Birinchi daraja

Daraja va uning xususiyatlari. Keng qamrovli qoʻllanma (2019)

Nima uchun darajalar kerak? Ular qayerda kerak? Nega ularni o'rganishga vaqt sarflashingiz kerak?

Darajalar, ular nimaga mo'ljallanganligi, bilimlaringizdan qanday foydalanish haqida hamma narsani bilib oling Kundalik hayot ushbu maqolani o'qing.

Va, albatta, darajalarni bilish sizni muvaffaqiyatga yaqinlashtiradi OGE dan o'tish yoki Yagona davlat imtihonini topshirish va orzuingizdagi universitetga kirish.

Ketdik... (Ketaylik!)

Muhim eslatma! Agar formulalar o'rniga bema'ni gaplarni ko'rsangiz, keshni tozalang. Buning uchun CTRL+F5 (Windows-da) yoki Cmd+R (Mac-da) tugmalarini bosing.

BIRINCHI DARAJA

Ko'rsatkich qo'shish, ayirish, ko'paytirish yoki bo'lish kabi bir xil matematik amaldir.

Endi men hamma narsani tushuntiraman inson tili juda oddiy misollar. Ehtiyot bo'ling. Misollar oddiy, ammo muhim narsalarni tushuntiradi.

Qo'shish bilan boshlaylik.

Bu erda tushuntirish uchun hech narsa yo'q. Siz allaqachon hamma narsani bilasiz: biz sakkiz kishimiz. Har birida ikkita shisha kola bor. Kola qancha? To'g'ri - 16 shisha.

Endi ko'paytirish.

Kola bilan bir xil misolni boshqacha yozish mumkin: . Matematiklar ayyor va dangasa odamlardir. Ular birinchi navbatda ba'zi naqshlarni payqashadi, keyin esa ularni tezroq "hisoblash" usulini o'ylab topadilar. Bizning holatda, ular sakkiz kishining har birida bir xil miqdordagi kola shishasi borligini payqashdi va ko'paytirish deb nomlangan texnikani o'ylab topishdi. Qabul qiling, bu osonroq va tezroq hisoblanadi.

Shunday qilib, tezroq, osonroq va xatosiz hisoblash uchun siz shunchaki eslab qolishingiz kerak ko'paytirish jadvali. Albatta, siz hamma narsani sekinroq, qiyinroq va xatolar bilan qilishingiz mumkin! Lekin…

Mana ko'paytirish jadvali. Takrorlang.

Va yana bir, chiroyliroq:

Va dangasa matematiklar yana qanday hiyla-nayranglarni o'ylab topishdi? To'g'ri - raqamni kuchga ko'tarish.

Raqamni kuchga ko'tarish

Agar raqamni besh marta ko'paytirish kerak bo'lsa, matematiklar bu raqamni beshinchi darajaga ko'tarish kerakligini aytishadi. Masalan, . Matematiklar ikkidan beshinchi darajagacha ekanligini eslashadi. Va ular bunday muammolarni o'z ongida hal qilishadi - tezroq, osonroq va xatosiz.

Buning uchun sizga faqat kerak raqamlarning kuchlari jadvalida nima rang bilan ta'kidlanganligini eslang. Ishoning, bu sizning hayotingizni ancha osonlashtiradi.

Aytgancha, nima uchun ikkinchi daraja deyiladi kvadrat raqamlar, uchinchisi kub? Bu nima degani? Juda yaxshi savol. Endi siz kvadrat va kublarga ega bo'lasiz.

Haqiqiy hayot misoli №1

Keling, kvadrat yoki sonning ikkinchi darajasidan boshlaylik.

Tasavvur qiling-a, kvadrat metrlar bilan o'lchanadigan hovuz. Hovuz sizning hovlingizda. Havo issiq va men suzishni juda xohlayman. Lekin ... tubsiz hovuz! Hovuzning pastki qismini plitkalar bilan qoplash kerak. Sizga qancha plitka kerak? Buni aniqlash uchun siz hovuz tubining maydonini bilishingiz kerak.

Hovuzning tubi bir necha metr kubiklardan iborat ekanligini barmog'ingizni tekkizish orqali hisoblashingiz mumkin. Agar plitkalaringiz metr metr bo'lsa, sizga bo'laklar kerak bo'ladi. Bu oson... Lekin bunday kafelni qayerda ko'rdingiz? Plitka ko'proq sm sm bo'ladi va keyin siz "barmog'ingiz bilan hisoblash" bilan azoblanasiz. Keyin ko'paytirish kerak. Shunday qilib, hovuzning pastki qismining bir tomonida biz plitkalar (bo'laklar), ikkinchisida esa plitkalarni o'rnatamiz. ga ko'paytirsangiz, siz plitkalarni olasiz ().

Hovuz tubining maydonini aniqlash uchun bir xil sonni o'z-o'zidan ko'paytirganimizni payqadingizmi? Bu nima degani? Xuddi shu son ko'paytirilsa, biz eksponentatsiya texnikasidan foydalanishimiz mumkin. (Albatta, sizda faqat ikkita raqam bo'lsa, siz ularni ko'paytirishingiz yoki ularni bir darajaga ko'tarishingiz kerak. Ammo agar sizda ular ko'p bo'lsa, unda kuchga ko'tarish ancha osonlashadi va hisob-kitoblarda xatolar ham kamroq bo'ladi. Imtihon uchun bu juda muhim).
Shunday qilib, o'ttizdan ikkinchi darajaga () bo'ladi. Yoki o'ttiz kvadrat bo'ladi, deb ayta olasiz. Boshqacha qilib aytganda, sonning ikkinchi darajasi har doim kvadrat shaklida ifodalanishi mumkin. Va aksincha, agar siz kvadratni ko'rsangiz, u har doim qandaydir sonning ikkinchi darajasidir. Kvadrat sonning ikkinchi darajasining tasviridir.

Haqiqiy hayot misoli №2

Mana sizga topshiriq, raqamning kvadratidan foydalanib shaxmat taxtasida nechta kvadrat borligini hisoblang ... Hujayralarning bir tomonida va boshqa tomonida ham. Ularning sonini hisoblash uchun sakkizni sakkizga ko'paytirish kerak, yoki ... agar shaxmat taxtasi bir tomoni bo'lgan kvadrat ekanligini sezsangiz, sakkizni kvadratga olishingiz mumkin. Hujayralarni oling. () Xo'sh?

Haqiqiy hayot misoli №3

Endi kub yoki raqamning uchinchi darajasi. Xuddi shu hovuz. Ammo endi siz ushbu hovuzga qancha suv quyish kerakligini bilib olishingiz kerak. Ovozni hisoblashingiz kerak. (Aytgancha, hajmlar va suyuqliklar o'lchanadi kub metr. Kutilmaganda, to'g'rimi?) Hovuz chizing: pastki qismi bir metr o'lchamda va bir metr chuqurlikda va sizning hovuzingizga jami necha metr metr kubik tushishini hisoblab ko'ring.

Barmog'ingizni ko'rsating va hisoblang! Bir, ikki, uch, to'rt... yigirma ikki, yigirma uch... Qancha chiqdi? Yo'qolmadingizmi? Barmog'ingiz bilan hisoblash qiyinmi? Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida! Matematiklardan misol keltiring. Ular dangasa, shuning uchun ular hovuz hajmini hisoblash uchun uning uzunligini, kengligini va balandligini bir-biriga ko'paytirish kerakligini payqashdi. Bizning holatda, hovuzning hajmi kublarga teng bo'ladi ... Osonroq, to'g'rimi?

Endi tasavvur qiling-a, matematiklar qanchalik dangasa va ayyor, agar ular buni juda oson qilishsa. Hamma narsani bitta harakatga qisqartirdi. Ular uzunlik, kenglik va balandlik teng ekanligini va bir xil son o'z-o'zidan ko'paytirilishini payqashdi ... Va bu nimani anglatadi? Bu siz darajani ishlatishingiz mumkin degan ma'noni anglatadi. Shunday qilib, siz bir marta barmoq bilan hisoblagan narsangizni ular bitta harakatda bajaradilar: kubdagi uchtasi teng. Bu shunday yozilgan:

Faqatgina qoladi darajalar jadvalini yodlash. Albatta, siz matematiklar kabi dangasa va ayyor bo'lmasangiz. Agar siz qattiq ishlashni va xato qilishni yaxshi ko'rsangiz, barmog'ingiz bilan hisoblashni davom ettirishingiz mumkin.

Nihoyat, sizni darajalarni loaferlar va ayyor odamlar o'zlarining hayotiy muammolarini hal qilish uchun ixtiro qilganiga va siz uchun muammo yaratmaslikka ishontirish uchun hayotdan yana bir nechta misollar.

