5.3. zlatý pětiúhelník; stavba Euklida.

Nádherným příkladem „zlatého řezu“ je pravidelný pětiúhelník – konvexní a hvězdicovitý (obr. 5).

Chcete-li sestavit pentagram, musíte sestavit pravidelný pětiúhelník.

Nechť O je střed kružnice, A bod na kružnici a E střed úsečky OA. Kolmice k poloměru OA, obnovená v bodě O, se protíná s kružnicí v bodě D. Pomocí kružítka označte na průměru úsečku CE = ED. Délka strany vepsané do kruhu pravidelný pětiúhelník rovna DC. Na kružnici odložíme úsečky DC a získáme pět bodů za nakreslení pravidelného pětiúhelníku. Spojíme rohy pětiúhelníku přes jednu úhlopříčku a získáme pentagram. Všechny úhlopříčky pětiúhelníku se navzájem dělí na segmenty spojené zlatým řezem.

Každý konec pětiúhelníkové hvězdy je zlatý trojúhelník. Jeho strany svírají nahoře úhel 36° a základna položená na boku jej rozděluje v poměru ke zlatému řezu.

Nechybí ani zlatý kvádr kvádr s hranami o délkách 1,618, 1 a 0,618.

Nyní zvažte důkaz nabízený Euklidem v Elementech.

Podívejme se nyní, jak Euclid používá Zlatý řez za účelem vytvoření úhlu 72 stupňů - v tomto úhlu je vidět strana pravidelného pětiúhelníku

od středu opsané kružnice. Začněme s

segment ABE, rozdělený uprostřed a

Nechť tedy AC = AE. Označme a shodné úhly EBC a CEB. Protože AC=AE, úhel ACE je také roven a. Věta, že součet úhlů trojúhelníku je 180 stupňů, vám umožňuje najít úhel ALL: je 180-2a a úhel EAC je 3a - 180. Ale pak je úhel ABC 180-a. Sečteme-li úhly trojúhelníku ABC, dostaneme

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

Odkud 5a=360, tak a=72.

Každý z úhlů na základně trojúhelníku BEC je tedy dvojnásobkem horního úhlu, tedy 36 stupňů. Proto, aby bylo možné sestrojit pravidelný pětiúhelník, stačí nakreslit jakoukoli kružnici se středem v bodě E, protínající EC v bodě X a stranu EB v bodě Y: segment XY je jednou ze stran pravidelného pětiúhelníku vepsané do kruh; Když obejdete celý kruh, můžete najít všechny ostatní strany.

Nyní dokážeme, že AC=AE. Předpokládejme, že vrchol C je spojen úsečkou se středem N úseku BE. Všimněte si, že protože CB = CE, pak úhel CNE je pravý úhel. Podle Pythagorovy věty:

CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 \u003d a 2 (1-4j 2)

Máme tedy (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Takže AC = ja = jAB = AE, což bylo třeba dokázat

5.4 Archimedova spirála.

Postupným odřezáváním čtverců od zlatých obdélníků do nekonečna, pokaždé, když protější body spojíme čtvrtinou kruhu, dostaneme poměrně elegantní křivku. První pozornost na ni upoutal starověký řecký vědec Archimedes, jehož jméno nese. Studoval ji a odvodil rovnici této spirály.

V současné době je Archimédova spirála široce používána v technologii.

6. Fibonacciho čísla.

Se zlatým řezem je nepřímo spojeno jméno italského matematika Leonarda z Pisy, který je známější pod přezdívkou Fibonacci (Fibonacci je zkratka filius Bonacci, tedy syn Bonacciho).

V roce 1202 napsal knihu „Liber abacci“, tedy „Knihu počítadla“. "Liber abacci" je objemné dílo obsahující téměř všechny aritmetické a algebraické informace té doby a hrálo významnou roli ve vývoji matematiky v západní Evropa během několika příštích století. Zejména z této knihy se Evropané seznámili s hinduistickými („arabskými“) číslicemi.

Materiál uvedený v knize je vysvětlen v vysoká čísla problémy, které tvoří významnou část tohoto pojednání.

Zvažte jeden takový problém:

Kolik párů králíků se narodí z jednoho páru za rok?

Někdo umístil pár králíků na určité místo, obehnané ze všech stran zdí, aby zjistil, kolik párů králíků se během tohoto roku narodí, pokud je povaha králíků taková, že za měsíc pár králíci se budou rozmnožovat další a králíci rodí od druhého měsíce po narození."

měsíce	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Páry králíků	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

Nyní přejděme od králíků k číslům a zvažte následující číselnou sekvenci:

u 1, u 2 … u n

ve kterém je každý člen roven součtu dvou předchozích, tzn. pro libovolné n>2

u n \u003d u n -1 + u n -2.

Tato posloupnost asymptoticky (přibližuje se stále pomaleji) směřuje k nějakému konstantnímu vztahu. Tento poměr je však iracionální, to znamená, že jde o číslo s nekonečnou, nepředvídatelnou sekvencí desetinných číslic ve zlomkové části. Nedá se to přesně vyjádřit.

