Sčítání a odčítání desetinných zlomků.

Násobení desetinných míst.

Dělení desetinných míst.

Sčítání a odčítání desetinných zlomků. Tyto operace se provádějí stejným způsobem jako sčítání a odčítání celých čísel. Je pouze nutné zapsat odpovídající desetinná místa pod sebe.

PŘÍKLAD

Násobení desetinných míst. V prvním kroku vynásobíme desetinné zlomky jako celá čísla, aniž bychom brali v úvahu desetinnou čárku. Poté se použije následující pravidlo: počet desetinných míst v součinu se rovná součtu desetinných míst ve všech faktorech.

Komentář: před desetinnou čárkou PROTI práce nemůže býtvyřadit koncové nuly !

PŘÍKLAD

Součet počtu desetinných míst ve faktorech je: 3 + 4 = 7. Součet číslic v součinu je 6. Proto je potřeba doleva přidat jednu nulu: 0197056 a před ni umístit desetinnou čárku: 0,0197056.

Desetinné dělení

Vydělte desetinné místo celým číslem

Li dividenda je menší než dělitel, do celočíselné části podílu napíšeme nulu a za ni dáme desetinnou čárku. Poté, bez ohledu na desetinnou čárku dividendy, přidáme další číslici zlomkové části k její celočíselné části a znovu porovnáme výslednou celočíselnou část dividendy s dělitelem. Pokud je nové číslo opět menší než dělitel, dejte za desetinnou čárku do podílu ještě jednu nulu a k celé části děliče přidejte další číslici jeho zlomkové části. Tento proces se opakuje, dokud nevznikne výsledná dividenda více dělitel. Potom dělení se provádí jako u celých čísel. Li dělitel je větší nebo roven děliteli, nejprve vydělíme jeho celočíselnou část, výsledek dělení zapíšeme soukromě a dáme desetinnou čárku. Poté dělení pokračuje jako v případě celých čísel.

PŘÍKLAD Vydělte 1,328 64.

Řešení:

Dělení jednoho desetinného zlomku druhým.

Nejprve převedeme desetinná místa v dělenci a děliteli o počet desetinných míst v děliteli, to znamená, že dělitele uděláme celé číslo. Nyní provedeme rozdělení, jako v předchozím případě.

PŘÍKLAD Vydělte 0,04569 číslem 0,0006.

Řešení.

Přenášíme desetinný body za 4 pozice vpravo A dělit 456,9 na 6:

Akce se zlomky. V tomto článku budeme analyzovat příklady, vše je podrobně popsáno s vysvětlením. Budeme uvažovat obyčejné zlomky. V budoucnu budeme analyzovat desetinná místa. Doporučuji shlédnout celé a studovat postupně.

1. Součet zlomků, rozdíl zlomků.

Pravidlo: při sčítání zlomků se stejnými jmenovateli je výsledkem zlomek - jehož jmenovatel zůstává stejný a jeho čitatel se bude rovnat součtu čitatelů zlomků.

Pravidlo: při výpočtu rozdílu zlomků se stejnými jmenovateli dostaneme zlomek - jmenovatel zůstane stejný a čitatel druhého se odečte od čitatele prvního zlomku.

Formální zápis součtu a rozdílu zlomků se stejnými jmenovateli:

Příklady (1):

Je jasné, že když jsou uvedeny běžné zlomky, pak je vše jednoduché, ale pokud jsou smíchány? Nic složitého...

Možnost 1- můžete je převést na obyčejné a pak je vypočítat.

Možnost 2- můžete samostatně "pracovat" s celočíselnou a zlomkovou částí.

Příklady (2):

Více:

A pokud rozdíl dvou smíšené frakce a čitatel prvního zlomku bude menší než čitatel druhého? To lze také provést dvěma způsoby.

Příklady (3):

* Převedeno na obyčejné zlomky, vypočítat rozdíl, převést výsledný nesprávný zlomek na smíšený.

* Rozdělení na celé číslo a zlomkové části, dostal tři, pak prezentoval 3 jako součet 2 a 1, s jednotkou prezentovanou jako 11/11, pak našel rozdíl mezi 11/11 a 7/11 a vypočítal výsledek. Smyslem výše uvedených transformací je vzít (vybrat) jednotku a prezentovat ji jako zlomek se jmenovatelem, který potřebujeme, pak od tohoto zlomku již můžeme odečíst další.

Další příklad:

Závěr: existuje univerzální přístup - aby bylo možné vypočítat součet (rozdíl) smíšených zlomků se stejnými jmenovateli, lze je vždy převést na nesprávné a poté provést potřebnou akci. Poté, pokud v důsledku toho dostaneme nesprávný zlomek, převedeme ho na smíšený.

Výše jsme se podívali na příklady se zlomky, které mají stejné jmenovatele. Co když se jmenovatelé liší? V tomto případě se zlomky zredukují na stejného jmenovatele a provede se zadaná akce. Pro změnu (transformaci) zlomku se používá hlavní vlastnost zlomku.

Zvažte jednoduché příklady:

V těchto příkladech okamžitě vidíme, jak lze jeden ze zlomků převést na stejné jmenovatele.

Pokud určíme způsoby, jak zlomky zredukovat na jeden jmenovatel, bude se jmenovat tento ZPŮSOB PRVNÍ.

