Moment hybnosti telesa vzhľadom na pevnú os otáčania

Definícia

moment hybnosti- vektorová fyzikálna veličina charakterizujúca hybnosť, číselne rovná vektorovému súčinu
Uhlový moment okolo bodu je pseudovektor a moment hybnosti okolo osi je pseudoskalar.

Moment hybnosti uzavretého systému je zachovaný.
Táto veličina sa nazýva moment hybnosti okolo osi.

Zákon zachovania momentu hybnosti(zákon zachovania momentu hybnosti) je jedným zo základných zákonov zachovania. Vyjadrené matematicky ako vektorový súčet všetkých uhlových momentov hybnosti okolo zvolenej osi pre uzavretý systém telies a zostáva konštantné, kým systém neovplyvní vonkajšie sily. V súlade s tým sa moment hybnosti uzavretého systému v žiadnom súradnicovom systéme s časom nemení. zjednodušené: ak je systém v rovnováhe.

Najprv definujme izotropia napredovať v štúdiu ďalej.

Izotropia je jednou z kľúčových vlastností priestoru v klasickej mechaniky. Priestor sa nazýva izotropný, ak otočenie referenčného systému o ľubovoľný uhol nevedie k zmene výsledkov merania.

Zákon zachovania momentu hybnosti je prejavom izotropie priestoru vzhľadom na rotáciu.
Zákon zachovania momentu hybnosti je základným prírodným zákonom. Platnosť tohto zákona je určená vlastnosťou symetrie priestoru – jeho izotropie, t.j. s invariantnosťou fyzikálne zákony ohľadom voľby smeru súradnicových osí referenčného systému.

Príklad

Platnosť zákona zachovania momentu hybnosti vzhľadom na pevnú os rotácie možno demonštrovať experimentom so Zhukovského lavicou. Lavička Zhukovsky je horizontálna plošina, ktorá sa voľne otáča bez trenia okolo pevnej vertikálnej osi. Osoba stojaca alebo sediaca na lavičke drží gymnastické činky vo vystretých rukách a otáča sa spolu s lavičkou okolo osi uhlovou rýchlosťou ω1. Priblížením činiek k sebe človek znižuje moment zotrvačnosti sústavy a keďže moment vonkajších síl je nulový, moment hybnosti sústavy zostáva zachovaný a uhlová rýchlosť jeho otáčania ω2 zvyšuje.

Podobne ako moment sily sa určuje moment impulzu (moment hybnosti) hmotného bodu

Podobne ako moment sily sa určuje moment impulzu (moment hybnosti) hmotného bodu. Moment hybnosti vzhľadom na bod O sa rovná

Moment hybnosti okolo osi z je komponent Lz pozdĺž tejto osi momentu hybnosti L vzhľadom na bod O ležiaci na osi (obr. 97):

kde R je zložka vektora polomeru r kolmá na os z a p τ je zložka vektora p kolmá na rovinu prechádzajúcu osou z a bodom m.

Poďme zistiť, čo určuje zmenu momentu hybnosti s časom. Aby sme to dosiahli, diferencujeme (37.1) vzhľadom na čas t pomocou pravidla diferenciácie produktu:

(3 7.5 )

Prvý člen sa rovná nule, pretože ide o vektorový súčin vektorov rovnakého smeru. Naozaj, vektor rovná sa vektoru rýchlosť v, a preto sa zhoduje v smere s vektorom p=mv. Podľa druhého Newtonovho zákona sa vektor rovná sile f pôsobiacej na teleso [viď. (22.3)]. Preto výraz (37.5) možno zapísať takto:

(3 7.6 )

kde M je moment síl pôsobiacich na hmotný bod vzhľadom na ten istý bod O, voči ktorému sa berie moment hybnosti L.

Zo vzťahu (37.6) vyplýva, že ak je výsledný moment síl pôsobiacich na hmotný bod vzhľadom k ľubovoľnému bodu O rovný nule, potom moment hybnosti hmotného bodu, braný vzhľadom na ten istý bod O, zostane konštantný.

