šo kritēriju veidi: tas ir Eilera kritērijs Eu=∆ lpp/(ρ V 2 ) , Reinoldsa kritērijs Re= Vdρ/η un ģeometriskās līdzības parametriskais kritērijs G=l/ d. Lai beidzot noteiktu kritērija vienādojuma formu, ir nepieciešams eksperimentāli noteikt konstantu vērtības C, z Un v vienādojumā.

1. Kritērija vienādojuma konstantu eksperimentāla noteikšana

Veicot eksperimentus, tiek izmērīti un noteikti visos līdzības kritērijos ietvertie izmēru lielumi. Saskaņā ar eksperimentu rezultātiem tiek aprēķinātas kritēriju vērtības. Tad viņi veido tabulas, kurās atbilstoši kritērija vērtībām K 1 ievadiet definējošo kritēriju vērtības K 2 , K 3 utt. Šī darbība pabeidz apstrādes eksperimentu sagatavošanās posmu.

Lai vispārinātu tabulas datus kā spēka likumu:

tiek izmantota logaritmiskā koordinātu sistēma. Eksponentu atlase m, n utt. panākt tādu eksperimentālo punktu izvietojumu grafikā, lai caur tiem varētu novilkt taisnu līniju. Taisnās līnijas vienādojums sniedz vēlamo attiecību starp kritērijiem.

Parādīsim, kā praksē noteikt kritērija vienādojuma konstantes:

.

Logaritmiskajās koordinātēs lgK 2 – lgK 1 šis ir taisnās līnijas vienādojums:

.

Uzliekot eksperimentālos punktus grafikā (4. att.), caur tiem novelciet taisnu līniju, kuras slīpums nosaka konstantes vērtību m= tgβ.

Rīsi. 4. Eksperimentālo datu apstrāde

Atliek atrast konstanti . Jebkuram punktam uz diagrammas taisnes
. Tāpēc vērtība C atrast pēc jebkura atbilstošo vērtību pāra K 1 Un K 2 skaitīts uz grafika taisnās līnijas. Par vērtības uzticamību nosaka vairāki taisnes punkti, un vidējā vērtība tiek aizstāta galīgajā formulā:

Ar lielāku kritēriju skaitu vienādojumu konstantu noteikšana kļūst nedaudz sarežģītāka un tiek veikta saskaņā ar grāmatā aprakstīto metodi.

Logaritmiskajās koordinātēs ne vienmēr ir iespējams izkārtot eksperimentālos punktus pa taisnu līniju. Tas notiek, ja novērotā atkarība nav aprakstīta ar jaudas vienādojumu un ir jāmeklē cita veida funkcija.

Daudzi praksē sastopamie procesi ir tik sarežģīti, ka tos nevar tieši aprakstīt ar diferenciālvienādojumiem. Šādos gadījumos ļoti vērtīgs paņēmiens, lai atklātu attiecības starp mainīgajiem lielumiem, ir dimensiju analīze.

Šī metode nesniedz pilnīgu informāciju par attiecībām starp mainīgajiem, kas galu galā ir jāatklāj eksperimentāli. Tomēr šī metode var ievērojami samazināt eksperimentālā darba apjomu.

Tādējādi dimensiju metodes efektīva pielietošana iespējama tikai tad, ja to apvieno ar eksperimentu; šajā gadījumā ir jāzina visi faktori vai mainīgie, kas ietekmē pētāmo procesu.

Dimensiju analīze sniedz loģisku daudzumu sadalījumu pa bezdimensiju grupām. Kopumā N funkcionālo atkarību var attēlot kā formulu, ko sauc par dimensijas formulu:

Tas ietver (k + 1) iekļaušanas daudzumus un N lielumus. Tie var būt mainīgi, nemainīgi, dimensiju un bezdimensiju. Tomēr šajā gadījumā ir nepieciešams, lai skaitliskiem lielumiem, kas iekļauti vienādojumā, kas raksturo fizisko parādību, tiktu pieņemta tā pati mērvienību sistēma. Saskaņā ar šo nosacījumu vienādojums paliek spēkā patvaļīgi izvēlētai vienību sistēmai. Turklāt šīm pamatvienībām jābūt neatkarīgiem pēc saviem izmēriem, un to skaitam jābūt tādam, lai caur tām būtu iespējams attēlot visu funkcionālajā atkarībā (3.73) iekļauto lielumu izmērus.

