Zistili sme, aký je stupeň čísla vo všeobecnosti. Teraz musíme pochopiť, ako to správne vypočítať, t.j. zvýšiť čísla k mocnostiam. V tomto materiáli rozoberieme základné pravidlá pre výpočet stupňa v prípade celého čísla, prirodzeného, ​​zlomkového, racionálneho a iracionálneho exponentu. Všetky definície budú ilustrované príkladmi.

Koncept umocňovania

Začnime formuláciou základných definícií.

Definícia 1

Umocňovanie je výpočet hodnoty mocniny nejakého čísla.

To znamená, že slová „výpočet hodnoty stupňa“ a „umocnenie“ znamenajú to isté. Ak je teda úloha „Zvýšte číslo 0 , 5 na piatu mocninu“, treba to chápať ako „vypočítajte hodnotu mocniny (0 , 5) 5 .

Teraz uvádzame základné pravidlá, ktoré sa musia pri takýchto výpočtoch dodržiavať.

Pripomeňme si, čo je mocnina čísla s prirodzeným exponentom. Pre mocninu so základom a a exponentom n to bude súčin n-tého počtu faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Dá sa to napísať takto:

Ak chcete vypočítať hodnotu stupňa, musíte vykonať operáciu násobenia, to znamená vynásobiť základy stupňa stanoveným počtom krát. Samotný koncept stupňa s prirodzeným ukazovateľom je založený na schopnosti rýchlo sa množiť. Uveďme si príklady.

Príklad 1

Podmienka: Zvýšte - 2 na silu 4 .

Riešenie

Pomocou vyššie uvedenej definície píšeme: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Ďalej musíme postupovať podľa týchto krokov a získať 16 .

Uveďme si zložitejší príklad.

Príklad 2

Vypočítajte hodnotu 3 2 7 2

Riešenie

Tento záznam je možné prepísať ako 3 2 7 · 3 2 7 . Predtým sme sa pozreli na to, ako správne vynásobiť zmiešané čísla uvedené v podmienke.

Vykonajte tieto kroky a získajte odpoveď: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ak úloha naznačuje potrebu zvýšiť iracionálne čísla na prirodzenú mocninu, budeme musieť najprv zaokrúhliť ich základy na číslicu, ktorá nám umožní získať odpoveď s požadovanou presnosťou. Vezmime si príklad.

Príklad 3

Vykonajte druhú mocninu čísla π .

Riešenie

Najprv to zaokrúhlime na stotiny. Potom π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ak π ≈ 3 . 14159, potom dostaneme presnejší výsledok: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Všimnite si, že potreba vypočítať mocniny iracionálnych čísel v praxi vzniká pomerne zriedkavo. Odpoveď potom môžeme zapísať ako samotnú mocninu (ln 6) 3 alebo podľa možnosti previesť: 5 7 = 125 5 .

Samostatne by sa malo uviesť, aká je prvá mocnina čísla. Tu si môžete zapamätať, že každé číslo umocnené na prvú mocninu zostane samo sebou:

To je zrejmé zo záznamu. .

Nezáleží na základe stupňa.

Príklad 4

Takže (− 9) 1 = − 9 a 7 3 umocnené na prvú mocninu zostáva rovné 7 3 .

Pre pohodlie budeme analyzovať tri prípady oddelene: ak je exponent kladné celé číslo, ak je nula a ak je záporné celé číslo.

V prvom prípade je to to isté ako zvýšenie na prirodzenú mocninu: napokon kladné celé čísla patria do množiny prirodzených čísel. Ako pracovať s takýmito stupňami sme už popísali vyššie.

Teraz sa pozrime, ako správne zvýšiť na nulový výkon. So základom, ktorý je nenulový, tento výpočet vždy vytvára výstup 1 . Predtým sme vysvetlili, že nulovú mocninu a možno definovať pre akékoľvek reálne číslo, ktoré sa nerovná 0 a a 0 = 1 .