Ak vezmeme komponenty pozdĺž osi z z vektorov zahrnutých vo vzorci (37.6), dostaneme výraz:

(3 7.7 )

Vzorec (37.6) je podobný vzorcu (22.3). Z porovnania týchto vzorcov vyplýva, že tak, ako sa časová derivácia hybnosti rovná sile pôsobiacej na hmotný bod, rovná sa časová derivácia momentu hybnosti momentu sily.

Pozrime sa na pár príkladov.

Príklad 1. Nechajte hmotný bod m pohybovať sa po bodkovanej čiare na obr.96. Keďže pohyb je priamočiary, hybnosť hmotného bodu sa mení len v absolútnej hodnote, a

kde f je modul sily [v tomto prípade má f rovnaký smer ako p (pozri obr. 96), takže].

Rameno t zostáva nezmenené. teda

čo je v súlade so vzorcom (37.6) (v tomto prípade sa L mení iba v absolútnej hodnote, a preto sa zvyšuje ).

Príklad 2. Hmotný bod s hmotnosťou m sa pohybuje po kružnici s polomerom R (obr. 98).

Moment hybnosti hmotného bodu vzhľadom na stred kruhu O sa rovná absolútnej hodnote:

L = mυR

(3 7.8 )

Vektor L je kolmý na rovinu kružnice a smer pohybu bodu a vektor L tvoria pravotočivú sústavu.

Pretože rameno rovnajúce sa R ​​zostáva konštantné, uhlový moment hybnosti možno zmeniť iba zmenou modulu rýchlosti. Pri rovnomernom pohybe hmotného bodu po kružnici zostáva moment hybnosti konštantný ako vo veľkosti, tak aj v smere. Je ľahké vidieť, že v tomto prípade je moment sily pôsobiacej na hmotný bod rovný nule.

Príklad 3. Uvažujme pohyb hmotného bodu v stredovom poli síl (pozri § 26). V súlade s (37.6) moment hybnosti hmotného bodu vzhľadom na stred síl musí zostať konštantný čo do veľkosti a smeru (moment centrálnej sily voči stredu je nulový). Vektor polomeru r nakreslený zo stredu síl do bodu m a vektor L sú na seba kolmé. Preto vektor r zostáva stále v tej istej rovine, kolmej na smer L. V dôsledku toho bude pohyb hmotného bodu v stredovom poli síl prebiehať po krivke ležiacej v rovine prechádzajúcej stredom síl.

V závislosti od znamenia centrálnych síl (to znamená, či ide o príťažlivé alebo odpudivé sily), ako aj od počiatočných podmienok, je trajektóriou hyperbola, parabola alebo elipsa (najmä kružnica). Napríklad Zem sa pohybuje po eliptickej obežnej dráhe, v ktorej je umiestnené Slnko.

Zákon zachovania momentu hybnosti. Uvažujme systém N hmotných bodov. Rovnako ako to bolo urobené v §23, rozdeľujeme sily pôsobiace na body na vnútorné a vonkajšie. Výsledný moment vnútorných síl pôsobiacich na i-tý materiál bod, označujeme symbolom , výsledný moment vonkajších síl pôsobiacich na ten istý bod, symbolom M i . Potom rovnica (37.6) pre i-tý materiál body budú vyzerať takto:

(i=1, 2,..., N)

Tento výraz je súborom N rovníc, ktoré sa navzájom líšia hodnotami indexu i. Pridaním týchto rovníc dostaneme:

sa nazýva moment hybnosti sústavy hmotných bodov.

Súčet momentov vnútorných síl [prvý zo súčtov na pravej strane vzorca (37.9)], ako je znázornený na konci §36, sa rovná nule. Preto, keď celkový moment vonkajších síl označíme symbolom M, môžeme to napísať

(3 7.11 )

[symboly L a M v tomto vzorci majú iný význam ako rovnaké symboly vo vzorci (37.6)].

Pre uzavretý systém hmotných bodov je M=0, v dôsledku čoho celkový moment hybnosti L nezávisí od času. Tak sme sa dostali k zákonu zachovania momentu hybnosti: moment hybnosti uzavretej sústavy hmotných bodov zostáva konštantný.

