Fibonacciho čísla – číselná posloupnost, kde každý následující člen řady je roven součtu dvou předchozích, tedy: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368,.. 75025, .. 34787569200. 980000,.. 42229701564 9625,.. 19581068021641812000,.. řada profesionálních vědců a amatérů matematiky.

V roce 1997 popsal několik podivných rysů série výzkumník Vladimir Michajlov, který byl přesvědčen, že příroda (včetně člověka) se vyvíjí podle zákonů, které jsou stanoveny v této číselné sekvenci.

Pozoruhodnou vlastností Fibonacciho číselné řady je, že jak se čísla řady zvyšují, poměr dvou sousedních členů této řady se asymptoticky blíží přesnému poměru Zlatého řezu (1:1,618) - základu krásy a harmonie v přírodu kolem nás, včetně lidských vztahů.

Všimněte si, že sám Fibonacci objevil svou slavnou sérii, reflektující problém počtu králíků, kteří by se měli narodit z jednoho páru během jednoho roku. Ukázalo se, že v každém následujícím měsíci po druhém se počet párů králíků přesně řídí digitální řadou, která nyní nese jeho jméno. Není proto náhodou, že sám člověk je uspořádán podle Fibonacciho řady. Každý orgán je uspořádán podle vnitřní nebo vnější duality.

Fibonacciho čísla přitahovala matematiky kvůli jejich schopnosti objevit se na nejneočekávanějších místech. Bylo například zjištěno, že poměry Fibonacciho čísel, brané přes jednu, odpovídají úhlu mezi sousedními listy na stonku rostlin, přesněji říkají, jaký podíl otočení je tento úhel: 1/2 - pro jilm a lípu, 1/3 - pro buk, 2/5 - pro dub a jabloň, 3/8 - pro topol a růži, 5/13 - pro vrbu a mandle atd. Stejná čísla najdete i při počítání semen ve slunečnicových spirálách, v počtu paprsků odražených od dvou zrcadel, v množství možností prolézání včel z jedné buňky do druhé, v mnoha matematických hrách a tricích.

Jaký je rozdíl mezi spirálami zlatého poměru a Fibonacciho spirálou? Spirála zlatého řezu je dokonalá. Odpovídá Prvotnímu zdroji harmonie. Tato spirála nemá začátek ani konec. Je nekonečná. Fibonacciho spirála má začátek, od kterého se začíná „odvíjet“. To je velmi důležitá vlastnost. Umožňuje přírodě, aby po dalším uzavřeném cyklu provedla stavbu nové spirály od „nuly“.

Je třeba říci, že Fibonacciho spirála může být dvojitá. Všude je mnoho příkladů těchto dvojitých šroubovic. Slunečnicové spirálky tedy vždy korelují s řadou Fibonacci. I v obyčejné šišce můžete vidět tuto dvojitou Fibonacciho spirálu. První spirála jde jedním směrem, druhá - druhým. Spočítáme-li počet stupnic ve spirále rotující jedním směrem a počet stupnic ve spirále druhé, vidíme, že se vždy jedná o dvě po sobě jdoucí čísla Fibonacciho řady. Počet těchto spirál je 8 a 13. Ve slunečnicích jsou dvojice spirál: 13 a 21, 21 a 34, 34 a 55, 55 a 89. A od těchto dvojic nejsou žádné odchylky!..

U člověka v souboru chromozomů somatické buňky (je jich 23 párů) je zdrojem dědičných onemocnění 8, 13 a 21 párů chromozomů ...

Proč ale tato série hraje v Přírodě rozhodující roli? Na tuto otázku může dát vyčerpávající odpověď pojem triplicita, který určuje podmínky pro její sebezáchovu. Pokud „vyváženost zájmů“ triády naruší jeden z jejích „partnerů“, musí být opraveny „názory“ dalších dvou „partnerů“. Pojem triplicity se projevuje zvláště jasně ve fyzice, kde „téměř“ všechny elementární částice byly postaveny z kvarků. Pokud si připomeneme, že poměry zlomkových nábojů kvarkových částic tvoří řadu, a to jsou první členy Fibonacciho řady, které jsou nutné k vytvoření dalších elementární částice.

Je možné, že Fibonacciho spirála může hrát rozhodující roli i při utváření vzoru omezenosti a uzavřenosti hierarchických prostorů. Skutečně si představte, že v určité fázi evoluce dosáhla Fibonacciho spirála dokonalosti (stala se k nerozeznání od spirály zlatého řezu) a z tohoto důvodu musí být částice transformována do další „kategorie“.

Tyto skutečnosti opět potvrzují, že zákon duality dává nejen kvalitativní, ale i kvantitativní výsledky. Nutí nás myslet si, že Makrokosmos a Mikrokosmos kolem nás se vyvíjejí podle stejných zákonů – zákonů hierarchie, a že tyto zákony jsou stejné pro živou i neživou hmotu.

To vše naznačuje, že řada Fibonacciho čísel je jakýmsi zašifrovaným přírodním zákonem.

Digitální kód pro rozvoj civilizace lze určit pomocí různých metod v numerologii. Například převodem komplexních čísel na jednotlivá čísla (například 15 je 1+5=6 atd.). Provedením podobného postupu sčítání se všemi komplexními čísly Fibonacciho řady obdržel Michajlov následující řadu těchto čísel: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8 , 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, pak se vše opakuje 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8, .. a opakuje se znovu a znovu... Tato řada má také vlastnosti Fibonacciho řady, každý nekonečně následující člen je roven součtu předchozích. Například součet 13. a 14. termínu je 15, tzn. 8 a 8=16, 16=1+6=7. Ukazuje se, že tato řada je periodická, s periodou 24 členů, po kterých se celé pořadí čísel opakuje. Po obdržení tohoto období Michajlov předložil zajímavý předpoklad - není to soubor 24 číslic. digitální kód rozvoj civilizace?publikoval

P.S. A pamatujte, jen změnou vašeho vědomí – společně změníme svět! © econet

Před časem jsem slíbil, že se vyjádřím k Tolkačovově výroku, že Petrohrad byl postaven podle principu zlatého řezu a Moskva - podle principu symetrie, a že právě proto rozdíly ve vnímání těchto dvou měst jsou tak hmatatelné, a to je důvod, proč St. “, A Moskvič „onemocní hlavou“, když přijede do Petrohradu. Přizpůsobit se městu nějakou dobu trvá (jako při létání do států – je potřeba se časem přizpůsobit).

Faktem je, že naše oko se dívá - cítí prostor pomocí určitých pohybů očí - sakády (v překladu - plachta klapání). Oko udělá „puknutí“ a vyšle signál do mozku „došlo k adhezi k povrchu. Vše je v pořádku. Tohle jsou informace." A během života si oko zvykne na určitý rytmus těchto sakád. A když se tento rytmus drasticky změní (od městské krajiny k lesu, od Zlatého řezu k symetrii), pak je k přenastavení potřeba určitá mozková práce.

Nyní podrobnosti:
Definice ZS je rozdělení segmentu na dvě části v takovém poměru, že větší část se vztahuje k menší, stejně jako jejich součet (celý segment) k větší.

To znamená, že pokud vezmeme celý segment c jako 1, pak segment a bude roven 0,618, segment b - 0,382. Pokud tedy vezmeme budovu, například chrám postavený podle principu GS, pak s jeho výškou, řekněme 10 metrů, bude výška bubnu s kupolí 3,82 cm a výška základny budovy bude 6,18 cm. (Je jasné, že čísla, která jsem vzal, se pro názornost rovnají)

A jaký je vztah mezi GL a Fibonacciho čísly?

Fibonacciho sekvenční čísla jsou:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Vzorec čísel je takový, že každé následující číslo se rovná součtu dvou předchozích čísel.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 atd.

a poměr sousedních čísel se blíží poměru 3S.
Takže 21:34 = 0,617 a 34:55 = 0,618.

To znamená, že jádrem ZS jsou čísla Fibonacciho posloupnosti.
Toto video opět jasně ukazuje toto spojení mezi AP a Fibonacciho čísly

Kde jinde se setkává princip AP a Fibonacciho pořadová čísla?

Listy rostlin jsou popsány Fibonacciho sekvencí. Slunečnicová semínka, šišky, okvětní plátky, buňky ananasu jsou také uspořádány podle Fibonacciho sekvence.

ptačí vejce

Délky falangů lidských prstů jsou přibližně stejné jako Fibonacciho čísla. Zlatý řez je vidět na proporcích obličeje.