Príklad 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nie je definované.

Zostáva nám len prípad stupňa so záporným exponentom celého čísla. Už sme diskutovali o tom, že takéto stupne možno zapísať ako zlomok 1 az, kde a je ľubovoľné číslo a z je záporné celé číslo. Vidíme, že menovateľ tohto zlomku nie je nič iné ako obyčajný stupeň s kladným celým číslom a už sme sa ho naučili vypočítať. Uveďme príklady úloh.

Príklad 6

Zvýšte 2 na -3.

Riešenie

Pomocou vyššie uvedenej definície píšeme: 2 - 3 = 1 2 3

Vypočítame menovateľa tohto zlomku a dostaneme 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Potom je odpoveď: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Príklad 7

Zvýšte 1, 43 na -2.

Riešenie

Preformulujte: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Vypočítame druhú mocninu v menovateli: 1,43 1,43. Desatinné čísla možno násobiť takto:

V dôsledku toho sme dostali (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Zostáva nám tento výsledok zapísať do formulára spoločný zlomok, pre ktorú je potrebné ju vynásobiť 10 tisíc (pozri materiál o prepočte zlomkov).

Odpoveď: (1, 43) - 2 = 10 000 20 449

Samostatným prípadom je zvýšenie čísla na mínus prvú mocninu. Hodnota takéhoto stupňa sa rovná číslu opačnému k pôvodnej hodnote základne: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Príklad 8

Príklad: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Ako zvýšiť číslo na zlomkovú mocninu

Na vykonanie takejto operácie si musíme spomenúť na základnú definíciu stupňa so zlomkovým exponentom: a m n \u003d a m n pre akékoľvek kladné a, celé číslo m a prirodzené n.

Definícia 2

Výpočet zlomkového stupňa sa teda musí vykonať v dvoch krokoch: zvýšenie na celé číslo a nájdenie koreňa n-tého stupňa.

Máme rovnosť a m n = a m n , ktorá sa vzhľadom na vlastnosti koreňov zvyčajne používa na riešenie úloh v tvare a m n = a n m . To znamená, že ak umocníme číslo a na zlomkovú mocninu m / n, potom najprv vytiahneme koreň n-tého stupňa z a, potom výsledok umocníme na mocninu s celým číslom m.

Ilustrujme si to na príklade.

Príklad 9

Vypočítajte 8 - 2 3 .

Riešenie

Metóda 1. Podľa základnej definície to môžeme reprezentovať ako: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Teraz vypočítajme stupeň pod odmocninou a extrahujeme z výsledku tretiu odmocninu: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metóda 2. Transformujme základnú rovnosť: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Potom extrahujeme koreň 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 a výsledok odmocníme: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vidíme, že riešenia sú rovnaké. Môžete použiť ľubovoľným spôsobom.

Existujú prípady, keď má stupeň indikátor vyjadrený ako zmiešané číslo alebo desatinný zlomok. Pre jednoduchosť výpočtu je lepšie ho nahradiť obyčajný zlomok a počítajte ako je uvedené vyššie.

Príklad 10

Zvýšte 44,89 na mocninu 2,5.

Riešenie

Preveďme hodnotu ukazovateľa na obyčajný zlomok: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

A teraz vykonáme všetky akcie uvedené vyššie v poradí: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 071 = 1007 = 1301 13 501, 25107

Odpoveď: 13501, 25107.

Ak čitateľ a menovateľ zlomkového exponentu sú veľké čísla, potom je výpočet takýchto exponentov s racionálnymi exponentmi pomerne náročná práca. Zvyčajne to vyžaduje výpočtovú techniku.

