Neměli bychom spěchat, abychom zapsali společného jmenovatele | vody do jednoho řádku; studenti si často neuvědomují, že dané zlomky jsou za ně vyměněny stejnými zlomky se společným jmenovatelem.
Násobení zlomku celým číslem
Dalším krokem je studium násobení zlomku celým číslem. Násobení zlomku celým číslem je definováno stejně jako násobení celých čísel.
Při studiu násobení zlomku celým číslem je nutné se studenty stanovit definici akce násobení zlomku celým číslem jako sčítání stejných členů, z nichž každý je roven násobiteli; ukázat identitu násobení zlomku celým číslem, násobení zlomku několikrát, dát definici násobení zlomku 1; ukázat racionální způsob zmenšování zlomku, jehož čitatel představuje součin, se kterým se žáci poprvé setkají při násobení zlomku celým číslem; naučit, jak aplikovat tuto akci na úkoly; zvažte speciální případy násobení, například násobení zlomku číslem rovným jmenovateli; násobení smíšeného čísla celým číslem. Výše uvedený seznam problémů při studiu násobení zlomku celým číslem ukazuje, že každá zdánlivě jednoduchá otázka vyžaduje pečlivé studium a kolik jich vzniká. dodatečné úkoly v souvislosti s touto problematikou.
Zde je příklad plánu lekce na toto téma,
1) Kontrola domácích úkolů.
2) Ústní cvičení na sčítání a odčítání zlomků.
3) Ústní příklady pro dělení součinu číslem:
4) Redukce zlomků:
5) Opakování definice násobení celým číslem:
6) Definice násobení zlomku celým číslem:
7) Řešení úloh v jedné akci pro násobení zlomku celým číslem »»
číslo. Například: 1 m3 borovicového dřeva váží tun. Najděte hmotnost 2 m3 těchto
palivové dříví (v tunách), 7 m3.
8) Formulujte pravidlo pro násobení zlomku celým číslem:
K vynásobení zlomku celým číslem stačí vynásobit tímto číslem čitatel zlomku, přičemž zůstane stejný jmenovatel.
9) Řešení příkladů na násobení zlomku celým číslem:
10) Vymyslete úlohy, jejichž řešení by vyžadovalo násobení.
11) Domácí úkol.
Ústní cvičení uvedená v tomto plánu o dělení součinu číslem a zmenšování zlomků mají připravit studenty na zdůvodnění zmenšování zlomků, ve kterých je součin v čitateli. Studenti si pamatují, jak dělit součin číslem, a při zmenšování zlomků vedou následující úvahy: pro zmenšení zlomku je třeba vydělit čitatele a jmenovatele stejným číslem; čitatel je součin; k vydělení součinu číslem stačí vydělit jeden z činitelů tímto číslem. Proto při zmenšování zlomku dělíme 10 a 25 5.
Na další lekce studenti by měli být požádáni, aby porovnali multiplikand a součin ve velikosti pomocí několika příkladů násobení zlomku celým číslem. Zjistit, že pro zlomky, stejně jako pro celá čísla, zvětšit zlomek několikrát znamená vynásobit ho celým číslem. Na základě zvážení příkladů formuláře
je učiněn závěr o změně hodnoty zlomku se zvýšením čitatele nebo snížením jmenovatele o daný počet opakování a je uveden konkrétní způsob násobení zlomku celým číslem, vhodný pro případ když je jmenovatel zlomku dělen daným celým číslem:
Při studiu násobení smíšeného čísla celým číslem se nejprve zvažují dvě metody. Například:
Poslední argumenty ukazují platnost distributivního zákona násobení vzhledem k součtu, kdy jedním z členů je zlomek. Příklad formuláře
a dochází se k závěru, že při násobení smíšeného čísla celým číslem je ve většině případů snazší odděleně násobit celé číslo a zlomek celým číslem.
Dělení zlomku celým číslem
Po vynásobení zlomku celým číslem by se mělo přistoupit k dělení celého čísla a zlomku celým číslem, protože nalezení zlomku čísla, které předchází násobení zlomkem, vyžaduje dělení jmenovatelem. To je naznačeno ve většině metodická literatura. Definice dělení je uvedena jako převrácená hodnota násobení.
Zvažte příklad: 4:5.
Nejprve se provede úvaha: abyste vydělili 4 5, představte si v duchu každou jednotku dělenou pěti stejnými díly, pak 4 jednotky budou obsahovat 20 kvint, vydělením 20 pětin 5 dostaneme to, co se kontroluje:
Našli jsme zlomek, který po vynásobení 5 dá 4. Proto je dělení správné. Pojďme psát:
Závěr. Když je celé číslo děleno celým číslem, získáme zlomek, jehož čitatel se rovná dividendě a jmenovatel je dělitel. Naopak jakýkoli zlomek lze považovat za podíl z dělení jeho čitatele jmenovatelem.
Například se rovná podílu 3 děleno 7, protože ·7=3.
Studium dělení zlomku celým číslem začíná příkladem násobení zlomku celým číslem, pro které je sestavena inverzní úloha. Například:
obrácený úkol:
je potřeba najít takový zlomek, který po vynásobení 4 dá součin. Takový zlomek bude, píšeme:
V důsledku zvažování řady podobných příkladů docházejí studenti k závěru, že při dělení zlomku celým číslem stačí vydělit čitatele celým číslem, přičemž zůstane stejný jmenovatel. Poté se nabízí otázka, co dělat v případě, že čitatel daného zlomku není dělitelný celým číslem. Druhý způsob násobení je považován: , tedy .
§ 87. Sčítání zlomků.
Sčítání zlomků má mnoho podobností se sčítáním celých čísel. Sčítání zlomků je akce spočívající v tom, že se několik daných čísel (členů) spojí do jednoho čísla (součtu), které obsahuje všechny jednotky a zlomky jednotek členů.
Postupně zvážíme tři případy:
1. Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli.
2. Sčítání zlomků s různými jmenovateli.
3. Sčítání smíšených čísel.
1. Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli.
Zvažte příklad: 1 / 5 + 2 / 5 .
Vezměte segment AB (obr. 17), vezměte jej jako jednotku a rozdělte jej na 5 stejných částí, pak část AC tohoto segmentu bude rovna 1/5 segmentu AB a část stejného segmentu CD se bude rovnat 2/5 AB.
Z výkresu je vidět, že pokud vezmeme segment AD, bude se rovnat 3/5 AB; ale segment AD je přesně součtem segmentů AC a CD. Můžeme tedy napsat:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Uvážíme-li tyto členy a výslednou částku, vidíme, že čitatel součtu byl získán sečtením čitatelů členů a jmenovatel zůstal nezměněn.
Z toho dostáváme následující pravidlo: Chcete-li přidat zlomky se stejnými jmenovateli, musíte přidat jejich čitatele a ponechat stejného jmenovatele.
Zvažte příklad:
2. Sčítání zlomků s různými jmenovateli.
Sečteme zlomky: 3/4 + 3/8 Nejprve je třeba je zredukovat na nejmenšího společného jmenovatele:
Mezičlánek 6/8 + 3/8 nemohl být zapsán; pro větší přehlednost jsme to napsali zde.
Chcete-li tedy sečíst zlomky s různými jmenovateli, musíte je nejprve přivést k nejnižšímu společnému jmenovateli, sečíst jejich čitatele a podepsat společného jmenovatele.
Zvažte příklad (přes odpovídající zlomky napíšeme další faktory):
3. Sčítání smíšených čísel.
Sečteme čísla: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Nejprve přivedeme zlomkové části našich čísel ke společnému jmenovateli a přepíšeme je znovu:
Nyní postupně přidejte celé číslo a zlomkové části:
§ 88. Odečítání zlomků.
Odčítání zlomků je definováno stejně jako odčítání celých čísel. Jedná se o akci, při které se na základě součtu dvou pojmů a jednoho z nich najde další. Podívejme se postupně na tři případy:
1. Odčítání zlomků se stejnými jmenovateli.
2. Odčítání zlomků s různými jmenovateli.
3. Odečítání smíšených čísel.
1. Odčítání zlomků se stejnými jmenovateli.
Zvažte příklad:
13 / 15 - 4 / 15
Vezmeme segment AB (obr. 18), vezmeme jej jako jednotku a rozdělíme na 15 stejných částí; pak AC část tohoto segmentu bude 1/15 AB a AD část stejného segmentu bude odpovídat 13/15 AB. Ponechme stranou další segment ED, rovný 4/15 AB.
Musíme odečíst 4/15 od 13/15. Na výkrese to znamená, že segment ED musí být odečten od segmentu AD. V důsledku toho zůstane segment AE, což je 9/15 segmentu AB. Můžeme tedy napsat:
Příklad, který jsme vytvořili, ukazuje, že čitatel rozdílu byl získán odečtením čitatelů a jmenovatel zůstal stejný.
Chcete-li tedy odečíst zlomky se stejnými jmenovateli, musíte odečíst čitatele dílčího bodu od čitatele minuendu a ponechat stejného jmenovatele.
2. Odčítání zlomků s různými jmenovateli.
Příklad. 3/4 - 5/8
Nejprve zredukujeme tyto zlomky na nejmenšího společného jmenovatele:
Mezičlánek 6 / 8 - 5 / 8 je zde pro přehlednost napsán, ale lze jej v budoucnu přeskočit.
Chcete-li tedy odečíst zlomek od zlomku, musíte je nejprve přivést k nejmenšímu společnému jmenovateli, poté odečíst čitatele podčísla od čitatele minuendu a pod jejich rozdíl podepsat společného jmenovatele.
Zvažte příklad:
3. Odečítání smíšených čísel.
Příklad. 10 3/4 - 7 2/3.
Přivedeme zlomkové části minuendu a subtrahendu k nejnižšímu společnému jmenovateli:
Odečetli jsme celek od celku a zlomek od zlomku. Existují však případy, kdy je zlomková část subtrahendu větší než zlomková část minuendu. V takových případech je třeba vzít jednu jednotku z celočíselné části redukovaného, rozdělit ji na ty části, ve kterých je vyjádřena zlomková část, a přidat k zlomkové části redukovaného. A poté bude odčítání provedeno stejným způsobem jako v předchozím příkladu:
§ 89. Násobení zlomků.
Při studiu násobení zlomků budeme uvažovat další otázky:
1. Násobení zlomku celým číslem.
2. Nalezení zlomku daného čísla.
3. Násobení celého čísla zlomkem.
4. Násobení zlomku zlomkem.
5. Násobení smíšených čísel.
6. Pojem úrok.
7. Zjištění procent z daného čísla. Zvažme je postupně.
1. Násobení zlomku celým číslem.
Násobení zlomku celým číslem má stejný význam jako násobení celého čísla celým číslem. Násobení zlomku (násobiče) celým číslem (násobitelem) znamená sestavení součtu identických členů, kde každý člen je roven násobku a počet členů je roven násobiteli.