Emil Rozenov studoval ZS v hudbě období baroka a klasicismu na příkladu děl Bacha, Mozarta, Beethovena.

Je známo, že Sergej Ejzenštejn uměle postavil film "Battleship Potemkin" podle pravidel zákonodárného sboru. Pásku rozlomil na pět částí. V prvních třech se akce rozvíjí na lodi. V posledních dvou - v Oděse, kde se rozvíjí povstání. Tento přechod do města se odehrává přesně v bodě zlatého řezu. Ano a v každém díle je nějaký zlom, který nastává podle zákona zlatého řezu. V rámci, scéně, epizodě je určitý skok ve vývoji tématu: děj, nálada. Ejzenštejn věřil, že jelikož je takový přechod blízko bodu zlatého řezu, je vnímán jako nejpřirozenější a nejpřirozenější.

Mnoho dekorativních prvků, stejně jako fontů, je vytvořeno pomocí GS. Například písmo A. Dürera (písmeno „A“ na obrázku)

Předpokládá se, že termín „Zlatý poměr“ zavedl Leonardo Da Vinci, který řekl: „Ať se nikdo, nebýt matematika, neodváží číst moje díla“ a ukázal proporce Lidské tělo ve své slavné kresbě „Vitruvian Man“. „Pokud svážeme lidskou postavu – nejdokonalejší výtvor vesmíru – pásem a pak změříme vzdálenost od pásu k nohám, pak tato hodnota bude odkazovat na vzdálenost od stejného pásu k temeni hlavy, jako celá výška osoby na délku od opasku k chodidlům.“

Slavný portrét Mony Lisy či Giocondy (1503) vznikl na principu zlatých trojúhelníků.

Přísně vzato, samotná hvězda nebo pentakl je konstrukcí AP.

Série Fibonacciho čísel je vizuálně modelována (materializována) ve formě spirály

A v přírodě vypadá spirála 3S takto:

Spirála je přitom pozorována všude(nejen v přírodě):
- Semena ve většině rostlin jsou uspořádána do spirály
- Pavouk tká síť ve spirále
- Hurikán se roztáčí
- Vyděšené stádo sobů se rozprchne ve spirále.
- Molekula DNA je stočena do dvoušroubovice. Molekula DNA se skládá ze dvou vertikálně propletených šroubovic o délce 34 angstromů a šířce 21 angstromů. Čísla 21 a 34 jdou za sebou ve Fibonacciho posloupnosti.
- Embryo se vyvíjí ve formě spirály
- spirála "kochlea ve vnitřním uchu"
- Voda teče do odpadu ve spirále
- Spirálová dynamika ukazuje vývoj osobnosti člověka a jeho hodnot ve spirále.
- A samozřejmě, samotná Galaxie má tvar spirály

Lze tedy tvrdit, že samotná příroda je postavena na principu Zlatého řezu, proto je tento podíl lidským okem vnímán harmoničtěji. Nevyžaduje „opravování“ či doplňování výsledného obrazu světa.

Nyní o zlatém řezu v architektuře

Cheopsova pyramida představuje proporce GS. (Fotka se mi líbí - se Sfingou posetou pískem).

Podle Le Corbusiera na reliéfu z chrámu faraona Setiho I. v Abydu a na reliéfu zobrazujícím faraona Ramsese odpovídají proporce postav zlatému řezu. Zlaté proporce má i fasáda starověkého řeckého chrámu Parthenon.

Katedrála Notredam de Paris v Paříži, Francie.

Jednou z vynikajících staveb postavených podle principu AP je katedrála Smolnyj v Petrohradě. Ke katedrále vedou dvě cesty po okrajích, a pokud se po nich ke katedrále přiblížíte, pak jakoby stoupá do vzduchu.

V Moskvě jsou také budovy vyrobené pomocí ZS. Například katedrála Vasila Blaženého

Převažují však stavby využívající principů symetrie.
Například Kreml a Spasská věž.

Výška kremelských zdí také nikde neodráží princip AP týkající se například výšky věží. Nebo si vezměte hotel Rusko nebo hotel Cosmos.

Větší procento přitom v Petrohradu představují budovy postavené podle principu AP, přičemž se jedná o uliční budovy. Liteiny Avenue.

Zlatý poměr tedy používá poměr 1,68 a symetrie je 50/50.
To znamená, že symetrické budovy jsou stavěny na principu rovnosti stran.

Další důležitou vlastností GS je jeho dynamika a touha rozvinout se díky posloupnosti Fibonacciho čísel. Kdežto symetrie naopak představuje stabilitu, stabilitu a nehybnost.

Dodatečná ZS navíc do Petrova plánu zavádí množství vodních ploch, které se rozlévají po městě a diktují podřízení města jejich ohybům. A samotné Petrovo schéma připomíná spirálu nebo embryo zároveň.

Papež však vyjádřil jinou verzi toho, proč Moskviče a obyvatele Petrohradu při návštěvě hlavních měst „bolí hlava“. Papež to vztahuje k energiím měst:
Petrohrad - má mužské pohlaví a podle toho i mužské energie,
No, Moskva - respektive - ženský a má ženskou energii.

Obyvatelé hlavních měst, kteří se naladili na určitou rovnováhu ženského a mužského těla ve svém těle, se tedy při návštěvě sousedního města obtížně obnovují a někdo může mít potíže s vnímáním té či oné energie a proto se sousední město nemusí mít vůbec v lásce!

Na podporu této verze se také uvádí, že vše ruské císařovny právě v Petrohradě vládli, zatímco Moskva viděla pouze mužské cary!

Použité zdroje.

Kanalieva Dana

V tomto článku jsme studovali a analyzovali projevy čísel Fibonacciho posloupnosti v realitě kolem nás. Objevili jsme překvapivý matematický vztah mezi počtem spirál v rostlinách, počtem větví v libovolné horizontální rovině a čísly ve Fibonacciho posloupnosti. Přísnou matematiku jsme viděli i ve struktuře člověka. Molekula lidské DNA, ve které je zašifrován celý program vývoje člověka, dýchací systém, struktura ucha - vše se řídí určitými číselnými poměry.

Viděli jsme, že příroda má své vlastní zákony, vyjádřené pomocí matematiky.

A matematika je velmi důležitý učební nástroj tajemství přírody.

Stažení:

Náhled:

MBOU "Pervomajská střední škola"

Orenburgský okres regionu Orenburg

VÝZKUM

„Hádanka čísel

Fibonacci"

Doplnila: Kanalieva Dana

žák 6. třídy

Vědecký poradce:

Gazizová Valeria Valerievna

Učitel matematiky nejvyšší kategorie

n. Experimentální

2012

Vysvětlivka ………………………………………………………………………………………… 3.

Úvod. Historie Fibonacciho čísel ………………………………………………………………… 4.

Kapitola 1. Fibonacciho čísla ve volné přírodě........…. ………………………………………… 5.

Kapitola 2. Fibonacciho spirála............................................ .............................. 9.

Kapitola 3. Fibonacciho čísla v lidských vynálezech ………………………………………….

Kapitola 4. Náš výzkum……………………………………………………………………………………………………………….

Kapitola 5. Závěr, závěry………………………………………………………………………………

Seznam použité literatury a internetových stránek………………………………………………………..21.

Předmět studia:

Člověk, matematické abstrakce vytvořené člověkem, vynálezy člověka, okolní flóra a fauna.

Předmět studia:

forma a struktura studovaných objektů a jevů.

Účel studia:

studovat projevy Fibonacciho čísel a s tím spojený zákon zlatého řezu ve struktuře živých i neživých předmětů,

najít příklady použití Fibonacciho čísel.

Pracovní úkoly:

Popište, jak sestrojit Fibonacciho řadu a Fibonacciho spirálu.

Podívejte se na matematické vzorce ve struktuře člověka, flóra a neživá příroda z pohledu fenoménu Zlatého řezu.

Výzkumná novinka:

Objev Fibonacciho čísel v realitě kolem nás.

Praktický význam:

Využití nabytých znalostí a dovedností výzkumná práce při studiu jiných školních předmětů.

Dovednosti a schopnosti:

Organizace a vedení experimentu.

Využití odborné literatury.

Získání schopnosti prohlédnout shromážděný materiál (reportáž, prezentace)

Evidence práce s výkresy, schématy, fotografiemi.

