Metóda variácie ľubovoľnej konštanty alebo Lagrangeova metóda je ďalším spôsobom riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu a Bernoulliho rovnice.

Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu sú rovnice tvaru y’+p(x)y=q(x). Ak je pravá strana nula: y’+p(x)y=0, potom je to lineárna homogénne rovnica 1. rádu. Podľa toho rovnica s nenulovou pravou stranou, y’+p(x)y=q(x), — heterogénne lineárna rovnica 1. rádu.

Metóda ľubovoľnej konštantnej variácie (Lagrangeova metóda) pozostáva z nasledovného:

1) Hľadáme všeobecné riešenie homogénna rovnica y'+p(x)y=0: y=y*.

2) Vo všeobecnom riešení sa C nepovažuje za konštantu, ale za funkciu x: C=C(x). Nájdeme deriváciu všeobecného riešenia (y*)' a dosadíme výsledný výraz za y* a (y*)' do počiatočnej podmienky. Z výslednej rovnice nájdeme funkciu С(x).

3) Vo všeobecnom riešení homogénnej rovnice namiesto C dosadíme nájdený výraz C (x).

Zvážte príklady metódy variácie ľubovoľnej konštanty. Zoberme si rovnaké úlohy ako v , porovnajme priebeh riešenia a presvedčime sa, že prijaté odpovede sú rovnaké.

1) y'=3x-y/x

Prepíšme rovnicu v štandardnom tvare (na rozdiel od Bernoulliho metódy, kde sme potrebovali zápis len na to, aby sme videli, že rovnica je lineárna).

y'+y/x=3x (I). Teraz ideme podľa plánu.

1) Riešime homogénnu rovnicu y’+y/x=0. Toto je separovateľná premenná rovnica. Predstavuje y’=dy/dx, náhradník: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Obe časti rovnice vynásobíme dx a vydelíme xy≠0: dy/y=-dx/x. Integrujeme:

2) V získanom všeobecnom riešení homogénnej rovnice budeme С uvažovať nie s konštantou, ale s funkciou x: С=С(x). Odtiaľ

Výsledné výrazy sú dosadené do podmienky (I):

Integrujeme obe strany rovnice:

tu C je už nejaká nová konštanta.

3) Vo všeobecnom riešení homogénnej rovnice y \u003d C / x, kde sme uvažovali C \u003d C (x), to znamená y \u003d C (x) / x, namiesto C (x) nahradíme nájdený výraz x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x alebo y=x²+C/x. Dostali sme rovnakú odpoveď ako pri riešení Bernoulliho metódou.

Odpoveď: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Tu je rovnica už napísaná v štandardnej forme, nie je potrebné ju prevádzať.

1) Riešime homogénnu lineárnu rovnicu y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integrujeme:

Aby sme získali pohodlnejší zápis, použijeme exponent na mocninu C ako nové C:

Táto transformácia sa uskutočnila, aby bolo pohodlnejšie nájsť derivát.

2) V získanom všeobecnom riešení lineárnej homogénnej rovnice uvažujeme С nie s konštantou, ale s funkciou x: С=С(x). Za tejto podmienky

Výsledné výrazy y a y' sa dosadia do podmienky:

Vynásobte obe strany rovnice

Integrujeme obe časti rovnice pomocou vzorca integrácie po častiach, dostaneme:

Tu už C nie je funkcia, ale obyčajná konštanta.

3) Do všeobecného riešenia homogénnej rovnice

dosadíme nájdenú funkciu С(x):

Dostali sme rovnakú odpoveď ako pri riešení Bernoulliho metódou.

Metóda variácie ľubovoľnej konštanty je použiteľná aj pri riešení.

y’x+y=-xy².

Rovnicu uvedieme do štandardného tvaru: y’+y/x=-y² (II).

1) Riešime homogénnu rovnicu y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Vynásobte obe strany rovnice dx a vydeľte y: dy/y=-dx/x. Teraz integrujme:

Získané výrazy dosadíme do podmienky (II):

Zjednodušenie:

Dostali sme rovnicu s oddeliteľnými premennými pre C a x:

Tu je C už obyčajná konštanta. V procese integrácie sme namiesto C(x) jednoducho napísali C, aby sme nepreťažili zápis. A na záver sme sa vrátili k C(x), aby sme si C(x) nepomýlili s novým C.

