S UVERITEĽNÝMI DÔVODMI „OD KONCA DO ZAČIATKU“ PRI POSUDZOVANÍ FAKTOROV TECHNOLOGICKÉHO PROCESU

Všeobecné informácie o metóde rozmerovej analýzy

Pri štúdiu mechanické javy zavádza sa množstvo pojmov, napríklad energia, rýchlosť, napätie atď., ktoré charakterizujú uvažovaný jav a možno ich zadať a určiť pomocou čísla. Všetky otázky o pohybe a rovnováhe sú formulované ako problémy určovania určitých funkcií a číselných hodnôt pre veličiny charakterizujúce jav a pri riešení takýchto problémov v čisto teoretických štúdiách sú zákony prírody a rôzne geometrické (priestorové) vzťahy prezentované v tvar funkcionálnych rovníc – zvyčajne diferenciálnych.

Veľmi často nemáme možnosť sformulovať problém v matematickej forme, keďže skúmaný mechanický jav je taký zložitý, že preň zatiaľ neexistuje prijateľná schéma a zatiaľ neexistujú pohybové rovnice. S takouto situáciou sa stretávame pri riešení úloh v oblasti leteckej mechaniky, hydromechaniky, pri úlohách štúdia pevnosti a deformácií a pod. V týchto prípadoch zohrávajú hlavnú úlohu experimentálne výskumné metódy, ktoré umožňujú stanoviť najjednoduchšie experimentálne údaje, ktoré následne tvoria základ koherentných teórií s prísnym matematickým aparátom. Samotné experimenty je však možné uskutočniť len na základe predbežného teoretického rozboru. Rozpor je vyriešený počas iteratívneho procesu výskumu, predkladaním predpokladov a hypotéz a ich experimentálnym testovaním. Zároveň sú založené na prítomnosti podobnosti prírodných javov ako všeobecného zákona. Teória podobnosti a dimenzií je do určitej miery „gramatika“ experimentu.

Rozmer veličín

Jednotky merania rôznych fyzikálnych veličín, kombinované na základe ich konzistencie, tvoria sústavu jednotiek. V súčasnosti sa používa medzinárodný systém jednotiek (SI). V SI sa nezávisle od seba vyberajú jednotky merania takzvaných primárnych veličín - hmotnosť (kilogram, kg), dĺžka (meter, m), čas (sekunda, sekunda, s), sila prúdu (ampéry). , a), teplota (stupeň Kelvina, K) a sila svetla (sviečka, sv). Nazývajú sa základné jednotky. Jednotky merania zostávajúcich vedľajších veličín sú vyjadrené ako hlavné. Vzorec, ktorý udáva závislosť mernej jednotky vedľajšej veličiny od hlavných meracích jednotiek, sa nazýva dimenzia tejto veličiny.

Dimenzia sekundárnej veličiny sa zistí pomocou definujúcej rovnice, ktorá slúži ako definícia tejto veličiny v matematickej forme. Napríklad definujúca rovnica pre rýchlosť je

.

Rozmer veličiny potom označíme symbolom tejto veličiny v hranatých zátvorkách

, alebo
,

kde [L], [T] sú rozmery dĺžky a času.

Za definujúcu rovnicu pre silu možno považovať druhý Newtonov zákon

Potom bude mať rozmer sily nasledujúci tvar

[F]=[M][L][T] .

Definujúca rovnica a vzorec pre rozmer práce budú mať tvar

A=Fs a [A]=[M][L] [T] .

Vo všeobecnom prípade budeme mať vzťah

[Q] =[M] [L] [T] (1).

Venujme pozornosť záznamu vzťahu rozmerov, ešte sa nám bude hodiť.

Vety o podobnosti

Formovanie teórie podobnosti v historickom aspekte charakterizujú jej tri hlavné vety.

Prvá veta o podobnosti formuluje potrebné podmienky a vlastnosti takýchto systémov, pričom tvrdí, že takéto javy majú rovnaké kritériá podobnosti vo forme bezrozmerných výrazov, ktoré sú mierou pomeru intenzity dvoch fyzikálnych efektov, ktoré sú pre skúmaný proces podstatné.

Druhá veta podobnosti(P-veta) dokazuje možnosť redukcie rovnice do kriteriálneho tvaru bez určenia dostatočnosti podmienok pre existenciu podobnosti.

Tretia veta podobnosti poukazuje na limity pravidelného rozloženia jedinej skúsenosti, pretože podobné javy budú tie, ktoré majú podobné podmienky jedinečnosti a rovnaké definujúce kritériá.

Metodologická podstata teórie dimenzií teda spočíva v tom, že akúkoľvek sústavu rovníc, ktorá obsahuje matematický záznam zákonitostí, ktorými sa daný jav riadi, možno formulovať ako vzťah medzi bezrozmernými veličinami. Určujúce kritériá sú zložené zo vzájomne nezávislých veličín, ktoré sú zahrnuté v podmienkach jednoznačnosti: geometrické vzťahy, fyzikálne parametre, okrajové (počiatočné a okrajové) podmienky. Systém definovania parametrov musí mať vlastnosti úplnosti. Niektoré z definujúcich parametrov môžu byť fyzikálne rozmerové konštanty, budeme ich nazývať fundamentálne premenné, na rozdiel od iných - riadené premenné. Príkladom je gravitačné zrýchlenie. Je základnou premennou. V pozemských podmienkach - konštantná hodnota a - premenná v podmienkach priestoru.

Pre správnu aplikáciu rozmerovej analýzy musí výskumník poznať povahu a počet základných a riadených premenných vo svojom experimente.

V tomto prípade existuje praktický záver z teórie dimenzionálnej analýzy a spočíva v tom, že ak experimentátor skutočne pozná všetky premenné skúmaného procesu, a stále neexistuje matematický záznam zákona v podobe tzv. rovnicu, potom má právo ich transformovať použitím prvej časti Buckinghamove vety: "Ak je nejaká rovnica vzhľadom na rozmery jednoznačná, potom ju možno previesť na vzťah obsahujúci množinu bezrozmerných kombinácií veličín."

Homogénna vzhľadom na rozmery je rovnica, ktorej tvar nezávisí od výberu základných jednotiek.

PS. Empirické vzorce sú zvyčajne približné. Ide o popisy vo forme nehomogénnych rovníc. Vo svojom dizajne majú rozmerové koeficienty, ktoré „fungujú“ len v určitom systéme meracích jednotiek. Následne akumuláciou údajov sa dostávame k popisu vo forme homogénnych rovníc, teda nezávislých od systému meracích jednotiek.