Aktivní účast v diskusi o jejich práci.

Metody výzkumu:

empirické (pozorování, experiment, měření).

teoretická (logická etapa poznání).

Vysvětlivka.

„Čísla vládnou světu! Číslo je moc, která vládne bohům i smrtelníkům!" - tak říkali staří Pythagorejci. Je tento základ pythagorejského učení relevantní i dnes? Při studiu vědy o číslech ve škole se chceme ujistit, že jevy celého vesmíru skutečně podléhají určitým číselným poměrům, abychom našli toto neviditelné spojení mezi matematikou a životem!

Je to opravdu v každé květině,

Jak v molekule, tak v galaxii,

Číselné vzory

Tato přísná "suchá" matematika?

Obrátili jsme se na moderní zdroj informací - internet a přečetli jsme si o Fibonacciho číslech, o magických číslech, která jsou opředena velkou záhadou. Ukazuje se, že tato čísla lze nalézt ve slunečnicích a šiškách, v křídlech vážek a hvězdic, v rytmech lidského srdce a v hudebních rytmech...

Proč je tato posloupnost čísel v našem světě tak běžná?

Chtěli jsme se dozvědět o tajemstvích Fibonacciho čísel. Tato výzkumná práce je výsledkem naší práce.

Hypotéza:

v realitě kolem nás je vše postaveno podle překvapivě harmonických zákonů s matematickou přesností.

Vše na světě promýšlí a kalkuluje náš nejvýznamnější designér – příroda!

Úvod. Historie série Fibonacci.

Úžasná čísla objevil italský matematik středověku Leonardo z Pisy, známější jako Fibonacci. Cestou na východ se seznámil s úspěchy arabské matematiky a přispěl k jejich přesunu na Západ. V jednom ze svých děl s názvem „Kniha kalkulací“ představil Evropě jednu z nich největší objevy všech dob a národů - desítková číselná soustava.

Jednoho dne si lámal hlavu nad řešením jednoho matematický problém. Snažil se vytvořit vzorec popisující chovnou sekvenci králíků.

Řešením bylo číselná řada, jehož každé následující číslo je součtem dvou předchozích:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Čísla, která tvoří tuto posloupnost, se nazývají „Fibonacciho čísla“ a samotná posloupnost se nazývá Fibonacciho posloupnost.

"No a co?" - řeknete: - "Můžeme sami přijít na podobné číselné řady, rostoucí podle daného postupu?" Když se objevila série Fibonacci, nikdo, včetně jeho samotného, ​​netušil, jak blízko se mu podařilo přiblížit k odhalení jedné z největších záhad vesmíru!

Fibonacci vedl samotářský život, trávil spoustu času v přírodě a při procházce lesem si všiml, že ho tato čísla začala doslova pronásledovat. Všude v přírodě se s těmito čísly znovu a znovu setkával. Například okvětní lístky a listy rostlin striktně zapadají do dané číselné řady.

Ve Fibonacciho číslech existuje zajímavá vlastnost: podíl z dělení dalšího Fibonacciho čísla předchozím, jak čísla samotná rostou, mají tendenci k 1,618. Bylo to toto konstantní číslo dělení, které se ve středověku nazývalo Božský podíl a nyní se nazývá zlatý řez nebo zlatý řez.

V algebře se toto číslo označuje řeckým písmenem phi (Ф)

Takže φ = 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Bez ohledu na to, kolikrát vydělíme jedno druhým, číslo k němu sousedící, vždy dostaneme 1,618. A pokud uděláme opak, tedy vydělíme menší číslo větším, dostaneme 0,618, toto je převrácená hodnota 1,618, nazývaná také zlatý řez.

Fibonacciho řada by mohla zůstat pouze matematickým incidentem, kdyby nebylo skutečnosti, že všichni badatelé zlatého dělení v rostlinném a živočišném světě, nemluvě o umění, vždy dospěli k této řadě jako k aritmetickému vyjádření zákona o zlatém dělení. .

Vědci, kteří analyzovali další aplikaci této číselné řady na přírodní jevy a procesy, zjistili, že tato čísla jsou obsažena doslova ve všech objektech divoké zvěře, v rostlinách, zvířatech a lidech.

Úžasná matematická hračka se ukázala jako jedinečný kód vložený do všeho přírodní objekty samotného Stvořitele vesmíru.

Zvažte příklady, kde se Fibonacciho čísla nacházejí v živé i neživé přírodě.

Fibonacciho čísla ve volné přírodě.

Když se podíváte na rostliny a stromy kolem nás, uvidíte, kolik listů má každý z nich. Z dálky se zdá, že větve a listy na rostlinách jsou uspořádány náhodně, v libovolném pořadí. U všech rostlin je však zázračně, matematicky přesně naplánováno, která větev odkud vyroste, jak budou umístěny větve a listy v blízkosti stonku nebo kmene. Od prvního dne svého objevení se rostlina ve svém vývoji přesně řídí těmito zákonitostmi, to znamená, že se náhodou neobjeví ani jeden list, ani jeden květ. Ještě předtím, než je vzhled rostliny již přesně naprogramován. Kolik větví bude na budoucím stromě, kde budou větve růst, kolik listů bude na každé větvi a jak, v jakém pořadí budou listy uspořádány. Spolupráce botanici a matematici vrhli světlo na tyto úžasné přírodní jevy. Ukázalo se, že v uspořádání listů na větvi (fylotaxe), v počtu otáček na stonku, v počtu listů v cyklu se projevuje Fibonacciho řada, a tedy i zákon zlatého řezu. se projevuje.

Pokud se vydáte hledat číselné vzory ve volné přírodě, všimnete si, že tato čísla se často vyskytují v různých spirálovitých formách, na které je rostlinný svět tak bohatý. Například listové řízky přiléhají ke stonku ve spirále, která probíhá mezi nimidva sousední listy:plný obrat - u lísky,- u dubu - u topolu a hrušně,- u vrby.

Semena slunečnice, Echinacea purpurea a mnoha dalších rostlin jsou uspořádána ve spirálách a počet spirál v každém směru je Fibonacciho číslo.

Slunečnice, 21 a 34 spirál. Echinacea, 34 a 55 spirál.

Jasný, symetrický tvar květin také podléhá přísnému zákonu.

Mnoho květin má počet okvětních lístků – přesně ta čísla ze série Fibonacci. Například:

duhovka, 3 lep. pryskyřník, 5 lep. zlatý květ, 8 lep. delphinium,

13 lep.

čekanka, 21 lep. astra, 34 lep. sedmikrásky, 55 lep.

Fibonacciho řada charakterizuje strukturální organizace mnoho živých systémů.

Již jsme řekli, že poměr sousedních čísel ve Fibonacciho řadě je číslo φ = 1,618. Ukazuje se, že muž sám je jen zásobárnou čísla phi.

Proporce různých částí našeho těla tvoří číslo velmi blízké zlatému řezu. Pokud se tyto proporce shodují se vzorcem zlatého řezu, pak se vzhled nebo tělo člověka považuje za ideálně stavěné. Princip výpočtu zlaté míry na lidském těle lze znázornit formou diagramu.

M/m = 1,618

První příklad zlatého řezu ve struktuře lidského těla:

Vezmeme-li bod pupku jako střed lidského těla a vzdálenost mezi lidským chodidlem a bodem pupku jako jednotku měření, pak se výška osoby rovná číslu 1,618.

Lidská ruka

Stačí nyní přiblížit dlaň k sobě a pozorně se podívat na ukazováček a hned v něm najdete vzorec zlatého řezu. Každý prst naší ruky se skládá ze tří falangů.
Součet prvních dvou článků prstu ve vztahu k celé délce prstu dává zlatý řez (s výjimkou palce).

Navíc poměr mezi prostředníčkem a malíčkem se také rovná zlatému řezu.

Člověk má 2 ruce, prsty na každé ruce se skládají ze 3 falangů (s výjimkou palce). Každá ruka má 5 prstů, tedy celkem 10, ale s výjimkou dvou dvoufalangeálních palců je vytvořeno pouze 8 prstů podle principu zlatého řezu. Zatímco všechna tato čísla 2, 3, 5 a 8 jsou čísla Fibonacciho posloupnosti.

Zlatý řez ve struktuře lidských plic

Americký fyzik B.D. West a Dr. A.L. Goldberger během fyzikálních a anatomických studií zjistil, že zlatý řez existuje i ve struktuře lidských plic.

