Podstatou prvého prvku štatistickej metodológie je zber primárnych údajov o skúmanom objekte. Napríklad: počas sčítania v krajine sa zbierajú údaje o každej osobe žijúcej na jej území, ktoré sa zapisujú do špeciálneho formulára.

Druhý prvok: súhrn a zoskupovanie je rozdelenie všetkých údajov získaných v štádiu pozorovania do homogénnych skupín podľa jednej alebo viacerých charakteristík. Napríklad v dôsledku zoskupovania sčítacích materiálov dochádza k rozdeleniu obyvateľstva do skupín (podľa pohlavia, veku, počtu obyvateľov, vzdelania atď.).

Podstata tretieho prvku štatistickej metodológie spočíva vo výpočte a sociálno-ekonomickej interpretácii zovšeobecňovania štatistické ukazovatele:

1. Absolútna

2. Príbuzný

3. Stredná

4. Variačné ukazovatele

5. Reproduktory

Tri základné prvky štatistickej metodológie tvoria aj tri stupne každej štatistickej štúdie.

3. Zákon veľké čísla a štatistická pravidelnosť.

Pre štatistickú metodológiu je dôležitý zákon veľkých čísel. V najviac všeobecný pohľad dá sa to formulovať takto:

Zákon veľkých čísel je všeobecný princíp, na základe ktorého sa kumulujú akcie veľké číslo náhodné faktory vedú za určitých všeobecných podmienok k výsledku takmer nezávislému od náhody.

Zákon veľkých čísel je generovaný špeciálnymi vlastnosťami hromadných javov. Masové javy sa zas na jednej strane svojou osobitosťou od seba líšia a na druhej strane majú niečo spoločné, čo určuje ich príslušnosť k určitej triede.

Jediný jav je náchylnejší na vplyv náhodných a bezvýznamných faktorov ako množstvo javov ako celok. Za určitých podmienok možno hodnotu charakteristiky jednotlivej jednotky považovať za náhodnú premennú, keďže podlieha nielen všeobecnému vzoru, ale vytvára sa aj vplyvom podmienok nezávislých od tohto vzoru. Z tohto dôvodu sa v štatistikách široko používa priemerné ukazovatele, ktoré charakterizujú celú populáciu jedným číslom. Len pri veľkom počte pozorovaní sú náhodné odchýlky od hlavného smeru vývoja vyrovnané, zrušené a štatistický vzor sa javí zreteľnejšie. Podstatou zákona veľkých čísel je teda to, že v číslach, ktoré zovšeobecňujú výsledok hromadného štatistického pozorovania, sa vzor vývoja sociálno-ekonomických javov odhaľuje zreteľnejšie ako v malom štatistickom výskume.

4. Štatistické odvetvia.

Prebieha historický vývoj V rámci štatistiky ako jednotnej vedy vznikli a získali určitú nezávislosť tieto odvetvia:

1. Všeobecná teóriaštatistiky, ktorá rozvíja koncepciu kategórií a metód merania kvantitatívnych vzorcov spoločenského života.

2. Ekonomická štatistika študujúca kvantitatívne vzorce reprodukčných procesov na rôznych úrovniach.

3. Sociálna štatistika, ktorá študuje kvantitatívnu stránku rozvoja sociálnej infraštruktúry spoločnosti (štatistika zdravotníctva, školstva, kultúry, morálna, súdna atď.).

4. Priemyselná štatistika (štatistika priemyslu, poľnohospodárstva, dopravy, spojov atď.).

Všetky odvetvia štatistiky rozvíjaním a zdokonaľovaním svojej metodológie prispievajú k rozvoju štatistickej vedy ako celku.

5. Základné pojmy a kategórie štatistickej vedy všeobecne.

Štatistická populácia je súbor prvkov rovnakého typu, ktoré sú si v niektorých ohľadoch navzájom podobné a v iných odlišné. Napríklad: ide o súbor ekonomických sektorov, súbor univerzít, súbor spolupráce medzi dizajnérskymi kanceláriami atď.

Jednotlivé prvky štatistickej populácie sa nazývajú jej jednotky. Vo vyššie uvedených príkladoch sú jednotkami populácie odvetvia, univerzita (jedna) a zamestnanec.

Jednotky populácie majú zvyčajne mnoho charakteristík.

Charakteristika je vlastnosť jednotiek populácie, ktorá vyjadruje ich podstatu a má schopnosť variovať, t.j. zmeniť. Charakteristiky, ktoré v jednotlivých jednotkách populácie nadobúdajú jednu hodnotu, sa nazývajú premenlivé a samotné hodnoty sa nazývajú varianty.

Variabilné charakteristiky sa delia na atribútové alebo kvalitatívne. Znak sa nazýva atribút alebo kvalitatívny, ak je jeho individuálny význam (varianty) vyjadrený vo forme stavu alebo vlastností, ktoré sú danému javu vlastné. Varianty atribútových charakteristík sa vyjadrujú verbálnou formou. Príklady takýchto znakov zahŕňajú ekonomické.

Charakteristika sa nazýva kvantitatívna, ak je jej individuálna hodnota vyjadrená vo forme čísel. Napríklad: mzda, štipendium, vek, veľkosť PF.

Podľa charakteru variácie sa kvantitatívne charakteristiky delia na diskrétne a spojité.

Diskrétne sú také kvantitatívne charakteristiky, ktoré môžu nadobudnúť iba veľmi špecifickú, zvyčajne celočíselnú hodnotu.

Spojité sú tie znaky, ktoré v určitých medziach môžu nadobúdať celé aj zlomkové hodnoty. Napríklad: HNP krajiny atď.

Existujú tiež rozdiely medzi primárnymi a sekundárnymi znakmi.

Hlavné znaky charakterizujú hlavný obsah a podstatu skúmaného javu alebo procesu.

Sekundárne znaky dávajú Ďalšie informácie a priamo súvisia s vnútorným obsahom javu.

V závislosti od cieľov konkrétnej štúdie môžu byť rovnaké znaky v rovnakých prípadoch primárne a v iných sekundárne.

Štatistický ukazovateľ je kategória, ktorá zobrazuje veľkosť a kvantitatívne vzťahy znakov sociálno-ekonomických javov a ich kvalitatívnu určitosť v konkrétnych podmienkach miesta a času. Je potrebné rozlišovať medzi obsahom štatistického ukazovateľa a jeho konkrétnym číselným vyjadrením. Obsah, t.j. kvalitatívna istota spočíva v tom, že ukazovatele vždy charakterizujú sociálno-ekonomické kategórie (obyvateľstvo, hospodárstvo, finančné inštitúcie a pod.). Kvantitatívne dimenzie štatistických ukazovateľov, t.j. ich číselné hodnoty závisia predovšetkým od času a miesta objektu, ktorý je predmetom štatistického výskumu.

Sociálno-ekonomické javy spravidla nemožno charakterizovať jedným ukazovateľom, napr. životnou úrovňou obyvateľstva. Pre komplexnú komplexnú charakteristiku skúmaných javov je potrebný vedecky podložený systém štatistických ukazovateľov. Tento systém nie je trvalý. Neustále sa zdokonaľuje na základe potrieb spoločenského rozvoja.

6. Úlohy štatistickej vedy a praxe v podmienkach rozvoja trhovej ekonomiky.

Hlavné úlohy štatistiky v kontexte rozvoja trhových vzťahov v Rusku sú tieto:

1. Zlepšenie účtovníctva a výkazníctva a zníženie toku dokumentov na tomto základe.

Budete študovať tieto hlavné problémy témy:

Prepojenie štatistiky s teóriou a praxou trhovej ekonomiky

Ciele štatistiky

Pojmy a metódy štatistiky

Zákon veľkých čísel, štatistická zákonitosť

Lekcia 1. Úvod

1. História štatistiky

Štatistika je nezávislá spoločenská veda s vlastným predmetom a metódou výskumu. Vznikol z praktických potrieb spoločenského života. Už v staroveký svet Bolo potrebné spočítať počet obyvateľov štátu, zohľadniť ľudí vhodných na vojenskú službu, určiť počet hospodárskych zvierat, veľkosť pôdy a iného majetku. Informácie tohto druhu boli potrebné na vyberanie daní, vedenie vojen atď. Následne, ako sa vyvíja spoločenský život, sa okruh zohľadňovaných javov postupne rozširuje.

Objem zozbieraných informácií vzrástol najmä s rozvojom kapitalizmu a svetových ekonomických vzťahov. Potreby tohto obdobia prinútili vládne orgány a kapitalistické podniky zhromažďovať pre praktické potreby rozsiahle a rôznorodé informácie o trhoch práce a predaji tovaru a surovín.

V polovici 17. storočia vznikol v Anglicku vedecký smer nazývaný „politická aritmetika“. Tento smer začali William Petit (1623-1687) a John Graunt (1620-1674). „Politická aritmetika“ založená na štúdiu informácií o masových spoločenských javoch sa snažila objaviť zákonitosti spoločenského života, a tak riešiť otázky, ktoré vznikli v súvislosti s rozvojom kapitalizmu.

Spolu so školou „politickej aritmetiky“ v Anglicku sa v Nemecku vyvinula škola deskriptívnej štatistiky alebo „štátnej vedy“. Vznik tejto vedy sa datuje do roku 1660.

Rozvoj politickej aritmetiky a vládnej vedy viedol k vzniku vedy o štatistike.

Pojem „štatistika“ pochádza z latinského slova „status“, čo v preklade znamená polohu, stav, poradie javov.

Pojem „štatistika“ uviedol do vedeckého obehu Gottfried Achenwal (1719-1772), profesor na univerzite v Göttingene.

V závislosti od predmetu štúdia sa štatistika ako veda delí na sociálnu, demografickú, ekonomickú, priemyselnú, obchodnú, bankovú, finančnú, medicínsku atď. Všeobecné vlastnosti matematická štatistika a všeobecná teória štatistiky zohľadňujú štatistické údaje, bez ohľadu na ich povahu a metódy ich analýzy.

Predmet štatistiky . Štatistika sa zaoberá predovšetkým kvantitatívnou stránkou javov a procesov spoločenského života. Jednou z charakteristických čŕt štatistiky je, že pri skúmaní kvantitatívnej stránky spoločenských javov a procesov vždy odráža kvalitatívne znaky skúmaných javov, t. študuje kvantitu v nerozlučnom spojení, jednotu s kvalitou.

Kvalita vo vedeckom a filozofickom chápaní sú vlastnosti, ktoré sú vlastné objektu alebo javu, ktoré odlišujú tento objekt alebo jav od iných. Kvalita je to, čo robí predmety a javy istými. Pomocou filozofickej terminológie môžeme povedať, že štatistika študuje sociálne javy ako jednotu ich kvalitatívnej a kvantitatívnej istoty, t.j. študuje mieru sociálnych javov.

Štatistická metodológia . Najdôležitejšie zložky štatistickej metodológie sú:

hromadné sledovanie

zoskupovanie, aplikácia zovšeobecňujúcich (súhrnných) charakteristík;

analýza a zovšeobecnenie štatistických faktov a zisťovanie vzorov v skúmaných javoch.

Poďme sa na tieto prvky pozrieť bližšie.

Aby sme kvantitatívne charakterizovali akýkoľvek hromadný jav, je najprv potrebné zbierať informácie o jeho základných prvkoch. Dosahuje sa to hromadným pozorovaním, ktoré sa uskutočňuje na základe pravidiel a metód vyvinutých štatistickou vedou.

Informácie zozbierané počas procesu štatistického pozorovania sú následne podrobené zhrnutie (primárne vedecké spracovanie), pri ktorom sa identifikujú charakteristické časti (skupiny) z celej populácie skúmaných jednotiek Identifikácia skupín a podskupín jednotiek z celej skúmanej masy sa v štatistike nazýva zoskupenie . Zoskupovanie v štatistike je základom pre spracovanie a analýzu zozbieraných informácií. Vykonáva sa na základe určitých zásad a pravidiel.

V procese spracovania štatistických informácií súbor zisťovaných jednotiek a jeho vybrané časti na základe aplikácie metódy zoskupovania charakterizuje systém digitálnych ukazovateľov: absolútne a priemerné hodnoty, relatívne hodnoty, ukazovatele dynamiky atď.

3. Ciele štatistiky

Úplné a spoľahlivé štatistické informácie sú nevyhnutným základom, na ktorom je založený proces ekonomického riadenia. Prijímanie manažérskych rozhodnutí na všetkých úrovniach, od národnej alebo regionálnej až po úroveň jednotlivej korporácie alebo súkromnej firmy, je nemožné bez oficiálnej štatistickej podpory.

Sú to štatistické údaje, ktoré umožňujú určiť objem hrubého domáceho produktu a národného dôchodku, identifikovať hlavné trendy vo vývoji ekonomických sektorov, odhadnúť úroveň inflácie, analyzovať stav finančných a komoditných trhov, študovať úroveň života obyvateľstva a iných sociálno-ekonomických javov a procesov.

Štatistika je veda, ktorá študuje kvantitatívnu stránku masových javov a procesov v neoddeliteľnej súvislosti s ich kvalitatívnou stránkou, kvantitatívne vyjadrenie zákonitostí spoločenského vývoja v konkrétnych podmienkach miesta a času.

Na získanie štatistické informácieŠtátne a rezortné štatistické orgány, ako aj komerčné štruktúry vykonávajú rôzne druhy štatistického výskumu. Ako už bolo uvedené, proces štatistického výskumu zahŕňa tri hlavné etapy: zber údajov, ich zhrnutie a zoskupenie, analýzu a výpočet všeobecných ukazovateľov.

Výsledky a kvalita všetkej následnej práce do značnej miery závisia od spôsobu zberu primárneho štatistického materiálu, jeho spracovania a zoskupovania. Nedostatočné rozpracovanie programových, metodických a organizačných aspektov štatistického pozorovania, chýbajúca logická a aritmetická kontrola zozbieraných údajov, nedodržiavanie zásad tvorby skupín môže v konečnom dôsledku viesť k úplne chybným záverom.

Záverečná, analytická fáza štúdie je nemenej komplexná, časovo náročná a zodpovedná. V tejto fáze sa vypočítavajú priemerné ukazovatele a ukazovatele distribúcie, analyzuje sa štruktúra populácie a študuje sa dynamika a vzťahy medzi skúmanými javmi a procesmi.