Pokud tedy potřebujete vynásobit 1/9 7, lze to provést takto:
Výsledek jsme získali snadno, protože akce byla zredukována na sčítání zlomků se stejnými jmenovateli. Proto,
Zvážení této akce ukazuje, že vynásobení zlomku celým číslem se rovná zvýšení tohoto zlomku tolikrát, kolikrát je jednotek v celém čísle. A protože zvýšení zlomku je dosaženo buď zvýšením jeho čitatele
nebo snížením jeho jmenovatele 
, pak můžeme buď vynásobit čitatele celým číslem, nebo jím vydělit jmenovatele, pokud je takové dělení možné.
Odtud dostáváme pravidlo:
Chcete-li vynásobit zlomek celým číslem, musíte vynásobit čitatel tímto celým číslem a ponechat jmenovatele stejný, nebo pokud je to možné, vydělit jmenovatele tímto číslem, přičemž čitatel zůstane nezměněn.
Při násobení jsou možné zkratky, například:
2. Nalezení zlomku daného čísla. Existuje mnoho úloh, ve kterých musíte najít nebo vypočítat část daného čísla. Rozdíl mezi těmito úkoly a ostatními je v tom, že uvádějí počet některých objektů nebo měrných jednotek a musíte najít část tohoto čísla, která je zde také označena určitým zlomkem. Pro usnadnění porozumění uvedeme nejprve příklady takových problémů a poté představíme způsob jejich řešení.
Úkol 1. Měl jsem 60 rublů; 1/3 z těchto peněz jsem utratil za nákup knih. Kolik stály knihy?
Úkol 2. Vlak musí urazit vzdálenost mezi městy A a B, která se rovná 300 km. Už urazil 2/3 této vzdálenosti. Kolik je to kilometrů?
Úkol 3. V obci je 400 domů, z toho 3/4 zděných, ostatní dřevěné. Kolik je tam cihlových domů?
Zde jsou některé z mnoha problémů, se kterými se musíme vypořádat, abychom našli zlomek daného čísla. Obvykle se jim říká problémy pro nalezení zlomku daného čísla.
Řešení problému 1. Od 60 rublů. Utratil jsem 1/3 za knihy; Chcete-li tedy zjistit cenu knih, musíte vydělit číslo 60 třemi:
Řešení problému 2. Smyslem problému je, že potřebujete najít 2/3 z 300 km. Vypočítejte první 1/3 z 300; toho je dosaženo vydělením 300 km třemi:
300:3 = 100 (to je 1/3 z 300).
Chcete-li najít dvě třetiny 300, musíte výsledný kvocient zdvojnásobit, to znamená vynásobit 2:
100 x 2 = 200 (to jsou 2/3 z 300).
Řešení problému 3. Zde je třeba určit počet zděných domů, kterých jsou 3/4 ze 400. Nejprve najdeme 1/4 ze 400,
400:4 = 100 (to je 1/4 ze 400).
Chcete-li vypočítat tři čtvrtiny ze 400, musíte výsledný kvocient ztrojnásobit, tedy vynásobit 3:
100 x 3 = 300 (to jsou 3/4 ze 400).
Na základě řešení těchto problémů můžeme odvodit následující pravidlo:
Chcete-li zjistit hodnotu zlomku daného čísla, musíte toto číslo vydělit jmenovatelem zlomku a výsledný podíl vynásobit jeho čitatelem.
3. Násobení celého čísla zlomkem.
Dříve (§ 26) bylo stanoveno, že násobení celých čísel by mělo být chápáno jako sčítání identických členů (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). V tomto odstavci (odst. 1) bylo stanoveno, že vynásobení zlomku celým číslem znamená nalezení součtu stejných členů rovný tomuto zlomku.
V obou případech násobení spočívalo v nalezení součtu shodných členů.
Nyní přejdeme k násobení celého čísla zlomkem. Zde se setkáme například s násobením: 9 2 / 3. Je zcela zřejmé, že předchozí definice násobení na tento případ neplatí. To je zřejmé z toho, že takové násobení nemůžeme nahradit sčítáním stejných čísel.
Kvůli tomu budeme muset dát novou definici násobení, tedy jinými slovy odpovědět na otázku, co se má rozumět násobením zlomkem, jak má být tento děj chápán.
Význam násobení celého čísla zlomkem je jasný z následující definice: násobit celé číslo (násobitel) zlomkem (násobitelem) znamená najít tento zlomek násobitele.
Totiž vynásobení 9 2/3 znamená nalezení 2/3 z devíti jednotek. V předchozím odstavci byly takové problémy vyřešeny; takže je snadné zjistit, že skončíme s 6.
Nyní však vyvstává zajímavá a důležitá otázka: proč na první pohled taková různé aktivity jak zjistit sumu stejná čísla a nalezení zlomku čísla se v aritmetice nazývá stejným slovem "násobení"?
To se děje proto, že předchozí akce (několikrát opakování čísla s pojmy) a nová akce (nalezení zlomku čísla) dávají odpověď na homogenní otázky. To znamená, že zde vycházíme z úvah, že homogenní otázky nebo úkoly se řeší jednou a toutéž akcí.
Abyste tomu porozuměli, zvažte následující problém: „1 m látky stojí 50 rublů. Kolik budou stát 4 m takové látky?
Tento problém je vyřešen vynásobením počtu rublů (50) počtem metrů (4), tj. 50 x 4 = 200 (rublů).
Vezměme stejný problém, ale v něm bude množství látky vyjádřeno jako zlomkové číslo: „1 m látky stojí 50 rublů. Kolik bude stát 3/4 m takové látky?
Tento problém je také třeba vyřešit vynásobením počtu rublů (50) počtem metrů (3/4).
Čísla v něm můžete také několikrát změnit, aniž byste změnili význam problému, například vezměte 9/10 m nebo 2 3/10 m atd.
Protože tyto úlohy mají stejný obsah a liší se pouze čísly, nazýváme akce používané při jejich řešení stejným slovem – násobení.
Jak se celé číslo násobí zlomkem?
Vezměme si čísla, se kterými jsme se setkali v posledním problému:
Podle definice musíme najít 3/4 z 50. Nejprve najdeme 1/4 z 50 a poté 3/4.
1/4 z 50 je 50/4;
3/4 z 50 je .
Proto.
Zvažte jiný příklad: 12 5 / 8 = ?
1/8 z 12 je 12/8,
5/8 z čísla 12 je .
Proto,
Odtud dostáváme pravidlo:
Chcete-li vynásobit celé číslo zlomkem, musíte celé číslo vynásobit čitatelem zlomku a učinit tento součin čitatelem a jmenovatele daného zlomku podepsat jako jmenovatele.
Toto pravidlo zapisujeme pomocí písmen:
Aby bylo toto pravidlo dokonale jasné, je třeba mít na paměti, že zlomek lze považovat za podíl. Proto je užitečné nalezené pravidlo porovnat s pravidlem pro násobení čísla podílem, které bylo stanoveno v § 38
Je třeba si uvědomit, že před provedením násobení byste měli udělat (pokud je to možné) řezy, Například:
4. Násobení zlomku zlomkem. Násobení zlomku zlomkem má stejný význam jako násobení celého čísla zlomkem, to znamená, že při násobení zlomku zlomkem je potřeba najít zlomek v násobilce od prvního zlomku (násobitele).
Totiž vynásobení 3/4 1/2 (polovina) znamená nalezení poloviny 3/4.
Jak vynásobíte zlomek zlomkem?
Vezměme si příklad: 3/4 krát 5/7. To znamená, že musíte najít 5/7 ze 3/4. Najděte nejprve 1/7 ze 3/4 a poté 5/7
1/7 ze 3/4 by byla vyjádřena takto:
5 / 7 čísel 3 / 4 bude vyjádřeno takto:
Tím pádem,
Další příklad: 5/8 krát 4/9.
1/9 z 5/8 je ,
4/9 čísla 5/8 jsou .
Tím pádem, 
Z těchto příkladů lze odvodit následující pravidlo:
Chcete-li vynásobit zlomek zlomkem, musíte vynásobit čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem a vytvořit z prvního součinu čitatele az druhého součinu jmenovatele součinu.
Toto je pravidlo obecný pohled lze napsat takto:
Při násobení je nutné provést (pokud je to možné) redukce. Zvažte příklady:
5. Násobení smíšených čísel. Protože smíšená čísla lze snadno nahradit nesprávnými zlomky, tato okolnost se obvykle používá při násobení smíšených čísel. To znamená, že v těch případech, kdy násobitel nebo násobitel nebo oba faktory jsou vyjádřeny jako smíšená čísla, jsou nahrazeny nesprávnými zlomky. Vynásobte například smíšená čísla: 2 1/2 a 3 1/5. Každý z nich převedeme na nevlastní zlomek a výsledné zlomky pak vynásobíme podle pravidla o násobení zlomku zlomkem:
Pravidlo. Chcete-li vynásobit smíšená čísla, musíte je nejprve převést na nesprávné zlomky a poté násobit podle pravidla násobení zlomku zlomkem.
Poznámka. Pokud je jedním z faktorů celé číslo, lze násobení provést na základě distribučního zákona takto:
6. Pojem úrok. Při řešení úloh a při provádění různých praktických výpočtů používáme všechny druhy zlomků. Ale je třeba mít na paměti, že mnoho veličin nepřipouští žádné, ale přirozené dělení. Například si můžete vzít jednu setinu (1/100) rublu, bude to cent, dvě setiny jsou 2 kopejky, tři setiny jsou 3 kopejky. Můžete si vzít 1/10 rublu, bude to "10 kopejek nebo desetník. Můžete si vzít čtvrtinu rublu, tj. 25 kopejek, půl rublu, tj. Neberte si například 2/7 rublů, protože rubl není rozdělen na sedminy.
Jednotka měření hmotnosti, tedy kilogram, umožňuje především desetinná dělení, například 1/10 kg nebo 100 g. A takové zlomky kilogramu jako 1/6, 1/11, 1/ 13 jsou neobvyklé.
Obecně jsou naše (metrické) míry desetinné a umožňují desetinné dělení.
Je však třeba poznamenat, že je mimořádně užitečné a vhodné v celé řadě případů použít stejnou (jednotnou) metodu dělení veličin. Dlouholeté zkušenosti ukázaly, že takovým opodstatněným dělením je dělení na „stovky“. Podívejme se na několik příkladů souvisejících s nejrozmanitějšími oblastmi lidské praxe.