Pokud je některý člen Fibonacciho posloupnosti vydělen tím, který mu předchází (například 13:8), výsledkem bude hodnota, která kolísá kolem iracionální hodnoty 1,61803398875... a někdy ji překročí, někdy ji nedosáhne.

Asymptotické chování posloupnosti, tlumené kolísání jejího poměru kolem iracionálního čísla Φ může být srozumitelnější, když ukážeme poměry několika prvních členů posloupnosti. Tento příklad ukazuje vztah druhého termínu k prvnímu, třetího ke druhému, čtvrtého ke třetímu atd.:

1:1 = 1,0000, což je méně než phi o 0,6180

2:1 = 2,0000, což je o 0,3820 více phi

3:2 = 1,5000, což je méně než phi o 0,1180

5:3 = 1,6667, což je o 0,0486 více phi

8:5 = 1,6000, což je méně než phi o 0,0180

Jak se pohybujete po Fibonacciho součtové posloupnosti, každý nový člen rozděluje další s více a více aproximací k nedosažitelnému F.

Člověk podvědomě hledá božskou proporci: je potřebná k uspokojení své potřeby pohodlí.

Když vydělíme libovolný člen Fibonacciho posloupnosti dalším, dostaneme právě převrácenou hodnotu 1,618 (1: 1,618=0,618). To je ale také velmi neobvyklý, až pozoruhodný jev. Protože původní poměr je nekonečný zlomek, tento poměr by také neměl mít konec.

Když každé číslo vydělíme dalším po něm, dostaneme číslo 0,382

Výběrem těchto poměrů získáme hlavní množinu Fibonacciho koeficientů: 4,235,2,618,1,618,0,618,0,382,0,236, zmiňme ještě 0,5 Všechny hrají v přírodě a zejména v přírodě zvláštní roli. technická analýza.

Zde je třeba poznamenat, že Fibonacci lidstvu pouze připomínal jeho sekvenci, protože byla ve starověku známá pod názvem Zlatý řez.

Zlatý řez, jak jsme viděli, vzniká v souvislosti s pravidelným pětiúhelníkem, takže Fibonacciho čísla hrají roli ve všem, co souvisí s pravidelnými pětiúhelníky – konvexní i hvězdicovité.

Fibonacciho řada by mohla zůstat pouze matematickým incidentem, kdyby nebylo skutečnosti, že všichni badatelé zlatého dělení v rostlinném a živočišném světě, nemluvě o umění, vždy dospěli k této řadě jako k aritmetickému vyjádření zákona o zlatém dělení. . Vědci nadále aktivně rozvíjeli teorii Fibonacciho čísel a zlatého řezu. Yu Matiyasevich pomocí Fibonacciho čísel řeší Hilbertův 10. problém (o řešení diofantických rovnic). Existují elegantní metody řešení řady kybernetických problémů (teorie vyhledávání, hry, programování) pomocí Fibonacciho čísel a zlatého řezu. V USA dokonce vzniká Mathematical Fibonacci Association, která od roku 1963 vydává speciální časopis.

Jedním z úspěchů v této oblasti je objev zobecněných Fibonacciho čísel a zobecněných zlatých řezů. Fibonacciho řada (1, 1, 2, 3, 5, 8) a jím objevená „binární“ řada čísel 1, 2, 4, 8, 16 ... (tedy řada čísel do n , kdekoli přirozené číslo, méně než n lze znázornit součtem některých čísel této řady) na první pohled jsou zcela odlišné. Ale algoritmy pro jejich konstrukci jsou si navzájem velmi podobné: v prvním případě je každé číslo součtem předchozího čísla se sebou samým 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., ve druhém - to je součet dvou předchozích čísel 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Je to možné najít obecný matematický vzorec, ze kterého a " binární řada a Fibonacciho řada?

Skutečně, nastavme číselný parametr S, který může nabývat libovolných hodnot: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Zvažte číselná řada, S + 1, z nichž první členy jsou jednotky a každý z následujících je roven součtu dvou členů předchozího a toho, který je od předchozího oddělen S kroky. Li n-tý člen tuto řadu označíme S (n), pak získáme obecný vzorec S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1).

Je zřejmé, že s S = 0 z tohoto vzorce dostaneme „binární“ řadu, s S = 1 - Fibonacciho řadu, s S = 2, 3, 4. novou řadu čísel, která se nazývají S-Fibonacciho čísla.

V obecný pohled zlatý S-proporce je kladná odmocnina zlatého S-řezu x S+1 – x S – 1 = 0.

Je snadné ukázat, že při S = 0 se získá rozdělení segmentu na polovinu a při S = 1 se získá známý klasický zlatý řez.

Poměry sousedních Fibonacciho S-čísel s absolutní matematickou přesností se shodují v limitu se zlatými S-proporcemi! To znamená, že zlaté S-řezy jsou numerickými invarianty Fibonacciho S-čísel.