To znamená, že okamžitě při „vyhodnocení“ zlomku musíte zjistit, zda takový přístup bude fungovat - zkontrolujeme, zda je větší jmenovatel dělitelný menším. A pokud se dělí, tak provedeme transformaci - vynásobíme čitatel a jmenovatel tak, aby se jmenovatelé obou zlomků rovnali.

Nyní se podívejte na tyto příklady:

Tento přístup se na ně nevztahuje. Existují i ​​jiné způsoby, jak zlomky zredukovat na společného jmenovatele, zvažte je.

Metoda DRUHÁ.

Vynásobte čitatel a jmenovatel prvního zlomku jmenovatelem druhého a čitatel a jmenovatel druhého zlomku jmenovatelem prvního:

*Ve skutečnosti do tvaru přivedeme zlomky, když se jmenovatelé vyrovnají. Dále použijeme pravidlo sčítání bázlivý se stejnými jmenovateli.

Příklad:

*Tuto metodu lze nazvat univerzální a vždy funguje. Jediným negativem je, že po výpočtech může vyjít zlomek, který bude nutné dále snížit.

Zvažte příklad:

Je vidět, že čitatel a jmenovatel jsou dělitelné 5:

Metoda TŘETÍ.

Najděte nejmenší společný násobek (LCM) jmenovatelů. To bude společný jmenovatel. co je to za číslo? Toto je nejmenší přirozené číslo, které je dělitelné každým z čísel.

Podívejte, tady jsou dvě čísla: 3 a 4, je jimi dělitelná spousta čísel - to jsou 12, 24, 36, ... Nejmenší z nich je 12. Nebo 6 a 15, 30, 60, 90 jsou jimi dělitelné .... Nejméně 30. Otázka - jak určit tento nejmenší společný násobek?

Existuje jasný algoritmus, ale často to lze provést okamžitě bez výpočtů. Například podle výše uvedených příkladů (3 a 4, 6 a 15) není potřeba žádný algoritmus, vzali jsme velká čísla (4 a 15), zdvojnásobili je a viděli, že jsou dělitelná druhým číslem, ale dvojice čísel mohou být různé, například 51 a 119.

Algoritmus. Chcete-li určit nejmenší společný násobek několika čísel, musíte:

- rozložte každé z čísel na JEDNODUCHÉ faktory

- vypište rozklad VĚTŠÍHO z nich

- vynásobte jej CHYBĚJÍCÍMI faktory jiných čísel

Zvažte příklady:

50 a 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

v rozkladu více chybí jedna pětka

=> LCM(50;60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 a 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

v rozšíření většího počtu chybí dvojka a trojka

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Nejmenší společný násobek dvou prvočísel se rovná jejich součinu

Otázka! A proč je užitečné najít nejmenší společný násobek, protože můžete použít druhou metodu a výsledný zlomek jednoduše zmenšit? Ano, můžete, ale není to vždy pohodlné. Podívejte se, jaký bude jmenovatel čísel 48 a 72, když je jednoduše vynásobíte 48∙72 = 3456. Souhlaste, že je příjemnější pracovat s menšími čísly.

Zvažte příklady:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

v rozšíření většího počtu chybí trojka

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

A nyní použijeme první metodu:

* Podívejte se na rozdíl ve výpočtech, v prvním případě je jich minimum a ve druhém musíte pracovat samostatně na kusu papíru a dokonce i zlomek, který jste dostali, je třeba snížit. Nalezení LCM značně zjednodušuje práci.

Další příklady:

* Ve druhém příkladu je již zřejmé, že nejmenší číslo, které je dělitelné 40 a 60, je 120.

CELKOVÝ! OBECNÝ ALGORITMUS VÝPOČTU!

- zlomky přivedeme k obyčejným, pokud existuje celočíselná část.

- zlomky přivedeme ke společnému jmenovateli (nejprve se podíváme, zda je jeden jmenovatel dělitelný druhým, je-li dělitelný, pak vynásobíme čitatele a jmenovatele tohoto druhého zlomku; pokud není dělitelný, postupujeme dalšími výše uvedenými metodami).

- po obdržení zlomků se stejnými jmenovateli provádíme akce (sčítání, odčítání).

- v případě potřeby snížíme výsledek.

- v případě potřeby vyberte celý díl.

2. Součin frakcí.

Pravidlo je jednoduché. Při násobení zlomků se násobí jejich čitatelia a jmenovatelé:

Příklady:

Úkol. Na základnu bylo dovezeno 13 tun zeleniny. Brambory tvoří ¾ veškeré dovážené zeleniny. Kolik kilogramů brambor bylo dovezeno na základnu?

Skončeme s prací.

*Dříve jsem vám slíbil formální vysvětlení hlavní vlastnosti frakce prostřednictvím produktu, prosím:

3. Dělení zlomků.

Dělení zlomků se redukuje na jejich násobení. Zde je důležité mít na paměti, že zlomek, který je dělitelem (ten, který je dělen), se otočí a akce se změní na násobení:

Tuto akci lze zapsat jako takzvaný čtyřpatrový zlomek, protože samotné dělení „:“ lze také zapsat jako zlomek:

Příklady:

To je vše! Hodně štěstí!

S pozdravem Alexander Krutitskikh.

