Kompleks integrallar
Ushbu maqola noaniq integrallar mavzusini yakunlaydi va men juda qiyin deb hisoblagan integrallarni o'z ichiga oladi. Dars saytga qiyinroq misollarni tahlil qilish istagini bildirgan tashrif buyuruvchilarning takroriy iltimosiga binoan yaratildi.
Ushbu matnni o'quvchi yaxshi tayyorlangan va integratsiyaning asosiy usullarini qanday qo'llashni biladi deb taxmin qilinadi. Dummies va integrallarga juda ishonmaydigan odamlar birinchi darsga murojaat qilishlari kerak - Noaniq integral. Yechim misollari bu erda siz mavzuni deyarli noldan o'rganishingiz mumkin. Ko'proq tajribali talabalar mening maqolalarimda hali uchramagan integratsiya texnikasi va usullari bilan tanishishlari mumkin.
Qanday integrallar hisobga olinadi?
Birinchidan, biz ildizlari bo'lgan integrallarni ko'rib chiqamiz, ularni hal qilish uchun biz ketma-ket foydalanamiz o'zgaruvchan almashtirish Va qismlar bo'yicha integratsiya. Ya'ni, bitta misolda ikkita usul bir vaqtning o'zida birlashtirilgan. Va undan ham ko'proq.
Keyin biz qiziqarli va original bilan tanishamiz integralni o'ziga kamaytirish usuli. Bu usulda unchalik kam integral yechilmaydi.
Dasturning uchinchi raqami oldingi maqolalarda kassadan o'tib ketgan murakkab fraktsiyalarning integrallari bo'ladi.
To'rtinchidan, trigonometrik funktsiyalardan qo'shimcha integrallar tahlil qilinadi. Xususan, ko'p vaqt talab qiladigan universal trigonometrik almashtirishdan qochadigan usullar mavjud.
(2) B integral sonni ayiruvchi hadga bo‘ling.
(3) Noaniq integralning chiziqlilik xossasidan foydalanamiz. Oxirgi integralda darhol funksiyani differentsial belgisi ostiga keltiring.
(4) Qolgan integrallarni olamiz. Logarifmada modulni emas, qavslardan foydalanishingiz mumkinligini unutmang, chunki .
(5) "te" to'g'ridan-to'g'ri almashtirishdan ifodalangan teskari almashtirishni amalga oshiramiz:
Masoxist talabalar javobni farqlashlari va men kabi asl integrandni olishlari mumkin. Yo'q, yo'q, men tekshiruvni to'g'ri ma'noda qildim =)
Ko'rib turganingizdek, yechim jarayonida hatto ikkitadan ortiq echim usullaridan foydalanish kerak edi, shuning uchun bunday integrallar bilan ishlash uchun sizga eng kam tajriba emas, balki ishonchli integratsiya ko'nikmalari kerak.
Amalda, albatta, kvadrat ildiz ko'proq tarqalgan, bu erda uchta misol mustaqil yechim:
2-misol
Noaniq integralni toping
3-misol
Noaniq integralni toping
4-misol
Noaniq integralni toping
Ushbu misollar bir xil turdagi, shuning uchun maqola oxiridagi to'liq yechim faqat 2-misol uchun, 3-4-misollarda bitta javob bo'ladi. Menimcha, qarorlarning boshida qaysi almashtirishni qo'llash aniq. Nega men bir xil turdagi misollarni tanladim? Ko'pincha ularning rollarida topiladi. Ko'pincha, ehtimol, shunga o'xshash narsa 
.
Ammo har doim ham emas, agar yoy ostida tangens, sinus, kosinus, ko'rsatkich va boshqa funktsiyalarning ildizi mavjud bo'lsa. chiziqli funksiya, bir vaqtning o'zida bir nechta usullarni qo'llash kerak. Bir qator hollarda, "osongina tushish" mumkin, ya'ni almashtirilgandan so'ng darhol oddiy integral olinadi, u elementar qabul qilinadi. Yuqorida taklif qilingan vazifalarning eng osoni 4-misol bo'lib, unda almashtirishdan keyin nisbatan oddiy integral olinadi.
Integralni o'ziga kamaytirish usuli
Aqlli va chiroyli usul. Keling, janrning klassiklarini ko'rib chiqaylik:
5-misol
Noaniq integralni toping
Ildiz ostida kvadrat binomial mavjud va bu misolni birlashtirishga harakat qilganda, choynak soatlab azob chekishi mumkin. Bunday integral qismlar tomonidan olinadi va o'ziga kamayadi. Aslida, bu qiyin emas. Agar bilsangiz.
Ko'rib chiqilayotgan integralni lotin harfi bilan belgilaymiz va yechimni boshlaymiz: 
Qismlar bo'yicha integratsiya: 
(1) Biz integrandni muddatlarga bo'lish uchun tayyorlaymiz.
(2) Biz integral atamani atama bo'yicha ajratamiz. Ehtimol, hamma ham tushunmaydi, men batafsilroq yozaman:
(3) Noaniq integralning chiziqlilik xossasidan foydalanamiz.
(4) Biz oxirgi integralni ("uzun" logarifm) olamiz.
Endi yechimning eng boshiga qaraylik: 
Va oxiri uchun: 
Nima sodir bo `LDI? Bizning manipulyatsiyalarimiz natijasida integral o'ziga qisqardi!
Boshi va oxirini tenglashtiring: 
Biz belgini o'zgartirish bilan chap tomonga o'tamiz: 
Va biz o'ng tomonga deuceni buzamiz. Natijada: 
Doimiy, qat'iy aytganda, avvalroq qo'shilishi kerak edi, lekin men uni oxirida qo'shdim. Bu erda jiddiylik nima ekanligini o'qishni tavsiya qilaman:
Eslatma:
Aniqroq aytganda, yechimning yakuniy bosqichi quyidagicha ko'rinadi:
Shunday qilib:
Konstanta bilan qayta nomlanishi mumkin. Nima uchun qayta nomlashingiz mumkin? Chunki hali ham kerak har qanday qadriyatlar va bu ma'noda doimiylar va o'rtasida hech qanday farq yo'q.
Natijada:
Doimiy qayta nomlash bilan shunga o'xshash hiyla keng qo'llaniladi differensial tenglamalar. Va u erda men qattiqqo'l bo'laman. Va bu erda bunday erkinliklarga men sizni keraksiz narsalar bilan adashtirmaslik va integratsiya usuliga e'tibor qaratmaslik uchun ruxsat berdim.
6-misol
Noaniq integralni toping
Mustaqil yechim uchun yana bir tipik integral. To'liq yechim va javob dars oxirida. Oldingi misolning javobidan farq bo'ladi!
Agar kvadrat ildiz bo'lsa kvadrat trinomial, keyin yechim har qanday holatda ikkita tahlil qilingan misolga qisqartiriladi.
Masalan, integralni ko'rib chiqing 
. Sizga kerak bo'lgan hamma narsa oldindan to'liq kvadratni tanlang:
.