Techniky a metódy zberu, spracovania a analýzy údajov používané vo všetkých fázach štúdia sú predmetom štúdia všeobecnej teórie štatistiky, ktorá je základným odvetvím štatistickej vedy. Vyvinutá metodika sa používa v makroekonomickej štatistike, sektorovej štatistike (priemysel, poľnohospodárstvo, obchod a pod.), štatistike obyvateľstva, sociálnej štatistike a ďalších štatistických odvetviach. Veľký význam štatistiky v spoločnosti sa vysvetľuje tým, že predstavuje jeden z najzákladnejších, jeden z najdôležitejších prostriedkov, ktorým ekonomický subjekt vedie evidenciu v ekonomike.

Účtovníctvo je spôsob systematického merania a štúdia zovšeobecnených javov pomocou kvantitatívnych metód.

Pre každú štúdiu kvantitatívnych vzťahov existuje účtovníctvo. Rôzne kvantitatívne vzťahy medzi javmi môžu byť reprezentované vo forme určitých matematických vzorcov, a to samo osebe nebude brané do úvahy. Jedným z charakteristických znakov účtovníctva je výpočet JEDNOTLIVÝCH prvkov, JEDNOTLIVÝCH jednotiek, ktoré tvoria ten či onen jav. V účtovníctve sa používajú rôzne matematické vzorce, ale ich použitie je nevyhnutne spojené s výpočtom prvkov.

Účtovníctvo je prostriedkom sledovania a sumarizácie výsledkov získaných v procese zovšeobecneného vývoja.

Štatistika je teda najdôležitejším nástrojom na pochopenie a využitie ekonomických a iných zákonitostí spoločenského rozvoja.

Ekonomická reforma predstavuje pre štatistickú vedu a prax kvalitatívne nové výzvy. V súlade so štátnym programom prechodu Ruska na účtovný a štatistický systém akceptovaný v medzinárodnej praxi sa reorganizuje systém zberu štatistických informácií a zlepšuje sa metodika analýzy trhových procesov a javov.

Systém národných účtov (SNA), široko používaný vo svetovej praxi, spĺňa charakteristiky a požiadavky trhových vzťahov. Prechod na trhové hospodárstvo preto umožnil zaviesť SNA do štatistického a účtovného účtovníctva, odrážajúceho fungovanie sektorov trhového hospodárstva.

Je to nevyhnutné pre komplexnú analýzu ekonomiky na makroúrovni a poskytovanie informácií medzinárodným ekonomickým organizáciám, s ktorými Rusko spolupracuje.

Štatistiky zohrávajú veľkú úlohu v informačnej a analytickej podpore rozvoja ekonomická reforma. Jediným cieľom tohto procesu je posúdiť, analyzovať a prognózovať stav a vývoj ekonomiky v súčasnej fáze.

Pre štatistickú metodológiu je dôležitý zákon veľkých čísel. Vo svojej najvšeobecnejšej forme sa dá formulovať takto:

Zákon veľkých čísel je všeobecný princíp, na základe ktorého kombinované pôsobenie veľkého počtu náhodných faktorov vedie za určitých všeobecných podmienok k výsledku takmer nezávislému od náhody.

Zákon veľkých čísel je generovaný špeciálnymi vlastnosťami hromadných javov. Masové javy sa zas na jednej strane svojou osobitosťou od seba líšia a na druhej strane majú niečo spoločné, čo určuje ich príslušnosť k určitej triede.

Jediný jav je náchylnejší na vplyv náhodných a bezvýznamných faktorov ako množstvo javov ako celok. Za určitých podmienok možno hodnotu charakteristiky jednotlivej jednotky považovať za náhodnú premennú, keďže podlieha nielen všeobecnému vzoru, ale vytvára sa aj vplyvom podmienok nezávislých od tohto vzoru. Z tohto dôvodu sa v štatistikách široko používa priemerné ukazovatele, ktoré charakterizujú celú populáciu jedným číslom. Len pri veľkom počte pozorovaní sú náhodné odchýlky od hlavného smeru vývoja vyrovnané, zrušené a štatistický vzor sa javí zreteľnejšie. teda podstata zákona veľkých čísel spočíva v tom, že v číslach, ktoré sumarizujú výsledky hromadného štatistického pozorovania, sa zreteľnejšie odhaľuje vzorec vývoja sociálno-ekonomických javov ako v malom štatistickom výskume.

ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL

ekonomika. Slovník. - M.: “INFRA-M”, Vydavateľstvo “Ves Mir”. J. Black. Generálny redaktor: doktor ekonómie Osadchaya I.M. . 2000.

Raizberg B.A., Lozovsky L.Sh., Starodubtseva E.B. . Moderný ekonomický slovník. - 2. vyd., rev. M.: INFRA-M. 479 str. . 1999.

Ekonomický slovník. 2000.

Pozrite sa, čo je „ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL“ v iných slovníkoch:

ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL- pozri ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL. antinacistický. Encyklopédia sociológie, 2009 ... Encyklopédia sociológie

Zákon veľkých čísel- princíp, podľa ktorého sa kvantitatívne vzorce vlastné masovým spoločenským javom najjasnejšie prejavujú pri dostatočne veľkom počte pozorovaní. Jednotlivé javy sú náchylnejšie na vplyv náhodných a... ... Slovník obchodných pojmov

ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL- uvádza, že s pravdepodobnosťou blízkou jednotke je aritmetický priemer veľkého čísla náhodné premenné približne rovnaký rádovo sa bude len málo líšiť od konštanty rovnajúcej sa aritmetickému priemeru matematických očakávaní týchto veličín. Rôzne... ... Geologická encyklopédia

zákon veľkých čísel- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Anglicko-ruský slovník elektrotechniky a energetiky, Moskva, 1999] Témy elektrotechniky, základné pojmy EN zákon o priemernom zákone veľkých čísel ... Technický prekladateľ

Zákon veľkých čísel- v teórii pravdepodobnosti uvádza, že empirický priemer (aritmetický priemer) dostatočne veľkej konečnej vzorky z pevného rozdelenia je blízky teoretickému priemeru (matematickému očakávaniu) tohto rozdelenia. V závislosti... Wikipedia

zákon veľkých čísel- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. zákon veľkých čísel vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. zákon veľkých čísel, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas

ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL- všeobecný princíp, vďaka ktorému spoločné pôsobenie náhodných faktorov vedie za určitých veľmi všeobecných podmienok k výsledku, ktorý je takmer nezávislý od náhody. Konvergencia frekvencie výskytu náhodnej udalosti s jej pravdepodobnosťou, keď sa číslo zvyšuje... ... Ruská sociologická encyklopédia

Zákon veľkých čísel- zákon stanovujúci, že spojené pôsobenie veľkého množstva náhodných faktorov vedie za určitých veľmi všeobecných podmienok k výsledku takmer nezávislému od náhody... Sociológia: slovník

ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL- štatistický zákon vyjadrujúci vzťah medzi štatistickými ukazovateľmi (parametrami) výberového súboru a bežnej populácie. Skutočné hodnoty štatistických ukazovateľov získané z určitej vzorky sa vždy líšia od tzv. teoretická... ... Sociológia: Encyklopédia

ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL- princíp, na základe ktorého možno s vysokou presnosťou predpovedať frekvenciu finančných strát určitého typu, keď existuje veľký počet strát podobného typu ... encyklopedický slovník ekonomika a právo

Zákon veľkých čísel

Pri každodennej interakcii s postavami a postavami v práci alebo štúdiu mnohí z nás ani len netuší, že existuje veľmi zaujímavý zákon veľkých čísel, ktorý sa používa napríklad v štatistike, ekonómii a dokonca aj v psychologickom a pedagogickom výskume. Odvoláva sa na teóriu pravdepodobnosti a hovorí, že aritmetický priemer akejkoľvek veľkej vzorky z pevného rozdelenia je blízky matematickému očakávaniu tohto rozdelenia.

Pravdepodobne ste si všimli, že pochopiť podstatu tohto zákona nie je ľahké, najmä pre tých, ktorí nie sú obzvlášť dobrí v matematike. Na základe toho by sme o tom chceli hovoriť jednoduchým jazykom(samozrejme v rámci možností), aby každý aspoň približne sám pochopil, o čo ide. Tieto poznatky vám pomôžu lepšie pochopiť niektoré matematické zákonitosti, stať sa erudovanejšími a majú pozitívny vplyv na rozvoj myslenia.

Pojmy zákona veľkých čísel a jeho výklad

Okrem vyššie diskutovanej definície zákona veľkých čísel v teórii pravdepodobnosti môžeme uviesť aj jeho ekonomický výklad. V tomto prípade ide o princíp, z ktorého možno predvídať frekvenciu finančných strát konkrétneho druhu vysoký stupeň spoľahlivosť, keď je pozorovaná vysoký stupeň straty tohto typu vo všeobecnosti.

Okrem toho, v závislosti od úrovne konvergencie znakov, môžeme rozlíšiť slabé a silné zákony veľkých čísel. Hovoríme o slabej, keď konvergencia existuje v pravdepodobnosti, a o silnej, keď konvergencia existuje takmer vo všetkom.

Ak to interpretujeme trochu inak, mali by sme povedať toto: vždy je možné nájsť konečný počet pokusov, kde sa pri akejkoľvek vopred naprogramovanej pravdepodobnosti menšej ako jedna bude relatívna frekvencia výskytu nejakej udalosti veľmi málo líšiť od jej pravdepodobnosti.

Všeobecnú podstatu zákona veľkých čísel možno teda vyjadriť nasledovne: výsledkom zložitého pôsobenia veľkého množstva rovnakých a nezávislých náhodných faktorov bude výsledok nezávislý od náhody. A ešte jednoduchšie povedané, potom v zákone veľkých čísel sa kvantitatívne vzorce hromadných javov zreteľne prejavia až vtedy, keď je ich počet veľký (preto sa zákon nazýva zákon veľkých čísel).

Z toho môžeme usúdiť, že podstatou zákona je, že v číslach, ktoré sa získajú hromadným pozorovaním, sú niektoré správnosti, ktoré sa v malom počte skutočností nedajú odhaliť.

Podstata zákona veľkých čísel a jeho príklady

Zákon veľkých čísel vyjadruje najvšeobecnejšie zákony náhodného a nevyhnutného. Keď sa náhodné odchýlky navzájom „rušia“, priemerné ukazovatele určené pre rovnakú štruktúru nadobúdajú podobu typických. Odrážajú pôsobenie podstatných a trvalých faktov v konkrétnych podmienkach času a miesta.

Vzory definované zákonom veľkých čísel sú silné iba vtedy, keď reprezentujú masové trendy a nemôžu byť zákonmi pre jednotlivé prípady. Zásada teda vstupuje do platnosti matematickej štatistiky, hovoriac, že ​​komplexné pôsobenie množstva náhodných faktorov môže spôsobiť nenáhodný výsledok. A najvýraznejším príkladom fungovania tohto princípu je konvergencia frekvencie výskytu náhodnej udalosti a jej pravdepodobnosti, keď sa zvyšuje počet pokusov.

Spomeňme si na obvyklé hádzanie mincou. Teoreticky môžu hlavy a chvosty padať s rovnakou pravdepodobnosťou. To znamená, že ak napríklad hodíte mincou 10-krát, 5 z nich by malo prísť hore nohami a 5 z nich by malo vypadnúť. Ale každý vie, že sa to takmer nikdy nestane, pretože pomer frekvencie hláv a chvostov môže byť 4 ku 6, 9 ku 1, 2 ku 8 atď. Keď sa však počet hodov mincou zvyšuje, napríklad na 100, pravdepodobnosť získania hlavy alebo chvosta dosahuje 50 %. Ak sa teoreticky uskutoční nekonečné množstvo podobných experimentov, pravdepodobnosť vypadnutia mince na oboch stranách bude mať vždy tendenciu k 50 %.

Obrovské množstvo náhodných faktorov ovplyvňuje, ako presne padne minca. Ide o polohu mince v dlani, sila, ktorou je hod vykonaný, výška pádu, jeho rýchlosť atď. Ale ak existuje veľa experimentov, bez ohľadu na to, ako faktory ovplyvňujú, vždy možno tvrdiť, že praktická pravdepodobnosť je blízka teoretickej pravdepodobnosti.

Tu je ďalší príklad, ktorý vám pomôže pochopiť podstatu zákona veľkých čísel: Predpokladajme, že potrebujeme odhadnúť úroveň zárobkov ľudí v určitom regióne. Ak vezmeme do úvahy 10 pozorovaní, kde 9 ľudí dostane 20 tisíc rubľov a 1 osoba dostane 500 tisíc rubľov, aritmetický priemer bude 68 tisíc rubľov, čo je, samozrejme, nepravdepodobné. Ak však vezmeme do úvahy 100 pozorovaní, kde 99 ľudí dostane 20 000 rubľov a 1 osoba dostane 500 000 rubľov, potom pri výpočte aritmetického priemeru dostaneme 24,8 tisíc rubľov, čo je bližšie k skutočnému stavu vecí. Zvýšením počtu pozorovaní prinútime priemernú hodnotu, aby sa priklonila k skutočnej hodnote.

Práve z tohto dôvodu je pre uplatnenie zákona veľkých čísel potrebné najskôr zozbierať štatistický materiál, aby sa získali pravdivé výsledky štúdiom veľkého počtu pozorovaní. Preto je vhodné použiť tento zákon opäť v štatistike alebo sociálnej ekonomike.

Poďme si to zhrnúť

Pre akúkoľvek oblasť vedeckého poznania a najmä pre vedecký vývoj v oblasti teórie štatistiky a metód štatistického poznávania je ťažké preceňovať dôležitosť toho, že zákon veľkých čísel funguje. Pôsobenie zákona má veľký význam aj pre samotné skúmané objekty s ich hmotovými vzormi. Takmer všetky metódy štatistického pozorovania sú založené na zákone veľkých čísel a princípe matematickej štatistiky.

Ale aj bez zohľadnenia vedy a štatistiky ako takej môžeme s istotou konštatovať, že zákon veľkých čísel nie je len javom z oblasti teórie pravdepodobnosti, ale javom, s ktorým sa v živote stretávame takmer každý deň.