DESETINNÉ ZLOMKY. AKCE NA DESETINNÉ ZLOMKY

(shrnutí lekce)

Tumysheva Zamira Tansykbaevna, učitelka matematiky, školní gymnázium č. 2

Khromtau, oblast Aktobe, Republika Kazachstán

Tento vývoj lekce je zamýšlen jako zobecňující lekce pro kapitolu „Akce na desetinná místa". Lze jej použít v 5. i 6. třídě. Lekce je vedena formou hry.

Desetinná čísla. Operace s desetinnými místy.(shrnutí lekce)

cílová:

Procvičování dovedností a schopností sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných zlomků na přirozená čísla a desetinné zlomky

Vytváření podmínek pro rozvoj dovedností samostatná práce, sebeovládání a sebeúcta, rozvoj intelektových kvalit: pozornost, představivost, paměť, schopnost analyzovat a zobecňovat

Vyvolat kognitivní zájem o předmět a rozvíjet sebevědomí

PLÁN LEKCE:

1. Organizační část.

3. Téma a účel naší lekce.

4. Hra "K ceněné vlajce!"

5. Hra "Číselník".

6. Lyrická odbočka.

7. Ověřovací práce.

8. Hra "Šifrování" (práce ve dvojicích)

9. Shrnutí.

10. Domácí práce.

1. Organizační část. Ahoj. Posaďte se.

2. Přehled pravidel pro provádění početních operací s desetinnými zlomky.

Pravidlo pro sčítání a odečítání desetinných míst:

1) vyrovnat počet desetinných míst v těchto zlomcích;

2) zapište jeden pod druhý tak, aby čárka byla pod čárkou;

3) aniž byste si čárky všimli, proveďte akci (sčítání nebo odčítání) a jako výsledek vložte čárku pod čárky.

3,455 + 0,45 = 3,905 3,5 + 4 = 7,5 15 – 7,88 = 7,12 4,57 - 3,2 = 1,37

3,455 + 3,5 _15,00 _ 4,57

0,450 4,0 7,88 3,20

3,905 7,5 7,12 1,37

Při sčítání a odčítání se přirozená čísla zapisují jako desetinný zlomek s desetinnými místy rovnými nule.

Pravidlo pro násobení desetinných míst:

1) ignorujte čárku, vynásobte čísla;

2) ve výsledném produktu oddělte čárkou tolik číslic zprava doleva, kolik je odděleno čárkou v desetinných zlomcích.

Při násobení desetinného zlomku bitovými jednotkami (10, 100, 1000 atd.) se čárka posune doprava o tolik čísel, kolik je nul v bitové jednotce

4

17,25 4 = 69

x 1 7,2 5

4

6 9,0 0

15,256 100 = 1525,6

0,52 = 2,35

X 0,5 2

4,5

2 7 0

2 0 8__

2,3 5 0

Při násobení se přirozená čísla zapisují jako přirozená čísla.

Pravidlo pro dělení desetinných zlomků přirozeným číslem:

1) rozdělte celou část dividendy, vložte čárku do soukromého;

2) pokračujte v dělení.

Při dělení na zbytek odebereme z dividendy pouze jedno číslo.

Pokud v procesu dělení desetinného zlomku zůstane zbytek, pak tím, že mu přiřadíme požadovaný počet nul, pokračujeme v dělení, dokud nebude zbytek nula.

15,256: 100 = 0,15256

0,25: 1000 = 0,00025

Při dělení desetinného zlomku na bitové jednotky (10, 100, 1000 atd.) se čárka posune doleva o tolik čísel, kolik je nul v bitové jednotce.

18,4: 8 = 2,3

_ 18,4 І_8_

16 2,3

2 4

2 4

22,2: 25 = 0,88

22,2 І_25_

0 0,888

22 2

20 0

2 20

2 00

200

200

3,56: 4 = 0,89

3,56 І_4_

0 0,89

3 5

3 2

36

Při dělení se přirozená čísla zapisují jako přirozená čísla.

Pravidlo pro dělení desetinných míst desetinnými místy:

1) posuneme čárku v děliteli doprava tak, abychom dostali přirozené číslo;

2) posuňte čárku v děliteli doprava o tolik čísel, o kolik byla posunuta v děliteli;

3) desetinný zlomek dělíme přirozeným číslem.

3,76: 0,4 = 9, 4

_ 3,7,6 I_0,4,_

3 6 9, 4

1 6

1 6

0

Hra "Na drahocennou vlajku!"

Pravidla hry: Z každého týmu je k tabuli povolán jeden student, který provede ústní počítání od spodního stupně. Řešitel jednoho příkladu označí odpověď do tabulky. Poté je nahrazen jiným členem týmu. Nastává pohyb nahoru – k vytoužené vlajce. Žáci v terénu slovně kontrolují výsledky svých hráčů. Pokud je odpověď nesprávná, přichází k tabuli další člen týmu, aby pokračoval v řešení úkolů. Kapitáni týmů volají studenty, aby pracovali na tabuli. Vyhrává tým, který jako první dosáhne vlajky s nejmenším počtem studentů.

Hra "Číselník"

Pravidla hry:Čísla jsou napsána v kruzích mlýna. Šipky spojující kruhy označují akce. Úkolem je provádět sekvenční akce, pohybující se po šipce od středu k vnějšímu kruhu. Prováděním postupných akcí podél vyznačené trasy najdete odpověď v jednom z níže uvedených kruhů. Výsledek provádění akcí pro každou šipku je napsán v oválu vedle ní.

Lyrická odbočka.