Keyinchalik, "hech qanday oqibatlarsiz" boshqaradigan chiziqli almashtirish amalga oshiriladi:
, natijada integral hosil bo'ladi. Tanish narsa, to'g'rimi?
Yoki kvadrat binomial bilan bu misol:
To'liq kvadratni tanlash:
Va, chiziqli almashtirishdan so'ng, biz integralni olamiz, bu ham allaqachon ko'rib chiqilgan algoritm tomonidan hal qilinadi.
Integralni o'ziga kamaytirishning yana ikkita tipik misolini ko'rib chiqing:
ko'rsatkichning sinusga ko'paytirilgan integrali;
ko'rsatkichning kosinusga ko'paytirilgan integrali.
Qismlar bo'yicha sanab o'tilgan integrallarda siz allaqachon ikki marta integrallashingiz kerak bo'ladi:
7-misol
Noaniq integralni toping
Integratsiya ko'rsatkichni sinusga ko'paytiradi.
Biz qismlarga ikki marta integrallashamiz va integralni o'ziga qisqartiramiz: 
Qismlar bo'yicha qo'sh integrallash natijasida integral o'ziga qisqaradi. Yechimning boshi va oxirini tenglashtiring:
Biz belgini o'zgartirish bilan chap tomonga o'tamiz va integralimizni ifodalaymiz: 
Tayyor. Yo'lda, o'ng tomonni tarash maqsadga muvofiqdir, ya'ni. ko'rsatkichni qavsdan chiqaring va sinus va kosinusni qavs ichiga "chiroyli" tartibda joylashtiring.
Endi misolning boshiga, toʻgʻrirogʻi, qismlar boʻyicha integratsiyaga qaytaylik: 
Chunki biz ko'rgazma ishtirokchisini belgilab oldik. Savol tug'iladi, bu ko'rsatkich har doim bilan belgilanishi kerak? Shart emas. Aslida, ko'rib chiqilayotgan integralda asosan farqi yo'q, nimani belgilash kerak, boshqa yo'l bilan borish mumkin: 
Nima uchun bu mumkin? Ko‘rsatkich o‘z-o‘zidan aylanganligi sababli (differensiallashda va integrallashda), sinus va kosinus o‘zaro bir-biriga aylanadi (yana differensiallashda ham, integrallashda ham).
Ya'ni trigonometrik funktsiyani ham belgilash mumkin. Ammo, ko'rib chiqilgan misolda, bu unchalik oqilona emas, chunki kasrlar paydo bo'ladi. Agar xohlasangiz, ushbu misolni ikkinchi usulda hal qilishga urinib ko'rishingiz mumkin, javoblar bir xil bo'lishi kerak.
8-misol
Noaniq integralni toping
Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Qaror qabul qilishdan oldin, o'ylab ko'ring, bu holda eksponensial yoki trigonometrik funktsiyani belgilash foydaliroqmi? To'liq yechim va javob dars oxirida.
Va, albatta, unutmangki, ushbu darsdagi javoblarning aksariyatini farqlash orqali tekshirish juda oson!
Misollar eng qiyin deb hisoblanmadi. Amalda integrallar ko'proq uchraydi, bunda konstanta ham ko'rsatkichda, ham trigonometrik funktsiya argumentida bo'ladi, masalan: . Ko'p odamlar bunday integralda chalkashib ketishlari kerak va men o'zim ham tez-tez aralashib qolaman. Gap shundaki, eritmada fraksiyalarning paydo bo'lish ehtimoli yuqori va e'tiborsizlik tufayli biror narsani yo'qotish juda oson. Bundan tashqari, belgilarda xatolik ehtimoli yuqori, eksponentda minus belgisi mavjudligiga e'tibor bering va bu qo'shimcha qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi.
Yakuniy bosqichda u ko'pincha shunday bo'ladi:
Yechim oxirida ham siz juda ehtiyot bo'lishingiz va kasrlar bilan to'g'ri munosabatda bo'lishingiz kerak: 
Murakkab kasrlarni integrallash
Biz asta-sekin darsning ekvatoriga yaqinlashamiz va kasrlarning integrallarini ko'rib chiqa boshlaymiz. Shunga qaramay, ularning hammasi ham juda murakkab emas, faqat bir sababga ko'ra yoki boshqa maqolalarda misollar biroz "mavzudan tashqari" edi.
Ildizlar mavzusini davom ettirish
9-misol
Noaniq integralni toping
Ildiz ostidagi maxrajda "x" ko'rinishidagi "qo'shimcha" ildizdan tashqarida kvadrat trinomial plyus mavjud. Bu shaklning integrali standart almashtirish yordamida yechiladi.
Biz qaror qilamiz: 
Bu erda almashtirish oddiy: 
O'zgartirishdan keyingi hayotga qarash: 
(1) almashtirishdan keyin ildiz ostidagi atamalarni umumiy maxrajga keltiramiz.
(2) Biz uni ildiz ostidan chiqaramiz.
(3) Pay va maxrajni ga kamaytiramiz. Shu bilan birga, ildiz ostida men shartlarni qulay tartibda qayta tashkil qildim. Ba'zi tajribaga ega bo'lgan holda, (1), (2) bosqichlarni sharhlangan harakatlarni og'zaki bajarish orqali o'tkazib yuborish mumkin.
(4) Darsdan eslaganingizdek, natijada olingan integral Ayrim kasrlarning integrasiyasi, hal qilinadi chiqarish usuli to'liq kvadrat
. To'liq kvadratni tanlang.
(5) Integrallash orqali biz oddiy “uzun” logarifmni olamiz.
(6) Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz. Agar dastlab , keyin orqaga: .
(7) Yakuniy harakat natijani sartaroshlikka qaratilgan: ildiz ostida biz yana atamalarni umumiy maxrajga keltiramiz va ularni ildiz ostidan chiqaramiz.
10-misol
Noaniq integralni toping 
Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Bu erda yolg'iz x ga doimiy qo'shiladi va almashtirish deyarli bir xil bo'ladi: 
Qo'shimcha qilish kerak bo'lgan yagona narsa - almashtirishdan "x" ni ifodalash: 
To'liq yechim va javob dars oxirida.
Ba'zan bunday integralda ildiz ostida kvadrat binomi bo'lishi mumkin, bu yechimning yechilish usulini o'zgartirmaydi, hatto oddiyroq bo'ladi. Farqni his eting:
11-misol
Noaniq integralni toping
12-misol
Noaniq integralni toping
Dars oxirida qisqacha echimlar va javoblar. Shuni ta'kidlash kerakki, 11-misol aynan binom integral, yechish usuli darsda ko'rib chiqilgan Irratsional funksiyalarning integrallari.
2-darajali ajralmaydigan ko'phadning integrali
(maxrajdagi polinom)
Kamdan kam, lekin shunga qaramay, uchrashish amaliy misollar integral turi.
13-misol
Noaniq integralni toping
Ammo omadli 13 raqami bilan misolga qaytsak ( halol, taxmin qilmadim). Ushbu integral, shuningdek, qanday hal qilishni bilmasangiz, siz juda ko'p azob chekishingiz mumkin bo'lganlar toifasiga kiradi.
