Ar šī palīdzību tiešsaistes kalkulators atrodiet leņķi starp līnijām. Tiek sniegts detalizēts risinājums ar paskaidrojumiem. Lai aprēķinātu leņķi starp līnijām, iestatiet izmēru (2-ja taisne tiek aplūkota plaknē, 3- ja taisne tiek aplūkota telpā), ievadiet vienādojuma elementus šūnās un noklikšķiniet uz " Atrisināt" pogu. Skatīt teorētisko daļu zemāk.

×

Brīdinājums

Vai dzēst visas šūnas?

Aizvērt Notīrīt

Datu ievades instrukcija. Cipari tiek ievadīti kā veseli skaitļi (piemēri: 487, 5, -7623 utt.), decimālskaitļi (piemēram, 67., 102,54 utt.) vai daļskaitļi. Daļa jāievada formā a/b, kur a un b (b>0) ir veseli skaitļi vai decimālskaitļi. Piemēri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 utt.

1. Leņķis starp plaknes līnijām

Līnijas ir dotas ar kanoniskajiem vienādojumiem

1.1. Leņķa noteikšana starp līnijām

Ļaujiet līnijām divdimensiju telpā L 1 un L

Tādējādi no formulas (1.4) var atrast leņķi starp līnijām L 1 un L 2. Kā redzams 1. attēlā, krustojošās līnijas veido blakus leņķus φ Un φ 1 . Ja atrastais leņķis ir lielāks par 90°, tad jūs varat atrast minimālo leņķi starp līnijām L 1 un L 2: φ 1 =180-φ .

No formulas (1.4) var secināt divu taisnu paralēlisma un perpendikulitātes nosacījumus.

Piemērs 1. Nosakiet leņķi starp līnijām

Vienkāršosim un atrisināsim:

1.2. Paralēlu līniju stāvoklis

Ļaujiet φ =0. Tad cosφ=1. Šajā gadījumā izteiksmei (1.4) būs šāda forma:

,

,

Piemērs 2. Nosakiet, vai taisnes ir paralēlas

Vienādība (1.9) ir izpildīta, līdz ar to taisnes (1.10) un (1.11) ir paralēlas.

Atbilde. Līnijas (1.10) un (1.11) ir paralēlas.

1.3. Līniju perpendikulitātes nosacījums

Ļaujiet φ =90°. Tad cosφ=0. Šajā gadījumā izteiksmei (1.4) būs šāda forma:

Piemērs 3. Nosakiet, vai līnijas ir perpendikulāras

Nosacījums (1.13) ir izpildīts, līdz ar to taisnes (1.14) un (1.15) ir perpendikulāras.

Atbilde. Līnijas (1.14) un (1.15) ir perpendikulāras.

Taisnās līnijas nosaka vispārīgie vienādojumi

1.4. Leņķa noteikšana starp līnijām

Ļaujiet divām rindām L 1 un L 2 ir doti ar vispārīgiem vienādojumiem

No divu vektoru skalārā reizinājuma definīcijas mēs iegūstam:

4. piemērs. Atrodiet leņķi starp līnijām

Vērtību aizstāšana A 1 , B 1 , A 2 , B 2 collas (1,23), mēs iegūstam:

Šis leņķis ir lielāks par 90°. Atrodiet minimālo leņķi starp līnijām. Lai to izdarītu, atņemiet šo leņķi no 180:

No otras puses, paralēlu līniju stāvoklis L 1 un L 2 ir ekvivalents kolineāro vektoru nosacījumam n 1 un n 2, un to var attēlot šādi:

Vienādība (1.24) ir izpildīta, līdz ar to taisnes (1.26) un (1.27) ir paralēlas.

Atbilde. Līnijas (1.26) un (1.27) ir paralēlas.

1.6. Līniju perpendikulitātes nosacījums

Līniju perpendikulitātes nosacījums L 1 un L 2 var iegūt no formulas (1.20), aizstājot cos(φ )=0. Tad skalārais reizinājums ( n 1 ,n 2)=0. Kur

Vienādība (1.28) ir izpildīta, līdz ar to taisnes (1.29) un (1.30) ir perpendikulāras.