Lifshitzova báseň „Tři desetiny“

Kdo je to

Z portfolia

Vrhá naštvanost

nenávistný hlavolam,

Penál a sešity

A lepí si deník.

Bez začervenání,

Pod dubovým příborníkem.

Ležet pod příborníkem? ..

Seznamte se prosím:

Kosťa Žigalin.

Oběť věčného hnidopišství, -

Opět selhal.

A syčí

Na rozcuchaný

Hledání knihy problémů:

Prostě nemám štěstí!

Jsem prostě smolař!

Jaký je důvod

Jeho zášť a podrážděnost?

Že odpověď neseděla

Jen tři desetiny.

Tohle je fakt plýtvání!

A jemu, samozřejmě,

najít chybu

Přísný

Marie Petrovna.

Tři desetiny...

Řekněte mi o této chybě

A možná i na obličejích

Uvidíte úsměv.

Tři desetiny...

A ještě o této chybě

Moc prosím

Poslouchej mě

Bez úsměvu.

Pokud b, stavba vašeho domu.

Ten, ve kterém bydlíš.

Architekt

trochu

Špatně

Při počítání -

Co by se stalo.

Znáte Kostyu Zhigalin?

Tento dům

by se obrátil

V hromadě ruin!

Vstoupíte na most.

Je spolehlivý a odolný.

Nebuďte inženýr

Přesné ve svých kresbách, -

Mohl bys, Kosťo,

Padání

do studené řeky

Neřekl bych děkuji

Ta osoba!

Tady je turbína.

Má hřídel

Nudí soustružníci.

Pokud soustružník

V práci

Nebylo to moc přesné.

Bylo by hotovo, Kosťo,

Velké neštěstí:

Zničilo by to turbínu

na malé části!

Tři desetiny -

A stěny

staví se

Koso!

Tři desetiny -

A kolaps

vagony

Mimo svah!

udělat chybu

Jen tři desetiny

LÉKÁRNA, -

Medicína se stává jedem

Zabije člověka!

Rozbili jsme a jeli

Fašistický gang.

Tvůj otec dal

Příkaz baterie.

Udělejte chybu při příjezdu

Minimálně tři desetiny

Skořápky by nepředběhly

Zatracení nacisté.

Přemýšlejte o tom

Můj příteli, chladnokrevně

A řekni.

Nebylo to správné?

Marii Petrovna?

Upřímně řečeno

Přemýšlej o tom, Kosťo.

Není nad to lhát

Deník pod bufetem!

Testová práce na téma "Desetinné zlomky" (matematika -5)

Na obrazovce se postupně objeví 9 snímků. Studenti si zapisují do sešitu číslo možnosti a odpovědi na otázku. Například možnost 2

1,C; 2. A; a tak dále.

OTÁZKA 1

Možnost 1

Když násobíte desetinný zlomek 100, musíte čárku v tomto zlomku posunout:

A. doleva o 2 číslice; B. doprava o 2 číslice; C. neměňte místo čárky.

Možnost 2

Když násobíte desetinný zlomek 10, musíte v tomto zlomku posunout čárku:

A. pravá 1 číslice; B. doleva o 1 číslici; C. neměňte místo čárky.

OTÁZKA 2

Možnost 1

Součet 6,27 + 6,27 + 6,27 + 6,27 + 6,27 jako součin se píše takto:

A. 6,27 5; B. 6,27 6,27; S. 6,27 4.

Možnost 2

Součet 9,43 + 9,43 + 9,43 + 9,43 jako součin je zapsán takto:

A. 9,43 9,43; B, 6 9,43; S. 9,43 4.

OTÁZKA 3

Možnost 1

V součinu 72,43 18 bude za desetinnou čárkou:

Možnost 2

V součinu 12,453 35 za desetinnou čárkou bude:

A. 2 číslice; B. 0 číslic; C. 3 číslice.

OTÁZKA 4

Možnost 1

V podílu 76,4:2 za desetinnou čárkou bude:

A. 2 číslice; B. 0 číslic; C. 1 číslice.

Možnost 2

V soukromém 95,4:6 za desetinnou čárkou bude:

A. 1 číslice; B. 3 číslice; C. 2 číslice.

OTÁZKA 5

Možnost 1

Najděte hodnotu výrazu 34,5: x + 0,65 y, při x=10 y=100:

A. 35,15; B, 68,45; S. 9,95.

Možnost 2

Najděte hodnotu výrazu 4,9 x +525:y, při x=100 y=1000:

A. 4905,25; B. 529,9; str. 490,525.

OTÁZKA 6

Možnost 1

Plocha obdélníku o stranách 0,25 a 12 cm je

A. 3; B, 0,3; S. 30.

Možnost 2

Plocha obdélníku se stranami 0,5 a 36 cm je

A. 1,8; V. 18; C, 0,18.

OTÁZKA 7

Možnost 1

ve stejnou dobu ze školy opačné strany odešli dva studenti. Rychlost prvního žáka je 3,6 km/h, rychlost druhého žáka 2,56 km/h. Po 3 hodinách bude vzdálenost mezi nimi:

A. 6,84 km; V. 18,48 km; S. 3,12 km

Možnost 2

Dva cyklisté vyjeli ze školy současně v protisměru. Rychlost prvního je 11,6 km/h, rychlost druhého 13,06 km/h. Po 4 hodinách bude vzdálenost mezi nimi:

A. 5,84 km; V. 100,8 km; S. 98,64 km

Možnost 1

Možnost 2

Zkontroluj si své odpovědi. Pro správnou odpověď vložte „+“ a pro nesprávnou odpověď „-“.

