Odatda ikkinchi ajoyib chegara quyidagi shaklda yoziladi:

\begin(tenglama) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\o'ng)^x=e\end(tenglama)

Tenglikning (1) o'ng tomonida ko'rsatilgan $e$ soni irratsionaldir. Bu raqamning taxminiy qiymati: $e\approx(2(,)718281828459045)$. Agar $t=\frac(1)(x)$ almashtirishni amalga oshirsak, (1) formulani quyidagi shaklda qayta yozish mumkin:

\begin(tenglama) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(tenglama)

Birinchi diqqatga sazovor chegaraga kelsak, (1) formuladagi $x$ o'zgaruvchisi o'rniga yoki (2) formuladagi $t$ o'zgaruvchisi o'rniga qaysi ifoda ishlatilganligi muhim emas. Asosiysi, ikkita shartni bajarish:

1. Darajaning asosi (ya'ni (1) va (2) formulalarning qavs ichidagi ifodasi) bittaga moyil bo'lishi kerak;
2. Ko'rsatkich (ya'ni (1) formulada $x$ yoki (2) formulada $\frac(1)(t)$) cheksizlikka moyil bo'lishi kerak.

Aytishlaricha, ikkinchi ajoyib chegara $1^\infty$ ning noaniqligini ochib beradi. E'tibor bering, (1) formulada biz qanday cheksizlik ($+\infty$ yoki $-\infty$) haqida gapirayotganimizni aniqlamaymiz. Ushbu holatlarning har qandayida (1) formula to'g'ri bo'ladi. (2) formulada $t$ o'zgaruvchisi chapdan ham, o'ngdan ham nolga moyil bo'lishi mumkin.

Shuni ta'kidlaymanki, ikkinchi ajoyib chegaraning bir nechta foydali oqibatlari ham bor. Ikkinchi ajoyib chegaradan foydalanish misollari, shuningdek, uning oqibatlari standart standart hisob-kitoblar va testlarni tuzuvchilar bilan juda mashhur.

№1 misol

$\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$ chegarasini hisoblang.

Darhol shuni ta'kidlaymizki, darajaning asosi (ya'ni $\frac(3x+1)(3x-5)$) bittaga intiladi:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\o'ng| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

Bu holda, ko'rsatkich (ifoda $4x+7$) cheksizlikka intiladi, ya'ni. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Darajaning asosi birga intiladi, ko'rsatkich cheksizlikka intiladi, ya'ni. biz $1^\infty$ noaniqligi bilan shug'ullanamiz. Ushbu noaniqlikni aniqlash uchun formulani qo'llaymiz. $1+\frac(1)(x)$ ifodasi formulaning daraja bazasida joylashgan va bizning misolimizda daraja asosi quyidagicha: $\frac(3x+1)(3x-5) )$. Shuning uchun birinchi qadam $\frac(3x+1)(3x-5)$ ifodasini $1+\frac(1)(x)$ ga rasmiy ravishda moslashtirishdir. Keling, bitta qo'shish va ayirish bilan boshlaylik:

$$ \lim_(x\to\infty)\chap(\frac(3x+1)(3x-5)\o'ng)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\chap(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\o'ng)^(4x+7) $$

Shuni ta'kidlash kerakki, oddiygina birlikni qo'shish mumkin emas. Agar biz birlik qo'shishga majbur bo'lsak, butun ifodaning qiymatini o'zgartirmaslik uchun uni ham ayirish kerak. Yechimni davom ettirish uchun biz buni hisobga olamiz

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5)=\frac(6)(3x-5). $$

$\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$ ekan, u holda:

$$ \lim_(x\to\infty)\chap(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\o'ng)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ chap(1+\frac(6)(3x-5)\o'ng)^(4x+7) $$

Keling, sozlashni davom ettiramiz. Formulaning $1+\frac(1)(x)$ ifodasida kasrning ayiruvchisi 1 ga, bizning $1+\frac(6)(3x-5)$ ifodaimizda esa hisob 6$ ga teng. Hisoblagichda $1$ olish uchun quyidagi oʻzgartirish yordamida $6$ ni maxrajga tushiring:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

Shunday qilib,

$$ \lim_(x\to\infty)\chap(1+\frac(6)(3x-5)\o'ng)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\chap(1+) \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\o'ng)^(4x+7) $$