7. Zlatý řez v umění.

7.1. Zlatý řez v malbě.

Když se podíváme na příklady „zlatého řezu“ v malbě, nelze nezapomenout na dílo Leonarda da Vinciho. Jeho identita je jednou ze záhad historie. Sám Leonardo da Vinci řekl: "Ať se nikdo, kdo není matematik, neodváží číst moje díla."

Není pochyb o tom, že Leonardo da Vinci byl velkým umělcem, to poznali už jeho současníci, ale jeho osobnost a aktivity zůstanou zahaleny tajemstvím, protože potomkům nezanechal souvislou prezentaci svých myšlenek, ale pouze četné ručně psané náčrty, poznámky. které říkají „oba všichni na světě“.

Portrét Monny Lisy (Gioconda) přitahuje pozornost badatelů již mnoho let, kteří zjistili, že kompozice kresby je založena na zlatých trojúhelníkech, které jsou součástí pravidelného hvězdného pětiúhelníku.

Také podíl zlatého řezu se objevuje v Shishkinově obrazu. Na tomto slavném obraze I. I. Šiškina jsou dobře patrné motivy zlatého řezu. Jasně osvětlená borovice (stojící v popředí) rozděluje délku obrazu podle zlatého řezu. Napravo od borovice je kopec osvětlený sluncem. Rozděluje pravou stranu obrazu vodorovně podle zlatého řezu.

Rafaelův obraz „Masakr neviňátek“ ukazuje další prvek zlatého řezu – zlatou spirálu. Na přípravném náčrtu Raphaela jsou nakresleny červené čáry probíhající od sémantického středu kompozice - bodu, kde se prsty válečníka sevřely kolem kotníku dítěte - podél postav dítěte, ženy, která ho k sobě tiskne, válečníka s zdvižený meč a pak podél postav stejné skupiny na pravé straně náčrtu. Není známo, zda Raphael postavil zlatou spirálu nebo ji cítil.

T. Cook použil zlatý řez při analýze obrazu Sandro Botticelliho „Zrození Venuše“.

7.2. Pyramidy zlatého řezu.

Léčivé vlastnosti pyramid, zejména zlatého řezu, jsou široce známé. Podle některých nejčastějších názorů se zdá, že místnost, ve které se taková pyramida nachází, je větší a vzduch je průhlednější. Sny se začínají lépe pamatovat. Je také známo, že zlatý řez byl široce používán v architektuře a sochařství. Příkladem toho byly: Pantheon a Parthenon v Řecku, stavby architektů Baženova a Maleviče

8. Závěr.

Nutno říci, že zlatý řez má v našem životě velké uplatnění.

Bylo prokázáno, že Lidské tělo děleno v poměru ke zlatému řezu pásovou linií.

Skořápka nautila je stočená jako zlatá spirála.

Díky zlatému řezu byl objeven pás asteroidů mezi Marsem a Jupiterem - proporčně by tam měla být další planeta.

Vybuzení struny v bodě, který ji rozděluje ve vztahu ke zlatému dělení, nezpůsobí kmitání struny, to znamená, že toto je bod kompenzace.

U letadel se zdroji elektromagnetické energie vznikají obdélníkové články s podílem zlatého řezu.

Gioconda je postavena na zlatých trojúhelnících, zlatá spirála je přítomna na Raphaelově obrazu "Masakr neviňátek".

Podíl nalezený na obraze Sandro Botticelliho „Zrození Venuše“

Existuje mnoho architektonických památek postavených pomocí zlatého řezu, včetně Pantheonu a Parthenonu v Aténách, budov architektů Bazhenova a Maleviče.

John Kepler, který žil před pěti stoletími, vlastní výrok: "Geometrie má dva velké poklady. Prvním je Pythagorova věta, druhým je rozdělení segmentu v extrémním a průměrném poměru."

Bibliografie

1. D. Pidow. Geometrie a umění. – M.: Mir, 1979.

2. Časopis "Science and technology"

3. Časopis "Quantum", 1973, č. 8.

4. Časopis "Matematika ve škole", 1994, č. 2; č. 3.

5. Kovalev F.V. Zlatý řez v malbě. K .: Škola Vyscha, 1989.

6. Stakhov A. Kódy zlatého řezu.

7. Vorobjov N.N. "Fibonacciho čísla" - M.: Nauka 1964

8. "Matematika - encyklopedie pro děti" M .: Avanta +, 1998

9. Informace z internetu.

Fibonacciho matice a tzv. „zlaté“ matice, nová počítačová aritmetika, nová teorie kódování a nová teorie kryptografie. Podstatou nové vědy je revize veškeré matematiky z pohledu zlatého řezu, počínaje Pythagorem, což samozřejmě přinese nové a jistě velmi zajímavé matematické výsledky v teorii. Prakticky řečeno – „zlatá“ komputerizace. A protože...

Tento výsledek nebude ovlivněn. Základem zlatého řezu je invariant rekurzivních poměrů 4 a 6. To ukazuje „stabilitu“ zlatého řezu, jednoho z principů organizace živé hmoty. Rovněž základem zlatého řezu je řešení dvou exotických rekurzivních sekvencí (obr. 4.) Obr. 4 rekurzivní Fibonacciho sekvence, takže...