1. Cena knih se snížila o 12/100 předchozí ceny.
Příklad. Předchozí cena knihy je 10 rublů. Klesla o 1 rubl. 20 kop.
2. Spořitelny vyplácejí v průběhu roku vkladatelům 2/100 z částky, která je vložena do spoření.
Příklad. Do pokladny se vloží 500 rublů, příjem z této částky za rok je 10 rublů.
3. Počet absolventů jedné školy byl 5/100 z celkového počtu studentů.
PŘÍKLAD Na škole studovalo pouze 1200 studentů, z toho 60 školu ukončilo.
Setina čísla se nazývá procenta..
Slovo „procento“ je vypůjčeno z latinský a jeho kořen "cent" znamená sto. Spolu s předložkou (pro centum) toto slovo znamená „za sto“. Význam tohoto výrazu vyplývá z toho, že zpočátku v starověký Římúrokem byly peníze, které dlužník zaplatil věřiteli „za každou stovku“. Slovo "cent" je slyšet v takových známých slovech: centner (sto kilogramů), centimetr (říkají centimetr).
Například místo toho, abychom řekli, že závod vyrobil 1/100 všech produktů, které vyrobil za poslední měsíc, řekneme toto: závod vyrobil za poslední měsíc jedno procento zmetků. Místo toho, abychom řekli: závod vyrobil o 4/100 více výrobků, než byl stanovený plán, řekneme: závod překročil plán o 4 procenta.
Výše uvedené příklady lze vyjádřit různě:
1. Cena knih se snížila o 12 procent z předchozí ceny.
2. Spořitelny vyplácejí vkladatelům 2 procenta ročně z částky vložené do spoření.
3. Počet absolventů jedné školy byl 5 procent z počtu všech žáků školy.
Pro zkrácení písmene je zvykem psát místo slova „procenta“ znak %.
Je však třeba pamatovat na to, že znak % se obvykle nezapisuje do výpočtů, lze jej zapsat do výpisu problému a do konečného výsledku. Při provádění výpočtů je třeba s touto ikonou místo celého čísla zapsat zlomek se jmenovatelem 100.
Musíte být schopni nahradit celé číslo zadanou ikonou zlomkem se jmenovatelem 100:
Naopak je potřeba si zvyknout psát celé číslo s naznačenou ikonou místo zlomku se jmenovatelem 100:
7. Zjištění procent z daného čísla.
Úkol 1.Škola dostala 200 kubíků. m palivového dřeva, přičemž březové palivové dříví tvoří 30 %. Kolik tam bylo březového dřeva?
Smyslem tohoto problému je, že březové palivové dříví bylo pouze částí palivového dříví, které bylo dodáno do školy, a tato část je vyjádřena zlomkem 30/100. Stojíme tedy před úkolem najít zlomek čísla. Abychom to vyřešili, musíme vynásobit 200 30 / 100 (úlohy na nalezení zlomku čísla řešíme vynásobením čísla zlomkem.).
Takže 30 % z 200 se rovná 60.
Zlomek 30/100 vyskytující se v tomto problému lze zmenšit o 10. Toto snížení by bylo možné provést od samého začátku; řešení problému by se nezměnilo.
Úkol 2. V táboře bylo 300 dětí různého věku. Dětí ve věku 11 let bylo 21 %, dětí ve věku 12 let 61 % a konečně 13letých 18 %. Kolik dětí každého věku bylo v táboře?
V tomto problému musíte provést tři výpočty, to znamená postupně najít počet dětí ve věku 11 let, poté ve věku 12 let a nakonec ve věku 13 let.
Zde tedy bude nutné najít zlomek čísla třikrát. Pojďme na to:
1) Kolika dětem bylo 11 let?
2) Kolika dětem bylo 12 let?
3) Kolika dětem bylo 13 let?
Po vyřešení úlohy je užitečné sečíst nalezená čísla; jejich součet by měl být 300:
63 + 183 + 54 = 300
Měli byste také věnovat pozornost skutečnosti, že součet procent uvedených v podmínce problému je 100:
21% + 61% + 18% = 100%
To naznačuje, že celkový počet dětí v táboře byl brán jako 100 %.
3 a da cha 3. Dělník dostával 1 200 rublů měsíčně. Z toho 65 % utratil za jídlo, 6 % za byt a topení, 4 % za plyn, elektřinu a rádio, 10 % za kulturní potřeby a 15 % ušetřil. Kolik peněz bylo vynaloženo na potřeby uvedené v úkolu?
Chcete-li tento problém vyřešit, musíte 5krát najít zlomek čísla 1 200. Pojďme na to.
1) Kolik peněz se utratí za jídlo? Úkol říká, že tento výdaj je 65 % všech výdělků, tedy 65/100 z čísla 1 200. Udělejme výpočet:
2) Kolik peněz bylo zaplaceno za byt s vytápěním? Při argumentaci jako v předchozím dojdeme k následujícímu výpočtu:
3) Kolik peněz jste zaplatili za plyn, elektřinu a rádio?
4) Kolik peněz se vydává na kulturní potřeby?
5) Kolik peněz pracovník ušetřil?
Pro ověření je užitečné přidat čísla nalezená v těchto 5 otázkách. Částka by měla být 1 200 rublů. Všechny výdělky jsou brány jako 100 %, což lze snadno zkontrolovat sečtením procent uvedených v prohlášení o problému.
Vyřešili jsme tři problémy. I přesto, že se tyto úkoly týkaly různých věcí (dodávka palivového dříví pro školu, počet dětí různého věku, útrata pracovníka), byly řešeny stejně. Stalo se tak proto, že ve všech úlohách bylo potřeba najít pár procent daných čísel.
§ 90. Dělení zlomků.
Při studiu dělení zlomků zvážíme následující otázky:
1. Vydělte celé číslo celým číslem.
2. Dělení zlomku celým číslem
3. Dělení celého čísla zlomkem.
4. Dělení zlomku zlomkem.
5. Dělení smíšených čísel.
6. Hledání čísla daného zlomkem.
7. Nalezení čísla podle jeho procenta.
Zvažme je postupně.
1. Vydělte celé číslo celým číslem.
Jak bylo naznačeno v části celá čísla, dělení je děj spočívající v tom, že při součinu dvou faktorů (dividenda) a jednoho z těchto faktorů (dělitel) se najde další faktor.
Dělení celého čísla celým číslem jsme uvažovali v oddělení celých čísel. Setkali jsme se tam se dvěma případy dělení: dělením beze zbytku, neboli „zcela“ (150 : 10 = 15) a dělením se zbytkem (100 : 9 = 11 a 1 ve zbytku). Můžeme tedy říci, že v oblasti celých čísel není přesné dělení vždy možné, protože dividenda není vždy součinem dělitele a celého čísla. Po zavedení násobení zlomkem můžeme považovat za možný jakýkoli případ dělení celých čísel (vylučuje se pouze dělení nulou).
Například dělení 7 12 znamená nalezení čísla, jehož součin krát 12 by byl 7. Toto číslo je zlomek 7/12, protože 7/12 12 = 7. Jiný příklad: 14: 25 = 14/25, protože 14/25 25 = 14.
Chcete-li tedy vydělit celé číslo celým číslem, musíte vytvořit zlomek, jehož čitatel se rovná dividendě a jmenovatel je dělitel.
2. Dělení zlomku celým číslem.
Vydělte zlomek 6 / 7 3. Podle výše uvedené definice dělení zde máme součin (6 / 7) a jeden z faktorů (3); je potřeba najít takový druhý faktor, který by po vynásobení 3 dal danému součinu 6/7. Je zřejmé, že by měl být třikrát menší než tento produkt. To znamená, že naším úkolem bylo zmenšit zlomek 6/7 3krát.
Již víme, že zmenšení zlomku lze provést buď zmenšením jeho čitatele, nebo zvětšením jeho jmenovatele. Proto můžete napsat:
V tomto případě je čitatel 6 dělitelný 3, takže by se měl čitatel zmenšit 3krát.
Vezměme si další příklad: 5 / 8 děleno 2. Zde čitatel 5 není dělitelný 2, což znamená, že jmenovatel bude muset být vynásoben tímto číslem:
Na základě toho můžeme stanovit pravidlo: Chcete-li vydělit zlomek celým číslem, musíte vydělit čitatel zlomku tímto celým číslem(Pokud možno), ponecháme stejného jmenovatele, nebo vynásobíme jmenovatele zlomku tímto číslem a ponecháme stejný čitatel.
3. Dělení celého čísla zlomkem.
Nechť je potřeba vydělit 5 1/2, tj. najít číslo, které po vynásobení 1/2 dá součin 5. Je zřejmé, že toto číslo musí být větší než 5, protože 1/2 je vlastní zlomek, a při násobení čísla správným zlomkem musí být součin menší než násobitel. Aby to bylo jasnější, zapišme naše akce takto: 5: 1 / 2 = X , takže x 1/2 \u003d 5.
Takové číslo musíme najít X , což po vynásobení 1/2 dá 5. Protože vynásobení určitého čísla 1/2 znamená nalezení 1/2 tohoto čísla, pak tedy 1/2 neznámého čísla X je 5 a celé číslo X dvakrát tolik, tj. 5 2 \u003d 10.
Takže 5: 1/2 = 5 2 = 10
Pojďme zkontrolovat: 
Zvažme ještě jeden příklad. Nechť je potřeba dělit 6 2/3. Zkusme nejprve najít požadovaný výsledek pomocí nákresu (obr. 19).
Obr.19
Nakreslete segment AB, který se rovná 6 z některých jednotek, a rozdělte každou jednotku na 3 stejné části. V každé jednotce jsou tři třetiny (3 / 3) v celém segmentu AB 6x větší, tzn. e. 18/3. Spojujeme pomocí malých držáků 18 získaných segmentů po 2; Bude pouze 9 segmentů. To znamená, že zlomek 2/3 je obsažen v b jednotkách 9krát, nebo jinými slovy, zlomek 2/3 je 9krát menší než 6 celých jednotek. Proto,
Jak získat tento výsledek bez výkresu pouze pomocí výpočtů? Budeme argumentovat následovně: je třeba vydělit 6 2 / 3, tj. je třeba odpovědět na otázku, kolikrát je 2 / 3 obsaženo v 6. Nejprve zjistíme: kolikrát je 1 / 3 obsažené v 6? V celé jednotce - 3 třetiny a v 6 jednotkách - 6krát více, tj. 18 třetin; abychom toto číslo našli, musíme 6 vynásobit 3. 1/3 je tedy obsažena v jednotkách b 18krát a 2/3 jsou obsaženy v jednotkách b nikoli 18krát, ale polovičně, tj. 18: 2 = 9 Proto jsme při dělení 6 2/3 provedli následující:
Odtud dostaneme pravidlo pro dělení celého čísla zlomkem. Chcete-li vydělit celé číslo zlomkem, musíte toto celé číslo vynásobit jmenovatelem daného zlomku a udělat z tohoto součinu čitatel a vydělit jej čitatelem daného zlomku.