Shunday qilib, darajaning asosi, ya'ni. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, formulada talab qilinadigan $1+\frac(1)(x)$ mos ravishda sozlangan. Endi ko'rsatkich bilan ishlashni boshlaymiz. E'tibor bering, formulada ko'rsatkichlar va maxrajdagi ifodalar bir xil:

Demak, bizning misolimizda daraja va maxraj bir xil shaklga keltirilishi kerak. Ko'rsatkichdagi $\frac(3x-5)(6)$ ifodasini olish uchun ko'rsatkichni shu kasrga ko'paytirish kifoya. Tabiiyki, bunday ko'paytirishni qoplash uchun siz darhol o'zaro ko'paytirishingiz kerak bo'ladi, ya'ni. $\frac(6)(3x-5)$ gacha. Shunday qilib, bizda:

$$ \lim_(x\to\infty)\chap(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\o'ng)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\o'ng)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\o'ng)^(\ frac(3x-5)(6))\o'ng)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Alohida, quvvatda joylashgan $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ kasr chegarasini ko'rib chiqing:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\o'ng| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\chap(4+\frac(7)(x)\o'ng))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3)=8. $$

Javob: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

4-misol

$\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$ chegarasini toping.

$x>0$ uchun bizda $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$ bor, keyin:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\chap(\ln(x+1)-\ln(x)\o'ng) =\lim_(x\to+\infty)\chap(x\cdot\ln\ chap (\ frac (x + 1) (x) \ o'ng) \ o'ng) $$

$\frac(x+1)(x)$ kasrni $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ kasrlar yig‘indisiga kengaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

$$ \lim_(x\to+\infty)\chap(x\cdot\ln\chap(\frac(x+1)(x)\o'ng)\o'ng) =\lim_(x\to+\infty)\chap (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\o'ng)\o'ng) =\lim_(x\to+\infty)\chap(\ln\left(\frac(x+1)) (x)\o'ng)^x\o'ng) =\ln(e) =1. $$

Javob: $\lim_(x\to+\infty)x\chap(\ln(x+1)-\ln(x)\o'ng)=1$.

№5 misol

$\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$ chegarasini toping.

Chunki $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ va $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, keyin biz $1^\infty$ shaklining noaniqligi bilan shug'ullanamiz. Batafsil tushuntirishlar 2-misolda keltirilgan, ammo bu erda biz o'zimizni qisqacha yechim bilan cheklaymiz. $t=x-2$ almashtirishni amalga oshirsak, biz quyidagilarni olamiz:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\chap|\begin(hizalangan)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(hizalangan)\o'ng| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0)) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Ushbu misolni o'zgartirishdan foydalanib, boshqa yo'l bilan hal qilishingiz mumkin: $t=\frac(1)(x-2)$. Albatta, javob bir xil bo'ladi:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(hizalangan)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(hizalangan)\o'ng| =\lim_(t\to\infty)\chap(1+\frac(3)(t)\o'ng)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\o'ng)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\o‘ng)^(\frac(t)(3))\o‘ng)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Javob: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

№6 misol

$\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $ chegarasini toping.

$\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ ifodasi $x\to\infty$ shartida nimaga moyilligini bilib olaylik:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\o'ng| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

Shunday qilib, berilgan chegarada biz $1^\infty$ shaklining noaniqligi bilan shug'ullanamiz, uni ikkinchi ajoyib chegara yordamida aniqlaymiz:

$$ \lim_(x\to\infty)\chap(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\o'ng)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\chap(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\o'ng)^(3x)=\\ =\lim_(x\to) \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\o'ng)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac) (2x^2-4)(7))\o'ng)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\chap(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\o‘ng)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\o'ng)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Javob: $\lim_(x\to\infty)\chap(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\o'ng)^(3x)=1$.

Ushbu maqolada chegaralarni qanday topishni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun biz bu haqda gaplashamiz. Biz nazariyani chuqur o'rganmaymiz, u odatda o'qituvchilar tomonidan ma'ruzalarda o'qiladi. Shunday qilib, "zerikarli nazariya" daftarlaringizda tasvirlangan bo'lishi kerak. Agar yo'q bo'lsa, unda siz kutubxonadan olingan darsliklarni o'qishingiz mumkin ta'lim muassasasi yoki boshqa onlayn manbalar.