Atbilde. Līnijas (1.29) un (1.30) ir perpendikulāras.

2. Leņķis starp līnijām telpā

2.1. Leņķa noteikšana starp līnijām

Ielaidiet līnijas telpā L 1 un L 2 ir doti ar kanoniskajiem vienādojumiem

kur | q 1 | un | q 2 | virziena vektoru moduļi q 1 un q 2 attiecīgi, φ -leņķis starp vektoriem q 1 un q 2 .

No izteiksmes (2.3) mēs iegūstam:

.

Vienkāršosim un atrisināsim:

.

Atradīsim stūri φ

Ļaujiet līnijas dot telpā l Un m. Caur kādu telpas punktu A mēs novelkam taisnas līnijas l 1 || l Un m 1 || m(138. att.).

Ņemiet vērā, ka punktu A var izvēlēties patvaļīgi, jo īpaši tas var atrasties vienā no dotajām taisnēm. Ja taisni l Un m krustojas, tad A var uzskatīt par šo līniju krustpunktu ( l 1 =l Un m 1 = m).

Leņķis starp neparalēlām līnijām l Un m ir mazākā no blakus esošajiem leņķiem, ko veido krustojošās taisnes l 1 Un m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Tiek pieņemts, ka leņķis starp paralēlām līnijām ir nulle.

Leņķis starp līnijām l Un m apzīmē ar \(\widehat((l;m)) \). No definīcijas izriet, ka, ja to mēra grādos, tad 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, un, ja radiānos, tad 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Uzdevums. Ir dots kubs ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (139. att.).

Atrodiet leņķi starp taisnēm AB un DC 1 .

Taisna AB un DC 1 krustojums. Tā kā taisne DC ir paralēla līnijai AB, leņķis starp līnijām AB un DC 1 saskaņā ar definīciju ir vienāds ar \(\widehat(C_(1)DC)\).

Tādējādi \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Tieša l Un m sauca perpendikulāri, ja \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Piemēram, kubā

Leņķa aprēķins starp līnijām.

Leņķa aprēķināšanas problēma starp divām taisnām līnijām telpā tiek atrisināta tāpat kā plaknē. Ar φ apzīmē leņķi starp līnijām l 1 Un l 2 , un caur ψ - leņķis starp virziena vektoriem A Un b šīs taisnās līnijas.

Tad ja

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (206.6. att.), tad φ = 180° - ψ. Ir skaidrs, ka abos gadījumos vienādība cos φ = |cos ψ| ir patiesa. Saskaņā ar formulu (leņķa kosinuss starp nulles vektoriem a un b ir vienāds ar šo vektoru skalāro reizinājumu, kas dalīts ar to garuma reizinājumu)

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

tātad,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Ļaujiet līnijas dot ar to kanoniskajiem vienādojumiem

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Un \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Tad, izmantojot formulu, nosaka leņķi φ starp līnijām

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Ja viena no līnijām (vai abām) ir dota ar nekanoniskiem vienādojumiem, tad, lai aprēķinātu leņķi, ir jāatrod šo līniju virziena vektoru koordinātas un pēc tam jāizmanto formula (1).

1. uzdevums. Aprēķiniet leņķi starp līnijām

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;un\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Taisnu līniju virzienu vektoriem ir koordinātas:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Pēc formulas (1) mēs atrodam

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Tāpēc leņķis starp šīm līnijām ir 60°.

2. uzdevums. Aprēķiniet leņķi starp līnijām

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) un \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\beigas(gadījumi) $$

Aiz virzošā vektora A ņem pirmo rindiņu vektora produkts normālie vektori n 1 = (3; 0; -12) un n 2 = (1; 1; -3) plaknes, kas nosaka šo taisni. Ar formulu \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) mēs iegūstam

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Līdzīgi mēs atrodam otrās taisnes virziena vektoru:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Bet formula (1) aprēķina vajadzīgā leņķa kosinusu:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Tāpēc leņķis starp šīm līnijām ir 90°.