Pravidlo píšeme pomocí písmen:
Aby bylo toto pravidlo dokonale jasné, je třeba mít na paměti, že zlomek lze považovat za podíl. Proto je užitečné nalezené pravidlo porovnat s pravidlem pro dělení čísla podílem, které bylo stanoveno v § 38. Všimněte si, že tam byl získán stejný vzorec.
Při dělení jsou možné zkratky, například:
4. Dělení zlomku zlomkem.
Nechť je potřeba vydělit 3/4 3/8. Co bude označovat číslo, které vznikne dělením? Odpoví na otázku, kolikrát je zlomek 3/8 obsažen ve zlomku 3/4. Pro pochopení této problematiky si udělejme nákres (obr. 20).
Vezměte segment AB, vezměte jej jako celek, rozdělte jej na 4 stejné části a označte 3 takové části. Segment AC se bude rovnat 3/4 segmentu AB. Rozdělme nyní každý ze čtyř počátečních segmentů na polovinu, pak segment AB bude rozdělen na 8 stejných částí a každá taková část bude rovna 1/8 segmentu AB. 3 takové segmenty spojíme oblouky, pak každý ze segmentů AD a DC bude roven 3/8 segmentu AB. Nákres ukazuje, že segment rovný 3/8 je obsažen v segmentu rovném 3/4 přesně 2krát; Takže výsledek dělení lze zapsat takto:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Zvažme ještě jeden příklad. Nechť je potřeba vydělit 15/16 3/32:
Můžeme uvažovat takto: potřebujeme najít číslo, které po vynásobení 3/32 dá součin rovný 15/16. Zapišme výpočty takto:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 neznámé číslo X make up 15/16
1/32 neznámé číslo X je ,
32/32 čísel X makeup .
Proto,
Chcete-li tedy zlomek vydělit zlomkem, musíte vynásobit čitatel prvního zlomku jmenovatelem druhého a vynásobit jmenovatel prvního zlomku čitatelem druhého a udělat z prvního součinu čitatel a druhý jmenovatel.
Napišme pravidlo pomocí písmen:
Při dělení jsou možné zkratky, například:
5. Dělení smíšených čísel.
Při dělení smíšených čísel je třeba je nejprve převést na nesprávné zlomky a výsledné zlomky pak rozdělit podle pravidel pro dělení zlomkových čísel. Zvažte příklad:
Převeďte smíšená čísla na nesprávné zlomky:
Nyní se rozdělíme:
Chcete-li tedy dělit smíšená čísla, musíte je převést na nesprávné zlomky a poté dělit podle pravidla pro dělení zlomků.
6. Hledání čísla daného zlomkem.
Mezi různými úlohami o zlomcích se někdy vyskytují takové, ve kterých je uvedena hodnota nějakého zlomku neznámého čísla a je nutné toto číslo najít. Tento typ problému bude inverzní k problému hledání zlomku daného čísla; tam bylo zadáno číslo a bylo požadováno najít nějaký zlomek tohoto čísla, zde je zadán zlomek čísla a je nutné toto číslo najít samo. Tato myšlenka bude ještě jasnější, pokud se obrátíme na řešení tohoto typu problému.
Úkol 1. První den sklenáři zasklili 50 oken, což je 1/3 všech oken postaveného domu. Kolik oken je v tomto domě?
Řešení. Problém říká, že 50 zasklených oken tvoří 1/3 všech oken domu, což znamená, že celkem je oken 3x více, tzn.
Dům měl 150 oken.
Úkol 2. Prodejna prodala 1500 kg mouky, což jsou 3/8 celkových zásob mouky v prodejně. Jaké byly počáteční zásoby mouky v obchodě?
Řešení. Ze stavu problému je vidět, že prodaných 1500 kg mouky tvoří 3/8 celkových zásob; to znamená, že 1/8 této zásoby bude 3krát méně, tj. pro její výpočet je třeba snížit 1500 3krát:
1 500: 3 = 500 (to je 1/8 zásob).
Je zřejmé, že celá zásoba bude 8krát větší. Proto,
500 8 \u003d 4 000 (kg).
Počáteční zásoba mouky v obchodě byla 4000 kg.
Z uvážení tohoto problému lze odvodit následující pravidlo.
K nalezení čísla danou hodnotou jeho zlomku stačí tuto hodnotu vydělit čitatelem zlomku a výsledek vynásobit jmenovatelem zlomku.
Vyřešili jsme dva problémy s nalezením čísla daného zlomkem. Takové problémy, jak je zvláště dobře vidět z posledního, se řeší dvěma akcemi: dělením (když je nalezena jedna část) a násobením (když je nalezeno celé číslo).
Poté, co jsme však prostudovali dělení zlomků, lze výše uvedené problémy vyřešit jednou akcí, a to: dělením zlomkem.
Například poslední úkol lze vyřešit jednou akcí takto:
V budoucnu vyřešíme problém hledání čísla jeho zlomkem v jedné akci – dělení.
7. Nalezení čísla podle jeho procenta.
V těchto úkolech budete muset najít číslo a znát pár procent tohoto čísla.
Úkol 1. Začátkem tohoto roku jsem dostal od spořitelny 60 rublů. příjem z částky, kterou jsem před rokem vložil do spoření. Kolik peněz jsem vložil do spořitelny? (Pokladny dávají vkladatelům 2 % z příjmu ročně.)
Smyslem problému je, že určitou částku peněz jsem vložil do spořitelny a rok tam ležel. Po roce jsem od ní dostal 60 rublů. příjem, což jsou 2/100 peněz, které jsem vložil. Kolik peněz jsem vložil?
Když tedy známe část těchto peněz, vyjádřenou dvěma způsoby (v rublech a ve zlomcích), musíme najít celou, dosud neznámou částku. Toto je běžný problém najít číslo dané jeho zlomkem. Následující úkoly se řeší dělením:
Do spořitelny bylo tedy vloženo 3 000 rublů.
Úkol 2. Za dva týdny rybáři splnili měsíční plán na 64 %, připravili 512 tun ryb. Jaký byl jejich plán?
Ze stavu problému je znát, že rybáři dokončili část plánu. Tato část se rovná 512 tunám, což je 64 % plánu. Kolik tun ryb je potřeba podle plánu vylovit, nevíme. Řešení problému bude spočívat v nalezení tohoto čísla.
Takové úkoly se řeší rozdělením:
Takže podle plánu musíte připravit 800 tun ryb.
Úkol 3. Vlak jel z Rigy do Moskvy. Když projel 276. kilometr, jeden z cestujících se zeptal projíždějícího průvodčího, jakou část cesty už mají za sebou. Na to průvodčí odpověděl: "Už máme za sebou 30 % celé cesty." Jaká je vzdálenost z Riga do Moskvy?
Ze stavu problému je vidět, že 30 % cesty z Rigy do Moskvy je 276 km. Musíme najít celou vzdálenost mezi těmito městy, tj. pro tuto část najít celek:
§ 91. Vzájemná čísla. Nahrazení dělení násobením.
Vezměte zlomek 2/3 a přeuspořádejte čitatele na místo jmenovatele, dostaneme 3/2. Máme zlomek, reciproční tohoto.
Abyste dostali zlomek převrácený k danému, musíte na místo jmenovatele umístit jeho čitatel a na místo čitatele jmenovatele. Tímto způsobem můžeme získat zlomek, který je převrácený k libovolnému zlomku. Například:
3/4, zpětný chod 4/3; 5/6, vzad 6/5
Dva zlomky, které mají vlastnost, že čitatel prvního je jmenovatelem druhého a jmenovatel prvního je čitatelem druhého, se nazývají vzájemně inverzní.
Nyní se zamysleme nad tím, jaký zlomek bude převrácená hodnota 1/2. Je zřejmé, že to bude 2 / 1, nebo jen 2. Při hledání převrácené hodnoty tohoto jsme dostali celé číslo. A tento případ není ojedinělý; naopak pro všechny zlomky s čitatelem 1 (jedna) budou převrácené hodnoty celá čísla, například:
1/3, inverzní 3; 1/5, obráceně 5
Jelikož jsme se při hledání reciprokátů setkali i s celými čísly, nebudeme v budoucnu mluvit o reciprokách, ale o reciprokách.
Pojďme přijít na to, jak napsat převrácenou hodnotu celého čísla. U zlomků je to vyřešeno jednoduše: je třeba umístit jmenovatele na místo čitatele. Stejným způsobem můžete získat převrácenou hodnotu celého čísla, protože jakékoli celé číslo může mít jmenovatel 1. Proto převrácená hodnota 7 bude 1 / 7, protože 7 \u003d 7 / 1; pro číslo 10 je opak 1/10, protože 10 = 10/1
Tato myšlenka se dá vyjádřit i jinak: převrácenou hodnotu daného čísla získáme vydělením jedničky daným číslem. Toto tvrzení platí nejen pro celá čísla, ale i pro zlomky. Opravdu, pokud chcete napsat číslo, které je převrácené ke zlomku 5 / 9, pak můžeme vzít 1 a vydělit ho 5 / 9, tj.
Nyní upozorněme na jednu vlastnictví vzájemně reciproká čísla, která se nám budou hodit: součin vzájemně reciprokých čísel je roven jedné. Vskutku:
Pomocí této vlastnosti můžeme najít reciprokály následujícím způsobem. Pojďme najít převrácenou hodnotu 8.
Označme to písmenem X , pak 8 X = 1, tedy X = 1/8. Najdeme jiné číslo, převrácené číslo 7/12, označme ho písmenem X , pak 7/12 X = 1, tedy X = 1:7 / 12 nebo X = 12 / 7 .
Zavedli jsme zde pojem reciproká čísla, abychom mírně doplnili informace o dělení zlomků.
Když vydělíme číslo 6 3/5, uděláme následující:
Platit Speciální pozornost k výrazu a porovnejte jej s daným: .
Vezmeme-li výraz samostatně, bez souvislosti s předchozím, pak nelze vyřešit otázku, odkud se vzal: z dělení 6 3/5 nebo z násobení 6 5/3. V obou případech je výsledek stejný. Takže můžeme říct že dělení jednoho čísla druhým lze nahradit vynásobením dividendy převrácenou hodnotou dělitele.