Bezrozmerné kombinácie ide o produkty alebo pomery množstiev zostavené takým spôsobom, že v každej kombinácii rozmerov sú zmenšené. V tomto prípade vznikajú produkty viacerých rozmerových veličín rôznej fyzikálnej povahy komplexy, pomer dvoch rozmerných veličín rovnakej fyzikálnej povahy - zjednodušuje.

Namiesto toho, aby ste postupne menili každú z premenných,a zmena niektorých z nich môže spôsobiťťažkostí, môže výskumník len obmieňaťkombinácie. Táto okolnosť značne zjednodušuje experiment a umožňuje prezentovať v grafickej forme a analyzovať získané údaje oveľa rýchlejšie a s väčšou presnosťou.

Pomocou metódy dimenzionálnej analýzy organizovanie hodnoverných úvah „od konca po začiatok“.

Po prečítaní vyššie uvedených všeobecných informácií môžete venovať pozornosť najmä nasledujúcim bodom.

Najúčinnejšie využitie rozmerovej analýzy je v prítomnosti jednej bezrozmernej kombinácie. V tomto prípade postačí experimentálne určiť len párovací koeficient (na zostavenie a vyriešenie jednej rovnice stačí zostaviť jeden experiment). Úloha sa stáva zložitejšou s nárastom počtu bezrozmerných kombinácií. Splnenie požiadavky úplného popisu fyzikálneho systému je spravidla možné (alebo si to možno myslia) so zvýšením počtu zohľadnených premenných. Zároveň sa však zvyšuje pravdepodobnosť komplikácií formy funkcie a čo je najdôležitejšie, prudko sa zvyšuje množstvo experimentálnej práce. Zavedením ďalších základných jednotiek sa problém nejako zbavuje, no nie vždy a nie úplne. Skutočnosť, že teória rozmerovej analýzy sa postupom času rozvíja, je veľmi povzbudivá a orientuje sa na hľadanie nových možností.

No, čo ak pri hľadaní a vytváraní súboru faktorov, ktoré treba vziať do úvahy, t. j. v skutočnosti pri obnove štruktúry skúmaného fyzikálneho systému, použijeme organizáciu hodnoverného uvažovania „od konca po začiatok“ podľa Pappus?

Aby sme porozumeli vyššie uvedenému návrhu a upevnili základy metódy rozmerovej analýzy, navrhujeme analyzovať príklad stanovenia vzťahu faktorov, ktoré určujú účinnosť rozbíjania výbušnín pri podzemnej ťažbe rudných ložísk.

Berúc do úvahy princípy systémového prístupu, môžeme oprávnene usúdiť, že dva systémové interagujúce objekty tvoria nový dynamický systém. Vo výrobnej činnosti sú tieto predmety predmetom transformácie a predmetným nástrojom transformácie.

Pri lámaní rudy na báze explozívneho ničenia môžeme za taký považovať rudný masív a systém trhavých náloží (vrtov).

Pri použití princípov rozmerovej analýzy s organizáciou hodnoverného uvažovania „od konca po začiatok“ získame nasledujúcu líniu uvažovania a systém vzájomných vzťahov medzi parametrami výbušného komplexu a charakteristikami poľa.

d m = f 1 (W,I 0 ,t námestník , s)	d m = k 1 W(st námestník ¤ ja 0 W) n (1)
ja 0 = f 2 (I c ,V Búr ,K A )	ja 0 = k 2 ja c V Búr K A (2)
ja c = f 3 (t námestník ,Q ,A)	ja s = k 3 t vzduchu 2/3 Q 2/3 A 1/3 (3)
t vzduchu = f 4 (r zab ,P Max l dobre )	t vzduchu = k 4 r zab 1/2 P Max –1/2 l dobre (4)
P Max = f 5 (r zar D)	P Max = k 5 r zar D 2 (5)

Označenia a vzorce pre rozmery použitých premenných sú uvedené v tabuľke.

PREMENNÉ	Označenie	rozmery
Maximálny priemer drvenia	d m	[ L]
Línia najmenšieho odporu		[ L]
Pevnosť hornín v tlaku
Obdobie (interval) spomalenia odstrelu	t námestník	[ T]
Výbušný impulz na 1 m 3 poľa	ja 0
Špecifická spotreba vŕtania, m / m 3	V Búr	[ L -2 ]
Miera využívania spoplatnených studní	TO je
Výbušný impulz na 1 m studne	ja c
Energia výbuchu na 1 m nabitia
Akustická tvrdosť média (A=gC)
Doba dopadu výbuchu v studni	t vzduchu	[ T]
hustota stonky	r zab	[ L -3 M]
No dĺžka	l dobre	[ L]
Maximálny počiatočný tlak v studni		[ L -1 M T -2 ]
Hustota náboja v studni	r zar	[ L -3 M]
Výbušná rýchlosť detonácie		[ L T -1 ]

Prechod od vzorca (5) k vzorcu (1), odhalenie zistených vzťahov a tiež pamätanie na predtým stanovený vzťah medzi priemerom priemeru a priemerom maximálneho kusu z hľadiska kolapsu

d St = k 6 d m 2/3 , (6)

získame všeobecnú rovnicu vzťahu faktorov, ktoré určujú kvalitu drvenia:

d St = kW 2/3 [ s t námestník / r zab 1/3 D -2/3 l dobre 2/3 M zar 2|3 U storočia 2/3 A 1/3 V Búr TO je W] n (7)

Transformujme posledný výraz, aby sme vytvorili bezrozmerné komplexy, pričom majme na pamäti:

Q= M zar U storočia ; q storočia =M zar V Búr TO je ; M zab =0.25 p r zab d dobre 2 ;

Kde M zar je hmotnosť nálože výbušniny v 1 m dĺžky vrtu, kg/m;

M zab – hmotnosť kmeňa v 1 m kmeňa, kg/m;

U storočia – výhrevnosť výbušnín, kcal/kg.

V čitateli a menovateli používame [M zar 1/3 U storočia 1/3 (0.25 pd dobre 2 ) 1/3 ] . Konečne dostaneme

Všetky komplexy a zjednodušenia majú fyzikálny význam. Podľa experimentálnych údajov a údajov z praxe, mocninný exponent n=1/3, a koeficient k sa určuje v závislosti od mierky zjednodušenia vyjadrovania (8).

Hoci úspech rozmerovej analýzy závisí od správneho pochopenia fyzikálneho významu konkrétneho problému, po výbere premenných a základných rozmerov je možné túto metódu aplikovať úplne automaticky. Preto je možné túto metódu ľahko uviesť vo forme receptu, pričom však treba mať na pamäti, že takýto „recept“ vyžaduje od výskumníka správny výber zložiek. Jediné, čo tu môžeme urobiť, je poskytnúť všeobecné rady.