Haqiqiy hayot misoli №4

Sizda million rubl bor. Har yilning boshida siz har million uchun yana bir million ishlab topasiz. Ya'ni, har bir yil boshida sizning millioningiz ikki barobar ortadi. Yillar ichida qancha pulingiz bo'ladi? Agar siz hozir o'tirsangiz va "barmog'ingiz bilan hisoblasangiz", unda siz juda mehnatkash odamsiz va .. ahmoqsiz. Ammo, ehtimol, siz bir necha soniya ichida javob berasiz, chunki siz aqllisiz! Shunday qilib, birinchi yilda - ikki marta ikki ... ikkinchi yilda - nima bo'ldi, yana ikkiga, uchinchi yilda ... To'xtang! Raqam bir marta o'ziga ko'paytirilishini payqadingiz. Shunday qilib, ikkidan beshinchi daraja millionga teng! Endi tasavvur qiling-a, sizda raqobat bor va kim tezroq hisoblaydi, shu millionlarni oladi ... Raqamlarning darajalarini eslab qolishga arziydimi, nima deb o'ylaysiz?

Haqiqiy hayot misoli №5

Sizda million bor. Har yil boshida siz har millionga ikki ko'proq pul olasiz. Ajoyib, to'g'rimi? Har bir million uch baravar ko'payadi. Bir yilda qancha pulingiz bo'ladi? Keling, hisoblaylik. Birinchi yil - ko'paytiring, keyin boshqa natija ... Bu allaqachon zerikarli, chunki siz allaqachon hamma narsani tushundingiz: uchta o'z-o'zidan marta ko'paytiriladi. Shunday qilib, to'rtinchi kuch - million. Siz faqat uchtadan to'rtinchi darajagacha yoki ekanligini yodda tutishingiz kerak.

Endi bilasizki, raqamni kuchga ko'tarib, hayotingizni ancha osonlashtirasiz. Keling, darajalar bilan nima qilishingiz mumkinligini va ular haqida nimani bilishingiz kerakligini batafsil ko'rib chiqaylik.

Atamalar va tushunchalar ... chalkashmaslik uchun

Shunday qilib, birinchi navbatda, tushunchalarni aniqlaymiz. Nima deb o'ylaysan, ko'rsatkich nima? Bu juda oddiy - bu raqamning kuchining "tepasida" joylashgan raqam. Ilmiy emas, lekin aniq va eslab qolish oson ...

Xo'sh, ayni paytda, nima shunday daraja bazasi? Bundan ham oddiyroq raqam pastki qismida, tagida joylashgan.

Ishonch hosil qilishingiz uchun rasm.

Xo'sh va ichkarida umumiy ko'rinish umumlashtirish va yaxshiroq eslab qolish uchun ... "" asosi va "" ko'rsatkichli daraja "darajaga" deb o'qiladi va quyidagicha yoziladi:

Natural ko'rsatkichli sonning kuchi

Ehtimol, siz allaqachon taxmin qilgansiz: chunki eksponent natural son. Ha, lekin nima natural son? Boshlang'ich! Natural sonlar - ob'ektlarni sanab o'tishda sanashda qo'llaniladigan raqamlar: bir, ikki, uch ... Biz elementlarni hisoblaganimizda, biz: "minus besh", "minus olti", "minus etti" demaymiz. Biz ham “uchdan bir” yoki “nol ball besh o‘ndan bir” demaymiz. Bu natural sonlar emas. Sizningcha, bu raqamlar nima?

"Minus besh", "minus olti", "minus etti" kabi raqamlarga ishora qiladi butun sonlar. Umuman olganda, butun sonlar barcha natural sonlarni, natural sonlarga qarama-qarshi sonlarni (ya'ni minus belgisi bilan olingan) va sonni o'z ichiga oladi. Nolni tushunish oson - bu hech narsa yo'q bo'lganda. Va salbiy ("minus") raqamlar nimani anglatadi? Ammo ular birinchi navbatda qarzlarni ko'rsatish uchun ixtiro qilingan: agar sizning telefoningizda rublda balansingiz bo'lsa, bu sizning operatorga rubl qarzingiz borligini anglatadi.

Barcha kasrlar ratsional sonlardir. Sizningcha, ular qanday paydo bo'ldi? Juda oddiy. Bir necha ming yil oldin ota-bobolarimiz uzunlik, og'irlik, maydon va hokazolarni o'lchash uchun tabiiy raqamlar etarli emasligini aniqladilar. Va ular o'ylab topishdi ratsional sonlar... Qiziq, shunday emasmi?

Bundan tashqari, irratsional raqamlar ham mavjud. Bu raqamlar nima? Qisqasi, cheksiz kasr. Misol uchun, agar siz aylananing atrofini uning diametriga bo'lsangiz, unda siz irratsional sonni olasiz.

Xulosa:

Ko‘rsatkichi natural son (ya’ni butun va musbat) bo‘lgan daraja tushunchasini aniqlaymiz.

Birinchi darajali har qanday raqam o'ziga teng:
Raqamni kvadratga aylantirish uni o'ziga ko'paytirishni anglatadi:
Raqamni kub qilish uchun uni o'ziga uch marta ko'paytirish kerak:

Ta'rif. Raqamni tabiiy darajaga ko'tarish sonni o'z-o'zidan marta ko'paytirishdir:
.

Darajaning xususiyatlari

Bu xususiyatlar qayerdan kelgan? Men sizga hozir ko'rsataman.

Keling, nima ekanligini ko'rib chiqaylik Va ?

A-prior:

Jami nechta ko‘paytuvchi bor?

Bu juda oddiy: omillarga omillarni qo'shdik, natijada omillar.

Ammo ta'rifga ko'ra, bu ko'rsatkichli sonning darajasi, ya'ni: , isbotlanishi kerak edi.

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Yechim:

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Yechim: Shuni ta'kidlash kerakki, bizning qoidamizda Majburiy bo'lishi kerak bir xil asoslar!
Shuning uchun biz darajalarni baza bilan birlashtiramiz, lekin alohida omil bo'lib qolamiz:

faqat kuchlar mahsulotlari uchun!

Hech qanday holatda buni yozmasligingiz kerak.

2. ya'ni -sonning darajasi

Oldingi xususiyatda bo'lgani kabi, daraja ta'rifiga murojaat qilaylik:

Ma'lum bo'lishicha, ifoda o'z-o'zidan bir marta ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu sonning 1-chi darajasi:

Aslida, buni "indikatorni qavslash" deb atash mumkin. Ammo siz buni hech qachon umuman qila olmaysiz:

Qisqartirilgan ko'paytirish uchun formulalarni eslaylik: biz necha marta yozmoqchi edik?

Lekin bu haqiqat emas.

Salbiy bazaga ega daraja

Shu nuqtaga qadar biz faqat ko'rsatkich nima bo'lishi kerakligini muhokama qildik.

Lekin asos nima bo'lishi kerak?

dan darajalarda tabiiy ko'rsatkich asos bo'lishi mumkin har qanday raqam. Darhaqiqat, biz har qanday raqamni bir-biriga ko'paytirishimiz mumkin, ular ijobiy, salbiy yoki hatto.

Keling, qanday belgilar ("" yoki "") musbat va salbiy sonlarning darajalariga ega bo'lishini o'ylab ko'raylik?

Masalan, raqam ijobiy yoki salbiy bo'ladimi? A? ? Birinchisi bilan hamma narsa aniq: biz bir-birimiz bilan qancha ijobiy sonlarni ko'paytirsak ham, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy tomonlari biroz qiziqroq. Axir, biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minus marta minus ortiqcha beradi". Ya'ni, yoki. Ammo ko'paytirsak, bu chiqadi.

Quyidagi iboralar qanday belgiga ega bo'lishini o'zingiz aniqlang:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Siz boshqardingizmi?

Mana javoblar: Birinchi to'rtta misolda hamma narsa aniq deb umid qilamanmi? Biz shunchaki asos va ko'rsatkichga qaraymiz va tegishli qoidani qo'llaymiz.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5-misolda), hamma narsa ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: baza nimaga teng bo'lishi muhim emas - daraja teng, ya'ni natija har doim ijobiy bo'ladi.

Xo'sh, baza nolga teng bo'lgan hollar bundan mustasno. Baza bir xil emas, shunday emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oddiy emas!