Dúfame, že teraz je vám podstata zákona veľkých čísel jasnejšia a môžete ju ľahko a jednoducho vysvetliť niekomu inému. A ak vás téma matematiky a teórie pravdepodobnosti v zásade zaujíma, potom odporúčame prečítať si o Fibonacciho číslach a Monty Hallovom paradoxe. Pozrite si aj približné výpočty v životné situácie a najobľúbenejšie čísla. A samozrejme venujte pozornosť nášmu kurzu kognitívnej vedy, pretože jeho absolvovaním si osvojíte nielen nové techniky myslenia, ale celkovo si zlepšíte aj svoje kognitívne schopnosti, vrátane tých matematických.

1.1.4. Metóda štatistiky

Metóda štatistiky zahŕňa nasledujúcu postupnosť akcií:

vypracovanie štatistickej hypotézy,

súhrn a zoskupovanie štatistických údajov,

Priechod každej etapy je spojený s použitím špeciálnych metód vysvetlených obsahom vykonávanej práce.

1.1.5. Ciele štatistiky

Vypracovanie sústavy hypotéz charakterizujúcich vývoj, dynamiku a stav sociálno-ekonomických javov.

Organizácia štatistických činností.

Vývoj metodológie analýzy.

Vytvorenie systému ukazovateľov pre hospodárenie fariem na makro a mikroúrovni.

Popularizujte údaje zo štatistických pozorovaní.

1.1.6. Zákon veľkých čísel a jeho úloha pri štúdiu štatistických vzorcov

Masívnosť sociálnych zákonov a jedinečnosť ich konania predurčuje potrebu študovať súhrnné dáta.

Zákon veľkých čísel je generovaný špeciálnymi vlastnosťami hromadných javov. Tí druhí sa vďaka svojej individualite na jednej strane navzájom líšia a na druhej strane majú niečo spoločné kvôli ich príslušnosti k určitej triede alebo druhu. Navyše jednotlivé javy sú náchylnejšie na vplyv náhodných faktorov ako ich súhrn.

Zákon veľkých čísel vo svojej najjednoduchšej podobe hovorí, že kvantitatívne vzorce hromadných javov sa zreteľne prejavujú len v dostatočne veľkom počte z nich.

Jeho podstata teda spočíva v tom, že v číslach získaných v dôsledku hromadného pozorovania sa objavuje určitá správnosť, ktorú nemožno zistiť v malom počte faktov.

Zákon veľkých čísel vyjadruje dialektiku náhodného a nevyhnutného. V dôsledku vzájomného rušenia náhodných odchýlok sa stávajú typickými priemerné hodnoty vypočítané pre veličiny rovnakého typu, ktoré odrážajú vplyvy konštantných a významných skutočností v daných podmienkach miesta a času.

Tendencie a vzorce odhalené pomocou zákona veľkých čísel platia len ako masové trendy, ale nie ako zákony pre každý jednotlivý prípad.

Prejav zákona veľkých čísel možno vidieť v mnohých oblastiach javov spoločenského života skúmaných štatistikou. Napríklad priemerný výkon na pracovníka, priemerné náklady na jednotku produktu, priemerná mzda a ďalšie štatistické charakteristiky vyjadrujú vzorce spoločné pre daný hromadný jav. Zákon veľkých čísel teda pomáha odhaliť zákonitosti hromadných javov ako objektívnu nevyhnutnosť ich vývoja.

1.1.7. Základné kategórie a pojmy štatistiky: štatistická populácia, jednotka populácie, znak, variácia, štatistický ukazovateľ, sústava ukazovateľov

Keďže štatistika sa zaoberá hromadnými javmi, hlavným pojmom je štatistický agregát.

Štatistická populácia je súbor objektov alebo javov skúmaných štatistikou, ktoré majú jednu alebo viac spoločných charakteristík a líšia sa od seba inými charakteristikami. Napríklad pri určovaní objemu maloobchodného obratu sa všetky obchodné podniky, ktoré predávajú tovar verejnosti, považujú za jeden štatistický agregát - „maloobchod“.

E populačná jednotka – Toto je primárny prvok štatistického súboru, ktorý je nositeľom charakteristík, ktoré sú predmetom registrácie, a základom pre účet vedený počas zisťovania.

Napríklad pri sčítaní maloobchodného vybavenia je pozorovacou jednotkou maloobchodná prevádzka a jednotkou obyvateľstva je ich vybavenie (pulty, chladiace jednotky atď.).

Podpísať — Toto charakteristickú vlastnosť skúmaný jav, čím sa odlišuje od iných javov. Znaky možno charakterizovať množstvom štatistických veličín.

Rôzne odvetvia štatistiky skúmajú rôzne charakteristiky. Napríklad predmetom štúdia je podnik a jeho charakteristikami sú typ produktu, objem produkcie, počet zamestnancov atď. Alebo je objektom individuálna osoba a charakteristikami sú pohlavie, vek, národnosť, výška, hmotnosť atď.

Štatistické znaky, t.j. Existuje veľa vlastností a vlastností objektov pozorovania. Celá ich rozmanitosť je zvyčajne rozdelená do dvoch veľkých skupín: znaky kvality a znaky kvantity.

kvalitatívny znak (atribút) - vlastnosť, ktorej jednotlivé významy sú vyjadrené vo forme pojmov a pomenovaní.

Profesia - sústružník, mechanik, technológ, učiteľ, lekár a pod.

Kvantitatívna charakteristika - znak, ktorého určité hodnoty majú kvantitatívne vyjadrenia.

Výška - 185, 172, 164, 158.

Hmotnosť - 105, 72, 54, 48.

Každý predmet štúdia môže mať množstvo štatistických charakteristík, ale od objektu k objektu sa niektoré charakteristiky menia, iné zostávajú nezmenené. Charakteristiky, ktoré sa menia z jedného objektu na druhý, sa zvyčajne nazývajú rôzne. Práve tieto charakteristiky sa skúmajú v štatistike, pretože nie je zaujímavé skúmať nemennú charakteristiku. Predpokladajme, že vo vašej skupine sú len muži, každý má jednu vlastnosť (pohlavie – muž) a k tejto vlastnosti už nie je čo povedať. A ak existujú ženy, môžete už vypočítať ich percento v skupine, dynamiku zmien v počte žien podľa mesiaca školský rok atď.

Variácia znamenie - ide o rôznorodosť, variabilitu hodnoty znaku v jednotlivých jednotkách pozorovanej populácie.

Variácia znaku - pohlavie - muž, žena.

Zmena platu - 10000, 100000, 1000000.

Jednotlivé charakteristické hodnoty sa nazývajú možnosti toto znamenie.

Javy a procesy v živote spoločnosti študuje štatistika prostredníctvom štatistických ukazovateľov.

Štatistický ukazovateľ je zovšeobecňujúca charakteristika akejkoľvek vlastnosti štatistickej populácie alebo jej časti. Týmto spôsobom sa líši od znaku (vlastnosti inherentnej jednotke populácie). Napríklad, GPA za semester pre skupinu študentov je štatistický ukazovateľ. Známkou je skóre v určitom predmete konkrétneho žiaka.

Systém štatistických ukazovateľov je súbor vzájomne súvisiacich štatistických ukazovateľov, ktoré komplexne odrážajú procesy spoločenského života v určitých podmienkach miesta a času.

Zákon veľkých čísel. Štatistický vzor

Pojem štatistiky a jeho hlavné ustanovenia

Štatistika ako parameter populácie

Zákon veľkých čísel. Štatistický vzor

Chlapec alebo dievča

Metódy výskumu používané v štatistike obyvateľstva

Bibliografia

Jedným slovom štatistiky V polovice 18. storočia V. začal označovať súbor rôznych druhov faktických informácií o štátoch (z latinského „status“ - štát). Medzi takéto informácie patrili údaje o veľkosti a pohybe obyvateľstva štátov, ich územnom členení a administratívnej štruktúre, hospodárstve a pod.

V súčasnosti má pojem „štatistika“ niekoľko súvisiacich významov. Jeden z nich úzko zodpovedá vyššie uvedenému. Štatistiky sa často označujú ako súbor faktov o konkrétnej krajine. Hlavné sú systematicky publikované v špeciálnych publikáciách v predpísanej forme.

Moderná štatistika v uvažovanom zmysle slova sa však od „stavu jurisdikcie“ minulých storočí líši nielen enormne zvýšenou úplnosťou a všestrannosťou informácií v nej obsiahnutých. S ohľadom na povahu informácií teraz zahŕňa len to, čo bolo prijaté kvantitatívne výraz. Štatistika teda neobsahuje informácie o tom, či je daný štát monarchiou alebo republikou. Aký jazyk je prijatý za štátny jazyk atď.

Zahŕňa však kvantitatívne údaje o počte ľudí, ktorí používajú konkrétny jazyk ako svoj hovorený jazyk. Štatistiky nezahŕňajú zoznam a umiestnenie na mape jednotlivca územné častištátov, ale zahrnúť medzi ne kvantitatívne údaje o rozložení obyvateľstva, priemyslu a pod.

Spoločným znakom informácií, ktoré tvoria štatistiku, je, že sa vždy nevzťahujú na jeden (individuálny) jav, ale pokrývajú súhrnné charakteristiky. celý riadok takéto javy, alebo, ako sa hovorí, ich totality. Individuálny jav sa líši od agregátu svojou nerozložiteľnosťou na nezávisle existujúce a podobné základné prvky. Presne z takýchto prvkov pozostáva celok. Zmiznutie jedného z prvkov totality ju nezničí ako takú.

Obyvateľstvo mesta teda zostáva jeho obyvateľstvom aj po tom, čo jeden z jeho voličov zomrel alebo sa presťahoval do iného.

Rôzne agregáty a ich jednotky sa v skutočnosti kombinujú a vzájomne prelínajú, niekedy vo veľmi zložitých komplexoch. Špecifikom štatistiky je, že vo všetkých prípadoch sa jej údaje týkajú obyvateľstva. Charakteristiky jednotlivých jednotlivých javov prichádzajú do jej zorného poľa len ako podklad pre získanie súhrnných charakteristík agregátu.

Napríklad registrácia manželstva má pre daný jednotlivý pár, ktorý do neho vstupuje, určitý význam a každému z manželov z toho vyplývajú určité práva a povinnosti. Štatistika obsahuje len súhrnné údaje o počte sobášov, o zložení tých, ktorí do nich vstupujú - podľa veku, podľa zdroja obživy a pod. Jednotlivé prípady sobášov sú pre štatistiku zaujímavé len do tej miery, do akej je možné získať súhrnné údaje na základe informácie o nich.

Štatistika ako parameter populácie

Pojem „štatistika“ sa v poslednom čase často začína chápať v o niečo užšom, no presnejšie definovanom význame spojenom so spracovaním výsledkov série jednotlivých pozorovaní.

Predstavme si, že ako výsledok pozorovaní sme dostali čísla X 1 , X 2 . X n. Tieto čísla sa považujú za jednu z možných implementácií populácie n množstvá v ich kombinácii.

Štatistika je parameter f závislý na X 1 , X 2 . X n. Keďže tieto veličiny sú, ako bolo uvedené, jednou z ich možných implementácií, hodnota tohto parametra sa tiež ukazuje ako jedna z množstva možných. V dôsledku toho má každá štatistika v tomto zmysle svoje vlastné rozdelenie pravdepodobnosti (t. j. pre ľubovoľné dané číslo a existuje možnosť, že parameter f nebude viac ako a).

V porovnaní s obsahom zahrnutým do pojmu „štatistika“ v zmysle diskutovanom vyššie tu máme na mysli predovšetkým jej zúženie zakaždým na jednu hodnotu – parameter, ktorý nevylučuje spoločné zohľadnenie viacerých parametrov (viacerých štatistík) v jednej komplexný problém. Po druhé, zdôrazňuje prítomnosť matematického pravidla (algoritmu) na získanie hodnoty parametra zo súboru výsledkov pozorovania: vypočítajte ich aritmetický priemer, vezmite maximum z dodaných hodnôt, vypočítajte pomer počtu niektorej špeciálnej skupiny. z nich celkový počet atď.

Nakoniec, v naznačenom zmysle, pojem „štatistika“ sa vzťahuje na parameter získaný z výsledkov pozorovaní v akejkoľvek oblasti javov - sociálnych a iných. Môže to byť priemerný výnos alebo priemerná dĺžka pokrytia borovíc v lese alebo priemerný výsledok opakovaných meraní paralaxy určitej hviezdy atď. v tomto zmysle sa pojem „štatistika“ používa najmä v matematickej štatistike, ktorá sa, ako každé odvetvie matematiky, nemôže obmedziť na jednu alebo druhú oblasť javov.

Štatistika sa chápe aj ako proces jej „udržiavania“, t.j. proces zhromažďovania a spracovania informácií o skutočnostiach potrebných na získanie štatistiky v oboch uvažovaných významoch.

V tomto prípade sa informácie potrebné pre štatistiku môžu zhromažďovať výlučne na účely získania zovšeobecnených charakteristík pre množstvo prípadov tohto druhu, t. len prirodzene na štatistické účely. Ide napríklad o informácie zozbierané pri sčítaní obyvateľstva.

Zákon veľkých čísel. Štatistický vzor.

Hlavným zovšeobecnením skúseností so štúdiom akýchkoľvek hromadných javov je zákon veľkých čísel. Samostatný individuálny jav, považovaný za jeden z javov daného druhu, obsahuje prvok náhody: môže byť alebo nie, byť to alebo ono. Pri spojení veľkého množstva takýchto javov do všeobecné charakteristiky V celej ich mase sa náhodnosť vytráca vo väčšej miere, čím viac sú jednotlivé javy prepojené.

Matematika, najmä teória pravdepodobnosti, uvažovaná z čisto kvantitatívneho hľadiska, zákon veľkých čísel, ju vyjadruje celým reťazcom matematických teorémov. Ukazujú, za akých podmienok a do akej miery možno počítať s absenciou náhodnosti v charakteristikách pokrývajúcich masu a ako to súvisí s počtom jednotlivých javov v nich zahrnutých. Štatistika je založená na týchto teorémoch pri štúdiu každého špecifického hromadného javu.

Vzor, prejavujúca sa len vo veľkej mase javov cez prekonanie náhodnosti, ktorá je vlastná jej jednotlivým prvkom, je tzv. štatistický vzor .

V niektorých prípadoch je štatistika postavená pred úlohu merať jej prejavy, no jej samotná existencia je teoreticky vopred jasná.

V iných prípadoch možno vzor nájsť empiricky pomocou štatistík. Týmto spôsobom sa napríklad zistilo, že s rastúcim príjmom rodiny klesá percento výdavkov na jedlo v jej rozpočte.