1. fáza Vyberte nezávislé premenné, ktoré ovplyvňujú systém. Mali by sa zvážiť aj rozmerové koeficienty a fyzikálne konštanty, ak zohrávajú dôležitú úlohu. Toto je najzodpovednejšieny etapy celej práce.

2. fáza Zvoľte si systém základných rozmerov, prostredníctvom ktorého môžete vyjadriť jednotky všetkých vybraných premenných. Bežne sa používajú tieto systémy: v mechanike a dynamike tekutín MLq(Niekedy FLq), V termodynamika MLqT alebo MLqTH; v elektrotechnike a jadrovej fyzike MLqTO alebo MLqm., v tomto prípade možno teplotu považovať buď za základnú veličinu, alebo ju vyjadriť ako molekulárnu kinetickú energiu.

3. fáza Zapíšte si rozmery vybraných nezávislých premenných a vytvorte bezrozmerné kombinácie. Riešenie bude správne, ak: 1) každá kombinácia je bezrozmerná; 2) počet kombinácií nie je menší ako počet predpovedaný p-vetou; 3) každá premenná sa vyskytuje v kombinácii aspoň raz.

4. fáza Preskúmajte výsledné kombinácie z hľadiska ich prijateľnosti, fyzikálneho významu a (ak sa má použiť metóda najmenších štvorcov) koncentrácie neistoty v jednej kombinácii, ak je to možné. Ak kombinácie nespĺňajú tieto kritériá, potom je možné: 1) získať iné riešenie rovníc pre exponenty s cieľom nájsť najlepšiu množinu kombinácií; 2) zvoliť iný systém základných rozmerov a robiť všetku prácu od samého začiatku; 3) skontrolujte správnosť výberu nezávislých premenných.

Etapa 5. Keď sa získa uspokojivý súbor bezrozmerných kombinácií, výskumník môže naplánovať zmenu kombinácií zmenou hodnôt vybraných premenných vo svojom zariadení. Osobitná pozornosť by sa mala venovať dizajnu experimentov.

Pri použití metódy rozmerovej analýzy s organizáciou hodnoverného uvažovania „od konca do začiatku“ je potrebné zaviesť vážne korekcie, a to najmä v prvej fáze.

Stručné závery

Dnes je možné vytvárať koncepčné opatrenia výskumnej práce podľa už zavedeného normatívneho algoritmu. Sledovanie krok za krokom vám umožňuje zefektívniť vyhľadávanie témy a určiť jej fázy implementácie s prístupom k vedeckým ustanoveniam a odporúčaniam. Znalosť obsahu jednotlivých postupov prispieva k ich odbornému zhodnoteniu a výberu najvhodnejších a najefektívnejších.

Pokrok vo vedeckom výskume môžu byť prezentované vo forme logickej schémy, určenej v procese vykonávania výskumu, pričom sa zdôrazňujú tri fázy, ktoré sú charakteristické pre akúkoľvek činnosť:

Prípravná fáza: Možno to nazvať aj etapou metodickej prípravy výskumu a formovania metodickej podpory výskumu. Náplň práce je nasledovná. Vymedzenie problému, vypracovanie pojmového popisu predmetu skúmania a vymedzenie (formulácia) výskumnej témy. Vypracovanie výskumného programu s formuláciou úloh a vypracovaním plánu ich riešenia. Rozumný výber výskumných metód. Vývoj metodiky experimentálnej práce.

Hlavné pódium: - výkonná (technologická), realizácia programu a výskumného zámeru.

záverečná fáza: - spracovanie výsledkov výskumu, formulácia hlavných ustanovení, odporúčaní, expertízy.

Vedecké ustanovenia sú novou vedeckou pravdou – to je to, čo je potrebné a môže sa brániť. Formulácia vedeckých ustanovení môže byť matematická alebo logická. Vedecké ustanovenia pomáhajú príčine, riešeniu problému. Vedecké ustanovenia by mali byť cielené, t.j. reflektujú (obsahujú) tému, pre ktorú boli riešené. Aby bolo možné uskutočniť všeobecné prepojenie obsahu VaV so stratégiou jeho implementácie, odporúča sa pracovať na štruktúre správy o VaV pred a (alebo) po vypracovaní týchto ustanovení. V prvom prípade má práca na štruktúre správy dokonca heuristický potenciál, prispieva k pochopeniu myšlienok výskumu a vývoja, v druhom prípade pôsobí ako akýsi test stratégie a spätná väzba pre manažment výskumu a vývoja.

Pamätajme, že existuje logika hľadania, vykonávania práce a hľa geek prezentácia. Prvá je dialektická – dynamická, s cyklami, návratmi, ťažko formalizovateľná, druhá je logika statického stavu, formálna, t.j. s presne definovanou formou.

Ako záver je žiaduce počas celej doby výskumu neprestať pracovať na štruktúre správy a tak epizodicky „skontrolovať hodiny DVOCH LOGIKOV“.

K zvýšeniu efektivity práce na koncepcii prispieva systematizácia moderných problémov baníctva na administratívnej úrovni.

V metodologickej podpore výskumnej práce sa často stretávame so situáciami, kedy ešte nie sú úplne rozpracované teoretické ustanovenia o konkrétnom probléme. Vhodné je využiť metodický „lízing“. Ako príklad takéhoto prístupu a jeho možného využitia je zaujímavá metóda dimenzionálnej analýzy s organizáciou hodnoverného uvažovania „od konca po začiatok“.

Základné pojmy a pojmy

Predmet a predmet činnosti	Relevantnosť	banskej technológie
koncepcia		Zariadenie banskej technológie
Stanovenie účelu a cieľa		Nástroje banskej technológie
problémová problémová situácia	Štruktúra	Fyzický a technický účinok
Etapy a etapy výskumu		Vedecká pozícia
Vety o podobnosti	Rozmer	Základné jednotky

Skúsenosť je objaviteľom prírody. Nikdy neklame... Musíme robiť experimenty tak, že zmeníme okolnosti, kým z nich nevytiahneme všeobecné pravidlá, pretože skúsenosť poskytuje skutočné pravidlá.

Leonardo da Vinci

Fyzikálne veličiny, ktorých číselná hodnota nezávisí od zvolenej stupnice jednotiek, sa nazývajú bezrozmerné. Príkladmi bezrozmerných veličín sú uhol (pomer dĺžky oblúka k polomeru), index lomu hmoty (pomer rýchlosti svetla vo vákuu k rýchlosti svetla v hmote).