6 ta amaliyotga misollar

Yechim tahlili 6 ta misol

Sakkizinchi darajaga e'tibor bermasak, bu erda nimani ko'ramiz? Keling, 7-sinf dasturini ko'rib chiqaylik. Xo'sh, esingizdami? Bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi, ya'ni kvadratlar farqi! Biz olamiz:

Biz maxrajga diqqat bilan qaraymiz. Bu numerator omillardan biriga o'xshaydi, lekin nima noto'g'ri? Shartlarning noto'g'ri tartibi. Agar ular almashtirilgan bo'lsa, qoida amal qilishi mumkin edi.

Lekin buni qanday qilish kerak? Ma'lum bo'lishicha, bu juda oson: maxrajning teng darajasi bu erda bizga yordam beradi.

Atamalar sehrli tarzda joylarni o'zgartirdi. Ushbu "hodisa" har qanday iboraga teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni erkin o'zgartirishimiz mumkin.

Ammo eslash muhim: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi!

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

butun natural sonlarni, ularning qarama-qarshi tomonlarini (ya'ni "" belgisi bilan olingan) va sonni nomlaymiz.

musbat butun son, va u tabiiydan farq qilmaydi, keyin hamma narsa avvalgi qismdagi kabi ko'rinadi.

Endi yangi holatlarga qaraylik. ga teng ko'rsatkichdan boshlaylik.

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng:

Har doimgidek, biz o'zimizga savol beramiz: nega bu shunday?

Baza bilan bir oz kuchni ko'rib chiqing. Masalan, oling va ko'paytiring:

Shunday qilib, biz raqamni ko'paytirdik va xuddi shunday bo'ldi -. Hech narsa o'zgarmasligi uchun qaysi raqamni ko'paytirish kerak? To'g'ri, davom eting. vositalari.

Biz ixtiyoriy raqam bilan ham shunday qilishimiz mumkin:

Keling, qoidani takrorlaymiz:

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng.

Ammo ko'plab qoidalardan istisnolar mavjud. Va bu erda ham bor - bu raqam (asosiy sifatida).

Bir tomondan, u har qanday darajaga teng bo'lishi kerak - siz nolni o'z-o'zidan qancha ko'paytirsangiz ham, siz nolga erishasiz, bu aniq. Ammo boshqa tomondan, nol darajagacha bo'lgan har qanday raqam kabi, u teng bo'lishi kerak. Xo'sh, buning haqiqati nimada? Matematiklar aralashmaslikka qaror qilishdi va nolni nolga oshirishdan bosh tortishdi. Ya'ni, endi biz nafaqat nolga bo'linibgina qolmay, balki uni nol darajaga ko'tarishimiz mumkin.

Keling, oldinga boraylik. Butun sonlarga natural sonlar va raqamlardan tashqari manfiy sonlar ham kiradi. Salbiy daraja nima ekanligini tushunish uchun, keling, oxirgi marta xuddi shunday qilaylik: ba'zi bir normal sonni salbiy darajada bir xilga ko'paytiramiz:

Bu erdan kerakli narsani ifodalash allaqachon oson:

Endi biz olingan qoidani ixtiyoriy darajada kengaytiramiz:

Shunday qilib, qoidani shakllantiramiz:

Raqamning manfiy darajaga tengligi bir xil sonning musbat darajaga teskarisidir. Lekin ayni paytda baza null bo'lishi mumkin emas:(chunki ajratish mumkin emas).

Keling, xulosa qilaylik:

I. Ifoda holda belgilanmaydi. Agar, keyin.

II. Nolga teng bo'lgan har qanday son birga teng: .

III. Manfiy darajaga nolga teng bo'lmagan son bir xil sonning musbat darajaga teskari soni hisoblanadi:.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Odatdagidek, mustaqil yechim uchun misollar:

Mustaqil hal qilish uchun vazifalarni tahlil qilish:

Bilaman, bilaman, raqamlar qo'rqinchli, lekin imtihonda siz hamma narsaga tayyor bo'lishingiz kerak! Ushbu misollarni yeching yoki yechimini tahlil qiling, agar hal qila olmasangiz, imtihonda ular bilan qanday qilib osonlikcha shug'ullanishni o'rganasiz!

Keling, ko'rsatkich sifatida "mos" raqamlar oralig'ini kengaytirishni davom ettiraylik.

Endi o'ylab ko'ring ratsional sonlar. Qanday raqamlar ratsional deb ataladi?

Javob: kasr sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan barcha narsalar, bu erda va butun sonlar.

Nima ekanligini tushunish uchun "kasr daraja" Keling, kasrni ko'rib chiqaylik:

Keling, tenglamaning ikkala tomonini bir darajaga ko'taramiz:

Endi qoidani eslang "darajali daraja":

Quvvat olish uchun qanday raqamni ko'tarish kerak?

Ushbu formula th daraja ildizining ta'rifidir.

Sizga eslatib o'taman: sonning () darajasining ildizi darajaga ko'tarilganda teng bo'lgan sondir.

Ya'ni, darajaning ildizi ko'rsatkichning teskari amalidir: .

Ma'lum bo'ladiki. Shubhasiz, bu maxsus holat uzaytirilishi mumkin: .

Endi hisoblagichni qo'shing: bu nima? Javobni kuch-quvvat qoidasi bilan olish oson:

Lekin asos har qanday raqam bo'lishi mumkinmi? Axir, ildizni barcha raqamlardan chiqarib bo'lmaydi.

Yo'q!

Qoidani eslang: har qanday raqamga ko'tariladi hatto daraja ijobiy raqamdir. Ya'ni, manfiy sonlardan juft darajali ildizlarni ajratib bo'lmaydi!

Va bu shuni anglatadiki, bunday raqamlarni ko'tarish mumkin emas kasr darajasi juft maxraj bilan, ya'ni ifoda ma'noga ega emas.

Ifodasi haqida nima deyish mumkin?

Ammo bu erda muammo paydo bo'ladi.

Raqam boshqa, qisqartirilgan kasrlar sifatida ifodalanishi mumkin, masalan, yoki.

Va ma'lum bo'lishicha, u mavjud, lekin yo'q va bu bir xil raqamning ikki xil yozuvi.

Yoki boshqa misol: bir marta, keyin uni yozishingiz mumkin. Ammo biz indikatorni boshqacha yozganimizdan so'ng, biz yana muammoga duch kelamiz: (ya'ni, biz butunlay boshqacha natijaga erishdik!).

Bunday paradokslardan qochish uchun o'ylab ko'ring kasr ko'rsatkichli faqat musbat asos ko'rsatkichi.

Shunday qilib, agar:

- natural son;
butun sondir;

Misollar:

Ratsional ko'rsatkichli kuchlar ildizli ifodalarni o'zgartirish uchun juda foydali, masalan:

5 ta amaliyotga misollar

Trening uchun 5 ta misol tahlili

Xo'sh, endi - eng qiyin. Endi biz tahlil qilamiz irratsional darajali daraja.

Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkichli darajalar bilan bir xil, bundan mustasno.

Darhaqiqat, ta'rifiga ko'ra, irratsional sonlar kasr sifatida ifodalanmaydigan sonlar bo'lib, bu erda va butun sonlardir (ya'ni, irratsional sonlar ratsional raqamlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Darajalarni tabiiy, butun va ratsional ko'rsatkich bilan o'rganayotganda, har safar biz ma'lum bir "tasvir", "o'xshashlik" yoki ko'proq tanish bo'lgan tavsifni yaratamiz.

Masalan, natural ko’rsatkich o’ziga bir necha marta ko’paytiriladigan sondir;

...nol quvvat- bu go'yo bir marta o'z-o'zidan ko'paytirilgan raqam, ya'ni u hali ko'paytirilmagan, bu raqamning o'zi hali paydo bo'lmaganligini anglatadi - shuning uchun natija faqat ma'lum bir "bo'sh raqam" , ya'ni raqam;

...manfiy butun son ko‘rsatkichi- go'yo ma'lum bir "teskari jarayon" sodir bo'lgan, ya'ni raqam o'z-o'zidan ko'paytirilmagan, balki bo'lingan.

Aytgancha, fan ko'pincha murakkab ko'rsatkichli darajadan foydalanadi, ya'ni ko'rsatkich hatto haqiqiy son ham emas.

Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

QAYERGA BORISHINGIZGA ISHONCH ETAMIZ! (agar siz bunday misollarni qanday hal qilishni o'rgansangiz :))

Masalan:

O'zingiz qaror qiling:

Yechimlarni tahlil qilish:

1. Darajani darajaga oshirishning odatiy qoidasidan boshlaylik:

Endi hisobni ko'ring. U sizga biror narsani eslatadimi? Biz kvadratlar farqini qisqartirilgan ko'paytirish formulasini eslaymiz:

Ushbu holatda,

Ma'lum bo'lishicha:

Javob: .