Šādas mērvienības var būt jebkuri trīs lielumi, kas iekļauti vienādojumā (3.73) un ir neatkarīgi viens no otra dimensijas ziņā. Ja par mērvienībām ņemam, piemēram, garumu L un ātrumu V, tad mums ir dotā garuma vienība L un laika vienība . Tādējādi trešajai mērvienībai nav iespējams pieņemt nevienu lielumu, kura dimensija satur tikai garumu un laiku, piemēram, paātrinājumu, jo šī lieluma mērvienība jau ir iestatīta garuma vienību izvēles rezultātā. un ātrumu. Tāpēc papildus ir jāizvēlas jebkura vērtība, kuras dimensija ietver masu, piemēram, blīvumu, viskozitāti, spēku utt.

Praksē, piemēram, hidrauliskajos pētījumos, izrādās lietderīgi ņemt šādas trīs mērvienības: jebkuras plūsmas daļiņas ātrums V 0, jebkurš garums (cauruļvada diametrs D vai tā garums L), plūsmas blīvums ρ. izvēlētā daļiņa.

Šo mērvienību izmēri:

jaunkundze; m; kg/m3.

Tādējādi izmēru vienādojumu atbilstoši funkcionālajai atkarībai (3.73) var attēlot šādā formā:

Vērtības N i un n i, kas ņemtas pamatvienību sistēmā (metrs, sekunde, kilograms), var izteikt bezdimensiju skaitļos:

; .

Tāpēc vienādojuma (3.73) vietā var uzrakstīt vienādojumu, kurā visi lielumi izteikti relatīvās vienībās (attiecībā uz V 0 , L 0 , ρ 0):

Tā kā p 1, p 2, p 3 ir attiecīgi V 0, L 0, ρ 0, tad pirmie trīs vienādojuma locekļi pārvēršas trīs vienībās un funkcionālā atkarība iegūst formu:

. (3.76)

Saskaņā ar π-teorēmu jebkuru attiecību starp dimensiju lielumiem var formulēt kā attiecību starp bezdimensiju lielumiem. Pētījumos šī teorēma dod iespēju noteikt attiecības nevis starp pašiem mainīgajiem, bet gan starp dažām to bezdimensiju attiecībām, kas sastādītas pēc noteiktiem likumiem.

Tādējādi funkcionālo atkarību starp k + 1 dimensijas lielumiem N un n i parasti izsaka kā attiecību starp (k + 1-3) lielumiem π un π i (i = 4,5, ..., k), no kuriem katrs ir a funkcionālajā atkarībā iekļauto lielumu bezdimensiju jaudas kombinācija. Bezdimensiju skaitļiem π ir līdzības kritēriju raksturs, kā redzams nākamajā piemērā.

Piemērs 3.3. Nosakiet funkcionālo atkarību pretestības spēkam F (N = kg m / s 2), ko plāksne izjūt, plūstot apkārt ar šķidrumu tās garuma virzienā.

Pretestības spēka funkcionālo atkarību var attēlot kā vairāku neatkarīgu mainīgo funkciju un noteikt līdzības apstākļos:

,

Kur plūsmas ātrums, m/s; plāksnes laukums, m 2; šķidruma blīvums, kg/m 3; dinamiskais viskozitātes koeficients, Pa s ([Pa s] = kg/m s); brīvā kritiena paātrinājums, m/s 2 ; spiediens, Pa (Pa = kg/m s); plāksnes augstuma attiecība pret tās garumu; plāksnes slīpuma leņķis pret plūsmas virzienu.

Tādējādi daudzumi un ir bezizmēra, pārējie seši ir dimensijas. Trīs no tiem: , un ņemti par galvenajiem. Saskaņā ar π-teorēmu šeit ir iespējamas tikai trīs bezdimensiju attiecības. Tātad:

pretestības spēkam:

1 \u003d z (rādītāji pa kreisi un pa labi pie kg);

2 \u003d - x (rādītāji pa kreisi un pa labi pie c);

1 \u003d x + 2y - 3z (rādītāji kreisajā un labajā pusē pie m).

Šo vienādojumu risinājums dod: x = 2; y = 1; z = 1.

Funkcionālā atkarība:

Līdzīgi mēs iegūstam:

Viskozitātei:

mums ir x 1 = 1; y 1 = 0,5; z1 = 1.

Funkcionālā atkarība:

;

mums ir x 2 = 2; y 2 = - 0,5; z2 = 0.

Funkcionālā atkarība:

Spiedienam:

mums ir x 3 = 2; y 3 = 0; z3 = 1.

Funkcionālā atkarība:

.

Ir skaidrs, ka , ,

.