Příklady, které uvádíme níže, tento závěr plně potvrzují.
Násobení a dělení zlomků.
Pozornost!
Existují další
materiál ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří silně "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc...“)
Tato operace je mnohem hezčí než sčítání-odčítání! Protože je to jednodušší. Připomínám: pro vynásobení zlomku zlomkem je třeba vynásobit čitatele (to bude čitatel výsledku) a jmenovatele (to bude jmenovatel). to je:
Například:
Vše je extrémně jednoduché. A prosím nehledejte společného jmenovatele! Tady to netřeba...
Chcete-li vydělit zlomek zlomkem, musíte převrátit druhý(to je důležité!) zlomek a vynásobte je, tj.:
Například:
Pokud je zachyceno násobení nebo dělení celými čísly a zlomky, je to v pořádku. Stejně jako u sčítání uděláme zlomek z celého čísla s jednotkou ve jmenovateli – a jedeme! Například:
Na střední škole se často musíte vypořádat s třípatrovými (nebo dokonce čtyřpatrovými!) zlomky. Například:
Jak dovést tento zlomek do slušné podoby? Ano, velmi snadno! Použijte rozdělení pomocí dvou bodů:
Ale nezapomeňte na pořadí divize! Na rozdíl od násobení je to zde velmi důležité! Samozřejmě si nebudeme plést 4:2 nebo 2:4. Ale v třípatrovém zlomku je snadné udělat chybu. Vezměte prosím na vědomí, například:
V prvním případě (výraz vlevo):
Ve druhém (výraz vpravo):
Cítit rozdíl? 4 a 1/9!
Jaké je pořadí dělení? Nebo závorky, nebo (jako zde) délka vodorovných čárek. Vyvinout oko. A pokud nejsou žádné závorky nebo pomlčky, například:
pak rozděl-násob v pořadí, zleva doprava!
A další velmi jednoduchý a důležitý trik. V akcích s grády se vám bude hodit! Vydělme jednotku libovolným zlomkem, například 13/15:
Střela se obrátila! A vždy se to stane. Při dělení 1 libovolným zlomkem je výsledkem stejný zlomek, pouze převrácený.
To jsou všechny akce se zlomky. Věc je docela jednoduchá, ale chyb dává víc než dost. Poznámka praktické rady a bude jich (chyb) méně!
Praktické tipy:
1. Nejdůležitější při práci se zlomkovými výrazy je přesnost a všímavost! To nejsou běžná slova, ani dobrá přání! To je vážná potřeba! Všechny výpočty na zkoušce dělejte jako plnohodnotný úkol, soustředěně a přehledně. Je lepší napsat dva řádky navíc do konceptu, než se motat při počítání v hlavě.
2. V příkladech s odlišné typy zlomky - přejděte na obyčejné zlomky.
3. Všechny zlomky zredukujeme až na doraz.
4. Vícepodlažní zlomkové výrazy redukujeme na obyčejné pomocí dělení přes dva body (dodržujeme pořadí dělení!).
5. Jednotku v mysli rozdělíme na zlomek, a to jednoduše tak, že zlomek otočíme.
Zde jsou úkoly, které musíte splnit. Odpovědi jsou uvedeny po všech úkolech. Využijte materiály tohoto tématu a praktické rady. Odhadněte, kolik příkladů byste dokázali správně vyřešit. Poprvé! Bez kalkulačky! A vyvodit správné závěry...
Zapamatujte si správnou odpověď získané z druhé (zejména třetí) doby - nepočítá! Takový je drsný život.
Tak, řešit ve zkušebním režimu ! To je mimochodem příprava na zkoušku. Řešíme příklad, kontrolujeme, řešíme následující. Vše jsme rozhodli - znovu jsme kontrolovali od prvního do posledního. Ale pouze Pak podívejte se na odpovědi.
Vypočítat:
Vybral jste si?
Hledáte odpovědi, které odpovídají vašim. Konkrétně jsem je napsal ve zmatku, mimo pokušení, abych tak řekl... Tady jsou odpovědi, zapsané středníkem.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
A nyní vyvozujeme závěry. Pokud vše fungovalo - šťastný pro vás! Elementární výpočty se zlomky nejsou váš problém! Můžete dělat vážnější věci. Pokud ne...
Takže máte jeden ze dvou problémů. Nebo obojí najednou.) Nedostatek znalostí a (nebo) nepozornost. Ale toto řešitelný Problémy.
Pokud se vám tato stránka líbí...
Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)
Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)
můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.
Chcete-li správně vynásobit zlomek zlomkem nebo zlomek číslem, musíte vědět jednoduchá pravidla. Nyní si tato pravidla podrobně rozebereme.
Násobení zlomku zlomkem.
Chcete-li vynásobit zlomek zlomkem, musíte vypočítat součin čitatelů a součin jmenovatelů těchto zlomků.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Zvažte příklad:
Čitatele prvního zlomku vynásobíme čitatelem druhého zlomku a také jmenovatele prvního zlomku vynásobíme jmenovatelem druhého zlomku.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ krát 3)(7 \krát 3) = \frac(4)(7)\\\)
Zlomek \(\frac(12)(21) = \frac(4 \krát 3)(7 \krát 3) = \frac(4)(7)\\\) byl snížen o 3.
Násobení zlomku číslem.
Začněme pravidlem nějaké číslo může být reprezentováno jako zlomek \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Použijme toto pravidlo pro násobení.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Nesprávný zlomek \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) převedeno na smíšený zlomek.
Jinými slovy, Při násobení čísla zlomkem vynásobte číslo čitatelem a jmenovatele ponechte beze změny. Příklad:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Násobení smíšených zlomků.
Chcete-li násobit smíšené zlomky, musíte nejprve reprezentovat každý smíšený zlomek jako nesprávný zlomek a poté použít pravidlo násobení. Čitatel se násobí čitatelem, jmenovatel se násobí jmenovatelem.
Příklad:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Násobení reciprokých zlomků a čísel.
Zlomek \(\bf \frac(a)(b)\) je opakem zlomku \(\bf \frac(b)(a)\), za předpokladu a≠0,b≠0.
Zlomky \(\bf \frac(a)(b)\) a \(\bf \frac(b)(a)\) se nazývají reciproké. Součin reciprokých zlomků je 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Příklad:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Související otázky:
Jak vynásobit zlomek zlomkem?
Odpověď: součin obyčejných zlomků je násobením čitatele s čitatelem, jmenovatele se jmenovatelem. Chcete-li získat produkt smíšených zlomků, musíte je převést na nesprávný zlomek a vynásobit podle pravidel.
Jak násobit zlomky s různými jmenovateli?
Odpověď: nezáleží na tom, zda jsou jmenovatelé zlomků stejní nebo různí, násobení probíhá podle pravidla pro nalezení součinu čitatele s čitatelem, jmenovatele se jmenovatelem.
Jak násobit smíšené zlomky?
Odpověď: nejprve je třeba převést smíšený zlomek na nesprávný zlomek a poté najít součin podle pravidel násobení.
Jak vynásobit číslo zlomkem?
Odpověď: Číslo vynásobíme čitatelem a jmenovatele ponecháme stejný.
Příklad č. 1:
Vypočítejte součin: a) \(\frac(8)(9) \krát \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \krát \frac(10)(13) \ )
Řešení:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( červená) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Příklad č. 2:
Vypočítejte součin čísla a zlomku: a) \(3 \krát \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \krát 11\)
Řešení:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Příklad č. 3:
Napište převrácenou hodnotu \(\frac(1)(3)\)?
Odpověď: \(\frac(3)(1) = 3\)
Příklad č. 4:
Vypočítejte součin dvou reciprokých zlomků: a) \(\frac(104)(215) \krát \frac(215)(104)\)
Řešení:
a) \(\frac(104)(215) \krát \frac(215)(104) = 1\)
Příklad č. 5:
Mohou být vzájemně inverzní zlomky:
a) oba vlastní zlomky;
b) současně nesprávné zlomky;
c) přirozená čísla současně?
Řešení:
a) Odpovězme na příkladu na první otázku. Zlomek \(\frac(2)(3)\) je vlastní, jeho reciproký bude roven \(\frac(3)(2)\) - nevlastní zlomek. Odpověď: ne.
b) téměř u všech výčtů zlomků tato podmínka splněna není, ale jsou některá čísla, která zároveň podmínku nevlastního zlomku splňují. Například, nevlastní zlomek je \(\frac(3)(3)\) , jeho reciproký zlomek je \(\frac(3)(3)\). Dostaneme dva nevlastní zlomky. Odpověď: ne vždy za určitých podmínek, když se čitatel a jmenovatel rovnají.
c) přirozená čísla jsou čísla, která používáme při počítání např. 1, 2, 3, .... Pokud vezmeme číslo \(3 = \frac(3)(1)\), pak jeho reciproká bude \(\frac(1)(3)\). Zlomek \(\frac(1)(3)\) není přirozené číslo. Pokud projdeme všechna čísla, převrácená hodnota je vždy zlomek, kromě 1. Pokud vezmeme číslo 1, pak její převrácená hodnota bude \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Číslo 1 přirozené číslo. Odpověď: mohou být současně přirozenými čísly pouze v jednom případě, pokud je toto číslo 1.
Příklad č. 6:
Proveďte součin smíšených frakcí: a) \(4 \krát 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \krát 3\frac(2)(7)\ )
Řešení:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Příklad č. 7:
Mohou být dvě reciproká čísla současně smíšená čísla?
Podívejme se na příklad. Vezměme smíšený zlomek \(1\frac(1)(2)\), najdeme jeho reciproční, proto jej převedeme na nesprávný zlomek \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Jeho reciproční se bude rovnat \(\frac(2)(3)\) . Zlomek \(\frac(2)(3)\) je správný zlomek. Odpověď: Dva vzájemně inverzní zlomky nemohou být současně smíšená čísla.
Pokračujeme ve studiu akcí s obyčejnými zlomky. Nyní v centru pozornosti násobení společných zlomků. V tomto článku uvedeme pravidlo pro násobení obyčejných zlomků, zvažte použití tohoto pravidla při řešení příkladů. Zaměříme se také na násobení obyčejného zlomku přirozeným číslem. Na závěr zvažte, jak násobení tří a více zlomky.
Navigace na stránce.
Násobení společného zlomku společným zlomkem
Začněme formulací pravidla pro násobení společných zlomků: vynásobením zlomku zlomkem vznikne zlomek, jehož čitatel je roven součinu čitatelů násobených zlomků a jehož jmenovatel se rovná součinu jmenovatelů.