Samostatne sa zameriame na stupeň s nulovým základom a zlomkovým exponentom. Výraz v tvare 0 m n môže mať nasledujúci význam: ak m n > 0, potom 0 m n = 0 m n = 0 ; ak m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Ako zvýšiť číslo na iracionálnu moc

Potreba vypočítať hodnotu stupňa, v ukazovateli ktorého je iracionálne číslo, nevzniká tak často. V praxi sa úloha zvyčajne obmedzuje na výpočet približnej hodnoty (do určitého počtu desatinných miest). To sa zvyčajne počíta na počítači kvôli zložitosti takýchto výpočtov, takže sa tým nebudeme podrobne zaoberať, iba naznačíme hlavné ustanovenia.

Ak potrebujeme vypočítať hodnotu stupňa a s iracionálnym exponentom a , tak vezmeme desiatkovú aproximáciu exponentu a počítame z nej. Výsledkom bude približná odpoveď. Čím presnejšia je desatinná aproximácia, tým presnejšia je odpoveď. Ukážme si to na príklade:

Príklad 11

Vypočítajte približnú hodnotu 2 k mocnine 1,174367....

Riešenie

Obmedzíme sa na desatinnú aproximáciu a n = 1 , 17 . Urobme výpočty pomocou tohto čísla: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Ak vezmeme napríklad aproximáciu a n = 1 , 1743 , potom bude odpoveď o niečo presnejšia: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

V pokračovaní rozhovoru o stupni čísla je logické zaoberať sa hľadaním hodnoty stupňa. Tento proces bol pomenovaný umocňovanie. V tomto článku budeme len študovať, ako sa vykonáva umocňovanie, pričom sa dotkneme všetkých možných exponentov - prirodzeného, ​​celočíselného, ​​racionálneho a iracionálneho. A podľa tradície podrobne zvážime riešenia príkladov zvyšovania čísel v rôznych stupňoch.

Navigácia na stránke.

Čo znamená „umocnenie“?

Začnime vysvetlením toho, čo sa nazýva umocňovanie. Tu je relevantná definícia.

Definícia.

Umocňovanie je nájsť hodnotu mocniny čísla.

Teda nájsť hodnotu mocniny a s exponentom r a zvýšiť číslo a na mocninu r je to isté. Napríklad, ak je úlohou „vypočítať hodnotu mocniny (0,5) 5“, potom ju možno preformulovať takto: „Zvýšte číslo 0,5 na 5“.

Teraz môžete prejsť priamo k pravidlám, podľa ktorých sa vykonáva umocňovanie.

Zvýšenie čísla na prirodzenú silu

V praxi sa rovnosť na základe zvyčajne uplatňuje vo forme . To znamená, že pri zvýšení čísla a na zlomkovú mocninu m / n sa najprv extrahuje koreň n-tého stupňa z čísla a, potom sa výsledok zvýši na celé číslo m.

Zvážte riešenia príkladov zvýšenia na zlomkovú mocninu.

Príklad.

Vypočítajte hodnotu stupňa.

Riešenie.

Ukážeme dve riešenia.

Prvý spôsob. Podľa definície stupňa so zlomkovým exponentom. Vypočítame hodnotu stupňa pod znamienkom koreňa, po ktorom extrahujeme koreň kocky: .

Druhý spôsob. Podľa definície stupňa so zlomkovým exponentom a na základe vlastností koreňov sú rovnosti pravdivé . Teraz extrahujte koreň Nakoniec zvýšime na celé číslo .

Je zrejmé, že získané výsledky zvýšenia na zlomkovú moc sa zhodujú.

odpoveď:

Všimnite si, že zlomkový exponent môže byť zapísaný ako desatinný zlomok alebo zmiešané číslo, v týchto prípadoch by sa malo nahradiť zodpovedajúcim obyčajným zlomkom, po ktorom by sa malo vykonať umocnenie.

Príklad.

Vypočítajte (44,89) 2,5.

Riešenie.