No tā mēs varam secināt, ka pēc šī procesa izpētes pie noteiktiem izmēriem, ātrumiem utt., Ir iespējams noteikt, kā tas noritēs citos izmēros un ātrumos, ja bezdimensiju attiecības, kas sastāv no šiem mainīgajiem, abos gadījumos ir vienādas. Tātad secinājumi, kas iegūti eksperimentos ar doto izmēru ķermeņiem, pārvietojoties ar noteiktu ātrumu utt., acīmredzot derēs arī uz jebkuriem citiem ķermeņa izmēriem, ātrumiem utt. ar nosacījumu, ka bezdimensiju attiecības ir vienādas ar eksperimentos novērotajiem.

Piemērs 3.4. Pamatojoties uz iepriekšējiem pētījumiem ar laboratorijas ierīci, nosaka maisītāja motora jaudas N (W = kg m 2 /s 3) funkcionālo atkarību, kas nepieciešama celulozes sajaukšanai ar reaģentiem kontakttvertnē.

Lai nodrošinātu divu sajaukšanas sistēmu līdzību, ir nepieciešams:

Ģeometriskā līdzība, kurā lielumu attiecībai aplūkojamajām sistēmām jābūt vienādām viena ar otru;

Kinemātiskā līdzība, kad ātrumiem atbilstošajos punktos jābūt tādā pašā attiecībā kā ātrumiem citos atbilstošajos punktos, tas ir, celulozes ceļiem jābūt līdzīgiem;

Dinamiskā līdzība, kas prasa, lai spēku attiecība attiecīgajos punktos būtu vienāda ar spēku attiecību citos attiecīgajos punktos.

Ja robežnosacījumi ir fiksēti, vienu mainīgo var izteikt ar citiem mainīgajiem, tas ir, maisītāja motora jaudas funkcionālo atkarību var attēlot kā vairāku neatkarīgu mainīgo funkciju un noteikt pēc līdzības kritērijiem:

,

kur ir maisītāja diametrs, m; celulozes blīvums, kg/m 3; maisītāja griešanās ātrums, s -1 ; dinamiskais viskozitātes koeficients, Pa·s (Pa·s=kg/m·s); brīvā kritiena paātrinājums, m/s 2 – plāksnes slīpuma leņķis pret plūsmas virzienu.

Tādējādi mums ir piecu dimensiju lielumi, trīs no tiem: , un pieņemts kā pamata. Saskaņā ar π-teorēmu šeit ir iespējamas tikai divas bezdimensiju attiecības. Tātad:

.

Ņemot vērā skaitītāja un saucēja dimensiju vienādību, mēs atrodam eksponentus:

maisītāja motora jaudai:

,

3 \u003d z (rādītāji pa kreisi un pa labi pie c);

1 = in (rādītāji pa kreisi un pa labi pie kg);

2 \u003d x - 3y (rādītāji pa kreisi un pa labi pie m).

Šo vienādojumu risinājums dod: x = 5; y = 1; z = 3.

Funkcionālā atkarība:

Līdzīgi mēs iegūstam:

Viskozitātei:

mums ir x 1 = 2; y 1 = 1; z1 = 1.

Funkcionālā atkarība:

;

Lai paātrinātu brīvo kritienu:

mums ir x 2 = 1; y 2 = 0; z2 = 1.

Funkcionālā atkarība:

;

Ir skaidrs, ka . Tad vēlamajai funkcionālajai atkarībai ir šāda forma:

.

No tā varam secināt, ka pēc tam, kad ir konstatēta maisītāja motora jaudas funkcionālā atkarība dažiem tā parametriem, var noteikt, kāda tā būs citiem izmēriem un ātrumiem utt. ja bezdimensiju attiecības abos gadījumos ir vienādas. Tātad secinājumi, kas iegūti par eksperimentālo ierīci, būs derīgi jebkurai citai ierīcei, ja bezdimensiju attiecības ir vienādas ar eksperimentos novērotajām.

Piemērs 3.5. Tiek pētīts bagātināšanas process smagās vides separatorā. Smago vielu atdalīšanas procesa parametriskā diagramma (3.5. att.) parāda ienākošos, izejošos un kontrolētos parametrus, kā arī iespējamos šķēršļus:

Ievades un kontrolētie parametri: Qin - izejmateriāla separatora veiktspēja; Q susp - suspensijas plūsmas ātrums; V - kausa tilpums; Δρ ir starpība starp suspensijas un atdalāmās frakcijas blīvumu; ω - lifta riteņa griešanās ātrums; n ir lifta rata kausu skaits;

Izejas un kontrolētie parametri: Q līdz t - koncentrāta separatora veiktspēja; Q otx - atkritumu separatora darbība;

Šķēršļi (nav ņemti vērā parametri, kas ietekmē procesu): mitrums, granulometriskais un frakcionētais sastāvs.

