ir paralelograms, kurā visi leņķi ir 90° un pretējās malas ir pa pāriem paralēlas un vienādas.

Taisnstūrim ir vairākas neapgāžamas īpašības, kuras tiek izmantotas daudzu problēmu risināšanā taisnstūra laukuma un tā perimetra formulās. Šeit tie ir:

Taisnstūra nezināmās malas vai diagonāles garumu aprēķina ar Pitagora teorēmu vai pēc tās. Taisnstūra laukumu var atrast divos veidos - pēc tā malu reizinājuma vai pēc formulas taisnstūra laukumam caur diagonāli. Pirmā un lielākā daļa vienkārša formula izskatās šādi:

Taisnstūra laukuma aprēķināšanas piemērs, izmantojot šo formulu, ir ļoti vienkāršs. Zinot abas malas, piemēram, a = 3 cm, b = 5 cm, mēs varam viegli aprēķināt taisnstūra laukumu:
Mēs iegūstam, ka šādā taisnstūrī platība būs vienāda ar 15 kvadrātmetriem. cm.

Taisnstūra laukums diagonāļu izteiksmē

Dažreiz jums ir jāpiemēro formula taisnstūra laukumam diagonāļu izteiksmē. Lai to izdarītu, jums būs jāzina ne tikai diagonāļu garums, bet arī leņķis starp tām:

Apsveriet piemēru taisnstūra laukuma aprēķināšanai, izmantojot diagonāles. Dots taisnstūris ar diagonāli d = 6 cm un leņķi = 30°. Mēs aizstājam datus jau zināmajā formulā:

Tātad, piemērs taisnstūra laukuma aprēķināšanai caur diagonāli mums parādīja, ka šādā veidā, ņemot vērā leņķi, ir diezgan vienkārši atrast laukumu.
Apsveriet vēl vienu interesantu mīklu, kas mums palīdzēs nedaudz izstiept smadzenes.

Uzdevums: Dots kvadrāts. Tās platība ir 36 kv. cm Atrodiet taisnstūra perimetru, kura vienas malas garums ir 9 cm un laukums ir tāds pats kā iepriekš norādītajam kvadrātam.
Tāpēc mums ir daži nosacījumi. Skaidrības labad mēs tos pierakstām, lai redzētu visus zināmos un nezināmos parametrus:
Figūras malas ir pa pāriem paralēlas un vienādas. Tāpēc figūras perimetrs ir vienāds ar divkāršu malu garumu summu:
No taisnstūra laukuma formulas, kas ir vienāda ar figūras divu malu reizinājumu, mēs atrodam malas garumu b
No šejienes:
Mēs aizstājam zināmos datus un atrodam malas garumu b:
Aprēķiniet figūras perimetru:
Tātad, zinot dažas vienkāršas formulas, varat aprēķināt taisnstūra perimetru, zinot tā laukumu.

Saturs:

Diagonāle ir līnijas segments, kas savieno divas pretējās taisnstūra virsotnes. Taisnstūrim ir divas vienādas diagonāles. Ja ir zināmas taisnstūra malas, diagonāli var atrast, izmantojot Pitagora teorēmu, jo diagonāle sadala taisnstūri divos taisnstūra trīsstūros. Ja malas nav norādītas, bet ir zināmi citi lielumi, piemēram, laukums un perimetrs vai malu attiecība, jūs varat atrast taisnstūra malas un pēc tam aprēķināt diagonāli, izmantojot Pitagora teorēmu.

Soļi

1 Blakus

1. 1 Pierakstiet Pitagora teorēmu. Formula: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Pievienojiet malas formulai. Tie ir norādīti uzdevumā vai arī tie ir jāizmēra. Blakusvērtības tiek aizstātas ar 3
   • Mūsu piemērā:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 Pēc platības un perimetra