3. uzdevums. Trīsstūrveida piramīdā MAVS malas MA, MB un MC ir savstarpēji perpendikulāras, (207. att.);

to garumi ir attiecīgi vienādi ar 4, 3, 6. Punkts D ir vidus [MA]. Atrodiet leņķi φ starp līnijām CA un DB.

Lai SA un DB ir taisnes SA un DB virziena vektori.

Par koordinātu sākumpunktu pieņemsim punktu M. Pēc uzdevuma nosacījuma mums ir A (4; 0; 0), B (0; 0; 3), C (0; 6; 0), D (2; 0; 0). Tāpēc \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Mēs izmantojam formulu (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Saskaņā ar kosinusu tabulu mēs atklājam, ka leņķis starp taisnēm CA un DB ir aptuveni 72 °.

Ikvienam skolēnam, kurš gatavojas eksāmenam matemātikā, noderēs atkārtot tēmu “Leņķa atrašana starp līnijām”. Kā liecina statistika, kārtojot atestācijas testu, uzdevumi šajā stereometrijas sadaļā sagādā grūtības lielai daļai skolēnu. Tajā pašā laikā uzdevumi, kuriem nepieciešams atrast leņķi starp taisnēm, ir atrodami USE gan pamata, gan profila līmenis. Tas nozīmē, ka ikvienam ir jāspēj tās atrisināt.

Pamata momenti

Ir 4 veidu līniju savstarpējais izvietojums telpā. Tie var sakrist, krustoties, būt paralēli vai krustoties. Leņķis starp tiem var būt akūts vai taisns.

Lai atrastu leņķi starp līnijām vienotajā valsts eksāmenā vai, piemēram, risinājumā, skolēni Maskavā un citās pilsētās var izmantot vairākas problēmas risināšanas metodes šajā stereometrijas sadaļā. Jūs varat izpildīt uzdevumu ar klasiskām konstrukcijām. Lai to izdarītu, ir vērts apgūt stereometrijas pamata aksiomas un teorēmas. Studentam jāprot loģiski veidot argumentāciju un izveidot rasējumus, lai uzdevumu novestu līdz planimetriskai problēmai.

Lietojot, varat izmantot arī vektora koordinātu metodi vienkāršas formulas, noteikumi un algoritmi. Galvenais šajā gadījumā ir pareizi veikt visus aprēķinus. Uzlabojiet savas problēmu risināšanas prasmes stereometrijā un citās tēmās skolas kurss tev palīdzēs izglītojošs projekts"Školkova".

A. Dotas divas taisnes.Šīs līnijas, kā norādīts 1. nodaļā, veido dažādus pozitīvos un negatīvos leņķus, kas var būt gan akūti, gan neasi. Zinot vienu no šiem leņķiem, mēs varam viegli atrast jebkuru citu.

Starp citu, visiem šiem leņķiem pieskares skaitliskā vērtība ir vienāda, atšķirība var būt tikai zīmē

Līniju vienādojumi. Skaitļi ir pirmās un otrās taisnes virzošo vektoru projekcijas.Leņķis starp šiem vektoriem ir vienāds ar vienu no taisnes veidotajiem leņķiem. Tāpēc problēma tiek samazināta līdz leņķa noteikšanai starp vektoriem, mēs iegūstam

Vienkāršības labad varam vienoties par leņķi starp divām taisnēm, lai saprastu akūtu pozitīvu leņķi (kā, piemēram, 53. att.).

Tad šī leņķa tangensa vienmēr būs pozitīva. Tādējādi, ja formulas (1) labajā pusē tiek iegūta mīnusa zīme, tad tā ir jāatmet, t.i., jāsaglabā tikai absolūtā vērtība.

Piemērs. Nosakiet leņķi starp līnijām

Pēc formulas (1) mums ir

Ar. Ja norādīts, kura no leņķa malām ir tā sākums un kura beigas, tad, vienmēr skaitot leņķa virzienu pretēji pulksteņrādītāja virzienam, no formulām (1) varam izvilkt kaut ko vairāk. Kā tas ir viegli redzams no att. 53 formulas (1) labajā pusē iegūtā zīme norādīs, kurš leņķis - akūts vai strups - veido otro līniju ar pirmo.