Všimnite si, že moment hybnosti zostáva konštantný pre systém vystavený vonkajším vplyvom za predpokladu, že celkový moment vonkajších síl pôsobiacich na telesá systému je rovný nule.

Z vektorov na ľavej a pravej strane rovnice (37.11) ich zložiek pozdĺž osi z dospejeme k vzťahu:

(3 7.12 )

Môže sa stať, že výsledný moment vonkajších síl vzhľadom na bod O je odlišný od nuly (M≠0), ale zložka M z vektora M v niektorom smere z je rovná nule. Potom podľa (37.12) zostane zachovaná zložka L z momentu hybnosti sústavy pozdĺž osi z.

Podľa vzorca (2.1 1)

kde je projekcia na os z vektora a Lz je projekcia na os z vektora L . Vynásobte obe strany rovnosti ort e z os z as prihliadnutím na to e z nezávisí od t, uvádzame ho na pravej strane pod derivačným znamienkom. V dôsledku toho dostaneme:

Ale súčin e z krát premietnutie vektora na os z dáva z-ovú zložku tohto vektora (pozri poznámku pod čiarou na strane 132). teda

kde je komponent pozdĺž osi z vektor .

Uhlový moment sa vzťahuje na základné, základné zákony prírody. Priamo súvisí so symetrickými vlastnosťami priestoru fyzického sveta, v ktorom všetci žijeme. Moment hybnosti vďaka zákonu jeho zachovania určuje fyzikálne zákony, ktoré sú nám známe pre pohyb hmotných telies v priestore. Táto hodnota charakterizuje množstvo translačných resp rotačný pohyb.

Moment hybnosti, tiež nazývaný "kinetický", "uhlový" a "orbitálny", je dôležitou charakteristikou, ktorá závisí od hmotnosti hmotného telesa, vlastností jeho rozloženia vzhľadom na pomyselnú os obehu a rýchlosti pohybu. Tu by sa malo objasniť, že v mechanike má rotácia širší výklad. Dokonca aj za určitým bodom, ktorý sa ľubovoľne nachádza v priestore, možno považovať za rotačný, pričom ho berieme ako pomyselnú os.

Moment hybnosti a zákony jeho zachovania formuloval René Descartes vo vzťahu k progresívne sa pohybujúcej sústave, pravda, o zachovaní typu sa nezmienil. Len o storočie neskôr Leonhard Euler a potom ďalší švajčiarsky vedec, fyzik a matematik, keď študovali rotáciu hmotného systému okolo pevnej stredovej osi, dospeli k záveru, že tento zákon platí aj pre tento typ pohybu vo vesmíre.

Ďalšie štúdie plne potvrdili, že pri absencii vonkajší vplyv súčet súčinu hmotnosti všetkých bodov celkovou rýchlosťou systému a vzdialenosti od stredu otáčania zostáva nezmenený. O niečo neskôr francúzsky vedec Patrick Darcy vyjadril tieto pojmy ako oblasti, ktoré za rovnaké časové obdobie prešli vektormi polomeru. To umožnilo spojiť moment hybnosti hmotného bodu s niektorými známymi postulátmi nebeskej mechaniky a najmä s najdôležitejšou polohou pri pohybe planét.

moment hybnosti pevné telo- tretia dynamická premenná, na ktorú sa vzťahujú ustanovenia základného zákona o ochrane. Hovorí, že bez ohľadu na povahu a bez vonkajšieho vplyvu zostane daná hodnota v izolovanom materiálnom systéme vždy nezmenená. Tento fyzikálny indikátor sa môže meniť len vtedy, ak existuje nenulový moment pôsobiacich síl.

