1. uzdevums. Uzziniet, vai vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga. Vektoru sistēmu definēs sistēmas matrica, kuras kolonnas sastāv no vektoru koordinātām.

.

Risinājums.Ļaujiet lineārajai kombinācijai vienāds ar nulli. Ierakstot šo vienādību koordinātēs, mēs iegūstam šādu vienādojumu sistēmu:

.

Šādu vienādojumu sistēmu sauc par trīsstūrveida. Viņai ir vienīgais risinājums. . Līdz ar to vektori ir lineāri neatkarīgi.

2. uzdevums. Uzziniet, vai vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga.

.

Risinājums. Vektori ir lineāri neatkarīgi (sk. 1. uzdevumu). Pierādīsim, ka vektors ir lineāra vektoru kombinācija . Vektoru izplešanās koeficienti tiek noteikti no vienādojumu sistēmas

.

Šai sistēmai, tāpat kā trīsstūrveida sistēmai, ir unikāls risinājums.

Tāpēc vektoru sistēma lineāri atkarīgi.

komentēt. Tiek izsauktas tādas matricas kā 1. uzdevumā trīsstūrveida , un 2. uzdevumā - pakāpiens trīsstūrveida . Jautājums par vektoru sistēmas lineāro atkarību ir viegli atrisināms, ja matrica, kas sastāv no šo vektoru koordinātām, ir pakāpeniski trīsstūrveida. Ja matrica to nedara īpašs veids, pēc tam izmantojot elementāras stīgu transformācijas , saglabājot lineāras attiecības starp kolonnām, to var reducēt līdz pakāpju trīsstūra formai.

Elementāras stīgu transformācijas matricas (EPS) sauc par šādām matricas operācijām:

1) līniju permutācija;

2) virknes reizināšana ar skaitli, kas nav nulle;

3) pievienojot virknei citu virkni, kas reizināta ar patvaļīgu skaitli.

3. uzdevums. Atrodiet maksimālo lineāri neatkarīgo apakšsistēmu un aprēķiniet vektoru sistēmas rangu

.

Risinājums. Reducēsim sistēmas matricu ar EPS palīdzību līdz pakāpju-trijstūra formai. Lai izskaidrotu procedūru, rinda ar transformējamās matricas numuru tiks apzīmēta ar simbolu . Kolonna aiz bultiņas parāda darbības, kas jāveic ar konvertētās matricas rindām, lai iegūtu jaunās matricas rindas.

.

Acīmredzot iegūtās matricas pirmās divas kolonnas ir lineāri neatkarīgas, trešā kolonna ir to lineārā kombinācija, bet ceturtā nav atkarīga no pirmajām divām. Vektori tiek saukti par pamata. Tie veido maksimāli lineāri neatkarīgu sistēmas apakšsistēmu , un sistēmas rangs ir trīs.

Pamats, koordinātas

4. uzdevums. Atrodiet vektoru bāzi un koordinātas šajā bāzē uz ģeometrisko vektoru kopas, kuru koordinātas atbilst nosacījumam .

Risinājums. Komplekts ir plakne, kas iet caur izcelsmi. Patvaļīgs pamats plaknē sastāv no diviem nekolineāriem vektoriem. Vektoru koordinātas izvēlētajā bāzē nosaka, risinot atbilstošo lineāro vienādojumu sistēmu.

Ir vēl viens veids, kā atrisināt šo problēmu, kad jūs varat atrast pamatu pēc koordinātām.

Koordinātas telpas nav koordinātas plaknē, jo tās ir saistītas ar attiecību , tas ir, viņi nav neatkarīgi. Neatkarīgie mainīgie un (tos sauc par brīvajiem) unikāli nosaka vektoru plaknē, un tāpēc tos var izvēlēties kā koordinātas . Tad pamats sastāv no vektoriem, kas atrodas brīvo mainīgo kopām un atbilst tām Un , tas ir .

5. uzdevums. Atrodiet šajā bāzē esošo vektoru bāzi un koordinātas uz visu vektoru kopas telpā , kuru nepāra koordinātas ir vienādas viena ar otru.

Risinājums. Mēs izvēlamies, tāpat kā iepriekšējā uzdevumā, koordinātas telpā.

Jo , tad brīvie mainīgie unikāli definē vektoru no un līdz ar to ir koordinātas. Atbilstošo bāzi veido vektori .

6. uzdevums. Atrodiet šajā bāzē esošo vektoru bāzi un koordinātas uz visu formas matricu kopas , Kur ir patvaļīgi skaitļi.

Risinājums. Katru matricu no var unikāli attēlot kā:

Šī attiecība ir vektora izplešanās no bāzes izteiksmē
ar koordinātām .

7. uzdevums. Atrodiet vektoru sistēmas lineārā laiduma dimensiju un pamatu

.

Risinājums. Izmantojot EPS, mēs pārveidojam matricu no sistēmas vektoru koordinātām uz pakāpenisku trīsstūrveida formu.

.

kolonnas pēdējās matricas ir lineāri neatkarīgas, un kolonnas tiek lineāri izteikti caur tiem. Līdz ar to vektori veido pamatu , Un .

komentēt. Pamats iekšā izvēlēts neviennozīmīgi. Piemēram, vektori arī veido pamatu .

Definīcija. Lineāra vektoru kombinācija a 1 , ..., a n ar koeficientiem x 1 , ..., x n sauc par vektoru

x 1 a 1 + ... + x n a n .

triviāls, ja visi koeficienti x 1 , ..., x n ir vienādi ar nulli.

Definīcija. Tiek izsaukta lineārā kombinācija x 1 a 1 + ... + x n a n netriviāls, ja vismaz viens no koeficientiem x 1 , ..., x n nav vienāds ar nulli.

lineāri neatkarīgs, ja nav šo vektoru netriviālas kombinācijas, kas vienāda ar nulles vektoru .

Tas ir, vektori a 1 , ..., a n ir lineāri neatkarīgi, ja x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 tad un tikai tad, ja x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definīcija. Tiek izsaukti vektori a 1 , ..., a n lineāri atkarīgi, ja eksistē netriviāla šo vektoru kombinācija, kas vienāda ar nulles vektoru .

Lineāri atkarīgo vektoru īpašības:

2 un 3 dimensiju vektoriem.

Divi lineāri atkarīgi vektori ir kolineāri. (Kolineārie vektori ir lineāri atkarīgi.) .

Trīsdimensiju vektoriem.

Trīs lineāri atkarīgi vektori ir koplanāri. (Trīs koplanārie vektori ir lineāri atkarīgi.)