2. Ko‘rsatkichli kasrlarni bir xil ko‘rinishga keltiramiz: ikkala o‘nli yoki ikkalasi ham oddiy. Biz, masalan, olamiz:

Javob: 16

3. Hech qanday maxsus narsa yo'q, biz darajalarning odatiy xususiyatlarini qo'llaymiz:

ILG'IY DARAJA

Darajaning ta'rifi

Daraja quyidagi shaklning ifodasidir: , bu erda:

— daraja bazasi;
- ko'rsatkich.

Tabiiy ko'rsatkichli daraja (n = 1, 2, 3,...)

Raqamni n tabiiy darajaga ko'tarish sonni o'z-o'zidan marta ko'paytirishni anglatadi:

Butun koʻrsatkichli quvvat (0, ±1, ±2,...)

Agar ko'rsatkich bo'lsa musbat butun son raqam:

erektsiya nol kuchga:

Ifoda noaniqdir, chunki, bir tomondan, istalgan darajada bu, ikkinchi tomondan, th darajali istalgan son bu.

Agar ko'rsatkich bo'lsa manfiy butun son raqam:

(chunki ajratish mumkin emas).

Nulllar haqida yana bir bor: ifoda ishda aniqlanmagan. Agar, keyin.

Misollar:

Ratsional darajali daraja

- natural son;
butun sondir;

Misollar:

Darajaning xususiyatlari

Muammolarni hal qilishni osonlashtirish uchun, keling, tushunishga harakat qilaylik: bu xususiyatlar qaerdan paydo bo'lgan? Keling, ularni isbotlaylik.

Keling, ko'rib chiqaylik: nima va?

A-prior:

Shunday qilib, ushbu ifodaning o'ng tomonida quyidagi mahsulot olinadi:

Ammo ta'rifga ko'ra, bu ko'rsatkichli sonning kuchi, ya'ni:

Q.E.D.

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Yechim : .

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Yechim : Bizning qoidamizda shuni ta'kidlash kerak Majburiy bir xil asosda bo'lishi kerak. Shuning uchun biz darajalarni baza bilan birlashtiramiz, lekin alohida omil bo'lib qolamiz:

Yana bir muhim eslatma: bu qoida - faqat kuchlar mahsulotlari uchun!

Hech qanday holatda buni yozmasligim kerak.

Oldingi xususiyatda bo'lgani kabi, daraja ta'rifiga murojaat qilaylik:

Keling, uni shunday tartibga keltiramiz:

Ma'lum bo'lishicha, ifoda o'z-o'zidan bir marta ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu sonning --chi darajasi:

Aslida, buni "indikatorni qavslash" deb atash mumkin. Lekin siz buni hech qachon umuman qila olmaysiz :!

Qisqartirilgan ko'paytirish uchun formulalarni eslaylik: biz necha marta yozmoqchi edik? Lekin bu haqiqat emas.

Salbiy asosga ega quvvat.

Shu paytgacha biz faqat nima bo'lishi kerakligini muhokama qildik indeks daraja. Lekin asos nima bo'lishi kerak? dan darajalarda tabiiy indikator asos bo'lishi mumkin har qanday raqam .

Darhaqiqat, biz har qanday raqamni bir-biriga ko'paytirishimiz mumkin, ular ijobiy, salbiy yoki hatto. Keling, qanday belgilar ("" yoki "") musbat va salbiy sonlarning darajalariga ega bo'lishini o'ylab ko'raylik?

Masalan, raqam ijobiy yoki salbiy bo'ladimi? A? ?

Birinchisi bilan hamma narsa aniq: biz bir-birimiz bilan qancha ijobiy sonlarni ko'paytirsak ham, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy tomonlari biroz qiziqroq. Axir, biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minus marta minus ortiqcha beradi". Ya'ni, yoki. Ammo () ga ko'paytirsak, biz - bo'lamiz.

Va shunga o'xshash ad infinitum: har bir keyingi ko'paytirish bilan belgi o'zgaradi. Bunday shakllantirish mumkin oddiy qoidalar:

hatto daraja, - raqam ijobiy.
Manfiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam salbiy.
Har qanday quvvatga ijobiy raqam ijobiy sondir.
Har qanday quvvat nol nolga teng.

Quyidagi iboralar qanday belgiga ega bo'lishini o'zingiz aniqlang:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Siz boshqardingizmi? Mana javoblar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Birinchi to'rtta misolda, umid qilamanki, hamma narsa aniqmi? Biz shunchaki asos va ko'rsatkichga qaraymiz va tegishli qoidani qo'llaymiz.

5-misolda), hamma narsa ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: baza nimaga teng bo'lishi muhim emas - daraja teng, ya'ni natija har doim ijobiy bo'ladi. Xo'sh, baza nolga teng bo'lgan hollar bundan mustasno. Baza bir xil emas, shunday emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oddiy emas. Bu erda qaysi biri kamroq ekanligini bilib olishingiz kerak: yoki? Agar buni eslasangiz, bu aniq bo'ladi, ya'ni baza noldan kichikdir. Ya'ni, biz 2-qoidani qo'llaymiz: natija salbiy bo'ladi.

Va yana biz daraja ta'rifidan foydalanamiz:

Hammasi odatdagidek - biz darajalarning ta'rifini yozamiz va ularni bir-biriga ajratamiz, ularni juftlarga ajratamiz va olamiz:

Oxirgi qoidani tahlil qilishdan oldin, keling, bir nechta misollarni hal qilaylik.

Ifodalar qiymatlarini hisoblang:

Yechimlar :

Sakkizinchi darajaga e'tibor bermasak, bu erda nimani ko'ramiz? Keling, 7-sinf dasturini ko'rib chiqaylik. Xo'sh, eslaysizmi? Bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi, ya'ni kvadratlar farqi!

Biz olamiz:

Biz maxrajga diqqat bilan qaraymiz. Bu numerator omillardan biriga o'xshaydi, lekin nima noto'g'ri? Shartlarning noto'g'ri tartibi. Agar ular o'zgartirilsa, 3-qoida qo'llanilishi mumkin, ammo buni qanday qilish kerak? Ma'lum bo'lishicha, bu juda oson: maxrajning teng darajasi bu erda bizga yordam beradi.

Agar siz uni ko'paytirsangiz, hech narsa o'zgarmaydi, to'g'rimi? Ammo endi bu shunday ko'rinadi:

Atamalar sehrli tarzda joylarni o'zgartirdi. Ushbu "hodisa" har qanday iboraga teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni erkin o'zgartirishimiz mumkin. Ammo eslash muhim: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi! Uni faqat bitta nomaqbul minusni o'zgartirish bilan almashtirib bo'lmaydi!

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

Endi oxirgi qoida:

Biz buni qanday isbotlaymiz? Albatta, odatdagidek: daraja tushunchasini kengaytiramiz va soddalashtiramiz:

Xo'sh, endi qavslarni ochamiz. Qancha harf bo'ladi? marta multiplikatorlar bo'yicha - bu nimaga o'xshaydi? Bu operatsiya ta'rifidan boshqa narsa emas ko'paytirish: jami ko'paytiruvchilar bo'lib chiqdi. Ya'ni, ta'rifga ko'ra, ko'rsatkichli sonning kuchi:

Misol:

Irratsional ko'rsatkichli daraja

O'rtacha daraja uchun darajalar haqidagi ma'lumotlarga qo'shimcha ravishda, biz darajani irratsional ko'rsatkich bilan tahlil qilamiz. Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkichli daraja bilan bir xil, bundan mustasno - axir, ta'rifga ko'ra, irratsional sonlar kasr sifatida ko'rsatilmaydigan sonlar, bu erda va butun sonlar (ya'ni). , irratsional sonlar ratsional sonlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Darajalarni tabiiy, butun va ratsional ko'rsatkich bilan o'rganayotganda, har safar biz ma'lum bir "tasvir", "o'xshashlik" yoki ko'proq tanish bo'lgan tavsifni yaratamiz. Masalan, natural ko’rsatkich o’ziga bir necha marta ko’paytiriladigan sondir; nol darajagacha bo'lgan raqam, go'yo bir marta o'z-o'zidan ko'paytirilgan son, ya'ni u hali ko'paytirilmagan, ya'ni raqamning o'zi hali paydo bo'lmagan - shuning uchun natija faqat ma'lum bir "raqamni tayyorlash", ya'ni raqam; butun sonli manfiy ko'rsatkichli daraja - go'yo ma'lum bir "teskari jarayon" sodir bo'lgan, ya'ni raqam o'z-o'zidan ko'paytirilmagan, balki bo'lingan.