Pārbaudām, vai modeļa aprēķināšanai pietiek ar parametru skaitu, kuram pierakstām visu daudzumu izmērus = kg/s; \u003d m 3 / s; [Δ] \u003d kg / m 3; [V] \u003d m 3; [ ] = c -1; = kg/s; [n] = 8.

Galvenie izmēru lielumi m = 3 (kg, m, s), tāpēc aprēķinos var izmantot:

parametrs, t.i., Q out, V, Δ, ω.

0 = 3x - 3z (eksponenti kreisajā un labajā pusē pie L);

1 \u003d - y - 3z (rādītāji kreisajā un labajā pusē pie T);

Tātad x = 1; y = - 2; z = 1, tas ir, atkritumu separatora jaudas funkcionālā atkarība no kausa tilpuma, lifta riteņa griešanās ātruma un balstiekārtas un atdalītās frakcijas blīvuma atšķirības ir šāda:

Koeficienta k vērtība tiek noteikta, pamatojoties uz iepriekšējiem pētījumiem ar fiksētiem parametriem: V = 0,25 m 3 ; Δ \u003d 100 kg / m 3; = 0,035 s -1; n \u003d 8, kā rezultātā tika konstatēts, ka Q otx \u003d 42 kg / s:

Formula ir pētāmā procesa matemātiskais modelis.

Piemērs 3.6. Tiek pētīts koncentrāta, kura daļiņu izmērs ir 0,5 - 13 mm, transportēšanas process ar atūdeņošanas maisītāju-karteris liftu:

Ievades un kontrolētie parametri: ω - lifta kausa ietilpība cietvielu izteiksmē; ρ - piegādes blīvums; V ir lifta ķēdes ātrums;

Izvades un vadāmais parametrs: Q - atūdeņošanas savācēja-soļu lifta produktivitāte atbilstoši klasei 0,5 - 13 mm;

Pastāvīgi parametri: kausa piepildījuma koeficients = 0,5; mitrums, granulometriskais un frakcionālais sastāvs.

Šajā piemērā:

Pārbaudām, vai modeļa aprēķināšanai pietiek ar parametru skaitu, kuram pierakstām visu lielumu izmērus: [ω] = m 3; [ρ] \u003d kg / m 3; [V] = m/s.

Galvenie izmēru lielumi m = 3 (kg, m, s), tāpēc aprēķinos var izmantot:

parametrs, t.i., Q, V, , ω.

Tā kā netiek ņemti vērā visi parametri, koeficients k tiek pievienots funkcionālajai atkarībai starp atlasītajiem parametriem:

,

vai izmantojot pamatvienības M, L, T:

0 \u003d 3x + y - 3z (rādītāji kreisajā un labajā pusē pie L);

1 \u003d - y (rādītāji kreisajā un labajā pusē pie T);

1 = z (eksponenti kreisajā un labajā pusē pie M).

Tātad x = 2/3; y = 1; z = 1, t.i., atūdeņošanas savācēja-karteri lifta produktivitātes funkcionālā atkarība atbilstoši klasei 0,5-13 mm no kausa tilpuma, lifta ķēdes ātruma un padeves blīvuma ir šāda:

.

Koeficienta k vērtība noteikta, pamatojoties uz iepriekšējiem pētījumiem ar fiksētiem parametriem: V = 0,25 m/s; \u003d 1400 kg / m 3; \u003d 50 10 -3 m 3, kā rezultātā tika konstatēts, ka Q \u003d 1,5 kg / s, turklāt jāņem vērā kausu piepildījuma koeficients = 0,5 un pēc tam:

.

Formula ir matemātisks modelis koncentrāta ar daļiņu izmēru 0,5-13 mm transportēšanas procesam ar pētāmo atūdeņošanas maisītāju-sampa liftu.

Jāpatur prātā, ka jo mazāka ir koeficienta k vērtība, jo lielāka ir aplūkojamo parametru vērtība.

Dimensiju analīzes metode bieži ir ļoti efektīva, risinot sarežģītas mehānikas problēmas, jo īpaši hidraulikā, šķidruma dinamikā un aerodinamikā. Kopā ar ideju par parādību fizisko nozīmi vai ar eksperimentālo datu piesaisti tas noved pie rezultātiem, turklāt ātri un vienkārši, novērtējot noteiktu parādību.