• N-dimensiju vektoriem.

  n + 1 vektori vienmēr ir lineāri atkarīgi.

Lineārās atkarības un vektoru lineārās neatkarības uzdevumu piemēri:

1. piemērs. Pārbaudiet, vai vektori a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) ir lineāri neatkarīgi .

Risinājums:

Vektori būs lineāri atkarīgi, jo vektoru izmērs ir mazāks par vektoru skaitu.

Piemērs 2. Pārbaudiet, vai vektori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) ir lineāri neatkarīgi.

Risinājums:

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + x3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

atņemiet otro no pirmās rindas; pievienojiet otro rindu trešajai rindai:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Šis risinājums parāda, ka sistēmai ir daudz risinājumu, tas ir, pastāv skaitļu x 1 , x 2 , x 3 vērtību kombinācija, kas nav nulles tāda, ka vektoru a , b , c lineārā kombinācija ir vienāda uz nulles vektoru, piemēram:

A + b + c = 0

tas nozīmē, ka vektori a , b , c ir lineāri atkarīgi.

Atbilde: vektori a , b , c ir lineāri atkarīgi.

Piemērs 3. Pārbaudiet, vai vektori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) ir lineāri neatkarīgi.

Risinājums: Atradīsim koeficientu vērtības, pie kurām šo vektoru lineārā kombinācija būs vienāda ar nulles vektoru.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Šo vektora vienādojumu var uzrakstīt kā lineāru vienādojumu sistēmu

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + 2x3 = 0

Mēs risinām šo sistēmu, izmantojot Gausa metodi

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

atņemiet pirmo no otrās rindas; atņemiet pirmo no trešās rindas:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

atņemiet otro no pirmās rindas; pievienojiet otro rindu trešajai rindai.

Vektoru lineārā atkarība un lineārā neatkarība.
Vektoru bāze. Afīna koordinātu sistēma

Skatītāju vidū ir rati ar šokolādes konfektēm, un šodien katrs apmeklētājs iegūs saldu pārīti - analītisko ģeometriju ar lineāro algebru. Šajā rakstā vienlaikus tiks skartas divas augstākās matemātikas sadaļas, un mēs redzēsim, kā tās sadzīvo vienā iesaiņojumā. Paņemiet pārtraukumu, ēdiet Twix! ... bļin, nu, strīdēšanās muļķības. Lai gan labi, punktus neiegūšu, galu galā vajadzētu būt pozitīvai attieksmei pret mācīšanos.

Vektoru lineārā atkarība, vektoru lineārā neatkarība, vektora bāze un citiem terminiem ir ne tikai ģeometriska interpretācija, bet, galvenais, algebriska nozīme. Pats "vektora" jēdziens no lineārās algebras viedokļa ne vienmēr ir "parastais" vektors, ko mēs varam attēlot plaknē vai telpā. Jums nav tālu jāmeklē pierādījumi, mēģiniet uzzīmēt piecdimensiju telpas vektoru . Vai laika apstākļu vektors, pēc kura tikko devos uz Gismeteo: - attiecīgi temperatūra un atmosfēras spiediens. Piemērs, protams, ir nepareizs no vektortelpas īpašību viedokļa, taču, neskatoties uz to, neviens neaizliedz formalizēt šos parametrus kā vektoru. Rudens elpa...

Nē, es netaisos jūs garlaikot ar teoriju, lineārām vektortelpām, uzdevums ir saprast definīcijas un teorēmas. Jaunie termini (lineārā atkarība, neatkarība, lineārā kombinācija, bāze utt.) ir piemērojami visiem vektoriem no algebriskā viedokļa, bet piemēri tiks sniegti ģeometriski. Tādējādi viss ir vienkāršs, pieejams un vizuāls. Papildus analītiskās ģeometrijas problēmām mēs apskatīsim arī dažus tipiskus algebras uzdevumus. Lai apgūtu materiālu, ieteicams iepazīties ar nodarbībām Manekenu vektori Un Kā aprēķināt determinantu?

Plaknes vektoru lineārā atkarība un neatkarība.
Plaknes bāze un afīnu koordinātu sistēma

Apsveriet sava datora galda plakni (tikai galds, naktsgaldiņš, grīda, griesti, kas jums patīk). Uzdevums sastāvēs no šādām darbībām:

1) Izvēlieties plaknes bāzi. Aptuveni runājot, galda virsmai ir garums un platums, tāpēc ir intuitīvi skaidrs, ka pamata izveidošanai ir nepieciešami divi vektori. Ar vienu vektoru nepārprotami nepietiek, ar trim vektoriem ir par daudz.

2) Pamatojoties uz izvēlēto pamatu iestatīt koordinātu sistēmu(koordinātu režģis), lai piešķirtu koordinātas visiem tabulas vienumiem.

Nebrīnieties, sākumā paskaidrojumi būs uz pirkstiem. Turklāt uz jūsu. Lūdzu, novietojiet kreisās rokas rādītājpirksts uz galda virsmas, lai viņš skatītos uz monitoru. Tas būs vektors. Tagad vieta labās rokas mazais pirksts uz galda malas tādā pašā veidā - tā, lai tas būtu vērsts uz monitora ekrānu. Tas būs vektors. Pasmaidi, tu izskaties lieliski! Ko var teikt par vektoriem? Datu vektori kolineārs, kas nozīmē lineāri izteikti viens ar otru:
, labi vai otrādi: , kur ir skaitlis, kas nav nulle.

Šīs darbības attēlu varat redzēt nodarbībā. Manekenu vektori, kur es izskaidroju noteikumu vektora reizināšanai ar skaitli.

Vai jūsu pirksti noliks pamatu datora galda plaknē? Acīmredzot nē. Kollineārie vektori pārvietojas uz priekšu un atpakaļ vienatnē virzienā, savukārt plaknei ir garums un platums.

Tādus vektorus sauc lineāri atkarīgi.

Atsauce: Vārdi "lineārs", "lineārs" apzīmē faktu, ka matemātiskajos vienādojumos, izteiksmēs nav kvadrātu, kubu, citu pakāpju, logaritmu, sinusu utt. Ir tikai lineāras (1. pakāpes) izteiksmes un atkarības.

Divi plaknes vektori lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja tie ir kolineāri.