Yechim sun'iy o'zgartirishdan boshlanadi: 
O'ylaymanki, hamma allaqachon hisoblagichni maxraj bo'yicha atama bo'yicha qanday ajratishni tushunadi.
Olingan integral qismlarga bo'linadi: 
Shaklning integrali uchun (- natural son) olingan takrorlanuvchi pasaytirish formulasi:
, Qayerda 
pastki darajadagi integraldir.
Keling, echilgan integral uchun ushbu formulaning haqiqiyligini tekshiramiz.
Bu holda: , , formuladan foydalanamiz: 
Ko'rib turganingizdek, javoblar bir xil.
14-misol
Noaniq integralni toping
Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Namuna yechim yuqoridagi formuladan ikki marta ketma-ket foydalanadi.
Agar daraja ostida bo'lsa ajralmas kvadrat trinomial bo'lsa, to'liq kvadratni ajratib olish orqali eritma binomga keltiriladi, masalan:
Numeratorda qo'shimcha ko'phad bo'lsa-chi? Bunda noaniq koeffitsientlar usuli qo'llaniladi va integratsiya kasrlar yig'indisiga kengaytiriladi. Ammo mening amaliyotimda bunday misol hech qachon uchrashmagan, shuning uchun men ushbu ishni maqolada o'tkazib yubordim Kasr-ratsional funksiyaning integrallari, Men hozir o'tkazib yuboraman. Agar bunday integral hali ham ro'y bersa, darslikka qarang - u erda hamma narsa oddiy. Men materialni (hatto oddiy) kiritishni maqsadga muvofiq deb hisoblamayman, ular bilan uchrashish ehtimoli nolga teng.
Murakkab trigonometrik funksiyalarning integrasiyasi
Ko'pgina misollar uchun "qiyin" sifatlari yana asosan shartli. Keling, tangens va kotangentlardan boshlaylik yuqori darajalar. Tangens va kotangensni yechishda ishlatiladigan usullar nuqtai nazaridan deyarli bir xil, shuning uchun men tangens haqida ko'proq gapiraman, ya'ni integralni echishning ko'rsatilgan usuli kotangens uchun ham amal qiladi.
Yuqoridagi darsda biz ko'rib chiqdik universal trigonometrik almashtirish trigonometrik funktsiyalarning ma'lum turdagi integrallarini echish uchun. Umumjahon trigonometrik almashtirishning kamchiligi shundaki, uni qo'llash ko'pincha qiyin hisob-kitoblar bilan noqulay integrallarga olib keladi. Va ba'zi hollarda, universal trigonometrik almashtirishdan qochish mumkin!
Yana bir kanonik misolni, sinusga bo'lingan birlikning integralini ko'rib chiqing:
17-misol
Noaniq integralni toping
Bu erda siz universal trigonometrik almashtirishdan foydalanishingiz va javob olishingiz mumkin, ammo undan oqilona yo'l bor. Men har bir qadam uchun sharhlar bilan to'liq echimni taqdim etaman:
(1) Ikki burchakning sinusi uchun trigonometrik formuladan foydalanamiz.
(2) Biz sun'iy o'zgartirishni amalga oshiramiz: maxrajda biz ga bo'linamiz va ko'paytiramiz.
(3) Maxrajdagi taniqli formulaga ko'ra, kasrni tangensga aylantiramiz.
(4) Funksiyani differentsial belgisi ostida keltiramiz.
(5) Biz integralni olamiz.
Juftlash oddiy misollar Mustaqil yechim uchun:
18-misol
Noaniq integralni toping
Maslahat: Birinchi qadam kamaytirish formulasidan foydalanishdir 
va oldingi misolga o'xshash harakatlarni diqqat bilan bajaring.
19-misol
Noaniq integralni toping
Xo'sh, bu juda oddiy misol.
Dars oxirida to'liq echimlar va javoblar.
O'ylaymanki, endi hech kim integral bilan muammoga duch kelmaydi: 
va h.k.
Usul ortida qanday g'oya bor? Fikr shundan iboratki, transformatsiyalar yordamida trigonometrik formulalar integralda faqat tangenslar va tangens hosilasini tashkil qiling. Ya'ni, biz almashtirish haqida gapiramiz: 
. 17-19-misollarda biz aslida bu almashtirishdan foydalandik, lekin integrallar shunchalik sodda ediki, u ekvivalent harakat bilan bajarildi - funktsiyani differentsial belgi ostida olib bordi.
Yuqorida aytib o'tganimdek, shunga o'xshash mulohazalar kotangent uchun ham amalga oshirilishi mumkin.
Yuqoridagi almashtirishni qo'llash uchun rasmiy shart ham mavjud:
Kosinus va sinus kuchlarining yig'indisi manfiy butun son EVEN sondir, Masalan:
integral uchun, butun manfiy EVEN son.
! Eslatma : agar integralda FAQAT sinus yoki FAQAT kosinus boʻlsa, u holda integral manfiy toq daraja bilan ham qabul qilinadi (eng oddiy holatlar 17, 18-misollarda keltirilgan).
Ushbu qoida uchun bir nechta muhim vazifalarni ko'rib chiqing:
20-misol
Noaniq integralni toping
Sinus va kosinus darajalarining yig'indisi: 2 - 6 \u003d -4 - manfiy butun son EVEN soni, ya'ni integralni tangenslarga va uning hosilasiga kamaytirish mumkin: 
(1) Keling, maxrajni o'zgartiramiz.
(2) Ma'lum formulaga ko'ra, biz .
(3) Keling, maxrajni o'zgartiramiz.
(4) Biz formuladan foydalanamiz 
.
(5) Funksiyani differensial belgi ostida keltiramiz.
(6) Biz almashtirishni amalga oshiramiz. Ko'proq tajribali talabalar almashtirishni amalga oshirmasliklari mumkin, ammo tangensni bitta harf bilan almashtirish yaxshiroqdir - chalkashlik xavfi kamroq.
21-misol
Noaniq integralni toping
Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol.
Kutib turing, chempionat raundlari boshlanadi =)
Ko'pincha integranda "hodgepodge" mavjud:
22-misol
Noaniq integralni toping 
Ushbu integral dastlab tangensni o'z ichiga oladi, bu darhol allaqachon tanish fikrni taklif qiladi:
Men sun'iy o'zgartirishni boshida va qolgan bosqichlarni izohsiz qoldiraman, chunki hamma narsa yuqorida aytib o'tilgan.
Mustaqil yechim uchun bir nechta ijodiy misollar:
23-misol
Noaniq integralni toping 
24-misol
Noaniq integralni toping 
Ha, ularda, albatta, siz sinus, kosinus darajalarini pasaytirishingiz, universal trigonometrik almashtirishdan foydalanishingiz mumkin, ammo agar u tangentlar orqali chizilgan bo'lsa, yechim ancha samaraliroq va qisqaroq bo'ladi. To'liq yechim va javoblar dars oxirida
Sin x va cos x darajali funksiyalar mahsulotining integralini differentsial binomialning integraliga keltirish mumkinligi ko'rsatilgan. Ko'rsatkichlarning butun qiymatlari uchun bunday integrallarni qismlarga bo'lish yoki kamaytirish formulalari yordamida osongina hisoblash mumkin. Qisqartirish formulalarini chiqarish berilgan. Bunday integralni hisoblash misoli keltirilgan.