Takže vždy, keď štatistika pri skúmaní nejakého javu dospeje k zovšeobecneniam a nájde v ňom fungujúci vzorec, tento sa okamžite stane majetkom tej konkrétnej vedy, do okruhu ktorej záujmov tento jav patrí. Preto vo vzťahu ku každému štatistika pôsobí ako metóda.

Vzhľadom na výsledky hromadného pozorovania v nich štatistika nachádza podobnosti a rozdiely, spája prvky do skupín, identifikuje rôzne typy, podľa týchto typov rozlišuje celú pozorovanú masu. Výsledky pozorovania jednotlivých hmotnostných prvkov sa potom využívajú na získanie charakteristík celej populácie a v nej identifikovaných špeciálnych častí, t.j. získať všeobecné ukazovatele.

Hromadné pozorovanie, zoskupovanie a zhrnutie jeho výsledkov, výpočet a analýza všeobecných ukazovateľov – to sú hlavné znaky štatistickej metódy.

Štatistika ako veda sa stará a redukuje sa na matematickú štatistiku. V matematike sa problémy charakterizácie hromadných javov posudzujú iba v čisto kvantitatívnom aspekte, oddelene od kvalitatívneho obsahu (ktorý je povinný pre matematiku ako vedu vo všeobecnosti). Štatistika aj pri skúmaní všeobecných zákonitostí hromadných javov vychádza nielen z kvantitatívnych zovšeobecnení týchto javov, ale predovšetkým z mechanizmu výskytu samotného hromadného javu.

Z toho, čo bolo povedané o úlohe kvantitatívneho merania pre štatistiku, zároveň vyplýva veľký význam na to matematické metódy vo všeobecnosti, špeciálne upravené na riešenie problémov vznikajúcich pri štúdiu hromadných javov (teória pravdepodobnosti a matematická štatistika). Navyše, úloha matematických metód je tu taká veľká, že pokus o ich vylúčenie z kurzu štatistiky (kvôli prítomnosti samostatného predmetu v plánoch - matematickej štatistiky) štatistiku výrazne ochudobňuje.

Opustenie tohto pokusu by však nemalo znamenať opačný extrém, a to pohltenie celej teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky do štatistiky. Ak sa napríklad v matematike berie do úvahy priemerná hodnota pre sériu rozdelení (pravdepodobnosti alebo empirické frekvencie), potom štatistika tiež nemôže obísť zodpovedajúce techniky, ale tu je to jeden z aspektov, spolu s ktorými vzniká množstvo ďalších (všeobecné a skupinové priemery, výskyt a úloha priemerov v informačnom systéme, vecná náplň škálového systému, chronologické priemery, priemerné a relatívne hodnoty a pod.).

Alebo iný príklad: matematická teória vzorkovania sústreďuje všetku svoju pozornosť na chybu reprezentatívnosti - pre rôzne systémy výberu, rôzne charakteristiky atď. Systémová chyba, t.j. Vopred eliminuje chybu, ktorá nie je absorbovaná v priemernej hodnote, vytváraním takzvaných neskreslených odhadov, ktoré sú od nej oslobodené. V štatistike je možno hlavnou otázkou v tejto veci otázka, ako sa vyhnúť tejto systémovej chybe.

Pri skúmaní kvantitatívnej stránky hromadných javov vzniká množstvo problémov matematického charakteru. Na ich riešenie matematika vyvíja vhodné techniky, ale na to ich musí posudzovať vo všeobecnej forme, pre ktorú je kvalitatívny obsah hromadného javu ľahostajný. Prejav zákona veľkých čísiel bol teda prvýkrát zaznamenaný práve v sociálno-ekonomickej oblasti a takmer súčasne aj v hazardných hrách (ktorých samotné rozmiestnenie bolo vysvetlené tým, že boli kópiou ekonomiky, najmä rozvíjajúcej sa komodity). peňažné vzťahy). Od momentu, keď sa však zákon veľkých čísel stane predmetom precízneho výskumu v matematike, dostáva úplne všeobecný výklad, ktorý neobmedzuje jeho pôsobenie na žiadnu špeciálnu oblasť.

Na tomto základe sa všeobecne odlišuje predmet štatistika od predmetu matematika. Vymedzovanie predmetov nemôže znamenať vylúčenie z jednej vedy všetko, čo sa dostalo do zorného poľa inej vedy. Bolo by napríklad nesprávne vylúčiť z prezentácie fyziky všetko, čo súvisí s aplikáciou diferenciálne rovnice na základe toho, že sa nimi zaoberá matematika.

Prečo má pomer pohlaví pri narodení určité proporcie, ktoré neboli po mnoho storočí výrazne pozorované?

Akokoľvek paradoxne to môže znieť, smrť je hlavnou biologickou podmienkou rozmnožovania a rozmnožovania nových generácií. Aby sa predĺžila existencia druhu, jeho jedinci musia zanechať potomstvo; inak druh navždy zmizne.

Problém rodu (či sa narodí chlapec alebo dievča) zahŕňa mnohé problémy súvisiace nielen s biologickým vývojom, medicínskymi a genetickými charakteristikami, demografickými údajmi, ale aj v širšom aspekte súvisiacom s psychológiou rodu, so správaním a ašpirácie jedincov opačného pohlavia, s harmóniou alebo konfliktmi medzi nimi.

Otázka, kto sa narodí – chlapec alebo dievča – a prečo sa to deje, je len úzky okruh otázok vyplývajúcich z väčšieho problému. Zvlášť dôležité je teoreticky a prakticky objasniť otázku, prečo je stredná dĺžka života mužov nižšia ako dĺžka života žien. Tento jav je bežný nielen u ľudí, ale aj u mnohých druhov zvierat.

Nestačí to vysvetliť len tým, že prevaha samcov pri narodení je spôsobená ich zvýšenou aktivitou a v dôsledku toho – menšou „vitalitou“. Biológovia si už dlho všimli kratšiu dĺžku života samcov v porovnaní so samicami u väčšiny skúmaných zvierat. Stredná dĺžka života je v kontraste s jej vysokou mierou a to má biologické opodstatnenie.

Anglický výskumník A. Comfort upozorňuje: „Organizmus musí prejsť pevným radom metabolických procesov alebo štádií vývoja a rýchlosť ich prechodu určuje pozorovanú dĺžku života.“

Charles Darwin považoval kratšiu očakávanú dĺžku života mužov „za prirodzenú a ústavnú vlastnosť, ktorú určuje iba pohlavie“.

Možnosť mať dieťa jedného alebo druhého pohlavia v každom konkrétnom prípade nezávisí len od inherentných vzorcov tohto javu, identifikovaných vo veľkom počte pozorovaní, ale aj od náhodných náhodných okolností. Preto je štatisticky nemožné vopred určiť, akého pohlavia bude každé samostatne narodené dieťa. Tým sa teória pravdepodobnosti alebo štatistika nezaoberajú, hoci v mnohých prípadoch je výsledok jednotlivej udalosti veľmi zaujímavý. Teória pravdepodobnosti dáva pomerne jednoznačné odpovede, pokiaľ ide o veľkú populáciu narodených detí. Prichádzajúce, vonkajšie príčiny sú náhodné, ale ich súhrn odráža stabilné vzorce. Počas tvorby pohlavia, ako je teraz známe, ešte pred počatím môžu náhodné príčiny v niektorých prípadoch uprednostňovať vznik mužských embryí av iných - ženských. To sa ale neprejavuje v nejakom pravidelnom poriadku, ale v chaotickom, neusporiadanom. Súbor faktorov, ktoré tvoria určité pomery pohlaví pri narodení, sa prejavuje len v dostatočne veľkom počte pozorovaní; a čím viac ich je, tým viac sa teoretická pravdepodobnosť približuje skutočným výsledkom.

Pravdepodobnosť, že budú mať chlapcov, je o niečo viac ako 0,5 (takmer 0,51) a dievčatá menej ako 0,5 (takmer 0,49). Tento je veľmi zaujímavý fakt postaviť biológom a štatistikom náročnú úlohu – vysvetliť dôvod, prečo počatie a narodenie chlapca alebo dievčaťa nie sú rovnako možné a zodpovedajú genetickým predpokladom (Mendelejevov zákon o segregácii pohlaví).

Na tieto otázky ešte nebola prijatá uspokojivá odpoveď; je známe len to, že od okamihu počatia je podiel chlapcov väčší ako podiel dievčat a že v období vnútromaternicového vývoja sa tieto podiely postupne vyrovnávajú a do pôrodu, avšak nedosahujú ekvipravdepodobné hodnoty. Rodí sa o 5-6% viac chlapcov ako dievčat.

U väčšiny druhov, pre ktoré biológovia zostavili úmrtnosť, je úmrtnosť vyššia u samcov. Genetika to vysvetľuje rozdielom medzi ženami a mužmi vo všeobecnom chromozomálnom komplexe.

Charles Darwin považuje vytvorený číselný pomer pohlaví predstaviteľov rôznych druhov za výsledok evolučného prirodzeného výberu založeného na princípoch sexuálneho výberu. Genetické zákony tvorby pohlavia boli objavené neskôr a sú chýbajúcim článkom v teoretických konceptoch Charlesa Darwina. Výstižné postrehy Charlesa Darwina si zaslúžia byť citované tu. Autor poznamenáva, že sexuálny výber by bol jednoduchou záležitosťou, ak by muži výrazne prevažovali nad ženami. Poznať pomer pohlaví je dôležité nielen pri narodení, ale aj počas dospelosti, a to komplikuje obraz. Čo sa týka ľudí, je nesporným faktom, že oveľa viac chlapcov zomiera ako dievčat pred narodením, počas pôrodu a v prvých rokoch detstva.

Môžeme vymenovať dve veľké skupiny faktorov, ktoré ovplyvňujú úmrtnosť podľa pohlavia a vo všeobecnosti určujú nadúmrtnosť mužov. Tie sú exogénne, t.j. sociálno-ekonomické faktory, a endogénne faktory spojené s genetickým programom vitality mužského a ženského tela. Rozdiely v úmrtnosti podľa pohlavia možno vysvetliť neustálou interakciou týchto dvoch skupín faktorov. Tieto rozdiely sa zväčšujú priamo úmerne s predlžovaním priemernej dĺžky života. Okrem čisto biologických rozdielov vo vitalite mužov a žien je tu aj vplyv sociálno-ekonomických životných podmienok, na ktoré je mužské a ženské telo rozdielne z hľadiska schopnosti ich prekonávať. zlý vplyv v rôznych vekových obdobiach.

Vo veľkej väčšine krajín sveta, kde sa vykonáva viac či menej spoľahlivá a úplná evidencia úmrtnosti, pomer ukazovateľov podľa pohlavia potvrdzuje opakovane praxou potvrdená pozícia o náraste úmrtnosti mužov - Vzorec, ako už bolo spomenuté vyššie, je vlastný ľudskej populácii a nielen jej, ale aj mnohým ďalším biologickým druhom.

Štatistika obyvateľstva– veda, ktorá študuje kvantitatívne zákonitosti javov a procesov vyskytujúcich sa v populácii v nepretržitej súvislosti s ich kvalitatívnou stránkou.

Populácia- predmet štúdia a demografie, ktorý stanovuje všeobecné zákonitosti ich vývoja, berúc do úvahy jeho životnú aktivitu vo všetkých aspektoch: historickom, politickom, hospodárskom, sociálnom, právnom, medicínskom a štatistickom. Zároveň je potrebné mať na pamäti, že s rozvojom vedomostí o objekte sa odhaľujú jeho nové stránky a stávajú sa samostatným objektom poznania.

Populačná štatistika študuje svoj objekt v špecifických podmienkach miesta a času, pričom identifikuje nové formy jeho pohybu: prirodzený, migračný, sociálny.

Pod prirodzený pohyb obyvateľstvo označuje zmenu počtu obyvateľov v dôsledku narodení a úmrtí, t.j. deje prirodzene. Patria sem aj sobáše a rozvody, keďže sa počítajú v rovnakom poradí ako narodenia a úmrtia.

Migračné hnutie, alebo jednoducho migrácia obyvateľstva znamená pohyb osôb cez hranice jednotlivých území spravidla so zmenou miesta bydliska na dlho alebo navždy.

Sociálne hnutie obyvateľov sa chápe ako zmena sociálnych podmienok života obyvateľstva. Vyjadruje sa zmenami v počte a zložení sociálne skupinyľudia, ktorí majú spoločné záujmy, hodnoty a normy správania, ktoré sa vyvíjajú v rámci historicky špecifickej spoločnosti.

Populačné štatistiky riešia množstvo problémov:

Jeho najdôležitejšia úloha– určenie veľkosti populácie. Často je však potrebné poznať populačnú veľkosť jednotlivých kontinentov a ich častí, rôznych krajinách, ekonomické regióny krajín, administratívne regióny. V tomto prípade sa nevykonáva jednoduchý aritmetický výpočet, ale špeciálny štatistický výpočet - výpočet kategórií obyvateľstva. Štatisticky sa zisťuje počet narodení, úmrtí, sobášov, prípadov zániku manželstva, počet prichádzajúcich a odchádzajúcich migrantov, t.j. určuje sa objem populácie.

Druhá úloha– stanovenie štruktúry obyvateľstva, demografické procesy. Pozornosť tu upriamuje predovšetkým na členenie obyvateľstva podľa pohlavia, veku, stupňa vzdelania, profesijných, priemyselných charakteristík a podľa príslušnosti k mestskému a vidieckemu.

Štruktúra obyvateľstva podľa pohlavia možno charakterizovať rovnakým počtom pohlaví, mužskou alebo ženskou prevahou a stupňom tejto prevahy.

Štruktúra obyvateľstva podľa veku môžu byť reprezentované ročnými údajmi a vekovými skupinami, ako aj trendom zmien vekového zloženia, napríklad starnutím alebo omladzovaním.

Vzdelávacia štruktúra ukazuje podiel gramotnej populácie s určitým stupňom učenia na rôznych územiach a rôznych prostrediach.

Profesionálny– rozdelenie ľudí podľa profesií získaných počas vzdelávacieho procesu, podľa povolaní.

Výroba– podľa odvetví národného hospodárstva.

Územné umiestnenie obyvateľstva alebo jeho osídlenie. Tu rozlišujú stupeň urbanizácie, definíciu hustoty celej populácie a rozdielne chápanie hustoty a jej stavu.