Sakrustiet pirkstus uz galda tā, lai starp tiem būtu kāds leņķis, izņemot 0 vai 180 grādus. Divi plaknes vektorilineāri Nav ir atkarīgi tad un tikai tad, ja tie nav kolineāri. Tātad pamats ir saņemts. Nav jākaunas, ka pamatne izrādījās "slīpa" ar dažāda garuma neperpendikulāriem vektoriem. Pavisam drīz redzēsim, ka tā uzbūvei ir piemērots ne tikai 90 grādu leņķis, bet ne tikai vienāda garuma vienību vektori

Jebkurš plaknes vektors vienīgais ceļš paplašināts attiecībā uz bāzi:
, kur ir reālie skaitļi. Tiek saukti cipari vektora koordinātasšajā pamatā.

Viņi arī to saka vektorsuzrādīts formā lineāra kombinācija bāzes vektori. Tas ir, izteiksme tiek saukta vektoru dekompozīcijapamata vai lineāra kombinācija bāzes vektori.

Piemēram, var teikt, ka vektors ir izvērsts plaknes ortonormālajā bāzē, vai var teikt, ka tas ir attēlots kā lineāra vektoru kombinācija.

Formulēsim pamata definīcija formāli: plaknes pamats ir lineāri neatkarīgu (nekolineāru) vektoru pāris, , kurā jebkura plaknes vektors ir lineāra bāzes vektoru kombinācija.

Definīcijas būtiskākais punkts ir fakts, ka tiek ņemti vektori noteiktā secībā. bāzes Tās ir divas pilnīgi atšķirīgas bāzes! Kā saka, kreisās rokas mazo pirkstiņu nevar pārvietot uz labās rokas mazā pirksta vietu.

Mēs izdomājām pamatu, taču ar to nepietiek, lai iestatītu koordinātu režģi un piešķirtu koordinātas katram datora galda vienumam. Kāpēc nepietiek? Vektori ir brīvi un klīst pa visu plakni. Tātad, kā piešķirt koordinātas tiem mazajiem netīrajiem galda punktiem, kas palikuši pāri pēc mežonīgās nedēļas nogales? Ir nepieciešams sākuma punkts. Un šāds atskaites punkts ir visiem pazīstams punkts – koordinātu izcelsme. Izpratne par koordinātu sistēmu:

Sākšu ar "skolas" sistēmu. Jau ievadstundā Manekenu vektori Es uzsvēru dažas atšķirības starp taisnstūra koordinātu sistēmu un ortonormālo bāzi. Šeit ir standarta attēls:

Runājot par taisnstūra koordinātu sistēma, tad visbiežāk tie nozīmē izcelsmi, koordinātu asis un mērogu gar asīm. Mēģiniet meklētājā ierakstīt “taisnstūra koordinātu sistēma”, un jūs redzēsiet, ka daudzi avoti jums pastāstīs par koordinātu asīm, kas pazīstamas no 5.-6.klases, un kā attēlot punktus plaknē.

No otras puses, šķiet, ka taisnstūra sistēma koordinātas var noteikt ortonormālās bāzes izteiksmē. Un tas gandrīz ir. Formulējums ir šāds:

izcelsmi, Un ortonormāls bāzes komplekts Plaknes Dekarta koordinātu sistēma . Tas ir, taisnstūra koordinātu sistēma noteikti ir definēts ar vienu punktu un diviem ortogonāliem vektoriem. Tāpēc jūs redzat zīmējumu, ko es sniedzu iepriekš - ģeometriskos uzdevumos bieži (bet tālu ne vienmēr) tiek zīmēti gan vektori, gan koordinātu asis.

Domāju, ka visi to saprot ar punkta (izcelsmes) un ortonormālā pamata palīdzību JEBKURS lidmašīnas PUNKTS un JEBKURS lidmašīnas VEKTORS var piešķirt koordinātas. Tēlaini izsakoties, "visu lidmašīnā var numurēt".

Vai koordinātu vektoriem ir jābūt vienībām? Nē, tiem var būt patvaļīgs garums, kas atšķiras no nulles. Apsveriet punktu un divus ortogonālus vektorus ar patvaļīgu garumu, kas nav nulle:

Tādu pamatu sauc ortogonāls. Koordinātu sākumpunkts ar vektoriem nosaka koordinātu režģi, un jebkuram plaknes punktam, jebkuram vektoram ir savas koordinātes dotajā bāzē. Piemēram, vai. Acīmredzamā neērtība ir tā, ka koordinātu vektori vispār ir dažādi garumi, izņemot vienotību. Ja garumi ir vienādi ar vienu, tad iegūst parasto ortonormālo bāzi.

! Piezīme : ortogonālajā bāzē, kā arī zemāk plaknes un telpas afīnās pamatnēs tiek ņemtas vērā vienības gar asīm NOSACĪJUMI. Piemēram, viena vienība uz abscisas satur 4 cm, viena vienība uz ordinātas satur 2 cm. Ar šo informāciju pietiek, lai nepieciešamības gadījumā “nestandarta” koordinātas pārvērstu par “mūsu parastajiem centimetriem”.

Un otrs jautājums, uz kuru faktiski jau ir atbildēts - vai leņķis starp bāzes vektoriem noteikti ir vienāds ar 90 grādiem? Nē! Kā teikts definīcijā, bāzes vektoriem jābūt tikai nekolineārs. Attiecīgi leņķis var būt jebkas, izņemot 0 un 180 grādus.

Punkts lidmašīnā sauca izcelsmi, Un nekolineārs vektori, , komplekts plaknes afīna koordinātu sistēma :

Dažreiz šo koordinātu sistēmu sauc slīpi sistēma. Punkti un vektori ir parādīti kā piemēri zīmējumā:

Kā jūs saprotat, afīna koordinātu sistēma ir vēl mazāk ērta, tajā nedarbojas vektoru un segmentu garumu formulas, kuras mēs aplūkojām nodarbības otrajā daļā. Manekenu vektori, daudzas gardas formulas, kas saistītas ar vektoru skalārais reizinājums. Bet ir spēkā noteikumi par vektoru pievienošanu un vektora reizināšanu ar skaitli, formulas segmenta dalīšanai šajā ziņā, kā arī daži citi problēmu veidi, kurus mēs drīz apsvērsim.

Un secinājums ir tāds, ka visērtākais konkrētais afīnas koordinātu sistēmas gadījums ir Dekarta taisnstūrveida sistēma. Tāpēc viņa, savējā, visbiežāk ir jāredz. ... Tomēr viss šajā dzīvē ir relatīvs - ir daudz situāciju, kurās ir piemērots slīps (vai kāds cits, piemēram, polārais) koordinātu sistēma. Jā, un humanoīdiem šādas sistēmas var patikt =)

Pārejam uz praktisko daļu. Visas šīs nodarbības problēmas ir derīgas gan taisnstūra koordinātu sistēmai, gan vispārējam afīnam. Šeit nav nekā sarežģīta, viss materiāls ir pieejams pat skolēnam.