TarkibShuningdek qarang:
Noaniq integrallar jadvali
Differensial binomning integraliga keltirish
Shaklning integrallarini ko'rib chiqing:
Bunday integrallar t = almashtirishlardan birining differensial binomining integraliga keltiriladi. gunoh x yoki t= chunki x.
Keling, buni almashtirish orqali ko'rsatamiz
t = gunoh x.
Keyin
dt = (sin x)' dx = cos x dx;
cos 2 x \u003d 1 - gunoh 2 x \u003d 1 - t 2;
Agar m va n ratsional sonlar bo'lsa, u holda differentsial binomial integratsiya usullaridan foydalanish kerak.
m va n butun sonlar bilan integrallash
Keyinchalik, m va n butun son bo'lgan holatni ko'rib chiqing (musbat bo'lishi shart emas). Bunda integrand ning ratsional funksiyasi hisoblanadi gunoh x Va chunki x. Shuning uchun "Trigonometrik ratsional funktsiyalarni integrallash" bo'limida keltirilgan qoidalarni qo'llash mumkin.
Shu bilan birga, o'ziga xos xususiyatlarni hisobga olgan holda, qismlarga integratsiya qilish orqali osongina olinadigan qisqartirish formulalaridan foydalanish osonroq.
Shakllangan formulalar
Integral uchun qisqartirish formulalari
o'xshamoq:
;
;
;
.
Ularni eslab qolishning hojati yo'q, chunki ularni qismlarga birlashtirish orqali osongina olish mumkin.
Qisqartirish formulalarini isbotlash
Biz qismlarga birlashamiz.
m + n ga ko'paytirsak, biz birinchi formulani olamiz:
Xuddi shunday, biz ikkinchi formulani olamiz.
Biz qismlarga birlashamiz.
m + n ga ko'paytirsak, biz ikkinchi formulani olamiz:
Uchinchi formula.
Biz qismlarga birlashamiz.
n ga ko'paytirish + 1
, biz uchinchi formulani olamiz:
Xuddi shunday, to'rtinchi formula uchun.
Biz qismlarga birlashamiz.
m ga ko'paytirish + 1
, biz to'rtinchi formulani olamiz:
Misol
Keling, integralni hisoblaymiz:
Keling, aylantiramiz:
Bu yerda m = 10, n = - 4.
Biz qisqartirish formulasini qo'llaymiz:
m uchun = 10, n = - 4:
m uchun = 8, n = - 2:
Biz qisqartirish formulasini qo'llaymiz:
m uchun = 6, n = - 0:
m uchun = 4, n = - 0:
m uchun = 2, n = - 0:
Qolgan integralni hisoblaymiz:
Biz oraliq natijalarni bitta formulada yig'amiz.
Adabiyotlar:
N.M. Gyunter, R.O. Kuzmin, Oliy matematika bo'yicha muammolar to'plami, Lan, 2003 yil.
Har bir talaba bilishi kerak bo'lgan asosiy integrallar
Sanab o'tilgan integrallar asoslarning asosi, asosidir. Albatta, bu formulalarni eslab qolish kerak. Murakkab integrallarni hisoblashda siz ularni doimiy ravishda ishlatishingiz kerak bo'ladi.
To'lash Maxsus e'tibor(5), (7), (9), (12), (13), (17) va (19) formulalarga. Integratsiyalashda javobga ixtiyoriy C doimiysi qo'shishni unutmang!
Doimiyning integrali
∫ A d x = A x + C (1)Quvvat funktsiyasi integratsiyasi
Aslida, (5) va (7) formulalar bilan cheklanish mumkin, ammo bu guruhdagi qolgan integrallar shunchalik keng tarqalganki, ularga ozgina e'tibor qaratish kerak.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)
Ko'rsatkichli va giperbolik funktsiyalarning integrallari
Albatta, formula (8) (ehtimol, eslash eng qulay) formula (9) ning maxsus holati sifatida qaralishi mumkin. Giperbolik sinus va giperbolik kosinusning integrallari uchun formulalar (10) va (11) osonlikcha (8) formuladan olinadi, ammo bu munosabatlarni faqat eslab qolish yaxshiroqdir.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Trigonometrik funksiyalarning asosiy integrallari
Talabalar tez-tez qiladigan xato: ular (12) va (13) formulalardagi belgilarni chalkashtirib yuborishadi. Sinxning hosilasi kosinusga teng ekanligini eslab, ko'pchilik negadir sinx funksiyasining integrali cosx ga teng deb hisoblaydi. Bu haqiqat emas! Sinusning integrali "minus kosinus", lekin kosxning integrali "faqat sinus":
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Teskari trigonometrik funksiyalarga keltiruvchi integrallar
Yoy tangensiga olib keladigan formula (16), tabiiyki, a=1 uchun (17) formulaning maxsus holatidir. Xuddi shunday, (18) ham (19) ning maxsus holatidir.
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Yana murakkab integrallar
Ushbu formulalarni eslab qolish ham maqsadga muvofiqdir. Ular ham tez-tez ishlatiladi va ularning chiqishi juda zerikarli.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 yoy x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Umumiy integratsiya qoidalari
1) Ikki funktsiya yig'indisining integrali mos keladigan integrallar yig'indisiga teng: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Ikki funktsiya ayirmasining integrali tegishli integrallarning ayirmasiga teng: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Konstantani integral belgisidan chiqarish mumkin: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Ko'rinib turibdiki, xususiyat (26) oddiygina (25) va (27) xususiyatlarning birikmasidir.
4) Agar ichki funksiya chiziqli bo‘lsa, kompleks funksiyaning integrali: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Bu yerda F(x) f(x) funksiya uchun anti hosiladir. E'tibor bering, bu formula faqat ichki funktsiya Ax + B bo'lganda ishlaydi.
Muhim: ikkita funktsiya mahsulotining integrali uchun, shuningdek, kasr integrali uchun universal formula yo'q:
∫ f (x) g (x) d x =? ∫ f (x) g (x) d x =? (o'ttiz)
Bu, albatta, kasr yoki mahsulotni birlashtirish mumkin emas degani emas. Shunchaki, har safar (30) kabi integralni ko‘rganingizda, u bilan “kurash” usulini o‘ylab topishga to‘g‘ri keladi. Ba'zi hollarda qismlar bo'yicha integratsiya sizga yordam beradi, biror joyda siz o'zgaruvchini o'zgartirishingiz kerak bo'ladi va ba'zida hatto algebra yoki trigonometriyaning "maktab" formulalari ham yordam berishi mumkin.