Irratsional ko'rsatkichli darajani tasavvur qilish juda qiyin (xuddi 4 o'lchovli fazoni tasavvur qilish qiyin). To'g'rirog'i, bu matematiklar daraja tushunchasini butun sonlar fazosiga kengaytirish uchun yaratgan sof matematik ob'ektdir.

Aytgancha, fan ko'pincha murakkab ko'rsatkichli darajadan foydalanadi, ya'ni ko'rsatkich hatto haqiqiy son ham emas. Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

Agar irratsional ko'rsatkichni ko'rsak, nima qilamiz? Biz undan xalos bo'lishga harakat qilamiz! :)

Masalan:

O'zingiz qaror qiling:

Javoblar:

Kvadratlar formulasining farqini eslang. Javob: .
Biz kasrlarni bir xil shaklga keltiramiz: ikkala o'nli yoki ikkala oddiy. Biz, masalan: .
Hech qanday maxsus narsa yo'q, biz darajalarning odatiy xususiyatlarini qo'llaymiz:

BO'LIM XULOSASI VA ASOSIY FORMULA

Daraja shaklning ifodasi deyiladi: , bu yerda:

Butun sonli daraja

daraja, ko'rsatkichi natural son (ya'ni butun va musbat).

Ratsional darajali daraja

daraja, ko'rsatkichi manfiy va kasr sonlardir.

Irratsional ko'rsatkichli daraja

ko'rsatkichi cheksiz o'nli kasr yoki ildiz bo'lgan daraja.

Darajaning xususiyatlari

Darajaning xususiyatlari.

Manfiy raqam ko'tarildi hatto daraja, - raqam ijobiy.
Manfiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam salbiy.
Har qanday quvvatga ijobiy raqam ijobiy sondir.
Nol har qanday quvvatga teng.
Nolga teng bo'lgan har qanday raqam tengdir.

ENDI SIZDA SO'Z BOR...

Sizga maqola qanday yoqadi? Sizga yoqdimi yoki yo'qmi, quyidagi izohlarda menga xabar bering.

Quvvat xususiyatlari bilan tajribangiz haqida bizga xabar bering.

Balki savollaringiz bordir. Yoki takliflar.

Izohlarda yozing.

Va imtihonlaringizga omad!

Oldingi maqolalardan birida biz allaqachon raqamning darajasini aytib o'tgan edik. Bugun biz uning ma'nosini topish jarayonida harakat qilishga harakat qilamiz. Ilmiy nuqtai nazardan, biz qanday qilib to'g'ri eksponentatsiya qilishni aniqlaymiz. Biz bu jarayon qanday amalga oshirilishini tushunamiz, shu bilan birga barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarga to'xtalib o'tamiz: tabiiy, irratsional, oqilona, butun.

Shunday qilib, keling, misollarning echimlarini batafsil ko'rib chiqamiz va bu nimani anglatishini bilib olaylik:

Kontseptsiya ta'rifi.
Salbiy san'atga ko'tarilish.
Butun hisob.
Raqamni irratsional kuchga ko'tarish.

Mana, ma'noni to'g'ri aks ettiruvchi ta'rif: "Kuchga ko'tarish - bu raqam darajasining qiymatining ta'rifi".

Shunga ko'ra, San'atda a raqamining qurilishi. r va daraja qiymatini r darajasi bilan topish jarayoni bir xil tushunchalardir. Masalan, agar vazifa (0,6) 6 ″ daraja qiymatini hisoblash bo'lsa, uni "0,6 sonini 6 ning kuchiga ko'taring" iborasiga soddalashtirish mumkin.

Shundan so'ng siz to'g'ridan-to'g'ri qurilish qoidalariga o'tishingiz mumkin.

Salbiy kuchga ko'tarilish

Aniqlik uchun siz quyidagi iboralar zanjiriga e'tibor berishingiz kerak:

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 minus 1 st.,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 minus 2 qadamda.,

11000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 minus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 dan minus 4 gradusgacha.

Ushbu misollar tufayli siz har qanday salbiy quvvatga 10 ni darhol hisoblash qobiliyatini aniq ko'rishingiz mumkin. Buning uchun kasr komponentini shunchaki siljitish kifoya:

10 dan -1 darajagacha - birlik 1 noldan oldin;
-3 da - bittadan oldin uchta nol;
-9 - 9 nol va boshqalar.

Bundan tashqari, ushbu sxema bo'yicha 10 minus 5 osh qoshiq qancha bo'lishini tushunish oson. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Raqamni tabiiy kuchga qanday oshirish mumkin

Ta'rifni eslab, san'atdagi natural sonni hisobga olamiz. n har biri a ga teng bo'lgan n ta omilning mahsulotiga teng. Keling, misol qilib keltiramiz: (a * a * ... a) n, bu erda n - ko'paytiriladigan sonlar soni. Shunga ko'ra, a ni n ga ko'tarish uchun quyidagi ko'rinishdagi hosilani hisoblash kerak: a * a * ... va n marta bo'linadi.

Bu erdan ma'lum bo'ladi tabiiy san'atda erektsiya. ko'paytirishni amalga oshirish qobiliyatiga tayanadi(bu material haqiqiy sonlarni ko'paytirish bo'limida yoritilgan). Keling, muammoni ko'rib chiqaylik:

-2 ni 4 osh qoshiqgacha ko'taring.

Biz tabiiy ko'rsatkich bilan shug'ullanamiz. Shunga ko'ra, qaror qabul qilish jarayoni quyidagicha bo'ladi: (-2) San'atda. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Endi faqat butun sonlarni ko'paytirishni amalga oshirish qoladi: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Biz 16 ni olamiz.

Vazifaga javob:

(-2) modda. 4=16.

Misol:

Qiymatni hisoblang: uch nuqta ikki ettinchi kvadrat.

Bu misol quyidagi mahsulotga teng: uch ball ikki ettinchi marta uch ball ikki ettinchi. Aralash raqamlarni ko'paytirish qanday amalga oshirilishini eslab, biz qurilishni yakunlaymiz:

3 butun 2 ettidan o'z-o'zidan ko'paytiriladi;
23 ettinchi marta 23 ettinchiga teng;
529 qirq to‘qqizdan biriga teng;
biz kamaytiramiz va 10 o'ttiz to'qqiz qirq to'qqizni olamiz.

Javob: 10 39/49

Irratsional ko'rsatkichga ko'tarish masalasiga kelsak, shuni ta'kidlash kerakki, hisob-kitoblar daraja asosini ma'lum bir darajaga oldindan yaxlitlash tugagandan so'ng amalga oshirila boshlaydi, bu ma'lum bir aniqlik bilan qiymatni olish imkonini beradi. . Masalan, P (pi) raqamini kvadratga olishimiz kerak.

Biz P ni yuzdan birgacha yaxlitlashdan boshlaymiz va quyidagilarni olamiz:

P kvadrat \u003d (3,14) 2 \u003d 9,8596. Biroq, agar biz P ni o'n mingga kamaytirsak, biz P = 3,14159 ni olamiz. Keyin kvadratlash butunlay boshqacha raqamni oladi: 9,8695877281.

Bu erda shuni ta'kidlash kerakki, ko'p muammolarda irratsional sonlarni kuchga ko'tarishning hojati yo'q. Qoidaga ko'ra, javob yoki aslida daraja shaklida kiritiladi, masalan, 6 ning ildizi 3 ning darajasiga yoki agar ifoda imkon bersa, uni o'zgartirish amalga oshiriladi: 5 ning ildizi. 7 gradusgacha \u003d 5 ning 125 ildizi.

Raqamni butun son darajasiga qanday oshirish mumkin

Ushbu algebraik manipulyatsiya mos keladi quyidagi holatlar uchun e'tiborga oling:

butun sonlar uchun;
nol ko'rsatkichi uchun;
musbat butun son uchun.

Deyarli barcha musbat sonlar natural sonlar massasiga toʻgʻri kelganligi sababli, uni musbat butun son darajasiga oʻrnatish, uni Sanʼatda oʻrnatish bilan bir xil jarayondir. tabiiy. Biz bu jarayonni avvalgi xatboshida tasvirlab bergan edik.

Keling, San'atni hisoblash haqida gapiraylik. null. Yuqorida biz a sonining nol kuchi nolga teng bo'lmagan har qanday a (real) uchun aniqlanishi mumkinligini bilib oldik, a da st. 0 1 ga teng bo'ladi.

Shunga ko'ra, har qanday haqiqiy sonni nolga qadar qurish. birini beradi.

Masalan, st.0=1 da 10, (-3,65)0=1, st.da 0. 0 ni aniqlab bo'lmaydi.