Kā noteikt plaknes vektoru kolinearitāti?

Tipiska lieta. Lai divi plaknes vektori ir kolineāras, ir nepieciešams un pietiekami, lai to attiecīgās koordinātas būtu proporcionālas.Būtībā šī ir acīmredzamo attiecību precizēšana pa koordinātēm.

1. piemērs

a) Pārbaudiet, vai vektori ir kolineāri .
b) Vai vektori veido pamatu? ?

Risinājums:
a) Noskaidrojiet, vai pastāv vektori proporcionalitātes koeficients, lai izpildītu vienādības:

Noteikti pastāstīšu par šī noteikuma piemērošanas “foppish” versiju, kas praksē darbojas diezgan labi. Ideja ir nekavējoties sastādīt proporciju un pārbaudīt, vai tā ir pareiza:

Izveidosim proporciju no vektoru atbilstošo koordinātu attiecībām:

Mēs saīsinām:
, tādējādi atbilstošās koordinātas ir proporcionālas, tāpēc

Attiecību var izveidot un otrādi, šī ir līdzvērtīga iespēja:

Pašpārbaudei var izmantot faktu, ka kolineārie vektori tiek lineāri izteikti viens caur otru. Šajā gadījumā pastāv vienlīdzība . To derīgumu var viegli pārbaudīt, veicot elementāras darbības ar vektoriem:

b) Divi plaknes vektori veido pamatu, ja tie nav kolineāri (lineāri neatkarīgi). Mēs pārbaudām vektoru kolinearitāti . Izveidosim sistēmu:

No pirmā vienādojuma izriet, ka , no otrā vienādojuma izriet, ka , kas nozīmē, sistēma ir nekonsekventa(nav risinājumu). Tādējādi atbilstošās vektoru koordinātas nav proporcionālas.

Secinājums: vektori ir lineāri neatkarīgi un veido pamatu.

Vienkāršota risinājuma versija izskatās šādi:

Sastādiet proporciju no atbilstošajām vektoru koordinātām :
, līdz ar to šie vektori ir lineāri neatkarīgi un veido pamatu.

Parasti recenzenti nenoraida šo iespēju, taču problēma rodas gadījumos, kad dažas koordinātas ir vienādas ar nulli. Kā šis: . Vai arī šādi: . Vai arī šādi: . Kā šeit izmantot proporciju? (Tiešām, jūs nevarat dalīt ar nulli). Tieši šī iemesla dēļ es nosaucu vienkāršoto risinājumu "foppish".

Atbilde: a) , b) forma.

Neliels radošs piemērs priekš neatkarīgs risinājums:

2. piemērs

Pie kādas parametru vektoru vērtības būs kolineārs?

Parauga risinājumā parametrs tiek atrasts caur proporciju.

Ir elegants algebrisks veids, kā pārbaudīt vektoru kolinearitāti. Sistematizēsim savas zināšanas un vienkārši pievienosim tās kā piekto punktu:

Diviem plaknes vektoriem šādi apgalvojumi ir līdzvērtīgi:

2) vektori veido pamatu;
3) vektori nav kolineāri;

+ 5) determinants, kas sastāv no šo vektoru koordinātām, nav nulle.

Respektīvi, šādi pretēji apgalvojumi ir līdzvērtīgi:
1) vektori ir lineāri atkarīgi;
2) vektori neveido bāzi;
3) vektori ir kolineāri;
4) vektori var būt lineāri izteikti viens caur otru;
+ 5) determinants, kas sastāv no šo vektoru koordinātām, ir vienāds ar nulli.

Es ļoti, ļoti ceru, ka šobrīd jūs jau saprotat visus terminus un apgalvojumus, ar kuriem ir nācies saskarties.

Apskatīsim tuvāk jauno, piekto punktu: divi plaknes vektori ir kolineāri tad un tikai tad, ja determinants, kas sastāv no doto vektoru koordinātām, ir vienāds ar nulli:. Lai izmantotu šo funkciju, protams, jums tas ir jāprot atrast noteicošos faktorus.

Mēs izlemsim 1. piemērs otrajā veidā:

a) Aprēķināt determinantu, kas sastāv no vektoru koordinātām :
, tāpēc šie vektori ir kolineāri.

b) Divi plaknes vektori veido pamatu, ja tie nav kolineāri (lineāri neatkarīgi). Aprēķināsim determinantu, kas sastāv no vektoru koordinātām :
, tāpēc vektori ir lineāri neatkarīgi un veido pamatu.

Atbilde: a) , b) forma.

Tas izskatās daudz kompaktāks un glītāks nekā risinājums ar proporcijām.

Ar aplūkotā materiāla palīdzību iespējams konstatēt ne tikai vektoru kolinearitāti, bet arī pierādīt nogriežņu, taisnu līniju paralēlismu. Apsveriet dažas problēmas ar konkrētām ģeometriskām formām.

3. piemērs

Dotas četrstūra virsotnes. Pierādīt, ka četrstūris ir paralelograms.

Pierādījums: Problēmā nav jāveido zīmējums, jo risinājums būs tīri analītisks. Atcerieties paralelograma definīciju:
Paralelogramma Tiek saukts četrstūris, kura pretējās malas ir pa pāriem paralēlas.

Tādējādi ir jāpierāda:
1) pretējo malu paralēlisms un;
2) pretējo malu paralēlisms un .

Mēs pierādam:

1) Atrodiet vektorus:

2) Atrodiet vektorus:

Rezultāts ir viens un tas pats vektors (“saskaņā ar skolu” - vienādi vektori). Kolinearitāte ir diezgan acīmredzama, bet labāk ir pieņemt lēmumu pareizi, ar izkārtojumu. Aprēķiniet determinantu, kas sastāv no vektoru koordinātām:
, tāpēc šie vektori ir kolineāri un .

Secinājums: pretējās pusesčetrstūri ir pa pāriem paralēli, tāpēc pēc definīcijas tas ir paralelograms. Q.E.D.

Vairāk labu un dažādu figūru:

4. piemērs

Dotas četrstūra virsotnes. Pierādīt, ka četrstūris ir trapece.

Stingrākai pierādījuma formulēšanai, protams, labāk ir iegūt trapeces definīciju, taču pietiek tikai atcerēties, kā tas izskatās.

Tas ir patstāvīga lēmuma uzdevums. Pilnīgs risinājums nodarbības beigās.

Un tagad ir pienācis laiks lēnām pāriet no lidmašīnas kosmosā:

Kā noteikt telpas vektoru kolinearitāti?