     1. 1 Formula: S \u003d l w (attēlā S vietā tiek izmantots simbols A.)
     2. 2 Šī vērtība tiek aizstāta ar S 3 Pārrakstiet formulu, lai izolētu w 4 Pierakstiet taisnstūra perimetra aprēķināšanas formulu. Formula: P = 2 (w + l)
     3. 5 Formulā aizstājiet taisnstūra perimetra vērtību.Šī vērtība tiek aizstāta ar P 6 Sadaliet abas vienādojuma puses ar 2. Jūs iegūsit taisnstūra malu summu, proti, w + l 7 Formulā aizstājiet izteiksmi, lai aprēķinātu w 8 Atbrīvojieties no frakcijām. Lai to izdarītu, reiziniet abas vienādojuma daļas ar l 9 Iestatiet vienādojumu uz 0. Lai to izdarītu, no abām vienādojuma pusēm atņemiet terminu ar pirmās kārtas mainīgo.
        • Mūsu piemērā:
          12 l \u003d 35 + l 2 10 Sakārtojiet vienādojuma nosacījumus. Pirmais dalībnieks būs otrais mainīgais dalībnieks, pēc tam pirmais mainīgais dalībnieks un pēc tam brīvais dalībnieks. Tajā pašā laikā neaizmirstiet par zīmēm (“plus” un “mīnus”), kas atrodas dalībnieku priekšā. Ņemiet vērā, ka vienādojums tiks uzrakstīts kā kvadrātvienādojums.
          • Mūsu piemērā 0 = 35 + l 2 - 12 l 11
            • Mūsu piemērā vienādojums 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Atrodi l 13 Pierakstiet Pitagora teorēmu. Formula: a 2 + b 2 = c 2
              • Izmantojiet Pitagora teorēmu, jo katra taisnstūra diagonāle sadala to divos vienādos taisnstūra trīsstūros. Turklāt taisnstūra malas ir trīsstūra kājas, un taisnstūra diagonāle ir trijstūra hipotenūza.
            • 14 Šīs vērtības tiek aizstātas ar 15 Garumu un platumu kvadrātā un pēc tam pievienojiet rezultātus. Atcerieties, ka, sadalot skaitli kvadrātā, tas tiek reizināts ar sevi.
              • Mūsu piemērā:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Ekstrakts Kvadrātsakne no abām vienādojuma pusēm. Izmantojiet kalkulatoru, lai ātri atrastu kvadrātsakni. Varat arī izmantot tiešsaistes kalkulatoru. jūs atradīsiet c

                3 Pēc laukuma un malu attiecības

                1. 1 Pierakstiet vienādojumu, kas raksturo malu attiecību. Izolēt l 2 Pierakstiet taisnstūra laukuma aprēķināšanas formulu. Formula: S = l w (attēlā S vietā tiek izmantots apzīmējums A.)
                   • Šī metode ir piemērojama arī tad, ja ir zināma taisnstūra perimetra vērtība, bet tad jums ir jāizmanto formula, lai aprēķinātu perimetru, nevis laukumu. Formula taisnstūra perimetra aprēķināšanai: P = 2 (w + l)
                2. 3 Pievienojiet taisnstūra laukumu formulā.Šī vērtība tiek aizstāta ar S 4 Aizvietojiet formulā izteiksmi, kas raksturo malu attiecību. Taisnstūra gadījumā varat aizstāt izteiksmi, lai aprēķinātu l 5 pierakstīt kvadrātvienādojums. Lai to izdarītu, atveriet iekavas un vienādojumu ar nulli.
                   • Mūsu piemērā:
                     35 = w (w + 2) 6 Faktorizējiet kvadrātvienādojumu. Iegūt detalizētas instrukcijas, lasiet.
                     • Mūsu piemērā vienādojums 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Atrodiet w 8 Aizvietojiet vienādojumā, kas raksturo malu attiecību, atrasto platuma (vai garuma) vērtību. Tātad jūs varat atrast taisnstūra otru pusi.
                       • Piemēram, ja jūs aprēķinājāt, ka taisnstūra platums ir 5 cm un malu attiecība tiek iegūta ar vienādojumu l = w + 2 9 Pierakstiet Pitagora teorēmu. Formula: a 2 + b 2 = c 2
                         • Izmantojiet Pitagora teorēmu, jo katra taisnstūra diagonāle sadala to divos vienādos taisnstūra trīsstūros. Turklāt taisnstūra malas ir trīsstūra kājas, un taisnstūra diagonāle ir trijstūra hipotenūza.
                       • 10 Pievienojiet garuma un platuma vērtības formulā.Šīs vērtības tiek aizstātas ar 11 Garumu un platumu kvadrātā un pēc tam pievienojiet rezultātus. Atcerieties, ka, sadalot skaitli kvadrātā, tas tiek reizināts ar sevi.
                         • Mūsu piemērā:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Paņemiet kvadrātsakni no vienādojuma abām pusēm. Izmantojiet kalkulatoru, lai ātri atrastu kvadrātsakni. Varat arī izmantot tiešsaistes kalkulatoru. Jūs atradīsit c (displeja stils c) , kas ir trīsstūra hipotenūza un līdz ar to arī taisnstūra diagonāle.
                           • Mūsu piemērā:
                             74 = c 2 (displeja stils 74 = c^(2))
                             74 = c 2 (displeja stils (sqrt (74)) = (sqrt (c^(2))))
                             8, 6024 = c (displeja stils 8,6024 = c)
                             Tādējādi taisnstūra, kura garums ir par 2 cm vairāk nekā platums un kura laukums ir 35 cm 2, diagonāle ir aptuveni 8,6 cm.

