Co je to logaritmus?

Pozornost!
Existují další
materiály ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří jsou velmi "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc…“)

Co je to logaritmus? Jak řešit logaritmy? Tyto otázky mnohé absolventy matou. Tradičně je téma logaritmů považováno za složité, nepochopitelné a děsivé. Zejména rovnice s logaritmy.

To absolutně není pravda. Absolutně! Nevěříš mi? Pokuta. Nyní za pouhých 10–20 minut:

1. Pochopíte co je logaritmus.

2. Naučte se řešit celou třídu exponenciální rovnice. I když jste o nich nic neslyšeli.

3. Naučte se počítat jednoduché logaritmy.

Navíc k tomu budete potřebovat pouze znát násobilku a jak zvýšit číslo na mocninu...

Mám pocit, že máš pochybnosti... Dobře, dobře, označ si čas! Jít!

Nejprve si v hlavě vyřešte tuto rovnici:

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)

Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Tabulka primitivních derivátů.

Vlastnosti neurčitého integrálu umožňují najít jeho primitivní derivaci pomocí známého diferenciálu funkce. Tedy pomocí rovnosti a lze zjistit z tabulky derivátů hlavních elementární funkce vytvořit tabulku primitivních derivátů.

Dovolte nám připomenout tabulka derivátů, zapišme si to ve formě diferenciálů.

Najdeme například neurčitý integrál mocninné funkce.

Pomocí diferenciální tabulky , tedy z vlastností neurčitého integrálu máme . Proto nebo v jiném příspěvku

Najdeme množinu primitivních funkcí mocninné funkce pro p = -1. My máme . Pro přirozený logaritmus odkazujeme na tabulku diferenciálů , tedy, . Proto .

Doufám, že chápete princip.

Tabulka primitivních funkcí (neurčité integrály).

Vzorce z levého sloupce tabulky se nazývají základní primitivní. Vzorce v pravém sloupci nejsou základní, ale velmi často se používají při hledání neurčitých integrálů. Lze je zkontrolovat diferenciací.

Přímá integrace.

Přímá integrace je založena na využití vlastností neurčitých integrálů , , pravidla integrace a tabulky primitivních derivátů.

Obvykle je potřeba integrand nejprve mírně transformovat, aby bylo možné použít tabulku základních integrálů a vlastností integrálů.

Příklad.

Najděte integrál .

Řešení.

Koeficient 3 lze ze znaménka integrálu odstranit na základě vlastnosti:

Pojďme se transformovat integrandová funkce(podle trigonometrických vzorců):

Protože integrál součtu je roven součtu integrálů, pak

Je čas obrátit se na tabulku primitivních derivátů:

Odpovědět:

.

Příklad.

Najděte množinu primitivních funkcí funkce

Řešení.

Odkazujeme na tabulku primitivních derivátů exponenciální funkce: . to znamená, .

Pokud použijeme integrační pravidlo , pak máme:

Tabulka primitivních funkcí spolu s vlastnostmi a pravidlem integrace tedy umožňuje najít spoustu neurčitých integrálů. Ne vždy je však možné transformovat funkci integrand za účelem použití tabulky primitivních derivátů.

Například v tabulce primitivních funkcí není integrál funkce logaritmu, arkussinus, arkussinus, arkustangens a arkotangens, tangens a kotangens funkcí. K jejich nalezení se používají speciální metody. Ale o tom více v další části:

Tabulka primitivních prvků ("integrálů"). Tabulka integrálů. Tabelární ne určité integrály. (Nejjednodušší integrály a integrály s parametrem). Vzorce pro integraci po částech. Newtonův-Leibnizův vzorec.

Tabulka primitivních prvků ("integrálů"). Tabelární neurčité integrály. (Nejjednodušší integrály a integrály s parametrem).
Integrál výkonové funkce.	Integrál výkonové funkce.
Integrál, který se redukuje na integrál výkonové funkce, pokud je x řízeno pod diferenciálním znaménkem.
	Integrál exponenciály, kde a je konstantní číslo.
Integrál komplexní exponenciální funkce.	Integrál exponenciální funkce.
Integrál rovný přirozenému logaritmu.	Integrál: "Dlouhý logaritmus".
	Integrál: "Dlouhý logaritmus".
Integrál: "Vysoký logaritmus".	Integrál, kde je x v čitateli umístěno pod diferenciálním znaménkem (konstantu pod znaménkem lze buď sečíst nebo odečíst), je nakonec podobný integrálu rovnému přirozenému logaritmu.
Integrál: "Vysoký logaritmus".
Kosinusový integrál.	Sinusový integrál.
Integrál rovný tečně.	Integrál rovný kotangens.
Integrál rovný arcsinusu i arckosinu
Integrál rovný arcsinusu i arckosinu.	Integrál rovný jak arkustangenu, tak arkotangensu.
Integrál rovný kosekansu.	Integrál se rovná sečně.
Integrál rovný arcsekantu.	Integrál rovný arkosekantu.
Integrál rovný arcsekantu.	Integrál rovný arcsekantu.
Integrál rovný hyperbolickému sinusu.	Integrál rovný hyperbolickému kosinusu.
Integrál rovný hyperbolickému sinusu, kde sinhx je hyperbolický sinus v anglické verzi.	Integrál rovný hyperbolickému kosinusu, kde sinhx je hyperbolický sinus v anglické verzi.
Integrál rovný hyperbolické tečně.	Integrál rovný hyperbolickému kotangensu.
Integrál rovný hyperbolické sečně.	Integrál rovný hyperbolickému kosekansu.