Tretia úloha spočíva v štúdiu vzťahov, ktoré prebiehajú v samotnej populácii medzi jej rôznymi skupinami a v štúdiu závislosti procesov prebiehajúcich v populácii od faktorov prostredia, v ktorých sa tieto procesy vyskytujú.

Štvrtá úloha spočíva v zohľadnení dynamiky demografických procesov. Charakteristiky dynamiky môžu byť v tomto prípade dané ako zmena veľkosti populácie a ako zmena intenzity procesov prebiehajúcich v populácii v čase a priestore.

Piata úloha– štatistiky obyvateľstva sa odhaľujú pri prognózovaní jeho veľkosti a zloženia do budúcnosti. Poskytovanie údajov o populačných prognózach na najbližšie a dlhodobé obdobie.

Metódy výskumu používané v štatistike obyvateľstva

Metóda v najvšeobecnejšom zmysle znamená spôsob dosiahnutia cieľa, regulácie činnosti. Metóda konkrétnej vedy je súborom techník teoretického a praktického poznania reality. Pre samostatnú vedu je potrebné mať nielen predmet výskumu odlišný od ostatných vied, ale aj vlastný vlastné metódyštúdium tohto predmetu. Súbor výskumných metód používaných v akejkoľvek vede je metodiky túto vedu.

Keďže štatistika obyvateľstva je sektorovou štatistikou, základom jej metodiky je štatistická metodika.

Najdôležitejšou metódou zahrnutou v štatistickej metodológii je získavanie informácií o skúmaných procesoch a javoch - štatistické pozorovanie . Slúži ako základ pre zber údajov tak v aktuálnych štatistikách, ako aj pri sčítaniach, monografických a výberových štúdiách obyvateľstva. Je tu plné využitie ustanovení teoretickej štatistiky o stanovení objektu pozorovacej jednotky, zavádzaní pojmov o dátume a momente registrácie, programe, organizačných otázkach pozorovania, systematizácii a zverejňovaní jeho výsledkov. Súčasťou štatistickej metodiky je aj princíp nezávislosti pri zaraďovaní každej sčítanej osoby do konkrétnej skupiny - princíp sebaurčenia.

Ďalšou etapou štatistického skúmania sociálno-ekonomických javov je zisťovanie ich štruktúry, t.j. identifikáciu častí a prvkov, ktoré tvoria celok. Hovoríme o metóde zoskupení a klasifikácií, ktoré sa v štatistike obyvateľstva nazývajú typologické a štrukturálne.

Na pochopenie štruktúry obyvateľstva je potrebné v prvom rade identifikovať charakteristiky zoskupovania a klasifikácie. Akýkoľvek znak, ktorý bol pozorovaný, môže slúžiť aj ako znak zoskupenia. Napríklad na základe otázky postoja k osobe zaznamenanej ako prvej na sčítacom formulári je možné určiť štruktúru sčítacej populácie, kde sa zdá pravdepodobné, že identifikuje významný počet skupín. Táto charakteristika je atribútová, preto pri vytváraní sčítacích formulárov na jej základe je potrebné vopred zostaviť zoznam klasifikácií (zoskupení podľa atribútov) potrebných na analýzu. Pri zostavovaní klasifikácií s veľkým počtom atribútových záznamov je zaradenie do určitých skupín vopred odôvodnené. Populácia sa teda podľa povolania delí na niekoľko tisíc druhov, ktoré štatistika redukuje do určitých tried, čo je zaznamenané v takzvanom slovníku povolaní.

Pri štúdiu štruktúry založenej na kvantitatívnych charakteristikách je možné použiť také štatistické zovšeobecňujúce ukazovatele ako priemer, modus a medián, miery vzdialenosti alebo ukazovatele variácie na charakterizáciu rôznych parametrov populácie. Štruktúry posudzovaných javov slúžia ako základ pre štúdium súvislostí v nich. V teórii štatistiky sa rozlišujú funkčné a štatistické súvislosti. Štúdium tých druhých je nemožné bez rozdelenia populácie do skupín a následného porovnania hodnoty výslednej charakteristiky.

Zoskupenie podľa atribútu faktora a porovnanie so zmenami vo výslednom atribúte nám umožňuje určiť smer spojenia: je priame alebo inverzné, ako aj poskytnúť predstavu o jeho forme zlomená regresia . Tieto zoskupenia umožňujú zostaviť sústavu rovníc, ktorú je potrebné nájsť parametre regresnej rovnice a určenie sily spojenia výpočtom korelačných koeficientov. Zoskupenia a klasifikácie slúžia ako základ pre využitie variančnej analýzy vzťahov medzi ukazovateľmi pohybu obyvateľstva a faktormi, ktoré ich spôsobujú.

Štatistické metódy sú široko používané v populačných štúdiách výskum dynamiky , grafické štúdium javov , index , selektívne A rovnováhu . Dá sa povedať, že populačná štatistika využíva na štúdium svojho predmetu celý arzenál. štatistické metódy a príklady. Okrem toho sa používajú aj metódy vyvinuté len na štúdium populácie. Toto sú metódy skutočná generácia (kohorta) A konvenčná generácia . Prvý nám umožňuje zvážiť zmeny v prirodzenom pohybe rovesníkov (narodených v tom istom roku) - longitudinálna analýza; druhá uvažuje o prirodzenom pohybe rovesníkov (žijúcich v rovnakom čase) – prierezová analýza.

Je zaujímavé používať priemery a indexy pri zohľadňovaní charakteristík a porovnávaní procesov vyskytujúcich sa v populácii, keď podmienky na porovnávanie údajov nie sú rovnaké. Použitím rôzneho váženia pri výpočte zovšeobecnených priemerných hodnôt bola vyvinutá metóda štandardizácie, ktorá umožňuje eliminovať vplyv rôznych vekových charakteristík populácie.

Teória pravdepodobnosti ako matematická vedaštuduje vlastnosti objektívneho sveta pomocou abstrakcie , ktorých podstatou je úplné abstrahovanie od kvalitatívnej istoty a zvýraznenie ich kvantitatívnej stránky. Abstrakcia je proces mentálnej abstrakcie z mnohých aspektov vlastností predmetov a zároveň proces zvýrazňovania, izolácie akýchkoľvek aspektov, ktoré nás zaujímajú, vlastností a vzťahov skúmaných objektov. Použitie abstraktných matematických metód v štatistike obyvateľstva to umožňuje štatistické modelovanie procesy prebiehajúce v populácii. Potreba modelovania vzniká, keď nie je možné študovať samotný objekt.

Najväčší počet modelov používaných v štatistike obyvateľstva je vyvinutý na charakterizáciu jej dynamiky. Medzi nimi vyniká exponenciálny A logistiky. Modely sú obzvlášť dôležité pri predpovedaní populácie na budúce obdobia. stacionárne A stabilný populácie, definujúcej typ populácie, ktorá sa vyvinula za daných podmienok.

Ak sa pri konštrukcii exponenciálnych a logistických modelov populácie využívajú údaje o dynamike absolútnej veľkosti populácie za posledné obdobie, potom sa na základe charakteristík intenzity jej vývoja budujú stacionárne a stabilné modely populácie.

Štatistická metodológia na štúdium populácie má teda k dispozícii množstvo metód všeobecnej teórie štatistiky, matematické metódy a špeciálne metódy vyvinuté v samotnej štatistike obyvateľstva.

Populačná štatistika pomocou metód diskutovaných vyššie rozvíja systém zovšeobecňujúcich ukazovateľov, uvádza potrebné informácie, spôsoby ich výpočtu, kognitívne schopnosti týchto ukazovateľov, podmienky použitia, poradie zaznamenávania a zmysluplnú interpretáciu.

Význam zovšeobecňovania štatistických ukazovateľov pri riešení najdôležitejších problémov pri zvažovaní demografickej politiky je nevyhnutný pre vyvážený rast obyvateľstva, pri skúmaní migrácie obyvateľstva, ktorá tvorí základ pre medziokresnú redistribúciu práce a dosiahnutie rovnomernosti jej rozdelenia.

Keďže populáciu v určitom aspekte skúmajú mnohé iné vedy – zdravotníctvo, pedagogika, sociológia atď., je potrebné využívať skúsenosti týchto vied a rozvíjať ich metódy vo vzťahu k potrebám štatistiky.

Úlohy obnovy, pred ktorými stojí naša krajina, by mali ovplyvniť aj riešenie demografických problémov. Rozvoj komplexných ekonomických a sociálny vývoj by mala obsahovať časti o demografických programoch, ich riešenie by malo prispieť k rozvoju obyvateľstva s čo najmenšími demografickými stratami.

Bibliografia

Kildishev a kol., „Populačná štatistika so základnou demografiou“ M.: Financie a štatistika, 1990 - 312 s.

Chudák M.S. „Chlapci sú dievčatá? Lekárska a demografická analýza“ M.: Štatistika, 1980 – 120 s.

Andreeva B.M., Vishnevsky A.G. "Dĺžka života. Analýza a modelovanie“ M.: Štatistika, 1979 – 157 s.

Boyarsky A.Ya., Gromyko G.L. „Všeobecná teória štatistiky“ M.: ed. Moskovské univerzity, 1985 – 372 s.

Vasilyeva E.K. „Sociodemografický portrét študenta“ M.: Mysl, 1986 – 96 s.

Bestužev-Lada I.V. „Svet nášho zajtrajška“ M.: Mysl, 1986 – 269 s.

Populárne:

• Hlavný obsah zákona o dedení Zákon o dedení upravuje osobitný postup, ktorý upravuje prechod práv a povinností, ako aj majetku zosnulého občana na jeho príbuzných alebo iné osoby, vrátane […]
• Ak riaditeľka MŠ nie je spokojná... Otázka: Dobrý deň! Mesto Kaliningrad. Povedzte mi, prosím, ak sú rodičia úplne nespokojní s riaditeľkou materskej školy, môžu požadovať, aby vedúca oddelenia školstva […]
• Ako urobiť žiadosť cudzí občan alebo osoby bez štátnej príslušnosti na registráciu v mieste bydliska. Obyvateľ iného štátu, ktorý prišiel do Ruskej federácie, musí podať žiadosť od cudzieho občana alebo […]
• Súd pre pôžičky na auto - rada od právnika Ak si vezmete účelovú pôžičku na kúpu auta, potom bude auto, ktoré ste si kúpili, zaregistrované ako záruka. Zhruba povedané, v prípade nesplatenia pôžičky na auto má banka právo zobrať vám auto […]
• Prezident Ruskej federácie zrušil povinnú inštaláciu plynomerov Prezident Vladimir Putin podpísal zákon, ktorým sa mení a dopĺňa zákon č. 261-FZ „O úspore energie.“ a ruší povinnú inštaláciu plynomerov v […]
• ČO JE DÔLEŽITÉ VEDIEŤ O NOVOM DÔCHODKOVOM ZÁKONE Prihlásenie na odber noviniek Na vami uvedený e-mail bol zaslaný list potvrdzujúci váš odber. 27. december 2013 Rozpis výplat dôchodkov, mesačných sociálnych dávok a iných sociálnych dávok na január 2014 […]
• Ako zdediť dôchodkové úspory poručiteľa? Počas svojho života má poručiteľ právo kedykoľvek podať žiadosť územnému orgánu Penzijného fondu Ruskej federácie a určiť konkrétne osoby (nástupcov) a podiely fondov, ktoré […]
• Pojem a hlavné črty vlastníctva prírodné predmety a zdrojov. Občiansky zákonník, článok 209. Obsah vlastníckeho práva. Vlastnícke právo znamená zákonom zabezpečenú možnosť skutočnej držby prírodného predmetu, [...]

Zákon veľkých čísel

Prax štúdia náhodných javov ukazuje, že hoci sa výsledky jednotlivých pozorovaní, dokonca aj tých, ktoré sa uskutočňujú za rovnakých podmienok, môžu značne líšiť, zároveň sú priemerné výsledky pre dostatočne veľký počet pozorovaní stabilné a slabo závisia od výsledky jednotlivých pozorovaní. Teoretickým základom tejto pozoruhodnej vlastnosti náhodných javov je zákon veľkých čísel. Všeobecný význam zákona veľkých čísel je, že kombinované pôsobenie veľkého počtu náhodných faktorov vedie k výsledku, ktorý je takmer nezávislý od náhody.

Centrálna limitná veta

Lyapunovova veta vysvetľuje rozšírené rozdelenie zákona normálneho rozdelenia a vysvetľuje mechanizmus jeho vzniku. Veta nám umožňuje konštatovať, že kedykoľvek vznikne náhodná premenná v dôsledku sčítania veľkého počtu nezávislých náhodných premenných, ktorých rozptyly sú malé v porovnaní s disperziou súčtu, zákon rozdelenia tejto náhodnej premennej sa zmení je to takmer normálny zákon. A keďže náhodné premenné sú vždy generované nekonečným množstvom príčin a najčastejšie žiadna z nich nemá rozptyl porovnateľný s rozptylom samotnej náhodnej premennej, väčšina náhodných premenných, s ktorými sa v praxi stretávame, podlieha zákonu normálneho rozdelenia.

Zastavme sa podrobnejšie pri obsahu teorémov každej z týchto skupín

V praktickom výskume je veľmi dôležité vedieť, v akých prípadoch je možné zaručiť, že pravdepodobnosť udalosti bude buď dostatočne malá, alebo sa k nej priblíži podľa želania.

Pod zákon veľkých čísel a chápe sa ako súbor výrokov, ktoré uvádzajú, že s pravdepodobnosťou blízkou jednej (alebo nule) dôjde k udalosti v závislosti od veľmi veľkého, neurčito rastúceho počtu náhodných udalostí, z ktorých každá má len malý vplyv na to.

Presnejšie povedané, zákon veľkých čísel sa chápe ako súbor výrokov, ktoré hovoria, že s pravdepodobnosťou čo najbližšou k jednote je odchýlka aritmetického priemeru dostatočne veľkého počtu náhodných premenných od konštantnej hodnoty - aritmetický priemer. ich matematických očakávaní – nepresiahne daný ľubovoľne malý počet.

Jednotlivé, izolované javy, ktoré pozorujeme v prírode a v spoločenskom živote, sa často javia ako náhodné (napríklad registrované úmrtie, pohlavie narodeného dieťaťa, teplota vzduchu a pod.), pretože tieto javy sú ovplyvnené mnohými faktormi. nesúvisí s podstatou vzniku alebo vývoja javu. Nie je možné predpovedať ich celkový vplyv na pozorovaný jav a v jednotlivých javoch sa prejavujú odlišne. Na základe výsledkov jedného javu nemožno nič povedať o vzorcoch, ktoré sú vlastné mnohým takýmto javom.