To znamená, že vzorec odpovídá násobení běžných zlomků a / b a c / d.
Uveďme příklad ilustrující pravidlo násobení obyčejných zlomků. Uvažujme čtverec o straně 1 jednotky. , přičemž jeho plocha je 1 jednotka 2 . Tento čtverec rozdělte na stejné obdélníky se stranami 1/4 jednotky. a 1/8 jednotek. , zatímco původní čtverec se bude skládat ze 4 8 = 32 obdélníků, proto plocha každého obdélníku je 1/32 plochy původního čtverce, to znamená, že se rovná 1/32 jednotek 2. Nyní přemalujeme část původního čtverce. Všechny naše akce jsou znázorněny na obrázku níže.
Strany vyplněného obdélníku jsou 5/8 jednotek. a 3/4 jednotky. , což znamená, že jeho plocha je rovna součinu zlomků 5/8 a 3/4, tedy jednotek 2. Vyplněný obdélník se ale skládá z 15 „malých“ obdélníků, takže jeho plocha je 15/32 jednotek 2 . Proto, . Protože 5 3=15 a 8 4=32 , lze poslední rovnost přepsat jako 
, který potvrzuje vzorec pro násobení obyčejných zlomků tvaru .
Všimněte si, že pomocí znělého pravidla násobení můžete násobit jak běžné, tak nevlastní zlomky, zlomky se stejnými jmenovateli a zlomky s různými jmenovateli.
Zvážit příklady násobení běžných zlomků.
Vynásobte společný zlomek 7/11 společný zlomek 9/8 .
Součin čitatelů násobených zlomků 7 a 9 je 63 a součin jmenovatelů 11 a 8 je 88. Vynásobením společných zlomků 7/11 a 9/8 tedy vznikne zlomek 63/88.
Zde je shrnutí řešení: 
.
Neměli bychom zapomínat na redukci výsledného zlomku, pokud se v důsledku násobení získá redukovatelný zlomek, a na výběr celé části z nevhodného zlomku.
Vynásobte zlomky 4/15 a 55/6.
Aplikujme pravidlo násobení obyčejných zlomků: 
.
Výsledný zlomek je samozřejmě redukovatelný (znaménko dělitelnosti 10 nám umožňuje tvrdit, že čitatel a jmenovatel zlomku 220/90 mají společný faktor 10). Zmenšeme zlomek 220/90: GCD(220, 90)=10 a 
. Zbývá vybrat celočíselnou část z výsledného nevlastního zlomku: .
Všimněte si, že redukci zlomků lze provést před výpočtem součinů čitatelů a součinů jmenovatelů vynásobených zlomků, to znamená, když má zlomek tvar . Pro toto číslo jsou a, b, c a d nahrazeny jejich prvočíselnými rozklady, načež jsou stejné faktory v čitateli a jmenovateli zrušeny.
Pro upřesnění se vraťme k předchozímu příkladu.
Vypočítejte součin zlomků tvaru .
Podle vzorce pro násobení obyčejných zlomků máme 
.
Protože 4=2 2 , 55=5 11 , 15=3 5 a 6=2 3 , pak 
. Nyní zrušíme společné prvočinitele: 
.
Zbývá pouze vypočítat součiny v čitateli a jmenovateli a poté vybrat celočíselnou část z nesprávného zlomku: 
.
Je třeba poznamenat, že násobení zlomků je charakterizováno komutativní vlastností, to znamená, že násobené zlomky lze zaměnit: 
.
Násobení zlomku přirozeným číslem
Začněme formulací pravidla pro násobení společného zlomku přirozeným číslem: vynásobením zlomku přirozeným číslem vznikne zlomek, jehož čitatel je roven součinu čitatele násobeného zlomku přirozeným číslem a jmenovatel je roven jmenovateli násobeného zlomku.
Pomocí písmen má pravidlo pro násobení zlomku a/b přirozeným číslem n tvar .
Vzorec vyplývá ze vzorce pro násobení dvou obyčejných zlomků tvaru . Skutečně, dostaneme přirozené číslo jako zlomek se jmenovatelem 1 
.
Zvažte příklady násobení zlomku přirozeným číslem.
Vynásobte zlomek 2/27 5.
Vynásobením čitatele 2 číslem 5 dostaneme 10, proto podle pravidla násobení zlomku přirozeným číslem je součin 2/27 číslem 5 roven zlomku 10/27.
Celé řešení lze pohodlně napsat takto: 
.
Při násobení zlomku přirozeným číslem se často musí výsledný zlomek zmenšit, a pokud je také nesprávný, pak jej reprezentovat jako smíšené číslo.
Vynásobte zlomek 5/12 číslem 8.
Podle vzorce pro násobení zlomku přirozeným číslem máme 
. Je zřejmé, že výsledný zlomek je redukovatelný (znaménko dělitelnosti 2 označuje společný dělitel 2 čitatel a jmenovatel). Zmenšeme zlomek 40/12: protože LCM(40, 12)=4, pak 
. Zbývá vybrat celou část: .
Zde je celé řešení: 
.
Všimněte si, že snížení lze provést nahrazením čísel v čitateli a jmenovateli jejich expanzemi na prvočinitele. V tomto případě by řešení vypadalo takto:
Na závěr tohoto odstavce poznamenáváme, že násobení zlomku přirozeným číslem má komutativní vlastnost, to znamená, že součin zlomku přirozeným číslem se rovná součinu tohoto přirozeného čísla zlomkem: 
.
Vynásobte tři nebo více zlomků
Způsob, jakým jsme definovali obyčejné zlomky a působení násobení s nimi, nám umožňuje tvrdit, že všechny vlastnosti násobení přirozených čísel platí pro násobení zlomků.
Komutativní a asociativní vlastnosti násobení umožňují jednoznačně určit násobení tří a více zlomků a přirozených čísel. V tomto případě se vše děje analogicky s násobením tří nebo více přirozených čísel. Zejména zlomky a přirozená čísla v produktu lze pro usnadnění výpočtu přeskupit a v případě absence závorek označujících pořadí, ve kterém se akce provádějí, můžeme závorky sami uspořádat kterýmkoli z povolených způsobů.
Zvažte příklady násobení několika zlomků a přirozených čísel.
Vynásobte tři běžné zlomky 1/20, 12/5, 3/7 a 5/8.
Napíšeme si součin, který potřebujeme spočítat 
. Na základě pravidla pro násobení zlomků se zapsaný součin rovná zlomku, jehož čitatel se rovná součinu čitatelů všech zlomků, a jmenovatel je součin jmenovatelů: 
.
Před výpočtem součinů v čitateli a jmenovateli je vhodné nahradit všechny faktory jejich expanzemi na prvočinitele a redukovat (samozřejmě můžete zlomek po vynásobení snížit, ale v mnoha případech to vyžaduje velké výpočetní úsilí): .
.
Vynásobte pět čísel 
.
V tomto produktu je vhodné seskupit zlomek 7/8 s číslem 8 a číslo 12 se zlomkem 5/36, zjednoduší to výpočty, protože při takovém seskupení je redukce zřejmá. My máme
.
.
Násobení zlomků
Budeme uvažovat o násobení obyčejných zlomků několika možnými způsoby.
Násobení zlomku zlomkem
Toto je nejjednodušší případ, ve kterém musíte použít následující pravidla násobení zlomků.
Na vynásobte zlomek zlomkem, nutné:
- vynásobte čitatele prvního zlomku čitatelem druhého zlomku a zapište jejich součin do čitatele nového zlomku;
- vynásobte jmenovatele prvního zlomku jmenovatelem druhého zlomku a zapište jejich součin do jmenovatele nového zlomku;
Před násobením čitatelů a jmenovatelů zkontrolujte, zda lze zlomky zmenšit. Snížení zlomků ve výpočtech výrazně usnadní vaše výpočty.
Násobení zlomku přirozeným číslem
Na zlomek vynásobte přirozeným číslem musíte vynásobit čitatel zlomku tímto číslem a ponechat jmenovatele zlomku beze změny.
Pokud je výsledkem násobení nesprávný zlomek, nezapomeňte jej převést na smíšené číslo, to znamená vybrat celou část.
Násobení smíšených čísel
Chcete-li násobit smíšená čísla, musíte je nejprve převést na nesprávné zlomky a poté násobit podle pravidla pro násobení obyčejných zlomků.
Další způsob, jak vynásobit zlomek přirozeným číslem
Někdy je ve výpočtech vhodnější použít jiný způsob násobení obyčejného zlomku číslem.
Chcete-li vynásobit zlomek přirozeným číslem, musíte vydělit jmenovatele zlomku tímto číslem a ponechat čitatel stejný.
Jak je vidět z příkladu, je výhodnější použít tuto verzi pravidla, pokud je jmenovatel zlomku dělitelný beze zbytku přirozeným číslem.
Násobení smíšených čísel: pravidla, příklady, řešení.
V tomto článku budeme analyzovat násobení smíšených čísel. Nejprve vyslovíme pravidlo pro násobení smíšených čísel a zvážíme použití tohoto pravidla při řešení příkladů. Dále si povíme něco o násobení smíšeného čísla a přirozeného čísla. Nakonec se naučíme, jak násobit smíšené číslo a obyčejný zlomek.
Navigace na stránce.
Násobení smíšených čísel.
Násobení smíšených čísel lze redukovat na násobení obyčejných zlomků. K tomu stačí převést smíšená čísla na nesprávné zlomky.
Pojďme si zapsat pravidlo násobení pro smíšená čísla:
- Nejprve musí být smíšená čísla, která mají být násobena, nahrazena nesprávnými zlomky;
- Za druhé, musíte použít pravidlo násobení zlomku zlomkem.
Zvažte příklady použití tohoto pravidla při násobení smíšeného čísla smíšeným číslem.
Proveďte smíšené násobení čísel a .
Nejprve si vynásobená smíšená čísla představíme jako nesprávné zlomky: 
A 
. Nyní můžeme násobení smíšených čísel nahradit násobením obyčejných zlomků: 
. Použitím pravidla násobení zlomků dostaneme 
. Výsledný zlomek je neredukovatelný (viz redukovatelné a neredukovatelné zlomky), ale je nesprávný (viz pravidelné a nevlastní zlomky), proto pro získání konečné odpovědi zbývá extrahovat celočíselnou část z nesprávného zlomku: .
Celé řešení zapišme do jednoho řádku: .
.
Chcete-li upevnit dovednosti násobení smíšených čísel, zvažte řešení jiného příkladu.
Proveďte násobení.