Exponent píšeme vo forme obyčajného zlomku (ak je to potrebné, pozri článok): . Teraz vykonáme zvýšenie na zlomkovú mocninu:

odpoveď:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Malo by sa tiež povedať, že zvyšovanie čísel na racionálne mocniny je dosť namáhavý proces (najmä keď čitateľ a menovateľ zlomkového exponentu sú pomerne veľké čísla), ktorý sa zvyčajne vykonáva pomocou počítačová veda.

Na záver tohto odseku sa zastavíme pri konštrukcii čísla nula na zlomkovú mocninu. Zlomkovému stupňu nuly tvaru sme dali nasledujúci význam: lebo máme , pričom nula k mocnine m/n nie je definovaná. Takže nula až kladná zlomková mocnina je nula, napr. . A nula v zlomkovej zápornej mocnine nedáva zmysel, napríklad výrazy a 0 -4,3 nedávajú zmysel.

Pozdvihnutie k iracionálnej moci

Niekedy je potrebné zistiť hodnotu stupňa čísla s iracionálnym exponentom. Zároveň v praktické účely väčšinou stačí dostať hodnotu stupňa až po nejaké znamienko. Hneď si všimneme, že v praxi sa táto hodnota počíta pomocou elektronickej výpočtovej techniky, pretože manuálne zvýšenie na iracionálnu silu vyžaduje veľké množstvo ťažkopádnych výpočtov. Ale napriek tomu všeobecne opíšeme podstatu akcií.

Ak chcete získať približnú hodnotu mocniny a s iracionálnym exponentom, zoberie sa nejaká desatinná aproximácia exponentu a vypočíta sa hodnota exponentu. Táto hodnota je približná hodnota stupňa čísla a s iracionálnym exponentom. Čím presnejšia je na začiatku desatinná aproximácia čísla, tým presnejšia bude nakoniec hodnota stupňa.

Ako príklad si vypočítame približnú hodnotu mocniny 2 1,174367... . Zoberme si nasledujúcu desatinnú aproximáciu iracionálneho indikátora: . Teraz zvýšime 2 na racionálnu mocninu 1,17 (podstatu tohto procesu sme opísali v predchádzajúcom odseku), dostaneme 2 1,17 ≈ 2,250116. teda 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ak vezmeme presnejšiu desatinnú aproximáciu iracionálneho exponentu, napríklad , dostaneme presnejšiu hodnotu pôvodného stupňa: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Učebnica matematiky Zh pre 5 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 7 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 8 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 9 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre ročníky 10-11 všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).

Pripomíname, že v tejto lekcii rozumieme stupňa vlastnosti s prirodzenými ukazovateľmi a nulou. O stupňoch s racionálnymi ukazovateľmi a ich vlastnostiach sa bude diskutovať na hodinách pre 8. ročník.

Exponent s prirodzeným exponentom má niekoľko dôležitých vlastností, ktoré vám umožňujú zjednodušiť výpočty v príkladoch exponentov.

Nehnuteľnosť #1
Súčin síl

Pamätajte!

Pri násobení síl s rovnaké dôvody základ zostane nezmenený a exponenty sa pridajú.

a m a n \u003d a m + n, kde "a"- ľubovoľné číslo a"m", "n"- ľubovoľné prirodzené číslo.

Táto vlastnosť mocnín ovplyvňuje aj súčin troch a viacerých mocnín.

• Zjednodušte výraz.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezentujte ako diplom.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezentujte ako diplom.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Dôležité!

Upozorňujeme, že v uvedenej vlastnosti išlo len o násobenie síl s rovnaké dôvody . Nevzťahuje sa na ich sčítanie.

Súčet (3 3 + 3 2) nemôžete nahradiť 3 5 . To je pochopiteľné, ak
vypočítať (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243

Nehnuteľnosť č. 2
Súkromné ​​tituly

Pamätajte!