Hra "Šifrování"

Pravidla hry: Každý stůl dostane kartu s úkolem, který má kódové písmeno. Po dokončení kroků a získání výsledku si zapište kódové písmeno vaší karty pod číslo odpovídající vaší odpovědi.

V důsledku toho dostaneme návrh:

6,8

420

21,6

420

306

65,8

21,6

Shrnutí lekce.

Vyhlašují se výsledky testů.

Domácí úkol č. 1301, 1308, 1309

Děkuji za pozornost!!!

Tento článek je o desetinná místa. Zde se budeme zabývat desítkovým zápisem zlomková čísla, zavedeme pojem desetinný zlomek a uvedeme příklady desetinných zlomků. Dále si promluvme o číslicích desetinných zlomků, uveďte názvy číslic. Poté se zaměříme na nekonečné desetinné zlomky, řekněme na zlomky periodické a neperiodické. Dále uvádíme hlavní akce s desetinnými zlomky. Na závěr stanovíme polohu desetinných zlomků na souřadnicovém paprsku.

Navigace na stránce.

Desetinný zápis zlomkového čísla

Čtení desetinných míst

Řekněme si pár slov o pravidlech pro čtení desetinných zlomků.

Desetinné zlomky, které odpovídají správným obyčejným zlomkům, se čtou stejně jako tyto obyčejné zlomky, pouze se předem sečte „nulový celek“. Například desetinný zlomek 0,12 odpovídá běžnému zlomku 12/100 (čte se „dvanáct setin“), proto se 0,12 čte jako „nula dvanáct setin“.

Desetinné zlomky, které odpovídají smíšeným číslům, se čtou přesně stejným způsobem jako tato smíšená čísla. Například desetinný zlomek 56.002 odpovídá smíšenému číslu, proto se desetinný zlomek 56.002 čte jako "padesát šest desetinných dvou tisícin."

Místa v desetinných číslech

V zápisu desetinných zlomků, stejně jako v zápisu přirozených čísel, závisí hodnota každé číslice na její poloze. Ve skutečnosti číslo 3 v desítkové soustavě 0,3 znamená tři desetiny, v desítkové soustavě 0,0003 - tři desetitisíciny a v desítkové soustavě 30 000,152 - tři desetitisíce. Můžeme tedy mluvit o číslice v desetinných číslech, stejně jako o číslicích v přirozených číslech.

Názvy číslic v desetinném zlomku na desetinnou čárku se zcela shodují s názvy číslic v přirozených číslech. A názvy číslic v desetinném zlomku za desetinnou čárkou jsou viditelné z následující tabulky.

Například v desetinném zlomku 37,051 je číslo 3 na místě desítek, 7 na místě jednotek, 0 na desátém místě, 5 na stém místě, 1 na tisícině.

Číslice v desetinném zlomku se také liší v senioritě. Budeme-li se v desítkovém zápisu pohybovat od číslice k číslici zleva doprava, pak se budeme pohybovat od senior Na juniorské řady. Například číslice stovek je starší než číslice desetin a číslice milionů je mladší než číslice setin. V tomto konečném desetinném zlomku můžeme mluvit o nejvýznamnějších a nejméně významných číslicích. Například v desítkové soustavě 604,9387 senior (nejvyšší)číslice je číslice stovek a junior (nejnižší)- desetitisícové místo.

U desetinných zlomků dochází k rozšíření na číslice. Je to analogické s rozvojem přirozených čísel v číslicích. Například desetinný rozvoj 45,6072 je: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002 . A vlastnosti sčítání z rozšíření desetinného zlomku na číslice vám umožňují přejít na další reprezentace tohoto desetinného zlomku, například 45,6072=45+0,6072 nebo 45,6072=40,6+5,007+0,0002 nebo 45,6072=4+5..

Koncová desetinná místa

Dosud jsme mluvili pouze o desetinných zlomcích, v jejichž záznamu je za desetinnou čárkou konečný počet číslic. Takové zlomky se nazývají konečné desetinné zlomky.

Definice.

Koncová desetinná místa- Jedná se o desetinné zlomky, jejichž záznamy obsahují konečný počet znaků (číslic).

Zde je několik příkladů koncových desetinných míst: 0,317 , 3,5 , 51,1020304958 , 230 032,45 .

Ne každý běžný zlomek však může být reprezentován jako konečný desetinný zlomek. Například zlomek 5/13 nelze nahradit rovným zlomkem s jedním ze jmenovatelů 10, 100, ..., proto jej nelze převést na konečný desetinný zlomek. Více si o tom povíme v teoretické části převodu obyčejných zlomků na desetinné zlomky.

Nekonečná desetinná místa: periodické zlomky a neperiodické zlomky

Při psaní desetinného zlomku za desetinnou čárkou můžete povolit možnost nekonečného počtu číslic. V tomto případě se dostaneme k úvaze o tzv. nekonečných desetinných zlomcích.

Definice.

Nekonečná desetinná místa- Jedná se o desetinné zlomky, v jejichž záznamu je nekonečný počet číslic.