Legrační čísla a jsou rovny zlomkům 13/5 a 10/9. Pak 
. V této fázi je čas vzpomenout si na redukci zlomků: všechna čísla ve zlomku nahradíme jejich expanzemi na prvočinitele a provedeme redukci stejných faktorů.
Násobení smíšeného a přirozeného čísla
Po nahrazení smíšeného čísla nesprávným zlomkem násobení smíšeného čísla a přirozeného čísla se redukuje na násobení obyčejného zlomku a přirozeného čísla.
Vynásobte smíšené číslo a přirozené číslo 45 .
Smíšené číslo je tedy zlomek 
. Nahraďme čísla ve výsledném zlomku jejich expanzemi na prvočinitele, provedeme redukci, po které vybereme celočíselnou část: .
.
Násobení smíšeného čísla a přirozeného čísla se někdy pohodlně provádí pomocí distributivní vlastnosti násobení s ohledem na sčítání. V tomto případě je součin smíšeného čísla a přirozeného čísla roven součtu součinů celé části daným přirozeným číslem a zlomkové části daným přirozeným číslem, tzn. 
.
Vypočítejte produkt.
Smíšené číslo nahradíme součtem celých a zlomkových částí, načež aplikujeme distributivní vlastnost násobení: .
Násobení smíšeného čísla a společného zlomku nejvýhodnější je redukovat na násobení obyčejných zlomků, které představují vynásobené smíšené číslo jako nevlastní zlomek.
Vynásobte smíšené číslo společným zlomkem 4/15.
Nahradíme smíšené číslo zlomkem, dostaneme 
.
Násobení zlomkových čísel
§ 140. Definice. 1) Násobení zlomkového čísla celým číslem je definováno stejným způsobem jako násobení celých čísel, a to: vynásobit nějaké číslo (násobitel) celým číslem (faktorem) znamená vytvořit součet identických členů, ve kterých je každý člen roven násobiteli a počet členů se rovná násobiteli.
Takže násobení 5 znamená nalezení součtu:
2) Vynásobit nějaké číslo (násobitel) zlomkem (násobitelem) znamená najít tento zlomek násobitele.
Tedy nalezení zlomku daného čísla, o kterém jsme uvažovali dříve, budeme nyní nazývat násobení zlomkem.
3) Vynásobit nějaké číslo (násobitel) smíšeným číslem (faktorem) znamená vynásobit násobitel nejprve celým číslem faktoru, poté zlomkem faktoru a sečíst výsledky těchto dvou násobení dohromady.
Například:
Číslo získané po vynásobení se ve všech těchto případech nazývá práce, tedy stejným způsobem jako při násobení celých čísel.
Z těchto definic je zřejmé, že násobení zlomkových čísel je vždy možný a vždy jednoznačný děj.
§ 141. Účelnost těchto definic. Abychom pochopili účelnost zavedení dvou posledních definic násobení do aritmetiky, uveďme následující problém:
Úkol. Vlak, pohybující se rovnoměrně, jede 40 km za hodinu; jak zjistit, kolik kilometrů tento vlak ujede za daný počet hodin?
Pokud bychom zůstali u stejné definice násobení, která je uvedena v aritmetice celých čísel (sčítání stejných členů), pak by náš problém měl tři různá řešení, a to:
Pokud je daný počet hodin celé číslo (například 5 hodin), pak pro vyřešení problému je třeba 40 km vynásobit tímto počtem hodin.
Pokud je daný počet hodin vyjádřen zlomkem (například hodin), pak budete muset najít hodnotu tohoto zlomku ze 40 km.
Nakonec, pokud je daný počet hodin smíchán (například hodin), pak bude nutné vynásobit 40 km celým číslem obsaženým ve smíšeném čísle a k výsledku přičíst takový zlomek ze 40 km, jaký je v smíšené číslo.
Definice, které jsme uvedli, nám umožňují dát jednu obecnou odpověď na všechny tyto možné případy:
40 km je třeba vynásobit daným počtem hodin, ať je to cokoliv.
Pokud je tedy problém prezentován v obecné podobě takto:
Rovnoměrně se pohybující vlak jede v km za hodinu. Kolik kilometrů ujede vlak za t hodin?
pak, ať jsou čísla v a t jakákoli, můžeme vyjádřit jednu odpověď: požadované číslo je vyjádřeno vzorcem v · t.
Poznámka. Najít nějaký zlomek daného čísla podle naší definice znamená totéž, jako vynásobit dané číslo tímto zlomkem; najít tedy např. 5 % (tedy pět setin) daného čísla znamená totéž, jako vynásobit dané číslo číslem nebo číslem; nalezení 125 % daného čísla je stejné jako vynásobení tohoto čísla pomocí nebo pomocí atd.
§ 142. Poznámka o tom, kdy číslo od násobení přibývá a kdy klesá.
Od násobení vlastním zlomkem se číslo zmenšuje a od násobení nevlastním zlomkem číslo roste, pokud je tento nevlastní zlomek větší než jedna, a zůstává nezměněn, pokud je roven jedné.
Komentář. Při násobení zlomkových čísel i celých čísel se součin rovná nule, pokud je některý z faktorů roven nule, takže,.
§ 143. Odvození pravidel násobení.
1) Násobení zlomku celým číslem. Nechť zlomek vynásobíme 5. To znamená zvýšit 5krát. Ke zvětšení zlomku o 5 stačí zvětšit jeho čitatel nebo 5krát zmenšit jeho jmenovatele (§ 127).
Proto:
Pravidlo 1. Chcete-li vynásobit zlomek celým číslem, musíte vynásobit čitatel tímto celým číslem a jmenovatele ponechat stejný; místo toho můžete také vydělit jmenovatele zlomku daným celým číslem (pokud je to možné) a čitatel ponechat stejný.
Komentář. Součin zlomku a jeho jmenovatele se rovná jeho čitateli.
Tak:
Pravidlo 2. Chcete-li vynásobit celé číslo zlomkem, musíte celé číslo vynásobit čitatelem zlomku a učinit tento součin čitatelem a jmenovatele daného zlomku podepsat jako jmenovatele.
Pravidlo 3. Chcete-li vynásobit zlomek zlomkem, musíte vynásobit čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem a udělat z prvního součinu čitatele az druhého jmenovatele součinu.
Komentář. Toto pravidlo lze aplikovat i na násobení zlomku celým číslem a celého čísla zlomkem, pokud celé číslo považujeme za zlomek se jmenovatelem jedna. Tak:
Tři nyní uvedená pravidla jsou tedy obsažena v jednom, který lze obecně vyjádřit takto:
4) Násobení smíšených čísel.
Pravidlo 4. Chcete-li násobit smíšená čísla, musíte je převést na nesprávné zlomky a poté násobit podle pravidel pro násobení zlomků. Například:
§ 144. Snížení v násobení. Při násobení zlomků by se pokud možno mělo provést předběžné snížení, jak je vidět z následujících příkladů:
Takové snížení lze provést, protože hodnota zlomku se nezmění, pokud se čitatel a jmenovatel sníží stejným počtem časů.
§ 145. Změna produktu se změnou faktorů. Když se faktory změní, změní se součin zlomkových čísel úplně stejně jako součin celých čísel (§ 53), a to: pokud zvýšíte (nebo snížíte) kterýkoli faktor několikrát, součin se zvýší (nebo sníží) o stejnou částku.
Takže pokud v příkladu:
k vynásobení několika zlomků je nutné vynásobit jejich čitatele mezi sebou a jmenovatele mezi sebou a učinit z prvního součinu čitatele az druhého jmenovatele součinu.
Komentář. Toto pravidlo lze aplikovat i na takové součiny, ve kterých jsou některé činitele čísla celočíselné nebo smíšené, pouze pokud celé číslo považujeme za zlomek, jehož jmenovatel je jedna, a smíšená čísla převedeme na zlomky nevlastní. Například:
§ 147. Základní vlastnosti násobení. K násobení zlomkových čísel patří i ty vlastnosti násobení, které jsme uvedli u celých čísel (§ 56, 57, 59). Pojďme si tyto vlastnosti specifikovat.
1) Produkt se nemění změnou místa faktorů.
Například:
Podle pravidla předchozího odstavce se první součin rovná zlomku a druhý se rovná zlomku. Tyto zlomky jsou ale stejné, protože jejich členy se liší pouze v pořadí celočíselných faktorů a součin celých čísel se při změně místa faktorů nemění.
2) Produkt se nezmění, pokud je jakákoli skupina faktorů nahrazena jejich produktem.
Například:
Výsledky jsou stejné.
Z této vlastnosti násobení můžeme odvodit následující závěr:
chcete-li vynásobit nějaké číslo součinem, můžete toto číslo vynásobit prvním faktorem, výsledné číslo vynásobit druhým a tak dále.
Například:
3) Distributivní zákon násobení (s ohledem na sčítání). Chcete-li součet vynásobit nějakým číslem, můžete vynásobit každý výraz tímto číslem samostatně a sečíst výsledky.
Tento zákon jsme vysvětlili (§ 59) tak, že se vztahuje na celá čísla. Zůstává pravdivý bez jakýchkoli změn pro zlomková čísla.
Ukažme ve skutečnosti, že rovnost
(a + b + c + .)m = am + bm + cm +.
(distributivní zákon násobení s ohledem na sčítání) zůstává pravdivý, i když písmena znamenají zlomková čísla. Uvažujme tři případy.
1) Předpokládejme nejprve, že faktor m je celé číslo, například m = 3 (a, b, c jsou libovolná čísla). Podle definice násobení celým číslem lze psát (pro jednoduchost omezeno na tři pojmy):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
Na základě asociativního zákona sčítání můžeme vynechat všechny závorky na pravé straně; za použití komutativního zákona sčítání a poté znovu kombinačního zákona můžeme samozřejmě přepsat pravou stranu takto:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
Distributivní zákon je tedy v tomto případě potvrzen.
Dělení zlomku přirozeným číslem
Sekce: Matematika
T typ třídy: ONZ (objevování nových poznatků - dle technologie činnosti způsob výuky).
- Odvodit metody dělení zlomku přirozeným číslem;
- Formovat schopnost provádět dělení zlomku přirozeným číslem;
- Opakujte a upevněte dělení zlomků;
- Trénujte schopnost redukovat zlomky, analyzovat a řešit problémy.
Ukázkový materiál vybavení:
1. Úkoly pro aktualizaci znalostí:
2. Zkušební (individuální) úkol.
1. Proveďte rozdělení:
2. Proveďte dělení bez provedení celého řetězce výpočtů: .
- Při dělení zlomku přirozeným číslem můžete jmenovatele vynásobit tímto číslem a čitatel ponechat stejný.