Butun son darajasiga ko'rsatkichni yakunlash uchun manfiy butun sonlar uchun variantlarni tanlash kerak. Biz san'atni eslaymiz. a dan butun ko'rsatkichli -z kasr sifatida aniqlanadi. Kasrning maxrajida Art. musbat butun son qiymati bilan, uning qiymatini biz allaqachon topishni o'rgandik. Endi faqat qurilish misolini ko'rib chiqish qoladi.

Misol:

Manfiy butun sonli kubikli 2 raqamining qiymatini hisoblang.

Yechish jarayoni:

Salbiy ko'rsatkichli daraja ta'rifiga ko'ra, biz quyidagilarni belgilaymiz: minus 3 osh qoshiqda ikkitasi. birdan ikkiga uchinchi darajaga teng.

Maxraj oddiygina hisoblanadi: ikki kub;

3 = 2*2*2=8.

Javob: ikki dan minus 3 osh qoshiq. = sakkizdan bir.

Maktabdan hammamiz bir darajaga ko'tarish qoidasini bilamiz: ko'rsatkichi N bo'lgan har qanday raqam bu sonni N marta ko'paytirish natijasiga teng. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, 3 ning darajasiga 7 ning o'ziga uch marta ko'paytirilishi, ya'ni 343. Yana bir qoida - har qanday qiymatni 0 darajasiga ko'tarish bittani beradi va manfiy qiymatni ko'tarish oddiy ko'rsatkichning natijasidir, agar u juft va agar u toq bo'lsa, minus belgisi bilan bir xil natija.

Qoidalar, shuningdek, raqamni salbiy kuchga qanday ko'tarish haqida javob beradi. Buni amalga oshirish uchun indikatorning moduli bo'yicha kerakli qiymatni odatiy tarzda oshirishingiz kerak va keyin birlikni natijaga bo'ling.

Ushbu qoidalardan ko'rinib turibdiki, katta hajmdagi haqiqiy muammolarni amalga oshirish mavjud bo'lishni talab qiladi texnik vositalar. Qo'lda yigirma yoki o'ttizgacha bo'lgan raqamlarning maksimal diapazonini o'z-o'zidan ko'paytirish mumkin bo'ladi, keyin esa uch yoki to'rt martadan ko'p bo'lmaydi. Bu, keyin ham natija bo'yicha birlikni bo'lish haqiqatni eslatib o'tmaydi. Shuning uchun, maxsus bo'lmaganlar uchun muhandislik kalkulyatori, biz Excelda raqamni manfiy ko'rsatkichga qanday ko'tarishni tushuntiramiz.

Excelda muammolarni hal qilish

Eksponentatsiya bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun Excel ikkita variantdan birini ishlatishga imkon beradi.

Birinchisi, standart qopqoq belgisi bilan formuladan foydalanish. Ishchi varaq hujayralariga quyidagi ma'lumotlarni kiriting:

Xuddi shu tarzda, istalgan qiymatni har qanday quvvatga ko'tarishingiz mumkin - salbiy, kasr. Keling, quyidagilarni bajaramiz va raqamni salbiy kuchga qanday ko'tarish kerakligi haqidagi savolga javob beramiz. Misol:

To'g'ridan-to'g'ri =B2^-C2 formulasida tuzatish mumkin.

Ikkinchi variant - ikkita majburiy argument - raqam va ko'rsatkichni oladigan tayyor "Daraja" funktsiyasidan foydalanish. Uni ishlatishni boshlash uchun formulaning boshini ko'rsatuvchi istalgan bo'sh katakka teng belgisini (=) qo'yish va yuqoridagi so'zlarni kiritish kifoya. Operatsiyada ishtirok etadigan ikkita katakchani tanlash (yoki ma'lum raqamlarni qo'lda ko'rsatish) qoladi va Enter tugmasini bosing. Keling, bir nechta oddiy misollarni ko'rib chiqaylik.

Formula

Natija

KUCH(B2;C2)

KUCH(B3;C3)

0,002915

Ko'rib turganingizdek, Excel yordamida raqamni manfiy quvvatga va oddiy raqamga qanday oshirish haqida hech qanday murakkab narsa yo'q. Axir, bu muammoni hal qilish uchun siz ham tanish "qopqoq" belgisidan, ham dasturning eslab qoladigan o'rnatilgan funksiyasidan foydalanishingiz mumkin. Bu shubhasiz ortiqcha!

Keling, ko'proq narsaga o'tamiz murakkab misollar. Raqamni kasr belgisining manfiy kuchiga ko'tarish qoidasini eslaylik va bu vazifa Excelda juda oddiy hal qilinganligini ko'ramiz.

Fraksiyonel ko'rsatkichlar

Xulosa qilib aytganda, kasr darajali sonni hisoblash algoritmi quyidagicha.

Kasr ko'rsatkichini to'g'ri yoki noto'g'ri kasrga aylantiring.
Raqamimizni hosil bo'lgan aylantirilgan kasrning numeratoriga ko'taring.
Oldingi paragrafda olingan raqamdan, ildiz ko'rsatkichi birinchi bosqichda olingan kasrning maxraji bo'lishi sharti bilan ildizni hisoblang.

Hatto kichik sonlar va to'g'ri kasrlar bilan ishlaganda ham bunday hisob-kitoblar ko'p vaqt talab qilishi mumkinligiga rozi bo'ling. Elektron jadval bo'lgani yaxshi Excel protsessor qanday raqam va qanday darajada ko'tarilishidan qat'i nazar. Quyidagi misolni Excel ish varag'ida hal qilib ko'ring:

Yuqoridagi qoidalardan foydalanib, siz hisob-kitobning to'g'riligini tekshirishingiz va ishonch hosil qilishingiz mumkin.

Maqolamizning oxirida biz formulalar va natijalar bilan jadval shaklida raqamni manfiy kuchga ko'tarishning bir nechta misollarini, shuningdek operatsiya bilan bir nechta misollarni beramiz. kasr sonlar va darajalar.

Misol jadvali

Quyidagi misollar uchun Excel ish varag'ini tekshiring. Har bir narsa to'g'ri ishlashi uchun formuladan nusxa ko'chirishda aralash havoladan foydalanish kerak. Ko'tarilayotgan raqamni o'z ichiga olgan ustun raqamini va ko'rsatkichni o'z ichiga olgan qatorning sonini aniqlang. Sizning formulangiz quyidagicha ko'rinishi kerak: "=$B4^C$3".

Raqam / daraja

E'tibor bering, ijobiy sonlar (hatto butun bo'lmaganlar ham) hech qanday ko'rsatkichlar uchun muammosiz hisoblanadi. Har qanday raqamni butun songa ko'tarishda hech qanday muammo yo'q. Ammo manfiy sonni kasr darajasiga ko'tarish siz uchun xato bo'lib chiqadi, chunki salbiy sonlarni ko'tarish haqidagi maqolamizning boshida ko'rsatilgan qoidaga rioya qilish mumkin emas, chunki tekislik faqat INTEGER sonning o'ziga xos xususiyati hisoblanadi.

Raqamning darajasi haqidagi suhbatni davom ettirishda, daraja qiymatini topish bilan shug'ullanish mantiqan to'g'ri keladi. Bu jarayon shunday nomlandi eksponentsiya. Ushbu maqolada biz barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarga - tabiiy, butun, ratsional va irratsional ko'rsatkichlarga to'xtalib, eksponentsiya qanday amalga oshirilishini o'rganamiz. Va an'anaga ko'ra, biz raqamlarni turli darajalarga ko'tarish misollarining echimlarini batafsil ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

"Eksponentatsiya" nimani anglatadi?

Keling, eksponentsiya deb ataladigan narsani tushuntirishdan boshlaylik. Bu erda tegishli ta'rif.

Ta'rif.

Eksponentsiya sonning kuchining qiymatini topishdir.

Shunday qilib, a ning darajali qiymatini r darajasi bilan topish va a sonini r darajasiga ko'tarish bir xil narsadir. Misol uchun, agar vazifa "kuch (0,5) 5 qiymatini hisoblang" bo'lsa, u holda uni quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: "0,5 raqamini 5 ning kuchiga ko'taring".

Endi siz to'g'ridan-to'g'ri eksponentsiya bajariladigan qoidalarga o'tishingiz mumkin.

Raqamni tabiiy kuchga ko'tarish

Amalda, ga asoslangan tenglik odatda shaklda qo'llaniladi. Ya'ni, a soni m / n kasr darajasiga ko'tarilganda, birinchi navbatda a sonidan n-darajali ildiz chiqariladi, shundan so'ng natija m butun son darajasiga ko'tariladi.

Kasr kuchiga ko'tarish misollari yechimlarini ko'rib chiqing.

Misol.

Darajaning qiymatini hisoblang.