Je jasné, že nekonečné desetinné zlomky nemůžeme zapsat celé, proto jsou při jejich zapisování omezeny pouze na určitý konečný počet číslic za desetinnou čárkou a jsou vloženy elipsou označující nekonečně pokračující posloupnost číslic. Zde je několik příkladů nekonečných desetinných zlomků: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Pokud se pozorně podíváte na poslední dva nekonečné desetinné zlomky, pak ve zlomku 2,111111111 ... je jasně vidět nekonečně se opakující číslo 1 a ve zlomku 69,74152152152 ... od třetího desetinného místa je jasně vidět opakující se skupina čísel 1, 5 a 2. Takové nekonečné desetinné zlomky se nazývají periodické.

Definice.

Periodická desetinná místa(nebo jednoduše periodické zlomky) jsou nekonečné desetinné zlomky, v jejichž záznamu se od určitého desetinného místa objeví nějaká číslice nebo skupina číslic, která se nazývá zlomkové období.

Například perioda periodického zlomku 2,111111111… je číslo 1 a perioda zlomku 69,74152152152… je skupina čísel jako 152.

Pro nekonečné periodické desetinné zlomky byla přijata speciální notace. Pro stručnost jsme se dohodli, že tečku napíšeme jednou a uzavřeme ji do závorek. Například periodický zlomek 2.111111111… se zapíše jako 2,(1) a periodický zlomek 69,74152152152… se zapíše jako 69,74(152) .

Stojí za zmínku, že pro stejný periodický desetinný zlomek můžete zadat různá období. Například periodický desetinný zlomek 0,73333… lze považovat za zlomek 0,7(3) s periodou 3, stejně jako zlomek 0,7(33) s periodou 33, a tak dále 0,7(333), 0,7(3333), … Můžete se také podívat na periodický zlomek 3 jako tento,3 3…3.7. Zde, abychom se vyhnuli nejednoznačnosti a nesrovnalostem, souhlasíme s tím, že za periodu desetinného zlomku považujeme nejkratší ze všech možných posloupností opakujících se číslic a začínáme od nejbližší pozice k desetinné čárce. To znamená, že perioda desetinného zlomku 0,73333… bude považována za sekvenci jedné číslice 3 a periodicita začíná od druhé pozice za desetinnou čárkou, tj. 0,73333…=0,7(3) . Jiný příklad: periodický zlomek 4,7412121212… má periodu 12, periodicita začíná od třetí číslice za desetinnou čárkou, tedy 4,7412121212…=4,74(12) .

Při převodu na desetinné zlomky se získají nekonečné desetinné periodické zlomky obyčejné zlomky, jehož jmenovatelé obsahují prvočinitele jiné než 2 a 5 .

Zde stojí za zmínku periodické zlomky s periodou 9. Zde jsou příklady takových zlomků: 6,43(9) , 27,(9) . Tyto zlomky jsou dalším zápisem pro periodické zlomky s periodou 0 a je obvyklé je nahrazovat periodickými zlomky s periodou 0. K tomu se perioda 9 nahradí periodou 0 a hodnota další nejvyšší číslice se zvýší o jednu. Například zlomek s periodou 9 ve tvaru 7.24(9) je nahrazen periodickým zlomkem s periodou 0 ve tvaru 7.25(0) nebo rovným konečným desetinným zlomkem 7.25. Další příklad: 4,(9)=5,(0)=5 . Rovnost zlomku s periodou 9 a jeho odpovídajícího zlomku s periodou 0 lze snadno stanovit po nahrazení těchto desetinných zlomků jejich stejnými obyčejnými zlomky.

Nakonec se podívejme blíže na nekonečná desetinná místa, která nemají nekonečně se opakující posloupnost číslic. Říká se jim neperiodické.

Definice.

Neopakující se desetinná místa(nebo jednoduše neperiodické zlomky) jsou nekonečná desetinná místa bez tečky.

Někdy mají neperiodické zlomky tvar podobný tvaru periodických zlomků, například 8,02002000200002 ... je neperiodický zlomek. V těchto případech byste měli být obzvláště opatrní, abyste si všimli rozdílu.

Všimněte si, že neperiodické zlomky se nepřevádějí na obyčejné zlomky, nekonečné neperiodické desetinné zlomky představují iracionální čísla.

Operace s desetinnými místy

Jednou z akcí s desetinnými místy je porovnávání a jsou také definovány čtyři základní aritmetiky operace s desetinnými místy: sčítání, odčítání, násobení a dělení. Zvažte samostatně každou z akcí s desetinnými zlomky.

Desetinné srovnání v podstatě na základě srovnání obyčejných zlomků odpovídajících porovnávaným desetinným zlomkům. Převod desetinných zlomků na obyčejné je však poměrně pracná operace a nekonečné neopakující se zlomky nelze reprezentovat jako obyčejný zlomek, proto je vhodné použít bitové srovnání desetinných zlomků. Bitové srovnání desetinných míst je podobné srovnání přirozených čísel. Pro podrobnější informace doporučujeme prostudovat materiálové srovnání desetinných zlomků, pravidla, příklady, řešení.

Pojďme k dalšímu kroku - násobení desetinných míst. Násobení konečných desetinných zlomků se provádí obdobně jako odčítání desetinných zlomků, pravidla, příklady, řešení násobení sloupcem přirozených čísel. V případě periodických zlomků lze násobení zredukovat na násobení obyčejných zlomků. Násobení nekonečných neperiodických desetinných zlomků po jejich zaokrouhlení se zase redukuje na násobení konečných desetinných zlomků. Doporučujeme dále prostudovat látku článku násobení desetinných zlomků, pravidla, příklady, řešení.