Pri delení mocnín s rovnakým základom zostáva základ nezmenený a od exponentu deliteľa sa odpočítava exponent deliteľa.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Príklad. Vyriešte rovnicu. Používame vlastnosť čiastkových stupňov.
38: t = 34

T = 3 8 − 4

Odpoveď: t = 3 4 = 81

Pomocou vlastností č. 1 a č. 2 môžete jednoducho zjednodušiť výrazy a vykonávať výpočty.

• Príklad. Zjednodušte výraz.
  4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5
• Príklad. Nájdite hodnotu výrazu pomocou stupňov vlastností.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Dôležité!

  Upozorňujeme, že majetok 2 sa zaoberal iba rozdelením právomocí s rovnakými základmi.

  Rozdiel (4 3 −4 2) nemôžete nahradiť 4 1 . Je to pochopiteľné, ak zvážime (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 41 = 4

  Buď opatrný!

  Nehnuteľnosť č. 3
  Umocňovanie

  Pamätajte!

  Pri zvýšení mocniny na mocninu zostáva základ mocniny nezmenený a exponenty sa násobia.

  (a n) m \u003d a n m, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.

  
  

  Vlastnosti 4
  Stupeň produktu

  Pamätajte!

  Pri zvyšovaní výkonu produktu sa zvyšuje každý z faktorov. Výsledky sa potom násobia.

  (a b) n \u003d a n b n, kde „a“, „b“ sú akékoľvek racionálne čísla; "n" - akékoľvek prirodzené číslo.

  • Príklad 1
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • Príklad 2
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Dôležité!

  Upozorňujeme, že vlastnosť č. 4, podobne ako ostatné vlastnosti stupňov, sa aplikuje aj v opačnom poradí.

  (a n b n) = (a b) n

  To znamená, že ak chcete násobiť stupne s rovnakými exponentmi, môžete vynásobiť základy a ponechať exponent nezmenený.

  • Príklad. Vypočítajte.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Príklad. Vypočítajte.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  V zložitejších príkladoch môžu nastať prípady, keď násobenie a delenie treba vykonať na mocninách s rôzne dôvody a rôzne ukazovatele. V tomto prípade vám odporúčame urobiť nasledovné.

  Napríklad, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Príklad umocnenia desatinného zlomku.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Vlastnosti 5
  Mocnosť kvocientu (zlomky)

  Pamätajte!

  Ak chcete zvýšiť podiel na mocninu, môžete zvýšiť dividendu a deliteľa na túto mocninu a vydeliť prvý výsledok druhým.

  (a: b) n \u003d a n: b n, kde „a“, „b“ sú ľubovoľné racionálne čísla, b ≠ 0, n je ľubovoľné prirodzené číslo.

  • Príklad. Vyjadrite výraz ako čiastkové mocniny.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Pripomíname, že kvocient môže byť reprezentovaný ako zlomok. Preto sa téme povýšenia zlomku na mocnosť budeme venovať podrobnejšie na ďalšej strane.

primárny cieľ

Oboznámiť žiakov s vlastnosťami stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a naučiť ich vykonávať úkony s stupňami.

Téma „Stupeň a jeho vlastnosti“ obsahuje tri otázky:

• Určenie stupňa prirodzeným ukazovateľom.
• Násobenie a delenie právomocí.
• Umocnenie súčinu a stupňa.

Kontrolné otázky

1. Sformulujte definíciu stupňa s prirodzeným exponentom väčším ako 1. Uveďte príklad.
2. Formulujte definíciu stupňa s ukazovateľom 1. Uveďte príklad.
3. Aké je poradie operácií pri vyhodnocovaní hodnoty výrazu obsahujúceho mocniny?
4. Formulujte hlavnú vlastnosť stupňa. Uveďte príklad.
5. Sformulujte pravidlo pre násobenie mocnín s rovnakým základom. Uveďte príklad.
6. Sformulujte pravidlo na delenie mocnín s rovnakými základmi. Uveďte príklad.
7. Formulujte pravidlo pre umocňovanie súčinu. Uveďte príklad. Dokážte totožnosť (ab) n = a n b n .
8. Formulujte pravidlo pre zvýšenie titulu na moc. Uveďte príklad. Dokážte identitu (a m) n = a m n .