Ucho je j5 a vzdálenost od ucha k temeni je j6. V této soše tedy vidíme geometrická progrese se jmenovatelem j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (obr. 9). Zlatý řez je tedy jedním ze základních principů umění starověkého Řecka. Rytmy srdce a mozku. Lidské srdce bije rovnoměrně – v klidu asi 60 tepů za minutu. Srdce se stlačuje jako píst...

Bez studia technologie tohoto procesu se to neobejde. Existuje několik způsobů, jak dokončit práci. Jak nakreslit hvězdu pomocí pravítka vám pomůže pochopit nejznámější metody tohoto procesu.

Odrůdy hvězd

Možností je mnoho vzhled taková postava jako hvězda.

Od starověku se jeho pěticípá varieta používala ke kreslení pentagramů. Je to dáno jeho vlastností, která umožňuje kreslit bez zvednutí pera z papíru.

Existují také šesticípé komety s ocasem.

Hvězdice má tradičně pět vrcholů. Obrázky vánoční verze se často nacházejí ve stejné podobě.

V každém případě, abyste nakreslili pěticípou hvězdu po etapách, musíte se uchýlit k pomoci speciálních nástrojů, protože obrázek od ruky pravděpodobně nebude vypadat symetricky a krásně.

Provedení výkresu

Abyste pochopili, jak nakreslit sudou hvězdu, měli byste pochopit podstatu tohoto obrázku.

Základem pro jeho obrys je přerušovaná čára, jejíž konce se sbíhají v počátečním bodě. Tvoří pravidelný pětiúhelník – pětiúhelník.

Charakteristickými vlastnostmi takového obrazce je možnost jeho vepsání do kruhu, stejně jako kružnice v tomto mnohoúhelníku.

Všechny strany pětiúhelníku jsou stejné. Pochopení toho, jak správně nakreslit výkres, můžete pochopit podstatu procesu vytváření všech postav a také různá schémata dílů a sestav.

Chcete-li dosáhnout takového cíle, jak nakreslit hvězdu pomocí pravítka, musíte mít znalosti o nejjednodušších matematických vzorcích, které jsou základní v geometrii. Budete také muset umět počítat s kalkulačkou. Nejdůležitější je ale logické myšlení.

Práce není náročná, ale bude vyžadovat přesnost a pečlivost. Vynaložené úsilí bude odměněno dobrým symetrickým, a tedy krásným obrazem pěticípé hvězdy.

klasickou technikou

Nejznámější způsob, jak nakreslit hvězdu pomocí kružítka, pravítka a úhloměru, je poměrně jednoduchý.

Pro tuto techniku ​​budete potřebovat několik nástrojů: kompas nebo úhloměr, pravítko, jednoduchou tužku, gumu a list bílého papíru.

Abyste pochopili, jak krásně nakreslit hvězdu, měli byste jednat postupně, krok za krokem.

Ve své práci můžete použít speciální výpočty.

Výpočet obrázku

V této fázi kreslení správné hvězdy se objevují obrysy hotové postavy.

Pokud je vše provedeno správně, výsledný obrázek bude hladký. To lze zkontrolovat vizuálně otočením listu papíru a vyhodnocením tvaru. Při každém otočení to zůstane stejné.

Hlavní obrysy jsou nakresleny pravítkem a jednoduchou tužkou jasněji. Všechny pomocné čáry jsou odstraněny.

Abyste pochopili, jak nakreslit hvězdu po etapách, měli byste všechny akce provádět promyšleně. V případě chyby můžete výkres opravit gumou nebo provést všechny manipulace znovu.

Registrace práce

Hotovou formu lze ozdobit různými způsoby. Hlavní je nebát se experimentovat. Fantazie vyvolá originální a krásný obraz.

Nakreslenou sudou hvězdu můžete ozdobit jednoduchou tužkou nebo použít širokou škálu barev a odstínů.

Chcete-li zjistit, jak nakreslit správnou hvězdu, musíte se ve všem držet dokonalých čar. Nejoblíbenější možností designu je proto rozdělení každého paprsku postavy na dvě stejné části s čárou táhnoucí se shora do středu.

Strany hvězdy nemůžete oddělit čarami. Je povoleno jednoduše přetřít každý paprsek postavy tmavším odstínem z jedné strany.

Tato možnost bude také odpovědí na otázku, jak nakreslit správnou hvězdu, protože všechny její čáry budou symetrické.

Pokud je to žádoucí, s estetickým designem postavy, můžete přidat ornament nebo jiné různé prvky. Přidáním kruhů k vrcholům můžete získat šerifovu hvězdu. Aplikací hladkého stínování stran stínu můžete získat hvězdici.

Tato technika je nejběžnější, protože vám bez námahy umožňuje pochopit, jak nakreslit pěticípou hvězdu ve fázích. Bez použití složitých matematických výpočtů je možné získat správný, krásný obraz.