3) Nájdenú funkciu С(x) dosadíme do všeobecného riešenia homogénnej rovnice y=C(x)/x:

Dostali sme rovnakú odpoveď ako pri riešení Bernoulliho metódou.

Príklady autotestu:

1. Prepíšme rovnicu v štandardnom tvare: y'-2y=x.

1) Riešime homogénnu rovnicu y'-2y=0. y’=dy/dx, teda dy/dx=2y, vynásobte obe strany rovnice dx, vydeľte y a integrujte:

Odtiaľto nájdeme y:

Výrazy pre y a y’ dosadíme do podmienky (pre stručnosť budeme namiesto C (x) dopĺňať C a namiesto C „(x)) C’):

Na nájdenie integrálu na pravej strane používame vzorec integrácie podľa častí:

Teraz dosadíme u, du a v do vzorca:

Tu C = konšt.

3) Teraz dosadíme do roztoku homogénneho

Teoretické minimum

V teórii diferenciálnych rovníc existuje metóda, ktorá tvrdí, že má dostatočne vysoký stupeň univerzálnosti pre túto teóriu.
Hovoríme o metóde variácie ľubovoľnej konštanty, použiteľnej na riešenie rôzne triedy diferenciálne rovnice a ich
systémov. To je presne ten prípad, keď je teória – ak vytiahnete dôkaz tvrdení zo zátvoriek – minimálna, ale umožňuje vám dosiahnuť
významné výsledky, takže hlavný dôraz sa bude klásť na príklady.

Všeobecná myšlienka metódy je pomerne jednoduchá na formuláciu. Nechaj daná rovnica(systém rovníc) je ťažké vyriešiť alebo nie je vôbec jasný,
ako to vyriešiť. Je však vidieť, že keď sa niektoré pojmy z rovnice vylúčia, je vyriešená. Potom riešia len také zjednodušené
rovnice (systému), získajte riešenie obsahujúce určitý počet ľubovoľných konštánt - v závislosti od poradia rovnice (číslo
rovnice v systéme). Potom sa predpokladá, že konštanty v nájdenom riešení nie sú v skutočnosti konštanty, nájdené riešenie
sa dosadí do pôvodnej rovnice (sústavy), získa sa diferenciálna rovnica (alebo sústava rovníc) na určenie "konštantov".
Pri aplikácii metódy variácie ľubovoľnej konštanty na rôzne problémy existuje určitá špecifickosť, ale toto sú už detaily, ktoré budú
zobrazené s príkladmi.

Uvažujme samostatne riešenie lineárnych nehomogénnych rovníc vyšších rádov, t.j. rovnice formulára
.
Všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice je súčtom všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej rovnice a partikulárneho riešenia
daná rovnica. Predpokladajme, že všeobecné riešenie homogénnej rovnice už bolo nájdené, konkrétne je skonštruovaný základný systém riešení (FSR).
. Potom je všeobecné riešenie homogénnej rovnice .
Je potrebné nájsť konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice. Na tento účel sa konštanty považujú za závislé od premennej.
Ďalej musíte vyriešiť systém rovníc
.
Teória zaručuje, že tento systém algebraické rovnice vzhľadom na derivácie funkcií existuje len jedno riešenie.
Pri hľadaní samotných funkcií sa integračné konštanty neobjavujú: hľadá sa predsa akékoľvek jedno riešenie.

V prípade riešenia sústav lineárnych nehomogénnych rovníc prvého rádu tvaru

Algoritmus zostáva takmer nezmenený. Najprv musíte nájsť FSR zodpovedajúceho homogénneho systému rovníc, zostaviť základnú maticu
systém , ktorého stĺpce sú prvkami FSR. Ďalej rovnica
.
Pri riešení systému určíme funkcie, čím nájdeme konkrétne riešenie pôvodného systému
(základná matica sa vynásobí stĺpcom nájdených prvkov).
Pridáme ho k všeobecnému riešeniu zodpovedajúceho systému homogénnych rovníc, ktorý je zostavený na základe už nájdeného FSR.
Získa sa všeobecné riešenie pôvodného systému.

Príklady.

Príklad 1 Lineárne nehomogénne rovnice prvého rádu.