Zvláštnost průdušek, které tvoří plíce člověka, spočívá v jejich asymetrii. Průdušky jsou tvořeny dvěma hlavními dýchacími cestami, jedna (levá) je delší a druhá (pravá) je kratší.

Bylo zjištěno, že tato asymetrie pokračuje ve větvích průdušek, ve všech menších dýchacích cestách. Navíc poměr délky krátkých a dlouhých průdušek je také zlatým řezem a je roven 1:1,618.

Umělci, vědci, módní návrháři, návrháři dělají své výpočty, kresby nebo náčrty na základě poměru zlatého řezu. Využívají měření z lidského těla, vytvořené rovněž podle principu zlatého řezu. Leonardo Da Vinci a Le Corbusier před vytvořením svých mistrovských děl převzali parametry lidského těla vytvořeného podle zákona zlatého řezu.
Existuje ještě jedna, prozaičtější aplikace proporcí lidského těla. Pomocí těchto poměrů například kriminální analytici a archeologové obnovují vzhled celku z fragmentů částí lidského těla.

Zlaté proporce ve struktuře molekuly DNA.

Veškeré informace o fyziologické rysyživé bytosti, ať je to rostlina, zvíře nebo člověk, jsou uloženy v mikroskopické molekule DNA, jejíž struktura obsahuje i zákon zlatého řezu. Molekula DNA se skládá ze dvou vertikálně propletených šroubovic. Každá z těchto spirál je 34 angstromů dlouhá a 21 angstromů široká. (1 angstrom je sto miliontina centimetru).

Takže 21 a 34 jsou čísla následující za sebou v posloupnosti Fibonacciho čísel, to znamená, že poměr délky a šířky logaritmické šroubovice molekuly DNA nese vzorec zlatého řezu 1: 1,618.

Nejen vzpřímení chodci, ale i všichni ti, kteří plavou, plazí, létají a skáčou, neušli osudu poslušnosti čísla phi. Lidský srdeční sval se stáhne na 0,618 svého objemu. Struktura ulity hlemýždě odpovídá Fibonacciho proporcím. A takových příkladů je spousta – byla by touha zkoumat přírodní objekty a procesy. Svět je tak prostoupen Fibonacciho čísly, že se někdy zdá, že vesmír lze vysvětlit pouze jimi.

Fibonacciho spirála.

V matematice neexistuje žádná jiná forma, která by měla stejné jedinečné vlastnosti jako spirála, protože
Struktura spirály je založena na pravidle Zlatého řezu!

Abychom pochopili matematickou konstrukci spirály, zopakujme si, co je to Zlatý řez.

Zlatý řez je takové proporcionální rozdělení segmentu na nestejné části, kdy celý segment souvisí s větší částí stejně, jako větší část sama souvisí s menší, nebo jinými slovy s menší částí. segment souvisí s tím větším, jako ten větší se vším.

To znamená, (a + b) / a = a / b

Obdélník s přesně tímto poměrem stran se nazýval zlatý obdélník. Jeho dlouhé strany souvisí s krátkými stranami v poměru 1,168:1.
Zlatý obdélník má mnoho neobvyklých vlastností. Odřízněte ze zlatého obdélníku čtverec, jehož strana se rovná menší straně obdélníku,

dostaneme opět menší zlatý obdélník.

Tento proces může pokračovat do nekonečna. Jak budeme stále odřezávat čtverce, vzniknou nám stále menší zlaté obdélníky. Navíc budou umístěny v logaritmické spirále, což je důležité v matematických modelech přírodních objektů.

Spirálovitý tvar můžeme vidět například i v uspořádání slunečnicových semínek, u ananasů, kaktusů, ve struktuře růžových lístků a podobně.

Jsme překvapeni a potěšeni spirálovitou strukturou mušlí.

U většiny hlemýžďů, kteří mají ulity, roste ulita ve tvaru spirály. Není však pochyb o tom, že tyto nerozumné bytosti nejenže nemají o spirále ponětí, ale nemají ani ty nejjednodušší matematické znalosti, aby si pro sebe vytvořily spirální skořápku.
Ale jak by si pak tyto neinteligentní bytosti mohly samy určit a vybrat si ideální formu růstu a existence v podobě spirálovité skořápky? Mohli si tito živí tvorové, které vědecký svět nazývá primitivními formami života, spočítat, že spirálovitý tvar skořápky by byl pro jejich existenci ideální?

Snažit se vysvětlit vznik takové i nejprimitivnější formy života náhodnou shodou nějakých přírodních okolností je přinejmenším absurdní. Je jasné, že tento projekt je vědomým výtvorem.

Spirály jsou i v člověku. Pomocí spirál slyšíme:

V lidském vnitřním uchu je také orgán Cochlea ("šnek"), který plní funkci přenosu zvukových vibrací. Tato kostovitá struktura je naplněna tekutinou a vytvořena ve formě šneka se zlatými proporcemi.

Spirály jsou na našich dlaních a prstech:

V říši zvířat najdeme také mnoho příkladů spirál.

Rohy a kly zvířat se vyvíjejí ve spirálovitém tvaru, drápy lvů a zobáky papoušků jsou logaritmické tvary a připomínají tvar osy, která má tendenci se stáčet do spirály.

Je zajímavé, že hurikán, cyklónové mraky se točí ve spirále, a to je jasně viditelné z vesmíru:

V oceánských a mořských vlnách lze spirálu matematicky vykreslit s body 1,1,2,3,5,8,13,21,34 a 55.

Každý také pozná takovou „všední“ a „prozaickou“ spirálu.

Voda totiž z koupelny utíká ve spirále:

Ano, a žijeme ve spirále, protože galaxie je spirála, která odpovídá vzorci Zlatého řezu!

Zjistili jsme tedy, že když vezmeme Zlatý obdélník a rozdělíme ho na menší obdélníkyv přesné Fibonacciho posloupnosti a pak každou z nich znovu a znovu rozdělte v takových poměrech, dostanete systém zvaný Fibonacciho spirála.

Tuto spirálu jsme našli v nejneočekávanějších objektech a jevech. Nyní je jasné, proč se spirále také říká „křivka života“.
Spirála se stala symbolem evoluce, protože vše se vyvíjí ve spirále.

Fibonacciho čísla v lidských vynálezech.

Vědci a umělci, kteří odkoukali od přírody zákon vyjádřený posloupností Fibonacciho čísel, se jej snaží napodobit, vtělit tento zákon do svých výtvorů.

Podíl phi vám umožňuje vytvářet mistrovská díla malby, kompetentně zapadají architektonické struktury do prostoru.

Nejen vědci, ale také architekti, designéři a umělci jsou ohromeni touto dokonalou spirálou na skořápce nautila,

zabírají nejmenší prostor a poskytují nejmenší tepelné ztráty. Američtí a thajští architekti, inspirováni příkladem „camera nautilus“, který dává maximum do minima prostoru, jsou zaneprázdněni vyvíjením návrhů, které by tomu odpovídaly.

Od nepaměti byl podíl Zlatého řezu považován za nejvyšší podíl dokonalosti, harmonie a dokonce i božskosti. Zlatý řez lze nalézt v sochách, a dokonce i v hudbě. Příkladem jsou hudební díla Mozarta. Dokonce i ceny akcií a hebrejská abeceda obsahují zlatý řez.

Chceme se ale pozastavit u unikátního příkladu vytvoření efektivní solární instalace. Americký školák z New Yorku Aidan Dwyer spojil své znalosti o stromech a zjistil, že účinnost solárních elektráren lze zvýšit pomocí matematiky. Na zimní procházce Dwyer přemýšlel, proč stromy potřebují takový „vzor“ větví a listů. Věděl, že větve na stromech jsou uspořádány podle Fibonacciho sekvence a listy provádějí fotosyntézu.

V určitém okamžiku se chytrý malý chlapec rozhodl zkontrolovat, zda tato poloha větví pomáhá sbírat více slunečního světla. Aidan postavil na svém dvorku pilotní závod s malými solárními panely místo listů a vyzkoušel ho v akci. Ukázalo se, že ve srovnání s běžným plochým solárním panelem jeho „strom“ nasbírá o 20 % více energie a efektivně funguje o 2,5 hodiny déle.

Dwyerův model slunečního stromu a studentské pozemky.