- Pokud je čitatel dělitelný přirozeným číslem, pak při dělení zlomku tímto číslem můžete vydělit čitatele číslem a jmenovatele ponechat stejný.
I. Motivace (sebeurčení) k vzdělávací aktivity.
- organizovat aktualizaci požadavků na studenta ze strany vzdělávacích aktivit („musí“);
- Organizujte aktivity studentů tak, aby vytvořili tematický rámec („Dokážu“);
- Vytvářet podmínky pro to, aby měl žák vnitřní potřebu zařazení do vzdělávacích aktivit („chci“).
Organizace vzdělávací proces ve fázi I.
Ahoj! Jsem rád, že vás všechny vidím v hodině matematiky. Doufám, že je to vzájemné.
Kluci, jaké nové poznatky jste získali v minulé lekci? (Rozděl zlomky).
Že jo. Co vám pomáhá dělit zlomky? (Pravidlo, vlastnosti).
Kde tyto znalosti potřebujeme? (V příkladech, rovnicích, úlohách).
Výborně! V minulé lekci se ti dařilo. Chtěli byste sami dnes objevovat nové poznatky? (Ano).
Potom jdi! A mottem lekce je výrok „Matematika se nedá naučit tím, že budete sledovat, jak to dělá váš soused!“.
II. Aktualizace znalostí a fixace individuální obtížnosti ve zkušební akci.
- Uspořádat aktualizaci studovaných metod jednání, postačujících k vybudování nových znalostí. Fixovat tyto metody verbálně (v řeči) a symbolicky (standardně) a zobecňovat je;
- Organizovat aktualizaci mentálních operací a kognitivní procesy, dostatečné k vybudování nových znalostí;
- Motivovat ke zkušebnímu jednání a jeho nezávislému provedení a zdůvodnění;
- Předložit individuální úkol pro zkušební akci a analyzovat jej za účelem identifikace nového vzdělávacího obsahu;
- Organizovat fixaci vzdělávacího cíle a tématu lekce;
- Zorganizujte provedení zkušební akce a stanovení obtížnosti;
- Zorganizujte analýzu obdržených odpovědí a zaznamenejte jednotlivé obtíže při provádění zkušebního jednání nebo jeho zdůvodňování.
Organizace vzdělávacího procesu na II.
Frontálně pomocí tablet (jednotlivých desek).
1. Porovnejte výrazy:
(Tyto výrazy jsou stejné)
Čeho zajímavého jste si všimli? (Čitatel a jmenovatel dělence, čitatel a jmenovatel dělitele v každém výrazu se zvýšily stejně mnohokrát. Dělitelé a dělitelé ve výrazech jsou tedy reprezentováni zlomky, které jsou si navzájem rovné).
Najděte význam výrazu a zapište ho na tablet. (2)
Jak zapsat toto číslo jako zlomek?
Jak jste provedli divizní akci? (Děti vyslovují pravidlo, učitel věší písmena na tabuli)
2. Vypočítejte a zaznamenejte pouze výsledky:
3. Sečtěte své výsledky a zapište svou odpověď. (2)
Jak se jmenuje číslo získané v úloze 3? (Přírodní)
Myslíte si, že dokážete vydělit zlomek přirozeným číslem? (Ano, pokusíme se)
Zkuste to.
4. Individuální (zkušební) úkol.
Proveďte dělení: (pouze příklad a)
Jaké pravidlo jste použili k rozdělení? (Podle pravidla dělení zlomku zlomkem)
Nyní vydělte zlomek přirozeným číslem jednoduchým způsobem bez provedení celého řetězce výpočtů: (příklad b). Dávám vám na to 3 sekundy.
Komu se nepodařilo dokončit úkol za 3 sekundy?
Kdo to udělal? (takové neexistují)
Proč? (Neznáme cestu)
Co jsi dostal? (Obtížnost)
Co myslíš, že budeme ve třídě dělat? (dělte zlomky přirozenými čísly)
Je to tak, otevřete si sešity a zapište si téma lekce „Dělení zlomku přirozeným číslem“.
Proč zní toto téma nově, když už víte, jak dělit zlomky? (Potřeba nová cesta)
Že jo. Dnes zavedeme techniku, která zjednoduší dělení zlomku přirozeným číslem.
III. Identifikace místa a příčiny obtíží.
- Organizovat obnovu dokončených operací a opravit (verbální a symbolické) místo – krok, operaci, kde vznikly potíže;
- Uspořádat korelaci jednání studentů s použitou metodou (algoritmem) a fixaci příčiny obtíží ve vnější řeči - těch konkrétních znalostí, dovedností nebo schopností, které nestačí k vyřešení počátečního problému tohoto typu.
Organizace vzdělávacího procesu na III.
Jaký úkol jsi musel splnit? (Vydělte zlomek přirozeným číslem, aniž byste museli provádět celý řetězec výpočtů)
Co vám způsobilo potíže? (Nepodařilo se vyřešit v krátké době rychlým způsobem)
Jaký je účel naší lekce? (Nalézt rychlý způsob dělení zlomku přirozeným číslem)
Co vám pomůže? (Již známé pravidlo pro dělení zlomků)
IV. Výstavba projektu výjezdu z obtížnosti.
- Vyjasnění účelu projektu;
- Volba metody (vyjasnění);
- Definice fondů (algoritmus);
- Sestavení plánu k dosažení cíle.
Organizace vzdělávacího procesu na stupni IV.
Vraťme se k testovacímu případu. Říkal jste, že dělíte podle pravidla dělení zlomků? (Ano)
Chcete-li to provést, nahraďte přirozené číslo zlomkem? (Ano)
Které kroky si myslíte, že můžete přeskočit?
(Řetězec řešení je na desce otevřený: 
Analyzujte a udělejte závěr. (Krok 1)
Pokud odpověď neexistuje, shrneme to prostřednictvím otázek:
Kam se poděl přirozený dělitel? (ke jmenovateli)
Změnil se čitatel? (Ne)
Jaký krok lze tedy „vynechat“? (Krok 1)
- Vynásobte jmenovatele zlomku přirozeným číslem.
- Čitatel se nemění.
- Získáme nový zlomek.
V. Realizace postaveného projektu.
- Organizovat komunikativní interakci za účelem realizace vybudovaného projektu zaměřeného na získání chybějících znalostí;
- Organizovat fixaci vykonstruovaného způsobu jednání v řeči a znacích (pomocí normy);
- Uspořádejte řešení původního problému a zaznamenejte překonání obtížnosti;
- Uspořádejte vyjasnění Všeobecné nové poznatky.
Organizace vzdělávacího procesu na V. stupni.
Nyní rychle spusťte testovací případ novým způsobem.
Dokážete nyní úkol rychle dokončit? (Ano)
Vysvětlete, jak jste to udělali? (Děti mluví)
To znamená, že jsme získali nový poznatek: pravidlo pro dělení zlomku přirozeným číslem.
Výborně! Řekněte to ve dvojicích.
Poté jeden žák promluví ke třídě. Opravujeme pravidlo-algoritmus slovně a ve formě standardu na tabuli.
Nyní zadejte označení písmen a zapište vzorec pro naše pravidlo.
Žák píše na tabuli a vyslovuje pravidlo: při dělení zlomku přirozeným číslem můžete jmenovatele vynásobit tímto číslem a čitatel ponechat stejný.
(Vzorec si každý zapíše do sešitů).
A nyní ještě jednou analyzujte řetězec řešení zkušebního úkolu a věnujte zvláštní pozornost odpovědi. Co dělali? (Čitatel zlomku 15 byl vydělen (redukován) číslem 3)
co je to za číslo? (Přirozený, dělitel)
Jak jinak tedy vydělit zlomek přirozeným číslem? (Zkontrolujte: pokud je čitatel zlomku dělitelný tímto přirozeným číslem, pak můžete čitatel tímto číslem vydělit, výsledek zapsat do čitatele nového zlomku a jmenovatele ponechat stejný)
Napište tuto metodu ve formě vzorce. (Žák zapíše pravidlo na tabuli. Každý si vzorec zapíše do sešitů.)
Vraťme se k první metodě. Lze jej použít, pokud a:n? (Ano obecným způsobem)
A kdy je vhodné použít druhou metodu? (Když je čitatel zlomku dělitelný přirozeným číslem beze zbytku)
VI. Primární upevňování s výslovností ve vnější řeči.
- Organizovat dětem asimilaci nového způsobu jednání při řešení typických problémů s jejich výslovností ve vnější řeči (frontálně, ve dvojicích nebo skupinách).
Organizace vzdělávacího procesu na stupni VI.
Počítejte novým způsobem:
- č. 363 (a; d) - předvést u tabule a vyslovit pravidlo.
- č. 363 (d; f) - ve dvojicích s kontrolou na vzorku.
VII. Samostatná práce s autotestem dle normy.
- Organizovat samostatné plnění úkolů studentů pro nový způsob jednání;
- Organizovat autotest na základě srovnání se standardem;
- Podle výsledků realizace samostatná práce organizovat reflexi asimilace nového způsobu jednání.
Organizace vzdělávacího procesu na stupni VII.
Počítejte novým způsobem:
Studenti zkontrolují normu, poznamenají si správnost provedení. Příčiny chyb jsou analyzovány a chyby jsou opraveny.
Učitel se ptá žáků, kteří udělali chyby, jaký je důvod?
V této fázi je důležité, aby si každý student samostatně zkontroloval svou práci.
Před řešením úlohy 8) zvažte příklad z učebnice:
IX. Reflexe učebních činností ve třídě.
- Organizovat fixaci nového obsahu studovaného v lekci;
- Organizovat reflektivní analýzu vzdělávacích aktivit z hlediska plnění požadavků známých studentům;
- Organizovat hodnocení žáků jejich vlastních aktivit v hodině;
- Uspořádejte fixaci nevyřešených obtíží v lekci jako směr pro budoucí vzdělávací aktivity;
- Uspořádejte diskusi a zaznamenejte domácí úkoly.
Organizace vzdělávacího procesu na stupni IX.
Kluci, jaké nové poznatky jste dnes objevili? (Naučili jsme se jednoduchým způsobem dělit zlomek přirozeným číslem)
Formulujte obecný způsob. (Oni říkají)
Jakým způsobem a v jakých případech jej ještě můžete použít? (Oni říkají)
Jaká je výhoda nové metody?
Dosáhli jsme cíle lekce? (Ano)
Jaké znalosti jste použili k dosažení cíle? (Oni říkají)
Povedlo se vám to?
Jaké byly potíže?