Noaniq integralni hisoblash uchun oddiy misol
1-misol. Integralni toping: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x(25) va (26) formulalardan foydalanamiz (funksiyalar yig‘indisi yoki ayirmasi integrali mos keladigan integrallarning yig‘indisi yoki ayirmasiga teng. Biz quyidagilarga erishamiz: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x - ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Eslatib o'tamiz, doimiyni integral belgisidan chiqarish mumkin (formula (27)). Ifoda shaklga aylantiriladi
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
Endi oddiy integrallar jadvalidan foydalanamiz. Biz (3), (12), (8) va (1) formulalarni qo'llashimiz kerak. Quvvat funksiyasi, sinus, ko‘rsatkich va doimiy 1ni integrallaylik. Oxirida ixtiyoriy C doimiysini qo‘shishni unutmang:
3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C
Elementar o'zgarishlardan so'ng biz yakuniy javobni olamiz:
X 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C
O'zingizni differentsiallash bilan sinab ko'ring: natijada olingan funktsiyaning hosilasini oling va u asl integralga teng ekanligiga ishonch hosil qiling.
Integrallarning umumiy jadvali
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = log | x | + C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Integrallar jadvalini (II qism) ushbu havoladan yuklab oling
Agar siz universitetda o'qiyotgan bo'lsangiz, oliy matematikadan qiyinchiliklarga duch kelsangiz ( matematik tahlil, chiziqli algebra, ehtimollar nazariyasi, statistika), agar sizga malakali o'qituvchi xizmati kerak bo'lsa, oliy matematika bo'yicha repetitor sahifasiga o'ting. Keling, muammolaringizni birgalikda hal qilaylik!
Sizni ham qiziqtirishi mumkin
Yana salom, do'stlar!
Men va'da qilganimdek, bu darsdan biz integrallarning she'riy olamining cheksiz kengliklarida kezishni boshlaymiz va turli xil (ba'zan juda chiroyli) misollarni hal qilishni boshlaymiz. :)
Butun integral xilma-xillikni to'g'ri yo'naltirish va yo'qolmaslik uchun bizga faqat to'rtta narsa kerak:
1) Integrallar jadvali. U haqida barcha tafsilotlar . U bilan qanday ishlash kerak - bunda.
2) Noaniq integralning chiziqlilik xossalari (yig‘indining integrali/farq va doimiyga ko‘paytma).
3) Hosilalar jadvali va differensiallash qoidalari.
Ha, hayron bo'lmang! Derivativlarni hisoblash qobiliyatisiz, integratsiyani qo'lga olish uchun mutlaqo hech narsa yo'q. Qabul qiling, masalan, ko'paytirishni bilmasdan bo'linishni o'rganishning ma'nosi yo'q. :) Va juda tez orada ko'rasizki, mukammal tabaqalash ko'nikmalariga ega bo'lmasdan, elementar jadvallar doirasidan tashqariga chiqadigan biron bir jiddiy integralni hisoblab bo'lmaydi.
4) Integratsiya usullari.
Ularning soni juda ko'p. Muayyan funktsiyalar sinfi uchun - o'ziga xos. Ammo ularning boy xilma-xilligi orasida uchta asosiysi ajralib turadi:
– ,
– ,
– .
Ularning har biri haqida - alohida darslarda.
Va endi, nihoyat, uzoq kutilgan misollarni hal qilishni boshlaylik. Bo'limdan bo'limga o'tmaslik uchun men yana bir bor butun janoblar to'plamini takrorlayman, bu biz uchun foydali bo'ladi. keyingi ish. Barcha asboblarni qo'lda saqlang.)
Avvalo, bu integrallar jadvali:
Bundan tashqari, bizga noaniq integralning asosiy xususiyatlari (chiziqlilik xususiyatlari) kerak:
Xo'sh, kerakli jihozlar tayyorlangan. Ketish vaqti! :)
Jadvalni to'g'ridan-to'g'ri qo'llash
Ushbu bo'limda eng oddiy va zararsiz misollar ko'rib chiqiladi. Bu erda algoritm qo'rqitish uchun oddiy:
1) Biz jadvalga qaraymiz va kerakli formulani (formulalarni) qidiramiz;
2) chiziqlilik xususiyatlarini qo'llash (kerak bo'lganda);
3) O'zgartirishni jadvalli formulalar bo'yicha amalga oshiramiz va oxirida doimiy qo'shamiz BILAN (unutmang!) ;
4) Javobni yozing.
Shunday qilib, ketaylik.)
1-misol
Bizning jadvalimizda bunday funktsiya yo'q. Ammo quvvat funktsiyasining integrali mavjud umumiy ko'rinish(ikkinchi guruh). Bizning holatda n=5. Shunday qilib, biz n o'rniga beshni almashtiramiz va natijani diqqat bilan hisoblaymiz:
Tayyor. :)
Albatta, bu misol juda ibtidoiy. Faqat tanishish uchun.) Ammo darajalarni integrallash qobiliyati har qanday polinom va boshqa quvvat tuzilmalaridan integrallarni hisoblashni osonlashtiradi.
2-misol
Integral yig'indi ostida. Ha mayli. Bizda bu holat uchun chiziqlilik xossalari mavjud. :) Biz integralimizni uchta alohida qismga ajratamiz, barcha konstantalarni integral belgilaridan chiqaramiz va har birini jadvalga muvofiq hisoblaymiz (1-2-guruh):
Iltimos, diqqat qiling: doimiy BILAN aynan qachon paydo bo'ladi Integralning BARCHA belgilari yo'qoladi! Albatta, bundan keyin siz doimo o'zingiz bilan olib yurishingiz kerak. Nima qilish kerak…
Albatta, odatda bunday tafsilotlarni bo'yash kerak emas. Bu faqat tushunish uchun. Gapni tushunish uchun.)
Masalan, juda tez orada, ikkilanmasdan, siz yirtqich hayvonlarga aqlan javob berasiz:
Polinomlar integrallardagi eng erkin funksiyalardir.) Va diffurlarda, fizikada, materiallarning mustahkamligida va boshqa jiddiy fanlarda ko'phadlar doimiy ravishda integrallashga to'g'ri keladi. Bunga ko'nik.)
Keyingi misol biroz hiyla-nayrang bo'ladi.
3-misol
Umid qilamanki, hamma bizning integramizni shunday yozish mumkinligini tushunadi:
Integratsiya alohida, multiplikator esa dx (differensial belgi)- alohida.
Izoh: bu darsda multiplikator dx integratsiya jarayonida Xayr hech qanday tarzda ishtirok etmaydi va hozircha biz uni aqlan "bolg'alayapmiz". :) Biz faqat bilan ishlaymiz integral. Ammo u haqida unutmasligimiz kerak. Tez orada, tom ma'noda keyingi dars bag'ishlangan, biz uni eslaymiz. Va biz ushbu belgining ahamiyati va kuchini to'liq his qilamiz!)