Noteikums ir ļoti līdzīgs. Lai divi telpas vektori būtu kolineāri, ir nepieciešams un pietiekami, lai to atbilstošās koordinātas būtu proporcionālas.

5. piemērs

Uzziniet, vai šādi telpas vektori ir kolineāri:

A) ;
b)
V)

Risinājums:
a) Pārbaudiet, vai attiecīgajām vektoru koordinātām ir proporcionalitātes koeficients:

Sistēmai nav risinājuma, kas nozīmē, ka vektori nav kolineāri.

"Vienkāršots" tiek sastādīts, pārbaudot proporciju. Šajā gadījumā:
– atbilstošās koordinātas nav proporcionālas, kas nozīmē, ka vektori nav kolineāri.

Atbilde: vektori nav kolineāri.

b-c) Tie ir punkti neatkarīgam lēmumam. Izmēģiniet to divos veidos.

Ir metode telpisko vektoru kolinearitātes pārbaudei un ar trešās kārtas determinanta palīdzību, šī metode ir apskatīta rakstā Vektoru krustreizinājums.

Līdzīgi kā plaknes gadījumā aplūkotos rīkus var izmantot telpisko segmentu un līniju paralēlisma izpētei.

Laipni lūdzam otrajā sadaļā:

Trīsdimensiju telpas vektoru lineārā atkarība un neatkarība.
Telpiskā bāze un afīnu koordinātu sistēma

Daudzas likumsakarības, ko esam apsvēruši lidmašīnā, derēs arī kosmosam. Es mēģināju samazināt teorijas kopsavilkumu, jo lauvas tiesa jau ir sakošļāta. Tomēr iesaku rūpīgi izlasīt ievaddaļu, jo parādīsies jauni termini un jēdzieni.

Tagad datora galda plaknes vietā apskatīsim trīsdimensiju telpu. Pirmkārt, izveidosim tā pamatu. Kāds tagad atrodas telpās, kāds ir ārā, bet jebkurā gadījumā mēs nevaram atrauties no trim dimensijām: platuma, garuma un augstuma. Tāpēc, lai izveidotu bāzi, ir nepieciešami trīs telpiskie vektori. Ar vienu vai diviem vektoriem nepietiek, ceturtais ir lieks.

Un atkal iesildāmies uz pirkstiem. Lūdzu, paceliet roku uz augšu un izklājiet dažādos virzienos īkšķi, rādītājpirkstu un vidējo pirkstu. Tie būs vektori, tie izskatās dažādos virzienos, ir dažāda garuma un tiem ir dažādi leņķi savā starpā. Apsveicam, trīsdimensiju telpas pamats ir gatavs! Starp citu, jums tas nav jādemonstrē skolotājiem, lai kā jūs grozītu pirkstus, bet jūs nevarat atrauties no definīcijām =)

Tālāk mēs uzdodam svarīgu jautājumu, vai kādi trīs vektori veido trīsdimensiju telpas pamatu? Stingri nospiediet trīs pirkstus uz datora galda virsmas. Kas notika? Trīs vektori atrodas vienā plaknē, un, rupji sakot, mēs esam zaudējuši vienu no mērījumiem - augstumu. Šādi vektori ir koplanārs un pilnīgi skaidrs, ka trīsdimensiju telpas pamats nav radīts.

Jāpiebilst, ka kopplanāriem vektoriem nav jāatrodas vienā plaknē, tie var atrasties paralēlās plaknēs (tikai nedariet to ar pirkstiem, tikai Salvadors Dalī tā atkāpās =)).

Definīcija: tiek saukti vektori koplanārs ja eksistē plakne, kurai tie ir paralēli. Šeit ir loģiski piebilst, ka, ja šādas plaknes nav, tad vektori nebūs koplanāri.

Trīs koplanāri vektori vienmēr ir lineāri atkarīgi, tas ir, tie ir lineāri izteikti viens caur otru. Vienkāršības labad atkal iedomājieties, ka tie atrodas vienā plaknē. Pirmkārt, vektori ir ne tikai koplanāri, bet var būt arī kolineāri, tad jebkuru vektoru var izteikt caur jebkuru vektoru. Otrajā gadījumā, ja, piemēram, vektori nav kolineāri, tad trešais vektors caur tiem tiek izteikts unikālā veidā: (un kāpēc to ir viegli uzminēt no iepriekšējās sadaļas materiāliem).

Arī otrādi ir taisnība: trīs nekopplanāri vektori vienmēr ir lineāri neatkarīgi, tas ir, tie nekādā veidā netiek izteikti viens ar otru. Un, protams, tikai šādi vektori var veidot trīsdimensiju telpas pamatu.

Definīcija: Trīsdimensiju telpas pamats sauc par lineāri neatkarīgu (ne-kopplanāru) vektoru trīskāršu, pieņemts noteiktā secībā, savukārt jebkurš telpas vektors vienīgais ceļš izplešas dotajā bāzē , kur ir vektora koordinātes dotajā bāzē

Atgādinājumam, jūs varat arī teikt, ka vektors tiek attēlots kā lineāra kombinācija bāzes vektori.

Koordinātu sistēmas jēdziens tiek ieviests tieši tādā pašā veidā kā plaknes gadījumā, pietiek ar vienu punktu un jebkuriem trim lineāri neatkarīgiem vektoriem:

izcelsmi, Un ne-kopplanārs vektori, pieņemts noteiktā secībā, komplekts trīsdimensiju telpas afīna koordinātu sistēma :

noteikti, režģis"slīpa" un neērta, bet tomēr izveidotā koordinātu sistēma ļauj mums noteikti noteikt jebkura vektora koordinātas un jebkura telpas punkta koordinātas. Līdzīgi kā plaknē, telpas afīnās koordinātu sistēmā dažas formulas, kuras jau minēju, nedarbosies.

Vispazīstamākais un ērtākais afīnās koordinātu sistēmas īpašais gadījums, kā ikviens var uzminēt, ir taisnstūra telpas koordinātu sistēma:

punkts telpā sauc izcelsmi, Un ortonormāls bāzes komplekts Telpas Dekarta koordinātu sistēma . pazīstama bilde:

Pirms ķerties pie praktiskiem uzdevumiem, mēs vēlreiz sistematizējam informāciju:

Trīs telpas vektoriem šādi apgalvojumi ir līdzvērtīgi:
1) vektori ir lineāri neatkarīgi;
2) vektori veido pamatu;
3) vektori nav koplanāri;
4) vektorus nevar lineāri izteikt viens caur otru;
5) determinants, kas sastāv no šo vektoru koordinātām, atšķiras no nulles.