Uvažujme zodpovedajúcu homogénnu rovnicu (požadovanú funkciu označíme ):
.
Táto rovnica sa dá ľahko vyriešiť separáciou premenných:

.
A teraz znázorňujeme riešenie pôvodnej rovnice vo forme , kde funkciu ešte len treba nájsť.
Tento typ riešenia dosadíme do pôvodnej rovnice:
.
Ako vidíte, druhý a tretí výraz na ľavej strane sa navzájom rušia - toto je charakteristický metóda variácie ľubovoľnej konštanty.

Tu už - skutočne ľubovoľná konštanta. teda
.

Príklad 2 Bernoulliho rovnica.

Postupujeme podobne ako v prvom príklade – riešime rovnicu

metóda separácie premenných. Dopadne to , preto hľadáme riešenie pôvodnej rovnice vo forme
.
Túto funkciu dosadíme do pôvodnej rovnice:
.
A opäť sú tu škrty:
.
Tu je potrebné pamätať na to, aby ste sa uistili, že pri delení sa riešenie nestratí. A puzdro zodpovedá riešeniu originálu
rovnice. Pripomeňme si ho. takže,
.
Píšme .
Toto je riešenie. Pri písaní odpovede by ste mali uviesť aj riešenie nájdené skôr, pretože nezodpovedá žiadnej konečnej hodnote
konštanty .

Príklad 3 Lineárne nehomogénne rovnice vyšších rádov.

Hneď si všimneme, že túto rovnicu možno vyriešiť jednoduchšie, ale je vhodné na nej ukázať metódu. Aj keď nejaké výhody
metóda variácie ľubovoľnej konštanty ju má aj v tomto príklade.
Takže musíte začať s FSR zodpovedajúcej homogénnej rovnice. Pripomeňme si, že ak chcete nájsť FSR, charakteristiku
rovnica
.
Teda všeobecné riešenie homogénnej rovnice
.
Konštanty, ktoré sú tu zahrnuté, sa majú meniť. Zostavenie systému

Metóda variácie ľubovoľných konštánt sa používa na riešenie nehomogénnych diferenciálnych rovníc. Táto lekcia je určená tým žiakom, ktorí sa už v danej téme viac či menej orientujú. Ak sa s diaľkovým ovládačom ešte len začínate zoznamovať, t.j. Ak ste čajník, odporúčam začať prvou lekciou: Diferenciálne rovnice prvého rádu. Príklady riešení. A ak už končíte, zahoďte, prosím, možnú predpojatú predstavu, že metóda je náročná. Pretože je jednoduchý.

V akých prípadoch sa používa metóda variácie ľubovoľných konštánt?

1) Na riešenie možno použiť metódu variácie ľubovoľnej konštanty lineárny nehomogénny DE 1. rádu. Keďže rovnica je prvého rádu, potom konštanta (konštanta) je tiež jedna.

2) Metóda variácie ľubovoľných konštánt sa používa na riešenie niektorých lineárne nehomogénne rovnice druhého rádu. Tu sa menia dve konštanty (konštanty).

Je logické predpokladať, že lekcia bude pozostávať z dvoch odsekov .... Tak som napísal tento návrh a asi 10 minút som bolestne rozmýšľal, aké ďalšie šikovné svinstvo pridať pre hladký prechod do praktické príklady. Ale z nejakého dôvodu po sviatkoch nie sú žiadne myšlienky, hoci sa zdá, že som nič nezneužil. Poďme teda rovno na prvý odsek.

Metóda ľubovoľnej konštantnej variácie
pre lineárnu nehomogénnu rovnicu prvého rádu

Pred zvážením metódy variácie ľubovoľnej konštanty je žiaduce oboznámiť sa s článkom Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu. Na tej hodine sme cvičili prvý spôsob riešenia nehomogénne DE 1. rádu. Toto prvé riešenie, pripomínam, sa volá náhradná metóda alebo Bernoulliho metóda(nezamieňať s Bernoulliho rovnica!!!)