Po zvážení všech způsobů, jak nakreslit hvězdu pomocí pravítka, si můžete vybrat ten nejvhodnější pro sebe. Nejoblíbenější je geometrická fázová metoda. Je to docela jednoduché a účinné. S použitím fantazie a představivosti je možné ze získané správné, krásný tvar vytvořit originální kompozici. Existuje mnoho možností designu pro kreslení. Vždy si ale můžete vymyslet svůj vlastní, nejneobvyklejší a nezapomenutelný příběh. Hlavně se nebojte experimentovat!

Pravidelný pětiúhelník může být sestrojen pomocí kružítka a pravítka, nebo jeho vepsáním do daného kruhu nebo jeho sestavením z dané strany. Tento proces popisuje Euclid ve svých Elementech kolem roku 300 př.n.l. E.

Zde je jedna metoda pro konstrukci pravidelného pětiúhelníku v daném kruhu:

1. Sestrojte kružnici, do které bude vepsán pětiúhelník, a označte jeho střed jako Ó. (Toto je zelený kruh na obrázku vpravo).

1. Vyberte bod na kruhu A, který bude jedním z vrcholů pětiúhelníku. Protáhněte čáru Ó A A.
2. Sestrojte přímku kolmou k přímce OA procházející bodem Ó. Určete jeden z jeho průsečíků s kružnicí jako bod B.
3. Vytvořte bod C uprostřed mezi Ó A B.
4. C přes bod A. Označte její průsečík s čárou OB(uvnitř původního kruhu) jako bod D.
5. Nakreslete kruh se středem A přes bod D. Označte jeho průsečíky s originálem (zelený kruh) jako body E A F.
6. Nakreslete kruh se středem E přes bod A G.
7. Nakreslete kruh se středem F přes bod A. Určete jeho další průsečík s původní kružnicí jako bod H.
8. Postavte pravidelný pětiúhelník AEGHF.

dvacetistěn

dvacetistěn- jedno z pěti platónských těles, v jednoduchosti následuje čtyřstěn a osmistěn. Spojuje je skutečnost, že strany každého z nich jsou rovnostranné trojúhelníky. Při výrobě modelu dvacetistěnu si můžete vybrat kteroukoli ze dvou velkolepých možností rozložení pěti barev.

Nejprve lze dvacetistěn vybarvit tak, aby každý vrchol měl všech pět barev (v tomto případě však protilehlé plochy nebudou obarveny stejně).

Jiná metoda poskytuje protilehlým plochám stejné barvy, ale každý vrchol, s výjimkou dvou polárních, bude mít jednu barvu opakující se kolem kruhu. Obě zbarvení jsou velmi zajímavá a užitečná pro naše účely, protože mnoho z jednotných mnohostěnů popsaných níže má dvacetistěnnou symetrii.

	|	další ==>

Konstrukce pravidelného šestiúhelníku vepsaného do kruhu.

Konstrukce šestiúhelníku je založena na tom, že jeho strana je rovna poloměru kružnice opsané. Ke konstrukci tedy stačí rozdělit kruh na šest stejnými díly a spojte nalezené body k sobě.

Pravidelný šestiúhelník lze sestavit pomocí T-čtverce a čtverce 30X60°. K provedení této konstrukce vezmeme vodorovný průměr kruhu jako osičku úhlů 1 a 4, postavíme strany 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 a 7 - 2, poté nakreslíme strany 5 - 6 a 3 - 2.

Vrcholy takového trojúhelníku lze sestrojit pomocí kružítka a čtverce s úhly 30 a 60°, nebo pouze jednoho kružítka. Zvažte dva způsoby, jak sestrojit rovnostranný trojúhelník vepsaný do kruhu.

První způsob(Obr. 61, a) je založeno na skutečnosti, že všechny tři úhly trojúhelníku 7, 2, 3 obsahují každý 60° a svislá čára vedená bodem 7 je jak výška, tak sečna úhlu 1. Protože úhel 0 - 1 - 2 je roven 30°, pak k nalezení strany 1 - 2 stačí sestrojit z bodu 1 a strany 0 - 1 úhel 30°. Chcete-li to provést, nastavte T-čtverec a čtverec, jak je znázorněno na obrázku, nakreslete čáru 1 - 2, která bude jednou ze stran požadovaného trojúhelníku. Chcete-li postavit stranu 2 - 3, nastavte T-čtverec do polohy znázorněné přerušovanými čarami a nakreslete rovnou čáru přes bod 2, která bude definovat třetí vrchol trojúhelníku.

Druhý způsob je založen na skutečnosti, že pokud postavíte pravidelný šestiúhelník vepsaný do kruhu a pak jeho vrcholy jedním propojíte, dostanete rovnostranný trojúhelník.

Pro sestavení trojúhelníku označíme vrcholový bod 1 na průměru a nakreslíme diametrální čáru 1 - 4. Dále z bodu 4 s poloměrem rovným D / 2 opíšeme oblouk, dokud se neprotne s kružnicí v bodech 3 a 2. Výsledné body budou dva další vrcholy požadovaného trojúhelníku.