Pretēji apgalvojumi, manuprāt, ir saprotami.

Telpas vektoru lineāro atkarību/neatkarību tradicionāli pārbauda, ​​izmantojot determinantu (5. punkts). Atlikušie praktiskie uzdevumi būs izteikti algebriska rakstura. Ir pienācis laiks piekārt ģeometrisku nūju uz naglas un vadīt lineāro algebras beisbola nūju:

Trīs telpas vektori ir koplanāri tad un tikai tad, ja determinants, kas sastāv no doto vektoru koordinātām, ir vienāds ar nulli: .

Es vēršu jūsu uzmanību uz nelielu tehnisku niansi: vektoru koordinātas var rakstīt ne tikai kolonnās, bet arī rindās (determinanta vērtība no tā nemainīsies - skatiet determinantu īpašības). Bet tas ir daudz labāk kolonnās, jo tas ir izdevīgāk dažu praktisku problēmu risināšanai.

Tiem lasītājiem, kuri ir nedaudz aizmirsuši determinantu aprēķināšanas metodes vai varbūt viņi vispār ir slikti orientēti, iesaku vienu no savām vecākajām nodarbībām: Kā aprēķināt determinantu?

6. piemērs

Pārbaudiet, vai trīsdimensiju telpas pamatā ir šādi vektori:

Risinājums: Patiesībā viss risinājums ir determinanta aprēķināšana.

a) Aprēķiniet determinantu, kas sastāv no vektoru koordinātām (determinants ir izvērsts pirmajā rindā):

, kas nozīmē, ka vektori ir lineāri neatkarīgi (nav koplanāri) un veido trīsdimensiju telpas pamatu.

Atbilde: šie vektori veido pamatu

b) Šis ir neatkarīga lēmuma punkts. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Ir arī radoši uzdevumi:

7. piemērs

Pie kādas parametra vērtības vektori būs koplanāri?

Risinājums: Vektori ir koplanāri tad un tikai tad, ja determinants, kas sastāv no doto vektoru koordinātām, ir vienāds ar nulli:

Būtībā ir jāatrisina vienādojums ar determinantu. Mēs lidojam uz nullēm kā pūķi jerboos - visizdevīgāk ir atvērt noteicēju otrajā rindā un nekavējoties atbrīvoties no mīnusiem:

Mēs veicam turpmākus vienkāršojumus un samazinām jautājumu līdz vienkāršākajam lineārais vienādojums:

Atbilde: plkst

Šeit to ir viegli pārbaudīt, lai to izdarītu, iegūtā vērtība ir jāaizstāj ar sākotnējo noteicēju un jāpārliecinās, ka atkārtoti atverot to.

Noslēgumā aplūkosim vēl vienu tipisku problēmu, kurai ir vairāk algebrisks raksturs un kas tradicionāli tiek iekļauta lineārās algebras gaitā. Tas ir tik izplatīts, ka ir pelnījis atsevišķu tēmu:

Pierādīt, ka 3 vektori veido trīsdimensiju telpas pamatu
un atrodiet dotajā bāzē 4. vektora koordinātas

8. piemērs

Ir doti vektori. Parādiet, ka vektori veido trīsdimensiju telpas pamatu, un atrodiet vektora koordinātas šajā bāzē.

Risinājums: Vispirms apskatīsim nosacījumu. Pēc nosacījuma ir doti četri vektori, un, kā redzat, tiem jau ir zināmas koordinātas. Kāds ir pamats – mūs neinteresē. Un interesants ir sekojošais: trīs vektori var izveidot jaunu pamatu. Un pirmais solis ir pilnīgi tāds pats kā 6. piemēra risinājums, ir jāpārbauda, ​​vai vektori patiešām ir lineāri neatkarīgi:

Aprēķiniet determinantu, kas sastāv no vektoru koordinātām:

, tāpēc vektori ir lineāri neatkarīgi un veido trīsdimensiju telpas pamatu.

! Svarīgs : vektora koordinātas Obligāti pierakstīt kolonnās determinants, nevis stīgas. Pretējā gadījumā turpmākajā risinājuma algoritmā radīsies neskaidrības.

Šajā rakstā mēs apskatīsim:

• kas ir kolineārie vektori;
• kādi ir nosacījumi kolineārajiem vektoriem;
• kādas ir kolineāro vektoru īpašības;
• kāda ir kolineāro vektoru lineārā atkarība.

1. definīcija

Kolineārie vektori ir vektori, kas ir paralēli vienai un tai pašai taisnei vai atrodas uz vienas taisnes.

1. piemērs

Nosacījumi kolineārajiem vektoriem

Divi vektori ir kolineāri, ja ir spēkā kāds no šiem nosacījumiem:

• nosacījums 1 . Vektori a un b ir kolineāri, ja ir tāds skaitlis λ, ka a = λ b ;
• 2. nosacījums . Vektori a un b ir kolineāri pie vienlīdzīga attieksme koordinātas:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• 3. nosacījums . Vektori a un b ir kolineāri vienādības apstākļos vektora produkts un nulles vektors:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

1. piezīme

2. nosacījums nav piemērojams, ja viena no vektora koordinātām ir nulle.

2. piezīme

3. nosacījums attiecas tikai uz tiem vektoriem, kas ir doti telpā.

Problēmu piemēri vektoru kolinearitātes izpētei

1. piemērs

Mēs pārbaudām vektoru a \u003d (1; 3) un b \u003d (2; 1) kolinearitāti.

Kā izlemt?

Šajā gadījumā ir nepieciešams izmantot 2. kolinearitātes nosacījumu. Dotiem vektoriem tas izskatās šādi:

Vienlīdzība ir nepareiza. No tā mēs varam secināt, ka vektori a un b nav kolineāri.

Atbilde : a | | b

2. piemērs

Kāda vektora a = (1 ; 2) un b = (- 1 ; m) vērtība m ir nepieciešama, lai vektori būtu kolineāri?

Kā izlemt?

Izmantojot otro kolineāro nosacījumu, vektori būs kolineāri, ja to koordinātas ir proporcionālas:

Tas parāda, ka m = -2.

Atbilde: m = -2.

Vektoru sistēmu lineārās atkarības un lineārās neatkarības kritēriji

Teorēma

Vektoru sistēma vektoru telpā ir lineāri atkarīga tikai tad, ja vienu no sistēmas vektoriem var izteikt ar pārējiem sistēmas vektoriem.