(Tiešām, no 53. attēla redzams, ka leņķis starp pirmo un otro virziena vektoru ir vai nu vienāds ar vēlamo leņķi starp līnijām, vai arī atšķiras no tā par ±180°.)

d. Ja taisnes ir paralēlas, tad arī to virziena vektori ir paralēli.Piemērojot divu vektoru paralēlisma nosacījumu, iegūstam!

Tas ir nepieciešams un pietiekams nosacījums, lai divas līnijas būtu paralēlas.

Piemērs. Tieša

ir paralēli, jo

e. Ja taisnes ir perpendikulāras, tad arī to virziena vektori ir perpendikulāri. Piemērojot divu vektoru perpendikulitātes nosacījumu, iegūstam divu taisnes perpendikulitātes nosacījumu, proti

Piemērs. Tieša

perpendikulāri, jo

Saistībā ar paralēlisma un perpendikularitātes nosacījumiem atrisināsim šādas divas problēmas.

f. Caur punktu novelciet līniju, kas ir paralēla noteiktai taisnei

Lēmums tiek pieņemts šādi. Tā kā vēlamā taisne ir paralēla dotajai, tad tās virzošajam vektoram varam ņemt to pašu, ko dotajai taisnei, t.i., vektoru ar projekcijām A un B. Un tad tiks uzrakstīts vajadzīgās taisnes vienādojums formā (1. §)

Piemērs. Taisnes vienādojums, kas iet caur punktu (1; 3), kas ir paralēls taisnei

būs nākamais!

g. Novelciet līniju caur punktu, kas ir perpendikulārs dotajai līnijai

Šeit vairs neder ņemt vektoru ar projekcijām A un kā virzošo vektoru, bet ir jāuzvar tam perpendikulārs vektors. Tāpēc šī vektora projekcijas ir jāizvēlas saskaņā ar nosacījumu, ka abi vektori ir perpendikulāri, t.i., saskaņā ar nosacījumu

Šo nosacījumu var izpildīt bezgalīgi daudzos veidos, jo šeit ir viens vienādojums ar diviem nezināmajiem.Bet vienkāršākais veids ir to ņemt.Tad vajadzīgās rindas vienādojums tiks ierakstīts formā

Piemērs. Taisnes vienādojums, kas iet caur punktu (-7; 2) perpendikulārā taisnē

būs sekojošs (pēc otrās formulas)!

h. Gadījumā, ja līnijas ir dotas ar formas vienādojumiem

Definīcija. Ja divām līnijām ir dota y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , tad akūto leņķi starp šīm līnijām definē kā

Divas taisnes ir paralēlas, ja k 1 = k 2 . Divas taisnes ir perpendikulāras, ja k 1 = -1/ k 2 .

Teorēma. Taisnes līnijas Ax + Vy + C \u003d 0 un A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ir paralēlas, ja koeficienti A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ir proporcionāli. Ja arī С 1 = λС, tad līnijas sakrīt. Divu taisnu krustpunkta koordinātas tiek atrastas kā šo taisnu vienādojumu sistēmas risinājums.

Caur ejošas taisnes vienādojums dots punkts

Perpendikulāri šai līnijai

Definīcija. Taisni, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) un ir perpendikulāra taisnei y \u003d kx + b, attēlo vienādojums:

Attālums no punkta līdz līnijai

Teorēma. Ja ir dots punkts M(x 0, y 0), tad attālums līdz līnijai Ax + Vy + C \u003d 0 tiek definēts kā

.