Teraz zvážime druhý spôsob riešenia– metóda variácie ľubovoľnej konštanty. Uvediem len tri príklady a vezmem ich z vyššie uvedenej lekcie. Prečo tak málo? Pretože v skutočnosti riešenie druhým spôsobom bude veľmi podobné riešeniu prvým spôsobom. Okrem toho sa podľa mojich pozorovaní metóda variácie ľubovoľných konštánt používa menej často ako metóda náhrady.

Príklad 1

(Odlišuje sa od príkladu č. 2 lekcie Lineárne nehomogénne DE 1. rádu)

Riešenie: Táto rovnica je lineárna nehomogénna a má známy tvar:

Prvým krokom je vyriešiť jednoduchšiu rovnicu:
To znamená, že hlúpo resetujeme pravú stranu - namiesto toho napíšeme nulu.
Rovnica zavolám pomocná rovnica.

V tomto príklade musíte vyriešiť nasledujúcu pomocnú rovnicu:

Pred nami oddeliteľná rovnica, ktorého riešenie (dúfam) už pre vás nie je ťažké:

Takto:
je všeobecné riešenie pomocnej rovnice .

Na druhom kroku nahradiť stálica niektorých ešte neznáma funkcia, ktorá závisí od "x":

Odtiaľ pochádza názov metódy - variujeme konštantu . Alternatívne môže byť konštanta nejaká funkcia, ktorú teraz musíme nájsť.

IN originálny nehomogénna rovnica Poďme nahradiť:

Nahradiť a do rovnice :

kontrolný moment - dva výrazy na ľavej strane sa rušia. Ak sa tak nestane, mali by ste hľadať chybu vyššie.

V dôsledku nahradenia sa získa rovnica s oddeliteľnými premennými. Oddeľte premenné a integrujte.

Aké požehnanie, aj exponenty sa zmenšujú:

K nájdenej funkcii pridáme „normálnu“ konštantu:

V záverečnej fáze si pripomíname našu náhradu:

Funkcia práve nájdená!

Takže všeobecné riešenie je:

odpoveď: spoločné rozhodnutie:

Ak si vytlačíte dve riešenia, ľahko si všimnete, že v oboch prípadoch sme našli rovnaké integrály. Jediný rozdiel je v algoritme riešenia.

Teraz niečo zložitejšie, vyjadrím sa aj k druhému príkladu:

Príklad 2

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice
(Odlišuje sa od príkladu č. 8 lekcie Lineárne nehomogénne DE 1. rádu)

Riešenie: Prinášame rovnicu do formulára :

Nastavte pravú stranu na nulu a vyriešte pomocnú rovnicu:

Všeobecné riešenie pomocnej rovnice:

V nehomogénnej rovnici vykonáme substitúciu:

Podľa pravidla diferenciácie produktov:

Nahradiť a do pôvodnej nehomogénnej rovnice:

Dva výrazy na ľavej strane sa rušia, čo znamená, že sme na správnej ceste:

Integrujeme po častiach. Chutný list zo vzorca integrácie po častiach, ktorý sme už zapojili do riešenia, preto používame napríklad písmená „a“ a „be“:

Teraz sa pozrime na náhradu:

odpoveď: spoločné rozhodnutie:

A jeden príklad pre nezávislé riešenie:

Príklad 3

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke.

,
(Rozdiel z príkladu lekcie 4 Lineárne nehomogénne DE 1. rádu)
Riešenie:
Toto DE je lineárne nehomogénne. Používame metódu variácie ľubovoľných konštánt. Poďme vyriešiť pomocnú rovnicu:

Oddeľujeme premenné a integrujeme:

Spoločné rozhodnutie:
V nehomogénnej rovnici vykonáme substitúciu:

Urobme náhradu:

Takže všeobecné riešenie je:

Nájdite konkrétne riešenie zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke:

odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Riešenie na konci hodiny môže slúžiť ako približný model na dokončenie zadania.

Metóda variácie ľubovoľných konštánt
pre lineárnu nehomogénnu rovnicu druhého rádu
s konštantnými koeficientmi

Často bolo počuť názor, že metóda variácie ľubovoľných konštánt pre rovnicu druhého rádu nie je jednoduchá vec. Ale myslím si, že toto: s najväčšou pravdepodobnosťou sa táto metóda mnohým zdá ťažká, pretože nie je taká bežná. V skutočnosti však neexistujú žiadne zvláštne ťažkosti - priebeh rozhodnutia je jasný, transparentný a zrozumiteľný. A krásny.