Fyzikálne veličiny, ktoré pri zmene mierky jednotiek menia svoju číselnú hodnotu, sa nazývajú rozmerové. Príkladmi rozmerových veličín sú dĺžka, sila atď. Vyjadrenie jednotky fyzikálnej veličiny v základných jednotkách sa nazýva jej rozmer (alebo rozmerový vzorec). Napríklad rozmer sily v sústavách CGS a SI je vyjadrený vzorcom

Úvahy o dimenzii možno použiť na kontrolu správnosti získaných odpovedí pri riešení fyzikálnych úloh: pravá a ľavá časť získaných výrazov, ako aj jednotlivé pojmy v každej z častí, musia mať rovnaký rozmer.

Metódu kótovania možno použiť aj na odvodenie vzorcov a rovníc, keď vieme, od akých fyzikálnych parametrov môže požadovaná hodnota závisieť. Podstatu metódy je najjednoduchšie pochopiť na konkrétnych príkladoch.

Aplikácie metódy kótovania. Uvažujme o probléme, na ktorý je nám dobre známa odpoveď: akou rýchlosťou spadne teleso na zem voľne padajúce bez počiatočnej rýchlosti z výšky, ak možno zanedbať odpor vzduchu? Namiesto priameho výpočtu na základe pohybových zákonov budeme argumentovať nasledovne.

Zamyslime sa nad tým, od čoho môže závisieť požadovaná rýchlosť. Je zrejmé, že musí závisieť od počiatočnej výšky a od zrýchlenia voľného pádu. Podľa Aristotela možno predpokladať, že závisí aj od hmotnosti. Keďže je možné pridať iba hodnoty rovnakého rozmeru, pre požadovanú rýchlosť možno navrhnúť nasledujúci vzorec:

kde C je nejaká bezrozmerná konštanta (číselný koeficient) a x, y a z sú neznáme čísla, ktoré sa majú určiť.

Rozmery pravej a ľavej časti tejto rovnosti musia byť rovnaké a práve túto podmienku možno použiť na určenie exponentov x, y, z v (2). Rozmer rýchlosti je rozmer výšky rozmer zrýchlenia voľného pádu je napokon rozmer hmoty rovný M. Keďže konštanta C je bezrozmerná, vzorec (2) zodpovedá nasledujúcej rovnosti rozmerov :

Táto rovnosť musí platiť bez ohľadu na to, aké sú číselné hodnoty. Preto je potrebné dať rovnítko medzi exponenty at a M v ľavej a pravej časti rovnosti (3):

Z tejto sústavy rovníc dostávame Preto vzorec (2) nadobúda tvar

Skutočná hodnota rýchlosti, ako je známe, sa rovná

Použitý prístup teda umožnil správne určiť závislosť od a neumožnil nájsť hodnotu

bezrozmerná konštanta C. Hoci sa nám nepodarilo získať vyčerpávajúcu odpoveď, napriek tomu sa podarilo získať veľmi významné informácie. Napríklad môžeme s úplnou istotou tvrdiť, že ak sa počiatočná výška zoštvornásobí, rýchlosť v momente pádu sa zdvojnásobí a že na rozdiel od Aristotelovho názoru táto rýchlosť nezávisí od hmotnosti padajúceho telesa.

Výber možností. Pri použití metódy rozmerov je potrebné v prvom rade identifikovať parametre, ktoré určujú uvažovaný jav. Je to ľahké, ak sú známe fyzikálne zákony, ktoré to popisujú. V mnohých prípadoch môžu byť parametre určujúce jav špecifikované aj vtedy, keď fyzikálne zákony nie sú známe. Na používanie metódy rozmerovej analýzy spravidla potrebujete vedieť menej ako na písanie pohybových rovníc.

Ak je počet parametrov, ktoré určujú skúmaný jav, väčší ako počet základných jednotiek, na ktorých je postavená zvolená sústava jednotiek, potom, samozrejme, nemožno určiť všetky exponenty v navrhovanom vzorci pre požadovanú hodnotu. V tomto prípade je užitočné najskôr určiť všetky nezávislé bezrozmerné kombinácie zvolených parametrov. Potom bude požadovaná fyzikálna veličina určená nie vzorcom ako (2), ale súčinom nejakej (najjednoduchšej) kombinácie parametrov, ktorá má požadovaný rozmer (t. j. rozmer požadovanej veličiny) nejakou funkciou nájdené bezrozmerné parametre.

Je ľahké vidieť, že vo vyššie uvedenom príklade telesa padajúceho z výšky nie je možné vytvoriť bezrozmernú kombináciu z veličín a bezrozmernej kombinácie. Preto vzorec (2) vyčerpáva všetky možné prípady.

Bezrozmerný parameter. Uvažujme teraz o nasledujúcom probléme: určíme rozsah horizontálneho letu strely vystrelenej v horizontálnom smere s počiatočnou rýchlosťou z pištole umiestnenej na vrchu výšky

Pri absencii odporu vzduchu je počet parametrov, od ktorých môže závisieť požadovaný rozsah, rovný štyrom: a m. Keďže počet základných jednotiek sa rovná trom, úplné riešenie problému metódou rozmerov je nemožné. . Najprv nájdime všetky nezávislé bezrozmerné parametre y, ktoré môžu byť zložené z a

Tento výraz zodpovedá nasledujúcej rovnosti rozmerov:

Odtiaľ dostaneme systém rovníc

ktorý dáva a pre požadovaný bezrozmerný parameter získame

Je možné vidieť, že jediným nezávislým bezrozmerným parametrom v uvažovanom probléme je .

kde je zatiaľ neznáma funkcia bezrozmerného parametra Metóda rozmerov (v prezentovanej verzii) neumožňuje túto funkciu určiť. Ale ak odniekiaľ, napríklad zo skúsenosti vieme, že požadovaný dosah je úmerný horizontálnej rýchlosti strely, tak je okamžite určený tvar funkcie: rýchlosť do nej musí vstúpiť na prvú mocninu, t.j.

Teraz od (5) pre dosah strely, ktorý dostaneme

ktorá zodpovedá správnej odpovedi

Zdôrazňujeme, že pri tomto spôsobe určenia typu funkcie nám stačí poznať charakter experimentálne zistenej závislosti doletu nie od všetkých parametrov, ale len od jedného z nich.