Yechim.

Biz ikkita yechimni ko'rsatamiz.

Birinchi yo'l. Kasr ko'rsatkichi bilan daraja ta'rifi bo'yicha. Biz darajaning qiymatini ildiz belgisi ostida hisoblaymiz, shundan so'ng biz kub ildizini chiqaramiz: .

Ikkinchi yo'l. Kasr ko'rsatkichli darajani aniqlash va ildizlarning xususiyatlariga ko'ra, tengliklar to'g'ri bo'ladi. . Endi ildizni ajratib oling Nihoyat, biz butun son darajasiga ko'taramiz .

Shubhasiz, kasr quvvatiga ko'tarishda olingan natijalar mos keladi.

Javob:

Esda tutingki, kasr ko'rsatkichi o'nli kasr yoki aralash son sifatida yozilishi mumkin, bu hollarda uni mos keladigan oddiy kasr bilan almashtirish kerak, keyin esa ko'rsatkichni oshirish kerak.

Misol.

(44,89) 2,5 ni hisoblang.

Yechim.

Ko'rsatkichni shaklda yozamiz oddiy kasr(agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang): . Endi biz kasr darajasiga ko'taramiz:

Javob:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Shuni ham aytish kerakki, raqamlarni ratsional darajalarga ko'tarish juda mashaqqatli jarayondir (ayniqsa, kasr ko'rsatkichining soni va maxrajida etarli bo'lsa. katta raqamlar), bu odatda yordamida amalga oshiriladi Kompyuter fanlari.

Ushbu bandni yakunlab, biz nol sonidan kasr darajasiga to'g'ri kelishi haqida to'xtalamiz. Shaklning nolning kasr darajasiga quyidagi ma'noni berdik: chunki bizda , noldan quvvatga m/n esa aniqlanmagan. Shunday qilib, noldan musbat kasr darajasi nolga teng, masalan, . Kasr manfiy quvvatdagi nol esa mantiqiy emas, masalan, ifodalar va 0 -4,3 mantiqiy emas.

Mantiqsiz kuchga ko'tarilish

Ba'zan irratsional ko'rsatkichli sonning daraja qiymatini aniqlash kerak bo'ladi. Shu bilan birga, in amaliy maqsadlar odatda daraja qiymatini qandaydir belgigacha olish kifoya. Darhol shuni ta'kidlaymizki, amalda bu qiymat elektron hisoblash texnologiyasidan foydalangan holda hisoblab chiqiladi, chunki mantiqiy bo'lmagan quvvatni qo'lda ko'tarish juda ko'p mashaqqatli hisob-kitoblarni talab qiladi. Ammo shunga qaramay, biz umumiy ma'noda harakatlarning mohiyatini tasvirlaymiz.

Irratsional darajali a kuchining taxminiy qiymatini olish uchun ko'rsatkichning qandaydir o'nli yaqinlashuvi olinadi va ko'rsatkichning qiymati hisoblanadi. Bu qiymat irratsional ko'rsatkichli a soni darajasining taxminiy qiymatidir. Raqamning o'nlik yaqinlashuvi dastlab qanchalik aniq bo'lsa, oxirida daraja qiymati shunchalik aniq bo'ladi.

Misol tariqasida 2 1,174367... quvvatining taxminiy qiymatini hisoblab chiqamiz. Irratsional ko'rsatkichning quyidagi o'nli yaqinlashuvini olaylik: . Endi biz 2 ni 1,17 ning ratsional kuchiga ko'taramiz (biz oldingi xatboshida bu jarayonning mohiyatini tasvirlab berdik), biz 2 1,17 ≈ 2,250116 ni olamiz. Shunday qilib, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Agar biz irratsional ko'rsatkichning aniqroq o'nli yaqinlashuvini olsak, masalan, , u holda biz asl darajaning aniqroq qiymatini olamiz: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Adabiyotlar ro'yxati.

Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5 hujayralar uchun matematika Zh darslik. ta'lim muassasalari.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 7 hujayra uchun darslik. ta'lim muassasalari.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8 hujayra uchun darslik. ta'lim muassasalari.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 9 hujayra uchun darslik. ta'lim muassasalari.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma).

Birinchi daraja

Daraja va uning xususiyatlari. Keng qamrovli qoʻllanma (2019)

Nima uchun darajalar kerak? Ular qayerda kerak? Nega ularni o'rganishga vaqt sarflashingiz kerak?

Darajalar, ular nimaga mo'ljallanganligi, bilimlaringizni kundalik hayotda qanday ishlatish haqida hamma narsani bilish uchun ushbu maqolani o'qing.

Va, albatta, darajalarni bilish sizni OGE yoki Yagona davlat imtihonini muvaffaqiyatli topshirishga va orzuingizdagi universitetga kirishga yaqinlashtiradi.

Ketdik... (Ketaylik!)

Muhim eslatma! Agar formulalar o'rniga bema'ni gaplarni ko'rsangiz, keshni tozalang. Buning uchun CTRL+F5 (Windows-da) yoki Cmd+R (Mac-da) tugmalarini bosing.

BIRINCHI DARAJA

Ko'rsatkich qo'shish, ayirish, ko'paytirish yoki bo'lish kabi bir xil matematik amaldir.

Endi men hamma narsani inson tilida juda oddiy misollar yordamida tushuntiraman. Ehtiyot bo'ling. Misollar oddiy, ammo muhim narsalarni tushuntiradi.

Qo'shish bilan boshlaylik.

Bu erda tushuntirish uchun hech narsa yo'q. Siz allaqachon hamma narsani bilasiz: biz sakkiz kishimiz. Har birida ikkita shisha kola bor. Kola qancha? To'g'ri - 16 shisha.

Endi ko'paytirish.

Mana ko'paytirish jadvali. Takrorlang.

Va yana bir, chiroyliroq:

Va dangasa matematiklar yana qanday hiyla-nayranglarni o'ylab topishdi? To'g'ri - raqamni kuchga ko'tarish.

Raqamni kuchga ko'tarish

Buning uchun sizga faqat kerak raqamlarning kuchlari jadvalida nima rang bilan ta'kidlanganligini eslang. Ishoning, bu sizning hayotingizni ancha osonlashtiradi.

Aytgancha, nima uchun ikkinchi daraja deyiladi kvadrat raqamlar, uchinchisi kub? Bu nima degani? Juda yaxshi savol. Endi siz kvadrat va kublarga ega bo'lasiz.

Haqiqiy hayot misoli №1

Keling, kvadrat yoki sonning ikkinchi darajasidan boshlaylik.

Haqiqiy hayot misoli №2

Haqiqiy hayot misoli №3

Endi kub yoki raqamning uchinchi darajasi. Xuddi shu hovuz. Ammo endi siz ushbu hovuzga qancha suv quyish kerakligini bilib olishingiz kerak. Ovozni hisoblashingiz kerak. (Aytgancha, hajmlar va suyuqliklar kubometrda o'lchanadi. Kutilmagan, to'g'rimi?) Hovuzni chizing: tubi bir metr o'lchamda va bir metr chuqurlikda va metr bilan o'lchamdagi qancha kub sizning hovuzingizga kirishini hisoblab ko'ring. basseyn.

Haqiqiy hayot misoli №4

Haqiqiy hayot misoli №5

Atamalar va tushunchalar ... chalkashmaslik uchun

Xo'sh, ayni paytda, nima shunday daraja bazasi? Bundan ham oddiyroq raqam pastki qismida, tagida joylashgan.

Ishonch hosil qilishingiz uchun rasm.

Xo'sh, umumiy ma'noda, umumlashtirish va yaxshiroq eslab qolish uchun ... "" bazasi va "" ko'rsatkichi bo'lgan daraja "darajada" deb o'qiladi va quyidagicha yoziladi:

Natural ko'rsatkichli sonning kuchi

Ehtimol, siz allaqachon taxmin qilgansiz: chunki eksponent natural sondir. Ha, lekin nima natural son? Boshlang'ich! Natural sonlar - ob'ektlarni sanab o'tishda sanashda qo'llaniladigan raqamlar: bir, ikki, uch ... Biz elementlarni hisoblaganimizda, biz: "minus besh", "minus olti", "minus etti" demaymiz. Biz ham “uchdan bir” yoki “nol ball besh o‘ndan bir” demaymiz. Bu natural sonlar emas. Sizningcha, bu raqamlar nima?

Bundan tashqari, irratsional raqamlar ham mavjud. Bu raqamlar nima? Qisqasi, cheksiz o'nli kasr. Misol uchun, agar siz aylananing atrofini uning diametriga bo'lsangiz, unda siz irratsional sonni olasiz.