Demak, chegara tushunchasi oliy matematika kursini o‘rganishda, ayniqsa, integral hisobiga duch kelganda va chegara va integral o‘rtasidagi bog‘liqlikni tushunganingizda juda muhimdir. Joriy materialda ko'rib chiqiladi oddiy misollar, shuningdek, ularni hal qilish usullari.

Yechim misollari

1-misol

Hisoblang a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Yechim

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Biz ko'pincha ushbu cheklovlarni hal qilish uchun yordam so'rab bizga yuboramiz. Biz ularni alohida misol sifatida ajratib ko'rsatishga qaror qildik va bu chegaralarni, qoida tariqasida, shunchaki eslab qolish kerakligini tushuntirishga qaror qildik. Agar muammoingizni hal qila olmasangiz, uni bizga yuboring. Biz batafsil yechimni taqdim etamiz. Siz hisob-kitoblarning borishi bilan tanishishingiz va ma'lumot to'plashingiz mumkin bo'ladi. Bu sizga o'qituvchidan o'z vaqtida kredit olishingizga yordam beradi!

Javob

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

Shakl noaniqligi bilan nima qilish kerak: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

3-misol

$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ yeching.

Yechim

Har doimgidek, biz $ x $ qiymatini chegara belgisi ostidagi ifodaga almashtirishdan boshlaymiz. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Keyingisi nima? Natija qanday bo'lishi kerak? Bu noaniqlik bo'lgani uchun, bu hali javob emas va biz hisoblashni davom ettiramiz. Numeratorlarda ko'phad mavjud bo'lganligi sababli, biz tanish $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ formulasidan foydalanib, ko'paytiruvchilarga ajratamiz. Esingizdami? Ajoyib! Endi davom eting va uni qo'shiq bilan qo'llang :) Biz $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ sonini olamiz Yuqoridagi transformatsiyani hisobga olgan holda biz hal qilishni davom ettiramiz: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Javob

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Oxirgi ikki misoldagi chegarani cheksizlikka olib chiqamiz va noaniqlikni ko'rib chiqamiz: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

5-misol

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ hisoblang

Yechim

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Nima qilsa bo'ladi? Qanday bo'lish kerak? Vahima qilmang, chunki imkonsiz narsa mumkin. Hisoblagichdagi ham, X maxrajidagi qavslarni chiqarib, keyin uni qisqartirish kerak. Shundan so'ng, chegarani hisoblashga harakat qiling. Urinish... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ 2-misoldagi ta'rifdan foydalanib va ​​cheksizlikni x o'rniga qo'yib, biz quyidagilarni olamiz: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty))))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Javob

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Limitlarni hisoblash algoritmi

Shunday qilib, tahlil qilingan misollarni qisqacha umumlashtiramiz va chegaralarni echish algoritmini tuzamiz:

1. Chegara belgisidan keyingi ifodadagi x nuqtani almashtiring. Agar ma'lum bir raqam yoki cheksizlik olingan bo'lsa, u holda chegara butunlay hal qilinadi. Aks holda, bizda noaniqlik mavjud: "nol nolga bo'linadi" yoki "cheksizlikka bo'lingan cheksizlik" va ko'rsatmalarning keyingi paragraflariga o'ting.
2. "Nolni nolga bo'lish" noaniqligini bartaraf qilish uchun siz pay va maxrajni faktorlarga ajratishingiz kerak. O'xshashni kamaytiring. Ifodadagi x nuqtani chegara belgisi ostida almashtiring.
3. Agar noaniqlik "cheksizlikka bo'lingan cheksizlik" bo'lsa, u holda biz eng katta darajadagi numeratorda ham, x maxrajida ham chiqaramiz. Biz xlarni qisqartiramiz. Biz chegara ostidagi x qiymatlarni qolgan ifodaga almashtiramiz.

Ushbu maqolada siz Hisoblash kursida tez-tez ishlatiladigan limitlarni echish asoslari bilan tanishdingiz. Albatta, bu imtihonchilar tomonidan taklif qilinadigan barcha turdagi muammolar emas, balki faqat eng oddiy chegaralardir. Kelgusi maqolalarda biz boshqa turdagi vazifalar haqida gapiramiz, lekin oldinga o'tish uchun siz ushbu darsni o'rganishingiz kerak. Agar ildizlar, darajalar bo'lsa, nima qilish kerakligini muhokama qilamiz, cheksiz kichik ekvivalent funktsiyalarni, ajoyib chegaralarni, L'Hopital qoidasini o'rganamiz.