Vektorové jednotky dĺžky. Ale rozsah (7) je možné určiť len z rozmerových hľadísk, ak počet základných jednotiek, ktorými sa parametre vyjadrujú, zvýšime na štyri atď. Doteraz sa pri písaní rozmerových vzorcov nerozlišovalo medzi jednotky dĺžky v horizontálnom a vertikálnom smere. Takéto rozlíšenie však možno zaviesť na základe skutočnosti, že gravitácia pôsobí iba vertikálne.

Označme rozmer dĺžky v horizontálnom smere cez a vo vertikálnom smere - cez Potom rozmer doletu v horizontálnom smere bude rozmer výšky bude rozmer horizontálnej rýchlosti bude a pre zrýchlenie

dostaneme voľný pád Teraz, keď sa pozrieme na vzorec (5), vidíme, že jediný spôsob, ako získať správnu dimenziu na pravej strane, je považovať ju za proporcionálnu. Opäť sa dostávame k vzorcu (7).

Samozrejme, so štyrmi základnými jednotkami a M je možné priamo zostrojiť hodnotu požadovaného rozmeru zo štyroch parametrov a

Rovnosť rozmerov ľavej a pravej časti má tvar

Systém rovníc pre x, y, z a dáva hodnoty a opäť sa dostávame k vzorcu (7).

Rôzne jednotky dĺžky, ktoré sa tu používajú vo vzájomne kolmých smeroch, sa niekedy označujú ako vektorové jednotky dĺžky. Ich aplikácia výrazne rozširuje možnosti metódy rozmerovej analýzy.

Pri použití metódy rozmerovej analýzy je užitočné rozvíjať zručnosti do takej miery, že pre exponenty v požadovanom vzorci nebudete vytvárať sústavu rovníc, ale priamo ich vyberať. Ilustrujme si to v ďalšom probléme.

Úloha

Maximálny dosah. V akom uhle k horizontále by sa mal hodiť kameň, aby sa maximalizoval rozsah horizontálneho letu?

Riešenie. Predpokladajme, že sme „zabudli“ na všetky kinematické vzorce a pokúsime sa získať odpoveď z rozmerových úvah. Na prvý pohľad sa môže zdať, že metóda kótovania tu nie je vôbec použiteľná, keďže do odpovede musí vstúpiť nejaká trigonometrická funkcia uhla vrhania. Preto namiesto samotného uhla a skúsime hľadať výraz pre rozsah Je jasné, že bez vektorových jednotiek dĺžky sa nezaobídeme.

V prípadoch, keď neexistujú rovnice popisujúce proces a nie je ich možné vytvoriť, je možné pomocou analýzy rozmerov určiť typ kritérií, z ktorých by mala byť rovnica podobnosti zostavená. Predtým je však potrebné určiť všetky parametre podstatné pre popis procesu. Dá sa to urobiť na základe skúseností alebo teoretických úvah.

Metóda rozmerov rozdeľuje fyzikálne veličiny na základné (primárne), ktoré charakterizujú mieru priamo (bez spojenia s inými veličinami), a derivačné, ktoré sú vyjadrené prostredníctvom základných veličín v súlade s fyzikálnymi zákonmi.

V sústave SI sú základným jednotkám priradené označenia: dĺžka L, hmotnosť M, čas T, teplota Θ , sila prúdu ja, sila svetla J, množstvo hmoty N.

Vyjadrenie odvodenej hodnoty φ cez hlavné sa nazýva dimenzia. Vzorec pre rozmer odvodenej veličiny, napríklad so štyrmi základnými jednotkami merania L, M, T, Θ, vyzerá ako:

Kde a, b, c, d sú reálne čísla.

V súlade s rovnicou majú bezrozmerné čísla nulový rozmer a základné veličiny majú rozmer rovný jednej.

Okrem vyššie uvedeného princípu je metóda založená na axióme, že sčítať a odčítať možno len množstvá a komplexy veličín, ktoré majú rovnaký rozmer. Z týchto ustanovení vyplýva, že ak nejaká fyzikálna veličina napr ∆ p, je definovaný ako funkcia iných fyzikálnych veličín vo forme ∆ p= f(V, ρ, η, l, d) , potom táto závislosť môže byť reprezentovaná ako:

,

Kde C- stály.

Ak potom vyjadríme rozmer každej odvodenej veličiny z hľadiska hlavných rozmerov, potom môžeme nájsť hodnoty exponentov X, r, z atď. Takto:

V súlade s rovnicou po dosadení rozmerov dostaneme:

Zoskupením homogénnych výrazov nájdeme:

Ak v oboch častiach rovnice dáme rovnítko medzi exponenty s rovnakými základnými jednotkami, dostaneme nasledujúcu sústavu rovníc:

V tomto systéme troch rovníc je päť neznámych. Preto akékoľvek tri z týchto neznámych môžu byť vyjadrené v termínoch ostatných dvoch, a to X, r A r cez z A v:

Po dosadení exponentov
A do výkonovej funkcie sa ukáže:

.

Kritérium rovnice opisuje prietok tekutiny v potrubí. Táto rovnica zahŕňa, ako je uvedené vyššie, dva komplexy kritérií a jeden komplex kritérií. Teraz pomocou analýzy rozmerov sú stanovené typy týchto kritérií: toto je Eulerovo kritérium EÚ=∆ p/(ρ V 2 ) , Reynoldsovo kritérium Re= Vdρ/η a parametrické kritérium geometrickej podobnosti G=l/ d. Aby sa konečne stanovila forma kriteriálnej rovnice, je potrebné experimentálne určiť hodnoty konštánt C, z A v v rovnici.

1. Experimentálne stanovenie konštánt kriteriálnej rovnice

Pri vykonávaní experimentov sa merajú a určujú rozmerové veličiny obsiahnuté vo všetkých kritériách podobnosti. Podľa výsledkov experimentov sa vypočítajú hodnoty kritérií. Potom vytvoria tabuľky, v ktorých podľa hodnôt kritéria K 1 zadajte hodnoty definujúcich kritérií K 2 , K 3 atď. Touto operáciou sa ukončuje prípravná fáza experimentov spracovania.

Ak chcete zovšeobecniť tabuľkové údaje ako mocninný zákon:

Používa sa logaritmický súradnicový systém. Výber exponentov m, n atď. dosiahnuť také usporiadanie experimentálnych bodov na grafe, aby sa cez ne dala viesť priamka. Rovnica s priamkou poskytuje požadovaný vzťah medzi kritériami.

Ukážme si, ako v praxi určiť konštanty kriteriálnej rovnice:

.

V logaritmických súradniciach lgK 2 – lgK 1 toto je priama rovnica:

.

Vložením experimentálnych bodov do grafu (obr. 4) nakreslite cez ne priamku, ktorej sklon určuje hodnotu konštanty. m= tgp.