Dlho sa však uvádza, že aritmetický priemer číselných charakteristík niektorých znakov (relatívne frekvencie výskytu udalosti, výsledky meraní atď.) s veľkým počtom opakovaní experimentu podlieha veľmi malým výkyvom. V priemere sa prejavuje vzorec vlastný podstate javov, v ktorom sa ruší vplyv jednotlivých faktorov, ktoré robili výsledky jednotlivých pozorovaní náhodnými. Teoreticky možno toto správanie priemeru vysvetliť pomocou zákona veľkých čísel. Ak sú splnené niektoré veľmi všeobecné podmienky týkajúce sa náhodných premenných, potom bude stabilita aritmetického priemeru takmer istou udalosťou. Tieto podmienky tvoria najdôležitejší obsah zákona veľkých čísel.

Prvým príkladom fungovania tohto princípu môže byť konvergencia frekvencie výskytu náhodnej udalosti s jej pravdepodobnosťou so zvyšujúcim sa počtom pokusov – skutočnosť stanovená v Bernoulliho vete (švajčiarsky matematik Jacob Bernoulli(1654-1705) Bernullova veta je jednou z najjednoduchších foriem zákona veľkých čísel a často sa používa v praxi. Napríklad frekvencia výskytu akejkoľvek kvality respondenta vo vzorke sa berie ako odhad zodpovedajúcej pravdepodobnosti).

Vynikajúci francúzsky matematik Simeon Denny Poisson(1781-1840) zovšeobecnil túto vetu a rozšíril ju na prípad, keď sa pravdepodobnosť udalostí v teste mení bez ohľadu na výsledky predchádzajúcich testov. Bol prvým, kto použil výraz „zákon veľkých čísel“.

Veľký ruský matematik Pafnutij Ľvovič Čebyšev(1821 - 1894) dokázal, že zákon veľkých čísel pôsobí v javoch s akoukoľvek variáciou a vzťahuje sa aj na zákon priemerov.

Ďalšie zovšeobecnenie teorémov zákona veľkých čísel je spojené s menami A.A.Markov, S.N.Bernstein, A.Ya.Khinchin a A.N.Kolmlgorov.

Všeobecná moderná formulácia problému, formulácia zákona veľkých čísel, vývoj myšlienok a metód na dokazovanie teorémov súvisiacich s týmto zákonom patria ruským vedcom P. L. Čebyšev, A. A. Markov a A. M. Ljapunov.

ČEBYŠEVOVA NEROVNOSŤ

Zoberme si najprv pomocné vety: Čebyševova lemma a nerovnosť, pomocou ktorých možno ľahko dokázať zákon veľkých čísel v Čebyševovom tvare.

Lemma (Čebyšev).

Ak medzi hodnotami náhodnej premennej X nie sú žiadne záporné hodnoty, potom pravdepodobnosť, že nadobudne nejakú hodnotu presahujúcu kladné číslo A, nie je väčšia ako zlomok, ktorého čitateľom je matematické očakávanie náhody. premenná a menovateľom je číslo A:

Dôkaz.Nech je známy distribučný zákon náhodnej premennej X:

(i = 1, 2, ..., ) a hodnoty náhodnej premennej považujeme za vzostupné.

Vzhľadom na číslo A sú hodnoty náhodnej premennej rozdelené do dvoch skupín: niektoré nepresahujú A a iné sú väčšie ako A. Predpokladajme, že prvá skupina obsahuje prvé hodnoty náhodného premenná ().

Od , potom sú všetky členy súčtu nezáporné. Preto odstránením prvých výrazov vo výraze získame nasledujúcu nerovnosť:

Pretože

,

To

Q.E.D.

Náhodné premenné môžu mať rôzne distribúcie s rovnakými matematickými očakávaniami. Čebyševova lemma im však poskytne rovnaký odhad pravdepodobnosti jedného alebo druhého výsledku testu. Táto nevýhoda lemy súvisí s jej všeobecnosťou: nie je možné dosiahnuť lepší odhad pre všetky náhodné premenné naraz.

Čebyševova nerovnosť .

Pravdepodobnosť, že odchýlka náhodnej premennej od jej matematického očakávania prekročí absolútnu hodnotu kladného čísla, nie je väčšia ako zlomok, ktorého čitateľom je rozptyl náhodnej premennej a menovateľom je druhá mocnina.

Dôkaz.Keďže ide o náhodnú premennú, ktorá nenaberá záporné hodnoty, aplikujeme nerovnosť z Čebyševovej lemy pre náhodnú premennú pri:

Q.E.D.

Dôsledok. Pretože

,

To

- iná forma Čebyševovej nerovnosti

Prijmime bez dôkazov fakt, že Čebyševova lemma a nerovnosť platia aj pre spojité náhodné premenné.

Čebyševova nerovnosť je základom kvalitatívnych a kvantitatívnych tvrdení zákona veľkých čísel. Určuje hornú hranicu pravdepodobnosti, že odchýlka hodnoty náhodnej premennej od jej matematického očakávania je väčšia ako určité zadané číslo. Je pozoruhodné, že Čebyševova nerovnosť dáva odhad pravdepodobnosti udalosti pre náhodnú premennú, ktorej distribúcia nie je známa, známe sú len jej matematické očakávania a rozptyl.

Veta. (Zákon veľkých čísel v Čebyševovej forme)

Ak sú rozptyly nezávislých náhodných premenných obmedzené jednou konštantou C a ich počet je dostatočne veľký, potom pravdepodobnosť, že odchýlka aritmetického priemeru týchto náhodných premenných od aritmetického priemeru ich matematických očakávaní nepresiahne absolútnu hodnotu dané kladné číslo, bez ohľadu na to, aké je malé, je čo najbližšie k jednote.

.

Prijímame vetu bez dôkazu.

Dôsledok 1. Ak majú nezávislé náhodné premenné rovnaké, rovnaké matematické očakávania, ich rozptyly sú obmedzené tou istou konštantou C a ich počet je dostatočne veľký, potom nezáleží na tom, aké malé je dané kladné číslo, akokoľvek blízko k jednote je pravdepodobnosť, že odchýlka priemeru aritmetika týchto náhodných premenných nepresiahne v absolútnej hodnote.

Touto vetou možno ospravedlniť skutočnosť, že aritmetický priemer výsledkov dostatočne veľkého počtu jeho meraní uskutočnených za rovnakých podmienok sa berie ako približná hodnota neznámej veličiny. Výsledky meraní sú skutočne náhodné, pretože sú ovplyvnené mnohými náhodnými faktormi. Absencia systematických chýb znamená, že matematické očakávania jednotlivých výsledkov meraní sú rovnaké a rovnaké. V dôsledku toho sa podľa zákona veľkých čísel aritmetický priemer dostatočne veľkého počtu meraní bude líšiť od skutočnej hodnoty požadovanej veličiny prakticky tak málo, ako je to žiaduce.

(Pripomeňme, že chyby sa nazývajú systematické, ak skresľujú výsledok merania rovnakým smerom podľa viac-menej jasného zákona. Patria sem chyby, ktoré sa objavujú v dôsledku nedokonalých prístrojov (inštrumentálne chyby), v dôsledku osobných charakteristík pozorovateľa. (osobné chyby) atď.)

Dôsledok 2 . (Bernoulliho veta.)

Ak je pravdepodobnosť výskytu udalosti A v každom z nezávislých pokusov konštantná a ich počet je dostatočne veľký, potom je pravdepodobnosť, že frekvencia výskytu udalosti sa líši tak málo, ako je žiaduce, od pravdepodobnosti jej výskytu, ľubovoľne blízka. k jednote:

Bernoulliho teorém hovorí, že ak je pravdepodobnosť udalosti rovnaká vo všetkých pokusoch, potom ako počet pokusov narastá, frekvencia udalosti smeruje k pravdepodobnosti udalosti a prestáva byť náhodná.

V praxi sa pomerne zriedka stretávame s experimentmi, pri ktorých je pravdepodobnosť výskytu udalosti v akomkoľvek experimente konštantná, častejšie sa mení v rôzne skúsenosti. Poissonova veta platí pre testovaciu schému tohto typu:

Dôsledok 3 . (Poissonova veta.)

Ak sa pravdepodobnosť výskytu udalosti v -tom pokuse nemení, keď sú známe výsledky predchádzajúcich testov a ich počet je dostatočne veľký, potom sa pravdepodobnosť, že frekvencia výskytu udalosti bude ľubovoľne málo líšiť od aritmetického priemer pravdepodobností je ľubovoľne blízky jednote:

Poissonova veta hovorí, že frekvencia udalosti v sérii nezávislých pokusov smeruje k aritmetickému priemeru jej pravdepodobností a prestáva byť náhodná.

Na záver poznamenávame, že žiadna z uvažovaných viet nedáva ani presnú, ani približnú hodnotu požadovanej pravdepodobnosti, ale je naznačená len jej dolná alebo horná hranica. Preto, ak je potrebné stanoviť presnú alebo aspoň približnú hodnotu pravdepodobností zodpovedajúcich udalostí, možnosti týchto viet sú veľmi obmedzené.

Približné pravdepodobnosti pre veľké hodnoty možno získať iba pomocou limitných viet. V nich sú na náhodné premenné uvalené ďalšie obmedzenia (ako je to napríklad v prípade Lyapunovovej vety) alebo sa zvažujú náhodné premenné určitého typu (napríklad v Moivre-Laplaceovej integrálnej vete).

Teoretický význam Čebyševovej vety, ktorá je veľmi všeobecnou formuláciou zákona veľkých čísel, je veľký. Ak ju však použijeme pri rozhodovaní o tom, či je možné aplikovať zákon veľkých čísel na postupnosť nezávislých náhodných premenných, potom ak je odpoveď kladná, teorém bude často vyžadovať, aby náhodných premenných bolo oveľa viac, ako je potrebné pre aby nadobudol účinnosť zákon veľkých čísel. Túto nevýhodu Čebyševovej vety vysvetľuje všeobecný charakter jej. Preto je žiaduce mať teorémy, ktoré by presnejšie indikovali spodnú (alebo hornú) hranicu požadovanej pravdepodobnosti. Možno ich získať zavedením niektorých dodatočných obmedzení na náhodné premenné, ktoré sú zvyčajne splnené pre náhodné premenné vyskytujúce sa v praxi.

POZNÁMKY K OBSAHU ZÁKONA VEĽKÝCH ČÍSEL

Ak je počet náhodných premenných dostatočne veľký a spĺňajú niektoré veľmi všeobecné podmienky, potom bez ohľadu na to, ako sú rozdelené, je takmer isté, že ich aritmetický priemer sa odchyľuje tak málo, ako si želajú od konštantnej hodnoty - aritmetického priemeru ich matematických očakávaní. je takmer konštantná hodnota. Toto je obsah teorém súvisiacich so zákonom veľkých čísel. V dôsledku toho je zákon veľkých čísel jedným z vyjadrení dialektického spojenia medzi náhodou a nevyhnutnosťou.

Je možné uviesť mnoho príkladov vzniku nových kvalitatívnych stavov ako prejavov zákona veľkého počtu, predovšetkým medzi fyzikálnymi javmi. Uvažujme o jednom z nich.

Autor: moderné nápady plyny pozostávajú z jednotlivých častice-molekuly, ktoré sú v chaotickom pohybe a nedá sa presne povedať, kde sa v danom momente bude nachádzať a akou rýchlosťou sa tá či oná molekula bude pohybovať. Pozorovania však ukazujú, že celkový vplyv molekúl, napríklad tlak plynu na

steny cievy, sa prejavuje úžasnou konzistenciou. Je určená počtom úderov a silou každého z nich. Hoci prvé a druhé sú vecou náhody, prístroje za normálnych podmienok nezaznamenajú kolísanie tlaku plynu. Vysvetľuje to skutočnosť, že kvôli obrovskému počtu molekúl aj v najmenších objemoch

zmena tlaku o znateľné množstvo je prakticky nemožná. V dôsledku toho je fyzikálny zákon o stálosti tlaku plynu prejavom zákona veľkých čísel.

Stálosť tlaku a niektoré ďalšie charakteristiky plynu v istom čase slúžili ako presvedčivý argument proti molekulárnej teórii štruktúry hmoty. Následne sa naučili izolovať relatívne malý počet molekúl, čím sa zabezpečilo, že vplyv jednotlivých molekúl stále zostával a zákon veľkého počtu sa tak nemohol prejaviť v dostatočnej miere. Potom bolo možné pozorovať kolísanie tlaku plynu, čím sa potvrdila hypotéza o molekulárnej štruktúre látky.

Zákon veľkého počtu je základom rôznych druhov poistenia (poistenie ľudského života na všetky možné obdobia, majetku, dobytka, úrody atď.).

Pri plánovaní sortimentu spotrebného tovaru sa zohľadňuje dopyt obyvateľstva po ňom. Táto požiadavka odhaľuje účinok zákona veľkých čísel.

Metóda odberu vzoriek, široko používaná v štatistike, nachádza svoj vedecký základ v zákone veľkých čísel. Napríklad kvalita pšenice privezenej z JZD na odberné miesto sa posudzuje podľa kvality zŕn náhodne zachytených v malej miere. V odmerke nie je veľa zrna v porovnaní s celou várkou, ale v každom prípade je odmerka zvolená tak, aby v nej bolo dosť zŕn na

prejavy zákona veľkých čísel s presnosťou, ktorá uspokojí potrebu. Máme právo brať zodpovedajúce ukazovatele vo vzorke ako ukazovatele kontaminácie, vlhkosti a priemernej hmotnosti zrna celej šarže prichádzajúceho obilia.

Ďalšie snahy vedcov o prehĺbenie obsahu zákona veľkých čísel smerovali k získaniu najvšeobecnejších podmienok použiteľnosti tohto zákona na postupnosť náhodných veličín. V tomto smere sa dlhodobo nedostavujú zásadné úspechy. Po P. L. Čebyševovi a A. A. Markovovi sa až v roku 1926 podarilo sovietskemu akademikovi A. N. Kolmogorovovi získať podmienky potrebné a postačujúce na to, aby bol zákon veľkých čísel aplikovateľný na postupnosť nezávislých náhodných veličín. V roku 1928 to ukázal sovietsky vedec A. Ya. Khinchin dostatočný stav Aplikovateľnosť zákona veľkých čísel na postupnosť nezávislých identicky rozdelených náhodných premenných je existencia ich matematického očakávania.