Taisnstūra diagonāles atrašanas problēmu var formulēt trīs veidos. Dažādi ceļi. Apskatīsim katru no tiem tuvāk. Metodes ir atkarīgas no zināmiem datiem, kā tad atrast taisnstūra diagonāli?

Ja ir zināmas divas puses

Gadījumā, ja ir zināmas taisnstūra a un b divas malas, lai atrastu diagonāli, ir jāizmanto Pitagora teorēma: a 2 + b 2 \u003d c 2, šeit a un b ir kājas taisnleņķa trīsstūris, c ir taisnleņķa trijstūra hipotenūza. Kad taisnstūrī ir ievilkta diagonāle, tā tiek sadalīta divos taisnstūra trīsstūros. Mēs zinām šī taisnleņķa trīsstūra abas malas (a un b). Tas ir, lai atrastu taisnstūra diagonāli, ir nepieciešama šāda formula: c \u003d √ (a 2 + b 2), šeit c ir taisnstūra diagonāles garums.

Pēc zināmās malas un leņķa, starp malu un diagonāli

Lai ir zināma taisnstūra a mala un leņķis, ko tas veido ar taisnstūra α diagonāli. Vispirms atcerēsimies kosinusa formulu: cos α \u003d a / c, šeit c ir taisnstūra diagonāle. Kā aprēķināt taisnstūra diagonāli pēc šīs formulas: c = a/cos α.

Saskaņā ar zināmo malu leņķis starp taisnstūra blakus malu un diagonāli.

Tā kā taisnstūra diagonāle sadala pašu taisnstūri divos taisnleņķa trīsstūros, tad loģiski ir pievērsties sinusa definīcijai. Sinuss - šim leņķim pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu. sin α \u003d b / c. No šejienes mēs iegūstam formulu taisnstūra diagonāles atrašanai, kas ir arī taisnleņķa trīsstūra hipotenūza: с = b/sin α.

Tagad jūs esat gudrs šajā jautājumā. Rīt varat iepriecināt ģeometrijas skolotāju!

Definīcija.

Taisnstūris Tas ir četrstūris, kura divas pretējās malas ir vienādas un visi četri leņķi ir vienādi.

Taisnstūri viens no otra atšķiras tikai ar garās malas attiecību pret īso malu, bet visi četri ir taisni, tas ir, katrs 90 grādu leņķī.

Taisnstūra garo malu sauc taisnstūra garums, un īsais taisnstūra platums.

Taisnstūra malas ir arī tā augstums.

Taisnstūra pamatīpašības

Taisnstūris var būt paralelograms, kvadrāts vai rombs.

1. Taisnstūra pretējām malām ir vienāds garums, tas ir, tās ir vienādas:

AB = CD, BC = AD

2. Taisnstūra pretējās malas ir paralēlas:

3. Taisnstūra blakus esošās malas vienmēr ir perpendikulāras:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Visi četri taisnstūra stūri ir taisni:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Taisnstūra leņķu summa ir 360 grādi:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Taisnstūra diagonālēm ir vienāds garums:

7. Taisnstūra diagonāles kvadrātu summa ir vienāda ar malu kvadrātu summu:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Katra taisnstūra diagonāle sadala taisnstūri divās identiskās figūrās, proti, taisnstūra trīsstūros.

9. Taisnstūra diagonāles krustojas un tiek dalītas uz pusēm krustpunktā:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Diagonāļu krustpunktu sauc par taisnstūra centru, un tas ir arī ierobežotā apļa centrs

11. Taisnstūra diagonāle ir ierobežotā apļa diametrs

12. Apli vienmēr var aprakstīt ap taisnstūri, jo pretējo leņķu summa ir 180 grādi:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Apli nevar ierakstīt taisnstūrī, kura garums nav vienāds ar tā platumu, jo pretējo malu summas nav vienādas viena ar otru (apli var ierakstīt tikai speciālā taisnstūra gadījumā - kvadrātā).

Taisnstūra malas

Definīcija.

Taisnstūra garums nosauciet garākā tā malu pāra garumu. Taisnstūra platums nosauciet tā sānu īsākā pāra garumu.