"A tato instalace také zabírá méně místa než plochý panel, sbírá 50 % více slunce v zimě i tam, kde nevypadá na jih, a nehromadí sníh v takovém množství. Navíc se stromový design mnohem více hodí do městské krajiny,“ podotýká mladý vynálezce.

Aidan poznal jeden z nejlepších mladých přírodních vědců roku 2011. Soutěž Mladý přírodovědec v roce 2011 pořádalo New York Museum of Natural History. Aidan podal na svůj vynález prozatímní patentovou přihlášku.

Vědci nadále aktivně rozvíjejí teorii Fibonacciho čísel a zlatého řezu.

Yu Matiyasevich řeší Hilbertův 10. problém pomocí Fibonacciho čísel.

Existují elegantní metody řešení řady kybernetických problémů (teorie vyhledávání, hry, programování) pomocí Fibonacciho čísel a zlatého řezu.

V USA dokonce vzniká Mathematical Fibonacci Association, která od roku 1963 vydává speciální časopis.

Vidíme tedy, že rozsah Fibonacciho sekvence je velmi mnohostranný:

Vědci pozorováním jevů vyskytujících se v přírodě dospěli k úžasným závěrům, že celý sled událostí probíhajících v životě, revoluce, kolapsy, bankroty, období prosperity, zákony a vlny rozvoje na akciových a měnových trzích, cykly rodinného života a tak dále, jsou organizovány na časovém měřítku ve formě cyklů, vln. Tyto cykly a vlny jsou také rozděleny podle číselná řada Fibonacci!

Na základě těchto znalostí se člověk naučí předvídat různé události v budoucnu a řídit je.

4. Náš výzkum.

Pokračovali jsme v pozorování a studovali strukturu

Šišky

řebříček

komár

člověk

A ujistili jsme se, že v těchto na první pohled tak odlišných objektech jsou neviditelně přítomna právě čísla Fibonacciho posloupnosti.

Takže krok 1.

Vezmeme si šišku:

Pojďme se na to podívat blíže:

Všimneme si dvou sérií Fibonacciho spirál: jedna - ve směru hodinových ručiček, druhá - proti, jejich počet 8 a 13.

Krok 2

Vezměme si řebříček:

Podívejme se blíže na strukturu stonků a květů:

Všimněte si, že každá nová větev řebříčku roste ze sinusu a nové větve rostou z nové větve. Přidáním starých a nových větví jsme našli Fibonacciho číslo v každé horizontální rovině.

Krok 3

Projevují se Fibonacciho čísla v morfologii různých organismů? Zvažte známého komára:

Vidíme: 3 pár nohou, hlava 5 tykadla - tykadla, břicho se dělí na 8 segmentů.

Závěr:

Při našem výzkumu jsme viděli, že v rostlinách kolem nás, živých organismech a dokonce i ve struktuře člověka se projevují čísla z Fibonacciho posloupnosti, která odráží harmonii jejich struktury.

Šiška, řebříček, komár, člověk jsou uspořádány s matematickou přesností.

Hledali jsme odpověď na otázku: jak se Fibonacciho série projevuje v realitě kolem nás? Ale když jsem na to odpovídal, dostával nové a nové otázky.

Kde se tato čísla vzala? Kdo je tento architekt vesmíru, který se ho snažil dovést k dokonalosti? Je cívka kroucená nebo nekroucená?

Jak úžasně člověk zná tento svět!!!

Když našel odpověď na jednu otázku, dostane další. Vyřešte to, pořiďte si dva nové. Vypořádejte se s nimi, objeví se další tři. Když je vyřeší, získá pět nevyřešených. Pak osm, pak třináct, 21, 34, 55...

poznáváte?

Závěr.

Ve všech předmětech samotným tvůrcem

Byl přidělen jedinečný kód

A ten, kdo se přátelí s matematikou,

On to bude vědět a pochopí!

Studovali jsme a analyzovali projevy čísel Fibonacciho posloupnosti v realitě kolem nás. Dozvěděli jsme se také, že zákonitosti této číselné řady, včetně zákonitostí „Zlaté“ symetrie, se projevují v energetických přechodech elementárních částic, v planetárních a vesmírné systémy, v genových strukturách živých organismů.

Objevili jsme překvapivý matematický vztah mezi počtem spirál v rostlinách, počtem větví v libovolné horizontální rovině a čísly ve Fibonacciho posloupnosti. Viděli jsme, jak se tomuto tajemnému zákonu podřizuje i morfologie různých organismů. Přísnou matematiku jsme viděli i ve struktuře člověka. Molekula lidské DNA, ve které je zašifrován celý program vývoje člověka, dýchací systém, struktura ucha - vše se řídí určitými číselnými poměry.

Zjistili jsme, že šišky, ulity hlemýžďů, mořské vlny, zvířecí rohy, cyklónové mraky a galaxie tvoří logaritmické spirály. Dokonce i lidský prst, který je tvořen třemi falangami ve vzájemném vztahu ve zlatém poměru, nabývá při stlačení spirálovitý tvar.

Věčnost času a světelné roky vesmíru oddělují šišku a spirální galaxii, ale struktura zůstává stejná: koeficient 1,618 ! Možná je to nejvyšší zákon, který řídí přírodní jevy.

Potvrzuje se tak naše hypotéza o existenci speciálních číselných vzorců, které jsou zodpovědné za harmonii.

Opravdu, všechno na světě je promyšleno a vypočítáno naším nejdůležitějším designérem - Přírodou!

Jsme přesvědčeni, že příroda má své vlastní zákony, vyjádřené pomocí matematika. A matematika je velmi důležitý nástroj

objevovat záhady přírody.

Seznam literatury a internetových stránek:

1. Čísla Vorobjova N. N. Fibonacciho. - M., Nauka, 1984.
2. Gika M. Estetika proporcí v přírodě a umění. - M., 1936.

3. Dmitriev A. Chaos, fraktály a informace. // Věda a život, č. 5, 2001.
4. Kashnitsky S. E. Harmonie utkaná z paradoxů // Kultura a

Život. - 1982.- č. 10.
5. Malajština G. Harmonie - identita paradoxů // MN. - 1982.- č. 19.
6. Sokolov A. Tajemství zlatého řezu // Technika mládí. - 1978.- č. 5.
7. Stakhov A. P. Kódy zlatého řezu. - M., 1984.
8. Urmantsev Yu.A. Symetrie přírody a povaha symetrie. - M., 1974.
9. Urmantsev Yu. A. Zlatý řez // Priroda. - 1968.- č. 11.

10. Shevelev I.Sh., Marutaev M.A., Shmelev I.P. Zlatý poměr/tři

Pohled na povahu harmonie.-M., 1990.

11. Shubnikov A. V., Koptsik V. A. Symetrie ve vědě a umění. -M.:

Vypráví o konceptu Fibonacciho řady a o tom, jak souvisí s teorií vln, a také vyvrátí použitelnost řady na přírodní procesy.
, kterou mistr vyvinul ve 30. letech minulého století – jde o jednu z nejzajímavějších sekcí. Sám o sobě byl izolován nová kapitola věda, která studuje grafy. Je založen na vývoji jiných odborníků v oblasti teorie (doporučuji vám přečíst - knihu pod autorstvím).
Takže např. velký italský matematik Leonardo Fibonacci je považován za vědce (o kterém jsem se již zmiňoval v článcích -,), který vytvořil základ pro Eliotovu teorii.

Nejlepší makléř

Digitální řada Fibonacciho čísel - zlatý řez a koeficienty nebo korekční úrovně + video. Fibonacciho čísla v přírodě.

Specialista žil ve století XIII. Vědec publikoval dílo nazvané „Kniha výpočtů“. Tato kniha představila Evropě důležitý objev pro tehdejší dobu a nejen objev - desítkovou číselnou soustavu. Tento systém zavedl do oběhu pro nás obvyklá čísla od nuly do devíti.

Tento systém byl první důležité úspěchy Evropa od pádu Říma. Fibonacci zachránil numerickou vědu pro středověk. Položil také hluboké základy pro rozvoj dalších věd, jako je vyšší matematika, fyzika, astronomie a strojírenství.

Podívejte se na video

Jak se objevila čísla a jejich odvozeniny?

Leonardo narazil na řešení aplikovaného problému zvědavá řada Fibonacciho čísel, na jejímž začátku stojí dva celky.