Pre prax je mimoriadne dôležité úplne objasniť otázku aplikovateľnosti zákona veľkých čísel na závislé náhodné veličiny, keďže javy v prírode a spoločnosti sú vzájomne závislé a vzájomne sa určujú. Veľa práce sa venovalo objasneniu obmedzení, ktoré je potrebné zaviesť

na závislých náhodných premenných, aby sa na ne dal aplikovať zákon veľkých čísel a tie najdôležitejšie patria vynikajúcemu ruskému vedcovi A. A. Markovovi a významným sovietskym vedcom S. N. Bernsteinovi a A. Ya. Khinchinovi.

Hlavným výsledkom týchto prác je, že zákon veľkých čísel možno aplikovať na závislé náhodné premenné iba vtedy, ak medzi náhodnými premennými s blízkymi číslami existuje silná závislosť a medzi náhodnými premennými so vzdialenými číslami je závislosť dostatočne slabá. Príkladmi náhodných premenných tohto typu sú číselné charakteristiky klímy. Počasie každého dňa je citeľne ovplyvnené počasím predchádzajúcich dní a tento vplyv citeľne slabne, keď sa dni od seba vzďaľujú. V dôsledku toho by sa dlhodobá priemerná teplota, tlak a ďalšie charakteristiky klímy danej oblasti v súlade so zákonom veľkých čísel mali prakticky približovať ich matematickým očakávaniam. Posledné uvedené sú objektívnymi charakteristikami klímy oblasti.

Aby bolo možné experimentálne otestovať zákon veľkých čísel v iný čas Boli uskutočnené nasledujúce experimenty.

1. Skúsenosti Buffon. Minca je hodená 4040-krát. Erb sa objavil 2048-krát. Frekvencia jeho výskytu sa ukázala byť rovná 0,50694 =

2. Skúsenosti Pearson. Minca je hodená 12 000 a 24 000 krát. Frekvencia vypadávania erbu v prvom prípade sa ukázala ako 0,5016, v druhom - 0,5005.

H. Skúsenosti Vestergaard. Z urny, v ktorej bol rovnaký počet bielych a čiernych guľôčok, sa po 10 000 žrebovaniach získalo 5 011 bielych a 4 989 čiernych gúľ (pričom ďalšia odobratá guľa sa vrátila do urny). Frekvencia bielych guľôčok bola 0,50110 = () a frekvencia čiernych guľôčok bola 0,49890.

4. Skúsenosti V.I. Romanovský. Štyri mince sú hodené 21 160-krát. Frekvencie a frekvencie rôznych kombinácií erbov a hashových značiek boli rozdelené takto:

Kombinácie počtu hláv a chvostov	Frekvencie	Frekvencie
		Empirický	Teoretické
4 a 0	1 181	0,05858	0,0625
3 a 1	4909	0,24350	0,2500
2 a 2	7583	0,37614	0,3750
1 a 3	5085	0,25224	0,2500
1 a 4		0,06954	0,0625
Celkom	20160	1,0000	1,0000

Výsledky experimentálnych testov zákona veľkých čísel nás presviedčajú, že experimentálne frekvencie sú veľmi blízko pravdepodobnosti.

CENTRÁLNA LIMITNÁ VETA

Nie je ťažké dokázať, že súčet akéhokoľvek konečného počtu nezávislých normálne rozdelených náhodných premenných je tiež normálne rozdelený.

Ak nezávislé náhodné premenné nie sú normálne rozdelené, môžu sa na ne uložiť veľmi voľné obmedzenia a ich súčet bude stále normálne rozdelený.

Tento problém nastolili a riešili najmä ruskí vedci P. L. Čebyšev a jeho žiaci A. A. Markov a A. M. Ljapunov.

Veta (Ljapunov).

Ak nezávislé náhodné premenné majú konečné matematické očakávania a konečné rozptyly ich počet je pomerne veľký as neobmedzeným nárastom

,

kde sú absolútne centrálne momenty tretieho rádu, potom ich súčet má rozdelenie s dostatočnou mierou presnosti

(V skutočnosti neuvádzame Ljapunovovu vetu, ale jeden z jej dôsledkov, keďže tento dôsledok je úplne postačujúci pre praktické aplikácie. Preto je podmienka, ktorá sa nazýva Ljapunovova podmienka, prísnejšou požiadavkou, než je potrebná na dokázanie samotnej Ljapunovovej vety. )

Význam podmienky je, že účinok každého termínu (náhodnej premennej) je malý v porovnaní s celkovým účinkom všetkých z nich. Mnohé náhodné javy vyskytujúce sa v prírode a v spoločenskom živote prebiehajú presne podľa tohto vzoru. V tomto ohľade má Lyapunovova veta mimoriadne veľký význam a normálny zákon rozdelenie je jedným zo základných zákonov teórie pravdepodobnosti.

Nech sa vyrába napr meranie nejakej veľkosti. Rôzne odchýlky pozorovaných hodnôt od ich skutočnej hodnoty (matematické očakávania) sa získavajú v dôsledku vplyvu veľmi veľkého počtu faktorov, z ktorých každý generuje malú chybu a . Celková chyba merania je potom náhodná premenná, ktorá by sa podľa Lyapunovovej vety mala rozdeliť podľa normálneho zákona.

O strieľať z pištole pod vplyvom veľmi veľkého počtu náhodných príčin sú projektily rozptýlené po určitej ploche. Náhodné dopady na dráhu strely možno považovať za nezávislé. Každá príčina spôsobuje len nepatrnú zmenu trajektórie v porovnaní s celkovou zmenou pod vplyvom všetkých príčin. Preto by sme mali očakávať, že odchýlka miesta výbuchu projektilu od cieľa bude náhodná premenná rozložená podľa normálneho zákona.

Podľa Ljapunovovej vety môžeme očakávať, že napr. výška dospelého muža je náhodná premenná rozdelená podľa normálneho zákona. Táto hypotéza, ako aj tie, ktoré boli uvažované v predchádzajúcich dvoch príkladoch, sa dobre zhodujú s pozorovaniami. Aby sme to potvrdili, uvádzame rozdelenie podľa výšky 1 000 dospelých robotníkov, zodpovedajúce teoretické počty mužov, t. j. počet mužov, ktorí by mali majú výšku týchto skupín, vychádzajúc z predpokladu rozloženia výšky mužov podľa normálneho zákona.

Výška, cm	počet mužov
	experimentálne údaje	teoretická predpovede
143-146
146-149
149-152
152-155
155-158
158- 161
161- 164
164-167
167-170
170-173
173-176
176-179
179 -182
182-185
185-188

Bolo by ťažké očakávať presnejšiu zhodu medzi experimentálnymi údajmi a teoretickými údajmi.

V dôsledku Ljapunovovej vety sa dá ľahko dokázať návrh, ktorý bude v budúcnosti potrebný na zdôvodnenie metódy vzorkovania.

Ponuka.

Súčet dostatočne veľkého počtu identicky rozdelených náhodných premenných s absolútnymi centrálnymi momentmi tretieho rádu je rozdelený podľa normálneho zákona.

Limitné vety teórie pravdepodobnosti, Moivre-Laplaceova veta vysvetľuje povahu stability frekvencie výskytu udalosti. Táto podstata spočíva v tom, že limitné rozdelenie počtu výskytov udalosti s neobmedzeným nárastom počtu pokusov (ak je pravdepodobnosť udalosti vo všetkých pokusoch rovnaká) je normálne rozdelenie.

Systém náhodných premenných.

Vyššie uvažované náhodné premenné boli jednorozmerné, t.j. boli určené jedným číslom, existujú však aj náhodné premenné, ktoré sú určené dvomi, tromi atď. čísla. Takéto náhodné premenné sa nazývajú dvojrozmerné, trojrozmerné atď.

V závislosti od typu náhodných premenných zahrnutých v systéme môžu byť systémy diskrétne, spojité alebo zmiešané, ak systém obsahuje rôzne typy náhodných premenných.

Pozrime sa bližšie na systémy dvoch náhodných premenných.

Definícia. Zákon distribúcie systém náhodných premenných je vzťah, ktorý vytvára spojenie medzi oblasťami možných hodnôt systému náhodných premenných a pravdepodobnosťami, že sa systém objaví v týchto oblastiach.

Príklad. Z urny obsahujúcej 2 biele a tri čierne gule sa vyberú dve gule. Nech je počet vyžrebovaných bielych loptičiek a náhodná premenná je definovaná takto:

Vytvorme distribučnú tabuľku pre systém náhodných premenných:

Vzhľadom k tomu, je pravdepodobnosť, že nie sú vytiahnuté žiadne biele gule (čo znamená, že sú vytiahnuté dve čierne gule), a potom

.

Pravdepodobnosť

.

Pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť - pravdepodobnosť, že sa nevytiahnu žiadne biele gule (a teda vytiahnu sa dve čierne gule), pričom , potom

Pravdepodobnosť - pravdepodobnosť, že sa vytiahne jedna biela guľa (a teda jedna čierna), pričom , potom

Pravdepodobnosť - pravdepodobnosť, že sa vytiahnu dve biele gule (a teda žiadne čierne), pričom , potom

.

Distribučný rad dvojrozmernej náhodnej premennej má teda tvar:

Definícia. Distribučná funkcia systém dvoch náhodných premenných sa nazýva funkcia dvoch argumentovF( X, r) , rovná pravdepodobnosti spoločného splnenia dvoch nerovnostíX< X, Y< r.

Všimnime si nasledujúce vlastnosti distribučnej funkcie systému dvoch náhodných premenných:

1) ;

2) Distribučná funkcia je neklesajúca funkcia pre každý argument:

3) Platí nasledovné:

4)

5) Pravdepodobnosť zasiahnutia náhodného bodu ( X, Y ) do ľubovoľného obdĺžnika so stranami rovnobežnými so súradnicovými osami, sa vypočíta podľa vzorca:

Hustota distribúcie systému dvoch náhodných veličín.

Definícia. Hustota distribúcie kĺbov pravdepodobnosti dvojrozmernej náhodnej premennej ( X, Y ) sa nazýva druhá zmiešaná parciálna derivácia distribučnej funkcie.

Ak je známa hustota distribúcie, distribučnú funkciu možno nájsť pomocou vzorca:

Dvojrozmerná hustota rozdelenia je nezáporná a dvojitý integrál s nekonečnými limitmi dvojrozmernej hustoty je rovný jednej.

Zo známej hustoty spoločného rozdelenia možno nájsť hustotu rozdelenia každej zo zložiek dvojrozmernej náhodnej premennej.

; ;

Podmienené zákony distribúcie.

Ako je uvedené vyššie, ak poznáte zákon spoločného rozdelenia, môžete ľahko nájsť zákony rozdelenia každej náhodnej premennej zahrnutej v systéme.

V praxi sa však často stretávame s inverzným problémom – pomocou známych zákonov rozdelenia náhodných premenných nájdite zákon ich spoločného rozdelenia.

Vo všeobecnosti je tento problém neriešiteľný, pretože distribučný zákon náhodnej veličiny nehovorí nič o vzťahu tejto premennej s inými náhodnými veličinami.

Okrem toho, ak sú náhodné veličiny na sebe závislé, potom distribučný zákon nemožno vyjadriť prostredníctvom zákonov rozdelenia komponentov, pretože musí vytvoriť spojenie medzi komponentmi.

To všetko vedie k potrebe zvážiť zákony o podmienenej distribúcii.

Definícia. Volá sa distribúcia jednej náhodnej premennej zahrnutej v systéme, ktorá sa nachádza pod podmienkou, že iná náhodná premenná nadobudla určitú hodnotu zákon o podmienenom rozdelení.

Zákon podmieneného rozdelenia môže byť špecifikovaný ako distribučnou funkciou, tak aj hustotou rozdelenia.

Hustota podmieneného rozdelenia sa vypočíta pomocou vzorcov:

Podmienená hustota distribúcie má všetky vlastnosti hustoty distribúcie jednej náhodnej premennej.

Podmienené matematické očakávanie.

Definícia. Podmienené matematické očakávanie diskrétna náhodná premenná Y v X = x (x – určitá možná hodnota X) je súčinom všetkých možných hodnôt Y na ich podmienených pravdepodobnostiach.

Pre spojité náhodné premenné:

,

Kde f( r/ X) – podmienená hustota náhodnej premennej Y v X = x.

Podmienené matematické očakávanieM( Y/ X)= f( X) je funkciou X a volá sa regresná funkcia X zapnutá Y.

Príklad.Nájdite podmienené matematické očakávanie komponentu Y at

X = x 1 = 1 pre diskrétnu dvojrozmernú náhodnú premennú danú tabuľkou:

Y
	x 1 = 1	x 2 = 3	x 3 = 4	x 4 = 8
yi = 3	0,15	0,06	0,25	0,04
y2 = 6	0,30	0,10	0,03	0,07

Podmienený rozptyl a podmienené momenty systému náhodných veličín sa určujú podobne.

Závislé a nezávislé náhodné premenné.

Definícia. Náhodné premenné sú tzv nezávislý, ak distribučný zákon jednej z nich nezávisí od hodnoty druhej náhodnej veličiny.

Koncept závislosti náhodných veličín je v teórii pravdepodobnosti veľmi dôležitý.

Podmienené rozdelenia nezávislých náhodných premenných sa rovnajú ich nepodmieneným rozdeleniam.

Stanovme potrebné a postačujúce podmienky nezávislosti náhodných veličín.

Veta. Y boli nezávislé, je potrebné a postačujúce, aby distribučná funkcia systému ( X, Y) sa rovnal súčinu distribučných funkcií komponentov.

Podobná veta môže byť formulovaná pre hustotu distribúcie:

Veta. Aby náhodné premenné X a Y boli nezávislé, je potrebné a postačujúce, aby hustota spoločného rozloženia systému ( X, Y) sa rovnal súčinu distribučných hustôt zložiek.

V praxi sa používajú nasledujúce vzorce:

Pre diskrétne náhodné premenné:

Pre spojité náhodné premenné:

Korelačný moment slúži na charakterizáciu vzťahu medzi náhodnými premennými. Ak sú náhodné premenné nezávislé, potom je ich korelačný moment rovný nule.