Bu orada bizning nigohimiz integral funksiyaga qaratiladi
Quvvat funksiyasiga unchalik o‘xshamaydi, lekin shunday. :) Agar biz ildizlar va darajalarning maktab xususiyatlarini eslasak, u holda bizning funktsiyamizni o'zgartirishimiz mumkin:
X esa minus uchdan ikkisining kuchiga teng jadval funktsiyasi! Ikkinchi guruh n=-2/3. Va doimiy 1/2 bizga to'sqinlik qilmaydi. Biz uni integral belgisidan tashqarida va to'g'ridan-to'g'ri biz ko'rib chiqadigan formula bo'yicha olamiz:
Ushbu misolda bizga yordam berildi elementar xususiyatlar daraja. Ko'p hollarda, integral ostida bitta ildiz yoki kasr mavjud bo'lganda, buni shunday qilish kerak. Shuning uchun, er-xotin amaliy maslahat kuch tuzilmalarini birlashtirishda:
Kasrlarni darajalar bilan manfiy ko'rsatkichlar bilan almashtiramiz;
Biz ildizlarni kasr ko'rsatkichlari bilan darajalar bilan almashtiramiz.
Ammo yakuniy javobda darajalardan kasrlar va ildizlarga o'tish ta'mga bog'liq. Shaxsan men orqaga qaytaman - bu estetik jihatdan yoqimli yoki biror narsa.
Va iltimos, barcha kasrlarni diqqat bilan hisoblang! Biz belgilarni diqqat bilan kuzatib boramiz va nima qaerga ketadi - hisoblagich nima va maxraj nima.
Nima? Allaqachon zerikarli quvvat funktsiyalaridan charchadingizmi? Ha mayli! Biz buqani shoxlaridan olamiz!
4-misol
Agar endi biz integral ostidagi hamma narsani umumiy maxrajga keltirsak, u holda bu misolda jiddiy va uzoq vaqt qolib ketishimiz mumkin.) Ammo integralga chuqurroq nazar tashlasak, bizning farqimiz ikkita jadval funksiyasidan iborat ekanligini ko‘rish mumkin. Shunday qilib, keling, buzg'unchilik qilmaylik, aksincha, integralimizni ikkiga kengaytiraylik:
Birinchi integral oddiy daraja funksiyasi (2-guruh, n=-1): 1/x = x -1 .
Antiderivativ quvvat funktsiyasi uchun an'anaviy formulamiz
Bu erda ishlamaydi, lekin biz uchun n=-1 munosib alternativ bor - tabiiy logarifm bilan formula. Bunisi:
Keyin, ushbu formulaga ko'ra, birinchi kasr quyidagi tarzda integrallanadi:
Va ikkinchi kasr shuningdek, jadval funktsiyasi! O'rgandingizmi? Ha! Bu yettinchi"yuqori" logarifmli formula:
Ushbu formuladagi doimiy "a" ikkiga teng: a=2.
Muhim eslatma: Iltimos, doimiyga e'tibor beringBILAN oraliq integratsiya bilan I hech qayerda Men atribut qilmayman! Nega? Chunki u yakuniy javobga boradi butun misol. Bu yetarli.) Toʻgʻrisini aytganda, doimiy har bir individual integratsiyadan keyin yozilishi kerak - kamida oraliq, hech boʻlmaganda yakuniy: shuning uchun noaniq integral talab qiladi ...)
Masalan, birinchi integratsiyadan keyin men yozishim kerak edi:
Ikkinchi integratsiyadan keyin:
Ammo hamma narsa shundaki, ixtiyoriy doimiylarning yig'indisi / farqi shuningdek, ba'zi doimiy! Bizning holatda, yakuniy javob uchun bizga birinchi integral kerak ayirish ikkinchi. Shunda biz muvaffaqiyatga erishamiz farq ikkita oraliq konstanta:
C 1 -C 2
Va biz konstantalarning bu farqini almashtirishga to'liq haqlimiz bitta doimiy! Va shunchaki bizga tanish bo'lgan "C" harfi bilan uni qayta belgilang. Mana bunday:
C 1 -C 2 \u003d C
Shunday qilib, biz ushbu doimiyni belgilaymiz BILAN yakuniy natijaga va javobni oling:
Ha, ular kasrlar! Birlashtirilganda ko'p qavatli logarifmlar eng keng tarqalgan narsadir. Biz ham ko'nikamiz.)
Eslab qoling:
Bir nechta atamalarning oraliq integratsiyasi bilan doimiy BILAN ularning har biridan keyin siz yozolmaysiz. Uni butun misolning yakuniy javobiga kiritish kifoya. So'ngida.
Keyingi misol ham kasr bilan. Isitish uchun.)
5-misol
Jadvalda, albatta, bunday funktsiya yo'q. Lekin bor o'xshash funktsiya:
Bu oxirgisi sakkizinchi formula. Arktangent bilan. :)
Bunisi:
Va Xudoning O'zi bizga integralimizni ushbu formulaga moslashtirishni buyurdi! Ammo bitta muammo bor: oldingi jadval formulasida x 2 koeffitsient yo'q, lekin bizda to'qqiz bor. Formuladan hali to'g'ridan-to'g'ri foydalana olmaymiz. Ammo bizning holatlarimizda muammo butunlay hal qilinadi. Keling, avval bu to'qqiztani qavs ichidan chiqaramiz, keyin esa uni kasr chegarasidan chiqaramiz.)
Yangi kasr esa 8-raqamda bizga kerak bo'lgan jadval funksiyasi! Bu yerga a 2 \u003d 4/9. Yoki a=2/3.
Hammasi. Biz integral belgining 1/9 qismini olamiz va sakkizinchi formuladan foydalanamiz:
Mana javob. Bu misol, oldingi koeffitsient bilan x 2, Men buni shunday tanladim. Bunday hollarda nima qilish kerakligini aniq qilish uchun. :) Agar oldin bo'lsa x 2 koeffitsient yo'q, keyin bunday kasrlar ham ongda birlashtiriladi.
Masalan:
Bu yerga a 2 = 5, shuning uchun "a" ning o'zi "beshning ildizi" bo'ladi. Umuman olganda, siz tushunasiz.)
Va endi biz funktsiyamizni biroz o'zgartiramiz: maxrajni ildiz ostida yozamiz.) Endi biz shunday integralni olamiz:
6-misol
Maxrajning ildizi bor. Tabiiyki, integratsiya uchun mos formula ham o'zgardi, ha.) Yana biz stolga chiqamiz va to'g'risini qidiramiz. Biz 5 va 6-guruh formulalarida ildizlarga egamiz. Ammo oltinchi guruhda faqat ildizlar ostida farq bor. Va bizda summa bor. Shunday qilib, biz ishlaymiz beshinchi formula, "uzun" logarifm bilan:
Raqam A bizda beshta. Formulani almashtiring va quyidagilarni oling:
Va hamma narsa. Bu javob. Ha, ha, bu juda oddiy!
Agar shubhalar paydo bo'lsa, natijani teskari farqlash orqali tekshirish har doim mumkin (va zarur). Tekshiramizmi? Va keyin birdan, qandaydir axloqsizlikmi?
Biz farqlaymiz (modulga e'tibor bermaymiz va uni oddiy qavslar sifatida qabul qilamiz):
Hammasi adolatli. :)
Aytgancha, agar ildiz ostidagi integranda belgini ortiqcha dan minusga o'zgartiradigan bo'lsak, u holda integratsiya formulasi bir xil bo'lib qoladi. Ildiz ostidagi jadvalda bu tasodif emas ortiqcha/minus. :)
Masalan:
Muhim! Minus bo'lsa birinchi ildiz ostidagi joy aniq bo'lishi kerak x 2, va yana ikkinchi – raqam. Agar ildiz ostida hamma narsa teskari bo'lsa, unda tegishli jadval formulasi allaqachon bo'ladi boshqa!