Pierādījums

Ļaujiet sistēmai e 1 , e 2 , . . . , e n ir lineāri atkarīgs. Pierakstīsim šīs sistēmas lineāro kombināciju, kas vienāda ar nulles vektoru:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

kurā vismaz viens no kombinācijas koeficientiem nav vienāds ar nulli.

Ļaujiet a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Mēs sadalām abas vienādības puses ar koeficientu, kas nav nulle:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Apzīmē:

A k - 1 a m , kur m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Šajā gadījumā:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

vai e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

No tā izriet, ka viens no sistēmas vektoriem ir izteikts visu pārējo sistēmas vektoru izteiksmē. Kas ir tas, kas bija jāpierāda (p.t.d.).

Atbilstība

Lai viens no vektoriem ir lineāri izteikts visu pārējo sistēmas vektoru izteiksmē:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Mēs pārnesam vektoru e k uz šīs vienādības labo pusi:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Tā kā vektora e k koeficients ir vienāds ar -1 ≠ 0, mēs iegūstam netriviālu nulles attēlojumu ar vektoru sistēmu e 1 , e 2 , . . . , e n , un tas savukārt nozīmē, ka dotā vektoru sistēma ir lineāri atkarīga. Kas ir tas, kas bija jāpierāda (p.t.d.).

Sekas:

• Vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, ja nevienu no tās vektoriem nevar izteikt ar visiem citiem sistēmas vektoriem.
• Vektoru sistēma, kas satur nulles vektoru vai divus vienāds vektors, ir lineāri atkarīgs.

Lineāri atkarīgo vektoru īpašības

1. 2- un 3-dimensiju vektoriem nosacījums ir izpildīts: divi lineāri atkarīgi vektori ir kolineāri. Divi kolineārie vektori ir lineāri atkarīgi.
2. Trīsdimensiju vektoriem nosacījums ir izpildīts: trīs lineāri atkarīgi vektori ir koplanāri. (3 koplanāri vektori - lineāri atkarīgi).
3. N-dimensiju vektoriem nosacījums ir izpildīts: n + 1 vektori vienmēr ir lineāri atkarīgi.

Vektoru lineārās atkarības vai lineārās neatkarības uzdevumu risināšanas piemēri

3. piemērs

Pārbaudīsim vektoru a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 lineāro neatkarību.

Risinājums. Vektori ir lineāri atkarīgi, jo vektoru izmērs ir mazāks par vektoru skaitu.

4. piemērs

Pārbaudīsim vektoru a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 lineāro neatkarību.

Risinājums. Mēs atrodam koeficientu vērtības, pie kurām lineārā kombinācija būs vienāda ar nulles vektoru:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Mēs rakstām vektora vienādojumu lineāra formā:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Mēs atrisinām šo sistēmu, izmantojot Gausa metodi:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

No 2. rindas atņemam 1., no 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Atņemiet 2. no 1. rindas, pievienojiet 2. 3.:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

No risinājuma izriet, ka sistēmai ir daudz risinājumu. Tas nozīmē, ka pastāv tādu skaitļu x 1 , x 2 , x 3 vērtību kombinācija, kas nav vienāda ar nulli, kurām lineārā kombinācija a , b , c ir vienāda ar nulles vektoru. Tādējādi vektori a , b , c ir lineāri atkarīgi. ​​​​​​​

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Mēs ieviesām lineāras operācijas ar vektoriemļauj izveidot dažādas izteiksmes vektoru lielumi un pārveidot tos, izmantojot šīm darbībām iestatītos rekvizītus.

Pamatojoties uz doto vektoru kopu a 1 , ... un n , varat izveidot formas izteiksmi

kur a 1 , ... un n ir patvaļīgi reāli skaitļi. Šo izteiksmi sauc vektoru lineāra kombinācija a 1 , ..., a n . Skaitļi α i , i = 1, n , ir lineārās kombinācijas koeficienti. Tiek saukta arī vektoru kopa vektoru sistēma.

Saistībā ar ieviesto vektoru lineārās kombinācijas jēdzienu rodas problēma, aprakstot vektoru kopu, ko var uzrakstīt kā lineāru kombināciju no dotās vektoru sistēmas a 1 , ..., a n . Turklāt jautājumi par apstākļiem, kādos pastāv vektora attēlojums lineāras kombinācijas formā, un par šāda attēlojuma unikalitāti, ir dabiski.

Definīcija 2.1. Tiek izsaukti vektori a 1 , ... un n lineāri atkarīgi, ja ir tāda koeficientu kopa α 1 , ... , α n , ka

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2.)

un vismaz viens no šiem koeficientiem nav nulle. Ja norādītā koeficientu kopa nepastāv, tad tiek izsaukti vektori lineāri neatkarīgs.

Ja α 1 = ... = α n = 0, tad acīmredzot α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Paturot to prātā, mēs varam teikt tā: vektori a 1 , ... un n ir lineāri neatkarīgi, ja no vienādības (2.2) izriet, ka visi koeficienti α 1 , ... , α n ir vienādi ar nulli.

Sekojošā teorēma izskaidro, kāpēc jauno jēdzienu sauc par terminu "atkarība" (vai "neatkarība"), un dots vienkāršs lineāras atkarības kritērijs.

Teorēma 2.1. Lai vektori a 1 , ... un n , n > 1 būtu lineāri atkarīgi, ir nepieciešams un pietiekami, ka viens no tiem ir pārējo lineāra kombinācija.

◄ Nepieciešamība. Pieņemsim, ka vektori a 1 , ... un n ir lineāri atkarīgi. Saskaņā ar lineārās atkarības definīciju 2.1. vienādībā (2.2) kreisajā pusē ir vismaz viens koeficients, kas nav nulle, piemēram, α 1 . Pirmo termiņu atstājot vienādības kreisajā pusē, pārējos pārvietojam uz labo pusi, mainot to zīmes kā parasti. Sadalot iegūto vienādību ar α 1 , iegūstam

a 1 =-α 2 / α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

tie. vektora a 1 attēlojums kā atlikušo vektoru a 2 , ... un n lineāra kombinācija.

Atbilstība. Pieņemsim, piemēram, pirmo vektoru a 1 var attēlot kā atlikušo vektoru lineāru kombināciju: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Pārnesot visus terminus no labās puses uz kreiso, iegūstam 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, t.i. vektoru a 1 , ... un n lineāra kombinācija ar koeficientiem α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , vienāda ar nulles vektors.Šajā lineārajā kombinācijā ne visi koeficienti ir vienādi ar nulli. Saskaņā ar 2.1. definīciju vektori a 1 , ... un n ir lineāri atkarīgi.