Xulosa:

Ko‘rsatkichi natural son (ya’ni butun va musbat) bo‘lgan daraja tushunchasini aniqlaymiz.

Birinchi darajali har qanday raqam o'ziga teng:
Raqamni kvadratga aylantirish uni o'ziga ko'paytirishni anglatadi:
Raqamni kub qilish uchun uni o'ziga uch marta ko'paytirish kerak:

Ta'rif. Raqamni tabiiy darajaga ko'tarish sonni o'z-o'zidan marta ko'paytirishdir:
.

Darajaning xususiyatlari

Bu xususiyatlar qayerdan kelgan? Men sizga hozir ko'rsataman.

Keling, nima ekanligini ko'rib chiqaylik Va ?

A-prior:

Jami nechta ko‘paytuvchi bor?

Bu juda oddiy: omillarga omillarni qo'shdik, natijada omillar.

Ammo ta'rifga ko'ra, bu ko'rsatkichli sonning darajasi, ya'ni: , isbotlanishi kerak edi.

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Yechim:

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Yechim: Shuni ta'kidlash kerakki, bizning qoidamizda Majburiy bir xil sabab bo'lishi kerak!
Shuning uchun biz darajalarni baza bilan birlashtiramiz, lekin alohida omil bo'lib qolamiz:

faqat kuchlar mahsulotlari uchun!

Hech qanday holatda buni yozmasligingiz kerak.

2. ya'ni -sonning darajasi

Oldingi xususiyatda bo'lgani kabi, daraja ta'rifiga murojaat qilaylik:

Ma'lum bo'lishicha, ifoda o'z-o'zidan bir marta ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu sonning 1-chi darajasi:

Aslida, buni "indikatorni qavslash" deb atash mumkin. Ammo siz buni hech qachon umuman qila olmaysiz:

Qisqartirilgan ko'paytirish uchun formulalarni eslaylik: biz necha marta yozmoqchi edik?

Lekin bu haqiqat emas.

Salbiy bazaga ega daraja

Shu nuqtaga qadar biz faqat ko'rsatkich nima bo'lishi kerakligini muhokama qildik.

Lekin asos nima bo'lishi kerak?

dan darajalarda tabiiy ko'rsatkich asos bo'lishi mumkin har qanday raqam. Darhaqiqat, biz har qanday raqamni bir-biriga ko'paytirishimiz mumkin, ular ijobiy, salbiy yoki hatto.

Keling, qanday belgilar ("" yoki "") musbat va salbiy sonlarning darajalariga ega bo'lishini o'ylab ko'raylik?

Masalan, raqam ijobiy yoki salbiy bo'ladimi? A? ? Birinchisi bilan hamma narsa aniq: biz bir-birimiz bilan qancha ijobiy sonlarni ko'paytirsak ham, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy tomonlari biroz qiziqroq. Axir, biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minus marta minus ortiqcha beradi". Ya'ni, yoki. Ammo ko'paytirsak, bu chiqadi.

Quyidagi iboralar qanday belgiga ega bo'lishini o'zingiz aniqlang:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Siz boshqardingizmi?

Mana javoblar: Birinchi to'rtta misolda hamma narsa aniq deb umid qilamanmi? Biz shunchaki asos va ko'rsatkichga qaraymiz va tegishli qoidani qo'llaymiz.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5-misolda), hamma narsa ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: baza nimaga teng bo'lishi muhim emas - daraja teng, ya'ni natija har doim ijobiy bo'ladi.

Xo'sh, baza nolga teng bo'lgan hollar bundan mustasno. Baza bir xil emas, shunday emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oddiy emas!

6 ta amaliyotga misollar

Yechim tahlili 6 ta misol

Biz maxrajga diqqat bilan qaraymiz. Bu numerator omillardan biriga o'xshaydi, lekin nima noto'g'ri? Shartlarning noto'g'ri tartibi. Agar ular almashtirilgan bo'lsa, qoida amal qilishi mumkin edi.

Lekin buni qanday qilish kerak? Ma'lum bo'lishicha, bu juda oson: maxrajning teng darajasi bu erda bizga yordam beradi.

Atamalar sehrli tarzda joylarni o'zgartirdi. Ushbu "hodisa" har qanday iboraga teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni erkin o'zgartirishimiz mumkin.

Ammo eslash muhim: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi!

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

butun natural sonlarni, ularning qarama-qarshi tomonlarini (ya'ni "" belgisi bilan olingan) va sonni nomlaymiz.

musbat butun son, va u tabiiydan farq qilmaydi, keyin hamma narsa avvalgi qismdagi kabi ko'rinadi.

Endi yangi holatlarga qaraylik. ga teng ko'rsatkichdan boshlaylik.

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng:

Har doimgidek, biz o'zimizga savol beramiz: nega bu shunday?

Baza bilan bir oz kuchni ko'rib chiqing. Masalan, oling va ko'paytiring:

Shunday qilib, biz raqamni ko'paytirdik va xuddi shunday bo'ldi -. Hech narsa o'zgarmasligi uchun qaysi raqamni ko'paytirish kerak? To'g'ri, davom eting. vositalari.

Biz ixtiyoriy raqam bilan ham shunday qilishimiz mumkin:

Keling, qoidani takrorlaymiz:

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng.

Ammo ko'plab qoidalardan istisnolar mavjud. Va bu erda ham bor - bu raqam (asosiy sifatida).

Bu erdan kerakli narsani ifodalash allaqachon oson:

Endi biz olingan qoidani ixtiyoriy darajada kengaytiramiz:

Shunday qilib, qoidani shakllantiramiz:

Raqamning manfiy darajaga tengligi bir xil sonning musbat darajaga teskarisidir. Lekin ayni paytda baza null bo'lishi mumkin emas:(chunki ajratish mumkin emas).

Keling, xulosa qilaylik:

I. Ifoda holda belgilanmaydi. Agar, keyin.

II. Nolga teng bo'lgan har qanday son birga teng: .

III. Manfiy darajaga nolga teng bo'lmagan son bir xil sonning musbat darajaga teskari soni hisoblanadi:.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Odatdagidek, mustaqil yechim uchun misollar:

Mustaqil hal qilish uchun vazifalarni tahlil qilish:

Keling, ko'rsatkich sifatida "mos" raqamlar oralig'ini kengaytirishni davom ettiraylik.

Endi o'ylab ko'ring ratsional sonlar. Qanday raqamlar ratsional deb ataladi?

Javob: kasr sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan barcha narsalar, bu erda va butun sonlar.

Nima ekanligini tushunish uchun "kasr daraja" Keling, kasrni ko'rib chiqaylik:

Keling, tenglamaning ikkala tomonini bir darajaga ko'taramiz:

Endi qoidani eslang "darajali daraja":

Quvvat olish uchun qanday raqamni ko'tarish kerak?

Ushbu formula th daraja ildizining ta'rifidir.

Sizga eslatib o'taman: sonning () darajasining ildizi darajaga ko'tarilganda teng bo'lgan sondir.

Ya'ni, darajaning ildizi ko'rsatkichning teskari amalidir: .

Ma'lum bo'ladiki. Shubhasiz, bu maxsus holat uzaytirilishi mumkin: .

Endi hisoblagichni qo'shing: bu nima? Javobni kuch-quvvat qoidasi bilan olish oson:

Lekin asos har qanday raqam bo'lishi mumkinmi? Axir, ildizni barcha raqamlardan chiqarib bo'lmaydi.

Yo'q!

Qoidani eslang: juft darajaga ko'tarilgan har qanday raqam ijobiy raqamdir. Ya'ni, manfiy sonlardan juft darajali ildizlarni ajratib bo'lmaydi!

Va bu shuni anglatadiki, bunday raqamlarni teng maxraj bilan kasr darajasiga ko'tarib bo'lmaydi, ya'ni ifoda mantiqiy emas.

Ifodasi haqida nima deyish mumkin?

Ammo bu erda muammo paydo bo'ladi.

Raqam boshqa, qisqartirilgan kasrlar sifatida ifodalanishi mumkin, masalan, yoki.

Va ma'lum bo'lishicha, u mavjud, lekin yo'q va bu bir xil raqamning ikki xil yozuvi.

Yoki boshqa misol: bir marta, keyin uni yozishingiz mumkin. Ammo biz indikatorni boshqacha yozganimizdan so'ng, biz yana muammoga duch kelamiz: (ya'ni, biz butunlay boshqacha natijaga erishdik!).

Bunday paradokslardan qochish uchun o'ylab ko'ring kasr ko'rsatkichli faqat musbat asos ko'rsatkichi.

Shunday qilib, agar:

- natural son;
butun sondir;