Pre zvládnutie metódy je žiadúce vedieť riešiť nehomogénne rovnice druhého rádu výberom konkrétneho riešenia podľa tvaru pravej strany. Táto metóda je podrobne popísaná v článku. Nehomogénne DE 2. rádu. Pripomíname, že lineárna nehomogénna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi má tvar:

Metóda výberu, ktorá bola uvažovaná v predchádzajúcej lekcii, funguje len v obmedzenom počte prípadov, keď sú polynómy, exponenty, sínusy, kosínusy na pravej strane. Ale čo robiť, keď je na pravej strane napríklad zlomok, logaritmus, dotyčnica? V takejto situácii prichádza na pomoc metóda variácie konštánt.

Príklad 4

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice druhého rádu

Riešenie: Na pravej strane tejto rovnice je zlomok, takže môžeme okamžite povedať, že metóda výberu konkrétneho riešenia nefunguje. Používame metódu variácie ľubovoľných konštánt.

Nič nepredstavuje búrku, začiatok riešenia je celkom obyčajný:

Poďme nájsť spoločné rozhodnutie zodpovedajúce homogénne rovnice:

Zostavíme a vyriešime charakteristickú rovnicu:


– získajú sa korene konjugovaného komplexu, takže všeobecné riešenie je:

Venujte pozornosť záznamu všeobecného riešenia - ak existujú zátvorky, otvorte ich.

Teraz urobíme takmer rovnaký trik ako pri rovnici prvého poriadku: meníme konštanty a nahrádzame ich neznámymi funkciami. teda všeobecné riešenie nehomogénneho Budeme hľadať rovnice v tvare:

Kde - ešte neznáme funkcie.

Vyzerá to ako smetisko, ale teraz všetko vytriedime.

Deriváty funkcií pôsobia ako neznáme. Naším cieľom je nájsť derivácie a nájdené derivácie musia spĺňať prvú aj druhú rovnicu systému.

Odkiaľ pochádzajú „hry“? Prináša ich bocian. Pozrieme sa na predtým získané všeobecné riešenie a napíšeme:

Poďme nájsť deriváty:

Zaoberal sa ľavou stranou. Čo je napravo?

je pravá strana pôvodnej rovnice, v tomto prípade:

Koeficient je koeficient pri druhej derivácii:

V praxi takmer vždy a náš príklad nie je výnimkou.

Všetko je vyčistené, teraz môžete vytvoriť systém:

Systém je zvyčajne vyriešený podľa Cramerových vzorcov pomocou štandardného algoritmu. Jediný rozdiel je v tom, že namiesto čísel máme funkcie.

Nájdite hlavný determinant systému:

Ak ste zabudli, ako sa odhalí determinant „dva po dvoch“, pozrite si lekciu Ako vypočítať determinant? Odkaz vedie na tabuľu hanby =)

Takže: , takže systém má jedinečné riešenie.

Nájdeme derivát:

To však nie je všetko, zatiaľ sme našli len derivát.
Samotná funkcia sa obnoví integráciou:

Pozrime sa na druhú funkciu:

Tu pridáme „normálnu“ konštantu

V záverečnej fáze riešenia si pripomenieme, v akej forme sme hľadali všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice? V takej:

Funkcie, ktoré potrebujete, ste práve našli!

Zostáva vykonať náhradu a zapísať odpoveď:

odpoveď: spoločné rozhodnutie:

V zásade by odpoveď mohla otvárať zátvorky.

Úplná kontrola odpovede sa vykonáva podľa štandardnej schémy, ktorá bola zohľadnená v lekcii. Nehomogénne DE 2. rádu. Overenie však nebude jednoduché, pretože musíme nájsť dosť ťažké deriváty a vykonať ťažkopádnu substitúciu. Toto je nepríjemná funkcia, keď riešite takéto rozdiely.

Príklad 5

Riešte diferenciálnu rovnicu metódou variácie ľubovoľných konštánt

Toto je príklad „urob si sám“. V skutočnosti je aj pravá strana zlomkom. Pamätáme si trigonometrický vzorec, mimochodom, bude potrebné ho aplikovať v priebehu riešenia.