Agar siz o'zingiz chegaralarni aniqlay olmasangiz, vahima qo'ymang. Biz har doim yordam berishdan xursandmiz!

Limit nima? Limit tushunchasi

Har bir inson, istisnosiz, o'z qalbining tubida chegara nima ekanligini tushunadi, lekin "funktsiya chegarasi" yoki "ketma-ketlik chegarasi" ni eshitishi bilanoq, biroz chalkashlik paydo bo'ladi.

Qo'rqmang, bu faqat bilimsizlikdan! Quyidagilarni 3 daqiqa o'qib chiqqandan so'ng, siz yanada savodli bo'lasiz.

Ular ba'zi bir cheklovchi pozitsiyalar, ma'nolar, vaziyatlar haqida gapirganda va umuman olganda, hayotda chegara atamasiga murojaat qilganda nimani anglatishini bir marta va butunlay tushunish muhimdir.

Kattalar buni intuitiv ravishda tushunishadi va biz buni bir nechta misollar bilan tahlil qilamiz.

Bir misol

Chaif ​​guruhining qo'shig'idagi satrlarni eslaylik: "... uni chegaraga olib bormang, uni chegaraga olmang ...".

Ikkinchi misol

Siz ob'ektning kosmosdagi o'ta barqaror pozitsiyasi haqidagi iborani eshitgansiz.

Siz o'zingiz bunday vaziyatni improvizatsiya qilingan narsalar bilan osongina taqlid qilishingiz mumkin.

Masalan, plastik shishani biroz egib, qo'yib yuboring. U tubiga qaytadi.

Ammo bunday cheklovli moyil pozitsiyalar mavjud, ulardan tashqarida u shunchaki tushib ketadi.

Shunga qaramay, bu holatda cheklov pozitsiyasi o'ziga xos narsadir. Buni tushunish muhimdir.

Cheklov atamasidan foydalanishning ko'plab misollarini keltirish mumkin: inson imkoniyatlarining chegarasi, materialning yakuniy kuchi va boshqalar.

Umuman olganda, biz har kuni qonunsizlikka duch kelamiz)))

Lekin hozir bizni matematikada ketma-ketlik chegarasi va funksiya chegarasi qiziqtiradi.

Matematikada sonlar ketma-ketligi chegarasi

Limit (raqamli ketma-ketlik) - asosiy tushunchalardan biri matematik tahlil. Zamonaviy fanni belgilaydigan yuzlab va yuzlab teoremalar chegaraga o'tish tushunchasiga asoslanadi.

To'g'ridan-to'g'ri aniq misol aniqlik uchun.

Aytaylik, cheksiz sonlar ketma-ketligi bor, ularning har biri oldingisining yarmi bo'lib, bittadan boshlab: 1, ½, ¼, ...

Shunday qilib, raqamli ketma-ketlikning chegarasi (agar u mavjud bo'lsa) qandaydir o'ziga xos qiymatdir.

Yarimga bo'linish jarayonida ketma-ketlikning har bir keyingi qiymati cheksiz ravishda ma'lum bir raqamga yaqinlashadi.

Bu nolga teng bo'lishini taxmin qilish oson.

Muhim!

Biz chegara (chegaraviy qiymat) mavjudligi haqida gapirganda, bu ketma-ketlikning ba'zi a'zolari ushbu chegara qiymatiga teng bo'lishini anglatmaydi. U faqat bunga intilishi mumkin.

Bizning misolimizdan bu aniqroq. Qancha marta birdan ikkiga bo'linmaylik, biz hech qachon nolga erisha olmaymiz. Oldingi raqamning yarmi bo'ladi, lekin nol emas!

Matematikada funktsiya chegarasi

Matematik tahlilda, albatta, eng muhimi funksiya chegarasi tushunchasi.

Nazariyani chuqur o'rganmasdan, keling, quyidagilarni aytaylik: funktsiyaning chegaraviy qiymati har doim ham funktsiyaning o'zi qiymatlari oralig'iga tegishli bo'lmasligi mumkin.

Argument o'zgarganda, funktsiya qandaydir qiymatga intiladi, lekin uni hech qachon qabul qilmasligi mumkin.