Tuto konstrukci lze provést pomocí čtverce a kompasu.

První způsob vychází ze skutečnosti, že úhlopříčky čtverce se protínají ve středu kružnice opsané a jsou skloněny k jejím osám pod úhlem 45°. Na základě toho nainstalujeme T-čtverec a čtverec s úhly 45 °, jak je znázorněno na obr. 62, a a označte body 1 a 3. Dále těmito body nakreslíme pomocí T-čtverce vodorovné strany čtverce 4 - 1 a 3 -2. Poté pomocí T-čtverce podél nohy čtverce nakreslíme svislé strany čtverce 1 - 2 a 4 - 3.

Druhý způsob je založen na skutečnosti, že vrcholy čtverce půlí oblouky kružnice uzavřené mezi konci průměru. Na koncích dvou navzájem kolmých průměrů označíme body A, B a C a z nich o poloměru y opíšeme oblouky, dokud se neprotnou.

Dále přes průsečíky oblouků nakreslíme pomocné čáry, označené na obrázku plnými čarami. Jejich průsečíky s kružnicí budou definovat vrcholy 1 a 3; 4 a 2. Takto získané vrcholy požadovaného čtverce se zapojí do série.

Konstrukce pravidelného pětiúhelníku vepsaného do kruhu.

Pro vepsání pravidelného pětiúhelníku do kruhu uděláme následující konstrukce. Na kružnici označíme bod 1 a vezmeme jej jako jeden z vrcholů pětiúhelníku. Rozdělte segment AO na polovinu. Za tímto účelem s poloměrem AO z bodu A opíšeme oblouk k průsečíku s kružnicí v bodech M a B. Spojením těchto bodů přímkou ​​získáme bod K, který pak spojíme s bodem 1. S poloměrem rovným segmentu A7 popíšeme oblouk z bodu K k průsečíku s diametrální přímkou ​​AO ​​v bodě H. Spojením bodu 1 s bodem H získáme stranu pětiúhelníku. Potom s otvorem kružidla rovným segmentu 1H, popisujícím oblouk od vrcholu 1 k průsečíku s kružnicí, najdeme vrcholy 2 a 5. Po vytvoření zářezů z vrcholů 2 a 5 se stejným otvorem kružidla získáme zbývající vrcholy 3 a 4. Nalezené body spojujeme postupně mezi sebou.

Konstrukce pravidelného pětiúhelníku daná jeho stranou.

Abychom sestrojili pravidelný pětiúhelník podél jeho dané strany (obr. 64), rozdělíme úsečku AB na šest stejných částí. Z bodů A a B o poloměru AB opíšeme oblouky, jejichž průsečík dá bod K. Tímto bodem a dělením 3 na přímce AB vedeme svislou čáru. Dále od bodu K na této přímce vyčleníme úsečku rovnající se 4/6 AB. Dostaneme bod 1 - vrchol pětiúhelníku. Poté o poloměru rovném AB opíšeme od bodu 1 oblouk do průsečíku s oblouky dříve nakreslenými z bodů A a B. Průsečíkové body oblouků určují vrcholy pětiúhelníku 2 a 5. Nalezené spojíme vrcholy v sérii mezi sebou.

Konstrukce pravidelného sedmiúhelníku vepsaného do kruhu.

Nechť je dána kružnice o průměru D; je třeba do něj vepsat pravidelný sedmiúhelník (obr. 65). Rozdělte svislý průměr kruhu na sedm stejných částí. Od bodu 7 o poloměru rovném průměru kružnice D opíšeme oblouk, dokud se neprotne s pokračováním vodorovného průměru v bodě F. Bod F se nazývá pól mnohoúhelníku. Vezmeme-li bod VII jako jeden z vrcholů sedmiúhelníku, nakreslíme paprsky z pólu F přes sudé dílky svislého průměru, jejichž průsečík s kružnicí určí vrcholy VI, V a IV sedmiúhelníku. Abychom získali vrcholy / - // - /// z bodů IV, V a VI, kreslíme vodorovné čáry, dokud se neprotnou s kružnicí. Nalezené vrcholy spojíme do série mezi sebou. Sedmiúhelník může být sestrojen kreslením paprsků z pólu F a prostřednictvím lichých dělení vertikálního průměru.

Výše uvedená metoda je vhodná pro konstrukci pravidelných mnohoúhelníků s libovolným počtem stran.

Rozdělení kruhu na libovolný počet stejných částí lze také provést pomocí údajů v tabulce. 2, který ukazuje koeficienty, které umožňují určit rozměry stran pravidelných vepsaných mnohoúhelníků.

Délky stran pravidelných vepsaných mnohoúhelníků.

První sloupec této tabulky ukazuje počet stran pravidelného vepsaného mnohoúhelníku a druhý sloupec ukazuje koeficienty. Délku strany daného mnohoúhelníku získáme vynásobením poloměru daného kruhu koeficientem odpovídajícím počtu stran tohoto mnohoúhelníku.