Každý následující člen je součtem předchozích dvou. Nejkurióznější je, že Fibonacciho číselná řada je pozoruhodná posloupnost v tom, že pokud vydělíte jakýkoli člen předchozím, dostanete číslo, které se blíží 0,618. Toto číslo bylo pojmenováno Zlatý řez».

Ukázalo se, že toto číslo je lidstvu známo již velmi dlouho. Například v starověký Egypt stavěli pomocí něj pyramidy a staří Řekové na něm stavěli své chrámy. Leonardo da Vinci ukázal, jak se struktura lidského těla tomuto číslu podřizuje.

Příroda používá Fibonacciho čísla ve svých nejintimnějších a nejpokročilejších oblastech. Od atomových struktur a dalších malých forem, jako jsou molekuly DNA a mozkové mikrokapiláry, až po obrovské, jako jsou planetární dráhy a struktury galaxií. Množství příkladů je tak velké, že by se mělo tvrdit, že v přírodě skutečně existuje určitý základní zákon proporcí.

Proto není divu, že se Fibonacciho série a zlatý řez dostaly do akciových grafů. A to nejen jedno číslo 0,618, ale i jeho odvozeniny.

Pokud zvýšíte číslo zlatého řezu na první, druhou, třetí a čtvrtou mocninu a odečtete výsledek od jedné, dostanete nový řádek který se nazývá " Fibonacciho poměry retracementu". Zbývá pouze přidat známku pěti desetin - to je padesát procent.

To však není vše, co lze se zlatým řezem udělat. Pokud jednotku vydělíme 0,618, dostaneme 1,618, pokud ji odmocníme, pak dostaneme 2,618, pokud ji zvedneme na krychli, dostaneme číslo 4,236. Toto jsou Fibonacciho expanzní koeficienty. Jediné, co zde chybí, je číslo 3.236, které navrhl John Murphy.

Co si o sekvenci myslí odborníci?

Někdo řekne, že tato čísla jsou již známá, protože se používají v programech technická analýza, k určení výše korekce a expanze. Kromě toho hrají stejné řady důležitá role v teorii Elliotových vln. Jsou jeho číselným základem.

Náš expert Nikolay Proven portfolio manager investiční společnosti Vostok.

• – Nikolai, co myslíš, je výskyt Fibonacciho čísel a jejich odvozenin v grafech různých nástrojů náhoda? A je možné říci: „Fibonacciho série praktické využití" se vyskytuje?
• - Mám špatný vztah k mystice. A ještě více na burzovních grafech. Všechno má své důvody. v knize "Fibonacci Levels" krásně vyprávěl, kde se zlatý řez objevuje, že se nedivil, že se objevil na burzovních grafech. Ale marně! Pí se často objevuje v mnoha příkladech, které uvedl. Ale z nějakého důvodu to není v poměru ceny.
• - Takže nevěříte v účinnost principu Elliotových vln?
• - Ne, o to nejde. Princip vlny je jedna věc. Číselný poměr je jiný. A důvody jejich výskytu na cenových grafech jsou třetí
• – Jaké jsou podle vás důvody pro výskyt zlatého řezu na akciových grafech?
• - Správnou odpověď na tuto otázku si možná zaslouží Nobelova cena na ekonomii. Dokud můžeme hádat skutečné důvody. Zjevně nejsou v souladu s přírodou. Existuje mnoho modelů směnných cen. Naznačený jev nevysvětlují. Ale nepochopení podstaty jevu by nemělo popírat jev jako takový.
• – A pokud bude tento zákon někdy otevřen, bude schopen zničit proces výměny?
• - Jak ukazuje stejná teorie vln, zákon změny cen akcií je čistá psychologie. Zdá se mi, že znalost tohoto zákona nic nezmění a nedokáže burzu zničit.

Materiál poskytuje blog webmastera Maxima.

Shoda základů principů matematiky v nejv různé teorie zdá se neuvěřitelné. Možná je to fantazie nebo úprava konečného výsledku. Počkej a uvidíš. Mnohé z toho, co bylo dříve považováno za neobvyklé nebo nemožné: například průzkum vesmíru se stal běžnou záležitostí a nikoho nepřekvapuje. Taky vlnová teorie, může být nesrozumitelné, časem se stane dostupnější a srozumitelnější. To, co bylo dříve zbytečné, se v rukou zkušeného analytika stane mocným nástrojem pro předpovídání budoucího chování.

Fibonacciho čísla v přírodě.

Dívej se

A nyní si povíme, jak můžete vyvrátit skutečnost, že digitální řada Fibonacci se podílí na jakýchkoli vzorcích v přírodě.

Vezměme libovolná další dvě čísla a sestavme posloupnost se stejnou logikou jako Fibonacciho čísla. To znamená, že další člen posloupnosti je roven součtu dvou předchozích. Vezměme si například dvě čísla: 6 a 51. Nyní sestavíme posloupnost, kterou doplníme dvěma čísly 1860 a 3009. Všimněte si, že při dělení těchto čísel dostaneme číslo blízké zlatému řezu.

Zároveň se čísla, která byla získána dělením dalších párů, snížila od prvního k poslednímu, což nám umožňuje tvrdit, že pokud tato řada bude pokračovat donekonečna, dostaneme číslo rovné zlatému řezu.

Samotná Fibonacciho čísla tedy nejsou ničím odlišena. Existují další posloupnosti čísel, kterých je nekonečný počet, jejichž výsledkem je zlaté číslo phi jako výsledek stejných operací.

Fibonacci nebyl esoterik. Nechtěl dávat do čísel žádnou mystiku, jen řešil obyčejný králičí problém. A napsal posloupnost čísel, která vyplývala z jeho úkolu v prvním, druhém a dalších měsících, kolik králíků bude po odchovu. Za rok obdržel stejnou sekvenci. A nenavázal vztah. Nebyl tam žádný zlatý řez, žádný božský vztah. To vše bylo vynalezeno po něm v renesanci.

Před matematikou jsou Fibonacciho přednosti obrovské. Převzal číselnou soustavu od Arabů a prokázal její platnost. Byl to těžký a dlouhý boj. Z římského číselného systému: těžké a nepohodlné pro počítání. Poté zmizela francouzská revoluce. Nemá to nic společného se zlatým řezem Fibonacciho.

Existuje nekonečně mnoho spirál, nejoblíbenější jsou: přirozená logaritmická spirála, Archimédova spirála, hyperbolická spirála.

Společně s nakladatelstvím "" vydáváme ukázku z knihy Profesor aplikovaná matematika Edward Scheinerman „Průvodce pro ty, kteří milují matematiku“, věnovaný nestandardním problémům vzrušující matematika, hádanky, vesmír čísel a tvarů. Překlad z angličtiny Alexey Ognev.

Tato kapitola hovoří o slavných Fibonacciho číslech: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 atd. Tato řada byla pojmenována po Leonardovi z Pisy, známějším jako Fibonacci. Leonardo z Pisy (1170-1250) - jeden z prvních velkých matematiků středověká Evropa. Přezdívka Fibonacci znamená „syn Bonacciho“. Autor knihy Abacus, která nastiňuje systém desítkových čísel.

Čtverce a domino

Začněme pokládáním čtverců a domino. Představte si dlouhý vodorovný rám 1 × 10. Chceme jej úplně zaplnit čtverečky 1 × 1 a domino 1 × 2 bez mezer. Zde je obrázek:

Otázka: Kolika způsoby to lze udělat?

Pro usnadnění označujeme počet možností F10. Projděte je všechny a pak přepočítejte - těžká práce plný chyb. Mnohem lepší je úkol zjednodušit. Nehledejme F10 hned od začátku, začněme F1. Je to jednodušší než kdy jindy! Potřebujeme vyplnit rámeček 1 × 1 čtverečky 1 × 1 a domino 1 × 2. Domino se nevejde, zbývá jediné řešení: vzít jeden čtverec. Jinými slovy, F1 = 1.

Nyní se pojďme zabývat F2. Velikost rámečku je 1 × 2. Můžete jej vyplnit dvěma čtverci nebo jednou dominou. Takže jsou dvě možnosti a F2 = 2.

Další: Kolika způsoby lze vyplnit rámeček 1 × 3? První možnost: tři čtverce. Dvě další možnosti: jedno domino (dvě se nevejdou) a čtverec vlevo nebo vpravo. Takže, F3 = 3. Ještě jeden krok: vezměte rámeček 1 × 4. Obrázek ukazuje všechny možnosti výplně:

Našli jsme pět možností, ale jaká je záruka, že jsme nic nepropásli? Existuje způsob, jak se otestovat. Na levém konci rámu může být buď čtverec, nebo domino. V horní řadě na obrázku - možnosti, když je čtverec vlevo, v dolní řadě - když jsou domino vlevo.