Masalan, giperbola 1/x har qanday nuqtada nol qiymatiga ega emas, lekin u nolga intilishda cheksiz vaqtga intiladi. x cheksizlikka.

Limit kalkulyatori

Bizning maqsadimiz sizga nazariy bilim berish emas, buning uchun juda ko'p aqlli qalin kitoblar mavjud.

Lekin biz sizni foydalanishga taklif qilamiz onlayn kalkulyator chegaralar, ular yordamida siz o'z yechimingizni to'g'ri javob bilan taqqoslashingiz mumkin.

Bundan tashqari, kalkulyator chegaralarni bosqichma-bosqich hal qiladi, ko'pincha L'Hopital qoidasini bir nuqtada yoki ma'lum bir segmentdagi uzluksiz funktsiyaning numeratori va maxrajining differentsiatsiyasidan foydalangan holda qo'llaydi.

Limit nima? Limit tushunchasi

Har bir inson, istisnosiz, o'z qalbining tubida chegara nima ekanligini tushunadi, lekin "funktsiya chegarasi" yoki "ketma-ketlik chegarasi" ni eshitishi bilanoq, biroz chalkashlik paydo bo'ladi.

Qo'rqmang, bu faqat bilimsizlikdan! Quyidagilarni 3 daqiqa o'qib chiqqandan so'ng, siz yanada savodli bo'lasiz.

Ular ba'zi bir cheklovchi pozitsiyalar, ma'nolar, vaziyatlar haqida gapirganda va umuman olganda, hayotda chegara atamasiga murojaat qilganda nimani anglatishini bir marta va butunlay tushunish muhimdir.

Kattalar buni intuitiv ravishda tushunishadi va biz buni bir nechta misollar bilan tahlil qilamiz.

Bir misol

Chaif ​​guruhining qo'shig'idagi satrlarni eslaylik: "... uni chegaraga olib bormang, uni chegaraga olmang ...".

Ikkinchi misol

Siz ob'ektning kosmosdagi o'ta barqaror pozitsiyasi haqidagi iborani eshitgansiz.

Siz o'zingiz bunday vaziyatni improvizatsiya qilingan narsalar bilan osongina taqlid qilishingiz mumkin.

Masalan, plastik shishani biroz egib, qo'yib yuboring. U tubiga qaytadi.

Ammo bunday cheklovli moyil pozitsiyalar mavjud, ulardan tashqarida u shunchaki tushib ketadi.

Shunga qaramay, bu holatda cheklov pozitsiyasi o'ziga xos narsadir. Buni tushunish muhimdir.

Cheklov atamasidan foydalanishning ko'plab misollarini keltirish mumkin: inson imkoniyatlarining chegarasi, materialning yakuniy kuchi va boshqalar.

Umuman olganda, biz har kuni qonunsizlikka duch kelamiz)))

Lekin hozir bizni matematikada ketma-ketlik chegarasi va funksiya chegarasi qiziqtiradi.

Matematikada sonlar ketma-ketligi chegarasi

Limit (sonli ketma-ketlik) matematik analizning asosiy tushunchalaridan biridir. Zamonaviy fanni belgilaydigan yuzlab va yuzlab teoremalar chegaraga o'tish tushunchasiga asoslanadi.

Aniqlik uchun aniq bir misol.

Aytaylik, cheksiz sonlar ketma-ketligi bor, ularning har biri oldingisining yarmi bo'lib, bittadan boshlab: 1, ½, ¼, ...

Shunday qilib, raqamli ketma-ketlikning chegarasi (agar u mavjud bo'lsa) qandaydir o'ziga xos qiymatdir.

Yarimga bo'linish jarayonida ketma-ketlikning har bir keyingi qiymati cheksiz ravishda ma'lum bir raqamga yaqinlashadi.

Bu nolga teng bo'lishini taxmin qilish oson.

Muhim!

Biz chegara (chegaraviy qiymat) mavjudligi haqida gapirganda, bu ketma-ketlikning ba'zi a'zolari ushbu chegara qiymatiga teng bo'lishini anglatmaydi. U faqat bunga intilishi mumkin.

Bizning misolimizdan bu aniqroq. Qancha marta birdan ikkiga bo'linmaylik, biz hech qachon nolga erisha olmaymiz. Oldingi raqamning yarmi bo'ladi, lekin nol emas!