Lineārās atkarības definīcija un kritērijs ir formulēti tā, lai tie nozīmētu divu vai vairāku vektoru klātbūtni. Tomēr var runāt arī par viena vektora lineāro atkarību. Lai realizētu šo iespēju, "vektori ir lineāri atkarīgi" vietā jāsaka "vektoru sistēma ir lineāri atkarīga". Ir viegli saprast, ka izteiciens "viena vektora sistēma ir lineāri atkarīga" nozīmē, ka šis viens vektors ir nulle (lineārā kombinācijā ir tikai viens koeficients, un tas nedrīkst būt vienāds ar nulli).

Lineārās atkarības jēdzienam ir vienkārša ģeometriskā interpretācija. Šo interpretāciju precizē šādi trīs apgalvojumi.

Teorēma 2.2. Divi vektori ir lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja tie ir kolineārs.

◄ Ja vektori a un b ir lineāri atkarīgi, tad viens no tiem, piemēram, a, tiek izteikts caur otru, t.i. a = λb kādam reālam skaitlim λ. Saskaņā ar definīciju 1.7 darbojas vektori pēc skaitļa, vektori a un b ir kolineāri.

Tagad ļaujiet vektoriem a un b būt kolineāri. Ja tie abi ir nulle, tad ir acīmredzams, ka tie ir lineāri atkarīgi, jo jebkura to lineāra kombinācija ir vienāda ar nulles vektoru. Lai viens no šiem vektoriem nebūtu vienāds ar 0, piemēram, vektors b. Ar λ apzīmē vektoru garumu attiecību: λ = |а|/|b|. Kollineārie vektori var būt vienvirziena vai pretējos virzienos. Pēdējā gadījumā mēs mainām λ zīmi. Tad, pārbaudot 1.7. definīciju, redzam, ka a = λb. Saskaņā ar 2.1. teorēmu vektori a un b ir lineāri atkarīgi.

Piezīme 2.1. Divu vektoru gadījumā, ņemot vērā lineārās atkarības kritēriju, pierādīto teorēmu var pārformulēt šādi: divi vektori ir kolineāri tad un tikai tad, ja viens no tiem ir attēlots kā otra reizinājums ar skaitli. Tas ir ērts divu vektoru kolinearitātes kritērijs.

Teorēma 2.3. Trīs vektori ir lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja tie ir koplanārs.

◄ Ja trīs vektori a, b, c ir lineāri atkarīgi, tad saskaņā ar 2.1. teorēmu viens no tiem, piemēram, a, ir pārējo lineāra kombinācija: a = βb + γс. Apvienosim vektoru b un c sākumpunktus punktā A. Tad vektoriem βb, γc būs kopīgs sākums punktā A un paralelograms nosaka to summu, tie. vektors a, būs vektors ar sākumu A un beigas, kas ir uz summēšanas vektoriem veidota paralelograma virsotne. Tādējādi visi vektori atrodas vienā plaknē, tas ir, tie ir vienā plaknē.

Pieņemsim, ka vektori a, b, c ir koplanāri. Ja viens no šiem vektoriem ir nulle, tad ir skaidrs, ka tā būs pārējo lineāra kombinācija. Pietiek, ja visi lineārās kombinācijas koeficienti ir vienādi ar nulli. Tāpēc mēs varam pieņemt, ka visi trīs vektori nav nulle. Saderīgs sāktšie vektori iekšā kopīgs punkts O. Lai to gali būtu attiecīgi punkti A, B, C (2.1. att.). Novelciet taisnes caur punktu C paralēli līnijām, kas iet caur punktu pāriem O, A un O, B. Apzīmējot krustošanās punktus kā A" un B", iegūstam paralelogramu OA"CB", tāpēc OC" = OA" + OB " . Vektors OA" un nulles vektors a= OA ir kolineāri, un tāpēc pirmo no tiem var iegūt, reizinot otro ar reālu skaitli α:OA" = αOA. Tāpat OB" = βOB , β ∈ R. Rezultātā iegūstam, ka OC" = α OA + βOB , t.i., vektors c ir vektoru a un b lineāra kombinācija. Saskaņā ar 2.1. teorēmu vektori a, b, c ir lineāri atkarīgi.

Teorēma 2.4. Jebkuri četri vektori ir lineāri atkarīgi.

◄ Pierādījums notiek pēc tās pašas shēmas kā teorēmā 2.3. Apsveriet patvaļīgus četrus vektorus a, b, c un d. Ja viens no četriem vektoriem ir nulle vai starp tiem ir divi kolineāri vektori, vai trīs no četriem vektoriem ir koplanāri, tad šie četri vektori ir lineāri atkarīgi. Piemēram, ja vektori a un b ir kolineāri, tad mēs varam izveidot to lineāro kombināciju αa + βb = 0 ar koeficientiem, kas nav nulle, un pēc tam pievienot šai kombinācijai atlikušos divus vektorus, par koeficientiem ņemot nulles. Mēs iegūstam četru vektoru lineāru kombināciju, kas vienāda ar 0, kurā ir koeficienti, kas nav nulle.

Tādējādi mēs varam pieņemt, ka starp izvēlētajiem četriem vektoriem nav nulles, neviens nav kolineārs un neviens nav trīs kopplanārs. Par to kopīgo sākumu izvēlamies punktu O. Tad vektoru a, b, c, d gali būs daži punkti A, B, C, D (2.2. att.). Caur punktu D novelkam trīs plaknes, kas ir paralēlas plaknēm ОВС, OCA, OAB, un šo plakņu krustpunktiem attiecīgi ar taisnēm OA, OB, OS ir A", B", С. Iegūstam paralēlskaldni. OA"C"B"C" B"DA", un vektori a, b, c atrodas uz tā malām, kas iziet no virsotnes O. Tā kā četrstūris OC"DC" ir paralelograms, tad OD = OC" + OC " . Savukārt segments OS" ir diagonāls paralelograms OA"C"B", tātad OC" = OA" + OB" , un OD = OA" + OB" + OC" .

Atliek atzīmēt, ka vektoru pāri OA ≠ 0 un OA" , OB ≠ 0 un OB" , OC ≠ 0 un OC" ir kolineāri, un tāpēc varam izvēlēties koeficientus α, β, γ tā, lai OA" = αOA , OB" = βOB un OC" = γOC . Visbeidzot, mēs iegūstam OD = αOA + βOB + γOC . Līdz ar to vektors OD ir izteikts pārējo trīs vektoru izteiksmē, un visi četri vektori saskaņā ar 2.1. teorēmu ir lineāri atkarīgi.