7-misol
Ildiz ostida yana minus, lekin x 2 beshta o'rin almashgan. Ko'rinishidan o'xshash, lekin bir xil emas... Bizning jadvalimizda ham bu holat uchun formula mavjud.) Oltinchi formula, biz u bilan hali ishlaganimiz yo'q:
Va endi - ehtiyotkorlik bilan. Oldingi misolda bizning beshligimiz raqam sifatida harakat qildi A . Bu erda beshlik raqam sifatida ishlaydi va 2!
Shuning uchun formulani to'g'ri qo'llash uchun beshta ildizni olishni unutmang:
Va endi misol bir bosqichda hal qilinadi. :)
Mana shunaqa! Faqat ildiz ostidagi atamalar o'rnini o'zgartirdi va integratsiya natijasi sezilarli darajada o'zgardi! Logarifm va arksinus... iltimos bu ikki formulani chalkashtirmang! Garchi integrallar juda o'xshash bo'lsa ham ...
Bonus:
7-8-jadval formulalarida logarifm va yoy tangensidan oldin koeffitsientlar mavjud 1/(2a) Va 1/a mos ravishda. Vahima qo'zg'atadigan jangovar vaziyatda, ushbu formulalarni yozishda, hatto tadqiqotlar natijasida qotib qolgan ahmoqlar ham ko'pincha qayerda ekanliklarini chalkashtirib yuborishadi. 1/a, qayerda 1/(2a). Mana sizga eslab qolish uchun oddiy hiyla.
7-raqamli formulada
Integrandning maxraji kvadratlar farqi x 2 - a 2. Qo'rqinchli maktab formulasiga ko'ra, bu kabi parchalanadi (x-a)(x+a). Yoniq ikki multiplikator. Kalit so'z - ikki. Va bular ikki integratsiyalashganda qavslar logarifmga boradi: minus yuqoriga, ortiqcha bilan - pastga.) Va logarifm oldidagi koeffitsient ham 1/( 2 A).
Ammo 8-raqamli formulada
Kasrning maxraji kvadratlar yig'indisi. Ammo kvadratlarning yig'indisi x2 +a2 oddiyroq omillarga ajralmas. Shuning uchun kim nima desa, u maxrajda qoladi bitta omil. Va yoy tangensi oldidagi koeffitsient ham 1/a bo'ladi.
Va endi, o'zgartirish uchun, keling, trigonometriyadan biror narsani integrallaylik.)
8-misol
Misol oddiy. Shu qadar soddaki, odamlar stolga qaramay, darhol xursandchilik bilan javob yozadilar va ... ular etib kelishdi. :)
Biz belgilarga amal qilamiz! Bu sinuslar/kosinuslarni integratsiyalashda eng ko'p uchraydigan xatodir. Derivativlar bilan aralashtirmang!
Ha, (gunoh x)" = cos x Va (cos x)’ = - gunoh x.
Lekin!
Odamlar odatda hosilalarni hech bo'lmaganda eslab qolishganligi sababli, belgilarda chalkashmaslik uchun bu erda integrallarni eslab qolish texnikasi juda oddiy:
Sinus/kosinusning integrali = minus bir xil sinus/kosinusning hosilasi.
Masalan, biz maktabdan sinusning hosilasi kosinusga teng ekanligini bilamiz:
(gunoh x)" = cos x.
Keyin uchun integral xuddi shu sinusdan to'g'ri bo'ladi:
Va bu.) Kosinus bilan bir xil narsa.
Keling, misolimizni tuzatamiz:
Integrandning dastlabki elementar transformatsiyalari
Shu paytgacha eng oddiy misollar bor edi. Jadval qanday ishlashini his qilish va formulani tanlashda xato qilmaslik uchun.)
Albatta, biz oddiy o'zgarishlarni amalga oshirdik - biz omillarni ajratib oldik, ularni shartlarga ajratdik. Ammo javob hali ham u yoki bu tarzda yuzada yotardi.) Ammo ... Agar integrallarni hisoblash faqat jadvaldan to'g'ridan-to'g'ri foydalanish bilan chegaralangan bo'lsa, u holda atrofda to'liq erkinlik paydo bo'ladi va hayot zerikarli bo'lar edi.)
Endi aniqroq misollarni ko'rib chiqaylik. To'g'ridan-to'g'ri, hech narsa hal qilinmaganga o'xshaydi. Ammo boshlang'ich maktab formulalari yoki o'zgarishlarini tom ma'noda eslab qolish kerak, chunki javobga yo'l oddiy va tushunarli bo'ladi. :)
Trigonometriya formulalarini qo'llash
Keling, trigonometriya bilan zavqlanishda davom etaylik.
9-misol
Jadvalda bunday funktsiya yo'q. Lekin ichida maktab trigonometriyasi bu kam ma'lum identifikatsiya mavjud:
Endi biz undan kerakli tangens kvadratini ifodalaymiz va uni integral ostiga kiritamiz:
Bu nima uchun qilingan? Va keyin, bunday o'zgartirishdan so'ng, bizning integralimiz ikkita jadvalga tushiriladi va esga olinadi!
Qarang:
Endi harakatlarimizni tahlil qilaylik. Bir qarashda hamma narsa oddiy ko'rinadi. Ammo bu haqda o'ylab ko'raylik. Agar vazifamiz bo'lsa edi farqlash Xuddi shu funktsiya, keyin biz bo'lar edik aynan nima qilish kerakligini aniq bilardi - ariza berish formula murakkab funktsiyaning hosilasi:
Va tamom. Oddiy va muammosiz texnologiya. U har doim ishlaydi va muvaffaqiyatga olib kelishi kafolatlanadi.
Ammo integral haqida nima deyish mumkin? Va bu erda biz trigonometriyani qazishimiz kerak edi, u qandaydir tarzda chiqib ketishimizga va integralni jadvalga tushirishga yordam beradi degan umidda noaniq formulalarni qazishimiz kerak edi. Va bu bizga yordam berishi haqiqat emas, bu umuman haqiqat emas ... Shuning uchun integratsiya farqlashdan ko'ra ko'proq ijodiy jarayondir. San'at, men hatto aytgan bo'lardim. :) Va bu eng qiyin misol emas. Bu faqat boshlanishi!
10-misol
Nima ilhomlantiradi? Integrallar jadvali hali ham kuchsiz, ha. Ammo, agar siz trigonometrik formulalar xazinamizni yana bir bor ko'rib chiqsangiz, juda va juda foydali narsalarni topishingiz mumkin. Ikki burchakli kosinus formulasi:
Shunday qilib, biz bu formulani integralimizga qo'llaymiz. "Alfa" rolida bizda x / 2 bor.
Biz olamiz:
Effekt ajoyib, to'g'rimi?