Návod

Sestrojte další průměr kolmý na průměr MH. Chcete-li to provést, použijte kružítko k nakreslení oblouků z bodů M a H se stejným poloměrem. Poloměr zvolte takový, aby se oba oblouky protínaly navzájem a s danou kružnicí v jednom bodě. Toto bude první bod A druhého dimetru. Nakreslete přes něj přímku a bod O. Získáte průměr AB, kolmý na přímku MH.

Najděte střed poloměru BO. Chcete-li to provést, použijte kružítko s poloměrem kružnice a nakreslete oblouk z bodu B tak, aby protínal kružnici ve dvou bodech C a P. Těmito body nakreslete přímku. Tato přímka rozdělí poloměr VO přesně na polovinu. Umístěte bod K na průsečík SR a BO.

Spojte body M a K úsečkou. Nastavte vzdálenost na kompasu rovnu segmentu MK. Z bodu M nakreslete oblouk tak, aby protínal poloměr AO. Na tento průsečík umístěte bod E. Výsledná vzdálenost ME odpovídá délce jedné strany vepsaného pětiúhelníku.

Sestrojte zbývající vrcholy pětiúhelníku. Chcete-li to provést, nastavte vzdálenost noh kompasu rovnou segmentu ME. Z prvního vrcholu pětiúhelníku M nakreslete oblouk k průsečíku s kružnicí. Průsečíkem bude druhý vrchol F. Z výsledného bodu zase nakreslete také oblouk o stejném poloměru s průsečíkem kružnice. Získejte třetí vrchol pětiúhelníku G. Ostatní body S a L sestrojte stejným způsobem.

Výsledné vrcholy spojte přímkami. Vepsaný do kruhu je sestrojen pravidelný pětiúhelník MFGSL.

Prameny:

• Pravidelné mnohoúhelníky

Šestiúhelník je mnohoúhelník, který má šest rohů. Chcete-li nakreslit libovolný šestiúhelník, musíte udělat pouze 2 kroky.

Budete potřebovat

• Tužka, pravítko, list papíru.

Návod

Vezměte pravítko a nakreslete v těchto bodech 6 segmentů, které by byly navzájem spojeny v dříve nakreslených bodech (obr. 2)

Související videa

Poznámka

Zvláštním typem šestiúhelníku je pravidelný šestiúhelník. Říká se tomu tak, protože všechny jeho strany a úhly jsou si navzájem rovné. Kolem takového šestiúhelníku lze popsat nebo vepsat kruh. Stojí za zmínku, že v bodech, které se získají dotykem vepsané kružnice a stran šestiúhelníku, jsou strany pravidelného šestiúhelníku rozděleny na polovinu.

Užitečná rada

V přírodě jsou velmi oblíbené pravidelné šestiúhelníky. Každý plást má například pravidelný šestiúhelníkový tvar.
Nebo krystalová mřížka grafenu (uhlíková modifikace) má také tvar pravidelného šestiúhelníku.

Obrázky geometrických tvarů se používají k vytváření mnoha a mnoha her, koláží a ilustrací. Pomocí nástrojů Photoshopu můžete nakreslit jakoukoli trojrozměrnou postavu, včetně šestiúhelníku.

Budete potřebovat

• Adobe Photoshop

Návod

Otevřete nový dokument. Vyberte nástroj Mnohoúhelník na panelu nástrojů Nástroje. Na panelu vlastností nastavte strany=6 a vybarvěte, co chcete. Podržte klávesu Shift a kreslete. Najeďte myší na tvar, klikněte pravým tlačítkem a vyberte Rastrovat vrstvu.

Duplikujte tuto vrstvu dvakrát (Ctrl + J), abyste získali tři šestiúhelníky. Nasaďte si novou vrstvu. Podržte Ctrl a klikněte na novou ikonu, abyste získali výběr. Na panelu nástrojů nastavte barvu popředí na tmavší odstín. Pomocí nástroje Paint Bucket Tool vyplňte šestiúhelník. Opět přejděte do nové vrstvy a vyplňte tvar vhodnou. Tímto způsobem budou vaše šestiúhelníky zbarveny v různých odstínech stejné barvy.

Pomocí nástroje Přesun umístěte šestiúhelníky podle obrázku. Při tom zvažte, kde bude na obrázku umístěn zdroj světla. Tam, kde světlo dopadá, by měl být světlejší okraj. Nejtmavší okraj bude ve stínu.

Pro vrstvy s šestiúhelníky, které představují boční plochy, nastavte neprůhlednost=50%. Na panelu nástrojů vyberte nástroj Eraser. Nastavte tvrdost=100% a začněte opatrně a jemně mazat přebytečný obrázek. Chcete-li odstranit nežádoucí barvu v blízkosti okraje, postupujte následovně: zmenšete průměr gumičky tak, aby nezachytil přebytek. Umístěte kurzor na jeden konec okraje šestiúhelník a klikněte levým tlačítkem myši. Poté přesuňte kurzor na druhý konec, stiskněte klávesu Shift a znovu klikněte levým tlačítkem. Získáte plochý prázdný proužek. Tento postup opakujte tolikrát, kolikrát je potřeba, abyste odstranili nežádoucí pozadí kolem tvaru.