Řekněme, že je to čtverec vlevo. Zbytek musí být vyplněn čtverci a domino. Jinými slovy, musíte vyplnit pole 1 × 3. Tím získáte 3 možnosti, protože F3 = 3. Pokud jsou nalevo domino, velikost zbývající části je 1 × 2 a jsou dvě možnosti, jak vyplnit to, protože F2 = 2.

Máme tedy 3 + 2 = 5 možností a zajistili jsme, že F4 = 5.

Teď ty. Zamyslete se pár minut a najděte všechny možnosti výplně pro rám 1×5. Není jich mnoho. Řešení je na konci kapitoly. Můžete se uvolnit a přemýšlet.

Vraťme se na naše náměstí. Rád bych věřil, že jste našli 8 možností, protože existuje 5 způsobů pokládání, kde je čtverec vlevo, a další 3 způsoby, kde jsou domino vlevo. Takže F5 = 8.

Pojďme si to shrnout. Označili jsme FN jako počet způsobů, jak vyplnit rámeček 1 × n čtverci a domino. Musíme najít F10. Zde je to, co již víme:

Jedeme dál. Čemu se rovná F6? Můžete nakreslit všechny možnosti, ale je to nuda. Rozdělme otázku na dvě části. Kolika způsoby lze vyplnit rámeček 1 × 6, pokud je vlevo (a) čtverec a (b) domino? Dobrá zpráva je, že už známe odpověď! V prvním případě nám zbyde pět políček a víme, že F5 = 8. Ve druhém případě potřebujeme vyplnit čtyři políčka; víme, že F4 = 5. Takže F5 + F4 = 13.

Čemu se rovná F7? Na základě stejných úvah je F7 = F6 + F5 = 13 + 8 = 21. A co F8? Je zřejmé, že F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. A tak dále. Zjistili jsme následující vztah: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Ještě pár kroků - a najdeme požadované číslo F10. Správná odpověď je na konci kapitoly.

Fibonacciho čísla

Fibonacciho čísla jsou posloupnost:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Je postaven podle následujících pravidel:

— první dvě čísla 1 a 1;

— každé další číslo se získá sečtením dvou předchozích.

N-tý prvek posloupnosti Fn označíme od nuly: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, ... Další prvek vypočítáme podle vzorce: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Jak vidíme, problém skládání čtverců a domino nás přivedl k posloupnosti Fibonacciho čísel [ 1 ]V problému čtverců a domino jsme zjistili: F1 = 1 a F2 = 2. Ale Fibonacciho čísla začínají F0 = 1. Jak to souhlasí s podmínkami úlohy? Kolika způsoby lze za stejných podmínek vyplnit pole 0 × 1? Délka čtverce i délka domina jsou větší než nula, takže existuje pokušení říci, že odpověď je nula, ale není. Obdélník 0 × 1 je již vyplněn, nejsou zde žádné mezery; nepotřebujeme čtverec ani domino. Existuje tedy pouze jeden postup: neberte čtverec ani domino. Rozumíš? V tom případě gratuluji. Máš duši matematika!

Součet Fibonacciho čísel

Zkusme sečíst prvních několik Fibonacciho čísel. Co můžeme říci o součtu F0 + F1 +… + Fn pro libovolné n? Udělejme nějaké výpočty a uvidíme, co se stane. Všimněte si níže uvedených výsledků sčítání. Vidíš nějaký vzor? Než budete pokračovat, počkejte chvíli: je lepší, když najdete odpověď sami, než číst hotové řešení.

Rád bych věřil, že jste viděli, že výsledky součtu, pokud se k nim přičte jedna, se také seřadí v posloupnosti Fibonacciho čísel. Například sečtením čísel F0 až F5 vznikne: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 - 1. Sečtením čísel F0 až F6 dostaneme 33, což je o jedno méně než F8 = 34. Pro nezáporná celá čísla n můžeme napsat vzorec: F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. (*)

Pravděpodobně vám osobně bude stačit, když uvidíte, že vzorec [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. funguje v tuctu případů, abyste uvěřili, že je to pravda, ale matematici hladoví po důkazech. Jsme rádi, že vám můžeme předložit dva možné důkazy, že to platí pro všechna nezáporná celá čísla n.

První se nazývá důkaz indukcí, druhý se nazývá kombinatorický důkaz.

Důkaz indukcí

vzorec [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. je nekonečný počet vzorců ve složeném tvaru. Dokázat to [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. pravda pro konkrétní hodnotu n, řekněme pro n = 6, je jednoduchý aritmetický problém. Bude stačit zapsat čísla od F0 do F6 a sečíst je: F0 + F2 + ... + F6 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33.

Je snadné vidět, že F8 = 34, takže vzorec funguje. Pojďme k F7. Neztrácejme čas a sečtěte všechna čísla: součet do F6 už známe. Tedy (F0 +F1 +…+F6)+F7 =33+21=54. Stejně jako předtím vše konverguje: F9 = 55.

Pokud nyní začneme kontrolovat, zda vzorec pro n = 8 funguje, konečně nám dojdou síly. Ale přesto se podívejme, co už víme a co chceme zjistit:

F0 + F1 +…+F7 = F9.

F0 +F1 +…+F7 +F7 =?

Použijme předchozí výsledek: (F0 +F1 +…+F7)+F8 =(F9-1)+F8.

Můžeme samozřejmě počítat (F9-1) + F8 aritmeticky. To nás ale unaví ještě víc. Zároveň víme, že F8 + F9 = F10. Nemusíme tedy nic počítat ani nahlížet do tabulky Fibonacciho čísel:

(F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1.

Ověřili jsme, že vzorec funguje pro n = 8 na základě toho, co jsme věděli o n = 7.

V případě n = 9 se stejným způsobem opíráme o výsledek pro n = 8 (přesvědčte se sami). Samozřejmě prokázání správnosti [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. pro n si můžeme být jisti, že [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. platí i pro n + 1.

Jsme připraveni poskytnout úplný důkaz. Jak již bylo zmíněno, [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. představuje nekonečný počet vzorců pro všechny hodnoty n od nuly do nekonečna. Podívejme se, jak funguje důkaz.

Nejprve prokážeme [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. v nejjednodušším případě pro n = 0. Jednoduše zkontrolujeme, že F0 = F0+2 - 1. Protože F0 = 1 a F2 = 2, zjevně 1 = 2 - 1 a F0 = F2-1.

Dále nám stačí ukázat, že správnost vzorce pro jednu hodnotu n (řekněme n = k) automaticky znamená správnost pro n + 1 (v našem příkladu n = k + 1). Musíme jen ukázat, jak to funguje „automaticky“. co musíme udělat?

Vezměme nějaké číslo k. Předpokládejme, že již víme, že F0+F1+…+Fk =Fk+2–1. Hledáme hodnotu F0 + F1 +… + Fk + Fk+1.

Již známe součet Fibonacciho čísel až do Fk, takže dostáváme:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =(Fk+2–1)+Fk+1.

Pravá strana se rovná Fk+2 - 1 + Fk+1 a víme, jakému je součet po sobě jdoucích Fibonacciho čísel roven:

Fk+2–1 + Fk+1 = (Fk+2 + Fk+1) - 1 = Fk+3– 1

Dosaďte do naší rovnice:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =Fk+3–1

Nyní vysvětlím, co jsme udělali. Pokud víme, že [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. je pravda, když sečteme čísla do Fk, pak [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. by měla být pravda, pokud přidáme Fk+1.

Shrnout:

vzorec [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. pravda pro n = 0.

Pokud vzorec [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. platí pro n, platí i pro n + 1.

Můžeme s jistotou říci, že [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. platí pro všechny hodnoty n. Je to pravda [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. pro n=4987? To platí, pokud je výraz pravdivý pro n = 4986, což je založeno na tom, že výraz platí pro n = 4985 a tak dále až do n = 0. Proto vzorec [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. platí pro všechny možné hodnoty. Tato metoda důkazu je známá jako matematická indukce (nebo důkaz indukcí). Zkontrolujeme základní případ a dáme šablonu, pomocí které lze dokázat každý další případ na základě předchozího.