Pašmāju literatūrā līdzības un dimensijas metodes aprakstītas monogrāfijā, piemēram [Sena]; [Sedova]; [Kogans]. Atzīstot, ka π-teorēma ir fundamentāla, mēs to vienreiz pieminam un izskaidrojam; turpmāk līmeņa un vispārīguma ziņā pieturamies pie grāmatas [Kogans].

Pamatdefinīcijas.

Pastāv vairākas mērvienību sistēmas (CGS, SI utt.), un katrā no tām daži fizikālie lielumi tiek pieņemti kā galvenais vai primārs, t.i. tiem, kuriem mērvienības ir noteiktas patvaļīgi un neatkarīgi. Mehānikā un jo īpaši hidromehānikā un hidraulikā tiek izmantota sistēma L , m , t , kurā par galvenajiem daudzumiem tiek ņemts garums L, svars m un laiks t. Acīmredzot, analizējot jebkuru parādību, masas, laika un garuma vienības tiek izvēlētas neatkarīgi viena no otras. Uz sekundāru daudzumos ietilpst tie, kas iegūti kā galveno kombinācijas. Piemēram, sekundārie lielumi ietver: ātrumu V= S/ t vai [ V]= Lt -1 , paātrinājums a= V/ t vai [ a]= Lt -2 , blīvums ρ= m/ W vai [ ρ ]= ml -3 un daudzi citi daudzumi. Kvadrātiekavas, kurās ir ievietots daudzuma apzīmējums, nozīmē, ka mēs runājam par šī daudzuma vienības izmēru un simboliem L,m,t ir vispārināti garuma, masas un laika vienību apzīmējumi, nenorādot konkrētu vienību nosaukumu.

Speciālajos kursos tiek parādīts, ka sekundāro lielumu dimensijas formulai jābūt spēka likums attiecībā uz visiem fiziskajiem pamatlielumiem. Pieņemsim, piemēram, ka pamatlielumu skaits ir izvēlēts kā trīs un par tiem tiek ņemts garums L, svars m un laiks t. Tad fiziskā daudzuma dimensija y attēlots ar formulu

[y]= L α m β t γ , (.1)

Kur α , β , γ ir nemainīgi skaitļi (atcerieties, ka kvadrātiekavās ir ievietots lieluma simbols y, nozīmē, ka tiek ņemta vērā šī daudzuma dimensija). Formulu (.1) sauc dotā daudzuma vienības izmēra formula vai, kā mēdz teikt, īsi šī daudzuma dimensiju.

Jāuzsver, ka jūs varat reizināt un dalīt fiziskos lielumusjebkuraizmēriem, un var pievienot un atņemt tikai tās pašas dimensijas vērtības.

Piemērs(.1) .Ātrums V var izteikt kā V= L/ t= L 1 m 0 t -1 , t.i. α =1 , β =0, γ =-1 .Spēks F= ma var uzrādīt kā F= ml/ t²= L 1 m 1 t -2 , t.i. α =1 , β =1 , γ = -2 .

Nav nepieciešams α , β , γ ir racionāli skaitļi, taču nav jāievada citi skaitļi, izņemot racionālos. Bieži vien fiziskā lieluma dimensija tiek identificēta ar tās vienību attiecīgajā vienību sistēmā. Tā, piemēram, viņi saka, ka ātrumam ir izmērs cm/s (centimetrs sekundē). Lai gan tas nav loģiski, taču tajā nav rupju kļūdu. Šajā gadījumā cm/s ir Vārds vienības (tāpat kā km / h, m / s utt.) Vienmēr, ja nepieciešams, šāda veida mērvienības ļauj pāriet uz izmēru formulām, kurās nav fiksētas pamatlielumu mērvienību skalas.

1. piezīme. Dažādiem fiziskajiem lielumiem var būt vienādi izmēri pat vienā un tajā pašā mērvienību sistēmā. Piemēri mehānikā ir darbs un kinētiskā enerģija vai darbs un spēka moments (sistēma Lmt).

2. piezīme. Fizisko lielumu bezdimensiju kombinācijas ir tādas kombinācijas, kurām aplūkotajā vienību sistēmā ir nulle. Mainoties pamatlielumu mērvienību skalām, to skaitliskās vērtības nemainās.

1. uzdevums. Atrast izmērus: 1) spiediens; 2) enerģija; 3) dinamiskās viskozitātes koeficients; 4) kinemātiskās viskozitātes koeficients; 5) virsmas spraiguma koeficients.

Visi rezultāti, ko var iegūt, izmantojot dimensiju analīzes metodi, ir balstīti uz divām teorēmām.