Metóda variácie ľubovoľných konštánt je najviac generická metóda. Môžu vyriešiť akúkoľvek rovnicu, ktorá sa dá vyriešiť spôsob výberu konkrétneho riešenia podľa tvaru pravej strany. Vynára sa otázka, prečo aj tam nepoužiť metódu variácie ľubovoľných konštánt? Odpoveď je zrejmá: výber konkrétneho riešenia, o ktorom sa v lekcii uvažovalo Nehomogénne rovnice druhého rádu, výrazne zrýchli riešenie a skráti zápis - žiadne motanie sa s determinantmi a integrálmi.

Zvážte dva príklady s Cauchy problém.

Príklad 6

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice zodpovedajúce daným počiatočným podmienkam

,

Riešenie: Opäť zlomok a exponent v zaujímavé miesto.
Používame metódu variácie ľubovoľných konštánt.

Poďme nájsť spoločné rozhodnutie zodpovedajúce homogénne rovnice:



– získajú sa rôzne skutočné korene, takže všeobecné riešenie je:

Všeobecné riešenie nehomogénnych hľadáme rovnice v tvare: , kde - ešte neznáme funkcie.

Vytvorme si systém:

V tomto prípade:
,
Hľadanie derivátov:
,

Takto:

Systém riešime pomocou Cramerových vzorcov:
, takže systém má jedinečné riešenie.

Funkciu obnovíme integráciou:

Používa sa tu spôsob uvedenia funkcie pod diferenciálne znamienko.

Obnovíme druhú funkciu integráciou:

Takýto integrál je vyriešený variabilná substitučná metóda:

Zo samotnej výmeny vyjadrujeme:

Takto:

Tento integrál možno nájsť extrakčná metóda plné námestie , ale v príkladoch s difúrmi preferujem rozšírenie zlomku metóda neurčitých koeficientov:

Našli sa obe funkcie:

Výsledkom je, že všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice je:

Nájdite konkrétne riešenie, ktoré spĺňa počiatočné podmienky .

Technicky sa hľadanie riešenia uskutočňuje štandardným spôsobom, o ktorom sa hovorilo v článku. Nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu.

Počkajte, teraz nájdeme derivát nájdeného všeobecného riešenia:

Tu je taká hanba. Netreba to zjednodušovať, jednoduchšie je hneď zostaviť sústavu rovníc. Podľa počiatočných podmienok :

Nahraďte nájdené hodnoty konštánt do všeobecného riešenia:

V odpovedi môžu byť logaritmy trochu zabalené.

odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Ako vidíte, ťažkosti môžu nastať v integráloch a deriváciách, ale nie v algoritme metódy variácie ľubovoľných konštánt. Nebol som to ja, kto ťa zastrašil, toto všetko je zbierka Kuznecova!

Na uvoľnenie posledný, jednoduchší, samoriešiaci príklad:

Príklad 7

Vyriešte Cauchyho problém

,

Príklad je jednoduchý, ale kreatívny, keď robíte systém, pred rozhodnutím si ho pozorne pozrite ;-),




V dôsledku toho je všeobecné riešenie:

Nájdite konkrétne riešenie zodpovedajúce počiatočným podmienkam .



Nájdené hodnoty konštánt dosadíme do všeobecného riešenia:

odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Uvažuje sa o metóde riešenia lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc vyšších rádov s konštantnými koeficientmi metódou variácie Lagrangeových konštánt. Lagrangeova metóda je tiež použiteľná na riešenie akýchkoľvek lineárnych nehomogénnych rovníc, ak je známy základný systém riešení homogénnej rovnice.

Obsah

Pozri tiež:

Lagrangeova metóda (variácia konštánt)

Uvažujme lineárnu nehomogénnu diferenciálnu rovnicu s konštantnými koeficientmi ľubovoľného n-tého rádu:
(1) .
Nami zvažovaná metóda konštantnej variácie rovnice prvého poriadku, je použiteľný aj pre rovnice vyšších rádov.

Riešenie sa uskutočňuje v dvoch etapách. V prvej fáze zahodíme pravú stranu a vyriešime homogénnu rovnicu. Výsledkom je riešenie obsahujúce n ľubovoľných konštánt. V druhom kroku meníme konštanty. To znamená, že uvažujeme, že tieto konštanty sú funkciami nezávislej premennej x a nájdeme tvar týchto funkcií.