Desetinná čísla na souřadnicovém nosníku

Mezi tečkami a desetinnými místy existuje vzájemná shoda.

Pojďme zjistit, jak jsou na souřadnicovém paprsku sestrojeny body odpovídající danému desetinnému zlomku.

Můžeme nahradit konečné desetinné zlomky a nekonečné periodické desetinné zlomky obyčejnými zlomky, které se jim rovnají, a pak sestrojit odpovídající obyčejné zlomky na paprsku souřadnic. Například desetinný zlomek 1.4 odpovídá běžnému zlomku 14/10, proto je bod se souřadnicí 1.4 odstraněn z počátku v kladném směru o 14 segmentů rovnající se desetině jednoho segmentu.

Na paprsku souřadnic lze označit desetinné zlomky, počínaje rozšířením tohoto desetinného zlomku na číslice. Řekněme například, že potřebujeme vytvořit bod se souřadnicí 16.3007 , protože 16.3007=16+0.3+0.0007 , pak v daný bod lze dosáhnout postupným položením 16 jednotkových segmentů od počátku, 3 segmentů, jejichž délka je rovna desetině jednotkového segmentu, a 7 segmentů, jejichž délka je rovna desetitisícině jednotkového segmentu.

Tato metoda konstrukce desetinných čísel na souřadnicovém paprsku vám umožňuje dostat se tak blízko, jak chcete, k bodu odpovídajícímu nekonečnému desetinnému zlomku.

Někdy je možné přesně vykreslit bod odpovídající nekonečnému desetinnému číslu. Například, , pak tento nekonečný desetinný zlomek 1,41421... odpovídá bodu souřadnicového paprsku vzdálenému od počátku délkou úhlopříčky čtverce o straně 1 jednotkové úsečky.

Opačný proces získání desetinného zlomku odpovídajícího danému bodu na souřadnicovém paprsku je tzv desetinné měření segmentu. Podívejme se, jak se to dělá.

Nechť je naším úkolem dostat se z počátku do daného bodu na souřadnicové čáře (nebo se k němu nekonečně přibližovat, pokud se k němu nelze dostat). S desítkovým měřením segmentu můžeme postupně odkládat libovolný počet jednotkových segmentů od počátku, pak segmenty, jejichž délka je rovna desetině jednoho segmentu, pak segmenty, jejichž délka je rovna setině jednoho segmentu atd. Zapsáním počtu vynesených segmentů každé délky získáme desetinný zlomek odpovídající danému bodu na souřadnicovém paprsku.

Například, abyste se dostali do bodu M na výše uvedeném obrázku, musíte vyčlenit 1 segment jednotky a 4 segmenty, jejichž délka se rovná desetině jednotky. Bod M tedy odpovídá desetinnému zlomku 1,4.

Je zřejmé, že body souřadnicového paprsku, které nelze při desetinném měření dosáhnout, odpovídají nekonečným desetinným zlomkům.

Bibliografie.

• Matematika: studia. pro 5 buněk. obecné vzdělání instituce / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Česnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazáno. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. třída: učebnice. pro všeobecné vzdělání instituce / [N. Ya, Vilenkin a další]. - 22. vydání, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: učebnice pro 8 buněk. obecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdělávání, 2008. - 271 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (příručka pro uchazeče o technické školy): Proc. příspěvek.- M.; Vyšší škola, 1984.-351 s., ill.

V matematice byly různé typy čísel studovány od jejich počátku. Existuje velké množství množin a podmnožin čísel. Mezi nimi jsou celá čísla, racionální, iracionální, přirozené, sudé, liché, komplexní a zlomkové. Dnes si rozebereme informace o poslední množině – zlomkových číslech.

Definice zlomků

Zlomky jsou čísla skládající se z celé části a zlomků jednotky. Stejně jako u celých čísel je mezi dvěma celými čísly nekonečný počet zlomkových čísel. V matematice se provádějí operace se zlomky, protože s celými čísly a přirozená čísla. Je to docela jednoduché a dá se to naučit za pár lekcí.

Článek představuje dva typy

Běžné zlomky

Obyčejné zlomky jsou celá část a a dvě čísla zapsaná přes zlomkovou čárku b/c. Běžné zlomky mohou být velmi užitečné, pokud zlomkovou část nelze vyjádřit v racionálním desítkovém tvaru. Navíc je pohodlnější provádět aritmetické operace pomocí zlomkové čáry. Horní část se nazývá čitatel, spodní část je jmenovatel.

Akce s obyčejnými zlomky: příklady

Základní vlastnost zlomku. Na vynásobením čitatele a jmenovatele stejným číslem, které není nula, je výsledkem číslo rovné danému. Tato vlastnost zlomku pomáhá přinést jmenovatele pro sčítání (o tom bude řeč níže) nebo zlomek zmenšit, takže je pro počítání pohodlnější. a/b = a*c/b*c. Například 36/24 = 6/4 nebo 9/13 = 18/26

Redukce na společného jmenovatele. Chcete-li získat jmenovatele zlomku, musíte jmenovatele reprezentovat ve formě faktorů a poté vynásobit chybějícími čísly. Například 7/15 a 12/30; 7/5*3 a 12/5*3*2. Vidíme, že se jmenovatelé liší dvěma, takže čitatel a jmenovatel prvního zlomku vynásobíme 2. Dostaneme: 14/30 a 12/30.