Bu ikki misol aniq ko'rsatadiki, funktsiyaning oldingi o'zgarishi integratsiyadan oldin juda maqbul va ba'zan hayotni juda osonlashtiradi! Va integratsiyada bu protsedura (integrandni o'zgartirish) farqlashdan ko'ra ko'proq asosli kattalik tartibidir. Keyinchalik ko'rasiz.)
Keling, yana bir nechta odatiy o'zgarishlarni ko'rib chiqaylik.
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari, qavslarni kengaytirish, yoqtirishlarni kamaytirish va atamalarni bo'lish usuli.
Odatdagi oddiy maktab o'zgarishlari. Ammo ba'zida ular faqat tejashadi, ha.)
11-misol
Agar biz lotinni ko'rib chiqsak, unda muammo yo'q: mahsulotning hosilasi uchun formula va - oldinga. Ammo standart formula integral asardan mavjud emas. Va bu erdan chiqishning yagona yo'li - barcha qavslarni ochish, shunda integral ostida polinom olinadi. Va biz qandaydir tarzda polinomni integrallaymiz.) Ammo biz qavslarni ham oqilona ochamiz: qisqartirilgan ko'paytirish formulalari kuchli narsadir!
(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1
Va endi biz ko'rib chiqamiz:
Va hamma narsa.)
1-misol2
Shunga qaramay, standart formula kasr integrali mavjud emas. Biroq, integrandning maxraji o'z ichiga oladi yolg'iz x. Bu vaziyatni tubdan o'zgartiradi.) Keling, hisoblagichni maxraj a'zolariga bo'linib, dahshatli kasrimizni jadvalli quvvat funktsiyalarining zararsiz yig'indisiga kamaytiramiz:
Men darajalarni integratsiya qilish tartibi haqida alohida izoh bermayman: ular endi kichik emas.)
Biz quvvat funktsiyalari yig'indisini birlashtiramiz. Plastinka bo'yicha.)
Hammasi shu.) Aytgancha, agar maxraj x bo'lmasa, lekin aytaylik: x+1, mana bunday:
Keyin a'zolar bo'linishi bilan bu hiyla osonlikcha ketmagan bo'lardi. Buning sababi hisoblagichda ildizning, maxrajda esa bittaning mavjudligi. Men ildizdan qutulishim kerak edi. Ammo bunday integrallar ancha murakkab. Ular haqida - boshqa darslarda.
Qarang! Funktsiyani biroz o'zgartirish kerak - uning integratsiyalashuviga yondashuv darhol o'zgaradi. Ba'zan keskin!) Aniq standart sxema yo'q. Har bir funktsiya o'z yondashuviga ega. Ba'zan hatto o'ziga xos.
Ba'zi hollarda kasrlarga aylantirish yanada qiyinroq.
13-misol
Va bu erda, qanday qilib integralni jadvallar to'plamiga qisqartirish mumkin? Bu erda siz ifodani qo'shish va ayirish orqali mohirlik bilan qochishingiz mumkin x2 kasrning sonidan keyin atama bo'limida. Integrallarni juda mohirona qabul qilish! Master-klassni tomosha qiling! :)
Va endi, agar biz asl kasrni ikki kasrning farqi bilan almashtirsak, bizning integralimiz ikkita jadvalga bo'linadi - allaqachon tanish bo'lgan quvvat funktsiyasi va yoy tangensi (8-formula):
Xo'sh, nima deyishim mumkin? Voy-buy!
Ushbu qo'shish/ayirish numerator nayrangi ratsional kasrlarni integratsiyalashda juda mashhur. Juda! Men e'tiborga olishni tavsiya qilaman.
14-misol
Bu erda ham bir xil texnologiya qoidalari. Numeratordan maxrajdagi ifodani tanlash uchun faqat bittasini qo'shish / ayirish kerak:
Umuman olganda, ratsional kasrlar (hisob va maxrajdagi polinomlar bilan) alohida juda keng mavzudir. Gap shundaki, ratsional kasrlar funksiyalarning juda kam sonli sinflaridan biri bo'lib, ular uchun universal integrallash usuli mavjud. mavjud. bilan birlashtirilgan oddiy kasrlarga parchalanish usuli . Ammo bu usul juda ko'p vaqt talab qiladi va odatda og'ir artilleriya sifatida ishlatiladi. Unga bir nechta darslar bag'ishlanadi. Ayni paytda biz oddiy funktsiyalarni o'rgatyapmiz va qo'limizni o'rganyapmiz.
Keling, bugungi darsimizni umumlashtiramiz.
Bugun biz barcha nuanslar bilan jadvaldan qanday foydalanishni batafsil ko'rib chiqdik, ko'plab misollarni (va eng ahamiyatsizlarini emas) tahlil qildik va integrallarni jadvallilarga kamaytirishning eng oddiy usullari bilan tanishdik. Va endi biz shunday qilamiz Har doim. Integral ostida qanday dahshatli funktsiya bo'lishidan qat'i nazar, turli xil o'zgarishlar yordamida biz ertami-kechmi integralimiz u yoki bu tarzda jadvallar to'plamiga aylanishini ta'minlaymiz.
Bir nechta amaliy maslahatlar.
1) Agar integral ostida darajalar yig'indisi (ildizlari) bo'lgan kasr, maxrajda esa - yolg'iz x, keyin sonning maxrajga bo'linishidan foydalanamiz. Biz ildizlarni kuchlar bilan almashtiramiz kasr ko'rsatkichlari va 1-2 formulalar bo'yicha ishlang.
2) Trigonometrik konstruktsiyalarda, birinchi navbatda, biz trigonometriyaning asosiy formulalarini sinab ko'ramiz - ikki / uch burchak,
Bu juda omadli bo'lishi mumkin. Yoki yo'q ...
3) Zarur bo'lganda (ayniqsa, ko'phad va kasrlarda) foydalanamizQisqartirilgan ko'paytirish formulalari:
(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2
(a-b)(a+b) = a 2 -b 2
4) Kasrlarni ko‘phad bilan integrallashda maxrajdagi sanoqdagi ifoda (lar)ni sun’iy ravishda ajratib ko‘rsatishga harakat qilamiz. Ko'pincha kasr soddalashtiriladi va integral jadvallilarning kombinatsiyasiga qisqartiriladi.
Xo'sh, do'stlar? Men sizga integrallarni yoqtirishni boshlaganingizni ko'raman. :) Keyin biz qo'limizni to'ldiramiz va misollarni o'zimiz hal qilamiz.) Bugungi material ular bilan muvaffaqiyatli kurashish uchun etarli.
Nima? Bilmayman, ? Ha! Biz hali buni boshdan kechirmadik.) Lekin bu erda ularni to'g'ridan-to'g'ri integratsiya qilish kerak emas. Va maktab kursi sizga yordam bersin!)
Javoblar (tartibsiz):
Yaxshiroq natijalarga erishish uchun men G.N. matan bo'yicha muammolar to'plamini sotib olishni qat'iy tavsiya qilaman. Berman. Ajoyib narsalar!
Va bugun menda bor narsa shu. Omad!