Z tohto zákona tiež vyplýva, že ak M = 0, akákoľvek zmena vzdialenosti medzi telesom (systémom hmotných bodov) a stredovou osou rotácie určite spôsobí zvýšenie alebo zníženie rýchlosti jeho obehu okolo stredu. Napríklad gymnastka, ktorá robí saltá, aby urobila niekoľko obratov vo vzduchu, najprv stočí svoje telo do lopty. A balerínky či krasokorčuliarky, točiace sa v piruete, rozpažia ruky do strán, ak chcú pohyb spomaliť, a, naopak, pritlačia ich k telu, keď sa snažia točiť vo vyššej rýchlosti. V športe a umení sa teda využívajú základné prírodné zákony.

Uhlový moment vzhľadom na pevnú os z nazývaný skalár Lz, rovný priemetu vektora momentu hybnosti na túto os, definovaného vzhľadom na ľubovoľný bod 0 tejto osi. Hodnota momentu hybnosti Lz nezávisí od polohy bodu 0 na osi z.
Keď sa absolútne tuhé teleso otáča okolo pevnej osi, každý jednotlivý bod telesa sa pohybuje po kružnici s konštantným polomerom RI nejakou rýchlosťou v i. Rýchlosť v i a hybnosť m i v i sú kolmé na tento polomer, t.j. polomer je ramenom vektora m i v i. Preto možno napísať, že moment hybnosti jednotlivého bodu okolo osi z rovná sa

Moment hybnosti tuhého telesa okolo osi je súčtom momentov hybnosti jeho jednotlivých bodov:

Berúc do úvahy vzťah medzi lineárnou a uhlovou rýchlosťou ( v i = ωr i), získame nasledujúci výraz pre moment hybnosti telesa vzhľadom na pevnú os:

Tie. moment hybnosti tuhého telesa okolo osi sa rovná súčinu momentu zotrvačnosti telesa okolo tej istej osi a uhlovej rýchlosti.
Diferenciačným výrazom (4.12) vzhľadom na čas dostaneme:

(4.13)

Toto je ďalšia forma rovnice dynamiky rotačného pohybu tuhého telesa vzhľadom na pevnú os: rýchlosť zmeny momentu hybnosti telesa vzhľadom na pevnú os otáčania sa rovná výslednému momentu vzhľadom k pevnej osi. táto os všetkých vonkajších síl pôsobiacich na teleso.
Zákon zachovania momentu hybnosti vyplýva zo základnej rovnice dynamiky rotačného pohybu telesa fixovaného v pevnom bode (Rovnica 4.8) a je nasledovná:
ak je výsledný moment vonkajších síl vzhľadom na pevný bod identicky rovný nule, potom sa moment hybnosti telesa vzhľadom na tento bod v čase nemení.
Skutočne, ak M= 0 teda dl/dt= 0, odkiaľ

(4.14)

Inými slovami, moment hybnosti uzavretého systému sa v priebehu času nemení.
Zo základného zákona dynamiky telesa rotujúceho okolo pevnej osi z(Rovnica 4.13), nasleduje zákon zachovania momentu hybnosti telesa okolo osi:
ak je moment vonkajších síl vzhľadom na pevnú os otáčania telesa zhodne rovný nule, potom sa uhlový moment telesa voči tejto osi v procese pohybu nemení, t.j. Ak Mz= 0 teda dlz / dt= 0, odkiaľ

Zákon zachovania momentu hybnosti je základným prírodným zákonom. Platnosť tohto zákona je určená vlastnosťou symetrie priestoru – jeho izotropie, t.j. s nemennosťou fyzikálnych zákonov vzhľadom na voľbu smeru súradnicových osí referenčného systému.
Platnosť zákona zachovania momentu hybnosti vzhľadom na pevnú os rotácie možno demonštrovať experimentom so Zhukovského lavicou. Lavička Žukovského je horizontálna plošina, ktorá sa voľne otáča bez trenia okolo pevnej vertikálnej osi OO 1. Osoba stojaca alebo sediaca na lavičke drží gymnastické činky vo vystretých rukách a otáča sa spolu s lavičkou okolo osi OO 1 uhlovou rýchlosťou. ω 1. Priblížením činiek k sebe človek znižuje moment zotrvačnosti sústavy a keďže moment vonkajších síl je nulový, moment hybnosti sústavy zostáva zachovaný a uhlová rýchlosť jeho otáčania ω 2 zvyšuje. Potom podľa zákona zachovania momentu hybnosti vzhľadom na os OO 1 môžeme napísať:

Kde J0- moment zotrvačnosti osoby a lavice; 2 pán 12 a 2 pán 22- momenty zotrvačnosti činiek v prvej a druhej polohe; m- hmotnosť jednej činky; r1, r2- vzdialenosť od činiek k osi OO 1.
Zmena momentu zotrvačnosti systému je spojená so zmenou jeho kinetickej energie:

Použitie výrazu pre ω 2 získané z (4.16)

po transformáciách dostaneme:

Táto zmena kinetickej energie systému sa číselne rovná práci vykonanej osobou pri pohybe činiek.
V tabuľke. 4.2 mapované hlavné fyzikálnych veličín a rovnice, ktoré určujú rotáciu telesa okolo pevnej osi a jeho translačný pohyb.

Tabuľka 4.2

Úloha 1 Guľa s polomerom 10 cm a hmotnosťou 5 kg sa otáča okolo osi symetrie podľa zákona. φ = A + Bt2 + Ct3, Kde IN\u003d 2 rad/s 2, S\u003d -0,5 rad/s 3. Určte moment síl okolo osi otáčania pre časový moment t= 3 s.
Dané: R= 0,1 m; m= 5 kg; φ = A + Bt2 + Ct3 rád; IN\u003d 2 rad/s 2; S\u003d -0,5 rad/s 3; t= 3 s.
Nájsť: Mz.
Riešenie
Podľa rovnice dynamiky rotačného pohybu tuhého telesa voči pevnej osi

Odpoveď: Mz= -0,1 H*m.

Úloha 2. Na homogénnom pevnom valcovom hriadeli s polomerom 20 cm, ktorého moment zotrvačnosti je 0,15 kg * m 2, je navinutý ľahký závit, na konci ktorého je pripevnená záťaž 0,5 kg. Než sa bubon začal otáčať, výška nákladu nad podlahou bola 2,3 m (obr. 4.7). Určte: a) čas spúšťania bremena na podlahu; b) sila napätia nite; c) kinetická energia bremena v momente dopadu na podlahu.
Dané: R= 0,2 m; Jz\u003d 0,15 kg * m 2; m= 0,5 kg; h= 2,3 m.
Nájsť: t, T, E k.

Riešenie
Podľa zákona zachovania energie

Odpoveď: t= 2 s; T= 4,31 N; E k= 1,32 J.