Ryža. 4. Spracovanie experimentálnych údajov

Zostáva nájsť konštantu . Pre ľubovoľný bod na priamke na grafe
. Preto hodnota C nájsť pomocou ľubovoľného páru zodpovedajúcich hodnôt K 1 A K 2 počítané na priamke grafu. Pre spoľahlivosť hodnoty určí sa niekoľkými bodmi priamky a do výsledného vzorca sa dosadí priemerná hodnota:

Pri väčšom počte kritérií sa určovanie konštánt rovnice stáva o niečo komplikovanejším a vykonáva sa podľa metódy opísanej v knihe.

V logaritmických súradniciach nie je vždy možné usporiadať experimentálne body pozdĺž priamky. Stáva sa to vtedy, keď pozorovaná závislosť nie je opísaná mocninovou rovnicou a je potrebné hľadať funkciu iného druhu.

Mnohé z procesov, s ktorými sa v praxi stretávame, sú také zložité, že ich nemožno priamo opísať diferenciálnymi rovnicami. V takýchto prípadoch je veľmi cennou technikou na odhalenie vzťahu medzi premennými analýza dimenzií.

Táto metóda neposkytuje úplné informácie o vzťahu medzi premennými, ktoré sa v konečnom dôsledku musia odhaliť experimentálne. Táto metóda však môže výrazne znížiť množstvo experimentálnej práce.

Efektívna aplikácia rozmerovej metódy je teda možná len v kombinácii s experimentom; v tomto prípade musia byť známe všetky faktory alebo premenné, ktoré ovplyvňujú skúmaný proces.

Rozmerová analýza poskytuje logické rozdelenie veličín v bezrozmerných skupinách. Vo všeobecnosti možno funkčnú závislosť N reprezentovať ako vzorec, ktorý sa nazýva dimenzionálny vzorec:

To zahŕňa (k + 1) inklúzne veličiny a veličiny N. Môžu byť variabilné, konštantné, rozmerové a bezrozmerné. V tomto prípade je však potrebné, aby sa pre číselné veličiny zahrnuté v rovnici, ktorá charakterizuje fyzikálny jav, prijal rovnaký systém základných jednotiek merania. Za tejto podmienky platí rovnica pre ľubovoľne zvolenú sústavu jednotiek. Ďalej by tieto základné jednotky mali byť nezávislé vo svojich rozmeroch a ich počet by mal byť taký, aby bolo možné prostredníctvom nich reprezentovať rozmery všetkých veličín zahrnutých do funkčnej závislosti (3.73).

Takýmito jednotkami merania môžu byť ľubovoľné tri veličiny zahrnuté v rovnici (3.73) a ktoré sú navzájom nezávislé z hľadiska rozmerov. Ak vezmeme napríklad dĺžku L a rýchlosť V ako jednotky merania, potom máme danú jednotku dĺžky L a jednotku času . Pre tretiu mernú jednotku teda nie je možné akceptovať akúkoľvek veličinu, ktorej rozmer obsahuje iba dĺžku a čas, ako je napríklad zrýchlenie, pretože jednotka tejto veličiny je už nastavená ako výsledok výberu jednotiek dĺžky. a rýchlosť. Preto je potrebné zvoliť akúkoľvek hodnotu, ktorej rozmer zahŕňa hmotnosť, napríklad hustotu, viskozitu, silu atď.

V praxi sa napríklad v hydraulických štúdiách ukazuje ako vhodné použiť tieto tri meracie jednotky: rýchlosť V 0 akejkoľvek prúdiacej častice, ľubovoľnú dĺžku (priemer potrubia D alebo jeho dĺžka L), hustotu ρ vybraná častica.

Rozmery týchto meracích jednotiek:

pani; m; kg/m3.

Takže rovnica pre rozmery v súlade s funkčnou závislosťou (3.73) môže byť reprezentovaná v nasledujúcom tvare:

Hodnoty N i a n i v sústave základných jednotiek (meter, sekunda, kilogram) možno vyjadriť bezrozmernými číslami:

; .

Preto namiesto rovnice (3.73) možno napísať rovnicu, v ktorej sú všetky veličiny vyjadrené v relatívnych jednotkách (vzhľadom na V 0 , L 0 , ρ 0):

Pretože p 1, p 2, p 3 sú V 0, L 0, ρ 0, potom sa prvé tri členy rovnice zmenia na tri jednotky a funkčná závislosť má tvar:

. (3.76)

V súlade s π-vetou možno akýkoľvek vzťah medzi rozmerovými veličinami formulovať ako vzťah medzi bezrozmernými veličinami. Vo výskume táto veta umožňuje určiť vzťah nie medzi premennými samotnými, ale medzi niektorými ich bezrozmernými pomermi, zostavenými podľa určitých zákonov.

Funkčná závislosť medzi k + 1 rozmerovými veličinami N a n i je teda všeobecne vyjadrená ako pomer medzi (k + 1- 3) veličinami π a π i (i = 4,5, ..., k), z ktorých každá je a bezrozmerná výkonová kombinácia veličín zahrnutých do funkčnej závislosti. Bezrozmerné čísla π majú charakter kritéria podobnosti, ako je zrejmé z nasledujúceho príkladu.

Príklad 3.3. Určte funkčnú závislosť pre odporovú silu F (N = kg m / s 2), ktorú doska pôsobí pri obtekaní kvapalinou v smere jej dĺžky.

Funkčná závislosť odporovej sily môže byť reprezentovaná ako funkcia množstva nezávislých premenných a určená za podmienok podobnosti:

,

Kde rýchlosť prúdenia, m/s; plocha dosky, m 2 ; hustota kvapaliny, kg/m3; dynamický koeficient viskozity, Pa s ([Pa s] = kg/m s); zrýchlenie voľného pádu, m/s 2 ; tlak, Pa (Pa = kg/ms); pomer výšky dosky k jej dĺžke; uhol sklonu dosky k smeru prúdenia.

Teda množstvá a sú bezrozmerné, zvyšných šesť je rozmerových. Tri z nich: , a brané ako hlavné. V súlade s π-vetou sú tu možné len trojrozmerné vzťahy. Preto:

pre odporovú silu:

1 \u003d z (indikátory vľavo a vpravo pri kg);

2 \u003d - x (indikátory vľavo a vpravo pri c);

1 \u003d x + 2y - 3z (indikátory vľavo a vpravo pri m).

Riešenie týchto rovníc dáva: x = 2; y = 1; z = 1.

Funkčná závislosť:

Podobne dostaneme:

Pre viskozitu:

máme x 1 = 1; yi = 0,5; z1 = 1.