Síce tu uvažujeme o rovniciach s konštantnými koeficientmi, ale Lagrangeova metóda je tiež použiteľná na riešenie akýchkoľvek lineárnych nehomogénnych rovníc. Na to však treba poznať fundamentálny systém riešení homogénnej rovnice.

Krok 1. Riešenie homogénnej rovnice

Rovnako ako v prípade rovníc prvého rádu, najprv hľadáme všeobecné riešenie homogénnej rovnice, pričom pravú nehomogénnu časť priradíme k nule:
(2) .
Všeobecné riešenie takejto rovnice má tvar:
(3) .
Tu sú ľubovoľné konštanty; - n lineárne nezávislých riešení homogénnej rovnice (2), ktoré tvoria základnú sústavu riešení tejto rovnice.

Krok 2. Variácia konštánt - Nahradenie konštánt funkciami

V druhom kroku sa budeme zaoberať variáciou konštánt. Inými slovami, konštanty nahradíme funkciami nezávislej premennej x :
.
To znamená, že hľadáme riešenie pôvodnej rovnice (1) v nasledujúcom tvare:
(4) .

Ak dosadíme (4) do (1), dostaneme jednu diferenciálnu rovnicu pre n funkcií. V tomto prípade môžeme tieto funkcie spojiť s ďalšími rovnicami. Potom dostanete n rovníc, z ktorých môžete určiť n funkcií. Dodatočné rovnice môžu byť napísané rôznymi spôsobmi. Ale urobíme to tak, aby riešenie malo najjednoduchšiu formu. Aby ste to dosiahli, musíte pri diferencovaní rovnať nule členov obsahujúcich deriváty funkcií. Poďme si to ukázať.

Na dosadenie navrhovaného riešenia (4) do pôvodnej rovnice (1) potrebujeme nájsť derivácie prvých n rádov funkcie zapísanej v tvare (4). Odlíšte (4) aplikáciou pravidlá diferenciácie súčtu A Tvorba :
.
Poďme zoskupiť členov. Najprv napíšeme výrazy s derivátmi , a potom výrazy s derivátmi :

.
Na funkcie kladieme prvú podmienku:
(5.1) .
Potom výraz pre prvú deriváciu vzhľadom na bude mať jednoduchší tvar:
(6.1) .

Rovnakým spôsobom nájdeme druhú deriváciu:

.
Na funkcie kladieme druhú podmienku:
(5.2) .
Potom
(6.2) .
A tak ďalej. Za ďalších podmienok prirovnávame členy obsahujúce deriváty funkcií k nule.

Ak teda pre funkcie zvolíme nasledujúce dodatočné rovnice:
(5.k) ,
potom prvé deriváty vzhľadom na budú mať najjednoduchší tvar:
(6.k) .
Tu .

Nájdeme n-tú deriváciu:
(6.n)
.

Do pôvodnej rovnice (1) dosadíme:
(1) ;






.
Berieme do úvahy, že všetky funkcie spĺňajú rovnicu (2):
.
Potom súčet členov, ktoré obsahujú, dáva nulu. V dôsledku toho dostaneme:
(7) .

Výsledkom je, že máme systém lineárne rovnice pre deriváty:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Pri riešení tohto systému nájdeme výrazy pre derivácie ako funkcie x . Integráciou získame:
.
Tu sú konštanty, ktoré už nezávisia od x. Dosadením do (4) dostaneme všeobecné riešenie pôvodnej rovnice.

Všimnite si, že sme nikdy nepoužili skutočnosť, že koeficienty ai sú konštantné na určenie hodnôt derivácií. Preto Lagrangeova metóda je použiteľná na riešenie akýchkoľvek lineárnych nehomogénnych rovníc, ak je známa základná sústava riešení homogénnej rovnice (2).

Príklady

Riešiť rovnice metódou variácie konštánt (Lagrange).


Riešenie príkladov >> >

Pozri tiež: Riešenie rovníc prvého rádu metódou konštantných variácií (Lagrange)
Riešenie rovníc vyššieho rádu Bernoulliho metódou
Riešenie lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc vyššieho rádu s konštantnými koeficientmi lineárnou substitúciou