Vzorce pro integraci po částech. Integrační pravidla.

Vzorce pro integraci po částech. Newtonův-Leibnizův vzorec Pravidla integrace.
Integrace produktu (funkce) pomocí konstanty:
Integrace součtu funkcí:
neurčité integrály:
Vzorec pro integraci po částech určité integrály:
Newtonův-Leibnizův vzorec určité integrály:	Kde F(a), F(b) jsou hodnoty primitivních derivátů v bodech b a a.

Tabulka derivátů. Tabulkové deriváty. Derivát produktu. Derivace kvocientu. Derivace komplexní funkce.

Pokud je x nezávislá proměnná, pak:

Tabulka derivátů. Tabulkové deriváty."tabulkový derivát" - ano, bohužel, přesně tak se hledají na internetu
	Derivace mocninné funkce
	Derivace exponentu
Derivace komplexní exponenciální funkce	Derivace exponenciální funkce
Derivace logaritmické funkce	Derivace přirozeného logaritmu
	Derivace přirozeného logaritmu funkce
Derivace sinusu	Derivace kosinusu
Derivát kosekantu	Derivace sečny
Derivace arcsinusu	Derivace arc cosinus
Derivace arcsinusu	Derivace arc cosinus
Tečná derivace	Derivace kotangens
Derivace arkustangens	Derivace obloukového kotangens
Derivace arkustangens	Derivace obloukového kotangens
Derivace arcsekantu	Derivát arkosekantu
Derivace arcsekantu	Derivát arkosekantu
Derivace hyperbolického sinusu Derivace hyperbolického sinu v anglické verzi	Derivace hyperbolického kosinusu Derivace hyperbolického kosinusu v anglické verzi
Derivace hyperbolické tečny	Derivace hyperbolického kotangens
Derivace hyperbolické sečny	Derivát hyperbolického kosekansu

Pravidla diferenciace. Derivát produktu. Derivace kvocientu. Derivace komplexní funkce.
Derivace součinu (funkce) konstantou:
Derivace součtu (funkce):
Derivát produktu (funkce):
Derivace kvocientu (funkcí):
Derivace komplexní funkce:

Vlastnosti logaritmů. Základní vzorce pro logaritmy. Desetinné (lg) a přirozené logaritmy (ln).

Základní logaritmická identita
Ukažme si, jak lze libovolnou funkci tvaru a b udělat exponenciální. Protože funkce tvaru e x se nazývá exponenciální, pak
Jakákoli funkce tvaru a b může být reprezentována jako mocnina deseti

Přirozený logaritmus ln (logaritmus k základu e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Taylorova řada. Taylorova řada rozšíření funkce.

Ukazuje se, že většina prakticky setkali matematické funkce mohou být reprezentovány s libovolnou přesností v okolí určitého bodu ve formě mocninných řad obsahujících mocniny proměnné v rostoucím pořadí. Například v blízkosti bodu x=1:

Při použití série tzv Taylorovy řady smíšené funkce obsahující řekněme algebraické, goniometrické a exponenciální funkce lze vyjádřit jako čistě algebraické funkce. Pomocí řad můžete často rychle provádět diferenciaci a integraci.

Taylorova řada v okolí bodu a má tvar:

1) , kde f(x) je funkce, která má derivace všech řádů v x = a. R n - zbytek v Taylorově řadě je určen výrazem

2)

K-tý koeficient (při x k) řady je určen vzorcem

3) Speciálním případem Taylorovy řady je řada Maclaurin (=McLaren). (rozšíření nastává kolem bodu a=0)

při a=0

členy řady jsou určeny vzorcem

Podmínky použití Taylorovy řady.

1. Aby funkce f(x) mohla být rozšířena na Taylorovu řadu na intervalu (-R;R), je nutné a postačující, aby zbývající člen v Taylorově (Maclaurinově (=McLaren)) vzorci pro toto funkce má tendenci k nule jako k →∞ na zadaném intervalu (-R;R).

2. Je nutné, aby v bodě, v jehož blízkosti budeme konstruovat Taylorovu řadu, byly pro danou funkci derivace.

Vlastnosti Taylorovy řady.

Je-li f analytická funkce, pak její Taylorova řada v libovolném bodě a v oboru definice f konverguje k f v nějakém okolí a.

Existují nekonečně diferencovatelné funkce, jejichž Taylorova řada konverguje, ale zároveň se liší od funkce v libovolném okolí a. Například:

Taylorovy řady se používají v aproximaci (aproximace - vědecká metoda, která spočívá v nahrazení některých objektů jinými, v tom či onom smyslu blízkými původním, ale jednodušším) funkcí polynomy. Zejména linearizace ((z linearis - lineární), jedna z metod přibližné reprezentace uzavřených nelineárních systémů, ve které je studium nelineárního systému nahrazeno analýzou lineárního systému, v jistém smyslu ekvivalentního původnímu systému. .) rovnice nastává rozšířením do Taylorovy řady a odříznutím všech členů nad prvním řádem.

Téměř každá funkce tedy může být reprezentována jako polynom s danou přesností.

Příklady některých běžných rozšíření mocninných funkcí v Maclaurinových řadách (=McLaren, Taylor v okolí bodu 0) a Taylor v okolí bodu 1. První členy rozvoje hlavních funkcí v Taylorových a McLarenových řadách.

Příklady některých běžných rozšíření mocninných funkcí v Maclaurinových řadách (=McLaren, Taylor v blízkosti bodu 0)

Příklady některých běžných rozšíření Taylorovy řady v blízkosti bodu 1