Formulas taisnstūra malu garumu noteikšanai

1. Formula taisnstūra malai (taisnstūra garums un platums) diagonāles un otrās malas izteiksmē:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Formula taisnstūra malai (taisnstūra garums un platums) laukuma izteiksmē un otrās malas izteiksmē:

b = dcos	β
	2

Taisnstūra diagonāle

Definīcija.

Diagonāls taisnstūris Tiek izsaukts jebkurš segments, kas savieno divas taisnstūra pretējo stūru virsotnes.

Formulas taisnstūra diagonāles garuma noteikšanai

1. Formula taisnstūra diagonālei taisnstūra divu malu izteiksmē (izmantojot Pitagora teorēmu):

d = √ a 2 + b 2

2. Formula taisnstūra diagonālei laukuma un jebkuras malas izteiksmē:

4. Formula taisnstūra diagonālei attiecībā uz ierobežotā apļa rādiusu:

d=2R

5. Formula taisnstūra diagonālei attiecībā uz ierobežotā apļa diametru:

d = D o

6. Taisnstūra diagonāles formula, kas izteikta diagonālei piegulošā leņķa sinusa izteiksmē un šim leņķim pretējās malas garumā:

8. Taisnstūra diagonāles formula sinusa izteiksmē akūts leņķis starp diagonālēm un taisnstūra laukumu

d = √2S: sinβ

Taisnstūra perimetrs

Definīcija.

Taisnstūra perimetrs ir taisnstūra visu malu garumu summa.

Formulas taisnstūra perimetra garuma noteikšanai

1. Taisnstūra perimetra formula, kas izteikta taisnstūra divām malām:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Formula taisnstūra perimetram pēc laukuma un jebkuras malas:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Formula taisnstūra perimetram diagonāles un jebkuras malas izteiksmē:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Taisnstūra perimetra formula, kas izteikta ierobežotā apļa un jebkuras malas rādiusa izteiksmē:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Taisnstūra perimetra formula, kas izteikta ierobežotā apļa un jebkuras malas diametra izteiksmē:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Taisnstūra laukums

Definīcija.

Taisnstūra laukums sauc par telpu, ko ierobežo taisnstūra malas, tas ir, taisnstūra perimetrā.

Formulas taisnstūra laukuma noteikšanai

1. Taisnstūra laukuma divu malu formula:

S = a b

2. Formula taisnstūra laukumam caur perimetru un jebkuru malu:

5. Taisnstūra laukuma formula ierobežotā apļa un jebkuras malas rādiusa izteiksmē:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Taisnstūra laukuma formula ierobežotā apļa un jebkuras malas diametra izteiksmē:

S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2

Aplis, kas apvilkts ap taisnstūri

Definīcija.

Aplis ap taisnstūri Par apli sauc apli, kas iet caur četrām taisnstūra virsotnēm, kura centrs atrodas taisnstūra diagonāļu krustpunktā.

Formulas ap taisnstūri norobežota riņķa rādiusa noteikšanai

1. Formula apļa rādiusam, kas apvilkts ap taisnstūri caur divām malām:

4. Apļa rādiusa formula, kas aprakstīta par taisnstūri caur kvadrāta diagonāli:

5. Formula apļa rādiusam, kas aprakstīts taisnstūra tuvumā caur apļa diametru (apzīmēts):

6. Formula riņķa rādiusam, ko apraksta taisnstūra tuvumā caur leņķa sinusu, kas ir blakus diagonālei, un šim leņķim pretējās malas garums:

7. Formula riņķa rādiusam, ko apraksta par taisnstūri ar diagonālei blakus esošā leņķa kosinusu un malas garumu šajā leņķī:

8. Apļa rādiusa formula, kas aprakstīta taisnstūra tuvumā caur asā leņķa sinusu starp diagonālēm un taisnstūra laukumu:

Leņķis starp taisnstūra malu un diagonāli.

Formulas leņķa noteikšanai starp taisnstūra malu un diagonāli:

1. Formula leņķa noteikšanai starp malu un diagonāli taisnstūra caur diagonāli un malu:

2. Formula leņķa noteikšanai starp taisnstūra malu un diagonāli caur leņķi starp diagonālēm:

Leņķis starp taisnstūra diagonālēm.

Formulas leņķa noteikšanai starp taisnstūra diagonālēm:

1. Formula leņķa noteikšanai starp taisnstūra diagonālēm caur leņķi starp malu un diagonāli:

β = 2α

2. Formula leņķa noteikšanai starp taisnstūra diagonālēm caur laukumu un diagonāli.