Složené frakce- obyčejné zlomky se zvýrazněným celá část. (A b/c) Chcete-li složený zlomek reprezentovat jako společný zlomek, vynásobte číslo před zlomkem jmenovatelem a poté jej přidejte do čitatele: (A*c + b)/c.

Aritmetické operace se zlomky

Nebude zbytečné uvažovat o známých aritmetických operacích pouze při práci se zlomkovými čísly.

Sčítání a odčítání. Sčítání a odečítání zlomků je stejně snadné jako celá čísla, s výjimkou jedné obtížnosti – přítomnosti zlomkové čárky. Při sčítání zlomků se stejným jmenovatelem je nutné sečíst pouze čitatele obou zlomků, jmenovatelé zůstávají nezměněni. Například: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Pokud jsou jmenovateli dvou zlomků různá čísla, musíte je nejprve přivést ke společnému (jak je uvedeno výše). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Odečítání probíhá přesně podle stejného principu: 8/9 - 2/3 \u003d 8/9 - 6/9 \u003d 2/9.

Násobení a dělení. Akce se zlomky násobením nastávají podle následujícího principu: čitatelé a jmenovatelé se násobí samostatně. V obecný pohled vzorec pro násobení vypadá takto: a/b *c/d = a*c/b*d. Navíc při násobení můžete zlomek zmenšit odstraněním stejných faktorů z čitatele a jmenovatele. V jiném jazyce jsou čitatel a jmenovatel dělitelné stejným číslem: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Chcete-li rozdělit jeden obyčejný zlomek druhým, musíte změnit čitatele a jmenovatele dělitele a provést násobení dvou zlomků podle výše uvedeného principu: 5/11: 25/11 \u003d 5/11 * 11/25 \u003d 5 * 11/11 * 3d5 \u00

Desetinná čísla

Desetinná čísla jsou populárnější a běžně používanou verzí zlomkových čísel. Snadněji se zapisují do řádku nebo prezentují na počítači. Struktura desetinného zlomku je následující: nejprve se zapíše celé číslo a poté se za desetinnou čárkou zapíše zlomková část. Desetinné zlomky jsou ve svém jádru složené zlomky, ale jejich zlomková část je reprezentována číslem děleným násobkem 10. Odtud jejich název. Operace s desetinnými zlomky jsou podobné operacím s celými čísly, protože se také zapisují v desítkové číselné soustavě. Na rozdíl od běžných zlomků mohou být desetinná místa iracionální. To znamená, že mohou být nekonečné. Jsou psány jako 7, (3). Čte se tento zápis: sedm celých, tři desetiny v období.

Základní operace s desetinnými čísly

Sčítání a odčítání desetinných zlomků. Provádění akcí se zlomky není o nic obtížnější než s celými přirozenými čísly. Pravidla jsou úplně stejná jako při sčítání nebo odčítání přirozených čísel. Stejným způsobem je lze také považovat za sloupec, v případě potřeby však nahraďte chybějící místa nulami. Například: 5,5697 – 1,12. Chcete-li provést odčítání sloupců, musíte vyrovnat počet čísel za desetinnou čárkou: (5,5697 - 1,1200). Číselná hodnota se tedy nezmění a lze ji počítat ve sloupci.

Operace s desetinnými zlomky nelze provádět, pokud má jeden z nich iracionální tvar. Chcete-li to provést, musíte obě čísla převést na běžné zlomky a poté použít techniky popsané dříve.

Násobení a dělení. Násobení desetinných míst je podobné jako násobení přirozených čísel. Lze je také vynásobit sloupcem, čárku jednoduše ignorovat, a poté oddělit čárkou v konečné hodnotě stejný počet číslic, jako byl součet za desetinnou čárkou ve dvou desetinných zlomcích. Například 1,5 * 2,23 = 3,345. Vše je velmi jednoduché a nemělo by způsobit potíže, pokud jste již zvládli násobení přirozených čísel.

Dělení se také shoduje s dělením přirozených čísel, ale s mírnou degresí. Rozdělit se na desetinné číslo musíte zahodit čárku v děliteli a vynásobit dělenec počtem číslic za desetinnou čárkou v děliteli. Poté proveďte dělení jako u přirozených čísel. Při neúplném dělení můžete k dividendě vpravo přidat nuly a také přidat nulu za desetinnou čárkou.

Příklady akcí s desetinnými zlomky. Desetinná čísla jsou velmi užitečným nástrojem pro aritmetické počítání. Kombinují pohodlí přirozených, celých čísel a přesnost běžných zlomků. Navíc je docela jednoduché převést jeden zlomek na druhý. Operace se zlomky se neliší od operací s přirozenými čísly.

1. Přidání: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Odečítání: 3,1 - 1,6 = 1,5
3. Násobení: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Dělení: 3,6: 0,6 = 6

Desetinná čísla jsou navíc vhodná pro vyjádření procent. Takže 100 % = 1; 60 % = 0,6; a naopak: 0,659 = 65,9 %.

To je vše, co potřebujete vědět o zlomcích. Článek zvažoval dva typy zlomků - obyčejný a desetinný. Obojí je poměrně snadné spočítat, a pokud dokonale ovládáte přirozená čísla a operace s nimi, můžete se klidně začít učit zlomková.