Kombinační důkaz

A tady je úplně jiný doklad totožnosti [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. Hlavním přístupem je zde využít skutečnosti, že číslo Fn je počet způsobů, jak pokrýt obdélník 1 × n čtverci a domino.

Dovolte mi připomenout, že musíme dokázat:

F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn+2- 1. (*)

Cílem je zacházet s oběma stranami rovnice jako s řešením problému opláštění. Pokud dokážeme, že levá a pravá část jsou řešením pro stejný obdélník, budou se vzájemně shodovat. Tato technika se nazývá kombinatorický důkaz[ 2 ]Slovo "kombinatorní" je odvozeno od podstatného jména "kombinatorický" - název oboru matematiky, jehož předmětem je výpočet možností v úlohách podobných pokrytí obdélníku. Slovo „kombinatorika“ je zase odvozeno od slova „kombinace“..

Jaká otázka v kombinatorice je rovnice [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. dá dvě správné odpovědi? Tato hádanka je podobná těm, které najdete v pořadu Jeopardy! [ 3 ]Populární televizní pořad v USA. Podobné jako Jeopardy! vyjít ven rozdílné země; v Rusku je to "Vlastní hra". - Cca. vyd., kde účastníci musí formulovat otázku, předem znát správnou odpověď.

Pravá strana vypadá jednodušeji, tak začneme s ní. Odpověď: Fn+2– 1. Jaká je otázka? Pokud by odpověď byla jednoduše Fn+2, mohli bychom snadno formulovat otázku: kolika způsoby lze obdélník 1 × (n + 2) obložit čtverci a domino? To je téměř přesně to, co potřebujete, ale odpověď je méně než jedna. Zkusme jemně změnit otázku a zredukovat odpověď. Odebereme jednu verzi obložení a zbytek přepočítáme. Obtížné je najít jednu možnost, která se radikálně liší od ostatních. existuje nějaká?

Každá metoda opláštění zahrnuje použití čtverců nebo domino. V jediné možnosti jsou zapojeny pouze čtverce, v ostatních je alespoň jedno domino. Vezměme to jako základ nové otázky.

Otázka: Kolik možností existuje pro pokrytí 1 × (n + 2) obdélníkového rámu čtverci a domino, včetně alespoň jednoho domina?

Nyní najdeme dvě odpovědi na tuto otázku. Protože platí obojí, mezi čísla můžeme s jistotou vložit rovnítko.

Jednu z odpovědí jsme již probrali. K dispozici jsou možnosti stohování Fn+2. Pouze jeden z nich zahrnuje výhradně použití čtverců bez domino. Odpověď #1 na naši otázku tedy zní: Fn+2– 1.

Druhá odpověď by měla být - doufám - levá strana rovnice [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. Pojďme se podívat, jak to funguje.

Je nutné přepočítat možnosti vyplnění rámečku včetně alespoň jednoho domina. Zamysleme se nad tím, kde se bude nacházet úplně první kost. Existuje n + 2 pozic a první dlaždice může být na pozicích 1 až n + 1.

Uvažujme případ n = 4. Hledáme způsoby, jak vyplnit rámec 1 × 6, který zahrnuje alespoň jedno domino. Známe odpověď: F6 - 1 = 13 - 1 = 12, ale musíme ji získat jiným způsobem.

První domino může zaujmout následující pozice:

První sloupec ukazuje případ, kdy je kloub v první poloze, druhý - když je kloub ve druhé poloze atd.

Kolik možností je v každém sloupci?

První sloupec obsahuje pět možností. Pokud odhodíme domino vlevo, dostaneme přesně F4 = 5 možností pro obdélník 1 × 4. Ve druhém sloupci jsou tři možnosti. Pusťme domino a čtverec nalevo. Dostaneme F3 = 3 možnosti pro obdélník 1 × 3. Podobně pro ostatní sloupce. Zde je to, co jsme našli:

Počet způsobů, jak položit čtverce a domino (alespoň jednu kost) na obdélníkový rám 1 × 6, je tedy F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12.

Výstup: F0+F1+F2+F3+F4=12=F6–1.

Podívejme se na obecný případ. Je nám dán rámec délky n + 2. Kolika způsoby je možné jej vyplnit, ve kterém je první domino na nějaké pozici k? V tomto případě je prvních k - 1 pozic obsazeno čtverci. Celkem je tedy obsazeno k + 1 pozic [ 4 ]Číslo k může nabývat hodnot od 1 do n + 1, ale ne více, protože jinak bude poslední domino trčet z rámečku.. Zbývající (n + 2) - (k + 1) = n - k + 1 lze vyplnit libovolnými prostředky. To dává možnosti Fn-k+1. Vytvořme diagram:

Pokud se k změní z 1 na n + 1, změní se hodnota n - k + 1 z 0 na n. Počet možností, jak vyplnit náš rámeček alespoň jedním domino, je tedy Fn + Fn-1 +… + F1 + F0.

Pokud dáme pojmy v opačném pořadí, dostaneme levou stranu výrazu (*). Našli jsme tedy druhou odpověď na položenou otázku: F0 +F1 +…+Fn.

Na otázku tedy máme dvě odpovědi. Hodnoty získané pomocí dvou vzorců, které jsme odvodili, se shodují a identita [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. osvědčený.

Fibonacciho poměr a zlatý řez

Sečtením dvou po sobě jdoucích Fibonacciho čísel vznikne další Fibonacciho číslo. V této části se dotkneme zajímavější otázky: co se stane, když vydělíme Fibonacciho číslo číslem, které mu v řadě předchází? Vypočítejme poměr Fk1. Pro rostoucí hodnoty k.

V tabulce vidíte poměry od F1/F0 do F20/19.

Čím větší jsou Fibonacciho čísla, tím blíže je poměr Fk+1/Fk konstantě přibližně rovné 1,61803. Toto číslo je – budete se divit – známé, a pokud ho zadáte do vyhledávače, vypadne vám spousta stránek o zlatém řezu. co to je? Poměr sousedních Fibonacciho čísel není stejný. Je to však téměř stejné, pokud jsou čísla dostatečně velká. Najdeme vzorec pro číslo 1,61803 a budeme proto chvíli předpokládat, že všechny poměry jsou stejné. Zavádíme označení x:

x=Fk+1/ Fk=/ Fk+2/ Fk+1= Fk+3/ Fk+2=…

To znamená, že Fk+1 = xFk, Fk+2 = xFk+1 atd. Můžeme přeformulovat:

Fk+2=xFk+1=x2>Fk.

Ale víme, že Fk+2= Fk+1 + Fk. Tedy x2>FkFk = xFk + Fk.

Pokud obě strany vydělíme Fk a uspořádáme členy, dostaneme kvadratická rovnice: x2-x-1=0. Má dvě řešení:

Poměr musí být kladný. A tak jsme dostali číslo, které známe. Obvykle se řecké písmeno φ (phi) používá k označení zlatého řezu:

Již jsme si všimli, že poměr sousedních Fibonacciho čísel se blíží (má tendenci) k φ. To je úžasné. To nám dává další způsob, jak vypočítat přibližná Fibonacciho čísla. Posloupnost Fibonacciho čísel je řada F0 F1, F2, F3, F4, F5… Pokud jsou všechny poměry Fk+1/Fk stejné, dostaneme vzorec:

Tady S je další konstanta. Porovnejme zaokrouhlené hodnoty Fn a φn pro různé n:

Pro velké hodnoty n je poměr Fn/φn≈0,723607. Toto číslo je přesně φ/kořen5. Jinými slovy,

Všimněte si, že pokud zaokrouhlíme nahoru na nejbližší celé číslo, dostaneme přesně Fn.

Pokud se nechcete trápit zaokrouhlováním na celé číslo, pak vzorec pojmenovaný po Jacquesu Binetovi [ 5 ]Jacques Binet (1786-1856) - francouzský matematik, mechanik a astronom Vzorec pro Fibonacciho čísla je pojmenován po Binetovi, ačkoli Abraham de Moivre (1667–1754) jej odvodil téměř o sto let dříve. - Cca. za., vám dá přesnou hodnotu:

Výplň rámu 1×5

Náš rám lze vyplnit čtverci a domino následujícími způsoby:

Existuje F4 = 5 možností, když je na začátku čtverec, a F3 = 3 možnosti, když je na začátku domino. Celkem to dává F5 = F4 + F3 = 8 možností.

hodnota F10(odpovědět další otázka ohledně stohování) se rovná 89.