Matematikada funktsiya chegarasi

Matematik tahlilda, albatta, eng muhimi funksiya chegarasi tushunchasi.

Nazariyani chuqur o'rganmasdan, keling, quyidagilarni aytaylik: funktsiyaning chegaraviy qiymati har doim ham funktsiyaning o'zi qiymatlari oralig'iga tegishli bo'lmasligi mumkin.

Argument o'zgarganda, funktsiya qandaydir qiymatga intiladi, lekin uni hech qachon qabul qilmasligi mumkin.

Masalan, giperbola 1/x har qanday nuqtada nol qiymatiga ega emas, lekin u nolga intilishda cheksiz vaqtga intiladi. x cheksizlikka.

Limit kalkulyatori

Bizning maqsadimiz sizga nazariy bilim berish emas, buning uchun juda ko'p aqlli qalin kitoblar mavjud.

Ammo biz sizga onlayn limit kalkulyatoridan foydalanishni tavsiya qilamiz, uning yordamida siz o'z yechimingizni to'g'ri javob bilan taqqoslashingiz mumkin.

Bundan tashqari, kalkulyator chegaralarni bosqichma-bosqich hal qiladi, ko'pincha L'Hopital qoidasini bir nuqtada yoki ma'lum bir segmentdagi uzluksiz funktsiyaning numeratori va maxrajining differentsiatsiyasidan foydalangan holda qo'llaydi.

Yechim onlayn funksiya cheklovlari. Nuqtadagi funksiya yoki funksional ketma-ketlikning chegara qiymatini toping, hisoblang cheklovchi cheksizlikdagi funktsiya qiymati. raqamlar seriyasining yaqinlashuvini aniqlang va boshqa ko'p narsalarni bizning onlayn xizmatimiz tufayli amalga oshirish mumkin -. Biz sizga onlayn funksiya chegaralarini tez va aniq topish imkonini beramiz. Siz o'zingiz kiring funktsiya o'zgaruvchisi va u intilayotgan chegara, bizning xizmatimiz siz uchun barcha hisob-kitoblarni amalga oshiradi, aniq va oddiy javob beradi. Va uchun onlayn chegarani topish like kiritishingiz mumkin raqamlar seriyasi, va so'zma-so'z ifodada doimiylarni o'z ichiga olgan analitik funktsiyalar. Bunday holda, topilgan funksiya chegarasi ushbu konstantalarni ifodada doimiy argumentlar sifatida o'z ichiga oladi. Bizning xizmatimiz har qanday muammoni hal qiladi qiyin vazifalar joylashuvi bo'yicha onlayn cheklovlar, funktsiyani va hisoblash uchun zarur bo'lgan nuqtani ko'rsatish kifoya funktsiya chegarasi. Hisoblash onlayn cheklovlar, natijani bilan solishtirganda ularni hal qilish uchun turli usullar va qoidalardan foydalanishingiz mumkin yechimni onlayn cheklash www.site saytida, bu vazifani muvaffaqiyatli bajarishga olib keladi - siz o'zingizning xatolaringiz va xatolaringizdan qochasiz. Yoki funktsiya chegarasining mustaqil hisob-kitoblariga qo'shimcha kuch va vaqt sarflamasdan, bizga to'liq ishonishingiz va natijamizdan ishingizda foydalanishingiz mumkin. Biz cheksizlik kabi chegara qiymatlarini kiritishga ruxsat beramiz. Raqamli ketma-ketlikning umumiy atamasini kiritishingiz kerak va www.sayt qiymatini hisoblab chiqadi onlayn chegara ortiqcha yoki minus cheksizlikka.

Matematik analizning asosiy tushunchalaridan biri bu funktsiya chegarasi Va ketma-ketlik chegarasi nuqtada va cheksizlikda to'g'ri hal qila olish muhimdir chegaralar. Bizning xizmatimiz bilan bu qiyin bo'lmaydi. Qaror qabul qilinmoqda onlayn cheklovlar soniya ichida javob aniq va to'liq bo'ladi. Hisob-kitoblarni o'rganish shundan boshlanadi chegaraga o'tish, chegaralar Oliy matematikaning deyarli barcha bo'limlarida qo'llaniladi, shuning uchun qo'lda server bo'lishi foydalidir onlayn echimlarni cheklash, bu matematikam.ru.