Funkčná závislosť:

;

máme x 2 = 2; y2 = -0,5; z2 = 0.

Funkčná závislosť:

Pre tlak:

máme x 3 = 2; y3 = 0; z3 = 1.

Funkčná závislosť:

.

To je zrejmé , ,

.

Z toho môžeme vyvodiť záver, že po preštudovaní tohto procesu pri určitých veľkostiach, rýchlostiach atď., je možné zistiť, ako bude prebiehať pri iných veľkostiach a rýchlostiach, ak bezrozmerné pomery zložené z týchto premenných sú v oboch prípadoch rovnaké. Takže závery získané v experimentoch s telesami daných veľkostí, pohybujúcich sa danou rýchlosťou atď., budú samozrejme platné pre akékoľvek iné telesné veľkosti, rýchlosti atď. za predpokladu, že bezrozmerné pomery sú rovnaké s tými, ktoré boli pozorované v experimentoch.

Príklad 3.4. Na základe doterajších štúdií na laboratórnom zariadení určte funkčnú závislosť výkonu N (W = kg m 2 /s 3) motora miešadla, ktorý je potrebný na miešanie buničiny s činidlami v kontaktnej nádrži.

Pre podobnosť dvoch zmiešavacích systémov je potrebné:

Geometrická podobnosť, v ktorej sa pomer veličín pre uvažované systémy musí navzájom rovnať;

Kinematická podobnosť, keď rýchlosti v zodpovedajúcich bodoch by mali byť v rovnakom pomere ako rýchlosti v iných zodpovedajúcich bodoch, to znamená, že dráhy buničiny musia byť podobné;

Dynamická podobnosť, ktorá vyžaduje, aby sa pomer síl v zodpovedajúcich bodoch rovnal pomeru síl v iných relevantných bodoch.

Ak sú okrajové podmienky pevné, jedna premenná môže byť vyjadrená z hľadiska iných premenných, to znamená, že funkčná závislosť výkonu motora miešadla môže byť reprezentovaná ako funkcia množstva nezávislých premenných a určená kritériami podobnosti:

,

kde je priemer mixéra, m; hustota buničiny, kg/m3; rýchlosť otáčania miešadla, s -1 ; dynamický koeficient viskozity, Pa·s (Pa·s=kg/m·s); zrýchlenie voľného pádu, m/s 2 – uhol sklonu dosky k smeru prúdenia.

Máme teda päť rozmerových veličín, tri z nich: , a brať ako základné. V súlade s π-vetou sú tu možné len dva bezrozmerné vzťahy. Preto:

.

Vzhľadom na rovnosť dimenzií pre čitateľa a menovateľa nájdeme exponenty:

pre výkon motora miešadla:

,

3 \u003d z (indikátory vľavo a vpravo pri c);

1 = in (ukazovatele vľavo a vpravo pri kg);

2 \u003d x - 3y (indikátory vľavo a vpravo pri m).

Riešenie týchto rovníc dáva: x = 5; y = 1; z = 3.

Funkčná závislosť:

Podobne dostaneme:

Pre viskozitu:

máme x 1 = 2; yi = 1; z1 = 1.

Funkčná závislosť:

;

Na urýchlenie voľného pádu:

máme x 2 = 1; y2 = 0; z2 = 1.

Funkčná závislosť:

;

Je zrejmé, že, . Potom má požadovaná funkčná závislosť tvar:

.

Z toho môžeme usúdiť, že po zistení funkčnej závislosti výkonu motora miešadla pre niektoré jeho parametre je možné určiť, aká bude pre iné veľkosti a rýchlosti atď. ak sú bezrozmerné pomery pre oba prípady rovnaké. Takže závery získané na experimentálnom zariadení budú platné pre akékoľvek iné zariadenie za predpokladu, že bezrozmerné pomery sú rovnaké ako tie, ktoré boli pozorované v experimentoch.

Príklad 3.5. Skúma sa proces obohacovania v separátore ťažkého média. Parametrický diagram procesu separácie ťažkých médií (obr. 3.5) zobrazuje vstupné, výstupné a riadené parametre, ako aj možné prekážky:

Vstupné a riadené parametre: Qin - výkon separátora pre východiskový materiál; Q susp - prietok suspenzie; V - objem vedra; Δρ je rozdiel v hustotách suspenzie a frakcie, ktorá sa má oddeliť; ω - rýchlosť otáčania kolesa výťahu; n je počet korčekov kolesa výťahu;

Výkonové a riadené parametre: Q to-t - výkon separátora koncentrátu; Q otx - výkon separátora odpadu;

Prekážky (nezapočítané do parametrov, ktoré ovplyvňujú proces): vlhkosť, granulometrické a frakčné zloženie.

Skontrolujeme, či počet parametrov postačuje na výpočet modelu, pre ktorý si zapíšeme rozmery všetkých veličín = kg / s; \u003d m3/s; [Δ] \u003d kg / m 3; [V] \u003d m3; [ ] = c-1; = kg/s; [n] = 8.

Hlavné rozmerové veličiny m = 3 (kg, m, s), preto je možné pri výpočtoch použiť:

parameter, t.j. Q out, V, Δ, ω.

0 = 3x - 3z (exponenty vľavo a vpravo pri L);

1 \u003d - y - 3z (indikátory vľavo a vpravo pri T);

Takže x = 1; y = -2; z = 1, to znamená, že funkčná závislosť kapacity separátora odpadu od objemu vedra, rýchlosti otáčania kolesa elevátora a rozdielu v hustote suspenzie a separovanej frakcie má tvar:

Hodnota koeficientu k je stanovená na základe predchádzajúcich štúdií s pevnými parametrami: V = 0,25 m 3 ; Δ \u003d 100 kg / m 3; = 0,035 s-1; n \u003d 8, v dôsledku čoho sa zistilo, že Q otx \u003d 42 kg / s:

Vzorec je matematický model skúmaného procesu.

Príklad 3.6. Študuje sa proces prepravy koncentrátu s veľkosťou častíc 0,5 - 13 mm odvodňovacím elevátorom s bagrovou jímkou:

Vstupné a riadené parametre: ω - kapacita lopaty výťahu z hľadiska pevných látok; ρ - hustota dodávky; V je rýchlosť reťaze výťahu;

Výkon a riadený parameter: Q - produktivita odvodňovacieho bagrového elevátora podľa triedy 0,5 - 13 mm;

Konštantné parametre: faktor plnenia vedra = 0,5; vlhkosť, granulometrické a frakčné zloženie.