Pro vrstvy s bočními plochami vraťte neprůhlednost=100 %.

Související videa

Užitečná rada

Při výběru barevných odstínů okrajů zvažte umístění zdroje světla na obrázku.

Pravidelný mnohoúhelník je konvexní mnohoúhelník, ve kterém jsou všechny strany a všechny úhly stejné. Kruh lze opsat kolem pravidelného mnohoúhelníku. Právě tento kruh pomáhá při jeho stavbě. Jedním z pravidelných mnohoúhelníků, jehož konstrukci lze provést pomocí nejjednodušších nástrojů, je pravidelný pětiúhelník.

Budete potřebovat

• pravítko, kruh

Návod

Dále bodem O nakreslete čáru kolmou k přímce OA. Kolmou čáru můžete postavit pomocí čtverce nebo (metodou dvou kružnic o stejném poloměru). Jeho průsečík s kružnicí lze označit jako bod B.

Sestrojte bod C na segmentu OB, který bude jeho středem. Potom musíte nakreslit kružnici se středem v bodě C, procházející bodem A, tedy s poloměrem CA. Průsečík této kružnice s přímkou ​​OB uvnitř kružnice se středem O (nebo původní kružnice) je označen jako D.

Potom nakreslete kružnici se středem v A přes bod D. Označte její průsečík s původní kružnicí jako body E a F. To budou dva vrcholy rotujícího pětiúhelníku.

Nakreslete kružnici se středem v E přes bod A. Označte její průsečík s původní kružnicí jako bod G. Toto bude jeden z vrcholů pětiúhelníku.
Podobně nakreslete kružnici se středem v F přes bod A. Označte její další průsečík s původní kružnicí jako bod H. Tento bod bude také vrcholem obdélníku.

Poté spojte body A, E, G, H a F. Výsledkem je pravidelný pětiúhelník vepsaný do kruhu.

Související videa

Šestiúhelník je speciální případ mnohoúhelníku - obrazce tvořeného množinou bodů v rovině ohraničené uzavřenou křivkou. Pravidelný šestiúhelník (šestiúhelník) je zase speciální případ - je to mnohoúhelník se šesti rovné strany a stejné úhly. Tento obrazec je pozoruhodný tím, že délka každé z jeho stran se rovná poloměru kružnice popsané kolem obrazce.

Budete potřebovat

• - kompas;
• - pravítko;
• - tužka;
• - papír.

Návod

Zvolte délku strany. Vezměte kompas a nastavte vzdálenost koncem jehly na jedné z jeho nohou a koncem jehly na druhé noze, rovná délce strany kresleného obrázku. K tomu můžete použít pravítko nebo zvolit náhodnou vzdálenost, pokud moment není významný. Pokud je to možné, upevněte nohy kompasu šroubem.

Nakreslete kružnici pomocí kružítka. Zvolená vzdálenost mezi nohami bude poloměrem kruhu.

Nastavte nohu kompasu pomocí jehly na libovolný bod umístěný na čáře vyznačeného kruhu. Jehla by měla přesně propíchnout vlasec. Přesnost konstrukcí přímo závisí na přesnosti instalace kompasu. Nakreslete oblouk pomocí kružítka tak, aby ve dvou bodech protínal kružnici nakreslenou jako první.

Přesuňte nohu kružítka pomocí jehly na jeden z průsečíků nakresleného oblouku s původní kružnicí. Nakreslete další oblouk, který také protíná kružnici ve dvou bodech (jeden z nich se bude shodovat s bodem předchozího umístění střelky kompasu).

Stejným způsobem přeuspořádejte střelku kompasu a nakreslete oblouky ještě čtyřikrát. Pohybujte nožkou kružítka s jehlou jedním směrem po obvodu (vždy ve směru nebo proti směru hodinových ručiček). V důsledku toho by mělo být identifikováno šest průsečíků oblouků s původně vytvořenou kružnicí.

Nakreslete pravidelný šestiúhelník. Postupně spojte ve dvojicích šest bodů získaných v předchozím kroku pomocí segmentů. Nakreslete segmenty čar tužkou a pravítkem. Výsledkem bude pravidelný šestiúhelník. Po dokončení stavby můžete pomocné prvky (oblouky a kružnice) vymazat.

Poznámka

Dává smysl zvolit takovou vzdálenost mezi nohami kompasu, aby úhel mezi nimi byl roven 15-30 stupňům, jinak se tato vzdálenost může snadno ztratit při vytváření konstrukcí.

Svého času proces kreslení pravidelného šestiúhelníku popsal starořecký Euklides. Dnes však existují i ​​jiné způsoby, jak to vybudovat geometrický obrazec. Hlavní zásadou je při kreslení postavy dodržovat určitá známá pravidla.