Úlohy na samostatné riešenie

1. Guľa a pevný valec, vyrobené z rovnakého materiálu, rovnakej hmoty sa odvaľujú bez šmýkania rovnakou rýchlosťou. Určte, koľkokrát je kinetická energia lopty menšia ako kinetická energia pevného valca.
2. Dutý tenkostenný valec s hmotnosťou 0,5 kg, ktorý sa valí bez skĺznutia, narazí na stenu a odkotúľa sa od nej. Rýchlosť valca pred nárazom do steny je 1,4 m/s, po náraze je to 1 m/s. Určte množstvo tepla uvoľneného počas nárazu.
3. Na ráfik homogénneho plného disku s hmotnosťou 10 kg namontovaného na náprave pôsobí konštantná tangenciálna sila 30 N. Určte kinetickú energiu 4 s po vzniku sily.
4. Ventilátor sa otáča rýchlosťou 600 ot./min. Po vypnutí sa začal rovnomerne otáčať a po 50 otáčkach sa zastavil. Práca brzdných síl je 31,4 J. Určte: a) moment brzdných síl; b) moment zotrvačnosti ventilátora.
5. Na okraj homogénneho pevného disku s polomerom 0,5 m pôsobí konštantná tangenciálna sila 100 N. Pri otáčaní disku naň pôsobí trecí moment 2 N * m. Určte hmotnosť disku, ak je známe, že jeho uhlové zrýchlenie je konštantné a rovná sa 16 rad/s 2 .
6. Guľa sa kotúľa dole zo naklonenej roviny, ktorá zviera s horizontálou uhol 30°. Zanedbajte trenie a určte čas, ktorý potrebuje loptička na pohyb po naklonenej rovine, ak je známe, že jej ťažisko sa pri kotúľaní zmenšilo o 30 cm.
7. Ľahká niť je navinutá na homogénnom pevnom valcovom hriadeli s polomerom 50 cm, na konci ktorého je pripevnené závažie 6,4 kg. Záťaž, ktorá odvíja niť, padá so zrýchlením 2 m / s 2. Určte: a) moment zotrvačnosti hriadeľa; b) hmotnosť hriadeľa.
8. Vodorovná plošina s hmotnosťou 25 kg a polomerom 0,8 m sa otáča frekvenciou 18 ot./min. Muž stojí v strede a vo svojich natiahnutých rukách drží závažia. Berúc do úvahy plošinu ako disk, určite frekvenciu otáčania plošiny, ak osoba, ktorá spustí ruky, zníži svoj moment zotrvačnosti z 3,5 kg * m 2 na 1 kg * m 2.
9. Osoba s hmotnosťou 60 kg, stojaca na okraji vodorovnej plošiny s hmotnosťou 120 kg, rotujúca zotrvačnosťou okolo pevnej vertikálnej osi s frekvenciou 10 otáčok za minútu, sa presunie do jej stredu. Berúc do úvahy plošinu ako okrúhly homogénny disk a osobu ako hmotu bodu, určite, s akou frekvenciou sa bude plošina otáčať.
10. Plošina, ktorá má tvar pevného homogénneho disku, sa môže otáčať zotrvačnosťou okolo pevnej vertikálnej osi. Na okraji plošiny stojí muž, ktorého hmotnosť je 3-krát menšia ako hmotnosť plošiny. Určte, ako a koľkokrát sa zmení uhlová rýchlosť otáčania plošiny, ak sa osoba priblíži k stredu na vzdialenosť rovnajúcu sa polovici polomeru plošiny.

Uhlový moment v klasickej mechanike

Vzťah medzi hybnosťou a momentom

Definícia

Moment hybnosti častice vzhľadom na nejaký pôvod je určený vektorovým súčinom jej vektora polomeru a hybnosti:

kde je polomer-vektor častice voči zvolenému referenčnému bodu, ktorý je v danej referenčnej sústave nehybný, je hybnosť častice.

Pre niekoľko častíc je moment hybnosti definovaný ako (vektorový) súčet týchto výrazov:

kde sú vektor polomeru a hybnosť každej častice v systéme, ktorej uhlová hybnosť je určená.

(V limite môže byť počet častíc nekonečný, napr. v prípade pevného telesa so spojito rozloženou hmotnosťou alebo všeobecne rozloženého systému to možno zapísať ako kde je hybnosť nekonečne malého bodového prvku systému).

Z definície momentu hybnosti vyplýva jeho aditívnosť: tak pre systém častíc, ako aj pre systém pozostávajúci z niekoľkých podsystémov, platí nasledovné:

• Poznámka: v zásade možno uhlovú hybnosť vypočítať vzhľadom na akýkoľvek referenčný bod (výsledné rôzne hodnoty sú zrejmým spôsobom spojené); najčastejšie sa však (pre pohodlie a jednoznačnosť) počíta vzhľadom na ťažisko alebo pevný bod otáčania tuhého telesa atď.).

Výpočet krútiaceho momentu

Keďže moment hybnosti je určený krížovým súčinom, ide o pseudovektor kolmý na oba vektory a. V prípadoch rotácie okolo konštantnej osi je však vhodné považovať nie moment hybnosti za pseudovektor, ale jeho priemet na os rotácie ako skalár, ktorého znamienko závisí od smeru rotácie. Ak je zvolená taká os, ktorá prechádza cez počiatok, na výpočet projekcie momentu hybnosti na ňu, môžete zadať niekoľko receptov v súlade so všeobecnými pravidlami pre hľadanie vektorový produkt dva vektory.

kde je uhol medzi a určený tak, že rotácia od do je proti smeru hodinových ručičiek z pohľadu pozorovateľa umiestneného na kladnej časti osi rotácie. Pri výpočte je dôležitý smer otáčania, ktorý určuje znamienko požadovanej projekcie.