V tomto príklade:

Skontrolujeme, či počet parametrov postačuje na výpočet modelu, pre ktorý si zapíšeme rozmery všetkých veličín: [ω] = m 3; [ρ] \u003d kg / m 3; [V] = m/s.

Hlavné rozmerové veličiny m = 3 (kg, m, s), preto je možné pri výpočtoch použiť:

parameter, t.j. Q, V,, ω.

Keďže nie všetky parametre sa berú do úvahy, k funkčnej závislosti medzi vybranými parametrami sa pripočíta koeficient k:

,

alebo pomocou základných jednotiek M, L, T:

0 \u003d 3x + y - 3z (indikátory vľavo a vpravo pri L);

1 \u003d - y (indikátory vľavo a vpravo pri T);

1 = z (exponenty vľavo a vpravo pri M).

Takže x = 2/3; y = 1; z = 1, to znamená, že funkčná závislosť produktivity odvodňovacieho elevátora s bagrovou jímkou ​​podľa triedy 0,5-13 mm od objemu lyžice, rýchlosti reťaze elevátora a hustoty posuvu má tvar:

.

Hodnota koeficientu k je určená na základe predchádzajúcich štúdií s pevnými parametrami: V = 0,25 m/s; \u003d 1400 kg / m 3; \u003d 50 10 -3 m 3, v dôsledku čoho sa zistilo, že Q \u003d 1,5 kg / s, okrem toho by sa mal brať do úvahy faktor plnenia vedier = 0,5 a potom:

.

Vzorec je matematický model procesu dopravy koncentrátu s veľkosťou častíc 0,5-13 mm skúmaným odvodňovacím bagrovým elevátorom.

Treba mať na pamäti, že čím menšia je hodnota koeficientu k, tým väčšia je hodnota posudzovaných parametrov.

Metóda rozmerovej analýzy je často veľmi účinná pri riešení zložitých problémov mechaniky, najmä hydrauliky, dynamiky tekutín a aerodynamiky. Spolu s myšlienkou fyzikálneho významu javov alebo so zapojením experimentálnych dát vedie a navyše rýchlo a jednoducho k výsledkom hodnotiacim daný jav.

V domácej literatúre sú metódy podobnosti a dimenzie opísané v monografii, napr. [Sena]; [Sedová]; [Kogan]. Uvedomujúc si, že π-veta je základná, spomenieme a vysvetlíme ju raz; v budúcnosti sa v rovine a všeobecnosti držíme knihy [Kogan].

Základné definície.

Existuje niekoľko systémov meracích jednotiek (CGS, SI atď.) a v každom z nich sa niektoré fyzikálne veličiny bežne považujú za Hlavná alebo primárny, t.j. tie, pre ktoré sú jednotky nastavené ľubovoľne a nezávisle. V mechanike a najmä v hydromechanike a hydraulike sa používa systém L , m , t , v ktorej sa ako hlavné veličiny berie dĺžka L, hmotnosť m a čas t. Je zrejmé, že pri analýze akéhokoľvek javu sa jednotky hmotnosti, času a dĺžky vyberajú nezávisle od seba. Na sekundárne množstvá zahŕňajú tie, ktoré sa získajú ako kombinácie hlavných. Medzi sekundárne veličiny patrí napríklad: rýchlosť V= S/ t alebo [ V]= Lt -1 , zrýchlenie a= V/ t alebo [ a]= Lt -2 , hustota ρ= m/ W alebo [ ρ ]= ml -3 a mnohé ďalšie množstvá. Hranaté zátvorky, v ktorých je umiestnené označenie veličiny znamená, že hovoríme o rozmere jednotky tejto veličiny a symboly L,m,t sú zovšeobecnené označenia jednotiek dĺžky, hmotnosti a času bez uvedenia konkrétneho názvu jednotiek.

V špeciálnych kurzoch sa ukazuje, že vzorec pre dimenziu sekundárnych veličín by mal byť mocninný zákon vzhľadom na všetky základné fyzikálne veličiny. Predpokladajme napríklad, že počet základných veličín sa zvolí na tri a za ne sa berie dĺžka L, hmotnosť m a čas t. Potom rozmer fyzikálnej veličiny r reprezentovaný vzorcom

[r]= L α m β t γ , (.1)

Kde α , β , γ sú konštantné čísla (pripomeňme, že hranaté zátvorky, v ktorých je umiestnený symbol veľkosti r, znamená, že sa uvažuje rozmer tejto veličiny). Vzorec (.1) sa nazýva vzorec pre rozmer jednotky danej veličiny alebo, ako sa často hovorí, krátko rozmer tohto množstva.

Treba zdôrazniť, že môžete násobiť a deliť fyzikálne veličinyakýkoľvekrozmery a možno pridávať a odčítavať iba hodnoty rovnakej dimenzie.

Príklad(.1) . Rýchlosť V možno vyjadriť ako V= L/ t= L 1 m 0 t -1 , t.j. α =1 , β =0, γ =-1 .Sila F= ma možno prezentovať ako F= ml/ t²= L 1 m 1 t -2 , t.j. α =1 , β =1 , γ = -2 .

Nie je to potrebné α , β , γ sú racionálne čísla, ale nie je potrebné zadávať iné čísla ako racionálne. Často sa rozmer fyzikálnej veličiny identifikuje s jej jednotkou v zodpovedajúcom systéme jednotiek. Takže napríklad hovoria, že rýchlosť má rozmer cm/s (centimeter za sekundu). Aj keď to nie je logické, ale nie je v tom žiadna hrubá chyba. V tomto prípade je to cm/s názov jednotky (rovnako ako km / h, m / s atď.) Vždy, ak je to potrebné, jednotky tohto typu umožňujú prejsť na rozmerové vzorce, v ktorých nie sú pevne stanovené mierky jednotiek základných veličín.

Poznámka 1. Rôzne fyzikálne veličiny môžu mať rovnaké rozmery aj v tej istej sústave jednotiek. Príkladmi v mechanike sú práca a kinetická energia alebo práca a moment sily (systém Lmt).

Poznámka 2. Bezrozmerné kombinácie fyzikálnych veličín sú také kombinácie, ktoré majú v uvažovanej sústave jednotiek nulový rozmer. Ich číselné hodnoty sa nemenia, keď sa menia stupnice jednotiek základných veličín.

Úloha 1. Nájdite rozmery: 1) tlak; 2) energia; 3) koeficient dynamickej viskozity; 4) koeficient kinematickej viskozity; 5) koeficient povrchového napätia.

Všetky výsledky, ktoré je možné získať pomocou metódy rozmerovej analýzy, sú založené na dvoch vetách.