Definícia stupňa.

stupeň čísla a s prirodzeným indikátorom n, väčší ako 1, sa nazýva súčin n faktorov, z ktorých každý sa rovná A. stupeň čísla A s exponentom 1 sa volá samotné číslo A.

Stupeň so základňou A a indikátor n sa píše takto: a n. Píše sa tam " A do tej miery n“; “ n-tá mocnina čísla A ”.

Podľa definície stupňa:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Nájdenie hodnoty stupňa je tzv umocňovanie .

1. Príklady umocňovania:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Nájdite hodnoty výrazu:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1 000 = 3 000

b) -24 + (-3)2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

možnosť 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Odmocni čísla:

3. Kockujte čísla:

4. Nájdite hodnoty výrazu:

c) -14 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Násobenie právomocí.

Pre ľubovoľné číslo a a ľubovoľné čísla m a n platí nasledovné:

a m a n = a m + n.

dôkaz:

pravidlo : Pri násobení mocnín s rovnakým základom zostávajú základy rovnaké a exponenty sa sčítavajú.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

možnosť 1

1. Prezentujte ako diplom:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 r h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Prezentujte ako stupeň a nájdite hodnotu v tabuľke:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Delenie stupňov.

Pre ľubovoľné číslo a0 a ľubovoľné prirodzené čísla m a n také, že m>n je pravda:

a m: a n = a m - n

dôkaz:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

podľa definície súkromného:

a m: a n \u003d a m - n.

pravidlo: Pri delení mocnín s rovnakým základom sa základ ponechá rovnaký a exponent deliteľa sa odpočíta od exponentu deliteľa.

Definícia: Stupeň nenulového čísla s nulovým exponentom je rovný jednej:

pretože a n: a n = 1 pre a0 .

a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) y8: y3 = y8-3 = y5

c) a 7: a \u003d a 7: a 1 \u003d a 7 - 1 \u003d a 6

d) s5:so = s5:1 = s5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1 000

V)

G)

e)

možnosť 1

1. Vyjadrite podiel ako mocninu:

2. Nájdite hodnoty výrazov:

Pozdvihnutie sily produktu.

Pre ľubovoľné a a b a ľubovoľné prirodzené číslo n:

(ab) n = a n b n

dôkaz:

Podľa definície stupňa

(ab) n =

Zoskupením faktorov a a faktorov b oddelene dostaneme:

=

Dokázaná vlastnosť stupňa súčinu sa vzťahuje na stupeň súčinu troch alebo viacerých faktorov.

Napríklad:

(a b c) n = a n b n c n;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

pravidlo: Pri zvýšení výkonu produktu sa každý faktor zvýši na tento výkon a výsledok sa znásobí.

1. Zvýšte silu:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 roky 3 \u003d 8 x 3 roky 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 r.) 3 \u003d (-5) 3 r. 3 \u003d -125 r. 3

e) (-0,2 x y) 2 \u003d (-0,2) 2 x 2 y 2 \u003d 0,04 x 2 y 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Nájdite hodnotu výrazu:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1 000 = 16 000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10 000 = 90 000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

e)

možnosť 1

1. Zvýšte silu:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. Nájdite hodnotu výrazu:

b) (5 7 20) 2

Umocňovanie.

Pre ľubovoľné číslo a a ľubovoľné prirodzené čísla m a n:

(a m) n = a m n

dôkaz:

Podľa definície stupňa

(a m) n =

pravidlo: Pri zvýšení mocniny na mocninu sa základ nechá rovnaký a exponenty sa vynásobia.

1. Zvýšte silu:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Zjednodušte výrazy:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

A)

b)

možnosť 1

1. Zvýšte silu:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Zjednodušte výrazy:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y y 9) 2

3. Nájdite význam výrazov:

Aplikácia

Definícia stupňa.

Možnosť 2

1. Napíšte produkt v tvare stupňa:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bc) (bc) (bc)

2. Odmocni čísla:

3. Kockujte čísla:

4. Nájdite hodnoty výrazu:

c) -13 + (-2)4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Možnosť 3

1. Napíšte produkt ako stupeň:

a) 0,5 0,5 0,5

c) c c c c c c c c c

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Prezentujte vo forme štvorca s číslom: 100; 0,49; .

3. Kockujte čísla:

4. Nájdite hodnoty výrazu:

c) -15 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Možnosť 4

1. Napíšte produkt ako stupeň:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-а) (-а) (-а)

e) (bc) (bc) (bc) (bc)

2. Odmocni čísla:

3. Kockujte čísla:

4. Nájdite hodnoty výrazu:

c) -14 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Násobenie právomocí.

Možnosť 2

1. Prezentujte ako diplom:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) r 5 r h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Prezentujte ako stupeň a nájdite hodnotu v tabuľke:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Možnosť 3

1. Prezentujte ako diplom:

a) a 3 a 5 e) r 2 r 4 r. 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Prezentujte ako stupeň a nájdite hodnotu v tabuľke:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Možnosť 4

1. Prezentujte ako diplom:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) r 6 r h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Prezentujte ako stupeň a nájdite hodnotu v tabuľke:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Delenie stupňov.

Možnosť 2

1. Vyjadrite podiel ako mocninu:

2. Nájdite hodnoty výrazov:

Umocňovanie je operácia, ktorá úzko súvisí s násobením, táto operácia je výsledkom viacnásobného násobenia čísla samým sebou. Predstavme si vzorec: a1 * a2 * ... * an = an.

Napríklad a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Vo všeobecnosti sa umocňovanie často používa v rôznych vzorcoch v matematike a fyzike. Táto funkcia má vedeckejší účel ako štyri základné: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.

Zvýšenie čísla na mocnosť

Zvýšenie čísla na mocninu nie je náročná operácia. Súvisí s násobením ako vzťah medzi násobením a sčítaním. Záznam an - krátky záznam n-tého počtu čísiel "a" navzájom vynásobených.

Zvážte maximálne umocnenie jednoduché príklady prejsť na zložité.

Napríklad 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Štyri na druhú (na druhú mocninu) sa rovná šestnástim. Ak nerozumiete násobeniu 4 * 4, prečítajte si náš článok o násobení.

Pozrime sa na ďalší príklad: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Päť kociek (na tretiu mocninu) sa rovná stodvadsiatim piatim.

Ďalší príklad: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Deväť kociek sa rovná sedemstodvadsaťdeväť.

Vzorce umocňovania

Ak chcete správne zvýšiť výkon, musíte si zapamätať a poznať nižšie uvedené vzorce. V tomto nie je nič nadprirodzené, hlavnou vecou je pochopiť podstatu a potom sa nielen zapamätajú, ale budú sa zdať ľahké.

Povýšenie monomiálu na moc

Čo je to monomial? Toto je súčin čísel a premenných v akomkoľvek množstve. Napríklad dvojka je jednočlenný. A tento článok je o povýšení takýchto monomálov na moc.

Pomocou umocňovacích vzorcov nebude ťažké vypočítať umocnenie jednočlenu na mocninu.

Napríklad, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ak zvýšite jednočlen na mocninu, potom sa každá zložka jednočlena zvýši na mocninu.

Pri zvýšení premennej, ktorá už má stupeň na mocninu, sa stupne násobia. Napríklad (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Povýšenie na negatívnu silu

Záporný exponent je prevrátená hodnota čísla. Čo je to recipročné? Pre akékoľvek číslo X je recipročná hodnota 1/X. To je X-1 = 1/X. Toto je podstata negatívneho stupňa.

Zvážte príklad (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

prečo je to tak? Keďže v stupni je mínus, jednoducho tento výraz prenesieme do menovateľa a potom ho zvýšime na tretiu mocninu. Akurát?

Zvýšenie na zlomkovú silu

Začnime diskusiu ďalej konkrétny príklad. 43/2. Čo znamená moc 3/2? 3 - čitateľ, znamená zvýšenie čísla (v tomto prípade 4) na kocku. Číslo 2 je menovateľ, ide o extrakciu druhej odmocniny čísla (v tomto prípade 4).

Potom dostaneme druhú odmocninu z 43 = 2^3 = 8 . odpoveď: 8.

Takže menovateľ zlomkového stupňa môže byť 3 alebo 4 a do nekonečna ľubovoľné číslo a toto číslo určuje stupeň odmocnina extrahované z dané číslo. Samozrejme, menovateľ nemôže byť nula.

Pozdvihnutie koreňa k moci

Ak je koreň povýšený na silu rovnajúcu sa sile samotného koreňa, potom je odpoveďou radikálny výraz. Napríklad (√x)2 = x. A tak v každom prípade rovnosť stupňa koreňa a stupňa vyvýšenia koreňa.

Ak (√x)^4. Potom (√x)^4=x^2. Aby sme skontrolovali riešenie, preložíme výraz na výraz s zlomkový stupeň. Keďže odmocnina je štvorcová, menovateľ je 2. A ak sa odmocnina zvýši na štvrtú mocninu, potom je čitateľ 4. Dostaneme 4/2=2. Odpoveď: x = 2.

Každopádne najlepšia možnosť stačí previesť výraz na výraz so zlomkovou mocninou. Ak sa zlomok nezníži, takáto odpoveď bude za predpokladu, že koreň daného čísla nie je pridelený.

Umocňovanie komplexného čísla

Čo je to komplexné číslo? Komplexné číslo- výraz, ktorý má vzorec a + b * i; a, b sú reálne čísla. i je číslo, ktoré po druhej mocnine dáva číslo -1.

Zvážte príklad. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i + (3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Prihláste sa na kurz „Zrýchlite mentálne počítanie, NIE mentálne počítanie“, aby ste sa naučili rýchlo a správne sčítať, odčítať, násobiť, deliť, odmocňovať čísla a dokonca aj odmocňovať. Za 30 dní sa naučíte používať jednoduché triky na zjednodušenie aritmetických operácií. Každá lekcia obsahuje nové techniky, jasné príklady a užitočné úlohy.

Umocňovanie online

Pomocou našej kalkulačky môžete vypočítať umocnenie čísla na mocninu:

7. stupeň umocnenia

Pozdvihnutie k moci začína prechádzať školákmi až v siedmom ročníku.

Umocňovanie je operácia, ktorá úzko súvisí s násobením, táto operácia je výsledkom viacnásobného násobenia čísla samým sebou. Predstavme si vzorec: a1 * a2 * … * an=an .

Napríklad, a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Príklady riešení:

Prezentácia umocňovania

Prezentácia o umocňovaní, určená pre žiakov siedmeho ročníka. Prezentácia môže objasniť niektoré nepochopiteľné body, no vďaka nášmu článku také body pravdepodobne nebudú.

Výsledok

Uvažovali sme len o špičke ľadovca, aby sme lepšie porozumeli matematike – prihláste sa na náš kurz: Zrýchlite mentálne počítanie – NIE mentálne počítanie.

Z kurzu sa nielen naučíte desiatky trikov na zjednodušené a rýchle násobenie, sčítanie, násobenie, delenie, počítanie percent, ale ich aj vypracujete v špeciálnych úlohách a vzdelávacích hrách! Mentálne počítanie si vyžaduje aj veľa pozornosti a koncentrácie, ktoré sa aktívne trénujú pri riešení zaujímavých problémov.