Pierādījums. Pieņemsim, ka punkts M 1 (x 1, y 1) ir pamats perpendikulam, kas nomests no punkta M uz doto taisni. Tad attālums starp punktiem M un M 1:

(1)

Koordinātas x 1 un y 1 var atrast kā vienādojumu sistēmas risinājumu:

Otrais sistēmas vienādojums ir taisnes vienādojums, kas iet caur doto punktu M 0 perpendikulāri noteiktai taisnei. Ja mēs pārveidojam pirmo sistēmas vienādojumu formā:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + pēc 0 + C = 0,

tad, atrisinot, mēs iegūstam:

Aizvietojot šīs izteiksmes vienādojumā (1), mēs atrodam:

Teorēma ir pierādīta.

Piemērs. Nosakiet leņķi starp līnijām: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Piemērs. Parādiet, ka taisnes 3x - 5y + 7 = 0 un 10x + 6y - 3 = 0 ir perpendikulāras.

Risinājums. Mēs atrodam: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, tāpēc līnijas ir perpendikulāras.

Piemērs. Dotas trijstūra A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) virsotnes. Atrodiet augstuma vienādojumu, kas novilkts no virsotnes C.

Risinājums. Mēs atrodam malas AB vienādojumu: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Vēlamais augstuma vienādojums ir: Ax + By + C = 0 vai y = kx + b. k = . Tad y = . Jo augstums iet caur punktu C, tad tā koordinātas atbilst šim vienādojumam: kur b = 17. Kopā: .

Atbilde: 3x + 2y - 34 = 0.

Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu noteiktā virzienā. Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur diviem dotiem punktiem. Leņķis starp divām līnijām. Divu taisnes paralēlisma un perpendikulitātes nosacījums. Divu taisnu krustpunkta noteikšana

1. Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu A(x 1 , y 1) noteiktā virzienā, ko nosaka slīpums k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Šis vienādojums definē līniju zīmuli, kas iet caur punktu A(x 1 , y 1), ko sauc par stara centru.

2. Taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur diviem punktiem: A(x 1 , y 1) un B(x 2 , y 2) ir rakstīts šādi:

Taisnes līnijas slīpumu, kas iet caur diviem dotajiem punktiem, nosaka pēc formulas

3. Leņķis starp taisnām līnijām A Un B ir leņķis, par kādu jāpagriež pirmā taisne A ap šo līniju krustpunktu pretēji pulksteņrādītāja virzienam, līdz tas sakrīt ar otro līniju B. Ja ar slīpuma vienādojumiem dotas divas taisnes

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

tad leņķi starp tiem nosaka pēc formulas

Jāņem vērā, ka daļas skaitītājā pirmās taisnes slīpums tiek atņemts no otrās taisnes slīpuma.

Ja taisnes vienādojumi ir doti vispārējs skats

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

leņķi starp tiem nosaka pēc formulas

4. Divu līniju paralēlisma nosacījumi:

a) Ja taisnes dotas ar vienādojumu (4) ar slīpumu, tad nepieciešamo un pietiekamā stāvoklī to paralēlisms ir to leņķisko koeficientu vienādība:

k 1 = k 2 . (8)

b) Gadījumā, ja taisnes ir dotas ar vienādojumiem vispārīgā formā (6), nepieciešamais un pietiekams nosacījums to paralēlismam ir tas, ka koeficienti pie atbilstošajām strāvas koordinātām to vienādojumos ir proporcionāli, t.i.

5. Divu līniju perpendikulitātes nosacījumi:

a) Gadījumā, ja taisnes ir dotas vienādojumos (4) ar slīpumu, nepieciešamais un pietiekams nosacījums to perpendikularitātei ir, lai to slīpumi būtu apgriezti pēc lieluma un pretēji pēc zīmes, t.i.

Šo nosacījumu var ierakstīt arī formā

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ja taisnu vienādojumi ir doti vispārīgā formā (6), tad to perpendikulitātes nosacījums (nepieciešams un pietiekams) ir izpildīt vienādību

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Divu taisnu krustpunkta koordinātas tiek atrastas, atrisinot vienādojumu sistēmu (6). Līnijas (6) krustojas tad un tikai tad

1. Uzrakstiet vienādojumus taisnēm, kas iet caur punktu M, no kurām viena ir paralēla, bet otra ir perpendikulāra dotajai taisnei l.