Korelačný moment má rozmer rovný súčinu rozmerov náhodných veličín X a Y . Táto skutočnosť je nevýhodou tejto číselnej charakteristiky, pretože Pri rôznych jednotkách merania sa získavajú rôzne korelačné momenty, čo sťažuje porovnávanie korelačných momentov rôznych náhodných veličín.

Na odstránenie tohto nedostatku sa používa ďalšia charakteristika - korelačný koeficient.

Definícia. Korelačný koeficient r xy náhodné premenné X a Y sa nazýva pomer korelačného momentu k súčinu smerodajných odchýlok týchto veličín.

Korelačný koeficient je bezrozmerná veličina. Pre nezávislé náhodné premenné je korelačný koeficient nulový.

Nehnuteľnosť: Absolútna hodnota korelačného momentu dvoch náhodných premenných X a Y nepresahuje geometrický priemer ich rozptylov.

Nehnuteľnosť: Absolútna hodnota korelačného koeficientu nepresahuje jednu.

Náhodné premenné sú tzv koreloval, ak je ich korelačný moment odlišný od nuly, a nekorelované, ak je ich korelačný moment nulový.

Ak sú náhodné premenné nezávislé, potom sú nekorelované, ale z nekorelácie nemožno usúdiť, že sú nezávislé.

Ak sú dve veličiny závislé, potom môžu byť korelované alebo nekorelované.

Z danej hustoty distribúcie systému náhodných premenných sa často dá určiť závislosť alebo nezávislosť týchto premenných.

Spolu s korelačným koeficientom možno mieru závislosti náhodných veličín charakterizovať ďalšou veličinou, ktorá je tzv. koeficient kovariancie. Koeficient kovariancie je daný vzorcom:

Príklad. Hustota rozdelenia sústavy náhodných veličín X je daná anezávislý. Samozrejme, budú aj nekorelované.

Lineárna regresia.

Zvážte dvojrozmernú náhodnú premennú ( X, Y), kde X a Y sú závislé náhodné premenné.

Predstavme približne jednu náhodnú premennú ako funkciu inej. Presná zhoda nie je možná. Budeme predpokladať, že táto funkcia je lineárna.

Na určenie tejto funkcie zostáva len nájsť konštantné hodnoty a A b.

Definícia. Funkciag( X) volal najlepšie priblíženie náhodná premenná Y v zmysle metódy najmenších štvorcov, ak matematické očakávanie

Má najmenšiu možnú hodnotu. Tiež funkciag( X) volal stredná štvorcová regresia Y až X.

Veta. Lineárna stredná štvorcová regresia Y na X sa vypočíta podľa vzorca:

v tomto vzorci m x= M( X náhodná premenná Yrelatívne k náhodnej premennej X. Táto hodnota charakterizuje veľkosť chyby vytvorenej pri nahradení náhodnej premennejYlineárna funkciag( X) = aX+b.

Je jasné, že ak r= ± 1, potom je reziduálny rozptyl nulový, a preto je chyba nula a náhodná veličinaYpresne reprezentovaný lineárnou funkciou náhodnej premennej X.

Stredná štvorcová regresná čiara X naYsa určuje podobne podľa vzorca: X a Ymajú lineárne regresné funkcie vo vzťahu k sebe, potom hovoria, že veličiny X AYpripojený lineárna korelačná závislosť.

Veta. Ak dvojrozmerná náhodná premenná ( X, Y) je normálne rozložené, potom X a Y sú spojené lineárnou koreláciou.

napr. Nikiforová

Zákon veľkých čísel v teórii pravdepodobnosti uvádza, že empirický priemer (aritmetický priemer) dostatočne veľkej konečnej vzorky z pevného rozdelenia je blízky teoretickému priemeru (matematickému očakávaniu) tohto rozdelenia. Podľa typu konvergencie sa rozlišuje slabý zákon veľkých čísel, kedy ku konvergencii dochádza s pravdepodobnosťou, a silný zákon veľkých čísel, kedy konvergencia nastáva takmer všade.

Vždy existuje konečný počet pokusov, v ktorých pri akejkoľvek vopred stanovenej pravdepodobnosti je menej 1 relatívna frekvencia výskytu nejakej udalosti sa bude čo najmenej líšiť od jej pravdepodobnosti.

Všeobecný význam zákona veľkých čísel: spoločné pôsobenie veľkého počtu rovnakých a nezávislých náhodných faktorov vedie k výsledku, ktorý v limite nezávisí od náhody.

Metódy odhadu pravdepodobnosti založené na analýze konečných vzoriek sú založené na tejto vlastnosti. Jasný príklad je prognóza výsledkov volieb na základe prieskumu na vzorke voličov.

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ Zákon veľkých čísel

✪ 07 - Teória pravdepodobnosti. Zákon veľkých čísel

✪ 42 Zákon veľkých čísel

✪ 1 - Čebyševov zákon veľkých čísel

✪ 11. ročník, lekcia 25, Gaussova krivka. Zákon veľkých čísel

titulky

Pozrime sa na zákon veľkých čísel, ktorý je možno najintuitívnejším zákonom v matematike a teórii pravdepodobnosti. A keďže sa vzťahuje na toľko vecí, niekedy sa používa a nepochopí. Dovoľte mi najprv to definovať pre presnosť a potom budeme hovoriť o intuícii. Zoberme si náhodnú premennú, napríklad X. Povedzme, že poznáme jej matematické očakávanie alebo priemer pre populáciu. Zákon veľkých čísel jednoducho hovorí, že ak si vezmeme príklad n-tého počtu pozorovaní náhodnej premennej a vezmeme priemer všetkých týchto pozorovaní... Zoberme si premennú. Nazvime to X s dolným indexom n a pruhom navrchu. Toto je aritmetický priemer n-tého počtu pozorovaní našej náhodnej premennej. Tu je môj prvý postreh. Urobím experiment raz a urobím toto pozorovanie, potom to urobím znova a urobím toto pozorovanie a urobím to znova a získam toto. Tento experiment vykonám n-tý počet krát a potom ho vydelím počtom svojich pozorovaní. Tu je môj vzorový priemer. Tu je priemer všetkých pozorovaní, ktoré som urobil. Zákon veľkých čísel nám hovorí, že priemer mojej vzorky sa bude blížiť k očakávanej hodnote náhodnej premennej. Alebo môžem tiež napísať, že môj výberový priemer sa bude približovať k priemeru populácie pre n-té množstvo smerujúce do nekonečna. Nebudem jasne rozlišovať medzi "aproximáciou" a "konvergenciou", ale dúfam, že intuitívne pochopíte, že ak tu vezmem dosť veľkú vzorku, dostanem očakávanú hodnotu pre populáciu ako celok. Myslím, že väčšina z vás intuitívne chápe, že ak urobím dostatok testov s veľkou vzorkou príkladov, nakoniec mi testy dajú hodnoty, ktoré očakávam, berúc do úvahy očakávanú hodnotu a pravdepodobnosť a všetok ten jazz. Myslím si však, že často nie je jasné, prečo sa to deje. A skôr ako začnem vysvetľovať, prečo je to tak, uvediem konkrétny príklad. Zákon veľkých čísel nám hovorí, že... Povedzme, že máme náhodnú premennú X. Tá sa rovná počtu hláv v 100 hodoch férovej mince. V prvom rade poznáme matematické očakávanie tejto náhodnej premennej. Toto je počet hodov alebo pokusov vynásobený pravdepodobnosťou úspechu akéhokoľvek pokusu. Takže toto sa rovná 50. To znamená, že zákon veľkých čísel hovorí, že ak odoberieme vzorku, alebo ak spriemerujem tieto pokusy, dostanem. .. Keď robím test prvýkrát, hodím si 100-krát mincou, alebo vezmem škatuľku so sto mincami, zatrasiem ňou a potom spočítam, koľko hláv dostanem, a dostanem povedzme , číslo 55. To by bolo X1. Potom znova zatrasiem krabicou a dostanem číslo 65. Potom znova a dostanem 45. A toto urobím n-krát a potom to vydelím počtom pokusov. Zákon veľkých čísel nám hovorí, že tento priemer (priemer všetkých mojich pozorovaní) sa bude blížiť k 50, keď sa n blíži k nekonečnu. Teraz by som chcel trochu hovoriť o tom, prečo sa to deje. Veľa ľudí verí, že ak je môj výsledok po 100 pokusoch nadpriemerný, tak podľa zákonov pravdepodobnosti by som mal dostať viac alebo menej hláv, aby som takpovediac vyrovnal rozdiel. Nie je to presne to, čo sa stane. Toto sa často nazýva „klam hráča“. Dovoľte mi ukázať vám rozdiel. Použijem nasledujúci príklad. Dovoľte mi nakresliť graf. Zmeňme farbu. Toto je n, moja os x je n. Toto je počet testov, ktoré urobím. A moja os Y bude vzorový priemer. Vieme, že matematické očakávanie tejto ľubovoľnej premennej je 50. Dovoľte mi to nakresliť. Toto je 50. Vráťme sa k nášmu príkladu. Ak n je... Počas môjho prvého testu som dostal 55, to je môj priemer. Mám len jeden vstupný bod údajov. Potom po dvoch testoch dostanem 65. Takže môj priemer by bol 65+55 delené 2. To je 60. A môj priemer sa trochu zvýšil. Potom som dostal 45, čo opäť znížilo môj aritmetický priemer. Nebudem kresliť 45. Teraz potrebujem toto všetko spriemerovať. Koľko sa rovná 45+65? Dovoľte mi vypočítať túto hodnotu, aby predstavovala bod. To je 165 delené 3. To je 53. Nie, 55. Takže priemer sa vráti späť na 55. V týchto testoch môžeme pokračovať. Potom, čo sme urobili tri pokusy a dosiahli tento priemer, mnohí ľudia si myslia, že bohovia pravdepodobnosti sa postarajú o to, aby sme v budúcnosti dostali menej hláv, že niekoľko ďalších pokusov bude mať nižšie skóre, aby sa znížil priemer. Ale nie vždy to tak je. V budúcnosti zostáva pravdepodobnosť vždy rovnaká. Vždy bude 50% šanca, že dostanem hlavy. Nie je to tak, že by som na začiatku dostal určitý počet hláv, viac ako očakávam, a potom zrazu musím dostať chvosty. Toto je omyl gamblera. To, že získate neúmerne veľké množstvo hláv, neznamená, že v určitom momente začnete mať neúmerne veľké množstvo chvostov. Nie je to celkom pravda. Zákon veľkých čísel nám hovorí, že na tom nezáleží. Povedzme, že po určitom konečnom počte testov je váš priemer... Pravdepodobnosť toho je dosť malá, ale napriek tomu... Povedzme, že váš priemer dosiahol túto známku - 70. Pomyslíte si: "Páni, vzdialili sme sa od očakávanej hodnoty." Ale zákon veľkých čísel hovorí, že nezáleží na tom, koľko testov urobíme. Stále máme pred sebou nekonečné množstvo výziev. Matematické očakávania tohto nekonečného počtu pokusov, najmä v situácii, ako je táto, by boli nasledovné. Keď prídete ku konečnému číslu, ktoré vyjadruje nejakú veľkú hodnotu, nekonečné číslo, ktoré s ním konverguje, opäť povedie k očakávanej hodnote. Toto je, samozrejme, veľmi voľná interpretácia, ale to nám hovorí zákon veľkých čísel. To je dôležité. Nehovorí nám, že ak dostaneme veľa hláv, potom sa nejako zvýši pravdepodobnosť, že dostaneme chvosty, aby sme to kompenzovali. Tento zákon nám hovorí, že nezáleží na tom, aký bude výsledok konečného počtu pokusov, pokiaľ vám stále zostáva nekonečný počet pokusov. A ak ich urobíte dosť, opäť sa dostanete na očakávanú hodnotu. Toto dôležitý bod. Zamyslite sa nad tým. Ale to sa v praxi pri lotériách a kasínach nepoužíva každý deň, hoci je známe, že ak urobíte dostatok testov... Vieme to aj vypočítať... aká je pravdepodobnosť, že sa vážne odchýlime od normy? Ale kasína a lotérie fungujú každý deň na princípe, že ak zoberiete dostatok ľudí, prirodzene krátkodobý, s malou ukážkou potom pár ľudí trafí jackpot. Ale po dlhú dobu bude kasíno vždy vyhrávať vďaka parametrom hier, ktoré vás pozývajú hrať. Toto je dôležitý princíp pravdepodobnosti, ktorý je intuitívny. Hoci niekedy, keď je vám to formálne vysvetlené pomocou náhodných premenných, všetko vyzerá trochu mätúce. Tento zákon hovorí len o tom, že čím viac vzoriek je, tým viac bude mať aritmetický priemer týchto vzoriek tendenciu k skutočnému priemeru. A aby som bol konkrétnejší, aritmetický priemer vašej vzorky sa bude zbližovať s matematickým očakávaním náhodnej premennej. To je všetko. Uvidíme sa v ďalšom videu!

Slabý zákon veľkých čísel

Slabý zákon veľkých čísel sa tiež nazýva Bernoulliho veta podľa Jacoba Bernoulliho, ktorý to dokázal v roku 1713.

Nech existuje nekonečná postupnosť (sekvenčné vyčíslenie) identicky rozdelených a nekorelovaných náhodných premenných. Teda ich kovariancia c o v (X i , X j) = 0 , ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\forall i\not =j). Nechajte . Označme vzorovým priemerom prvého n (\displaystyle n)členovia:

.

Potom X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Teda za každé pozitívum ε (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Posilnený zákon veľkých čísel

Nech existuje nekonečná postupnosť nezávislých identicky rozdelených náhodných premenných ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )), definovaný na jednom pravdepodobnostnom priestore (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Nechaj E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). Označme podľa X ¯ n (\displaystyle (\bar (X))_(n)) vzorový priemer prvého n (\displaystyle n)členovia:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\suma \limity _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N) ).

Potom X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) takmer vždy.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ vpravo) = 1.) .

Ako každý matematický zákon, aj zákon veľkých čísel možno aplikovať na reálny svet len ​​za určitých predpokladov, ktoré možno splniť len s určitým stupňom presnosti. Napríklad po sebe idúce skúšobné podmienky často nemožno udržiavať donekonečna a s absolútnou presnosťou. Navyše zákon veľkých čísel hovorí len o nepravdepodobnosť významná odchýlka priemernej hodnoty od matematického očakávania.