Píšeme v tvare , kde je zložka vektora polomeru rovnobežná s vektorom hybnosti a - podobne aj kolmá naň. je v skutočnosti vzdialenosť od osi rotácie k vektoru, ktorý sa zvyčajne nazýva "rameno". Podobne môžete rozdeliť vektor hybnosti na dve zložky: rovnobežnú s vektorom polomeru a kolmú naň. Teraz pomocou linearity vektorového súčinu, ako aj vlastnosti, že súčin paralelných vektorov je nula, môžeme získať ďalšie dva výrazy pre .

Zachovanie momentu hybnosti

Symetria vo fyzike
transformácia	Relevantné invariantnosť	Zodpovedajúce zákona zachovanie
↕ Čas vysielania	…energie
⊠ , , a -symetrie	... parita
↔ Vysielací priestor	Jednotnosť priestor	...impulz
↺ Rotácia priestoru	Izotropia priestor	… moment spád
⇆ Lorentzova skupina	Relativita Lorentzova invariancia	…4 pulzy
~ Transformácia meradla	Invariantnosť meradla	... poplatok

Požiadavka uzavretia systému sa teda môže oslabiť na požiadavku, aby sa hlavný (celkový) moment vonkajších síl rovnal nule:

kde je moment jednej zo síl pôsobiacich na sústavu častíc. (Ale samozrejme, ak neexistujú žiadne vonkajšie sily, aj táto požiadavka je splnená).

Matematicky zákon zachovania momentu hybnosti vyplýva z izotropie priestoru, teda z nemennosti priestoru vzhľadom na rotáciu o ľubovoľný uhol. Pri otáčaní o ľubovoľný infinitezimálny uhol sa vektor polomeru častice s číslom zmení o , a rýchlosti - . Lagrangeova funkcia systému sa pri takejto rotácii nezmení, kvôli izotropii priestoru. Preto

Ak vezmeme do úvahy, kde je zovšeobecnená hybnosť -tej častice, každý člen v súčte z posledného výrazu môže byť prepísaný ako

Teraz pomocou vlastnosti zmiešaného produktu vykonáme cyklickú permutáciu vektorov, v dôsledku ktorej získame spoločný faktor:

kde, je moment hybnosti systému. Vzhľadom na svojvôľu z rovnosti vyplýva, že .

Na obežných dráhach je moment hybnosti rozdelený medzi vlastnú rotáciu planéty a moment hybnosti jej orbitálneho pohybu:

Uhlový moment v elektrodynamike

Pri popise pohybu nabitej častice v elektromagnetickom poli nie je kanonická hybnosť nemenná. V dôsledku toho kanonický moment hybnosti tiež nie je invariantný. Potom vezmeme skutočnú hybnosť, ktorá sa tiež nazýva „kinetická hybnosť“:

kde je elektrický náboj, je rýchlosť svetla, je vektorový potenciál. (Invariantný) Hamiltonián nabitej častice v elektromagnetickom poli je teda:

kde je skalárny potenciál. Z tohto potenciálu vyplýva Lorentzov zákon. Invariantný moment hybnosti alebo „kinetický moment hybnosti“ je definovaný:

Moment hybnosti v kvantovej mechanike

Operátor momentu

Výpočet momentu hybnosti v nerelativistickej mechanike

Ak existuje hmotný bod s hmotnosťou pohybujúcou sa rýchlosťou a umiestnenou v bode opísanom vektorom polomeru, potom sa moment hybnosti vypočíta podľa vzorca:

kde je znamienko vektorového súčinu.

Na výpočet momentu hybnosti telesa je potrebné ho rozdeliť na nekonečne malé kúsky a vektor spočítajte ich momenty ako momenty hybnosti hmotných bodov, to znamená, vezmite integrál:

Môžeme to prepísať z hľadiska hustoty: